metoda newton -raphson in programe industriale de calculgropa.narod.ru/puc2_4.pdf · 2013. 4....

Metoda NewtonMetoda Newton--Raphson in Raphson in

programe industriale de calculprograme industriale de calcul

lect.sup. Victor GropaVictor Gropa

« Programarea si Utilizarea Calculatoarelor II »

Univesitatea Tehnică a Moldovei

Facultatea de Energetică

Catedra Electroenergetica

CUPRINS

• Introducere.

• Analiza formelor de scriere a

ecuaţiilor tensiunilor nodale.

• Algoritmul de calcul.

• Exemplu.

• Programare in PSS/E.

• Programare in RASTR.

INTRODUCERE

În calculele regimurilor permanente ale reţelelor electrice se utilizează pe larg ecuaecuaţţiile tensiunilor iile tensiunilor nodalenodale.

Avantajele care le permite această largă utilizare constau în:

• simplitatea formării lor,

• posibilităţilor mari de programare,

• utilizarea unui număr relativ mic de necunoscute.

INTRODUCERE

Ecuaţiile neliniare a tensiunilor nodale descriu regimul permanent de funcţionare a reţelei electrice, fiind injectaţi curenţi neliniari.

În schemele reţelelor electrice curenţii neliniari pot reprezenta:

• Generator cu puterea constantă;

• Sarcina consumatorului dată prin caracteristica statică;

• Sarcina constantă de putere.

INTRODUCERE

Rezolvarea sistemului de ecuaţii a tensiunilor nodale poate fi efectuată prin:

– Metoda Gauss-Seidel;

– Metoda Newton-Raphson.

Metoda de rezolvare utilizată mai frecvent în calculul regimurilor permanente de funcţionare este metoda Newton-Raphson, care este integrată în PSS/E şi RASTR.

INTRODUCERE

Metoda Newton-Raphson se caracterizează prin „nervozitate”, dar convergenţă rapidă. „Calmul” metodei „Gauss-Seidel” costă timp, procesul global de calcul fiind mai îndelungat. Comparaţia între cele două metode poate fi asemănată cu două scene de vânătoare.

Urmărirea unei gazele de către un ghepard durează foarte puţin timp (câteva „iteraţii”) dar, datorită nervozităţii atacului, nu rareori ghepardul ratează: aceasta reprezintă divergenţa în metoda Newton.

O vânătoare de vulpi cu o mulţime finită de setteri englezi nu oferă o urmărire „la vedere” ca în cazul african anterior: se parcurge „urma” în timp îndelungat (multe „iteraţii”), cu pierderi, ezitări, reveniri, dar niciodată vulpea nu scapă: aceasta este metoda Gauss-Seidel.

Analiza formelor de scriere a

ecuaţiilor tensiunilor nodale

Formele de scriere a ecuaţiilor tensiunilor nodale sunt:

• Bilanţul puterilor în coordonate carteziene;

• Bilanţul puterilor în coordonate polare;

• Bilanţul componentelor reale şi imaginare ale curenţilor în coordonate carteziene;

• Bilanţul componentelor reale şi imaginare ale curenţilor în coordonate polare.

Bilanţul puterilor în coordonate

carteziene

Ecuaţiile tensiunilor nodale în formă matricială, la utilizarea bilanţului de putere în coordonate carteziene, au forma:

•

−

•=⋅⋅ SUY]U[

**

g

În această relaţie vectorul tensiunilor complexe este prezentat în coordonate carteziene:

]U,...,U,U,U,...,U,U[]U[ ''g''2

''1

'g

'2

'1g =

•


carteziene

În acest caz ecuaţia, ce corespunde nodului i, poate fi scrisă astfel:

,0iQ)'jU

'iU

''ijY

''jU

'iU

'ijY

y

ij

1j

''jU

''iU

''ijY

'jU

''iU

'ijY()

2''iU

2'iU(

''iiY)

''U,'U(iQ

;0iP)'jU

''iU

''ijY

''jU

''iU

'ijY

y

ij

1j

''jU

'iU

''ijY

'jU

'iU

'ijY()

2''iU

2'iU(

'iiY)

''U,'U(iP

=−⋅⋅−⋅⋅∑

≠

=−⋅⋅−⋅⋅++⋅−=

=−⋅⋅+⋅⋅+∑

≠

=⋅⋅−⋅⋅++⋅=

unde este conductanţa proprie a nodului i;

- conductanţa mutuală a nodurilor i,j.ii

Y−

ijY−


carteziene

Expresiile pentru determinarea elementelor matricei Iacobi au următoarea formă:

∑

≠

=⋅+⋅+⋅⋅=

∂

∂

∑

≠

=⋅−⋅+⋅⋅=

∂

∂

y

ij

1j);'jU

''ijY

''jU

'ijY(

'iiY

''iU2''

iU

)''U,'U(iP

y

ij

1j);''jU

''ijY

'jU

'ijY(

'iiY

'iU2'

iU

)''U,'U(iP

∑

≠

=⋅−⋅+⋅⋅−=

∂

∂

∑

≠

=⋅+⋅+⋅⋅=

∂

∂

y

ij

1j);''jU

''ijY

'jU

'ijY(

''iiY

''iU2''

iU

)''U,'U(iQ

y

ij

1j);'jU

''ijY

''jU

'ijY(

''iiY

'iU2'

iU

)''U,'U(iQ;'iU

''ijY

''iU

'ijY'

jU

)''U,'U(iQ

''jU

)''U,'U(iP

;''iU''ijY

'iU

'ijY''

jU

)''U,'U(iQ

'jU

)''U,'U(iP

⋅−⋅=∂

∂=

∂

∂

⋅+⋅=∂

∂−=

∂

∂


polare

Spre deosebire de forma de scriere anterioară, vectorul tensiunilor complexe este prezentat în coordonate polare:

Ecuaţia, ce corespunde nodului i, poate fi scrisă astfel:

]g,...,2,1,gU,...,2U,1U[]gU[ δδδ=•

,0iQy

ij

1j)ijcos

''ijYijsin

'ijY(jUiU

2i

U''iiY),U(iQ

;0iPy

ij

1j)ijsin

''ijYijcos

'ijY(jUiU

2i

U'iiY),U(iP

=−∑

≠

=δ−δ⋅⋅⋅+⋅−=δ

=−∑

≠

=δ+δ⋅⋅⋅+⋅=δ

unde = - .ijδ iδ jδ


polare


∑

≠

=δ⋅−δ⋅⋅⋅−=

δ∂

δ∂

∑

≠

=δ⋅+δ⋅⋅+⋅⋅=

∂

δ∂

y

ij

1j);ijcos

''ijYijsin

'ijY(jUiU

i

),U(iP

y

ij

1j);ijsin

''ijYijcos

'ijY(jUiU

'iiY2

iU

),U(iP

∑

≠

=δ⋅+δ⋅⋅⋅=

δ∂

δ∂

∑

≠

=δ⋅−δ⋅⋅+⋅⋅−=

∂

δ∂

y

ij

1j);ijsin

''ijYijcos

'ijY(jUiU

i

),U(iQ

y

ij

1j);ijcos

''ijYijsin

'ijY(jUiU

''iiY2

iU

),U(iQ

);ijcos''ijYijsin

'ijY(jUiU

j

),U(iP

);ijsin''ijYijcos

'ijY(iU

jU

),U(iP

δ⋅−δ⋅⋅⋅=δ∂

δ∂

δ⋅+δ⋅⋅=∂

δ∂

);ijsin''ijYijcos

'ijY(jUiU

j

),U(iQ

);ijcos''ijYijsin

'ijY(iU

jU

),U(iQ

δ⋅+δ⋅⋅⋅−=δ∂

δ∂

δ⋅−δ⋅⋅=∂

δ∂

Bilanţul componentelor reale şi imaginare

ale curenţilor în coordonate carteziene

Ecuaţiile tensiunilor nodale, în formă matricială, utilizând bilanţul de curenţi are următoarea formă:

Dacă tensiunile nodale complexe sunt prezentate prin coordonate carteziene, atunci pentru nodul i pot fi scrise următoarele relaţii:

.*S1]

*

gU[UY ⋅−=

•⋅•

−

.02''

iU2'iU

'iUiQ

''iUiP

y

ij

1j)'jU

''ijY

''jU

'ijY(

'iU

''iiY

''iU

'iiY)

''U,'U(''J

;02''

iU2'iU

''iUiQ

'iUiP

y

ij

1j)''jU

''ijY

'jU

'ijY(

''iU

''iiY

'iU

'iiY)

''U,'U('J

=+

⋅−⋅−∑

≠

=⋅+⋅+⋅+⋅=

=+

⋅+⋅−∑

≠

=⋅−⋅+⋅−⋅=


ale curenţilor în coordonate carteziene


;4iU

''iU

'iUiP2)

2''iU

2'iU(iQ''

iiY''iU

)''U,'U('iJ

;4iU

''iU

'iUiQ2)

2''iU

2'iU(iP'

iiY'iU

)''U,'U('iJ

⋅⋅⋅−−⋅−−=

∂

∂

⋅⋅⋅+−⋅+=

∂

∂

;4iU

''iU

'iUiQ2)

2''iU

2'iU(iP'

iiY''iU

)''U,'U(''iJ

;4iU

''iU

'iUiP2)

2''iU

2'iU(iQ''

iiY'iU

)''U,'U(''iJ

⋅⋅⋅+−⋅−−=

∂

∂

⋅⋅⋅−−⋅−=

∂

∂ ;''ijY''jU

)''U,'U('iJ

'jU

)''U,'U(''iJ

;'ijY''jU

)''U,'U(''iJ

'jU

)''U,'U('iJ

=∂

∂=

∂

∂

=∂

∂=

∂

∂


ale curenţilor în coordonate polare

Această formă de scriere se obţine atunci, când în sistemul din cazul precedent vectorul tensiunii se va utiliza prin componentele polare.

Pentru nodul i avem:

.0

iU

icosiQisiniPy

ij

1j)jcosjU

''ijYjsinjU

'ijY(icosiU

''iiYisiniU

'iiY),U(

''J

;0

iU

isiniQicosiPy

ij

1j)jsinjU

''ijYjcosjU

'ijY(isiniU

''iiYicosiU

'iiY),U(

'J

=δ⋅−δ⋅

−∑

≠

=δ⋅⋅+δ⋅⋅+δ⋅⋅+δ⋅⋅=δ

=δ⋅+δ⋅

−∑

≠

=δ⋅⋅−δ⋅⋅+δ⋅⋅−δ⋅⋅=δ


ale curenţilor în coordonate polare


;

iU

icosiQisiniP)icos''iiYisin

'iiY(iU

i

),U('iJ

;2i

U

isiniQicosiP

isin''iiYicos

'iiY

iU

),U('iJ

δ⋅−δ⋅+δ⋅+δ⋅⋅−=

δ∂

δ∂

δ⋅+δ⋅+δ⋅−δ⋅=

∂

δ∂

;

iU

isiniQicosiP)isin''iiYicos

'iiY(iU

i

),U(''iJ

;2i

U

icosiQisiniP

icos''iiYisin

'iiY

iU

),U(''iJ

δ⋅+δ⋅−δ⋅−δ⋅⋅=

δ∂

δ∂

δ⋅−δ⋅+δ⋅+δ⋅=

∂

δ∂

);jcos''ijYjsin

'ijY(iU

j

),U('iJ

;jsin''ijYjcos

'ijY

jU

),U('iJ

δ⋅+δ⋅⋅−=δ∂

δ∂

δ⋅−δ⋅=∂

δ∂

);jsin''ijYjcos

'ijY(iU

j

),U(''iJ

;jcos''ijYjsin

'ijY

jU

),U(''iJ

δ⋅−δ⋅⋅=δ∂

δ∂

δ⋅+δ⋅=∂

δ∂

Constatări cu privire la formele de scriere a

ecuaţiilor tensiunilor nodale

• La utilizarea coordonatelor carteziene se majorează numărul de ecuaţii;

• la utilizarea coordonatelor carteziene spre deosebire de cele polare, unde modulul tensiunii este variabila ce se doreşte a fi determinată, este necesar de adăugat ecuaţii de tipul

• la utilizarea formei de scriere prin bilanţul componentelor reale şi imaginare a curenţilor în coordonate carteziene, pentru nodurile tip P-U se scriu ecuaţii în forma bilanţului de putere, iar pentru nodurile tip P-Q – în forma bilanţul componentelor reale şi imaginare a curenţilor.

2''i

2'ii UUU +=

Sistemul de ecuaţii nodale

Alcătuirea sistemului de ecuaţii nodale în formă complexă:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑≠=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=⋅n

ijj

jjjjijijiiiiiiiii UjUBjGUjUBjGI1

sincossincos3 δδδδ

Separând partea reală de cea imaginară obţinem:( )

( )∑

∑

≠=

≠=

⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=

⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=

n

ijj

jijjijjiiiiiiiiI

n

ijj

jijjijjiiiiiiiiI

BGUBGUI

BGUBGUI

I

I

1

11

1

1

cossin)cossin(3

sincos)sincos(3

11

1

δδδδϖ

δδδδϖ

Curenţii injectaţi în nodul ’i’ sunt:

( ) ( )( )

( ) ( )( )2

11

2

1

cossin3

sincos3

i

iiiiiiI

i

iiiiiii

U

UQUPI

U

UQUPI

δδ

δδ

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅

Matricea Iacobi

Alcătuim maticea Iacobi la pasul ’k’:

[ ]

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=ℑ

j

I

i

I

j

I

i

I

j

I

i

I

j

I

i

I

j

I

i

I

j

I

i

I

j

I

i

I

j

I

i

I

k

UU

UU

UU

UU

jjjj

iiii

jjjj

iiii

11111111

11111111

1111

1111

)(

ωω

δ

ω

δ

ω

ωω

δ

ω

δ

ω

ωω

δ

ω

δ

ω

ωω

δ

ω

δ

ω

Rezolvarea sistemului de ecuaţii

Determinăm abaterile de tensiune la pasul ’k+1’:

unde:

[ ] [ ] [ ])()1()()1( kkkU ϖ⋅ℑ−=∆ −+

[ ]

=

11

11

)(

nI

I

k

ϖ

ϖϖ M

Tensiunile nodale

Determinăm tensiunile în noduri la pasul ’k+1’:

Calculele se repetă de câteva ori până se obţine egalitatea:

[ ] [ ] [ ])1()()1( ++ ∆+= kkk UUU

[ ] [ ])()1( kk UU =+

Exemplu

Să se determine tensiunile nodale pentru schema:

0-1

АС-240/32

22km

1-2

АС-185/29

18km

2-3

АС-95/16

15km

3-4

АС-240/32

25km

S1= -(25+j15) MVA S2= -(30+j20) MVA S3= -(40+j15) MVA P4=35 MW

U4=121 kV

0 1 2 3 4

Exemplu

Elementele matricei admitanţelor nodale [Y] sunt:

−−−

−−−

−−−

−−−

=

44434241

34333231

24232221

14131211

][

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

Y

BijjGijYij

)Xij()Rij(

XijBijLijxXij

)Xij()Rij(

RijGijLijrRij

22ij0

22ij0

⋅⋅⋅⋅−−−−====

++++====⋅⋅⋅⋅====

++++====⋅⋅⋅⋅====

Exemplu

R0-1=0,118*22=2,596 Ω X0-1=0,401*22=8,222 ΩR1-2=0,159*18=2,862 Ω X1-2=0,409*18=7,362 ΩR2-3=0,299*15=4,485 Ω X2-3=0,429*15=6,435 ΩR3-4=0,118*25=2,950 Ω X3-4=0,401*25=10,025 Ω

G11=G01+G12 B11=B01+B12

G22=G12+G23 B22=B12+B23

G33=G23+G34 B33=B23+B34

G44=G34 B44=B34

Y

0.077 0.222i−

0.046− 0.118i+

0

0

0.046− 0.118i+

0.119 0.223i−

0.073− 0.105i+

0

0

0.073− 0.105i+

0.1 0.196i−

0.027− 0.092i+

0

0

0.027− 0.092i+

0.027 0.092i−

=

Exemplu

Alcătuirea sistemului de ecuaţii nodale în formă complexă:

I1 G11

j B11

⋅−( ) U1⋅ cos δ1( ) j sin δ1( )⋅+( )⋅ G01 j B01⋅−( ) U0⋅− G12 j B12⋅−( ) U2⋅ cos δ2( ) j sin δ2( )⋅+( )⋅−:=I2 G

22j B

22⋅−( ) U2⋅ cos δ2( ) j sin δ2( )⋅+( )⋅ G12 j B12⋅−( ) U1⋅ cos δ1( ) j sin δ1( )⋅+( )⋅− G23 j B23⋅−( ) U3⋅ cos δ3( ) j sin δ3( )⋅+( )⋅−:=

I3 G33

j B33

⋅−( ) U3⋅ cos δ3( ) j sin δ3( )⋅+( )⋅ G23 j B23⋅−( ) U2⋅ cos δ2( ) j sin δ2( )⋅+( )⋅− G34 j B34⋅−( ) U4⋅ cos δ4( ) j sin δ4( )⋅+( )⋅−:=I4 G

44j B

44⋅−( ) U4⋅ cos δ4( ) j sin δ4( )⋅+( )⋅ G34 j B34⋅−( ) U3⋅ cos δ3( ) j sin δ3( )⋅+( )⋅−:=

Valorile iniţiale alese pentru tensiuni sunt, de regulă, tensiunile nominale în modul, iar unghiurile – toate zero. Excepţie fac tensiunile în modul din nodul de echilibru şi nodul generator, precizate şi menţinute constante tot timpul procesului de calcul. Calculul tensiunii nodului de echilibru nu se efectuează deoarece aceasta mărime este invariabilă.

Exemplu

Curenţii injectaţi în noduri sunt:

Separând partea reală de cea imaginară obţinem:S4 3 I4⋅ U4 cos δ4( )⋅ j U4⋅ sin δ4( )⋅−( )⋅:=ω I1a I1a G

11U1⋅ cos δ1( )⋅− B

11U1⋅ sin δ1( )⋅− G

01U0⋅+ G

12U2⋅ cos δ2( )⋅+ B

12U2⋅ sin δ2( )⋅+:=

ω I1r I1r B11

U1⋅ cos δ1( )⋅+ G11

U1⋅ sin δ1( )⋅− B01

U0⋅− B12

U2⋅ cos δ2( )⋅− G12

U2⋅ sin δ2( )⋅+:=

ω I2a I2a G22

U2⋅ cos δ2( )⋅− B22

U2⋅ sin δ2( )⋅− G12

U1⋅ cos δ1( )⋅+ B12

U1⋅ sin δ1( )⋅+ G23

U3⋅ cos δ3( )⋅+ B23

U3⋅ sin δ3( )⋅+:=

ω I2r I2r B22

U2⋅ cos δ2( )⋅+ G22

U2⋅ sin δ2( )⋅− B12

U1⋅ cos δ1( )⋅− G12

U1⋅ sin δ1( )⋅+ B23

U3⋅ cos δ3( )⋅− G23

U3⋅ sin δ3( )⋅+:=

ω I3a I3a G33

U3⋅ cos δ3( )⋅− B33

U3⋅ sin δ3( )⋅− G23

U2⋅ cos δ2( )⋅+ B23

U2⋅ sin δ2( )⋅+ G34

U4⋅ cos δ4( )⋅+ B34

U4⋅ sin δ4( )⋅+:=

ω I3r I3r B33

U3⋅ cos δ3( )⋅+ G33

U3⋅ sin δ3( )⋅− B23

U2⋅ cos δ2( )⋅− G23

U2⋅ sin δ2( )⋅+ B34

U4⋅ cos δ4( )⋅− G34

U4⋅ sin δ4( )⋅+:=

ωP4 P4

G44

U42

⋅− G34

U3⋅ U4⋅ cos δ3 δ4−( )⋅+ B34

U3⋅ U4⋅ sin δ3 δ4−( )⋅−:=

I1aP1 U1⋅ cos δ1( )⋅ Q1 U1⋅ sin δ1( )⋅+

U12

:= I1rP1 U1⋅ sin δ1( )⋅ Q1 U1⋅ cos δ1( )⋅−

U12

:= I1 I1a j I1r⋅+:=

I2aP2 U2⋅ cos δ2( )⋅ Q2 U2⋅ sin δ2( )⋅+

U22

:= I2rP2 U2⋅ sin δ2( )⋅ Q2 U2⋅ cos δ2( )⋅−

U22

:= I2 I2a j I2r⋅+:=

I3aP3 U3⋅ cos δ3( )⋅ Q3 U3⋅ sin δ3( )⋅+

U32

:= I3rP3 U3⋅ sin δ3( )⋅ Q3 U3⋅ cos δ3( )⋅−

U32

:= I3 I3a j I3r⋅+:=

Exemplu

Nebalansurile la pasul ’0’ sunt:

124.0))0cos(092.0)0sin(027.0(121))0cos(105.0)0sin(073.0(121

)0cos()121197.0)12115(()0sin()121100.0)12140((3

165.0))0cos(105.0)0sin(073.0(121))0cos(118.0)0sin(046.0(121

)0cos()121223.0)12120(()0sin()121119.0)12130((2

124.0))0cos(118.0)0sin(046.0(121121104.0

)0cos()121222.0)12115(()0sin()121077.0)12125((1

35))00sin(092.0)00cos(027.0(121121121027.044

331.0))0sin(092.0)0cos(027.0(121))0sin(105.0)0cos(073.0(121

)0sin()121197.0)12115(()0cos()121100.0)12140((3

248.0))0sin(105.0)0cos(073.0(121))0sin(118.0)0cos(046.0(121

)0sin()121223.0)12120(()0cos()121119.0)12130((2

207.0))0sin(118.0)0cos(046.0(121121031.0

)0sin()121222.0)12115(()0cos()121077.0)12125((1

2

=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−−−⋅⋅−−=

=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−−−⋅⋅−−=

=⋅−⋅⋅+⋅−

−⋅⋅−−−⋅⋅−−=

=−⋅−−⋅⋅⋅+⋅−=

−=⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+

+⋅⋅−−+⋅⋅−−=

−=⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+

+⋅⋅−−+⋅⋅−−=

−=⋅+⋅⋅+⋅+

+⋅⋅−−+⋅⋅−−=

rI

rI

rI

PP

aI

aI

aI

ω

ω

ωω

ω

ω

ω

Exemplu

Alcătuim matricea Iacobi:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=ℑ

3214321

3214321

3214321

3214321

3214321

3214321

3214321

][

3333333

2222222

1111111

4444444

3333333

2222222

1111111

UUU

UUU

UUU

UUU

UUU

UUU

UUU

rIrIrIrIrIrIrI

rIrIrIrIrIrIrI

rIrIrIrIrIrIrI

PPPPPPP

aIaIaIaIaIaIaI

aIaIaIaIaIaIaI

aIaIaIaIaIaIaI

ϖϖϖδϖ

δϖ

δϖ

δϖ

ϖϖϖδϖ

δϖ

δϖ

δϖ

ϖϖϖδϖ

δϖ

δϖ

δϖ

ϖϖϖδϖ

δϖ

δϖ

δϖ

ϖϖϖδϖ

δϖ

δϖ

δϖ

ϖϖϖδϖ

δϖ

δϖ

δϖ

ϖϖϖδϖ

δϖ

δϖ

δϖ

Exemplu

Determinăm elementele matricii Iacobi:

A11 cos δ1( )Q1

U1B11 U1⋅−

⋅ sin δ1( )P1

U1G11 U1⋅−

⋅−:=

A12 cos δ2( ) B12⋅ sin δ2( ) G12⋅−( ) U2⋅:=

A13 0:=

A14 0:=

A15 cos δ1( )−P1

U12

G11+

⋅ sin δ1( )Q1

U12

B11+

⋅−:=

A16 cos δ2( ) G12⋅ sin δ2( ) B12⋅+:=

A17 0:=

...

A71 0:=

A72 sin δ2( ) B23⋅ cos δ2( ) G23⋅+( ) U2⋅:=

A73 sin δ3( )Q3

U3B33 U3⋅−

⋅ cos δ3( )P3

U3G33 U3⋅−

⋅+:=

A74 sin δ4( ) B34⋅ cos δ4( ) G34⋅+( ) U4⋅:=

A75 0:=

A76 sin δ2( ) G23⋅ cos δ2( ) B23⋅−:=

A77 sin δ3( )−P3

U32

G33+

⋅ cos δ3( )Q3

U32

B33+

⋅+:=

Exemplu

Determinăm abaterile de tensiune la pasul ’1’:

[ ]

⋅ℑ−=

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

−

)0(3

2

1

4

3

2

1

1

)0(

)1(3

2

1

4

3

2

1

)(

rI

rI

rI

P

aI

aI

aI

U

U

U

ϖϖϖϖϖϖϖ

δδδδ

Exemplu

Determinăm tensiunile în noduri la pasul ’1’:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

++++

====

13

2

1

4

3

2

1

03

2

1

4

3

2

1

13

2

1

4

3

2

1

U

U

U

U

U

U

U

U

U

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆δδδδ∆∆∆∆δδδδ∆∆∆∆δδδδ∆∆∆∆δδδδ∆∆∆∆

δδδδδδδδδδδδδδδδ

δδδδδδδδδδδδδδδδ

Exemplu

Rezultatele la pasul ’0’:

ω0

0.207−

0.248−

0.331−

35

0.124

0.165

0.124

:= I0

27.02−

14.28

0

0

9.47−

5.55

0

14.28

27.1−

12.66

0

5.55

14.62−

8.82

0

12.66

23.89−

1344.06

0

8.82

12.42−

0

0

11.11

1344.06−

0

0

3.27

0.07−

0.05

0

0

0.22

0.12−

0

0.05

0.12−

0.07

0

0.12−

0.22

0.1−

0

0.07

0.1−

3.27

0

0.1−

0.2

:= ∆U1

0.032−

0.049−

0.056−

0.039−

2.97−

4.218−

3.596−

:=U0

0

0

0

0

121

121

121

:= U1

0.032−

0.049−

0.056−

0.039−

118.03

116.782

117.404

:=

Rezultatele la pasul ’3’:

ω3

0.002

0.008

0.008−

0.061

0

0.005

0.005−

:= I3

26.68−

14.11

0

0

8.35−

4.94

0

14.05

26.89−

12.65

0

4.64

12.76−

7.87

0

12.78

23.88−

1312.09

0

7.83

10.69−

0

0

11.23

1312.09−

0

0

2.81

0.07−

0.04

0

0

0.22

0.12−

0

0.04

0.1−

0.07

0

0.12−

0.23

0.11−

0

0.07

0.09−

3.07

0

0.11−

0.2

:= ∆U4

0

0

0−

0−

0−

0−

0−

:=U3

0.034−

0.052−

0.059−

0.041−

118.07

116.885

117.518

:= U4

0.034−

0.052−

0.059−

0.041−

118.07

116.885

117.518

:=

Exemplu

Rezultatele obtinute sunt:

Ui0

0

0

0

0

121

121

121

:= Ui1

0.032−

0.049−

0.056−

0.039−

118.03

116.782

117.404

:= Ui2

0.034−

0.052−

0.059−

0.041−

118.07

116.884

117.517

:= Ui3

0.034−

0.052−

0.059−

0.041−

118.07

116.885

117.518

:= Ui4

0.034−

0.052−

0.059−

0.041−

118.07

116.885

117.518

:=

Programare in PSS/E

Programare in PSS/E

ITER DELTAP BUS DELTAQ BUS DELTA/V/ BUS DELTAANG BUS

0 0.4000( 3 ) 1.1883( 1 )0.10000( 4 ) 0.05858( 3 )

1 0.0595( 3 ) 0.1060( 1 )

0.00443( 1 ) 0.00265( 2 )

2 0.0002( 1 ) 0.0005( 1 )

0.00003( 1 ) 0.00002( 4 )

3 0.0000( 1 ) 0.0000( 1 )

REACHED TOLERANCE IN 3 ITERATIONS

LARGEST MISMATCH: 0.00 MW 0.00 MVAR 0.00 MVA AT BUS 1 [ 110.00]

SYSTEM TOTAL ABSOLUTE MISMATCH: 0.00 MVA

SWING BUS SUMMARY:

BUS# X-- NAME --X BASKV PGEN PMAX PMIN QGEN QMAX QMIN

9 110.00 61.6 9999.0 -9999.0 23.3 9999.0 -9999.0

Programare in RASTR

Rezultate Ui40.034−

0.052−

0.059−

0.041−

118.07

116.885

117.518

:=

1.948−

2.979−

3.38−

2.349−

118.07

116.885

117.518

Valori admisibile pentru linii electrice

metoda newton -raphson in programe industriale de calculgropa.narod.ru/puc2_4.pdf · 2013. 4....

Documents