Mehatronika - Mehanički Prijenos SnageSadržaj predavanja:

1. Uvod

2. Remeni (ravni, kružnog profila, V-profila,timing)

3. Lanci

4. Rack and Pinion Mehanizam

5. Mehanizmi za prijenos trenjem (friction drives)

6. Zupčanici (osnovni pojmovi i vrste)

7. Vijčani Pogon (ball screw drive)

8. Couplings

UvodKod robotskih aplikacija, problem sa elektromotorima je što se okreću prebrzo i daju premali zakretni moment za aplikacije u robotici.

Ako se rad servo elektromotora uspori tako da daje najveći zakretni moment efikasnost im drastično pada (krivulja snage iz prošlog predavanja). Slično se događa ako se servo motor vrti prevelikom brzinom. Idealno, servo motor se rotira na optimalnoj brzini vrtnje što se može vidjeti iz karakteristike proizvođača (ovisnost zakretnog momenta o okretajima i snaga u ovisnosti o okretajima motora).

Stepper motor je manje podložan ovim problemima i on može dati solidan zakretni moment pri određenom rasponu brzina, iako i stepper motoru efikasnost opada ako mu se drastično smanji brzina.

Rješenje ovih problema leži u mehaničkom prijenosu gdje mehaničkim uređajima možemo smanjiti broj okretaja elektromotora i povećati zakretni moment ili obrnuto, možemo povećati broj okretaja i smanjiti zakretni moment.

UvodFizikalni zakoni o očuvanju mehaničke energije diktiraju ove veličine kao što su brzina vrtnje i zakretni moment ondosno diktiraju prijenosne omjere.

Mehanizmi za prijenos mehaničke energije su podijeljeni u pet osnovnih kategorija:

1. Remeni za transmisiju mehaničke energije (ravni, okrugli, V-remeni,timing)

2. Lanci za prijenos (roller,ladder,timing)

3. Plastic and cable lanci (bead,ladder,pinned)

4. Friction drives

5. Zupčanici (spur,helical,bevel,worm,rack and pinion...)

Mehanički Prijenos RemenomRemeni su dostupni u 4 osnovne varijacije i svaka od tih varijacija sadrži podvarijacije. Snaga koju prijenosi remen može biti samo dio konjske snage (hp) a može prenositi na stotine konjskih snaga. Mogu se koristiti za mehaničko variranje brzine (ali u tom slučaju predstavljaju problem za sustave automatskog upravljanja). Remeni su mehanički izdržljivi (mogu podnijeti mnogo sati rada bez zamjene) i uglavnom dobro podnose misaligment. Te osnovne 4 varijacije remena su:

1. Ravni remen

2. O-ring remen

3. V-remen

4. Sinhroni timing remen

Mehanički Prijenos RemenomPostoje mnogi proizvođači remena na tržištu i mnogi od njih imaju odlične web-siteove sa mnogo dostupnih informacija o remenima. Neki od njih su:

• V-belt.com

• fennerprecision.com

• brecoflex.com

• gates.com

• intechpower.com

• mectrol.com

• dodge-pt.com

Ravni RemeniRavni remeni se smatraju starim dizajnom i danas se rijetko koriste. Ravni remen je ravan jer u doba kada se prvi put proizveo jedini izdržljivi materijal za remen je bila životinjska koža. U 18 i 19 stoljeću, kožni remen se koristio u gotovo svakom mehanizmu gdje je trebalo prijenosti vrtnju sa jednog na drugo mjesto (i mijenjati prijenosni omjer).

Danas su ravni remeni još uvijek dostupni za mehanizme koji ne prijenose veliku snagu. Rade se od materijala kao što su uretanske gume, nekad su pojačani najlonom, kevlarom ili poliesterom. Možemo ih naći kod nekih modela usisavača jer su od svih modela remena najotporniji na nečistoće.

Ravni remen (kao i ostali remeni) prijenosi mehaničku snagu putem sile trenja. Zbog toga u remenu mora postojati određena tenzija jer ako je remen prelabav onda može doći do velikih gubitaka snage.

Primjeri ravnih remena

Ravni Remen - Princip RadaNa slici je ravni remen omotan oko rotacijsko dijela (eng. pulley). U daljnjim razmatranjima uzet ćemo da je težina remena zanemariva. Kut 𝜃 na slici je kontaktni kut (eng. wrap angle).

Ako se remen okreće u smijeru kazaljke na satu onda sila 𝑇2 vuče remen dok se sila 𝑇1 opire sili 𝑇2.

Statički koeficijent trenja između remena i rotacijskog dijela označen je sa 𝜇.

Radius diska na koji je pričvršćen remen označen je sa 𝑅.

Ravni Remen - Princip RadaNa slici je diferencijalni element remena omotan oko rotacijskog dijela (eng. pulley). Razlika sila 𝑇1 i 𝑇2na diferencijalni element značava se 𝑑𝑁 i to je sila koja djeluje okomito na element remena (u smijeru centra). Ujedno ta sila stvar i silu trenja. Znači razlika sila 𝑇1 i 𝑇2 mora savladati silu trenja i to pišemo:

(1) 𝑇2 − 𝑇1 = T + dT − T = dT

Diferencijalni element sile trenja je jednak 𝜇𝑑𝑁 te možemo pisati:

(2) 𝑑𝑇 = 𝜇𝑑𝑁

S druge strane sila 𝑑𝑁 je balansirana sa centrifugalnom silom 𝑑𝑆(koja nije prikazana na slici) i u smijeru je normale 𝑛.

Ravni Remen - Princip RadaDakle suma vertikalnih sila 𝑑𝑁 + 𝑑𝑆 mora biti izbalansirana silama 𝑇1 i 𝑇2. Silu 𝐹𝑛 u vertikalnom smijeru zbog sila 𝑇1 i 𝑇2 možemo pisati kao:

(3)𝐹𝑛 = 𝑇2 + 𝑇1 ⊥= 𝑇2 + 𝑇1 𝑠𝑖𝑛𝜃

2

Pošto se radi o diferencijalnom elementu, kut 𝜃 je jako mali te 𝑠𝑖𝑛𝜃

2možemo aproksimirati kao

𝑠𝑖𝑛𝜃

2≈

𝜃

2. Tadamožemo pisati:

(4)𝐹𝑛 = 𝑇2 − 𝑇1 ⊥≈ − 𝑇 + 𝑑𝑇 + 𝑇𝑑𝜃

2

Član drugog reda (𝑑𝑇𝑑𝜃) možemo zanemariti jer je jako mali te sila 𝐹𝑛 u vertikalnom smijeruiznosi:

(5) 𝐹𝑛 = −𝑇𝑑𝜃

Ravni Remen - Princip RadaPošto 𝐹𝑛 balansira sile 𝑑𝑁 + 𝑑𝑆 slijedi:

(6) 𝑇𝑑𝜃 = 𝑑𝑁 + 𝑑𝑆

Centrifugalna sila 𝑑𝑆 =𝑑𝑚 𝑣2

𝑅gdje je 𝑑𝑚 infinitezimalni dio remena mase 𝑑𝑚. Ako je razlika sila

na remen 𝑇 pa posljedično i sila 𝑁 bitno veća od centrifugalnih sila 𝑆 (što je i uobičajeno kod remena inače remen ne bi bio čvrsto pričvršćen za disk) onda 𝑑𝑆 možemo zanemariti te se iz (6) dobije:

(7) 𝑇𝑑𝜃 = 𝑑𝑁

Uvrštavajući (2) [𝑑𝑇 = 𝜇𝑑𝑁] u (7) dobije se:

(8) 𝑑𝑇

𝑇= 𝜇𝑑𝜃

Ravni Remen - Princip RadaAko integriramo izraz (8) po cijelom kontaktnom kutu onda se dobije da je omjer sila 𝑇1 i 𝑇2jednak:

(9) 𝑇1

𝑇2= 𝑒𝜇𝜃

Jednadžba (9) se zove još i Eulerova formula. Jednadžba (9) znači da ako remen vučemo silom 𝑇1onda se javlja kontra sila 𝑇2 i ovisi o faktoru trenja 𝜇 te kontaktnom kutu 𝜃.

Znači silu 𝑇1 ne možemo beskonačno povećavati jer može doći do pucanja remena i na kraju, maksimalna snaga koja se može transmitirati remenom ovisi o čvrstoći materijala remena.

Ako to predstavlja problem, možemo dodavati još remena (u paraleli) po potrebi te tako smanjiti naprezanje svakog pojedinog remena.

Ravni Remen - Omjeri BrzinaKod ravnog remena omjeri kutnih brzina se odnose kao omjeri dijametara (ili radiusa remena):

(10) 𝜔1

𝜔2=

𝑑2

𝑑1=

𝑅2

𝑅1

Jednadžba (10) proizlazi iz fizikalnog zakona o očuvanju kutne količine gibanja.

Ravni Remen - Zakretni MomentiZakretni moment 𝑀1koji se sa manjeg diska prenosi na veći disk slijedi iz (9) i dan je izrazom:

(11)𝑀1 = 𝑇2 − 𝑇1 𝑅1 = (1 − 𝑒𝜇𝜃)𝑇2𝑅1

Gdje je 𝑀1zakretni moment koji daje elektromotor. Dakle moment koji remen može transmitirati nije beskonačan nego ovisi o silama tenzije i trenja. Što je trenje manje to se može transmitirati manji zakretni moment.

Zakretni momenti se odnose obrnuto od kutnih brzina:

(12) 𝑀1

𝑀2=

𝑑1

𝑑2=

𝑅1

𝑅2

gdje su 𝑀1 i 𝑀2 zakretni momenti motora.

O Ring Remeni - Remeni Cirkularnog PresjekaO-Ring remeni, ili remeni cirkularnog presjeka se ponekad koriste u mehaničkim aplikacijama zbog iznimno niske cijene.

Ovakvi remeni imaju osrednju efikasnost (kao i ravni remeni) ali cijena im je toliko niska da ih nalazimo kod igračaka te kućnoj elektronici široke potrošnje (VCR)

Ovakvi remeni zahtjevaju odgovarajuću tenziju na remenu i ispravno pozicioniranje (alignment) da bi imali odgovarajući vijek trajanja.

Remeni V ProfilaNaziv dolazi od oblika poprečnog presjeka remena (prikazan na slici). Ovaj remen funkcionira po principu tenzije i trenja kao i ravni remen. Razlika je u tome što je trenje povećano zbog oblika poprečnog presjeka remena.

Prednost ovakvih remena je očita iz jednadžbe (11). Za istu silu tenzije imamo veću silu trenja te se transmitira veći zakretni moment.

Remeni V profila su tiši u radu, dozvoljavaju određen misalignment te su iznenađujuće efikasni u odnosu na ravni ili O-ring remen.

Jedina mana ovakvih remena je da počnu jako malo proklizavati nakon dugo vremena.

Sinhroni ili Timing RemeniTiming remeni rješavaju probleme s proklizavanjem ravnih,O-ring i V remena na način što su na površinu remena dodani zupci (slično kao kod zupčanika). Ovakvi remeni spadaju u kategoriju sinkronih mehaničkih prijenosnika zbog toga što nemaju proklizavanje.

Timing remeni se klasificiraju u više kategorija s obzirom na profil zuba te je najčešći onaj s trapezoidalnim oblikom zuba.

Trapezoidalni oblik zuba ima manu da se deformira u kontaktu sa rotacionim dijelom te zbog toga silu prenosi samo bazom zuba. Ovo derformiranje izaziva povećane gubitke te stvara ponešto buke.

Profil zuba koji rješava ove nedostatke se naziva HTD (High Torque Design). Ovakav timing remen je odličan za prijenos sile a cijena mu je tek neznatno veća od trapezoidalnog remena.

Lanci (Roller Chain)Roler chain je efikasna metoda prijenosa mehaničke energije gdje imamo lanac kojemu su dodani valjci dijametra 𝑑. Također spada u sinkronu metodu prijenosa (nema proklizavanja).

Za razliku od remena ovakvom lancu nije potrebno precizno namještanje sila tenzije. Također dobro podnosi određen misalignment između zupčanika.

Ima dvije mane:

1. Ne podnosi dobro pijesak ili druge abrazivne čestice

2. Može biti bučan

Lanci (Roller Chain) - Konstrukcija

Rack and Pinion MehanizmiOvaj mehanizam pretvara rotacijsko gibanje zupčanika (pinion) u linearno gibanje ravnog dijela sa zupcima (rack).

Ako se zupčanik radiusa 𝑅 zakrene za kut 𝜃 to odgovara linearnom pomaku 𝑥:

(13) 𝑥 = 𝑅𝜃

Ovakav sistem se često koristi kod sustava za upravljanje. Npr. upravljanje automobila koristi upravo ovakav mehanizam za okretanje kotača.

Friction Drives (Prijenos Trenjem)Snaga se može prenositi i samo trenjem kao kod tarnog prijenosa ili prijenosa trenjem.

Prijenos trenjem možemo definirati i kao prijenos mehaničke energije sa rotirajućeg dijela na dio koji se giba linearno putem isključivo trenja.

Prijenos trenjem najćešče nalazimo na pokretnim trakama u industrijitj. na automatskim proizvodnim linijama.

ZupčaniciZupčanici su najčešći prijenosnici mehaničke energije zbog mnogobrojnih razloga: veličina zupčanika se može skalirati te se koriste kako na najmanjim uređajima mehaničkog prijenosa tako i kod najviećih kao što su npr. plinske turbine.

Ako su ispravno montirani i podmazani zupčanici prenose mehaničku energiju tiho i efikasno.

Mogu prenositi snagu između osovina koje su paralelne ili pod nekim kutem.

Da bi zipčanici efikasno prenosili snagu i bili tihi u operaciji, moraju imati visoku preciznost i to preciznost u obliku zubaca te preciznost fiksiranju distance centara zupčanika.

Osjetljivi su na nečistoće i moraju se nalaziti zatvoreni u kućištu. Svrha kućišta je dvojaka: s jedne strane kućište preventira ulaz nečistoća a s druge strane u kućištu se nalazi lubrikant koji služi za podmazivanje zupčanika.

Zupčanici su uglavnom najbolji izbor za prijenos mehaničke energije.

Idealni ZupčaniciPod idealnim zupčanikom smatramo zupčanik koji se rotira oko stvarnog centra te nemaju inerciju.

Zupčanici - vrste zupčanikaZupčanike možemo naći u mnogo različitih formi i standardnih veličina i to izraženim u metričkim jedinicama i u inčima.

Zupčanici su dostupni u formama kao što su: spur, internal, helical, double helical, bevel, spiral bevel, miter, face, hypoid, rack, straight worm, double enveloping worm and harmonic.

Spur gear Internal Gear

Zupčanici - vrste zupčanika

Helical gear Double Helical gear

Zupčanici - vrste zupčanika

Bevel gear (mogu biti pod bilo kojim kutem)

Spiral Bevel gear (mogu biti pod bilo kojim kutem)

Zupčanici - vrste zupčanika

Miter gear(oba zupčanika imaju isti broj zubaca i uvijek su pod pravim kutem)

Face gear

Zupčanici - vrste zupčanika

Hypoid gearRack gear

Zupčanici - vrste zupčanika

Worm gear

Zupčanici i terminologija zupčanikaaddenum - radijalna udaljenost između top lan i pitch kružnice

addenum circle - kružnica koja predstavlja vanjski dijametar zupčanika

pitch circle - to je zamišljena kružnica po kojoj se zupčanici okreću bez proklizavanja. Sve kalkulacije zupčanika su zasnovane na ovoj kružnici

pitch diameter - dijametar kružnice nazvane pitch circle

dendenum circle - teoretska kružnica po kojoj dolaze u kontakt dna zubaca.

Gear BackslashU mehanici, backlash je razmak, ili izgubljeno gibanje zbog razmaka između pojedinih mehaničkih komponenti. Može se definirati kao najveća udaljenost koju mehanički dio može prijeći bez da primjeni silu na drugi mehanički dio.

Backlash je uglavnom nepoželjan, ali ako ne želimo da se mehaničke komponente zaglave onda moramo dopustiti određeni backlash.

Teoretski, idealni backlash je jednak nuli.

Također dozvoljavamo backlash da bi lubrikant mogao ući između zuba zupčanika.

Zbog zagrijavanja zupčanika metal se širi te moramo dopustiti određeni backslash jer će se inače mehanizam zaglaviti.

Prijenosni Omjer ZupčanikaPrijenosni omjer zupčanika 𝑤 se može definirati kao omjer radiusa zupčanika (pitch circle) i obrnuto je proporcionalan kutnim brzinama zupčanika:

(14) w =𝑅1

𝑅2=

𝜔2

𝜔1

Jednadžba (14) dolazi iz fizikalnog zakona očuvanja kutne količine gibanja.

Kod zupčanika koji su upareni, broj zubaca 𝑁1 i 𝑁2 je proporcionalan radiusu zupčanika te se prijenosni omjer može pisati kao:

(15) w =𝑅1

𝑅2=

𝑁1

𝑁2

Prijenosni omjer zupčanika može se izraziti kao omjer zakretnih momenata 𝑀1 i 𝑀2:

(16) w =𝑀1

𝑀2=

𝑁1

𝑁2

Dakle omjer zakretnih momenata je jednak omjeru broja zubaca zupčanika

Ball Screw Drive - Vijčani PogonKod vijčanog pogona rotacija osovine (vijka) izaziva linearni pomak matičnog dijela (nut) koji se nalazi na vijku (screw). Da se ne bi morali instalirati posebni kulični ležajevi u pomični dio (nut) se stavljaju čelične loptice kao na slici.

Dijelovi ball-screw mehanizma su:

A. Čelične lopticeB. Osovina Mehanizma (vijak)C. Pomični dio (nut)D. Seal E. Recilkuliranje kuglica

Ball Screw Drive - Vijak Vijčanog PogonaNa slici je vijak vijčanog pogona sa označenim fizičkim dimenzijama. Vijak u okretanju gura pomični dio (nut) te prenosi silu putem zakretnog momenta.

Dimenzije vijka:

𝑑 -dijametar vijka (nominalni)

𝑑𝑚-pitch dijametar, tj razlika između centra kuglica s gornje i donje strane

𝑑𝑟-root diametar

𝑙-hod ili udaljenost između navoja vijka

Ball Screw Drive - Horizontalne SilePitanje je kolika je korizontalna sila koju daje pomični dio (nut) za jednu revoluciju vijka ovisno o primjenjenom zakretnom moment 𝑀 na vijak?

Ako je razmak između navoja vijka 𝑑 onda je razmak između navoja vijka ujedno i pomak za jednu rotaciju vijka.

Rad koji će izvršiti korizonalna sila 𝐹 pokretnog dijela za jednu revoluciju vijka je:

(17) 𝑊 = റ𝐹 ∙ 𝑑റ𝑙 = 𝐹𝑑

Pitanje je koliki rad izvrši elektromotor zakretnog momenta 𝑀 za vrijeme jedne pune revolucije elektromotora?

Kod rotacije motora možemo reći da je infinitezimalni pomak u jednadžbi (17) 𝑑റ𝑙 jednak:

(17)𝑑റ𝑙 = 𝑛 × 𝑅𝑑𝜃

Ball Screw Drive - Horizontalne SileU prethodnoj jednadžbi 𝑑𝜃 je infitezimalni kutni pomak vijka, 𝑅 je vektor koji pokazuje iz centra vijka na rub vijka a vektor 𝑛 je jedinični vektor u smijeru osovine vijka. Ako uvrstimo (17) u (16) dobije se:

(18) 𝑊 = റ𝐹 ∙ 𝑑റ𝑙 = റ𝐹 ∙ 𝑛 × 𝑅𝑑𝜃

Koristeći pravila za skalarni triple produkt റ𝐴 ∙ 𝐵 × റ𝐶 = 𝐵 ∙ റ𝐶 × റ𝐴 = റ𝐶 ∙ റ𝐴 × 𝐵 koji vrijedi za

bilo koja tri vektora റ𝐴, 𝐵 i റ𝐶 jednadžba (18) može se još i napisati:

(19) 𝑊 = റ𝐹 ∙ 𝑑റ𝑙 = 𝑛 ∙ 𝑅 × റ𝐹𝑑𝜃

U izrazu (19) 𝑅 × റ𝐹 se može prepoznati kao vektor zakretnog momenta, tj. 𝑀 = 𝑅 × റ𝐹. U tom slučaju jednadžba (19) postaje:

(20) 𝑊 = റ𝐹 ∙ 𝑑റ𝑙 = 𝑛 ∙ 𝑅 × റ𝐹𝑑𝜃 = 𝑛 ∙ 𝑀𝑑𝜃

Ball Screw Drive - Horizontalne SilePošto su vektori 𝑛 ∙ 𝑀 kolinearni i pošto je vektor 𝑛 jedinični vektor može se i napisati da je:

(21) 𝑛 ∙ 𝑀 = 𝑀

gdje je 𝑀 iznos zakretnog momenta koji daje motor na osovini. Ako uzmemo da je zakretni moment 𝑀 konstantan onda se iz (20) i (21) dobije:

(22) 𝑊 = റ𝐹 ∙ 𝑑റ𝑙 = 𝑛 ∙ 𝑅 × റ𝐹𝑑𝜃 = 𝑛 ∙ 𝑀𝑑𝜃 = 𝑀𝑑𝜃

Integirajući (22) za jedan puni krug dobije se da je rad utrošen na jednom punom krugu:

(23) 𝑊 = 2𝜋𝑀

Ako izjednačimo rad (23) i rad (17) dobije se:

(24) 2𝜋𝑀 = 𝐹𝑑

Ball Screw Drive - Horizontalne SileIzraz (24) može se napisati kao:

(25) 𝐹 =2𝜋

𝑑M

Iz jednadžbe (25) slijedi da što je manji navoj vijka 𝑑 to je veća sila 𝐹, tj. izračunali smo "prijenosni omjer".

Očito je da kao izlaz motora u ball screw drive konfiguraciji možemo dobiti veliku silu 𝐹 (ovisno o razmaku između navoja vijka) uz cijenu sporog pomicanja pomičnog dijela.

Couplings - Mehanički Uređaji za Spajanje OsovinaKada spajamo elektromotor na zupčanik moramo osovinu motora spojiti sa zupčanikom. Coupling je uređaj koji omogućava da se spoje dvije osovine mehaničkih uređaja. Postoje dvije vrste couplinga:

• Rigid coupling - je takav coupling koji ne dozvoljava bilo kakav relativan pomak između osovina.

• Flexible coupling - omogućuju prijenos zakretnog momenta ali dopuštaju kutni, radijalni ili aksijalni misalignment

Rigid coupling se koristi samo kada se dvije osovine mogu točno poravnati (alignment) te se alignment može vrlo točno podesiti i održavati točnim kroz cijelo vrijeme funkcioniranja uređaja.

Čak i kod manjih misalignmenta rigid coupling može dovesti do povećanog stresa na osovinama te konačno i do zakazivanja mehaničkog uređaja.

Rigid Couplings

Couplings - Mehanički Uređaji za Spajanje OsovinaFlexible couplings su dizajnirani tako da dok prenose zakretni moment dozvoljavaju određeni misalignment i to aksijalni, radijalni i kutni.