meccanica computazionale delle strutture

7/25/2019 MECCANICA COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

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Appunti di Meccanica Computazionale delle Strutture

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APPUNTI DI

MECCANICA COMPUTAZIONALE DELLE STRUTTURE

UNIPG 2015/2016

[email protected]

CONTENUTO

CONTENUTO ............................................................... ................................................................. .............................................. 1

1 RICHIAMO DI ALTRI METODI ................................................................ ............................................................... ..... 3

1.1 ELASTICIT....................................................................................................................................................................... 31.2 METODO DELLE FORZE...................................................................... ............................................................... ................ 31.3 METODO DEGLI SPOSTAMENTI............................................................................................ .............................................. 3

1.3.1 Metodo diretto ............................................................... ................................................................. ........................ 4

2 IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI ..................................................................................................... ................ 5

2.1 GENERALIT SUL METODO............................................................................................................................................... 5

2.2 IL PROCESSO DI DISCRETIZZAZIONE.............................................................. ............................................................... ..... 52.3 PROPRIET DEI SINGOLI ELEMENTI.................................................... ............................................................... ................ 52.3.1 Matrice di trasposizione ........................................................... .............................................................. ................ 5

2.4 ASSEMBLAGGIO............................................................ ................................................................. ................................... 52.4.1 Matrice topologica ........................................................ .............................................................. ........................... 52.4.2 Esempi ..................................................... ................................................................. .............................................. 6

2.5 SOLUZIONE DEL SISTEMA......................................................... .............................................................. ........................... 72.5.1 Inversione della matrice ........................................................... .............................................................. ................ 72.5.2 Eliminazione di Gauss .............................................................. .............................................................. ................ 7

2.6 FUNZIONE DI FORMA..................................................... ................................................................. ................................... 72.6.1 Matrice delle funzione di forma..................................................................... ......................................................... 72.6.2 Esempi ..................................................... ................................................................. .............................................. 8

2.6.3 Criteri di convergenza .............................................................. .............................................................. ................ 92.6.4 Esempi ..................................................... ................................................................. .............................................. 92.6.5 Coordinate intrinseche ....................................................................... ............................................................... ... 102.6.6 Polinomi di Lagrange ............................................................... .............................................................. .............. 11

2.7 ALCUNE CLASSIFICAZIONI............................................................................ ............................................................... ... 122.7.1 Famiglia Lagrangiana.............................................................. .............................................................. .............. 122.7.2 Famiglia Serendipity ................................................................ .............................................................. .............. 132.7.3 Confronti fra le due famiglie .................................................................................................................. .............. 132.7.4 Elementi isoparametrici ................................................................................................... .................................... 14

2.8 STATO DI TENSIONE................................................................................................. ....................................................... 142.8.1 Biella .................................................................................................. ............................................................... ... 142.8.2 Trave ........................................................ ................................................................. ............................................ 14

2.8.3 Elemento triangolare ................................................................ .............................................................. .............. 152.9 MATRICE DI RIGIDEZZA.................................................................................................................................................. 15

2.9.1 Esempi ..................................................... ................................................................. ............................................ 172.10 PASSAGGIO DI COORDINATE........................................................... .............................................................. .............. 17

2.10.1 Polinomi di Legendre .......................................................................................... ............................................ 17


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2.10.2 Integrazione con Quadratura di Gauss ........................................................................................................ ... 172.10.3 Calcolo della matrice di rigidezza ............................................................ ....................................................... 182.10.4 Interpolazione di tensione .............................................................. ............................................................... ... 19

3 DINAMICA CON ELEMENTI FINITI ....................................................... ............................................................... ... 20

3.1 EQUAZIONE DI EQUILIBRIO DINAMICO.......................................................... ............................................................... ... 203.1.1 Esempi ..................................................... ................................................................. ............................................ 20

3.2 EQUAZIONE MATRICIALE DI EQUILIBRIO DINAMICO.......................................................................................... .............. 203.2.1 Matrice delle masse ................................................................. ............................................................... .............. 203.2.2 Matrice di smorzamento ........................................................... .............................................................. .............. 22

3.3 METODI DI INTEGRAZIONE..................................................................................................................... ......................... 223.3.1 Metodo delle differenze centrali ......................................................... ............................................................... ... 223.3.2 Metodo di Houbolt ......................................................... .............................................................. ......................... 243.3.3 Metodo di Wilson theta ............................................................. .............................................................. .............. 253.3.4 Metodo di Newmark ......................................................................................................... .................................... 25

3.4 SOVRAPPOSIZIONE MODALE................................................................ .............................................................. .............. 25

ESERCITAZIONE................................................................................................... ............................................................... ... 26

PRONTUARIO .......................................................................................................................................................................... 27

BIBLIOGRAFIA ........................................................... ................................................................. ............................................ 28

ALLEGATI ......................................................... ................................................................. ....................................................... 28

ELEMENTO QUADRILATERO WITH MAXIMA........................................................... ............................................................... ... 28


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1

RICHIAMO DI ALTRI METODI

1.1 ELASTICIT

Trave

Alcune definizioni:

; ;dM dV dy

V wdx dx dx

La linea elastica per la trave di Eulero-Bernoulli viene definita come:

2d y

EI Mdx

Con tutto quanto si possono utilizzare le seguenti equazioni differenziali:

2 3 4

2 3 4; ; ; ;

dy d y d y d yy M EI V EI w EI

dx dx dx dx

Cio:

; ; ; ;IVw EI y V EI y M EI y y y

Oppure lavorare con un approccio integrale

; ; ; ;M

w V w dx M V dx dx y dx

EI

Dove le condizione di contorno di solito vengono applicate ai appoggi della strutture, con y e pari a

zero nei gradi di libert vincolati, ad esempio: 0 , 0y per lincastro.

1.2 METODO DELLE FORZE

Equazione di congruenza.

0

1

N

i i ij j

j

1.3 METODO DEGLI SPOSTAMENTI

Equazione di equilibrio.

Chiamato anche metodo dellequilibrio.

Sistemi: principale, equivalente.

0

1

N

i i ij j

j

R R R


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1.3.1 Metodo diretto

1 11 12 1

2 21 22 2

' ' ' '

' ' ' '

F K K u

F K K u

'ijK la forza agenti sul grado di libert i-esimodovuta allo spostamento unitario nel grado di libert j-

esimoquando tutti gli altri spostamenti sono zero.

1.3.1.1 Biella

- Biella: 1 1

'1 1

AEK

L

- Biella nello spazio

1.3.1.2 Trave

- Trave:

3

'12

AE

LK

EJ

L

- Trave nello spazio: occorre considerare il taglio.


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2

IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

2.1 GENERALIT SUL METODO

Procedura:

1.

Discretizzazione2. Propriet dei singoli elementi3. Assemblaggio4. Soluzione

2.2 IL PROCESSO DI DISCRETIZZAZIONE

Un sistema (solido, piano o lineare) continuo diventa discreto.

Matrici di rigidezza degli elementi monodimensionali biella e trave nel sistema di riferimento locale.

2.3

PROPRIET DEI SINGOLI ELEMENTI

2.3.1 Matrice di trasposizione

Trasformazione di assi: sistemi di riferimento: locale (SRL) e globale (SRG). Invarianza del lavoro.

una matrice ortogonale: T

L L I

Formule con la matrice di trasposizione: ' ; ' ; 'T

K L K L F L F u L u

Si utilizza lapostrofo per matrice o vettore nel SRL.

2.4 ASSEMBLAGGIO

Lassemblaggio del sistema matriciale per tutta la struttura pu essere effettuato con il metodo disovrapposizione o con lutilizzo della matrice topologica. Si definisce la matrice di rigidezza di tutta lastruttura come sK , il vettore di forze sF e il vettore di spostamenti come su .

2.4.1 Matrice topologica

Permette collegare i GDL1di ogni elemento con la sua corrispondente posizione nellinsieme diGDL ditutta la struttura. Le sue dimensione sono:

Numero di colonne = (numero di GDL in tutta la struttura)

Numero di righe = (numero delementi) (numero di GDL che ha ogni elemento)

Formule con la matrice topologica: ; ; Ts s su A u F A F K A K A

Dove u e F sono i vettore degli spostamenti e delle forze di tutta la struttura, aggruppati per ognielemento nel SRG. Per gli spostamenti:

.1 .2 . T

elem elem elem nu u u u

Dimostrazione

1GDL: grado di liberta


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Con la condizione di: F K u , e la conoscenza di su A u e sF A F si pu trovare

una formula per calcolare sK . Il lavoro virtuale effettuato per spostamenti virtuali applicati sulla struttura

pari a: T

s su F , il quale deve essere uguale al lavoro virtuale effettuato per spostamenti virtuali

applicati a tutti gli elemento pari a: T

u F

, quindi:

TT T T

T

ss s su uF u F A F Au F

1 1

T T T T T T

s ss s s su u uF A F I F I A Fu

T T T T s s s sF A F A K u A K A u F A K A u

T

sK A K A

2.4.2 Esempi

Negi seguenti esempi si vede come determinare la matrice topologica.

2.4.2.1 Biell a 1

1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 0 0 .1

0 1 0 0 0 0.1

0 0 1 0 0 0.2

0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0.2

0 0 0 1 0 0.2

0 0 0 0 1 0.3

0 0 0 0 0 1

u u u u u u

xnodo

yelem

xnodo

yA

xnodo

yelem

xnodo

y

1

2 1

3 2

4 3

3 4

4 5

5 6 6 1

6 8 68 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

s

u

u u

u u

u uu A u

u u

u u

u u

u

1

6 8 8 66 6 8 8 2

0;

0

eT

s r

e

KK A K A K K

K

1 3

4

01 2 2 1

1 1r r r

u PL Lu K F

u P PEA AE


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Calcolati gli spostamenti sconosciuti, si possono calcolare le forze sconosciute della struttura nel SRG, epoi gli spostamenti e forze nel SRL con lutilizzo della matrice topologica e le matrice di trasformazione.

2.4.2.2 Biell a 2

Queste esempio uguale allesempio precedente per si scambiano i nodi 2 e 3, e quindi i suoi GDL.

1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 0 0.1

0 1 0 0 0 0.1

0 0 0 0 1 0.3

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0

.30 0 0 0 0 1

.20 0 1 0 0 0

.20 0 0 1 0 0

u u u u u ux

nodoy

elemx

nodoy

Ax

nodoy

elemx

nodoy

1

12

25

36

8 6

45

56

63 6 1

4 8 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

s

u

uu

uu

uuu A u

uu

uu

uu

u

2.5 SOLUZIONE DEL SISTEMA

La matrice di rigidezza, vettori di forze e spostamenti di tutta la struttura sono:

: rs s sv

FF K u

F rr rv

vr

K K

K

vvKr

v

u

u

r vu F

ru : spostamenti sconosciuti (GDL non vincolati)

vu : spostamenti conosciuti (GDL vincolati)

2.5.1 Inversione della matrice

2.5.2 Eliminazione di Gauss

2.6 FUNZIONE DI FORMA

Si definisce come la funzione di ogni nodo con cui ogni punto allinterno dellelemento si deforma. Esisteuna funzione di forma per ogni nodo dellelemento finito.

2.6.1

Matrice delle funzione di formaViene definita come la matrice rettangolare che lega il vettore di funzioni di spostamenti col vettore dispostamenti nodali:


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f N u

Le sue dimensione sono:

Numero di righe: (numero di GDL che ha ogni nodo) Numero di colonne: (numero di nodi che ha ogni elemento) (numero di GDL che ha ogni nodo)

2.6.2

Esempi

2.6.2.1 Biella

Si analizza una biella nel piano sotto leffetto di soltanto tensione assiale.

Il vettore degli spostamenti nei nodi si definisce come: 12 1

2

;u

u u

u

Per una biella soggetta soltanto ai carichi assiali, si sa che la deformazione assiale lineare. Si assume pertanto un andamento lineare per il vettore delle funzioni di spostamenti dellelemento:

f u x A B x

Sostituendo i valori degli spostamenti nodali nella funzione precedente si ottiene un sistema di equazioni:

1 1 2 11 1 22 2 1

(0) ( )1

( ) ( ) /

u A B A u u u x xu x u x u u

u A B L B u u L L L L

E con lultima espressione si pu determinare la matrice di funzione di forma: 1 x xNL L

2.6.2.2 Trave

Il vettore degli spostamenti nei nodi si definisce come: 1 2 3 4 5 6 6 1;T

u u u u u u u u

Per una trave soggetta ai carichi distribuiti rettangolari, si sa che la linea elastica corrisponde ad unpolinomio di terzo grado. Si assume per tanto, un comportamento lineare per le deformazione assiale e uncomportamento polinomiale di terzo grado per le deformazione trasversale. Il vettore delle funzioni dispostamenti sar:

2 31 2 3 4

( )( );

( ) ( )

u x A B xu xf

v x v x a a x a x a x

Sostituendo i valori degli spostamenti nodali nella funzione precedente si pu ottenere la matrice dellefunzioni di forma.


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2.6.2.3 Elemento tr iangolare piano

Ha tre nodi chiamati i,j, e k.

Il vettore degli spostamenti nei nodi si definisce come: 6 1;T

i i j j k k u u v u v u v u

Con la funzione di spostamenti: 1 2 3

4 5 6

( , )( , );( , ) ( , )

u x y a a x a yu x yf v x y v x y a a x a y

Funzioni di forma: 0 0 0

0 0 0N

2.6.3 Criteri di convergenza

Permettono sapere se la formulazione del problema adeguata. Si devono sodisfare i seguenti criteri nellascelta delle funzioni di spostamenti per garantire la convergenza del metodo:

1. Comportamento del singolo elemento: adeguatezza degli elementi

i. moti rigidi dellelemento isolato: ( , ) costante ( , )f x y g x y

Per verificare il moto rigidosi pu assumere uno spostamento noto u assegnato su tutti inodi dellelemento in qualsiasi direzione, sia lasse x per esempio: ( , 0)u x u y . Con

questa condizione, il risultato della funzione di spostamento, calcolata tramite la funzione diforma, sar una espressione che nondipende della coordinata inx.

ii. modi di deformazione costanti: , costanteu v

2. Conformit: assemblaggio degli elementi congruente. rispettata quando le funzioni degli

spostamenti nei contorni dipendono solo degli spostamenti di due nodi di estremit.i. linearit? REV

ii. stessa funzione nei contorni

Fig. 2.1 Esempio di due elementi che non soddisfano la conformit

Per garantire la conformit si pu seguire la seguenti procedura per determinare le funzione diforma: Ad esempio, per elementi con 2 nodi al contorno, la funzione di forma del nodo i-esimo deveessere proporzionale al prodotto delle equazione dei latti dellelemento che nocontengono il nodoi-esimo.

3. Isotropia geometrica: la isotropia dellelemento non deve cambiare in qualsiasi sistema diriferimento. Simmetria.

2.6.4 Esempi

2.6.4.1 Elemento rettangolare

Vedere lallegato: Elemento quadrilatero con Maxima.


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2.6.4.2 Elemento tr apezoidale

Vedere lallegato: Elemento quadrilatero con Maxima.

2.6.5 Coordinate intrinseche

Per garantire alcuni criteri di convergenza si utilizza un sistema di coordinate che:

1 1

1 1

Ad esempio, per un elemento rettangolare con larghezzaLed altezzaH, la trasformazione di coordinate dalsistema (x,y) ad un altro sistema ( , ) si effettua come:

0 ; / 2 0 ( / 2) 1;

1 ; 1 ( ) 2 /

x L a b L aa b x

x L a b L b L

Che facendo la stessa proceduraper lassey, si trovano le espressione:

2 / 1 ; 2 / 1L x H y

Gli elementi in coordinate intrinseche soddisfano le seguenti condizioni:

Qualunque rettangolo ricondotto a un quadrato di lato 2 Qualunque triangolo assume area unitaria

Esempi delle coordinate dalcuni elementi:

cartesiane intrinseche


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2.6.6 Polinomi di Lagrange

Si considera la funzione interpolanti pi semplice. Si definisce una espressione formale come:

r kj jk jj k

N P

Dove r il numero di punti noti necessari per definire il polinomio di Lagrange, kejsono gli indici deipunti. Il polinomio stesso ha un grado pari a r-1.

Per ottenere un polinomio completo, cio con tutti i coefficienti, si pu aggiungere un coefficiente diproporzionalit e sommare rpolinomi in questa forma:

2 11 2 31

rr r

j j j r

j

N P a a a a

Il polinomio di Lagrange per elementi bidimensionali si definisce come: , r sj h kN P P

2.6.6.1 Esempi

Si definiscono le funzione di forma per elementi lineare tramite luso dei polinomi di Lagrange. Nellapratica si utilizzano elementi con pi di due nodi per lanalisi dei cavi di ponti e antenne di

telecomunicazione.

2.6.6.1.1 Elemento l ineare con 2 nodi

Con la conoscenza di 2 punti in coordinate intrinseche:

1 21 ; 1

Si calcolano le sue funzione di forma tramite luso dei polinomi di Lagrange:

2 2

12 1

111 ; 2

1 ( 1) 2j k P

2 1

2

1 2

1( 1)2 ; 1

( 1) (1) 2j k P

2.6.6.1.2 Elemento l ineare con 3 nodi

Con la conoscenza di 3 punti in coordinate intrinseche:

1 2 31 ; 0 ; 1

Si calcolano le sue funzione di forma tramite luso dei polinomi di Lagrange:

3 3212 1 3 1

0 (1) 11 ; 2, 3 1

0 (1) (1) ( 1) 2 2j k P

3 23121 2 3 2

2 ; 1,3 1j k P


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3 1 221 3 2 3

3 ; 1, 2 12

j k P

I diagramma delle funzione di forme per i tre nodi sono, da sinistra a destra: 31P , 3

2P e 3

3P :

2.7

ALCUNE CLASSIFICAZIONI

Per lanalisi degli elementi rettangolari, utilizzando le coordinate intrinseche e la definizione di funzioni diforma tramite i polinomi di Lagrange, si presentano a continuazione alcuni esempi:

2.7.1 Famiglia Lagrangiana

Sono elementi rettangolari piani con nodi allinterno. Ad esempio, per un rettangolo con 5 nodi in una

direzione e 4 nellaltra:

5 49 4 2,N P P

Rispetto ai suoi criteri di convergenza:

Per definizione, red snon possono essere minori di 2, per tanto la funzione contiene sempre ilpolinomio completo di primo grado, rappresentativo dei moti rigidi e dei modi a deformazionecostante.

Lelemento conformeper che le funzioni di forma relative ai nodi interni si sono nulle ovunquesul contorno.

La isotropia geometrica,simmetria, assicurata da una maglia quadrata ( r s ).

Per 3r i nodi interni non si connettono con gli elementi adiacenti e si presentano deformazioni allinternodellelemento molto localizzati. Elementi di ordine elevato presentano un certo numero di gradi di libert

poco efficaci. Il numero di nodi pari a 2m r , il grado del polinomio 1r .

2.7.1.1 L4

Ha 4 nodi, 1r . una maglia di 22 nodi, presenta 4 nodi ai vertici. Polinomio completo di ordine 1.

Polinomio approssimante bilineare.4 1 2 3 4:L a a a a


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2.7.1.2 L9

Ha 4 nodi, 2r . una maglia di 33 nodi, presenta 8 nodi al contorno e 1 nodo allinterno.Polinomiocompleto di ordine 2. Polinomio approssimante biquadratico.

2.7.1.3 L16

Ha 4 nodi, 2r . una maglia di 44 nodi, presenta 12 nodi al contorno e 4 nodo allinterno.Polinomiocompleto di ordine 4. Polinomio approssimante bicubico.

2.7.2 Famiglia Serendipity

Insieme di elementi rettangolari piani che permette ridurre linconveniente dei termini aggiuntivi dellafamiglia Lagrangiana. I nodi vanno se possibile, posizionati esclusivamente sul contorno dellelemento.

La funzione di forma unespressione proporzionale al prodotto delle equazioni di rette passanti per i nodirimanenti, assicurando la conformit.

2.7.2.1 S4

uguale a L4.

2.7.2.2

S8

2.7.2.3 S12

2.7.2.4 S17

Si deve aggiungere un nodo addizionale al centro dellelemento per completare il polinomio e conservarela simmetria nelle due direzione.

2.7.3 Confronti fra le due famiglie

La differenzia sono principalmente i nodi interni e il numero di componenti dei polinomi.


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2.7.4 Elementi isoparametrici

Il termine isoparametrico indica che la trasformazione geometrica e il modelo di spostamento sonocontrollati con lo stesso numero di parametri. il numero di nodi in cui sono note le funzioni spostamento egeometria sono uguali; il tipo di elemento pi diffuso in quanto semplice ed efficiente.

possibile formulare elementi iperparametrici, in cui la trasformazione geometrica di grado pi elevato

che il modello di spostamento. Si utilizzano ad esempio per ottenere uno stato di sforzo costante.

Elementi ipoparametricio sub-parametrici vincolano la geometria pi di quanto concesso dalle funzioni diforma. In questo caso il numero di nodi in cui nota la geometria inferiore rispetto a quello che descrivela funzione incognita: una soluzione di questo genere pu essere adottata nel caso in cui la formadell'elemento sia geometricamente semplice ma si desideri descrivere uno stato di deformazione e sforzo

pi complesso.

2.8 STATO DI TENSIONE

Invece di usare il tensore delle deformazione della meccanica del continuo, si utilizza un vettore dideformazione soltanto con quelli componenti di deformazione che sono distinte. Il vettore delledeformazione allinterno del elemento si pu scrivere in funzione di spostamenti nodali:

B u

Dove la matrice B si determina in base le equazioni di congruenza (tra spostamenti e deformazioni) e isuoi termini contengono le derivate delle funzioni di forma. Tramite le equazioni di legame (tradeformazioni e tensioni), il vettore di deformazione viene collegato col vettore di tensione con laespressione:

D

2.8.1 Biella

1/ 1/B L L

; ;D E

Lanalisi della temperatura si considera come:0 T .

2.8.2 Trave

2

2;

u v

x x


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2.8.3 Elemento triangolare

; ;xx yy xy

u v u v

x y y x

1/ 1/B L L

1 0

; 1 0 ;

10 0

2

xx xx

yy yy

xy xy

D

2.8.3.1 Problema piano di tensione

Si chiama cos per che si considera esistente la tensione sul pianoxy, mentre che la deformazione 0xy .

1 0

; 1 0 ;

10 0

2

xx x

x

x

zz

yy yy

y

D

2.8.3.2 Problema piano di deformazione

Si chiama cos per che si considera esistente la deformazione sul pianoxy, mentre che la tensione 0xy

.

1 01

; 1 0 ;1

1 20 0

2 1

xx x

x

x

yy

y

y

z

y

z

D

2.9

MATRICE DI RIGIDEZZA

Finora abbiamo utilizzato la matrice di rigidezza come una proporzionalit fra spostamenti e forze. Il suocalcolo pu essere effettuato applicando lapproccio diretto con la definizione di ogni elemento della

matrice secondo la sua definizione di forza risultante dallapplicazione di uno spostamento unitario con glialtri gradi di libert nulli.

A continuazione si presenta una dimostrazione pi rigorosa e adeguata per il calcolo della matrice dirigidezza per qualsiasi elemento finito. Ricordiamo delle sezione precedente:

; ;f N u B u D

Si comincia applicando un campo di spostamenti virtuali (*), con cui si calcolano il lavoro esterno eL ed

il lavoro interno iL nel caso pi semplice, cio senza forze di volume applicati sullelemento, senza

deformazioni iniziali e senza tensione residuale:


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T T

e iV

duL F L V

Dove F sono le forze applicati ai nodi dellelemento, eil prodotto ripresenta il lavoro virtualeinterno per unit di volume2, il principio di valoro virtuale diventa:

T T

VF dVu

TT

Vu uF B D dV

T T T

VF B D B u du Vu

T

VF B D B dV u

F K u

E cos si definisce la matrice di rigidezza:

T

VK B D B dV

Con la considerazione delle forze di volume applicati sullelemento P (ad esempio il peso proprio), le

deformazioni iniziali 0 (ad esempio leffetto della temperatura) e le tensioni residuale 0 (ad

esempio considerando la plasticit), il principio di lavoro virtuale diventa:

T T

V VF f P d dVu V

0 0T TT

V Vu u uF N P dV B D D dV

0 0T T TT T

V VF N P dV B D Bu u u u D dV

0 0T T

V VF N P dV B D B u D dV

0 0T T T T

V V V V F N P dV B D B dV u B D dV B dV

0 0T T T T

V V V V F B D B dV u N P dV B D dV B dV

v i rF K u f d t

Dove T

v Vf N P dV sono le forze di volume, 0

T

iV

d B D dV sono le deformazioni

iniziale e 0T

r Vt B dV sono le tensioni residuale.

2Questo si pu capire con una relazione delle sue dimensione: ( )L F u A u V , essendo { } adimensionale.


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17/29

2.9.1 Esempi

2.9.1.1 Biella

Con la conoscenza previa di:

1/ 1/ ;B L L D E

Si pu calcolare la matrice di rigidezza come:

T T

V LK B D B dV B D B A dx

2 2

0

1 / 1 1 11/ 1 / 1 1

1 / 1 1 1

L

L

L A E A E K E L L A dx d x L

L L L

1 1

1 1

A EK

L

E le deformazioni iniziali per causa della temperatura possono essere calcolati come:

0 0T T

iV L

d B D dV B D A dx

1 / 1 1

1 / 1 1i

L L

L A E A E d E T A dx T dx T L

L L L

1

1id A E T

2.10PASSAGGIO DI COORDINATE

Si vede il passaggio di coordinate dalle cartesiane ,x y alle intrinseche , .

2.10.1 Polinomi di Legendre

Formalmente: 1

22 ! 1

n nn

n n

dL n

d

Come funzione ricorsiva: 1 22 1 1

n n n

n nL L L

n n

, dove: 0 1L , 1L

2.10.2 Integrazione con Quadratura di Gauss

un metodo di integrazione numerica. Formalmente si scrive come:

1

11

G

g gg

f d w f

Dove gw sono ipesie si calcolano soltanto una volta:

1

1

g gw P d


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gP il polinomio interpolanti tra i zeri dei polinomi di Legendre.

G Peso Ascissa

1 1 2w 1 0

2 1 21 ; 1w w 1 21/ 3 ; 1/ 3

3 1 2 35 / 9 ; 8 / 9 ; 5 / 9w w w 1 2 33 / 5 ; 0 ; 3 / 5

Diventa esatta quando il grado del polinomio ad integrare uguale o minore a: 2 1G , dove G il numerodi punti di integrazione di Gauss.

Lintegrale di Gauss in due dimensione pari a:

1 1

1 11 1

, ,

G H

g h g hg h

f d d w w f

2.10.2.1Esempio

2 31 2 3 4f a a a a

1

1 1 2 2 1 3

1

21 1/ 3 1 1 / 3 2

3f d w f w f f f a a

2.10.3 Calcolo della matrice di rigidezza

2.10.3.1Derivate parziale

Con la conoscenza delle coordinate dei nodi e le derivate delle funzioni di forma:

,

,

j j

j j

x y

N N

E come stato definito prima, per elementi isoparametrici:

, ,

, ,

j j

j j

x N x

y N y

Si valutano le derivate nel sistema di coordinate intrinseche come:

,

,

j j j

j j j

N N Nx y

x y

N N Nx y

x y


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19/29

2.10.3.2I ntegrazione e Jacobiano

1 1

0 0 1 1

, , , , ,

a bT TT T

K B x y D B x y t dx dy J B D B t d d

1 1

, , ,

G H T T

g h g h g h g hg h

K w w J B D B t

2.10.4 Interpolazione di tensione

Dovuto a che la soluzione esatta della integrale per calcolare la matrice di rigidezza utilizzando lintegrale

con quadratura di Gauss si trova solo nei punti di integrazione, necessario di interpolare i valori di tensioneai nodi secondo valori ottenuti allinterno dellelemento.

Fig. 11.37 BATHE[1]


20/37


20/29

3

DINAMICA CON ELEMENTI FINITI

3.1 EQUAZIONE DI EQUILIBRIO DINAMICO

mu cu k u f t

Matrice delle masse per l'elemento biella.

Matrice di smorzamento.

3.1.1 Esempi

3.1.1.1 Biell a soluzione chiusa

Si trova la soluzione dinamica in forma chiusa per una biella. Esempio del libro di Bathe [1].

3.2 EQUAZIONE MATRICIALE DI EQUILIBRIO DINAMICO

M u C u K u F t

Esempio della soluzione dinamica chiusa di un elemento biella, libro Przemieniecki [2] 10.6:

2 2

2 2 0

x xu uE

x t

3.2.1 Matrice delle masse

Per una dimostrazione utilizzando le matrici di funzioni di forma, ricordiamo delle sezione precedente:

; ; ;f N u f N u B u D


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Si comincia applicando un campo di spostamenti virtuali (*), con cui si calcolano il lavoro esterno eL ed

il lavoro interno iL nel caso pi semplice, cio senza forze di volume applicati sullelemento, senza

deformazioni iniziali e senza tensione residuale:

T T T

e iV V

L F f f dV L dVu

Dove F sono le forze applicati ai nodi dellelemento, f m f f V f ripresenta illavoro effettuato per linerzia dellelemento con f gli spostamenti, f le accelerazione, e la densit

di massa; il prodotto ripresenta il lavoro virtuale interno per unit di volume3. Il principio di valorovirtuale diventa:

T T T

V V

F f f dV dVu

T TT

V VF N N u dV Bu u u D dV

T T T

T T

V VF N N u dVu u Bu D B u dV

T T

V VF N N dV u B D B dV u

F M u K u

E cos si definisce la matrice delle masse pari a:

T

VM N N dV

Il termino ijm ripresenta la forza del i-esimo grado di liber dovuta allapplicazione di una accelerazione

unitaria sul j-esimo grado di libert. Esistono due approcci per considerare la distribuzione della massasugli elementi strutturali:

3.2.1.1 Approccio consistent

Questa forma di calcolare la matrice delle masse, utilizzando lintegrale delle matrici,si chiama approccioconsistente ed quello che di solito utilizzano i programmi, ad esempio il SAP2000. Ad esempio:

0.3 0.2

0.2 0.3

m mM

m m

3.2.1.2 Approccio l umped

In questo caso si lavora con una matrice diagonale, distribuendo le masse ad ogni nodo dellelemento senzanessun collegamento far i loro. Ad esempio:

3Questo si pu capire con una relazione delle sue dimensione: ( )L F u A u V , essendo { } adimensionale.


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22/29

1

2

0

0

mM

m

3.2.1.3 Assemblaggio

Si deve applicare la matrice di trasposizione alla matrice delle masse per calcolare la massa del elemento

finito nel sistema di riferimento globale:

'T

M L M L

Per lassemblaggio finale si utilizzala matrice topologica:

T

sM A M A

3.2.1.4 Esempio

Matrice delle masse per l'elemento biella.

3.2.2 Matrice di smorzamento

3.3 METODI DI INTEGRAZIONE

Un metodo condizionalmente stabili se occorre soddisfare una condizione per t .

Metodi dintegrazione diretta

Consiste in una integrazione nel dominio del tempo.

1. Soluzione su un insieme finito di istanti temporali [0, ]it i t i T

a. Si sceglie una durazione finita: T

b. Si assumono tutti i passi uguali: t

2. Si assume landamento di u e u nellintervallo t

Alcuni metodi dintegrazione diretta:

3.3.1 Metodo delle differenze centrali

Scegliere: nCRT

t t

, dove nT il periodo pi piccolo del sistema e quindi queste metodo

condizionalmente stabile.

2

2 2

t t t t t U U U

Ut t

2

2

2

t t t t t t t U U U d U

Udtt

REV

Sostituendo nellequazione di equilibrio dinamico: t t t t M U C U K U F , si ottiene:

1 t t t t t t M U R U M R

Dove:


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23/29

2

2

M CM

tt

2 2

22

t t t t t M M CR F K U U

tt t

Condizioni di contorno:

Sono noti: 0 0 0, ,U U U

Dalla differenza fra t tU U , con 0t , si ottiene:2

0 0 0 0

2

t t tU U U t U U

Procedura:

1 passo: 0t tU U U

2 passo:

2 0t tU U U

3 passo: 3 2t t tU U U

e cos via...

Un'altra classificazione:

metodi di integrazione esplicita: si basano in tempo t, non c [K] REV

procedura di avvio particolare

Il metodo delle differenze centrale ha un doppio vantaggio:

1. REV2. [M] diagonale, e per tanto torna un sistema disaccoppiato:

2

2 t t t t t t ii

i i i iii

m tU R U R

mt

Algoritmo in Matlab:

Sia: , ,x x xx x xu U v U a U ; dove: , ,x i t t x j t x k t t

Noto 0iu u , si calcola:2

0 0 02

j tu u t v a

per la prima iterazione; e dopo: 1 ku M R

.

ui = u0;

uj = u0 - dt*v0 + (dt^2/2)*a0;

for n = 1:N-1

Meq = M/dt^2;

Req = F + (2*M./dt^2 - K)*uj - (M./dt^2)*ui;

uk = Meq\Req

ui = uj;

uj = uk;

end

Esempio: Metodo delle differenze centrali. Basato sul libro di BATHI: Finite Element Procedures,9.2.1. Considerando un sistema dinamico semplice senza smorzamento con equazione e condizioneiniziale:


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24/29

1 0 01

21

2 0 6 2 0 0 0; ,

0 1 2 4 10 0 0

UUU U

UU

Calcolo dei periodi:

K = [6 -2; -2 4]

M = [2 0; 0 1]

[V,D]=eig(K,M);w=sqrt(diag(D))

T=2*pi./w

T =

4.4429

2.8099

E quindi il tempo critico della struttura : / 2.8[ ] / 0.8913[ ]CR nt T s s .

Calcolo della accelerazione iniziale secondo lequazione di equilibrio dinamico:

1

0 02 0 6 2 0 0 2 0 0 0

0 1 2 4 0 10 0 1 10 10

U U

Risultati applicando lo script sviluppato in Matlab:

per /10 0.28[ ]nt T s :

per 0.8913[ ]CR

t t s :

per 10 28[ ]nt T s :

3.3.2 Metodo di Houbolt

Velocit ed accelerazione calcolate con espansione di differenze finite secondo J. C. Houbolt:

21 11 18 9 26

t t t t t t t t t U U U U U

t

221

2 5 4t t t t t t t t t

U U U U U

t

Esempio: Lo stesso utilizzato pero il metodo delle differenze finite. Si utilizzano i tre primi risultati dispostamento del metodo delle differenze finite per i primi tre iterazione del metodo di Houbolt.

Algoritmo in Matlab:


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25/29

uh = [0, 0]';

ui = [0.0000, 0.3920]';

uj = [0.0307, 1.4500]';

for n = 1:N-2

Meq = 2*M/dt^2 + K;

Req = F + (5*M./dt^2)*uj - (4*M./dt^2)*ui + (M./dt^2)*uh;

uk = Meq\Req

uh = ui;

ui = uj;

uj = uk;

end

Risultati applicando lo script sviluppato in Matlab:

per /10 0.28[ ]nt T s :

per 0.8913[ ]CRt t s :

per 10 28[ ]nt T s :

3.3.3 Metodo di Wilson theta

3.3.4 Metodo di Newmark

Rigorosamente implicito ma diventa esplicito per analisi lineare.

3.4 SOVRAPPOSIZIONE MODALE

Confronti con la sovrapposizione modale.

Stabilit e accuratezza dei metodi di integrazione nel dominio del tempo.


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ESERCITAZIONE 2016-05-10: Metodo di Newmark. Modellazione di un telaio 2D sotto forzante sinoidale.


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PRONTUARIO

f : vettore dellefunzionidi spostamenti: [ ( , ) ( , ) ]Tf u x y v x y

u : vettore degli spostamenti nodali: 1 2[ ]T

u u u

[ ]N : matrice delle funzioni diforma

f N u

: vettore delle caratteristiche della deformazione: / , / ,x yu x v y

[ ]B : matrice con le derivatedelle funzioni di forma, dipende delle equazione di congruenza

B u

: vettore delle caratteristiche dellasollecitazione

D

[ ]D : matrice di legame. Contiene le costanti elastiche del materiale.

' T

V

K B D B dV

'K : matrice di rigidezza dogni elemento nel sistema di riferimento locale.

'TK L K L

K : insieme in diagonale delle matrice di rigidezza dogni elemento nel sistema di riferimento globale.

T

sK A K A

sK : matrice di rigidezza di tutta la struttura nel sistema di riferimento globale.

Matlab

CDC: Tabella con le caratteristiche delle sollecitazione ( , ,x yF F M) per ogni elemento.


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BIBLIOGRAFIA

[1] K. J. BATHE, Finite element procedures in engineering analysis, 1982.

[2] J. S. PRZEMIENIECKI, Theory of matrix structural analysis, 1968.[3] L. C. DELL' ACQUA, Scienza delle costruzione Vol. 2, 3.

ALLEGATI

ELEMENTO QUADRILATERO WITH MAXIMAAnalisi dellelemento finito quadrilatero (rettangolare e trapezoidale) col programma open source Maxima.


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meccanica computazionale delle strutture

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