1

- Cinematica - 1

Meccanica

Sistemi meccanici:Il più semplice è il PUNTO MATERIALE: oggetto privo di dimensioni

(dotato di massa)Astrazione utile:� per definire in modo semplice alcune grandezze fondamentali� quando interessa il moto globale e non i dettagli

Successivamente vedremmo:• Insiemi di punti materiali centro di massa• Corpo rigido traslazione• Fluido rotazione

Studio del Moto: vogliamo capire come e perche’ si muovono i corpi per poi poter:• fare predizioni (moto delle comete, flusso di correnti)• fare avvenire un moto in un determinato modo (macchine, satelliti artificiali)

- Cinematica - 2

Cinematica

Studio puramente descrittivo del moto dei corpi, indipendentedalle cause (=> forze) che determinano le variazioni dello stato di moto(=> accelerazioni = variazione di velocità)

Cinematica “scalare”:- studia il moto unidimensionale in funzione del tempo- necessita di quantità “scalari”, esprimibili cioè da un’unica funzione

del tempo

Cinematica “vettoriale”:- studia il moto in due o più dimensioni- necessita di “quantità vettoriali”

2

- Cinematica - 3

-Traiettoria ( astrazione) : luogo dei punti dello spaziooccupati dal punto materiale durante il moto

Punto materiale, sistema di riferimento

-Punto materiale ( astrazione) : oggetto privo di dimensioni(concretamente: oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle delle regioni di spazio in cui si muove o, meglio,rispetto alle dimensioni tipiche entro cui variano apprezzabilmentele quantità che ne determinano il moto ) ma dimensioni molto piu’

grandi delle dimensioni atomiche.

La descrizione del moto presuppone la definizione di un -“sistema di coordinate” che puo’ assumere varie forme

- la traiettoria, un’origine su di essa e un verso di percorrenza- scelta di un punto arbitrario dello spazio detto “origine” e il raggio vettore che individua la posizione del punto materiale rispetto tale origine.

- scelta di un sistema di “assi coordinati” lungo i quali misurarele distanze e/o rispetto ai quali misurare le posizioni angolari

- Cinematica - 4

uz uy uz

Vettori di modulo unitario

uz

uy

uz

3

- Cinematica - 5

- Cinematica - 6

s(t)(“diagramma orario”)

tt0 t1 t2 t3 t4

s0=s(t0)s1

s3

s2

s4

Grafico della legge del moto:

“traiettoria”

0 s(to) s(t1) s(t3) s(t2) s(t4)….. x

Origine

Moto unidimensionale : supponiamo data la traiettoria ( retta, curva...)

Indichiamo con s coordinata lungo la traiettoria

4

- Cinematica - 7

• “Coordinata curvilinea” s(t) :

– spazio percorso al tempo t lungo la “traiettoria”

luogo geometrico dei punti dellospazio occupati dal punto materialedurante il moto

Po

P(t)s(t)

Velocità scalare mediatra due istanti t1 e t2=t1+∆t

s(t)

t

“legge del moto s(t)”

t1 t2

s(t1)

s(t2)

∆t∆s

t

s

t

tsttsm ∆

∆=∆

−∆+= )()(v 11

Coordinata curvilinea e velocità scalare media

- Cinematica - 8

5

- Cinematica - 9

- Cinematica - 10

6

- Cinematica - 11

- Cinematica - 12

t

s(t)

α (t)v(t) = tan(α(t)) = ds/dt

Nota la funzione v(t), la legge del moto s(t) si ottiene perintegrazione:

ds = v(t) dt

dt

tds

t

tsttstv

t

)()()(lim)(

0=

∆−∆+=

→∆

∫+=t

t

dttvtsts0

')'()()( 0

∫∫ =−==∆t

t

s

s

dttvtstsdss00

')'()()( 0

(dimensione : [v] = m/s) :

Velocità scalare istantanea

E’ la derivata rispetto al tempo della coordinata curvilinea s(t):

ds

dt

In un triangolo rettangoloun cateto e’ ugualeall’altro cateto per la tangente dell’angoloopposto al primo

7

- Cinematica - 13

∆s : variazione finita di spazio lungo la traiettoria nel tempo finito ∆t

ds : variazione dello spazio lungo la traiettoria nel tempo infinitesimo dt. E’ anch’esso un infinitesimo

s(t)

t

“legge del moto s(t)”

t1 t2

s(t1)

s(t2)

∆t∆s

dt

tds

t

tsttstv

t

)()()(lim)(

0=

∆−∆+=

→∆

Derivata della variabile dipendente s ( funzione

della variabile t ) rispetto la variabile indipendente t

- Cinematica - 14

Spazio: nota la funzione velocitá é l’area sottesa dalla funzione v(t) nell’intervallo di tempo considerato

t

t

t

v(t)

v(t)

to t1 t2 t3 t4

to

∆ t

t

∫+=t

t

dttvtsts0

')'()()( 0

∑=

∆+=5

00 )()()(

ii ttvtsts

∑=

∆+=2

00 )()()(

ii ttvtsts

to t1 t2

v(t)

∆t

dt

integrale definito

8

- Cinematica - 15

Accelerazione scalare istantanea:

Data la funzione a(t), la velocità v(t) si ottiene per integrazione:

Accelerazione scalare media nell’intervallo iesimo ..:

dv = a(t) dt

t

v

t

tvttvam ∆

∆=∆

−∆+= )()( 11

2

2

0

)()()()()(lim)(

dt

tsd

dt

tds

dt

d

dt

tdv

t

tvttvta

t≡

==∆

−∆+=→∆

∫∫ =−==∆t

t

v

v

dttatvtvdvv00

')'()()( 0

∫+=t

t

dttatvtv0

')'()()( 0

Accelerazione

(dimensione : [a] = m/s2)

- Cinematica - 16

Sia a= dv(t)/dt o accelerazione tangenziale

uniforme a=0 , v=cost

uniformemente accelerato a=cost

moto armonico a(t) = -k s(t)

moto smorzato esponenzialmente a(t)=-γv

moto vario a=a(t)

Moto rettilineo : la traiettoria e’ una retta e si indica con x la coordinata lungo la retta

Moto circolare : la traiettoria e’ una una circonferenza

Moto vario : la traiettoria e’ una curva

Moto piano : la traiettoria giace in un piano

Esempio di moti unidimensionali

9

- Cinematica - 17

Moto rettilineo

La traiettoria piu semplice: un segmento di retta:

Il sistema di riferimento è una retta orientata

direzioneversoorigine O (fissata arbitrariamente)

(dipende dal problema specifico)

Diagramma orario: è il grafico della funzione x(t): come varia x in funzione del tempo. La particella (punto materiale) si muove lungo x.

- Cinematica - 18

Moto rettilineo uniforme

v = cost La velocità non cambia nel tempo

)()()( 000000

ttvxdtvxdttvxtxt

t

t

t−−−−++++====∫∫∫∫++++====∫∫∫∫++++====

Legge oraria del moto rettilineo uniforme

• Lo spazio è funzione lineare del tempo• In tempi uguali sono percorsi spazi uguali• x cresce sempre o decresce sempre• La velocità media coincide con la velocità istantanea

x

t

v

t

Esempio:

10

- Cinematica - 19

Moto rettilineo accelerato

La velocità cambia nel tempo12

12 vvv

tttam −

−=∆∆= accelerazione

media

L’accelerazione istantanea è: 2

2

0

vvlim dt

xd

dt

d

ta

t

==∆∆=

→∆

� a = 0 � v = cost � moto rettilineo uniforme

� a = cost � moto rettilineo uniformemente accelerato

� a non è costante � moto vario� a(t)� a > 0 � la velocità cresce

� a < 0 � la velocità decresce

E’ il segno di v quello che da il verso del moto (e non quello dell’accelerazioe!)

L’accelerazione è legata a la forza (Newton, Dinamica)

Unità di misura: [a]=[v]/[t]=m/s2

- Cinematica - 20

L’accelerazione nel moto rettilineo

dt

da

v= dttad )(v = ∫∫ ==−=∆2

1

2

1

)(vvvv 12

v

v

v

v

dttad

∫+=t

t

dttat0

)(v)(v 0relazione generale

È fondamentale conoscere le condizioni iniziali (v0 e t0)

Nota x(t) � Derivata � v(t) � Derivata � a(t)

Nota a(t) � Integrale � v(t) � Integrale � x(t)

Se conosciamo l’accelerazione in funzione della posizione (a(x)):

vv)(

vv

)(

ddxxadx

d

dt

dx

dx

dv

dt

dvxa

=⇒

=== ( )∫∫ −==2

1

2

1

21

22 vv

2

1vv)(

v

v

x

x

ddxxa

11

- Cinematica - 21

Moto rett. uniformemente accelerato

a = cost L’accelerazione non cambia nel tempo

)(vv)()( 0000

00

ttadtadttavtvt

t

t

t

−+=+=+= ∫∫

202

1000

0000

)()(v

)](v[)(v)(00

ttattx

dtttaxdttxtxt

t

t

t

−+−+=

−++=+= ∫∫

Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato

- Cinematica - 22

Moto rettilineo: esempi

mot

o re

ttili

neo

unif

orm

emen

te a

ccel

erat

o

moto rettilineo accelerato

a=cost a≠cost

12

- Cinematica - 23

esempioEsercizi : metodo .-Disegno/schizzo-sistema di riferimento con dati iniziali -strategia e leggi.

2.01 Un oggetto e’ sparato verso l’alto in direzione verticale con velocita’ di 98 m/s dalla sommita’ di un edifico alto 100 m. Trovarea) la massima altezza raggiunta rispetto il suolo,b) il tempo necessario per raggiungere tale altezza, c) la velocita’ quando raggiunge il suolo, ed) il tempo totale necessario per raggiungere il suolo.

Risultati :x(max)= 590 mt(max)= 10 sv(suolo+)=107.41m/s t(suolo) =-0.96 e 20.06 m/s

Esercizio proposto. Un sasso e’ lanciato verso l’alto dal tetto di un edificio con velocita’ v0=14.7 m/s e tocca terra in un tempo t3= 5s. Calcolare la velocita’ finale, l’altezza dell’edificio e la massima altezza raggiunta. Rispvf=34.3 m/s ; h0 = 50m , hmax= v02/2g=11.02 m/s (tmax=1.5 s)

- Cinematica - 24

esempioEsercizi : metodo .-Disegno/schizzo-sistema di riferimento con dati iniziali -strategia e leggi.

Esempio 1.4 testo

Due punti materiali si muovono sullo stesso asse nello stesso verso con velocita’ v1 e v2 con v2>v1. All’istante t=0 sono a distanza d con il secondo davanti che iniziaa frenare con accelerazione a negativa , a=-a0 . Determinare la relazione tra v1, v2,d ed a affinche’ il primo punto non tamponi il secondo.

( esempio a=-4m/s2, v1=100km/h, v2=50km/h risposta ;dmin= )

13

- Cinematica - 25

Moto verticale di un punto

x

Sperimentalmente è un moto con accelerazione costante

2m/s8.9======== ga (vero in assenza di attrito dell’aria)

202

1000 )()(v)( ttattxtx −+−+=

)(v)(v 00 ttat −+=

Esempio 1 : corpo che cade da un’altezza h con v0 = 0

x

h

gatvhx −−−−================ ,0,0, 000Condizioni iniziali

221)( gthtx −−−−==== gtt =)(v

tempo di caduta (x=0)g

hxt

2)0( ========

velocità al suolo (x=0) ghx 2)0(v ==

- Cinematica - 26

Moto verticale (Esempio 2)Corpo lanciato da terra verso l’alto con velocità iniziale v0

x

v0

gatvx −−−−========>>>>==== ,0,0,0 000Condizioni iniziali

221

0)( gttvtx −−−−==== gtvtv −−−−==== 0)(

altezza massima (v=0)g

hvx2

v)0(

20===

tempo di salita (v=0) ghgvvt /2/)0( 0 ============

� nel istante t(v =0), siamo nell’esempio 1� il tempo di salita è uguale al tempo di caduta� l’altezza raggiunta dipende dal quadrato della velocità� la velocità al suolo è uguale alla velocità di partenza v0

14

- Cinematica - 27

Moto armonico semplice (oscillatore armonico)

Il moto segue la legge oraria

0per faseiniziale fase:

pulsazione:

fase:

di valoremax.ampiezza:

)sin()(

=≡

+≡

+=

t

t

xA

tAtx

ϕω

ϕω

ϕω

MOTO PERIODICO: la funzione seno e’ periodica. Il punto descrive un’oscillazione

-A

0

A

x

Il periodo T dell’oscillazione viene dato da:

periodo T

Ttt

tt

txtxttT

========−−−−⇒⇒⇒⇒

++++++++====++++⇒⇒⇒⇒

====⇒⇒⇒⇒−−−−====

ωππϕωϕω

/2

2

)()(

12

12

1212per definizione di periodo

allora le fasi devono essere

definiamo la frequenza

πωυ2

1 ========T

- Cinematica - 28

La velocità e l’accelerazione nel moto armonico semplice

)sin()( ϕω += tAtx

)cos()(v)(v ϕωω +=⇒= tAtdt

dxt

)(

)sin()(v

)(

2

2

tx

tAtadt

dta

ω

ϕωω

−=

+−=⇒=

Massima al centro, nulla agli estremi,valore massimo: ωA

Massima agli estremi, nulla al centro,valore massimo: ω2Ain oposizione di fase con x

15

- Cinematica - 29

Moto armonico (cont.)

2/

)cos()(

)2/cos()sin()(

1

1

πϕϕϕω

πϕωϕω

−=+=

−+=+=tAtx

tAtAtx

Le soluzioni seno e coseno sono equivalenti se l’argomento e’sfasato di π/2 , infatti

Possiamo usare la funzione seno oppure coseno come legge oraria di un moto armonico , si dovra’ solo considerare la fase opportuna.

- Cinematica - 30

Moto armonico (cont.)

16

- Cinematica - 31

Moto armonico (cont.)

- Cinematica - 32

:

i) Sia dato un moto armonico di frequenza ω data. ii) posizione iniziale nulla con velocità iniziale non nulla:Scegliamo

.0v)0(v

.0)0(

0 >≡===

t

txv0

t

ttx ωω

sinv

)( 0=x t( )

v 0 / ω

− v 0 / ω

ωϕ

/v

.0

0==

Attx ω

ωsin

v)( 0=⇒ ⇒

⇒

⇒ l’oscillazione avviene con ampiezza A = v0 / ωωωω

0vcos)0(v

.0sin)0(

≡=====

ϕωϕ

At

Atx

0v

1cos.0sin

==→=

Aωϕϕ

⇒

0. xv 0

ωω0v−

Moto armonico Condizioni iniziali: esempi di calcolo della fase e dell’ampiezza

)sin()( ϕω += tAtx

0. xv 0

ωω0v−

)sin()( ϕω += tAtx

17

- Cinematica - 33

Moto armonico: proiezione sugli assi ortogonali di unmoto circolare uniforme

la velocità angolare costante del moto circolare

costituisce la pulsazione ω del moto armonico:

ϑ(t)

Py

x

x(t) = Rcos[ ϑ (t)] == R cos[ ω t + ϑ0]

ϑ (t) = ω t + ϑ0

R

Proiezione su assi ortogonalidi un moto circolare uniforme

==dt

td )(ϑω

- Cinematica - 34

Equazione differenziale del moto armonico semplice

Abbiamo visto che2

2

2

)(

)()(

dt

xd

dt

dvta

txta

========

−−−−==== ω

)(22

2

txdt

xd ω−−−−====)cos()(

)sin()(

ϕωϕω

++++====⇔⇔⇔⇔++++====⇔⇔⇔⇔

tAtx

tAtx

Dalle condizioni iniziali si possono calcolare A, ω e φ e viceversa:

1) note A, ω e φ, allora, per t=0

ϕωϕω

ϕ

sin)0(

cos)0(

sin)0(

2−−−−====

========

a

Av

Ax

2) note le condizioniiniziali

x(0) = x0, v(0) = v0a(0) = a0 0

020

00

0

2000

,v

,tan

sin,cosv,sin

x

axA

v

x

AaAAx

−=+==

−===

ωω

ωϕ

ϕωϕωϕ

18

- Cinematica - 35

Moto smorzato esponenzialmente (1)

x

av

L’accelerazione è di segno opposto alla velocità e proporzionale ad essa:

vka −=

Calcoliamo la velocità a partire dall’accelerazione (integrazione)

vv

kdt

da −== dtkd vv −= dtk

d −=v

v

∫ ∫−=v

v

t

dtkd

0 0v

v tk−=0v

vln tket −= 0v)(v

La velocità decresce esponenzialmentenel tempo ed il punto al limite si ferma

v0

- Cinematica - 36

Moto smorzato esponenzialmente (2)

Calcoliamo come varia la velocità in funzione della posizione: )(v x

vvvvv

kdx

d

dt

dx

dx

d

dt

da −====

kdx

d −=vdxkd −=v ∫∫ −=

x

x

v

v

dxkd00

v

)(v)(v 00 xxkx −−=vLa velocità decresce linearmente nello spazio

x

v0

xf

Il punto si ferma (v=0) nella posizione xf(poniamo x0 = 0)

kx 0

f

v=

19

- Cinematica - 37

Moto smorzato esponenzialmente (3)Quanto tempo impiega a fermarsi? (A rigore un tempo INFINITO!!!) ∞→⇒== − tet kt 0v)(v 0

In realtà lo smorzamento esponenziale è molto rapido:

e-kt vale: 1 per t = 01/e = 0.368 t = 1/k1/e2 t = 2/k1/e3 = 0.05 t = 3/k1/e5 = 0.0067 t = 5/k

Chiamando τ = 1/kCOSTANTE DI TEMPODopo t ~ 5 τ la velocitàè quasi trascurabile

Per determinare x(t) integriamo: ∫

−+=t

ktdtextx0

00 v)(

Se x0 = 0

)1(v

][v

)( 00

0 kttkt ek

ek

tx −− −=−=kte−−−−

kte−−−−−−−−1

- Cinematica - 38

Moto smorzato esponenzialmente (4)

)1(v

)( 0 ktek

tx −−=

ktet −= 0v)(v

k

v0

20

- Cinematica - 39

Nota sulle equazioni differenziali (1)

Equazione differenziale: relazione in cui compaiono:1. derivate di una funzione2. eventualmente la funzione stessa e/o termini noti

Risolvere un’equazione differenziale vuol dire trovare le funzioni che soddisfano la relazione

Esempi:

i) costante====

dt

dx quali sono le funzioni con derivata costante?

Le funzioni quadratiche

ctbtx ++++====)( MOTO RETTILINEO UNIFORME

ii) costante2

2

====dt

xd quali sono le funzioni con derivata seconda costante?

ctbtdtx ++++++++==== 2)(MOTO RETTILINEO

UNIFORMEMENTEACCELERATO

Le funzioni lineari

- Cinematica - 40

Nota sulle equazioni differenziali (2)

iii) - 22

2

xdt

xd ω==== quali sono le funzioni la cui derivata secondaè proporzionale all’opposto della funzione stessa?

Le funzioni esponenziali

)cos()(

)sin()(

ϕωϕω

++++====++++====

tAtx

tAtx MOTO ARMONICOSEMPLICE

iv) xkdt

dx ±±±±==== quali sono le funzioni la cui derivata è proporzionalealla funzione stessa o all’opposto?

ktetx ±±±±====)( MOTO SMORZATOESPONENZIALMENTE

Le funzioni senoe coseno