mechanika pŁynÓw

MECHANIKA PŁYNÓW

dr inż. Paweł Zawadzki

www.up.poznan.pl/kiwis/dydaktyka/mechanikaplynow.html

Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu

Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska

KATEDRA INŻYNIERII WODNEJ I SANITARNEJ

http://www.up.poznan.pl/kiwis/dydaktyka/mechanikaplynow.html



Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika

Rozważmy wypływ gazu ze zbiornika, w którym panuje wysokie ciśnienie, do obszaru o niższym ciśnieniu.

v2

p1, T1

Zakładamy, że jest to ustalony wypływ adiabatyczny gazu doskonałego a więc bez wymiany ciepła (ec=0), pracy mechanicznej (lt=0) a przy małej gęstości gazu mogą być pominięte człony wyrażające energię potencjalną (g·z=0). Przy tych założeniach równanie bilansu energii sprowadza się do postaci:

2

v

2

v 22

2

21

1 ii

tc lezgizgi

1

21

12

22

2 2

v

2

v


Różnicę entalpii i2 – i1 można zastąpić

wyrażeniem ,

za ciepło właściwe cp podstawiamy

zależność oraz , dzięki czemu:

Jest to równanie Bernoulliego dla gazów idealnych i przemian adiabatycznych wzdłuż strumienia.

) - ·( = - 12p12 TTcii

Rcp 1

TRp

2

v

12

v

1

22

2

221

1

1

pp

v2

p1, T1


Parametry nieruchomego gazu w zbiorniku przy v = 0, nazywamy parametrami spiętrzenia. W szczególności temperatura i ciśnienie odpowiadające temu stanowi nazywane są temperaturą spiętrzenia i ciśnieniem spiętrzenia i oznaczamy symbolami To i po.

v1

p0, T0

2

v

11

21

1

1

0

0

pp

Jeżeli parametry gazu na zewnątrz zbiornika oznaczamy indeksem”1”, to równanie przybiera postać:


Prędkość wypływu gazu ze zbiornika możemy wyznaczyć:

v1

p0, T0

Korzystając z równania izentropy:

1

11 1

2v

pp

o

o

1

1

1

11 1

121

12v

o

oo

o

o

o

o

o

p

pp

p

pp

0

1

0

1

1

1

0

0

p

pppconst

p


Otrzymamy wzór St. Venanta-Wantzela:

v1

p0, T0

1

11 1

12v

oo

o

p

pp


Wydatek masowy wypływu gazu przez otwór obliczamy z zależności:v1

p0, T0

Podstawiając w powyższym równaniu zależność na prędkość gazu v1 otrzymujemy:

11

1

0

10111 vvv A

p

pAAM

1

0

1

2

0

1001 1

2p

p

p

ppAM


v1

p0, T0

Z analizy wzoru St. Venanta-Wantzela wynika, że maksymalna prędkość gazu vmax teoretycznie może wystąpić przy jego rozprężeniu do próżni absolutnej, gdzie i = 0 a więc także p1 = 0:

00

0max 1

2

1

2v TR

p

1

11 1

12v

oo

o

p

pp


Przykład 1. Jak zmienia się masowe natężenie masowego natężenia wypływu gazu w funkcji ilorazu ciśnień p1/p0 = x dla stałych parametrów gazu w zbiorniku?Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze

= 1,4 (wykładnik adiabaty)p0 = 2 MPa

12

001 12 xxpAM


Ze spadkiem ciśnienia p1, wielkość M(x) początkowo rośnie, a po osiągnięciu wartości maksymalnej Mmax dla x = β, maleje do zera.

Badania doświadczalne wskazują, że dla p1/p0 < β masowe natężenie nie zmienia się i jest równe wartości maksymalnej. Przedstawiona rozbieżność nazywana jest „paradoksem Saint Venanta-Wantzela”.


Wielkość β można wyznaczyć z warunku na ekstremum funkcji M(x):

czyli

stąd ekstremum funkcji występuje gdy x = p1/p0 = β:

0

122

12

12

1/2

00

12

00

1

xxp

xxp

Adx

dM

012 12

xx

1

1

2


5283,04,2

2

14,1

2

1

2 4,0

4,1

14,1

4,1

1

Przykład 2. Określ wartość x = p1/p0 = β przy, której obserwowany maksymalny wypływ powietrza ze zbiornika. Dla powietrza = 1,4


Jeśli do równania

za iloraz p0/p1 podstawimy wielkość β otrzymamy:

Wstawiając prędkość maksymalną wprost do wzoru na masowe natężenie wypływu otrzymamy:

0

0max 1

2v

p

00

1

1

1max 1

2

1

2

pAM

1

11 1

12v

oo

o

p

pp


Kryterium do obliczania prędkości i wydatku przy wypływie gazu przez otwory i dysze zbieżne stanowi stosunek ciśnienia zewnętrznego p1 do ciśnienia w zbiorniku p0 a mianowicie:gdy p1/p0 > β, to prędkość i wydatek wyliczamy z wzorów

gdy p1/p0 < β, to prędkość i wydatek wyliczamy z wzorów

1

0

1

2

0

1

0

01 1

2p

p

p

ppAM

0

0max 1

2v

p

00

1

1

1max 1

2

1

2

pAM

1

11 1

12v

oo

o

p

pp


Przykład 3. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć prędkość wypływu v1, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku.Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze

= = 1,4 (wykładnik adiabaty)p0 = 0,2 MPa T0 = 300 Kp1 = pa = 0,1013 MPa

dla masowe natężenie przepływu nie zmienia się i jest równe wartości maksymalnej.

v1

p0, T0

5065,02,0

1013,0

0

1 p

p5283,0

114

2

1

2 14,1

4,11

0

1

p

p


Przykład 3.

m/s31730028714,14,12

v

sm

kg1

smkg

KKkg

J]v[,

12

12

v

1

2

2

100

01

RT

p

00

0 RTp


Przykład 4. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć temperaturę wypływającego strumienia, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku. Dane jak w przykładzie 3.

- z rów. bilansu energii dla dwóch przekrojów

otrzymujemy zależność na temperaturę wypływającego strumienia gazu

1

2

v

11

21

10

RTRT

RRTRT

1

2

v21

01

1

2

v1 21

01

RTT


Przykład 4.

K

s

m

J

KkgK][,

1

2

v12

2

1

21

01 TR

TT

K2504,1

14,1

2

317

287

1300

2

1

T


Przykład 5. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć prędkość wypływu v1, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku.Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze

= = 1,4 (wykładnik adiabaty)p0 = 0,15 MPa T0 = 300 Kp1 = pa = 0,1013 MPa

dla masowe natężenie przepływu obliczamy z równania Saint Venanta-Wantzela.

v1

p0, T0

675,015,0

1013,0

0

1 pp

5283,0114

2

1

2 14,1

4,11

0

1

pp


Przykład 5.

m/s9,252675,0130028714,14,12

v

sm

kg1

smkg

PaPa

-1KKkg

J]v[

4,1

14,1

1

2

2

1

00

0 RTp

1

10

1

11 1

121

12v

ooo

o

p

pTR

p

pp

675,00

1 p

p


Przykład 6. Obliczyć gęstość gazu w zbiorniku Dane jak w przykładzie 5.

00

0 RTp

322

2

00

0 mkg

mkg

m1

mNkg

mN

KKkgmNmN

, RT

po

3

6

0 mkg

742,13002871015,0

Parametry krytyczne gazu

Zauważmy, że w wyjściowym równaniu izentropy

po lewej i po prawej stronie występuje wyrażenie określające kwadrat prędkości dźwięku:

2

v

11

21

1

1

0

0

pp

0

02

p

a TRp

a


Wstawiając te wielkości do równania otrzymamy:

gdzie a0 jest prędkością dźwięku w warunkach spiętrzenia (stagnation), gdy v = 0, przy tzw. parametrach spiętrzenia gazu w zbiorniku p0, ρ0, T0.

2

v

11

21

21

20

aa


Z równania wynika, że przy wypływie gazu ze zbiornika gdy wzrasta prędkość gazu v1 maleje prędkość dźwięku a1. Parametry gazu, przy których prędkość przepływu gazu równa jest lokalnej prędkości dźwięku tj. v1 = a1, nazywane są parametrami krytycznymi: p ρ, T, v, a.

2

v

11

21

21

20

aa


Z równania tego można wyznaczyć prędkość krytyczną gazu (v1 = v), równą krytycznej prędkości dźwięku (a1 = a).

211

2*

2*

0

0 aap

2

v

11

21

21

20

aa

12

12

12

*0

0

a

p

0

02* 112

12

p

a

0

02* 1

2

p

a


Warto zwrócić uwagę, że prędkość krytyczna gazu określona wzorami równa jest maksymalnej prędkości występującej przy wypływie gazu przez otwór a więc jest to prędkość krytyczna.

0

02* 1

2

p

a

00

0** 1

2

1

2v TR

pa

0

0max 1

2v

p

mechanika pŁynÓw

Documents