Medidas de DispersinLas medidas de dispersin determinan cun cercanos o lejanos estn los datos de un valor central, respecto a la media aritmtica. Tambin indican el grado de variabilidad de los datos. Ejemplo: Una universidad otorgar una beca de matrcula y arancel para un magister, al alumno cuyo buen rendimiento se haya mantenido por mayor tiempo, en el ltimo semestre de su carrera. Para calcular el mejor promedio solo consideraron algunas asignaturas. Los mejores alumnos de la promocin fueron Pablo y Soledad.La media aritmtica (promedio) de cada uno es 6,3.Si solo uno debe ser elegido quin ganar la beca?Las calificaciones son las siguientes:asignatura n1asignatura n2asignatura n3asignatura n4

Pablo6,26,85,86,4

Soledad6,95,07,06,3

Las calificaciones de Pablo se encuentran ms cercanas a la media aritmtica, que las notas de soledad. Es decir, las calificaciones de Soledad se encuentran ms dispersas.Es suficiente este argumento para optar por Pablo, como un alumno que ha mantenido su buen rendimiento?Las medidas de dispersin nos permitirn realizar un anlisis ms certero.1.- RANGO: Anteriormente utilizamos el rango para determinar el tamao de cada intervalo en una tabla de frecuencias. Simbolizaremos el rango por la letra R. Aunque no es una medida muy significativa, esto nos indica cun dispersos se encuentran los datos entre los valores de los extremos. Pablo: R: 6,8 - 5,8 = 1 Soledad: R: 7,0 - 5,0 = 2Como el valor del rango de las notas de Pablo es menor que el de Soledad, podemos decir que sus calificaciones son menos dispersas. Por lo tanto, sera el ms apto para ganar el premio por mantener un buen rendimiento.Observacin:Menor dispersin = ms homogneo Menor dispersin = menos heterogneoMayor dispersin = menos homogneo Mayor dispersin = ms heterogneo Formula: R = X mx X minEjemplo: Ante la pregunta sobre nmero de hijos por familia, una muestra de 12 hogares, marc las siguientes respuestas:2124132320 51Calcule el rango de la variable

2.- Varianza y desviacin estndar:Desviacin estndar: La desviacin estndar () mide cunto se separan los datos. La frmula l es la raz cuadrada de la varianza. As que, "qu es la varianza?"

VarianzaLa varianza (que es el cuadrado de la desviacin estndar 2 ) es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.En otras palabras, sigue estos pasos:1. Calcula la media (el promedio de los nmeros).2. Ahora, por cada nmero resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado). 3. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado (n - 1). Por qu al cuadrado? Elevar cada diferencia al cuadrado hace que todos los nmeros sean positivos (para evitar que los nmeros negativos reduzcan la varianza).Tambin hacen que las diferencias grandes se destaquen. Por ejemplo 1002=10.000 es mucho ms grande que 502=2.500. Pero elevarlas al cuadrado hace que la respuesta sea muy grande, as que lo deshacemos (con la raz cuadrada) y as la desviacin estndar es mucho ms til.Frmula:

Del ejemplo anterior: Ante la pregunta sobre nmero de hijos por familia, una muestra de 12 hogares, marc las siguientes respuestas:Calcule la varianza para los datos.N deHijos(xi)Frecuencia Absoluta

Frecuencia absolutaX

0

1

1

3

2

4

3

2

4

1

5

1

TOTAL

12

Calculo de media aritmtica: 26/12= 2,1667 hijosObservacin: la media aritmtica se trabajar con cuatro decimales, aproximados por el mtodo de redondeo.Varianza:

Solucin: 21,6668/ 11

Desviacin estndar:

Solucin: s= 1,9697

Volvamos al caso de Pablo y Soledad y calculemos: Varianza. Desviacin estndarPabloAsignaturaNota (xi)

16,26,2

26,86,8

35,85,8

46,46,4

TOTAL25,2

Media aritmtica 25,2 / 4 = 6,3Varianza:

Desviacin estndar:

Soledad

Asignatura

Nota (x)

1

6,9

2

5,0

3

7,0

4

6,3

TOTAL

25,2

Media aritmtica 25,2 / 4 = 6,3Varianza:

Desviacin estndar:

Observamos que el valor de la desviacin estndar de las notas de Pablo es menor que la de soledad, entonces, podemos decir que las calificaciones de Pablo estn ms cercanas a la media, y son menos dispersas.Por lo tanto, el ms indicado para ganarse la beca que otorga el colegio es Pablo, ya que sus calificaciones cumplen con haber mantenido un buen rendimiento.3.- Coeficiente de Variacin:Compara la variabilidad de series de datos que tengan unidades diferentes. No tiene unidades de medida.Se calcula para variables medidas en escala de razn (PORCENTAJE) Formula: Ejemplo: Calcule el coeficiente de variacin para las 12 familias anteriores:Solucin:

Ejercicios 1: Se han registrado durante 20 das, el nmero de viajeros que hacen reservaciones a una agencia de viajes pero que no las hacen efectivas. Calcule las medidas de dispersin de la variable en estudio. Variable(n de viajeros que no hacen efectiva su reserva)Frecuencia AbsolutaVariableXFrecuencia Absoluta

Frecuencia absolutaX

123

133

146

153

165

Total

Ejercicios 2: En una bencinera se form la siguiente distribucin de frecuencias de galones de gasolina vendidos por automvil, en una muestra de 300 vehculos. Calcule las medidas de Dispersin Variable(Galones de gasolina)Frecuencia AbsolutaMarca de ClaseMarca de ClaseXFrecuencia Absoluta(Marca de clase promedio)(Marca de clase promedio)2Frecuencia absolutaX

1 6

50

7 12

95

13 18

65

19 24

50

25 30

25

31 36

15

Total