metoda bagidua · pdf file0 untuk 𝑛= s, t, u,, ambil barisan aprolsimasi ... algoritma...
TRANSCRIPT
Metoda Bagidua
Metoda Secant 0 Pertimbangan rasional
Jika |f(a)|<|f(b)| maka akarnya akan lebih dekat ke a daripada ke b, asalkan gradiennya tidak terlalu tajam.
(Inilah ide awal dari metoda secant)
0 Garis Secant adalah garis yang melalui (a,f(a)) dan(𝑏, 𝑓 𝑏 )
0 Sehingga penentuan nilai aprosimasi bergantung pada fungsi
Gambar 1 (a) metoda secant (b) metoda bagi dua
0 Ambil 𝑝−1 = 𝑎, 𝑝0 = 𝑏
0 Aproksimasi 𝑝1 diambil sebagai absis titik potong garis secant dengan sb. 𝑋.
0 Persamaan garis secant yang melalui 𝑝−1, 𝑓 𝑝−1 dan 𝑝0, 𝑓 𝑝0 diberikan oleh
𝑦 = 𝑓 𝑝0 +𝑓 𝑝0 − 𝑓 𝑝−1
𝑝0 − 𝑝−1𝑥 − 𝑝0
0 Titik potong garis ini dg sb. 𝑋 yaitu saat 𝑦 = 0 diperoleh
𝑥 = 𝑝0 −𝑓 𝑝0 𝑝0 − 𝑝−1
𝑓 𝑝0 − 𝑓 𝑝−1
0 Ambil 𝑝1 = 𝑥
𝑝1 = 𝑝0 −𝑓 𝑝0 𝑝0 − 𝑝−1
𝑓 𝑝0 − 𝑓 𝑝−1
0 Mulailah dengan interval [𝑎, 𝑏] yang memuat akar 𝑓 𝑥 = 0
0 Ambil 𝑝−1 = 𝑎 dan 𝑝0 = 𝑏
0 Untuk 𝑛 = 1,2,3,…, ambil barisan aprolsimasi (𝑝𝑛) sbb
𝑝𝑛 = 𝑝𝑛−1 −𝑓 𝑝𝑛−1 𝑝𝑛−1 − 𝑝𝑛−2
𝑓 𝑝𝑛−1 − 𝑓 𝑝𝑛−2
0 Tidak ada formulasi untuk estimasi error pada metoda secant seperti pada metoda bagidua sehingga error tidak dapat diestimasi melalui banyaknya iterasi. Jadi kri-teria stopping dengan menetapkan banyak iterasi N di awal algoritma tidak dapat memberikan estimasi error. Alternatifnya kita dapat menggunakan kriteria stopping berikut.
Algoritma Metoda Secant
0 Berhenti bila 𝑓 𝑝𝑛 < 𝑇𝑂𝐿
0 Berhenti bila 𝑝𝑛 − 𝑝𝑛−1 < 𝑇𝑂𝐿
kriteria kedua didasarkan pada kenyataan bahwa jika jarak antara kedua aproksimasi semakin lama semakin kecil, yaitu 𝑝𝑛 − 𝑝𝑛−1 < 𝑇𝑂𝐿 maka barisan aproksimasi (𝑝𝑛) akan konvergen ke akar eksaknya, sebab (𝑝𝑛) merupakan barisan Cauchy sehingga ia akan konvergen.
Kriteria Stopping
Soal
0 Hitung secara manual menggunakan metoda secant
1. Aproksimasi akar dari persamaan tak linier
𝑥 − 𝑒−𝑥
3 = 0 pada interval 0,1
2. Aproksimasi akar dari persamaan tak linier 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 1 sin 3𝑥 = 0 pada interval [2,3]
Metoda False Position 0 Pada metoda ini pengambilan aproksimasi mengikuti
metoda secant namun pem-bentukan garis secant menggunakan ide pada metoda bagidua yaitu dengan cara mempertahankan subinterval yang memuat akar.
Metoda False Position vs Bagidua
0 Mulailah dengan interval [𝑎, 𝑏] yang memuat akar 𝑓 𝑥 = 0
0 Ambil 𝑎1 = 𝑎 dan 𝑏1 = 𝑏
0 Untuk 𝑛 = 1,2,3,…, ambil barisan aprolsimasi (𝑝𝑛) , 𝑎𝑛+1 dan (𝑏𝑛+1)
𝑝𝑛 = 𝑏𝑛 −𝑓 𝑏𝑛 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛
𝑓 𝑏𝑛 − 𝑓 𝑎𝑛
dan
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛, 𝑏𝑛+1 = 𝑝𝑛 bila 𝑓 𝑎𝑛 . 𝑓 𝑝𝑛 < 0
𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑛, 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 bila 𝑓 𝑎𝑛 . 𝑓 𝑝𝑛 > 0
Algoritma Metoda False Position
Soal
0 Hitung secara manual menggunakan metoda false position aproksimasi akar dari persamaan tak linier 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 1 sin 3𝑥 = 0 pada interval [2,3]