Метод Крамера как способ решения практических задач

Выполнил:

Ученик 9 З класса

Зайцев Михаил

Руководитель:

Учитель математики

Комарова Е.А.

Актуальность Многие задачи приводят к необходимости решать системы линейных

уравнений. При конструировании инженерных сооружений,

обработке результатов измерений, решении задач планирования

производственного процесса и ряда других задач техники,

экономики, научного эксперимента приходится решать системы

линейных уравнений.

Способов решения систем уравнений существует много: сложения,

подстановки, графический, методом исключения неизвестных, метод

Крамера. При решении систем линейных уравнений в школе на

уроках алгебры, мы использовали такие способы, как сложение,

подстановка и графический. Каждый способ удобен дляопределенной системы.

Актуальность

К примеру, систему ቊy = 2x + 3,y = 3x + 1.

можно решить графическим

способом;

Систему: ቊ2x + 4y = 9,

−2x + 5y = −3.без труда решим способом сложения.

Система: ቊx = 6 − 2у,x + 8y = 3.

проще всего решается подстановкой.

Мне бы хотелось научиться решать системы, состоящие из 3-х уравнений с тремя неизвестными, что может помочь в решении более сложных задач не только в математике, но и в экономике.

Поэтому я решил изучить метод Крамера для решения систем уравнений с большим количеством неизвестных.

Цель и задачи

Цель: исследование методов решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью метода Крамера.

Задачи:

1. Изучить историю метода Крамера;

2. Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.

3. Научиться применять метод Крамера для решения систем уравнений с параметром.

4. Разработать и провести занятия с одноклассниками по знакомству с методом Крамера и определить уровень усвоения темы.

Гипотеза: Метод Крамера является наиболее оптимальным и эффективным способом решения задач. Его можно изучать на уроках алгебры в 8-9 классах как дополнительный метод решения систем уравнений.

Исторические сведения

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария).Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальномразвитии и демонстрировал завидные способности в областиматематики.

В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамервыставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевскомуниверситете. Юноша так понравился магистрату, что специально длянего и ещё одного кандидата на место преподавателя былаучреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал впоследующие годы.

Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной изсамых известных его работ является «Введение в анализалгебраических кривых», опубликованный на французском языке в1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решаетеё с помощью алгоритма, названного позже его именем – методКрамера.

Определители n-ого порядка

Определителем n-го порядка называется число n, составленное по

определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы

Где а11, а12, а13, … - числовые коэффициенты

Значение определителя n находится по следующему правилу.Для n = 2

Определители n-ого порядка

Пример 1.

Вычислить определитель:

Ответ: -20

Ответ: -2

Пример 2.

Вычислить определитель:

Вычисление определителей третьего порядка.

Для вычисления определителей третьего порядка существует правило треугольника.

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со

знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения

берутся со знаком "минус", т.е.

Пример 3. Вычислить определитель методом треугольников.

Решение.

=3∙1∙(-2)+3∙3∙1+4∙(-2)∙(-1)-3∙3∙(-2)-3∙4∙(-2)-1∙1∙(-1)=

=-6+9+8+18+24+1=54

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Рассмотрю систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы.

В случае если правило Крамера не поможет. Если

решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:

, то система имеет единственное

Корни уравнения находим по формулам:

Пример 1.

Решить систему линейных уравнений ቊх − 2у = 1,3х − 4у = 7.

∆ = 1 −23 −4

= 1∙ (-4) – (-2)∙3 = -4+6 = 2 ≠ 0

∆х=1 −27 −4

= 1∙(-4)-(-2)∙7 = -4+14 =10

∆у =1 13 7 = 1∙7 - 1∙3 = 7-3 = 4

Далее по формулам Крамера находим неизвестные переменные:

Х= =10:2=5 У= =4:2=2

Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя

неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить

еще три определителя:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

По формулам Крамера находим:

Решение систем уравнений с параметром

1. Найдите все значения параметра а, при которых система

имеет единственное решение.

Решение: Данная система имеет единственное решение при условии

Так как = -40 – 6а , то система имеет единственное решение при

a

Ответ: при система имеет единственное решение.

2. Найдите все значения параметра в, при которых система не имеет решений.

Решение: = -184+120 = -64 ≠ 0

данная система не будет иметь решений, если = -8в + 24 = 0 , то есть при в = 3.

Ответ: при в = 3 система не имеет решений.

Проведение урока в 8 классе

Результаты практической работы учащихся

65%

35%

Результаты практической работы

Заключение В результате выполнения работы я:

1. Изучил историю метода Крамера;

2. Научился решать системы линейных уравнений методом Крамера.

3. Научился применять метод Крамера для решения систем уравнений с

параметром.

4. Разработал и провел занятия с 8 классом по знакомству с методом

Крамера и определил уровень усвоения новой темы.

Большинство учащихся, воспользовавшись методом Крамера, решили

системы уравнений правильно. Метод Крамера позволяет существенно

сократить время нахождения решений систем линейных уравнений, а

также уравнений, содержащих параметр. В ходе работы над моим

проектом я доказал справедливость моей гипотезы, что эффективность

решения систем уравнения повышается, если использовать метод

Крамера. Метод Крамера доступен для его изучения учащимся 8 и 9

классов при решении систем линейных уравнений и может быть

предложен ученикам как дополнительный метод.

Список используемой литературы

1. Ляпин А.A, Родионов Е.М, Синякова С.Л, Математика. Сборник задач.

Москва. Ориентир 2006г.

2.Кулагин Е.Д., Норин В.П , Федин С.Н., Шевченко Ю.А. 3000 конкурсных

задач по математике. 5-е издание. Айрес-пресс.2003г.

3. Юшкевич А.П. Математика XVIII столетия. Москва. Наука.1972г.

4.Шипачёв В.С. Высшая математика. М. «Высшая школа». 1985г.

5.Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9

классов. Москва. Просвещение 1991.

6.Севрюков П.Ф. Смоляков А.Н. Школа решения задач с параметрами.

Москва. Ставрополь. 2007

7.Метод Крамера решения систем линейных уравнений

https://studopedia.ru/7_16089_metod-kramera-resheniya-sistem-lineynih-

uravneniy.html