mechanika kwantowa

Mechanika Kwantowa

WYKŁAD 8

Jednowymiarowa studnia i bariera potencjału

III. Proste zagadnienia kwantowe

Plan wykładu

• cząstka w studni potencjału o nieskończonych ściankach,

• cząstka w studni potencjału o skończonych ściankach,

• bariera potencjału,• współczynnik przejścia i odbicia,• efekt tunelowy.

Studnia potencjału o nieskończonych ściankach

Rozważmy cząstkę bezspinową o masie m znajdującą się w studni potencjału

o nieskończonych ścianach

ax

axxV

,0

,


Własności funkcji falowej związanej z cząstką:•energia cząstki jest skończona, więc w studni mogą występować jedynie stany związane,•w obszarze musi spełniać stacjonarne równanie Schrödingera,• w obszarze musi znikać (siła działająca na cząstkę w pobliżu bariery staje się nieskończona),•powinna być ciągła,•musi być unormowana.

ax

ax


Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera

gdzie:

Warunki brzegowe:

022

2

xdxxd

RmE2

2

0 aa


Wyniki

22

22

8n

maEn

enieparzyst,2

cos1

nxan

axP

n

parzyste,2

sin1

nxan

axN

n

0n


Wyniki

Funkcje własne i gęstości prawdopodobieństwa dla studni potencjału o nieskończonej głębokości

Studnia potencjału o skończonych ściankach

Rozważmy cząstkę bezspinową o masie m znajdującą się w studni potencjału

o skończonych ścianach

axV

axxV

,

,0

0

00 V


Własności funkcji falowej związanej z cząstką:

•w przypadku energii cząstki w studni będą występować stany związane,•w przypadku energii cząstki będziemy mieć stany rozproszeniowe.

0max VE

0E



Stany związane (E < Vmax=0)

gdzie:

axxkdxxd ,022

2

202

EVm

k

axxdxxd ,022

2

2

2

Em


Warunki ciągłości:

dx

addxad

aa IIIIII

,

dxad

dxad

aa IIIIIIIIII

,


Wyniki

Poziomy energetyczne wyznaczamy z warunków:

- rozwiązania parzyste:

- rozwiązania nieparzyste:

akaka tg

akaka ctg

202

EVm

k

2

2

Em


Przechodząc do nowych zmiennych:

- rozwiązania parzyste:

- rozwiązania nieparzyste:

2

0222 2tg

aVm

,ka a

2

0222 2ctg

aVm


Graficzna metoda rozwiązania

Linie ciągłe – rozw. parzyste, linie przerywane – rozw. nieparzyste


Wyniki

Rozwiązania parzyste:

Rozwiązania nieparzyste:

xaPIII

PII

xaPI

P

ekaAx

kxAx

ekaAx

x

cos

cos

cos

1

aA

xaNIII

NII

xaNI

N

ekaAx

kxAx

ekaAx

x

sin

sin

sin



Stany rozproszeniowe (E > Vmax)

gdzie:

axxdxxd ,022

2

202

EVm

axxdxxd ,022

2

2

2mE


Rozwiązanie ogólne

Znaczenie odpowiednich członów przy stałych:A – cząstki nadbiegające z lewej strony,B – cząstki odbite,F – cząstki wychodzące ze studni,G – cząstki nadbiegające z prawej strony (BRAK!!!)

axGeFex

axDeCex

axBeAex

xxixi

III

xixiII

xixiI

,

,

,


Wprowadzamy wielkości:- współczynnik odbicia R (Reflection):

- współczynnik przejścia T (Transmission):

Warunek zachowania liczby cząstek:

2

2

A

BR

2

2

A

FT

1TR


Warunki ciągłości:

dx

addxad

aa IIIIII

,

dxad

dxad

aa IIIIIIIIII

,


Wyniki

iae

FC 1

2

iae

FD 1

2

aia

AeF

ai

2sin2

2cos

2

aia

ai

B

2sin2

2cos

2sin2


Wyniki- współczynnik przejścia:

- współczynnik odbicia:

aT

2sin41

1

1

22

a

aR

2sin41

1

2sin41

22

22


Wyniki

- współczynnik przejścia w postaci równoważnej:

02

0

20 2

2sin

41

1

VEma

VEEV

T

Bariera potencjału o skończonych ściankach

Wyniki – bariera potencjału- współczynnik przejścia (E<V0)

- współczynnik przejścia (E>V0)

02

0

20 2

2sin

41

1

VEma

VEEV

T

EVm

aEVE

VT

02

0

20 2

2sinh

41

1

Studnia i bariera potencjału

Współczynniki przejścia i odbicia(m=1, a=1, V0=8, ħ=1)

Studnia potencjału Bariera potencjału


Paczka falowa i studnia potencjałuL. I. Schiff, Mechanika Kwantowa, PWN, Warszawa 1977.

Energia paczki równa połowie głębokości studni Energia paczki równa głębokości studni

Bariera potencjału

Paczka falowa i bariera potencjałuL. I. Schiff, Mechanika Kwantowa, PWN, Warszawa 1977.

Energia paczki równa połowie wysokości bariery Energia paczki równa wysokości bariery

mechanika kwantowa

Documents