ceophhk tip akthqeckhx p aeot no yqeehoh … · Сборник задач содержит...

E,ll;EPAJihHOE AfEHTCTBO )I(EJIE3HO,ll;OPO:>KHOro TPAHCITOPTA

e.[(epa.rr1>Hoe rocy.[(apcrneHHoe 6IO.[()KeTHOe o6pa.3oBaTeJibHOe yqpe)K,[(emie

BbICIIIero o6pa.3oBamrn:

«HpKyTCKHH rocy.[(apcrneHHbIH yttHBepCHTeT rryTeH: coo6memu:rn

CEOPHHK TIP AKTHqECKHX p AEOT no yqEEHOH ,ll;HCQHITJIHHE

rr,n:. 01 MaTeMaTHKa: a.rrre6pa H Ha1:Ia.rra MaTeMaTH1:IeCKOro aHa.JIH3a, reoMeTpmI

,[(JI5I crrel!HaJlbHOCTH

23 .02.04 TexHH1:IeCKM 3KcrrrryaTal!H5I rro,[(neMHO-TpaHcrropTHbIX, cTpOHTeJibHbIX . .[(OpmKHbIX

MaIIIHH H o6opy.[(OBaHH5I (no OTpaCJI5IM)

6a308aJl n0020mOBKQ

cpeo1-1e20 06UJe20 06pa3oea1-1UJl

HpKyTcK, 2016 r.

1

O,D;OEPEHO

UttKJIOBoH: MeTO):(uc:1ecKoH:

KOMHCCHeH: ecTeCTBeHHOHa~HhIX

):(HC~HITJIHH (MaTeMaTHKa, cpH3HKa)

OT 29 HIOH5I 2016r

IT pe):(Ce):(aTeJih KOMHCCHH

~ HoanKoBa T.Il.

CocTaBHTeJIH: HoBHKOBa T.IT.- rrperro):(aBaTeJih MaTeMaTHKH CKTttC.

3

Содержание

стр.

Введение 5

Практическая работа № 1 5























4







5

Введение

Предисловие

Сборник задач содержит задания для практических работ, предназначенных для более глубокого изучения дисциплины; систематизации и закрепления полученных знаний и практических умений; углубления и расширения теоретических и практических знаний; формирования умений использовать специальную, справочную литературу, а так же содержит методические указания по выполнению предложенных заданий и список литературы, необходимой для изучения дисциплины.

Использование данного сборника задач в учебном процессе позволит каждому студенту освоить теоретический материал, даст возможность применить полученные знания на практике.

Указания к оцениванию практических работ

Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения практических работ производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).

Процент результативности (правильных ответов)

Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений

балл (отметка) вербальный аналог 90 – 100 5 отлично 80 – 89 4 хорошо 70 – 79 3 удовлетворительно

менее 70 2 неудовлетворительно

Тема: Действия над комплексными числами. Приближенные вычисления. Практическая работа № 1

1. Понятие мнимой единицы. Допустим, что при решении некоторой прикладной задачи, например, по

гидравлике, мы столкнулись с необходимостью извлечь √− 36 . Известно, что в действительных числах данная задача не разрешима.

Допустим, что существует некоторое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i, тогда можно записать: i2 = - 1.

Число i будем называть мнимой единицей ( i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»).

Из этого равенства получаем i = √−𝟏𝟏 . Введение мнимой единицы позволит нам теперь извлечь корень квадратных из

отрицательных чисел:

6

√− 36 = �36 · ( −1) = √36 · √− 1 = 6i.

2. Степени мнимой единицы. Рассмотрим степени мнимой единицы: i 1 = i; i2 = - 1; i3 = i2 · i = - 1 · i = - i; i4 = i3 · i = -i · i = - i2 = - (- 1) = 1; i5= i4 · i = 1 · i = i; i6 = i5 · i = i · i = i2 = -1; i7 = i6 · i = - 1 · i = - i; i8 = i7 · i = -i · i = - i2 = - (-1) = 1; …………… Видим, что степени числа i повторяются с периодом, равным 4. Пользуясь этим,

можно записать правило: Чтобы вычислить степень числа i , достаточно разделить данный показатель на

4. Целую часть от деления отбросим, а остаток запишем в показатель числа i, получим один из четырех случаев:

i 0 = 1; i1 = i; i2 = - 1; i3 = - i. Например, вычислить i135; i24

Решение: i135 = { 135 ∶ 4 = 23 + остаток 3} = i3 = - i. i24 = { 24 : 4 = 6, остаток 0} = i0 = 1.

3. Определение комплексного числа.

Определение: Числа вида а + bi, где а и b – действительные числа, а i – мнимая единица, будем называть комплексными.

Числа а будем называть действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью, b – коэффициентом при мнимой части.

Запись комплексного числа в виде а + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

У действительные и мнимые части: a + bi = c + di, если a = c, b = d. Примеры комплексных чисел: (3 + 0,2i); (- 2 + 5i); (2

7 – 12i); (-1,6 + √3i).

Любое действительное число всегда можно представить в комплексной форме, например:

6 = 6 + 0i; -4 = -4 + 0i; 0 = 0 + 0i.

4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

7

Прежде чем рассматривать действия над комплексными числами, вспомним действия сложения, вычитания и умножения многочленов.

Сложение. Чтобы сложить два многочлена, надо опустить скобки и привести подобные.

( 4 + 2х) + ( 3 – 5х) = 4 + 2х + 3 – 5х = 7 – 3х. Вычитание. Чтобы из одного многочлена вычесть второй многочлен, надо опустить

скобки, изменив при этом у каждого слагаемого второго многочлена знак на противоположный, и привести подобные.

(1 – 4х) – ( 6 – 2х) = 1 – 4х - 6 + 2х = - 5 – 2х. Умножение. Чтобы перемножить два многочлена, надо каждое слагаемое одного

многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и привести подобные. (7 – 3х) · ( 3 + х) = 7 · 3 + 7 · х - 3х · 3 – 3х ·х = 21 + 7х – 9х – 3х2 = = -3х2 – 2х + 21. Прежде чем рассматривать действие деление комплексных чисел, вспомним

формулу сокращенного умножения a2 – b2 = (a + b) · ( a – b). Множители (a + b) и ( a – b) называются сопряженными. Действия сложения, вычитания и умножения комплексных чисел в алгебраической

форме производятся по правилам соответствующих действий над многочленами (раскрытие скобок), с учетом i2 = - 1;

Чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо:

1) заменить действие деление чертой дроби;

2) умножить числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное знаменателю;

3) привести подобные, учитывая i2 = -1;

4) записать ответ в виде a + bi.

Например, пусть z1 = 2 + 3i, z2 = 1 – i, найти z1 + z2; z1 – z2; z1· z2; z1 : z2. Решение: z1 + z2 = ( 2 + 3i) + ( 1 – i) = 2 + 3i + 1 – i = 3 + 2i; z1 – z2 = ( 2 + 3i) – ( 1 – i) = 2 + 3i – 1 + i = 1 + 4i; z1 · z2 = ( 2 + 3i) · (1 – i) = 2 · 1 + 2 · ( -i) + 3i · 1 +3i · i = 2 – 2i + 3i + 3i2 = 2 – 2i + 3i + 3 · ( -1) = 2 – 2i + 3i – 3 = - 1 + i;

z1 : z2 = ( 2+3𝑖𝑖) · (1+𝑖𝑖)( 1−𝑖𝑖) · ( 1+𝑖𝑖)

= 2+2𝑖𝑖+3𝑖𝑖+3𝑖𝑖2

12− 𝑖𝑖2 = 2+2𝑖𝑖+3𝑖𝑖−3

1−( −1) = − 1+5𝑖𝑖

2 = - 0,5 + 2,5i

5. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

х2 – 6х + 13 = 0 a = 1; b = -6; c = 13

D = b2 – 4ac

8

D = ( -6)2 – 4 ·1 · 13 = 36 – 52 = - 16

x1 = − 𝑏𝑏+ √𝐷𝐷

2𝑎𝑎; x1 =

6+ √− 162

= 6+ �16 · ( −1)2

= 6+4𝑖𝑖2

= 3 + 2i

x2 = − 𝑏𝑏− √𝐷𝐷

2𝑎𝑎; x1 =

6− √− 162

= 6− �16 · ( −1)2

= 6−4𝑖𝑖2

= 3 - 2i

Видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

6. Упражнения. 1. Вычислить

1) i242 ; 2) i64 3) i2301 4) i321; 5) i13 + i82; 6) i70 – i91 · i14; 7) i118 · (i403 + i35 – i9).

2. Найти z1 + z2; z1 – z2; z1· z2; z1 : z2, если 1) z1 = 4 + 2i, z2 = 1 – 2i, 2) z1 = 1 - 5i, z2 = 3 + i, 3) z1 = -2 + 3i, z2 = 7 –2 i, 4) z1 = -3 + 5i, z2 = 6 + 2 i, 5) z1 = 3i, z2 = 1 – i.

3. Решить уравнение: 1) 9х2 + 12х + 29 = 0 2) х2 – 4х + 13 = 0 3) х2 + 3х + 4 = 0 4) 2х2 – 10х + 13 = 0 5) 5х2 + 2х + 2 = 0.

Ответы:1. 1. -1; 2. 1; 3. i ; 4. i ; 5. -1+ i; 6. -1- i ;7. 3i. 2. 1. 5; 3 + 4i; 8 – 6i; 2i. 2. 4 – 4i; -2 – 6i; 8 – 14i; -0,2 – 1,6i. 3. 5 + i ; -9 + 5i; -8 + 25i;- 20

53+17𝑖𝑖

53.

4. 3+ 7i; -9 +3i; -28+24i; 0,7 + 0,9i. 5. 1 + 2i; -1 + 4i; 3 + 3i; -1,5 + 1,5i. 3. 1.- 2

3+5𝑖𝑖

3; -2

3 - 5𝑖𝑖

3 5. -0,2 + 0,6i; - 0,2 – 0,6i

2. 2 – 3i; 2 + 3i

3. −32

+ √72

𝑖𝑖 ; −32

- √72

𝑖𝑖 4. 2,5 + 0,5i;2,5 – 0,5i Тема 2.4 Вычисление корней и степеней

Тема: Вычисление корней и степеней

9

Практическая работа № 2

1.Понятие степени с натуральным показателем

Пусть а – некоторое число и n 𝜖𝜖 N, n > 1, то а · а · а · … · а��𝑛𝑛 раз

= а𝑛𝑛 – называется n – й

степенью числа а.

а𝒏𝒏 = b, где а – основание степени, n – показатель степени, b – результат возведения в степень.

Например, 35 = 243, т.к. 3· 3 · 3 · 3 · 3 = 243

2.Степени с целым показателем и их свойства

Для степеней с целыми показателями определение и обозначения такие же, как для степени с натуральным показателем.

Свойства:

1) an · am = an + m 2) an : am = an – m 3) (𝑎𝑎𝑛𝑛)𝑚𝑚 = an · m 4) (𝑎𝑎 · 𝑏𝑏)𝑛𝑛 = an · bn

5) �𝑎𝑎𝑏𝑏

�𝑛𝑛

= 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛

6) a0 = 1 7) a- n = 1

𝑎𝑎𝑛𝑛

3.Понятие корня n – й степени и его свойства

Пусть n ∈ N, n > 1 и b – некоторое число, то корнем n – й степени из числа b называется такое число а, что an = b.

Корни обозначаются с помощью знака радикала, т.е. а = √𝑏𝑏𝑛𝑛

Действие извлечение корня – это операция обратная операции возведения в степень (действие нахождения основания степени).

Например: √4 = 2, т.к. 22 = 4

√814 = 3,т. к. 34 = 81

Свойства:

1. √𝑎𝑎 · 𝑏𝑏𝑛𝑛 = √𝑎𝑎𝑛𝑛 · √𝑏𝑏𝑛𝑛

2. �𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛 = √𝑎𝑎

𝑛𝑛

√𝑏𝑏𝑛𝑛

3. � √𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛

= √𝑎𝑎𝑛𝑛 · 𝑚𝑚 4. � √𝑎𝑎𝑛𝑛 �

𝑛𝑛 = a

5. √𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 = � √𝑎𝑎𝑛𝑛 �𝑚𝑚

10

6. √𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 · 𝑚𝑚 = √𝑎𝑎𝑚𝑚 , или √𝑎𝑎𝑛𝑛 ·𝑚𝑚𝑛𝑛 = am

4.Понятие степени с действительным показателем, свойства

Степенью с действительным показателем называется такое число а , что 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑛𝑛

= √𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛

Свойства степеней с действительными показателями такие же как свойства степеней с целыми показателями.

5. Упражнения

1) Представить в виде степени с рациональным показателем:

1)√х3; 2)√а43 ; 3)√𝑏𝑏34 ; 4)√𝑥𝑥− 15 ; 5)√𝑎𝑎6 ; 6)√𝑏𝑏− 37

2)Представить в виде корня:

1)х12; 2)у

25; 3)а

− 53 ; 4)𝑏𝑏−

13; 5)(2𝑥𝑥)

12; 6)(3𝑏𝑏)−

23

3)Вычислить:

1)6412; 2)27

13; 3)8

23; 4)81

34; 5)16− 0,75; 6)9− 1,5

7)245 · 2

115 ; 8)5

27 · 5

57; 9)9

23 : 9

16; 10)4

13 : 4

56; 11)�8

112�

− 4

12)925 · 27

25; 13)7

23 · 49

23; 14)144

34 : 9

34; 15)150

32 : 6

32

16)897 : 8

27 - 3

65 · 3

45 17)22−3√5 · 8√5 18)31+2 √2

3 : 9 √2

3

4)Найти значение выражения:

1)√а3 · а16 при а = 0,09 2)√𝑏𝑏 : √𝑏𝑏6 при b = 27 3)𝑏𝑏

12 · √𝑏𝑏23 : √𝑏𝑏6 при b = 1,3

5)Разложить на множители:

1)а12 - 𝑏𝑏

12 2)𝑦𝑦

23 – 1 3)x - a 4)4𝑎𝑎

23 - 𝑏𝑏

23 5)0,01𝑚𝑚

16 - 𝑛𝑛

16

Тема: Вычисление логарифмов.


1. Определение логарифма.

Рассмотрим равенство: aс = b, где а – основание степени, с – показатель степени, b – результат возведения в степень.

Логарифмом положительного числа b по основанию а, где а > 0, а ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

11

c = log𝑎𝑎 𝑏𝑏

log3 5 читаем: логарифм числа 5 по основанию 3.

Действие нахождения показателя степени, по заданным основанию и результату возведения в степень, называется логарифмированием. Это действие – обратное возведению в степень.

Например:

1. log2 8 = 3, т.к. 23 = 8

2. log5 5 = 1, т.к. 51 = 5 3. log6

136

= - 2, т.к. 6- 2 = 136

4. log7 √7 = 12

5. log3 1 = 0, т.к. 30 = 1

6. log35

925

= 2, т.к. �35�

2= 9

25

7. log47

4916

= - 2, т.к. �47�

− 2 = 49

16

8. log0,5 0,125 = 3, т.к. (0,5)3 = 0,125

2. Основное логарифмическое тождество.

Так как aс = b (1.) и c = log𝑎𝑎 𝑏𝑏 (2.), то подставляя (2.) в (1.), получим

аlog𝑎𝑎 𝑏𝑏 = b

Это равенство называется логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество позволяет вычислять значения таких выражений:

1. 3log3 5 = 5 2. 25log25 7 = 7 3. 36log6 5 = (62)log6 5 = �6log6 5�

2 = 52 = 25

4. � 1125

�log5 4

= (5− 3)log5 4 = �5log5 4�− 3

= 4- 3 = 164

5. 31+ log3 7 = 31 · 3log3 7 = 3 · 7 = 21 6. 43+ log2 5 = 43 · 4log2 5 = 64 · (22)log2 5 = 64 · �2log2 5�

2 = 64 · 52 = 64 · 25 = 1600

1. Упражнения. 1. Найти логарифмы чисел по основанию 3:

3, 9, 27, 81, 1, 13, 1

9, 1

243, √33 , 13√3, 9√3

4 .

2.Вычислить:

12

1) log2 16; 2)log2 64; 3)log2 2; 4)log2 1; 5)log212; 6)log2

18; 7)log2 √2;

8)log21√24

; 9)log3 27 ; 10)log3 81 ; 11)log3 3 ; 12)log3 1; 13)log313;

14)log319; 15)log3 √3

4 ; 16)log31√34

;

17)log12

132

; 18)log12

4; 19)log0,5 0,0625; 20)log0,512; 21)log0,5 1;

22)log12

√23 ; 23)log5 625; 24)log6 216; 25)log41

16; 26)log5

1125

;

27)log15

125; 28)log13

27; 29)log14

164

; 30)log16

136

.

3. Вычислить:

1)35log3 2; 2)0,32log0,3 6; 3)10log10 2; 4)712log7 9; 5)8log2 5;

6)9log3 12; 7)16log4 7; 8)0,125log0,5 1 4.Выяснить, при каких значениях х существует логарифм: 1)log1

2(4 − х); 2)log0,2(7 − х); 3)log6

11−2х

; 4)log8−5

2х−1;

5)log14(− х2); 6)log0,7(−2х3)

5.Вычислить:

1)92 log3 5; 2)�19�

12log3 4 ; 3) �1

4�

−5 log2 5; 4)27

−4log13

5;

5)103− log10 5; 6)�17�

1+2 log7 3; 7)log2 log3 81; 8)log3 log2 8;

9)2log27 log10 1000; 10)13

log9 log2 8 ; 11)3log2 log4 16 + log12

2

12)log3 81 + log2 32; 13)log5 625 - log6 36; 14)log2 16 · log7 49 6.Решить уравнение: 1)logх 27 = 3; 2)logх

17

= −1; 3)logх √5 = - 4 4)2х = 5; 5)1,2х = 4; 6)42х + 3 = 5; 7)71 – 2х = 2

Тема: Преобразование выражений, содержащих логарифмы. Практическая работа № 4

1.Определение логарифма. Десятичные и натуральные логарифмы.

Рассмотрим равенство: aс = b, где а – основание степени, с – показатель степени, b – результат возведения в степень.

Логарифмом положительного числа b по основанию а, где а > 0, а ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

c = log𝑎𝑎 𝑏𝑏

13

log3 5 читаем: логарифм числа 5 по основанию 3.

Действие нахождения показателя степени, по заданным основанию и результату возведения в степень, называется логарифмированием. Это действие – обратное возведению в степень.

Например:

log2 8 = 3, т.к. 23 = 8

Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию 10, который обозначается lg b, вместо log10 𝑏𝑏.

Например:

lg1000 = 3, т.к. 103 = 1000

Натуральным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию е, где е = 2,7182818…(≈ 2,7).

Натуральные логарифмы обозначаются ln b, вместо logе 𝑏𝑏.

2.Основное логарифмическое тождество.

Так как aс = b (1.) и c = log𝑎𝑎 𝑏𝑏 (2.), то подставляя (2.) в (1.), получим

аlog𝑎𝑎 𝑏𝑏 = b

Это равенство называется логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество позволяет вычислять значения таких выражений:

7. 3log3 5 = 5 8. 36log6 5 = (62)log6 5 = �6log6 5�

2 = 52 = 25

3.Свойства логарифмов

1) log𝑎𝑎 𝑏𝑏 + log𝑎𝑎 𝑘𝑘 = log𝑎𝑎(𝑏𝑏 · 𝑘𝑘) 2) log𝑎𝑎 𝑏𝑏 - log𝑎𝑎 𝑘𝑘 = log𝑎𝑎 �

𝑏𝑏𝑘𝑘

� 3) r · log𝑎𝑎 𝑏𝑏 = log𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑟𝑟

Например:

1) log6 18 + log6 2 = log6 36 = 2

14

2) log12 48 - log12 4 = log12 �484

� = log12 12 = 1

3) log5 16log5 32

= log5 24

log5 25 = 4 · log5 2

5 · log5 2 = 4

5

4.Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

log𝑎𝑎 𝑏𝑏 =

log𝑘𝑘 𝑏𝑏log𝑘𝑘 𝑎𝑎

Например: log3 25 =

log5 25log5 3

= 2log5 3

5.Упражнения

1) Вычислить:

а)log2 8; log2 √2 ; log21

32; log4 16 ; log2 64; log2 2; log2 1;

б) log3 3; log3 √3 ; log13

127

; log13

81 ; log13

19; log1

327 ; log3

13;

2)Вычислить:

5log5 2; 7log7 3; 3log3 7; 6log6 12; 2log2 10; 32 ∙ log3 2; 42 ∙ log4 5; 52 ∙ log5 1; ; 92∙ log9 2; 43 ∙ log4 5; 71− log7 2; 31+ log3 5; 51+ log5 3; 21+ log2 3; 22 − log2 5.

3)Найти значение выражения:

1. log26 2 + log26 13 = 2. log81

32 + log8

12 = 3. lg 4 + lg 25 =

4. log2 5 - log258 = 5. log3 7 - log3

79 = 6. log1

228 - log1

27 =

7. log2 25log2 125

= 8. log7 4log7 8

= 9. log2 3log2 9

=

10. (9)log3 4 = 11. (27)log3 2 = 12. (25)log5 3 =

13. log4 16 ∙ log12

14 = 14. log5 25 ∙ log7 1 = 15. log3 1 ∙ log4 2 =

Тема: Решение простейших показательных и логарифмических уравнений и

15

неравенств.


По определению ас = b. Показательное уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени, т.е. показатель представлен в виде выражения, содержащего х. Такое уравнение будет иметь вид: af(x) = b –простейшее уравнение.

Т.к. мы можем сравнивать степени с одинаковыми основаниями, то число b надо представить в виде ас. Зная о том, что у равных степеней с одинаковыми основаниями, показатели равны, можно сделать вывод, f(x) = c. Решая это уравнение, найдем х. Т.к. показатель может быть любым числом, то область допустимых значений такого уравнения – все действительные числа.

Коротко все выше сказанное можно представить в виде схемы:

af(x) = b

af(x) = ас

f(x) = c

Например:

2х + 1 = 8

2х + 1 = 23

х + 1 = 3

х = 2

Принцип решения показательного неравенства аналогичен, единственное, необходимо учесть монотонность соответствующей показательной функции.

af(x) > b

af(x) > ас

а)ести а > 1, то функция будет возрастающей, знак не поменяется

f(x) > c

б)если а < 1, то функция будет убывающей, знак меняется

f(x) < c

Например:

0,3х – 3 < 0,09

0,3х – 3 < 0,32

а = 0,3 < 1, функция убывает, знак меняется

16

х – 3 > 2

х > 5

Принцип решения логарифмических уравнений и неравенств схож с решением показательных уравнений и неравенств, но необходимо учитывать область допустимых значений: т.к. мы рассматриваем только положительные основания, то выражение стоящее под знаком логарифма должно быть положительным.

logа 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐 ОДЗ: f(x) > 0

logа 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = log𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑐𝑐

f(x) = ac

f(x) = b

Например: log2(х + 2) = 3 ОДЗ: х + 2 > 0

log2(х + 2) = log2 23 х > - 2

х + 2 = 23

х + 2 = 8Место для уравнения.

х = 6 ∈ ОДЗ

Ответ: х = 6

Решить неравенство: log2(х + 2) < 3

log2(х + 2) < log2 23

а = 2 > 1,функция возрастает, знак не меняется

�х + 2 < 23

х + 2 > 0

�х + 2 < 8х + 2 > 0

� х < 6х > −2

Ответ: х ∈ (- 2; 6)

Упражнения:

1.Решить уравнения:

1) 35 – х = 181

2)252х – 1 = 125 3) �14�

3х = 32

4)0,22х +3 = 5х- 1 5) 2· 8х = 16 6) 2х = 3х

17

7) log4 х = 2 8)log3(х − 3) = 0 9)log12(2х + 5) = - 1

10)log5 2х = log5(1 + х) 11)log2(2 − х) = log2(4 − 3х)

2.Решить неравенство:

1)2х > 4 2)3х+ 5 > 127

3)�15�

х+3 < 25

4)0,2х ≤ 0,04 5)54х + 2 > 125 6)�23�

3х+6 > 4

9

7)log7 х ≤ 2 8)log0,1(2х − 1) < -1 9)log3 4х > 0

10)log2(х + 4) ≥ log2(3х − 1) 11)log25(1 − х) < log2

5(3 − х)

Тема: Задачи на параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.


1.Стереометрия. Аксиомы стереометрии.

Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются предметы в пространстве и их свойства.

Неопределяемые понятия: точка, прямая, плоскость. Аксиомы стереометрии: С1: Какова бы ни была плоскость, существуют точки ей принадлежащие и не

принадлежащие. С2: Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой,

проходящей через эту точку. С3: Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только

одну (аксиома о существовании плоскости). Следствия из аксиомы о существовании плоскости: 1.Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом

только одну. 2.Через три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и притом

только одну. 3.Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.

2.Взаимное расположение прямых, плоскостей, прямых и плоскостей в пространстве.

Плоскости в пространстве могут: 1.Пересекаться (иметь одну общую прямую), 2.Быть параллельными (нет общих прямых).

18

Прямые и плоскости в пространстве могут: 1.Пересекаться (иметь одну общую точку), 2. Быть параллельными (нет общих точек). Прямые в пространстве могут: 1.Пересекаться (иметь одну общую точку), 2. Быть параллельными (нет общих точек), (в первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости) 3.Быть скрещивающимися ( не лежат в одной плоскости).

3.Параллельность прямых и плоскостей.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема: Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и притом только одну.

Признак параллельности прямых: Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются и не

имеют общих точек. Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не принадлежащая

плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не

имеют общих точек (прямых). Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной

плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

4.Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Признак перпендикулярности прямых: если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой

плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой с плоскостью.

19

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости: 1.Если плоскость перпендикулярно одной из двух параллельных прямых, то она

перпендикулярна и другой. 2.Две прямые перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

5.Изображение пространственных фигур на плоскости.

Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ изображения фигуры состоит в следующем: берется произвольная прямая h, пресекающая плоскость чертежа α, проводится через произвольную точку А фигуры прямая, параллельная h. Точка А1 пресечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А. Построив таким образом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры.

Такой способ изображения пространственной фигуры на плоскости соответствует зрительному восприятию фигуры при рассмотрении ее издали.

Свойства изображения фигуры на плоскости: 1.Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками. 2.Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа

параллельными отрезками. 3.Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при

параллельном проектировании. Наряду с параллельным проектированием для изображения пространственных

фигур на плоскости может использоваться также центральное проектирование, которое состоит в следующем: берем произвольную точку S, не лежащую в плоскости чертежа α, и проводим через произвольную точку А фигуры прямую SA. Точка А1 пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображение точки А. Построив таким образом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры.

Этот способ изображения дает наглядное зрительное представление о фигуре, но точные размеры ее частей при этом теряются.

6.Задачи.

1.Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.

2.Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. 3.Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые,

лежат в одной плоскости. 4.Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то

она пересекает и другую. 5.Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные

плоскости.

20

6.Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

7.Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1, М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: 1)АА1 = 5см, ВВ1 = 7см; 2)АА1 = 3,6дм, ВВ1 = 4,8дм.

8. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1, М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ пересекает плоскость и если: 1)АА1 = 8,3см, ВВ1 = 4,1см; 2)АА1 = a дм, ВВ1 = b дм.

9.Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если: 1) АВ = 15см, АА1 : АС = 2 : 3; 2) АВ = 8см, АА1 : А1С = 5 : 3.

10.Параллелограммы АВСD и АВС1D1 лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник CDD1C1 тоже параллелограмм.

Тема: Перпендикуляр и наклонная.


1.Определения перпендикуляра и наклонной Пусть даны плоскость α и не принадлежащая

ей точка А.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки

на плоскость α, называется отрезок, соединяющий эту точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости α, называется основанием перпендикуляра.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость, называется расстоянием от точки до плоскости.

Наклонной, проведенной из данной точки А к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий точку А с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром.

Конец наклонной, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной, называется проекцией наклонной на плоскость.

2.Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. (обратное

21

утверждение: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции).

3.Угол между прямой и плоскостью

Пусть α – плоскость, а – пересекающая ее прямая,

не перпендикулярная плоскости. Основания перпен-

дикуляров, опущенных из каждой точки прямой а на

плоскость α, лежат на одной прямой а1 на плоскости .

Углом между прямой и плоскостью называется угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость.

4.Признак перпендикулярности плоскостей

Определение: две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная линии пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

5.Расстояние между скрещивающимися прямыми

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Теорема: две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

6.Угол между плоскостями

Пусть α ∩ β = с. Проведем плоскость γ так, чтобы с ┴ γ: γ ∩ α = а, γ ∩ β = в. Угол между прямыми а и в - это угол плоскостями α и β.

7.Угол между скрещивающимися прямыми

Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы.

22

Вертикальные углы равны, а смежные дополняют друг друга до 180�.

∠1 = ∠3

∠1 + ∠2 = 180�

Углом между прямыми называется угол с наименьшей градусной мерой. Угол между параллельными прямыми считается равным 0�.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

Пусть а и в – скрещивающиеся прямые.

а1 ǀǀ а, => ∠φ – угол между скрещивающимися

прямыми а и в.

8. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении В черчении применяется ортогональное проектирование, т.е. параллельное

проектирование прямыми, перпендикулярными плоскости проекции.

Чертежи деталей получаются путем ортогонального проектирования на одну, две или три взаимно перпендикулярные плоскости. Эти плоскости называются плоскостями проекций.

При выполнении чертежей пользуются различными условностями, предусмотренными стандартом. Например: невидимые линии изображаются пунктиром, центральные и осевые – штрихпунктирными линиями, резьба условно изображается сплошной тонкой линией.

9.Задачи

1.Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости этого треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон данного треугольника.

2.Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных друг от друга на расстояние 3,4 метра, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м., высота другого – 3,9 м. Найдите длину перекладины.

3.Стороны равностороннего треугольника равны 3 метра. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 метров от каждой из его вершин.

23

4.Отрезок длиной 10см пересекает плоскость, концы его находятся на расстоянии 2 и 3 метра от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.

5.Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол, равный: 1) 45�; 2) 30�; 3) 60�?

6.Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью основания углы 45� и 30�, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных.

Тема: Решение комбинаторных задач.


1.Правила комбинаторики.

Комбинаторика рассматривает задачи, связанные с составлением различных соединений (комбинаций).

Для решения комбинаторных задач необходимо знать правила комбинаторики (сложения, умножения, правило включения – исключения).

Рассмотрим два множества А и В. Множество – это совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-нибудь признаку. Эти объекты называют элементами множества. Количество элементов в множестве обозначают прямыми скобками.

Объединением множеств А и В называется множество состоящее из всех элементов множеств А и В.

Пересечением множеств А и В называется множество состоящее из общих элементов множеств А и В. Обозначается: А ∩ В.

24

Правило сложения:

Пусть во множестве А имеется m элементов, а во множестве В – n элементов, т.е. | А| = m, | B|= n.

Если у множеств А и В нет общих элементов, то в их объединении число элементов равно m + n, т.е. |А ∪ В | = | А | + | В |.

Задача: Два раза подряд бросают игральную кость. В каком числе случаев хотя бы один раз выпадет цифра 6?

Решение: Разобьем все случаи на два класса: ни разу не выпадет цифра 6, хоть раз выпадет цифра 6. Общих элементов у этих классов нет. Всего возможных вариантов, т.е. число последовательностей из двух цифр при запасе в 6 цифр, равно 62 , при запасе в 5 цифр, равно 52. Применяем правило сложения: 62 = 52 + х , откуда х = 62 – 52 = 36 – 25 = 11.

Ответ: при 36 бросаниях цифра 6 выпадет 11 раз.

Правило умножения:

Если существует m вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется n вариантов выбора второго элемента, то всего существует m·n различных пар с выбранными таким образом первым и вторым элементами.

Задача: сколько различных трехзначных чисел можно составить с помощью цифр 0, 1, 2, 3?

Решение: в качестве первой цифры можно выбрать любую из трех: 1, 2 или 3. В качестве второй и четвертой – любую из четырех данных чисел. Согласно правилу умножения число всевозможных трехзначных чисел равно 3·4·4 = 48.

Правило включения – исключения:

Рассмотрим случай, когда множества А и В имеют общие элементы. Тогда при объединении множеств А и В эти общие элементы будут дважды попадать: один раз с множеством А, второй раз с множеством В. Уберем второй случай, получим:

|А ∪ В | = | А | + | В | - | А ∩ В |

25

Задача: в группе каждый студент изучает какой-нибудь иностранный язык. 20 студентов изучают английский, 12 – французский. При этом 7 человек изучают оба языка. Сколько человек в группе?

Решение: Пусть А – множество студентов, изучающих английский язык, В – множество студентов, изучающих французский язык. Тогда |А| = 20, | В| = 12, | А ∩ В | = 7. Получим:

|А ∪ В | = | А | + | В | - | А ∩ В | = 20 + 12 – 7 = 25 человек в группе.

2.Перестановки.

Факториалом называется произведение

1·2·3·4· ··· ·n = n! или n·(n – 1)·(n – 2)· ··· ·3·2·1= n! (читается «эн факториал»).

1! = 1

2! = 1·2 = 2

3! = 1·2·3 = 6

4! 1·2·3·4 = 24 и т.д.

Считается, что 0 ! = 1

Перестановками из n элементов называют соединения, которые состоят из одних и тех же n элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Перестановки из n элементов обозначаются Pn

Задача: сколькими способами можно расставить рядом на полке 4 книги?

Решение: на первое место можно поставить одну из четырех книг, на вторую – одну из трех оставшихся, на третье – одну из двух, на четвертое – одну последнюю. Тогда согласно правилу умножения , получим 4·3·2·1 = 4! = 24 способа.

Таким образом можно записать формулу для нахождения числа перестановок:

Pn = n!

3.Размещения.

Размещениями m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

26

А𝒎𝒎𝒏𝒏 =𝒎𝒎!

(𝒎𝒎−𝒏𝒏)!

Задача: сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 1,2,3,4?

Решение: А42 = 4!

(4−2)! = 4 !

2! = 3·4 = 12 двузначных чисел.

4.Сочетания.

Сочетаниями из m элементов по n элементов (n ≤ m ) называют соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m различных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

С𝒎𝒎𝒏𝒏 =𝒎𝒎!

(𝒎𝒎−𝒏𝒏)!𝒏𝒏!

Задача: покупатель из имеющихся в питомнике 10 саженцев хочет выбрать 2. Сколькими способами он может это сделать?

Решение: если бы в выбираемой паре был важен порядок выбора, то количество пар можно было бы найти с помощью размещений, но т.к. в данном случае порядок выбора не имеет значения, то количество пар уменьшитМесто для уравнения.ся в 2 раза. Тогда С102 =

10!(10−2)!2!

= 10!8! 2

= 9 ·102

= 45.

5.Бином Ньютона.

Биномом называется двучлен вида а + b.

Для разложения бинома степени m воспользуемся формулой, которая называется биномом Ньютона.

(a + b)m = 𝐶𝐶𝑚𝑚0 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑏𝑏0 + 𝐶𝐶𝑚𝑚1 𝑎𝑎𝑚𝑚−1𝑏𝑏1 + 𝐶𝐶𝑚𝑚2 𝑎𝑎𝑚𝑚−2𝑏𝑏2 + … + 𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎0𝑏𝑏𝑚𝑚, где

С𝑚𝑚0 = 𝐶𝐶𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1

(a + b)4 = 1· 𝑎𝑎4· 1 + 4·𝑎𝑎3·𝑏𝑏1 + 6·𝑎𝑎2·𝑏𝑏2 + 4·𝑎𝑎1·𝑏𝑏3 + 1·1·𝑏𝑏4 = 𝑎𝑎4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

6.Задачи.

1.Сколько различных трехзначных чисел с разными цифрами можно записать с помощью цифр 2,3,5?

2. Сколько различных трехзначных чисел с разными цифрами можно записать с помощью цифр 5,1 и 0?

3. Сколько различных трехзначных чисел с разными цифрами можно записать с помощью цифр 2 и 0?

4.Сколькими способами могут занять очередь в буфет 6 студентов?

27

5.Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, так, чтобы первой была цифра 2, а последней – 4?

6. Сколько существует способов для обозначения с помощью букв A,B,C,D,E,F вершин данного треугольника?

7.В группе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать из их числа старосту и профорга?

8. В группе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать из их числа старосту, заместителя старосты и профорга?

9. Сколькими способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать трех студентов?

10.На окружности отмечено 8 точек. Сколько различных выпуклых четырехугольников с вершинами, выбранными в этих точках, можно построить?

11. В хоре 9 мальчиков и 12 девочек. Сколькими способами из состава хора можно выбрать на городской конкурс 4 мальчика и 4 девочки?

12.Записать разложение бинома:

а) (1 + р)8 г) (а – 1)10

б) (х + 2)5 д) (у – 3)4

в) (2х + 1)6 е) (4у - 12)5

13. Указать множитель перед х5у3 в разложении бинома (х + 2у)

Тема: Применение векторов при решении задач.


1.Векторы и их виды.

Вектором называется любой направленный отрезок.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, направленные в одну сторону. Коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны – противоположно направленные векторы. Равными называются вектора длина и направление которых совпадают. Противоположные векторы – это противоположно направленные векторы равной длины.

2.Действие над векторами в геометрической форме.

28

Суммой векторов а�⃗ и в�⃗ называется такой вектор с⃗, начало которого совпадает с началом вектора а�⃗ , а конец - с концом вектора в�⃗ , при условии, что начало вектора в�⃗ перенесено в конец вектора а�⃗ .

Разностью векторов а�⃗ и в�⃗ называют сумму векторов а�⃗ и - в�⃗ , т.е а�⃗ - в�⃗ = а�⃗ + (-в�⃗ ).

Произведение вектора а�⃗ на вещественное число к называется вектор ка��⃗ , длина которого равна кǀа�⃗ ǀ, и коллинеарен вектору а�⃗ .

3.Действие над векторами в координатной форме.

1) при сложении двух векторов складываются их одноименные координаты.

а�⃗ = (1; 3; -5), в�⃗ = (3; 0 2)

а�⃗ + в�⃗ = (1+3; 3 + 0; -5 +2) = (4; 3; -3)

2) при вычитании двух векторов вычитаются их соответствующие координаты.

а�⃗ - в�⃗ = (1 – 3; 3 – 0; -5 -2) = (-2; 3; -7)

3) при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число.

2а��⃗ = 2(1; 3; -5) = (2; 6; -10)

4.Скалярное произведение векторов.

Если вектора заданы своими длинами, то скалярным произведением векторов а�⃗ и в�⃗ называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

а�⃗ · в�⃗ = ǀа�⃗ ǀ · ǀ вǀ��⃗ · cos ∠(а�⃗ , в�⃗ )

Если вектора заданы своими координатами, то скалярным произведением векторов а�⃗ и в�⃗ называется число равное сумме произведений соответствующих координат:

а�⃗ · в�⃗ = хахв + уаув + zazв

5.Длина вектора.

Длину вектора можно рассматривать как длину радиуса окружности с центром в начале координат, уравнение которой х2 + у2 = r2, поэтому

ǀа�⃗ ǀ = �х2 + у2 + 𝑧𝑧2

6.Угол между векторами.

Из формул скалярного произведения:

а�⃗ · в�⃗ = ǀа�⃗ ǀ · ǀ вǀ��⃗ · cos ∠(а�⃗ , в�⃗ )

29

а�⃗ · в�⃗ = хахв + уаув + zazв

следует cos ∠(а�⃗ , в�⃗ ) = хахв+ уаув+ 𝑧𝑧𝑎𝑎𝑧𝑧в ǀа�⃗ ǀ · ǀ вǀ��⃗

= φ, => ∠(а�⃗ , в�⃗ ) = arccos φ

7.Деление отрезка в заданном отношении.

Если точка М делит отрезок АВ в отношении λ, то координаты точки М находятся по формулам:

Хм = ХА+ 𝜆𝜆ХВ

1+ 𝜆𝜆 ; Ум =

УА+ 𝜆𝜆УВ1+ 𝜆𝜆

; Zм = 𝑍𝑍𝐴𝐴+ 𝜆𝜆𝑍𝑍𝐵𝐵

1+ 𝜆𝜆

8.Задачи

1.Дан ∆ АВС. Точка М – середина стороны АВ, точка К – середина стороны ВС, АМ��⃗ = 𝑙𝑙1��⃗ , 𝐴𝐴𝐴𝐴��⃗ = 𝑙𝑙2��⃗ . Разложить в базис (𝑙𝑙1��⃗ , 𝑙𝑙2��⃗ ) следующие вектора: АВ,��⃗ ВС��⃗ , СА��⃗ , МК��⃗ .

2.Задайте два неколлинеарных вектора а�⃗ и 𝑏𝑏�⃗ . Постройте вектор: 𝑐𝑐 = 2𝑎𝑎��⃗ + 𝑏𝑏�⃗ ; 𝑑𝑑= �⃗�𝑎 - 3𝑏𝑏��⃗ .

3.Найдите вектор 4а�⃗ + 2(в�⃗ - с⃗), если а�⃗ = (2; -3), в�⃗ = (1; 5), с⃗ = (0; - 2)

4.Найти значение выражения (2с⃗ - а�⃗ )·(3а�⃗ + в�⃗ ), если |а�⃗ | = 2, |в�⃗ | = 3, |с⃗| = 1, ∡(а�⃗ ,в�⃗ )= 30°, ∡(а�⃗ ,с⃗)= 90°, ∡(в�⃗ ,с⃗)= 60°.

5. А(2; -3), В(4; 0), С(5;4). Найти длины векторов АВ��⃗ , СВ��⃗ , АС��⃗ .

6.Дан четырехугольник ABCD. Найти периметр четырехугольника, если

A(-2;-1;3), B(0; 1; 4), C(2; 0; 4), D(3; -2; 3).

7.Найти угол между векторами а�⃗ = (4;0), в�⃗ = (2,-2)

8.Отрезок АВ задан точками А(2;3) и В(10;11). Найти координаты точки С, если |АС| : |СВ| = 3 : 5.

9.Найти длину медианы АМ треугольника с вершинами А(2; -2; 0), В(7; -3; 1), С(1; -1; 5).

Тема: Решение задач по теме «Радианная мера угла»


Чтобы хорошо

1.Уметь определять местоположение точки на числовой окружности.

2.Уметь переходить из радианной меры в градусную и обратно:

𝛼𝛼� = 𝜋𝜋180

· 𝛼𝛼� α(рад) = 180𝜋𝜋

· α(рад)

Например:

30

1)Перевести из градусной меры в радианную 140�:

120� = 𝜋𝜋180

· 120 = 2𝜋𝜋3

(рад)

2)Перевести из радианной меры в градусную 𝜋𝜋5 рад.:

𝜋𝜋5 = 180

𝜋𝜋 · 𝜋𝜋

5 = 36�

3)Определить местоположение точки на окружности, совершившей поворот на угол 112� и на угол - 4𝜋𝜋

5 рад.

Решение: зная о том, что положительные углы откладываются против часовой стрелки от точки (1; 0) и

1 четверть: от 0� до 90�(𝜋𝜋2 рад)

2 четверть: от 90� до 180�(π рад)

3 четверть: от 180� до 270�(3𝜋𝜋2

рад)

4 четверть: от 270� до 360� (2π рад),

легко понять, что в первом случае точка попадет во вторую четверть.

Отрицательные углы откладываются по часовой стрелки, следовательно во втором случае надо рассматривать нижнюю половину окружности, - 5𝜋𝜋

5 – точка окажется на оси ох

в (-1; 0). В нашем случае точка совершила поворот на угол - 4𝜋𝜋5

, следовательно она окажется в 3 – й четверти.

Задачи:

1)Перейти от градусной меры в радианную: 15�, 35�, 92�, 140�, 210�, 320�, 350�, 400� 2)перейти от радианной меры к градусной: 𝜋𝜋

10, 𝜋𝜋

12, 𝜋𝜋

5, 2𝜋𝜋

3, 4𝜋𝜋

5, 5𝜋𝜋

4, 8𝜋𝜋

3

3)Определить местоположение точки на числовой окружности, совершившей поворот на угол: 3�, 100�, 115�, 172�, 280�, 320�, 210�,-14�, -220�, -400�, 𝜋𝜋

7, 3𝜋𝜋

4, 5𝜋𝜋

3, 13𝜋𝜋

3

Тема: Вычисление значений тригонометрических выражений.


Для вычисления значений тригонометрических выражений, необходимо знать ряд формул:

1. Таблица значений тригонометрических функций Мера 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

31

угла 0 𝝅𝝅𝟔𝟔

𝝅𝝅𝟒𝟒

𝝅𝝅𝟑𝟑

𝝅𝝅𝟐𝟐

𝟐𝟐𝝅𝝅𝟑𝟑

𝟑𝟑𝝅𝝅𝟒𝟒

𝟓𝟓𝝅𝝅𝟔𝟔

𝝅𝝅

sin a 0 𝟏𝟏

𝟐𝟐 √𝟐𝟐

𝟐𝟐

√𝟑𝟑𝟐𝟐

1 √𝟑𝟑

𝟐𝟐

√𝟐𝟐𝟐𝟐

𝟏𝟏𝟐𝟐

0

cos a 1 √𝟑𝟑𝟐𝟐

√𝟐𝟐𝟐𝟐

𝟏𝟏𝟐𝟐

0

−𝟏𝟏𝟐𝟐

−√𝟐𝟐𝟐𝟐

−√𝟑𝟑𝟐𝟐

-1

tga 0 √𝟑𝟑𝟑𝟑

1 √𝟑𝟑 ∞ −√𝟑𝟑 -1

−√𝟑𝟑𝟑𝟑

0

ctga ∞ √𝟑𝟑 1 √𝟑𝟑𝟑𝟑

0

−√𝟑𝟑𝟑𝟑

-1 −√𝟑𝟑 ∞

2.Формулы отрицательных углов: cos(-α) = cosα sin(-α) = - sinα tg( - α) = - tgα ctg( - α) = - ctgα 3)Основное тригонометрическое тождество: cos2α + sin2α = 1 4)Знаки тригонометрических выражений по четвертям: cosα sinα tgα, ctgα

- + + + - +

- + - - + -

Например: 1. Найти cosα, tgα, ctgα, если sinα = 1

4, 𝜋𝜋

2 < α < π

Решение: из основного тригонометрического тождества выразим

cosα = ∓ √1 − sin 𝛼𝛼2. Из неравенства 𝜋𝜋2 < α < π следует, что точка находится во

второй четверти, косинус принимает знак ,,-“:

cosα = − √1 − sin 𝛼𝛼2 = - �1 − �14�

2= - �1 − 1

16 = - √15

4

tgα = sin 𝛼𝛼cos 𝛼𝛼

= 14 : �− √15

4� = = - 1

√15 = -√15

15

ctgα = cos 𝛼𝛼sin 𝛼𝛼

= - √15

2.Найти значение выражения: 2 �𝑡𝑡𝑡𝑡 �− 𝜋𝜋

4� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 �− 𝜋𝜋

3�� = 2(- tg𝜋𝜋

4 – cos2𝜋𝜋

3) = 2(- 1 - 1

4) = 2(- 5

4) = - 2,5

Задачи:

32

1. Найти sin α, tgα, ctgα, если cosα = - 25 и π < α < 3𝜋𝜋

2

2. Найти sin α, tgα, ctgα, если cosα = 34 и 3𝜋𝜋

2 < α < 2π

3. Найти sin α, cosα, tgα, если ctgα = 13 и π < α < 3𝜋𝜋

2

4. Найти sin 𝛼𝛼, cos 𝛼𝛼, ctgα, если tg α = -4, 3𝜋𝜋2

< α < 2π

5. Вычислить: 12 · 𝑡𝑡𝑡𝑡�−

𝜋𝜋3�+ cos�−

𝜋𝜋6�

1−𝑡𝑡𝑡𝑡�−𝜋𝜋4� · sin�−𝜋𝜋3�

6.Вычислить: cos�−𝜋𝜋3�+2 sin�−

𝜋𝜋6� · 𝑡𝑡𝑡𝑡�−

𝜋𝜋4�

1− cos(−𝜋𝜋)

7.Вычислить: 1+𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛�−𝜋𝜋2� · 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡�−

𝜋𝜋4�

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠�−𝜋𝜋3� · 𝑡𝑡𝑡𝑡�−𝜋𝜋4�

Тема: Решение задач на применение основных тригонометрических формул


Для преобразования тригонометрических выражений, необходимо знать ряд формул: 1.Формулы сложения sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ sin(α – β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ cos(α + β) = cosα · cosβ – sinα · sinβ cos(α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ Например: найти sin75�

sin75� = sin(30� + 45�) = sin30 · cos45 + cos30 · sin45 = 12 · √2

2 + √3

2 · √2

2 = √2+ √6

4

2.Формулы приведения: Если данный угол можно представить в виде π ∓ 𝛼𝛼, 𝜋𝜋

2 ∓ α, 3𝜋𝜋

2 ∓ 𝛼𝛼 , 2π ∓ 𝛼𝛼, где

α

33

3.Формулы суммы и разноси синусов, суммы разности косинусов: sinα + sinβ= 2sin𝛼𝛼+ 𝛽𝛽

2 · cos𝛼𝛼− 𝛽𝛽

2

sinα - sinβ= 2sin𝛼𝛼− 𝛽𝛽2

· cos𝛼𝛼+ 𝛽𝛽2

cosα + cosβ = 2cos𝛼𝛼+ 𝛽𝛽2

·cos𝛼𝛼− 𝛽𝛽2

cosα - cosβ = - 2sin𝛼𝛼+ 𝛽𝛽2

·sin𝛼𝛼− 𝛽𝛽2

Например: Найти значение выражения cos150� + cos30� Решение: cos150 + cos30 = 2cos150+30

2 · cos150−30

2 = 2cos90 cos60 = 2 · 0 · 1

2 = 0

Задачи: 1.Вчислить по формулам сложения: sin 225� ; cos2𝜋𝜋

3; tg 225� ; ctg2𝜋𝜋

3

2.вычислить по формулам приведения: cos 135� ; tg 7𝜋𝜋

6; sin 225� ; cos2𝜋𝜋

3

3.Упростить выражение:

1 – sin2α · ( 1 + ctg2α)

cos2α + ctg2α + sin2α

cosα – sinα · ctgα

4.Доказать тождество:

2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝛼𝛼−𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛4𝛼𝛼2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝛼𝛼+ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛4𝛼𝛼

= tg2α

gα – tgβ = 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(𝛼𝛼− 𝛽𝛽)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛼𝛼 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽

ctgα – 1= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝛼𝛼𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼 · 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛼𝛼+ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2 𝛼𝛼

2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝛼𝛼 = 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝛼𝛼

Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств


1)cost = a, a ∈ ⟦− 1; 1⟧ arccos(- a) = π - arccos a

t1 = arccos a + 2πn, n∈ N

t2 = - arccos a + 2πn, n∈ N частные случаи:

1.cost = 1

t = 0 + 2πn, n∈ N

2.cos t = 0

34

t = 𝜋𝜋2 + πn, n∈ N

3.cos t = - 1 t = π= 2πn, n∈ N 2)sint = a, a ∈ ⟦− 1; 1⟧ arcsin (- a) = - arcsin a t1 = arcsin a+ 2πn, n∈ N t2 = π - arcsin a+ 2πn, n∈ N частные случаи: 1.sint = 1 t = 𝜋𝜋

2 + 2πn, n∈ N

2.sin t = 0 t = 0 + πn, n∈ N 3.sin t = - 1 t = - 𝜋𝜋

2 + 2πn, n∈ N

3)tg t =a arctg ( - a) = - arctg a t = arctg a + πn, n∈ N Задачи: решить уравнения 1.sin x = 1 2.cos x = 1

2

3.tg x = 0

4. sin 3x= √22

5.cos 𝑥𝑥3 = √3

2

6.tg 2x = 1 7.sin(x + 𝜋𝜋

4) = 0

8.cos(2x - 𝜋𝜋6) = -1

9.tg(x + 𝜋𝜋3) = √3

Тема: Область определения функции

Практическая работа № 14 Область определения функции – это множество всех действительных значений

х, при которых функция существует, т.е. выполняются все законы, собранные в формуле функции и в пару к некоторому значению х можно поставить соответствующее значение у.

Но не все действия на множестве действительных всегда чисел выполняются (деление и извлечение корня четной степени). Поэтому нам необходимо отыскать такие значения х и исключить их.

Например: у = 2х−3х+4

х + 4 ≠ 0 х ≠ - 4 следовательно D(f): х ∈ (-∞; −4) ∪ (- 4; +∞) у = √2х − 4 2х – 4 ≥ 0 х ≥ 2 следовательно D(f): х ∈ [2; + ∞) Задачи: найти область определения функции: 1)у = 4х - √1 + х

35

2)у = √3х + 123 3)у = х2 + 3х - х

4

4)у = 4х+1х+5

5)у = 1х + 3х

3−х

6)у = √1+5хх−1

7)у = 4х+6√х+7

- 1х+4

Тема: Чтение графиков функций. Практическая работа № 15

По данным графикам функций (раздаточный материал) перечислить свойства функции:

1.область определения (отрезок или интервал оси ох) 2.четность, нечетность (симметричен график относительно оси оу,

симметричен относительно начала координат) 3.нули функции( точки пересечения графика с осью ох – координаты х этих

точек.0 4.промежутки знакопостоянства (промежутки оси ох, на которых график выше

или ниже оси ох: f(x) > 0, f(x)

36

V = Sосн. · H

Задача: найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 5м, высота7м.

Решение: ABCDAA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма – это прямая призма, в основании которой лежит квадрат.

Sполн. = Sбок. + 2Sосн.

Sосн. = Sкв.= AB2 = 52 = 25м2

Sбок = Росн · h, h = H = 7м

Росн = Ркв = 4AB = 4· 5 = 20м

Следовательно: Sбок = 20 · 7 = 140м2

Следовательно: Sполн. = 140 + 2 · 25 = 190м2

V = Sосн. • H

Следовательно: V = 25 · 7 = 175м3

Пирамида – это многогранник, состоящий из плоского многоуголь�

ceophhk tip akthqeckhx p aeot no yqeehoh … · Сборник задач содержит...

Documents