Meccanica 37 marzo 2011

Cinematica in due dimensioni

Vettore spostamento. Velocita` media e istantanea

Componenti cartesiane e polari. Velocita` azimutale

Coordinata curvilinea

Accelerazione media e istantanea

Accelerazione in coordinata curvilinea

Cerchio osculatore

Moto circolare. Moto circolare uniforme e sue proiezioni cartesiane

Vettore velocita` angolare

Moto su di un piano

• Ovvero moto in due dimensioni• Ora è necessario specificare due coordinate per

individuare compiutamente il moto di un corpo• Scelte più frequenti:

– Coordinate cartesiane– Coordinate polari

• Mentre nel moto rettilineo la natura vettoriale di una grandezza era manifestata dal segno, ora dobbiamo introdurre il formalismo vettoriale in modo compiuto

• Molto di quanto diremo per un piano può estendersi immediatamente allo spazio

2

Vettori su di un piano

• Spostamento, velocità e accelerazione sono grandezze vettoriali

• Ogni vettore su di un piano può essere espresso come somma di due vettori

• Per lo spazio: ogni vettore può essere espresso come somma di tre vettori

• Tra i vettori ce ne sono di particolari, detti versori o vettori unitari, in quanto hanno intensità unitaria e dimensioni fisiche nulle

3

Vettore posizione

• Il vettore posizione si può quindi scrivere – In coord. cartesiane– In coord. polari

• Ove le funzioni che moltiplicano i versori sono le proiezioni del vettore lungo le direzioni dei versori stessi

• Similmente in tre dimensioni– In coord. cartesiane– In coord. sferiche

r t x t u x y t u y

uuttr0

r t x t u x y t u y z t u z

uuutrtr r

00

4

Vettore posizione

• Una importante differenza tra sistema cartesiano e polare è che nel primo l’orientazione dei versori è indipendente dal particolare vettore posizione e quindi dal tempo, mentre nel secondo in generale dipende da questi

5

Vettore spostamento

• È la differenza di due vettori posizione, ad esempio e

r t

r t t

r t r t t r t

r t

r t t

r t

r t

r t t

r t

6

Vettore spostamento

• In coordinate cartesiane lo spostamento si può esprimere

• Ove non c’è ambiguità sui versori da usare, in quanto sono gli stessi per i due vettori posizione

r t x t t x t u x y t t y t u y

r t

r t t

r t

7

Vettore spostamento

• In coordinate polari lo spostamento si può esprimere con i versori relativi a

• Ciò in pratica equivale a proiettare lungo e lungo la direzione perpendicolare,

utrttruttttr

r t

r t t

r t

r t

r t t

r t

8

Vettore velocità

• Similmente a quanto fatto nel caso unidimensionale, definiamo la velocità media come

• Che è da intendersi, in coordinate cartesiane, come

• Cioè come la coppia di velocità medie lungo x e y

v m

r t t

r t t r t

t

v m

r t t

x t t x t

tu x

y t t y t t

u y

9

Vettore velocità

• La velocità istantanea è, di nuovo, il limite della velocità media quando l’intervallo di tempo tende a zero:

v lim

t 0

r t t

limt 0

x t t x t t

u x limt 0

y t t y t t

u y

dxdtu x

dydtu y vx

u x vy

u y

10

Vettore velocità

• In coordinate polari avremo

• Ove ora la coppia di velocità è formata dalla velocità radiale (cioè lungo ) e da quella azimutale (cioè lungo )

u

t

trttru

t

ttt

t

trvm

11

Vettore velocità

• E per la velocita` istantanea:

• È importante esprimere in altro modo la velocità azimutale

uvuvudt

dru

dt

d

ut

trttru

t

ttt

dt

rdv

tt

00limlim

12

Vettore velocità

• Se l’intervallo di tempo è infinitesimo, anche il vettore spostamento sarà tale

dr du du

dr t

r t

du

du

dttr

13

Vettore velocità

• Per trovare la velocità basta dividere lo spostamento per l’intervallo di tempo:

• Dal confronto con l’espressione precedentemente trovata, abbiamo che la velocità azimutale è

dr

dt

ddtu

ddtu

dt

d

dt

dr

14

Vettore velocità

• Interpretazione geometrica del vettore velocita` media: • la direzione e` quella della secante alla traiettoria

percorsa dal corpo in moto, individuata dai vettori e • il modulo e` il rapporto tra il modulo del vettore

spostamento e l’intervallo di tempo necessario a percorrerlo

t

trvm

tr

r t t

r t

r t t

r t

tr

r t t

r t

Considerazioni indipendentidal sistema di riferimento

15

Vettore velocità

• Interpretazione geometrica del vettore velocita` istantanea: la direzione e` quella della tangente alla traiettoria percorsa dal corpo in moto, al tempo t

• il modulo e` il limite del rapporto tra il modulo del vettore spostamento e l’intervallo di tempo necessario a percorrerlo

tr

r t t

tr

tr

r t t

r t

t

trv

t

0lim tv

tv

Considerazioni indipendentidal sistema di riferimento

16

Velocita`: riassunto

• Velocita` in coordinate cartesiane:• Componenti:

• Modulo:

• Velocita` in coordinate polari:• Componenti:

• Modulo:

yyxx uvuvv

uvuvv

dt

dxvx dt

dyvy

2222

dt

dy

dt

dxvvv yx

dt

dv

dt

dv

2222

dt

d

dt

dvvv

Generalizzabile Immediatamente almoto nello spazio

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Coordinata curvilinea

• Il moto lungo la traiettoria puo` essere descritto mediante una coordinata curvilinea s, misurata da un’origine arbitraria sulla traiettoria

• s esprime la lunghezza della traiettoria• ds/dt esprime la variazione temporale della posizione sulla

traiettoria, cioe` la velocita` istantanea• Con questa scelta, il vettore velocita` e` determinato, istante per

istante, dal modulo (ds/dt) e dal versore uT che individua la direzione della tangente alla curva

TT

T uvudt

ds

dt

uds

dt

trdv

O

1tv

2tv

1tuT

2tuT

Tudstrd

18

Un risultato importante

• Nel definire la velocita` abbiamo introdotto il versore uT

• Calcoliamo ora la derivata di uT rispetto al tempo, tale risultato ci sara` utile nello studio dell’accelerazione

tuT

ttuT

tuT

ttuT

tuttu TT

19

Un risultato importante

• Troviamo la differenza dei versori uT calcolati nei due istanti di tempo, con considerazioni geometriche

• La direzione sia individuata da un versore e, che dipende pure dai due istanti di tempo

• Il modulo e` dato dalla formula trigonometrica• Avremo ttetuttu TT

,2

sin2

tuT

ttuT

2

2

sin2

20

Un risultato importante

• La derivata e` dunque il limite del rapporto

• Facendo opportune manipolazioni algebriche e applicando il teorema del limite di un prodotto :

• Il primo termine vale 1, il secondo termine e` la derivata temporale dell’angolo , il terzo termine e` il versore uN perpendicolare a uT e rivolto verso la convessita` locale della traiettoria

ttetdt

tudttt

T

,limlim2

2sinlim

000

tte

tt

tuttut

TT

t,

2sin2limlim

00

tudt

d

dt

tudN

T

In modo simile avremmopotuto calcolare la velocita`a partire dal vettore posizione

tuT

tuN

21

Analogamente

• Possiamo ripetere le considerazioni anche per il versore

• Il terzo termine e` ora il versore

ttetdt

tdttt

,limlim2

2sinlim

ˆ000

tte

tt

ttttt

,2sin

2limˆˆ

lim00

tdt

d

dt

td ˆˆ

22

t̂ t̂

Analogamente

• Idem per il versore

• Il terzo termine e` ora il versore -

ttetdt

tdttt

,limlim2

2sinlim

ˆ000

tte

tt

ttttt

,2sin

2limˆˆ

lim00

tdt

d

dt

td ˆ

ˆ

23

t̂

t̂

Velocita` in coordinate polari

• Con i risultati raggiunti possiamo ri-calcolare facilmente la velocita` in coordinate polari

• Che e` l’espressione ottenuta precedentemente

tdt

tdtt

dt

tddt

tdtt

dt

td

dt

ttd

dt

trdv

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

24

Vettore accelerazione

• E` definito come• Usando per convenienenza la coordinata

curvilinea, eseguiamo la derivata della velocita`:

• Mentre per definire la velocita` basta il vettore uT, per l’accelerazione ne servono, in generale, due: uT e uN

dt

tvda

NTNT

TT

T aaudt

dvu

dt

dv

dt

tudtvtu

dt

tdv

dt

tutvd

dt

tvda

25

Vettore accelerazione

• Il primo va a costituire l’accelerazione tangenziale cioe` tangente alla traiettoria: e` relativo alla variazione di modulo della velocita`

• Il secondo l’accelerazione normale, cioe` perpendicolare alla traiettoria e verso la convessita` di questa: e` relativo alla variazione di direzione della velocita`

TT udt

dva

NN udt

dva

tv

ttv

Na

Ta

26

Moto circolare

• Sono i moti che avvengono lungo una circonferenza

• Poiche’ la velocita` cambia direzione continuamente, deve essere sempre presente un’accelerazione

• Se la velocita` e costante in modulo il moto si dice uniforme

• Si puo` descrivere il moto o con la coordinata curvilinea s o con la coordinata angolare , corrispondente all’angolo al centro sotteso da s

Rs 27

Moto circolare

• Similmente a quanto fatto per il moto unidimensionale, si definiscono – Posizione angolare – Spostamento angolare – Velocita` angolare media – Velocita` angolare istantanea

– Accelerazione angolare media– Accelerazione angolare istantanea

tm

dt

d

tm

2

2

dt

d

dt

d

28

Moto circolare

• In un moto circolare la velocita` radiale e` sempre nulla, poiche’ il raggio vettore non cambia in modulo (ma solo in direzione)

• La velocita` coincide quindi con la velocita` azimutale

• La velocita` e` costante se e solo e` tale la velocita` angolare

Rdt

dvv

0dt

dv

tRtv

29

Moto circolare uniforme

• Il modulo della velocita` e` costante• Quindi l’accelerazione tangenziale e` nulla• Rimane l’accelerazione normale (centripeta)

• Il moto e` periodico con periodo T pari al tempo di percorrenza della circonferenza:

22

v

RT

RR

vaa N

22

30

Moto circolare non uniforme

• Cioe` il modulo della velocita` non e` costante• In questo caso c’e` accelerazione tangenziale• Inoltre l’accelerazione centripeta non e`

costante, cio` e` conseguenza della formula che la lega alla velocita`:

• Inoltre dalla relazione tra velocita` e velocita` angolare segue che quest’ultima non e` costante e quindi esiste un’accelerazione angolare

R

vaN

2

Rv

TaRdt

dv

RR

v

dt

d

dt

d 11

31

Esempio: moto circolare uniformemente accelerato

• Cioe` con accelerazione angolare costante• Dalla formula precedente cio` equivale ad

avere un’accelerazione tangenziale costante• Integrando l’equazione che definisce ,

troviamo per la velocita` angolare:

• E l’accelerazione centripeta risulta dipendente dal tempo: 20

2 tRRaN

t 0

32

Moto circolare uniforme

• Se proiettiamo il moto sui due assi cartesiani, con origine nel centro della circonferenza:

• Ove 0 e` il valore assunto dall’angolo al tempo t=0

• Abbiamo ottenuto l’importante risultato che il moto circolare uniforme puo` essere pensato come la sovrapposizione vettoriale di due moti armonici di ugual ampiezza, sfasati di un quarto di periodo

0coscos tRRx

0sinsin tRRy

R

33

Esercizio

• Trovare il moto risultante dalla sovrapposizione dei due moti lungo x e y

tRx cos

tRy cos

34

Esercizio

• Dati i due moti lungo x e y

• Trovare: a) l’equazione della traiettoria, eliminando il tempo dalle equazioni; b) l’espressione della distanza radiale (t); c) l’espressione della coordinata angolare (t); d) il vettore velocita` in coordinate cartesiane; e) il vettore velocita` in coordinate polari

tax costby sin

35

Esercizio

• 1) n. 2.24 pag 47 MNV

36

Vettore velocita` angolare • Possiamo considerare la velocita` angolare del moto

circolare un vettore• Il modulo e` • La direzione e` perpendicolare al piano del moto circolare• Il verso e` determinato con 2a regola della mano destra:

e` indicato dal pollice e la rotazione dalle altre quattro dita• Introduciamo il concetto di asse di rotazione: e` la retta

perpendicolare al piano del moto circolare passante per il centro della circonferenza

• Si deve pensare che il vettore sia applicato ad un punto (per altro arbitrario) dell’asse di rotazione

dt

d

37

Vettore velocita` angolare • Grazie ad possiamo esprimere la

velocita` come• Ove r e` il vettore distanza tra il punto di

applicazione di v e quello di (punto arbitrario sull’asse di rotazione)

• Derivando rispetto al tempo otteniamo il vettore accelerazione angolare

• Calcoliamo l’accelerazione a con le due componenti tangenziale e centripeta:

rv

vr

NT aavrdt

rdr

dt

dr

dt

d

dt

vda

v

r

aTaN

38

Esercizio

• Un punto P si muove di moto rettilineo• Un osservatore O, che non giace sulla retta

percorsa da P, vede il punto muoversi con velocita` angolare

• Trovare come varia in funzione della posizione di P

P

O

h

39

Cerchio osculatore

• Consideriamo una traiettoria planare

• In un suo punto arbitrario P tracciamo una circonferenza: abbiamo possibilita` doppiamente infinite di scelta, corrispondenti alle due coordinate del centro della circonferenza

• Se chiediamo inoltre che la circonferenza abbia in P la stessa tangente della traiettoria, la scelta si riduce a semplicemente infinita, corrispondente alla lunghezza del raggio della circonferenza (il centro deve infatti trovarsi sulla retta perpendicolare in P alla tangente)

P

P

40

Cerchio osculatore

• Se inoltre chiediamo che in P la derivata seconda del cerchio sia uguale a quella della traiettoria, abbiamo una sola possibilita` di scelta

• Questa circonferenza, determinata univocamente, prende il nome di circonferenza osculatrice (CO)

P

• Essa rappresenta la circonferenza che meglio approssima localmente la traiettoria

• Il raggio R della circonferenza e` detto raggio di curvatura della traiettoria

• In generale la CO varia da punto a punto (o istante per istante) lungo la traiettoria, cioe` variano la posizione del centro e la lunghezza del raggio 41

Cerchio osculatore: casi particolari

• Nei punti di flesso della traiettoria la derivata seconda cambia segno (cioe` si annulla)

• In questo caso la circonferenza degenera in una retta

• Ovvero si puo` immaginare che il raggio di curvatura diventi infinitamente grande

• Nei punti angolosi non si puo` definire un cerchio osculatore

• Tutt’al piu` si puo definirne uno a destra e un altro a sinistra del punto

P

P

42

Accelerazione e cerchio osculatore

• Vediamo ora che relazione esiste tra velocita` sulla traiettoria e circonferenza osculatrice

• Sia C il centro della CO • Accanto alla coordinata curvilinea

s sulla traiettoria, introduciamo anche sulla CO una coordinata curvilinea s’

• Consideriamo uno spostamento infinitesimo nel punto P, questo si puo` scrivere, per definizione di CO: ds=ds’ (a meno di termini di ordine superiore a due)

• Se ora introduciamo l’angolo con vertice in C e semiretta origine CP, possiamo scrivere lo spostamento infinitesimo lungo la CO in termini di quest’angolo e del raggio R della CO: ds’=Rd

• Otteniamo infine ds=Rd

P

C

C

dR

P

43

Accelerazione e cerchio osculatore

• Se ora dividiamo entrambi i membri per l’intervallo di tempo infinitesimo dt, otteniamo una relazione di uguaglianza tra la velocita` lungo la traiettoria e sulla CO:

• Inoltre, si puo` dimostrare che l’angolo d definito dalle perpendicolari alle tangenti in due punti infinitamente vicini della traiettoria coincide con l’angolo d della CO, quindi

• La componente normale dell’accelerazione si puo` dunque scrivere (in modulo):

• Tale componente e` anche detta centripeta, poiche’ punta sempre, istante per istante, verso il centro del cerchio osculatore

COatraiettori vdt

dR

dt

dsv

R

v

dt

dvaN

2

dt

dRv

Considerazioni indipendentidal sistema di riferimento

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