Meccanica Razionale

Invarianza rispetto al sistema di riferimento: tutte le leggi fondamentali della fisica sono le stesse in

tutti i sistemi di riferimento inerziali, lo spazio condivide un tempo comune e la distanza tra due punti è

la stessa per qualsiasi sistema di riferimento si consideri. Un vettore può essere espresso con infinite

basi dello spazio a cui appartiene ma è invariante in quanto tensore.

Un vettore espresso con la base si chiama mentre con la base si

chiama . Perciò, definita la matrice di trasformazione tra le due basi si può dire che e

. Definiamo l'oggetto composto da tre vettori (vettori componenti degli assi ) e tre

vettori (vettori componenti degli assi ) . ha la particolarità di non variare con il cambiamento di

base. Perciò risulta che : sia che sono tensori doppi.

Tensore: ente invariante rispetto al sistema di riferimento in quanto è definito solo dallo spazio

vettoriale al quale appartiene. Si dice di ordine 1 se si tratta di un vettore, di ordine 2(o doppio) se si

tratta di una matrice quadrata.

Tensore di rotazione di una terna: data una terna fissa , , e una terna mobile , , si

definisce il tensore di rotazione della terna mobile rispetto alla terna fissa come la matrice dei coseni

direttori degli angoli tra i versori mobili e quelli fissi

La matrice è ortogonale e unitaria in quanto , ma non è necessariamente simmetrica

Convenzione di Einstein:

Cinematica

Richiami di cinematica del punto: posizione, traiettoria, velocità, accelerazione

Dato un sistema di riferimento fisso in O ( , , ) si definisce la posizione del punto

dove è la componente del vettore nella direzione

La traiettoria del punto è definita come ovvero di e quindi indica la posizione

del punto (delle sue componenti lungo gli assi del sistema di riferimento) in funzione del tempo.

Se c'è correlazione tra le tre componenti allora la traiettoria può essere descritta come

La velocità del punto è la variazione della posizione nell'unità di tempo, ovvero

L'accelerazione del punto è la variazione della velocità nell'unità di tempo, ovvero

Cinematica relativa: velocità angolare terna mobile

Un punto solidale con la terna mobile non varia la sua posizione rispetto ad essa nel tempo dunque

è la matrice velocità angolare ed è definita come

È una matrice antisimmetrica ( ) e ad essa si può associare un vettore detto velocità angolare

della terna mobile rispetto alla terna fissa tale per cui e quindi

Cinematica relativa: formule di Poisson

Data una terna mobile e i suoi versori con velocità angolare

Cinematica relativa: velocità relativa e di trascinamento

La velocità di un punto si può esprimere, secondo il Teorema della composizione delle velocità, come

ovvero la somma della velocità relativa e la velocità di trascinamento

Velocità relativa: , ovvero la velocità del punto rispetto alla terna mobile;

Velocità di trascinamento: ,

ovvero la velocità che avrebbe il punto se fosse solidale alla terna mobile(quindi la velocità della terna

mobile rispetto alla terna fissa)

Cinematica relativa: accelerazione relativa, accelerazione di trascinamento e accelerazione di Coriolis

Accelerazione relativa: indica la variazione di velocità del punto rispetto la terna mobile

(il termine fa parte dell'accelerazione di Coriolis)

Accelerazione di trascinamento: indica la variazione di velocità della terna mobile rispetto a quella fissa

poiché

(il termine fa parte dell'accelerazione di Coriolis, mentre il termine indica

l'accelerazione centripeta: infatti è rivolta verso il punto )

l'Accelerazione di Coriolis: i due termini trovati nel derivare le due tipologie di velocità

rappresentano l'accelerazione . L'accelerazione di Coriolis dipende sia dal movimento

della terna mobile rispetto alla terna fissa sia al movimento del punto

Cinematica relativa: legge di composizione delle accelerazioni

Il teorema di Coriolis afferma che un punto ha un accelerazione pari a

Vincoli: caratterizzazione dei vincoli

Vincolo olonomo: vincolo di natura non differenziale ma solo intera, esprimibile come una funzione

ad esempio un carrello che scorre lungo una direzione fissa

Vincolo anolonomo: vincolo di natura differenziale, quindi esprimibile come

ad esempio la lama dei pattini di un pattinatore sul ghiaccio

Vincolo bilatero: vincolo che agisce da entrambe le parti della superficie di vincolo, quindi espresso

mediante uguaglianza

Vincolo unilatero: vincolo che agisce solo da una parte della superficie di vincolo, quindi esprimibile

mediante disuguaglianza

Vincolo fisso: vincolo tra coordinate spaziali indipendente dal tempo

Vincolo mobile: vincolo tra coordinate spaziali dipendente dal tempo

Vincoli: gradi di libertà e coordinate libere

I gradi di libertà(gdl) di un corpo indicano in quanti modi può un corpo cambiare posizione. Un punto

vincolato da equazioni di vincolo ha coordinate libere, ovvero necessita solamente di

parametri per descrivere univocamente la sua posizione. Coordinate libere = gradi di libertà

Un punto nel piano ha 2 gdl, mentre nello spazio ha 3 gdl. Un corpo rigido nel piano ha 3 gdl(posizione x

e y, rotazione) mentre nello spazio ha 6 gdl (posizione e rotazione rispetto i 3 assi).

Un sistema di punti ha gdl

Vincoli: atto di moto e movimento

Atto di moto: è il campo vettoriale delle velocità di ogni punto del sistema.

Determinare l'atto di moto di un sistema significa determinare la velocità di un punto in funzione della

sua posizione(Approccio Euleriano)

e sono coordinate libere

Movimento: è la funzione temporale delle coordinate libere. Determinare il movimento(moto) significa

trovare la posizione di un punto in funzione del tempo(Approccio Lagrangiano)

Vincoli: alcuni tipi di vincoli

Incastro: toglie 3 gdl e crea due reazioni vincolari e un momento vincolare(es. asta incastrata a terra)

Cerniera: toglie 2 gdl e crea due reazioni vincolari(es. asta che può solo ruotare attorno alla cerniera)

Carrello: toglie 1 gdl creando una reazione vincolare perpendicolare al movimento(es. asta il cui

estremo scorre orizzontalmente mediante carrello)

Manicotto: toglie 2 gdl creando una reazione vincolare perpendicolare al movimento e un momento

vincolare che non permette all'asta di ruotare attorno l'estemo vincolato

Bipendolo: toglie 4 gdl ad un sistema di due aste, una vincolata a cerniera fissa e l'altra vincolata alla

prima con cerniera mobile

Cerniera mobile: vincola due punti di due corpi diversi togliendo gdl ad un sistema di corpi

Corpo rigido: sistema rigido

Un sistema rigido è composto da punti tutti sempre equidistanti e con gli angoli tra i punti invarianti. Se

il sistema ha punti infinitamente vicini si chiama corpo rigido

Corpo rigido: atto di moto rigido(d)

Ogni istante il sistema deve avere l'invarianza delle distanze e degli angoli

Condizione necessaria e sufficiente per descrivere un sistema con un atto di moto rigido è che per ogni

coppia di punti valga la seguente relazione

Dimostrazione

togliendo il 2 si ha poi

Corpo rigido: velocità angolare, formula fondamentale(d)

Dati due punti esiste un'unica velocità angolare(vettore) tale per cui

Dimostrazione

Essendo un corpo rigido e derivando(dividendo poi per 2)

Ciò vuol dire che i due fattori sono perpendicolari, quindi esiste almeno un vettore tale per cui

Prendiamo un altro punto appartenente al corpo rigido, quindi

e con lo stesso procedimento di prima si trova un vettore tale per cui

deve valere anche per la coppia (scegliendo ) perciò

Sottraendo e quindi necessariamente per ogni coppia di punti, e perciò

il vettore velocità angolare è unico

Prendiamo infine un punto del corpo rigido, dunque

Dunque la velocità angolare è indipendente dalla terna di riferimento scelta.

La formula fondamentale di moto rigido è

Corpo rigido: atto di moto traslatorio, rotatorio, rototraslatorio(d)

Atto di moto traslatorio: e quindi tutti i punti del corpo rigido hanno la stessa velocità in

modulo, direzione e verso

Atto di moto rotatorio: con . Se esiste un punto a velocità nulla si

dice che questo punto è il centro di istantanea rotazione e l'atto di moto è rotatorio

Atto di moto rototraslatorio: : e per qualsiasi punto

Corpo rigido: Invariante scalare cinematico, asse di istantanea rotazione e asse di Mozzi(d)

Dalla formula fondamentale se premoltiplichiamo scalarmente per

otteniamo

Essendo per l'ortogonalità tra e si ha che

detto invariante scalare cinematico dell'atto di moto rigido in quanto vale per

qualsiasi punto.

Atto di moto traslatorio: poiché

Atto di moto rotatorio: poiché, sebbene , esiste un punto tale che

La retta ottenuta è quella di tutti punti con velocità nulla: questa retta si chiama Asse di istantanea

rotazione ed è parallela a .

Atto di moto rototraslatorio: e , quindi per qualsiasi punto

Essendo vuol dire che la componente di parallela a non è nulla per la natura del

prodotto scalare(altrimenti sarebbe nullo). Tuttavia la componente di perpendicolare a può

essere nulla e perciò cerchiamo dei punti che soddisfino questa condizione, ovvero .

( è la componente parallela a , è la componente perpendicolare a )

ma in quanto paralleli

Questo comporta che anche

Scelto un altro punto di cui conosciamo la velocità si ha, per l'atto di moto rigido

I punti appartenenti alla retta appena trovata sono quelli a velocità minima in quanto hanno solo

componente parallela alla velocità angolare( )

La retta appena trovata si chiama Asse di Mozzi

Corpo rigido: atto di moto piano, centro di istantanea rotazione

Quando tutte le velocità di un corpo rigido sono contenute in un unico piano fisso (detto piano

direttore), e quindi sono parallele ad esso, si dice che il corpo segue un atto di moto rigido piano. Il

punto in cui si dice centro di istantanea rotazione(CIR), e corrisponde all'intersezione tra

l'asse di istantanea rotazione(che nel caso piano è perpendicolare al piano) e il piano stesso. Esso si

individua con la formula

o mediante il teorema di Chasles

Corpo rigido: teorema di Eulero

Il teorema di Eulero afferma che l'atto di moto rigido piano può essere solo rotatorio e solo traslatorio

Dimostrazione

Se non è traslatorio quindi esiste tale che , quindi rotatorio

Se non è rotatorio quindi traslatorio

Corpo rigido: teorema di Chasles(d)

Il teorema di Chasles afferma che in un atto di moto rigido piano il centro di istantanea rotazione si

trova nell'intersezione tra le rette perpendicolari alle velocità di due punti diversi

Dimostrazione

quindi ovvero e

Essendo l'atto di moto piano si ha che

Le rette passanti per e si incontrano appunto in , quindi il teorema è dimostrato

Corpo rigido: base e rulletta

Base: luogo dei punti centri di istantanea rotazione rispetto alla terna mobile

Rulletta: luogo dei punti centri di istantanea rotazione rispetto alla terna fissa

Corpo rigido: vincolo di puro rotolamento e rotolamento con strisciamento

Puro rotolamento: vincolo tra due corpi che rotolano insieme con un punto di contatto che ha la

caratteristica di avere la stessa velocità in entrambi i corpi. Se un disco rotola senza strisciare su una

guida fissa la velocità del punto di contatto con la guida è nulla, e quel punto è il CIR. Togliendo due

gradi di libertà le reazioni vincolari nel punto di contatto di puro rotolamento sono due: una tangente e

una normale

Rotolamento con strisciamento: toglie solo un grado di libertà e nel punto di contatto la componente

tangente della velocità è diversa mentre quella normale è uguale su entrambi i corpi.

Dinamica

Leggi di Newton

1. Principio di inerzia: un punto isolato che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un

osservatore inerziale(ovvero che si muove di moto rettilineo uniforme) permane nel suo stato. 2. Legge fondamentale della dinamica: un punto di massa che si muove con un'accelerazione

è sottoposto ad una forza risultante, somma di tutte le forze che agiscono su di esso, pari a

3. Principio di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde una reazione, quindi se un punto

isolato viene sottoposto ad una forza dovuta ad un altro punto isolato , questo punto

sarà sottoposto ad una forza a causa di .

Determinismo newtoniano

Condizione necessaria e sufficiente per determinare la legge oraria di un punto è conoscere

Alcuni tipi di forze(attive)

Forza peso: forza dovuta all'interazione gravitazionale

con versore uscente dal campo gravitazionale

Interazione tra due punti: se due corpi hanno dimensioni molto ridotte rispetto alla dimensione del

moto, si possono considerare punti formi(es. pianeti del sistema solare)

Forza elastica: forza dovuta al cambiamento di lunghezza di una molla, sempre contraria

all'allungamento

con costante elastica(rigidità della molla) e allungamento della molla. Se la lunghezza

della molla a riposo è nulla allora l'allungamento della molla corrisponde alla sua lunghezza.

Forza di attrito viscoso: forza dovuta all'interazione tra un oggetto il mezzo il cui esso si muove

Mezzi molto viscosi hanno e la forza viene detta resistenza viscosa

Mezzi poco viscosi hanno e la forza viene detta resistenza aerodinamica

Reazioni vincolari(reattive)

Le reazioni vincolari sono forze dovute alla presenza di vincoli. Per vincoli bilateri il verso è arbitrario

mentre per vincoli unilateri il verso è sempre concorde con le possibilità di movimento(es. appoggio su

guida orizzontale ha un vincolo sempre verso l'alto e non negativo). Il numero di reazioni vincolari è

pari al numero di gradi di libertà che toglie un vincolo.

Attrito

Un vincolo di appoggio su guida orizzontale liscia presenta solo una reazione vincolare verticale. Un

vincolo di appoggio su guida orizzontale scabra presenta due reazioni vincolari: quella verticale e quella

orizzontale(sempre opposta al moto). Si dice attrito statico se non c'è moto relativo tra i due corpi

vincolati mentre si dice attrito dinamico se avviene un moto relativo tra i corpi.

Attrito statico: persiste fino a che le forze reattive agenti nella direzione tangente sono minori di quelle

reattive in direzione verticale, moltiplicate per un coefficiente

Attrito dinamico: si ha quando le forze reattive tangenti sono uguali a quelle verticali moltiplicate per

un coefficiente

Centro di massa e baricentro

Centro di massa: punto nel quale si possono concentrare tutte le masse e tutte le forze agenti su un

sistema ottenendo lo stesso moto. Preso un punto fisso e punto del sistema di punti, il centro di

massa si trova

Baricentro: è l'equivalente del centro di massa in un corpo continuo, definito come

con densità puntuale del corpo. In caso di corpo omogeneo

Media dei baricentri:

Il baricentro si trova sempre su un'asse di simmetria, se presente. Nel caso di più assi di simmetria, il

baricentro è nell'intersezione tra essi.

Quantità di moto

La quantità di moto di un punto è pari al prodotto scalare della massa per la velocità del corpo

Dimostrazione per corpo rigido omogeneo

Tuttavia

Quindi

Momento della quantità di moto

Il momento della quantità di moto di punto rispetto ad un punto O appartenente ad una retta

perpendicolare al piano di e è pari al prodotto vettoriale tra la quantità di moto di e il vettore

congiungente e

Per corpo rigido

Dimostrazione per corpo rigido omogeneo

I tre integrali si riscrivono come

Nel caso in cui è perpendicolare al piano di moto

Se il punto H fosse il CIR allora la formula sarebbe

in quanto la velocità di H è nulla.

Tensore di inerzia

Dati punti materiali si definisce tensore o momento di inerzia rispetto ad un asse la quantità

dove è l' -esima massa e è la distanza del -esimo punti dall'asse . Per corpo rigido invece

Teorema di Huygens

Dove è il momento d'inerzia riferito ad un asse passante per il baricentro mentre è la distanza tra

l'asse e l'asse

Sistemi di punti: forze esterne e forze interne

In un sistema di punti agiscono forze dovute all'interazione tra i punti interni e forze dovute a cause

esterne. La forza interna agente su un singolo punto è la sommatoria di tutte le forze interagenti tra

quel punto e gli altri punti.

Sistemi di punti: Risultante e momento risultante

Dato un sistema di punti per il primo principio della dinamica

Si definisce risultante delle forze interne

La risultante interna è nulla poiché per il terzo principio della dinamica.

Perciò per un sistema di punti la risultante è .

L'equazione del momento risultante per un sistema di punti è

poiché agiscono lungo la stessa direzione e quindi

Questo significa(per il terzo principio della dinamica) che

E perciò la risultante dei momenti risulta essere

Sistemi di punti: Sistema cardinale della dinamica

Dimostrazione

Sistemi di punti: Sistema cardinale per la statica

Condizione necessaria all'equilibrio è che e

Corpo rigido: equazioni cardinali della dinamica

Questo sistema, insieme alle condizioni iniziali, fornisce una condizione necessaria e sufficiente a

determinare il moto del corpo rigido univocamente.

Dimostrazione

Dal primo principio della dinamica

Per la seconda equazione si ha

Corpo rigido: Equazioni della statica

Condizione necessaria per l'equilibrio di un corpo rigido è che e

Energia cinetica per sistema di punti

Energia cinetica per il corpo rigido(Teorema di Koenig)

Dimostrazione

Avendo che

Il secondo integrale diventa

Il terzo integrale invece si annulla poichè

che nel caso 2D ( )diventa

Lavoro e Potenza

Si definisce lavoro mentre la potenza è definita come

Il lavoro eseguito su un percorso AB è quindi

Potenza delle forze interne

La potenza delle forze interne ad un sistema di punti è

poiché di solito, sebbene , si ha che

Per il corpo rigido invece il discorso è diverso in quanto

ma per atto di moto rigido

La potenza delle forze interne di un corpo rigido è nulla in quanto se

Potenza delle reazioni vincolari

Per un sistema di punti

Per corpo rigido

Potenza delle reazioni vincolari per vincoli ideali

per vincoli ideali, fissi e ideali, lisci fissi e bilateri, interni e lisci.

Teorema dell'energia cinetica per corpo rigido

Dimostrazione

Sollecitazione conservativa e potenziale

Se una forza è legata ad potenziale tale che allora questa forza viene detta sollecitazione

conservativa. Il potenziale è e condizione necessaria e sufficiente alla conservatività di una

forza è che . Il lavoro di una sollecitazione conservativa è quindi

e quindi il lavoro non dipende dal percorso.

Alcune forze conservative

1. Forza peso:

2. Forza elastica:

con s = allungamento molla

3. Forza elastica spirale:

Conservazione dell'energia totale meccanica

Per un sistema soggetto a vincoli ideali e fissi e a forze conservative(attrattive) si ha che l'energia

meccanica si conserva.

Dimostrazione

per la conservatività delle forze agenti.

Per il teorema dell'energia cinetica

Forze applicate al corpo rigido: trasformazioni invariantive

1. Comparazione: trasformazione invariantiva che consiste nel cambiare una forza con un sistema

di forze la quale risultante sia proprio la forza di partenza e viceversa.

2. Traslazione: trasformazione invariantiva che consiste nel traslare una forza lungo la direzione in

cui agisce. Questa operazione non cambia l'equilibrio del corpo.

Forze applicate al corpo rigido: sollecitazioni equipollenti

Due sistemi si dicono equipollenti su differiscono solo per operazioni invariantive.

Dati due sistemi e si ha equipollenza se e

Forze applicate al corpo rigido: invariante scalare dinamico

Prendiamo due punti e

Si dice invariante scalare dinamico la grandezza

1. Sistema a sollecitazioni nulle:

2. Sistema soggetto ad una coppia:

3. Sistema soggetto ad una forza:

Cerchiamo il punto O in cui la risultante dei momenti angolari è nulla:

L'ultima espressione è quella della retta sulla quale si trova il punto O.

4.

Cerchiamo il punto O in cui la risultante dei momenti angolari è minimo:

Tuttavia in quanto cerco il punto in cui la componente perpendicolare è nulla e quella

rimanente è quella parallela alla risultante(comportando l'annullamento del prodotto

Il punto cercato si trova partendo da e spostandosi di un vettore

Meccanica Analitica

Spostamento e velocità virtuali:

Lo spostamento virtuale è l'insieme degli spostamenti possibili cosi come la velocità virtuale indica

l'insieme di possibili velocità che un punto può avere; tra le velocità virtuali di sistemi soggetti a vincoli

fissi vi è anche quella effettiva. Nel caso di vincoli mobili si considerano i vincoli congelati e si ha che la

velocità effettiva non è mai contenuta tra quelle virtuali.

Relazione simbolica pura della dinamica

Questa formula nasce dal fatto che il lavoro delle reazioni vincolari non è mai negativo per ogni

spostamento virtuale.

Equazione simbolica pura della dinamica

La relazione nasce dalla relazione simbolica pura per vincoli ideali e bilaterali:

Sistemi onolomi

Prendiamo in considerazione un sistema con punti e gradi di vincolo( gradi di libertà).

Lo spostamento effettivo è

Se consideriamo i vincoli onolomi e fissi si ha che

L'equazione simbolica diventa

Avendo che se e solo se si arriva ad avere equazioni pure di moto

Componente generalizzata della sollecitazione attiva

Il significato fisico di questa grandezza è legato al lavoro effettuato dalle forze attive rispetto alle

coordinate libere. La parte

indica invece il lavoro compiuto dalle forze di massa.

Equazioni di Lagrange

Dato un sistema di gradi di libertà si possono ottenere equazioni pure di moto con le equazioni:

Dimostrazione

Sostituendo nell'espressione della componente generalizzata delle forze d'inerzia si ha

Per l'equazione simbolica pura si ha che e si trova l'equazione di Lagrange.

Equazioni di Lagrange per sistemi conservativi

Definiamo la Lagrangiana tale per cui per un sistema soggetto solo a forze conservative.

Si ottengono un numero di equazioni pure di moto pari a quello delle coordinate libere.

Dimostrazione

Consideriamo le forze conservative:

L'equazione di Lagrange quindi si può scrivere come

Principio dei Lavori virtuali

Dato un sistema con vincoli ideali si ha equilibrio se e solo se vale la seguente relazione

Stazionarietà del potenziale e Teorema di Dirichlet

Condizione necessaria e sufficiente all'equilibrio di un sistema con vincoli olonomi, ideali e bilaterali è

che il potenziale sia stazionario.

Meccanica orbitale

Moto centrale

Si definisce moto centrale il moto di un corpo le cui dimensioni sono molto inferiori alle dimensioni del

corpo. Questo corpo è sottoposto ad una forza centrale, ovvero che punta sempre in un punto. Durante

questo moto il momento angolare si conserva poiché la forza è parallela al vettore tra i due punti.

Costante delle aree e velocità areolare

Si definisce velocità areolare la variazione dell'area spazzata da un corpo durante un moto centrale:

Dimostrazione

Definiamo O il centro del moto e P il corpo rappresentato da un punto in quanto sottoposto a moto

centrale. Consideriamo che il punto si muova su un piano con una certa velocità:

L'infinitesimo di area spazzata(ovvero l'area composta dall'arco della traiettoria e i due segmenti che

uniscono in punto centrale all'inizio della traiettoria e alla fine) vale:

Formula di Binet

La formula di Binet dice che un corpo soggetto a moto centrale è sottoposto ad un'accelerazione

centripeta pari a

Dimostrazione

Essendoci una costante nel rapporto tra e un moto centrale è identificabile con una sola coordinata

Leggi di Keplero

1. La traiettoria dei pianeti è un ellisse e il sole è uno dei due fuochi

2. La velocità areolare è costante e quindi in moto è di tipo centrale

3. Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore è costante

Legge di attrazione universale

In un sistema di due corpi isolati P e S la forza dovuta all'interazione gravitazionale è

dove è la costante gravitazionale e è la distanza tra i due corpi.

Dimostrazione

Prendiamo un sistema di riferimento centrato nell'ellisse(di semiassi e ) descritta dal corpo P e

mettiamo in uno dei due fuochi il corpo S.

Ricordando che

dove è il periodo di rivoluzione.

L'accelerazione dovuta all'interazione tra i due corpi si può quindi scrivere

Problema dei due corpi

Se due corpi interagiscono mediante forze attrattive e la massa di uno dei due è molto più grande

dell'altra si può ridurre il problema dei due corpi a quello di un moto centrale

Dimostrazione

Prendiamo due corpi sottoposti entrambi ad una forza attrattiva

Il baricentro del sistema dunque segue una traiettoria rettilinea uniforme. Facendo la differenza tra le

due equazioni di partenza, dividendole prima per le rispettive masse, si ottiene

La legge di Newton per il sistema è

Se e il problema si riduce ad un problema di moto centrale del corpo 2

Studio qualitativo di un orbita

Prendiamo come esempio la Terra e un oggetto che compie un orbita attorno ad essa. L'attrazione

gravitazionale è data da

dove è la costante di attrazione gravitazionale(prima era ), raggio della terra e distanza tra

superficie terrestre e oggetto orbitante.

Approssimando in quanto si può racchiudere

avendo cosi la ben nota legge

. La forza di attrazione gravitazionale è conservativa poiché(considerando due punti P e S)

L'energia cinetica del punto P

L'energia meccanica totale si conserva

Si trova quindi un'equazione differenziale rispetto al raggio dell'orbita

Definiamo potenziale efficacie

e di conseguenza l'energia potenziale efficacie

Perciò se

A seconda dell'energia meccanica (rappresentabile come una retta

orizzontale) l'orbita avrà un semiasse minore(prima intersezione di

con ) e un semiasse maggiore(seconda intersezione).

Nel caso in cui sia la minima necessaria l'orbita sarà una

circonferenza (a causa dell'unica intersezione nel punto di minimo)

Stabilità

Definizione secondo Liapounov

La soluzione di un'equazione differenziale sottoposta a determinate condizioni iniziali è stabile se

dato tale che se . In altre parole

è stabile se sta nell'intorno di per ogni .

Stabilità della soluzione di un sistema lineare autonomo

Un sistema lineare autonomo è un sistema nel quale non c'è dipendenza esplicita dal tempo e dalle

coordinate, ad esempio

Il primo termine dipende dalle condizioni iniziali mentre il secondo da . è autovalore di A

Prendiamo una soluzione del sistema tenendo conto delle condizioni iniziali

Si ha quindi che

e poiché la stabilità è dovuta a

se

ovvero

Per studiare la stabilità occorre studiare l'andamento di

Il primo termine comporta un esponenziale mentre il secondo ad una sinusoide. Abbiamo quindi 3 casi

o il contenuto del modulo tende a zero per . Asintotica stabilità

o il contenuto del modulo tende a per . Instabilità

o e almeno un il contenuto del modulo rimane limitato in un

intorno ben definito. Stabilità semplice

Primo metodo di Liapounov

Questo metodo serve per studiare la stabilità di un sistema. Esso sfrutta la linearizzazione del problema

Riscrivendo l'equazione vettoriale per ogni stato e moltiplicando sopra e sotto per si ha

Sfruttando lo sviluppo di Taylor si può scrivere

Quindi la differenza tra le due soluzioni diventa

Definiamo quindi la matrice Jacobiana tale che

considerata costante per sistemi autonomi.

Nasce quindi un sistema differenziale e per la stabilità si studia il polinomio caratteristico

della matrice verificando il segno degli autovalori. può risultare quindi instabile o

asintoticamente stabile per il sistema non lineare di partenza, tuttavia nulla si può dire sulla stabilità nel

caso in cui esista un autovalore a parte reale nulla.

Stabilità dell'equilibrio

Nella posizione di equilibrio una generica coordinata libera presenta . Definiamo piano delle fasi

un piano con ascissa la coordinata e come ascissa la sua derivata . Se parto da un punto del piano

delimitato da un intorno di e rimane limitata in un intorno di fino a raggiungere un punto di

equilibrio(quindi sull'asse delle ascisse) si dice che l'equilibrio è stabile.

Prendiamo per esempio un pendolo: il grafico presenta delle oscillazioni con punti di minimo

corrispondenti ai punti d'equilibrio sul piano delle fasi ; quest'ultimo presenta delle orbite

simmetriche a forma d'ellisse che non intersecano le une dalle altre. Tuttavia aumentare l'energia

meccanica dell'intero sistema significa aumentare l'ampiezza di queste orbite. Se l'energia meccanica e

pari a quella potenziale mentre quella cinetica è nulla il piano delle fasi presenta delle ellissi che

intersecano tra loro in un solo punto per coppia di orbite: questo punto è sull'asse delle ascisse e quindi

è un punto di equilibrio, tuttavia è instabile. Se l'energia meccanica aumenta ancora il pendolo descrive

delle orbite aperte senza tendere a posizioni di equilibrio in maniera esplicita.

Stabilità dell'equilibrio di un sistema olonomo conservativo e Lagrangiana ridotta

Per un sistema olonomo conservativo si possono fare le seguenti considerazioni

o Teorema di Dirichlet: se

valutata in allora quest'ultima è una posizione d'equilibrio

Condizione necessaria alla stabilità in è che sia punto di massimo

o Teorema di Liapounov: Condizione necessaria per l'instabilità è che il potenziale non sia

massimo nella condizione d'equilibrio

Per poter provare le proposizioni sopra espresse bisogna considerare l'energia cinetica nella forma

dove è il vettore delle coordinate libere e è la matrice di massa. Considerando che

poiché

per l'equilibrio.

Il potenziale invece diventa(con Taylor al secondo ordine)

Consideriamo quindi la Lagrangiana ridotta

L'equazione di Lagrange diventa

Definendo il primo termine come e il secondo come otteniamo, in forma vettoriale, il sistema di

Lagrange i cui autovalori ci danno la stabilità del sistema a seconda del segno delle parti

reali. è una matrice definita positiva(massa) mentre è simmetrica(per derivate incrociate).

Piccole oscillazioni intorno alla configurazione di equilibrio stabile

Dato il sistema con autovalori se l'equilibrio è stabile significa che . Il sistema si

può riscrivere come dove e nella condizione di equilibrio diventa

La soluzione è di tipo periodico con pulsazione e periodo delle piccole oscillazioni .

Principi Variazionali

Funzionale

Il funzionale di un dominio di funzioni è un applicazione che associa ad ogni funzione

un valore reale. Non è una funzione composta in quanto il valore del funzionale non dipende da

ma dalla funzione . Un esempio di funzionale è l'integrale di una funzione, rappresentante l'area

sottesa alla funzione stessa.

Funzione estremante di un funzionale e variazione

I funzionali sono utilizzati nell'ottimizzazione di certe quantità e perciò è solito cercare una funzione

che minimizzi(ad esempio) il funzionale . In questo caso quindi è detta funzione estremante del

funzionale se con .

Si ha quindi che dove è detta variazione mentre è la funzione di controllo.

Funzionali di tipo integrale con estremi fissi

Un funzionale di tipo integrale è un funzionale di dominio

dove sono dette funzioni ammissibili.

è la forma del funzionale(ricordando che ).

Questo funzionale perciò ammette solo funzioni i cui valori agli estremi siano tutti uguali a

. Ciò comporta una variazione nulla negli estremi in quanto

e .

Equazioni di Eulero-Lagrange

La funzione è estremante del funzionale se e solo se è verificata l'equazione di Eulero - Lagrange

Dimostrazione

Prendiamo la funzione variazione riscrivendola come dove la funzione

è caratterizzata da . Si riduce quindi lo studio rispetto al solo parametro il quale fa

parte di un intorno di centrato in . La relazione dell'estremante diventa dunque

La funzione ha minimo in in quanto . In questo caso

valutata in vale esattamente

Sviluppando con Taylor al primo ordine centrato in si ha che

Perciò si ha che la variazione di rispetto al punto di minimo è

Integrando per parti si ottiene

Per il valore che assume nei punti estremi si ha che

e perciò

L'ultima espressione è veritiera per ogni se e solo se è verificata l'equazione di Eulero - Lagrange

Angoli di Eulero

o Prima rotazione: angolo di precessione

o Seconda rotazione: angolo di nutazione

o Terza rotazione: angolo di rotazione propria

Asse dei nodi: intersezione tra il piano equatoriale fisso e il piano equatoriale mobile. La prima

rotazione porta l'asse ad allinearsi all'asse dei nodi , la seconda porta l'asse normale al piano

equatoriale fisso nella posizione dell'asse equatoriale mobile( in ) e la terza fa ruotare il piano

equatoriale mobile.

Corpo rigido nello spazio

Definendo la terna fissa , la terna mobile solidale al corpo rigido si ha che la velocità

angolare del corpo rigido è

Matrice d'inerzia

Definendo la terna solidale al corpo rigido centrata in si definisce matrice d'inerzia la matrice

simmetrica una matrice che possiede rispettivamente sulla diagonale e non elementi del tipo

per ogni combinazione dei simboli . (importante ricordare che va inteso come )

Per trovare i momenti d'inerzia( , , ) e i prodotti d'inerzia( ) centrati in un punto

diverso da basta scrivere

Angoli di Cardano

o Prima rotazione: angolo di azimuth

o Seconda rotazione: angolo di elevazione

o Terza rotazione: angolo di rollio

Equazioni di Eulero

sono i momenti d'inerzia di un corpo rigido rispetto ad una terna principale d'inerzia

centrata in un punto appartenente al corpo rigido stesso. sono le componenti della velocità

angolare del corpo rispetto alla terna principale d'inerzia e sono la somma dei

momenti attivi e reattivi rispetto al punto agenti sul corpo stesso.

Dimostrazione

Per dimostrare le equazioni di eulero è sufficiente partire dall'espressione del momento della quantità

di moto rispetto al punto .

Eguagliando con i momenti attivi e reattivi nelle tre direzioni, si può scomporre l'espressione nelle tre

equazioni di Eulero(riferite appunto alle 3 direzioni della terna)

Energia cinetica del corpo rigido nello spazio

Dimostrazione