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MEMORIAS DEL XVII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM

21 al 23 DE SEPTIEMBRE, 2011 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO

Derechos Reservados © 2011, SOMIM

ANÁLISIS ELASTOPLÁSTICO DE UNA ESFERA DE PARED GRUESA BAJO PRESIÓN

Plascencia Mora Héctor1, Salazar Garibay Alonso

1, Diosdado De La Peña José Ángel

1,

Durán Reséndiz Pedro1, Reveles Arredondo Juan Francisco

1, Pérez Soto Gerardo Israel

1

1Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Guanajuato, Carretera Salamanca–Valle de Santiago

km. 3.5 + 1.8 km, Comunidad de Palo Blanco, Salamanca, Gto., México Teléfono: 01 464 64 79940 ext. 2421

[email protected], [email protected], [email protected], [email protected],

[email protected], [email protected]

RESUMEN

En este trabajo se presenta la deducción de las

expresiones para los esfuerzos y desplazamientos

en una esfera de pared gruesa de material

perfectamente plástico sometida a presión externa

e interna. El problema se resuelve por una

simulación de elemento finito utilizando ANSYS.

Finalmente, se reporta un comparativo de los

resultados analíticos y numéricos.

Palabras claves: Esfera de pared gruesa,

elastoplástico, presión.

ABSTRACT

In this work the deduction of the expressions for

the stress and displacements in a thick-walled

sphere subjected to external and internal pressure

is presented. The problem is solved by a finite

element simulation using ANSYS. Finally, a

comparison of numerical and analytical results is

reported.

Keywords: thick-walled sphere, elastoplastic,

pressure.

Nomenclatura

a Radio interior [m]

b Radio exterior [m]

Po Presión externa [Pa]

Pi Presión interna [Pa]

r Radio de la esfera [m]

Esfuerzo radial [Pa]

Esfuerzo circunferencial [Pa]

Esfuerzo tangencial [Pa]

Deformación unitaria circunferencial

Deformación unitaria tangencial

Deformación unitaria radial

Esfuerzo de fluencia [Pa]

INTRODUCCIÓN

El estudio de esferas bajo una carga de presión ha

sido un campo de estudio desde los años 1950’s.

A continuación se enlistan algunos de estos:

Haddow y Faulkner [1] proponen un método para

el análisis de la expansión simétrica finita de una

esfera de pared gruesa sometida a presión interna

de material hiperelástico compresible. Con este

método se puede obtener la solución para

cualquier energía de deformación admisible.

Durban y Baruch [2] estudiaron el

comportamiento no lineal de una esfera de pared

gruesa bajo presión interna y externa. Asumen el

material como elastoplástico incremental. No

restringen la magnitud de la deformación. Para

presión interna, obtienen una solución en términos

de integrales cerradas. Muestran que la solución

tridimensional se reduce al caso de membrana

cuando el espesor del cascaron se vuelve muy

pequeño.

Kim [3] obtuvo ecuaciones de respuesta para

esferas huecas de material elástico perfectamente

plástico bajo carga hidrostática, descarga, carga

invertida y recarga. Para esferas con paredes

suficientemente gruesas, la cedencia invertida

ocurre en la descarga, donde se presenta la

porosidad crítica inicial. La precompactación

disminuye la magnitud de la presión máxima y

retrasa la presencia la inestabilidad.

Gao [4,5] presentó las soluciones analíticas para

los campos de desplazamiento, deformaciones y

esfuerzos de cilindros y esferas de pared gruesa de

material elástico con endurecimiento por

deformación plástica. Utiliza una teoría de

ISBN: 978-607-95309-5-2 << pag. 50 >>

A1_64

mailto:[email protected]






dr

dr

r

u

u + du

dr

a

b

d d

plasticidad con gradiente de deformación para

describir el comportamiento constitutivo del

material bajo deformaciones plásticas, mientras

que la ley de Hook generalizada es aplicada para

la respuesta del material en la región elástica. Al

incluir el radio interior en una identidad

dimensional propia, las soluciones pueden incluir

el efecto del tamaño. También, identifica que las

soluciones clásicas basadas en plasticidad de estos

problemas son casos especiales de las soluciones

que presenta.

TEORÍA

Se examina un problema elastoplástico para una

esfera de pared gruesa. La esfera tiene un radio

interior y exterior de a y b, respectivamente. Esta

está sujeta a una presión externa de Po e interna de

Pi, las cuáles pueden incrementar mono

tónicamente. El material se considera isotrópico y

linealmente elástico, perfectamente plástico. En

los puntos de la esfera donde el estado de

esfuerzos está debajo del requerido para la

fluencia, la deformación se obtiene de la ley de

Hooke isotrópica y compresible. En los puntos

donde ocurre la fluencia, la deformación es la

suma de una componente elástica y una

componente perfectamente plástica.

Para la esfera de radio interior a y de radio

exterior b, se considera un elemento infinitesimal

localizado a una distancia r del centro de la esfera

con un ángulo dθ en el centro, como se muestra en

la Figura 1.

a b Figura 1. a) Deformación de una elemento de una esfera de

pared gruesa. b) Elemento de una esfera de pared gruesa.

De la Figura 1, la deformación radial y la

deformación circunferencial son

(1)

(2)

Los esfuerzos de un elemento infinitesimal de una

esfera de pared gruesa son y . Ver la Figura

1b. La ecuación de equilibrio de los esfuerzos es

(3)

Comportamiento Lineal elástico

La geometría y carga para una esfera de pared

gruesa bajo una presión externa Po y una presión

interna Pi se muestran en la Figura 2.

Las relaciones elásticas lineales de esfuerzo y

deformación para una simetría esférica,

son.

(4.a)

(4.b)

Sustituyendo (1) y (2) en (4), para posteriormente

en (3); se obtiene la ecuación de equilibrio del

desplazamiento.

(5)

A la que se aplican las condiciones de frontera a

una sección de la esfera:

a

(6)

Resolviendo para los esfuerzos elásticos, estos son

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(7)

Los desplazamientos relacionados y los campos

de deformación son

(8.a)

(8.b)

(8.c)

PRESIÓN DE COLAPSO

La condición para el colapso es que la fluencia

ocurre en cualquier lugar del cascarón cuando

en

(9)

Sustituyendo el criterio de fluencia, (9), en la

ecuación diferencial de equilibrio para el esfuerzo,

(3), con las condiciones de frontera para las

presiones internas y externas de los esfuerzos se

llega a

b

rP yo ln21 (10)

COMPORTAMIENTO ENTRE CEDENCIA

Y COLAPSO

En esta sección se estudia como el cascarón

esférico se comporta después de la cedencia, pero

antes del colapso. Una región plástica existe desde

la superficie interna hacia una frontera esférica en

, como se muestra en la Figura 2, con una

región elástica que rodea y se extiende hacia la

superficie exterior de la capa.

Figura 2. Geometría de la capa elástica-plástica de la esfera.

Las condiciones de frontera para los esfuerzos en

las dos regiones son descritas en (6), además:

crenyr (11)

Aplicando las condiciones de frontera a los

esfuerzos elásticos, se obtienen los esfuerzos en

dicha región

yorr

b

b

cP

3

3

3

3

13

2

yor

b

b

cP

3

3

3

3

21

3

2

(12)

Para las deformaciones, de las relaciones de

desplazamiento de la deformación, (1) y (2), y la

ecuación de desplazamiento, (5), se obtiene

oyy P

b

c

E

r

Er

cu

3

3

2

3

3

2)21(

3

)1(

(13.a)

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3

3

3

3 )1(

3

2

3

2)21(

rc

EP

b

c

E

yoyr

oyy P

b

c

EEr

c

3

33

3

2)21(

3

)1(

(13.b)

Los esfuerzos en la región plástica se obtienen

aplicando la segunda condición de frontera de los

esfuerzos (11) al esfuerzo plástico :

oyr Pb

c

r

c

3

3

1ln33

2

oy Pb

c

r

c

3

3

2

1ln3

3

2

(14)

La presión interna se determina de la primer

condición de frontera (11), junto con el esfuerzo

radial (14), como

oyi Pb

c

a

cP

3

3

1ln33

2 (15)

SIMULACIÓN POR ELEMENTO FINITO

Se aplica el método de elemento finito con el uso

del software ANSYS para realizar la simulación.

Por su geometría, se toma únicamente un octavo

de esfera como dominio. Esta se considera de

radio interno de 5 in (0.127 m) y de radio externo

de 6 in (0.1524m).

En la ¡Error! No se encuentra el origen de la

referencia. se enlistan las propiedades mecánicas

del material que se considera en este trabajo [6].

En la Figura 3 se presenta la curva

correspondiente.

Tabla 1. Propiedades Mecánicas del Material de

Aleación de Aluminio.

Propiedad Valor

Módulo de elasticidad 1.0298×10

7 psi

(71 GPa)

Coeficiente de Poisson

0.33

Resistencia a la cedencia

40611 psi (280 MPa)

Módulo tangente 72519 psi (500 MPa)

Figura 3. Curva perfectamente plástica de esfuerzo vs deformación para la aleación de Aluminio.

El tipo de elemento que se utiliza para discretizar

la esfera es un sólido estructural de 20 nodos

denominado SOLID95. Este elemento tiene tres

grados de libertad por nodo: translaciones en las

direcciones x, y y z [7]. También, soporta

plasticidad, creep, grandes deformaciones, entre

otras. Por lo cual este tipo de elemento es

adecuado para el propósito del análisis plástico

que se desea realizar.

Las áreas de corte del octavo de esfera se

restringieron de desplazarse en su dirección

normal y se aplicó presión en la superficie externa

tal como se muestra en la Figura 4.

Para el análisis con presión interna se usaron las

mismas restricciones pero ahora la presión se

aplicó en la superficie interna como se muestra en

la Figura 5.

ISBN: 978-607-95309-5-2 << pag. 53 >>

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Figura 4. Esfera con presión externa.

Figura 5. Esfera con presión interna.

COMPARACIÓN DE RESULTADOS

NUMÉRICOS-ANALÍTICOS.

A. Presión externa

En la siguiente sección se graficaron las

ecuaciones del desplazamiento radial, esfuerzo

radial y esfuerzo circunferencial para diferentes

presiones, además en cada una de ellas se

superpusieron los resultados obtenidos por la

simulación en ANSYS.

Para Po = 13500 psi (93.08 MPa) y Pi = 0 psi, las

Figuras 6 a la 8, muestran los esfuerzos radial y

circunferencial y el desplazamiento radial,

respectivamente, para el caso cuando la mitad de

la pared de la esfera ya ha sido deformada

plásticamente y la otra mitad está aún en estado

elástico.

Figura 6: Gráfica del desplazamiento Radial. Para Po =

13500 psi y Pi = 0 psi.

Figura 7: Gráfica del esfuerzo Circunferencial. Para Po =

13500 psi y Pi = 0 psi.

Figura 8: Gráfica del esfuerzo Radial. Para Po = 13500 psi y

Pi = 0 psi.

B. Presión interna

Las Figuras 9, 10 y 11, muestran los resultados

obtenidos para el mismo caso expuesto en el

inciso anterior pero ahora con Pi=13960psi

(96.261MPa) y Po=0psi.

En la Figura 9, se muestran los resultados

analíticos y mediante el programa ANSYS para el

esfuerzo en la dirección radial, r.

0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155-4.2

-4.1

-4

-3.9

-3.8

-3.7

-3.6

-3.5

-3.4x 10

-4

Radio de la esfera [m]

De

sp

laza

mie

nto

ra

dia

l [m

]

Analítico

ANSYS

0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155-3.3

-3.2

-3.1

-3

-2.9

-2.8

-2.7x 10

8


Esfu

erz

o C

ircu

nfe

ren

cia

l [P

a]

Analítico

ANSYS

0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

7


Esfu

erz

o r

ad

ial [P

a]

Analítico

ANSYS

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Figura 9: Gráfica del desplazamiento Radial. Para Po = 0 psi

y Pi = 13960 psi.

La Figura10, muestra los resultados para el

esfuerzo en la dirección angular, , y la Figura

11 muestra los resultados de los desplazamientos

en la dirección radial, ur.

Figura 10: Gráfica del esfuerzo Circunferencial. Para Po = 0

psi y Pi = 13960 psi.

Figura 11 Gráfica del esfuerzo Radial. Para Po=0 psi y Pi =

13960 psi.

Las Figuras 6 a 11 presentan comportamientos y

valores similares entre los resultados analíticos y

numéricos.

CONCLUSIONES

En este trabajo se logran deducir las expresiones

para el desplazamiento radial y los esfuerzos

radiales y circunferenciales, tanto para la parte

elástica como para la parte plástica en una esfera

de pared gruesa sometida a cargas de presión

interna y externa.

Los resultados que se obtuvieron de las

simulaciones por elemento finito para este

problema se apegaron a los resultados analíticos.

Se tiene una diferencia entre los resultados

analíticos y numéricos menor al 3%.

No es posible lograr un estado totalmente plástico

en la esfera cuando se usa un modelo

perfectamente plástico. Esto se debe, a que la

solución numérica diverge cuando todo el material

alcanza la cedencia, provocando que la esfera se

deforme infinitamente, por lo que no se pudo

simular.

REFERENCIAS

(1) Haddow J.B. & Faulkner M.G. (1974) Finite

expansion of a thick compressible spherical

elastics shell. International Journal of

Mechanical Sciences 16, 63-73.

(2) Durban D. & Baruch M. (1977) Analysis of

an elasto-plastic thick walled sphere loaded

by internal and external pressure.

International Journal of Non-Linear

Mechanics 12:, 9-21.

(3) Kim K. T. (1987) Elastic-plastic deformation

of hollow sphere. Acta Mechanica 66, 161-

176.

(4) Gao X. L. (2003) Strain gradient plasticity

solution for an internally pressurized thick-

walled spherical shell of an elasic-plastic

material. Mechanics Research

Communications 30, 411-420.

(5) Gao X. L. (2003) Elasto-plastic analysis of an

internally pressurized thick-walled cylinder

using a strain gradient plasticity theory.

International Journal of Solids and Structures

40, 6445-6455.

(6) ANSYS Inc. (2009) Engineering Data.

(7) ANSYS Inc. (2009) Element Reference.

0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.155-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

7


Esfu

erz

o r

ad

ial [P

a]

Analítico

ANSYS

0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.1551.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4x 10

8


Esfu

erz

o c

ircu

fere

ncia

l [P

a]

Analítico

ANSYS

0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15 0.1553

3.2

3.4

3.6

3.8

4x 10

-4


De

sp

laza

mie

nto

ra

dia

l [m

]

Analítico

ANSYS

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