1

Metoda prostora stanja• Dinamička analiza SAU bila je u prvoj fazi ograničena na vremenski

domen – klasično rješavanje dif. jednačina, a zatim na metodu vremenskog odziva pomoću prelazne funkcije. Nakon toga je teorijski razvoj krenuo u smjeru frekvencijskog područja. Taj prevashodno grafički pristup upotpunjen je analitičkim metodama u području kompleksne varijable. Pomoću operatorske metode došlo se do pojma prenosne funkcije koji opisuje dinamiku sistema u najjednostavnijem matematičkom obliku. Prenosna funkcija u kombinaciji sa frekvencijskim odzivom još i danas zauzima veoma značajno mjesto u analizi i sintezi regulacionih sistema.

• Ovaj pristup postavlja ograničenja daljem teorijskom i praktičnom razvoju. Naime sa sve većom složenošću moderne tehnologije i upravljanja u prvi plan proučavanja dolaze tzv. multivarijabilni sistemi sa mnogo međusobno povezanih ulaznih i izlaznih veličina.

• Nelinearni sistemi i problem optimizacije.

2

•Diferencijalne jednačine stanja su alternativni metod opisivanja dinamičkih sistema

• Za LTI sisteme uobičajen je postupak prelaza iz jednačina stanja u prikaz prenosnim funkcijama, tj. iz vremenskog domena u frekventni domen.

•Projektovanje multivarijabilnih sistema je zasnovano na jednačinama stanja

GENERALIZOVANI PRIKAZ DINAMIČKOG SISTEMA

3

Opis pomoću navedenih jednačina naziva se modelom u prostoru stanja

4

PRIMJER 1:

( )( ) 2

1( )Y s

G sU s Ms bs k

= =+ +

5

• Sistem stanja je set varijablih takvih da poznavanje ovih varijabli i ulaznih funkcija sa jednačinama koje opisuju dinamiku sistema omogućava određivanje budućih stanja i izlaza sistema

•Promjenljive stanja opsuju buduće odzive sistema, za dato trenutno stanje, eksitacione inpute i jednačine sistema

PRIMJER 2a:

6

PRIMJER 2b:

22

1( ) ( ) ( )

( )( ) 1

1( ) ( )

1 1( ) ( )( ) ( )1 11

C

C

V s R sL I ssC

V sI sR sL

sC

V s I ssC

V s V ssC LCV s V sRsRC s LCR sL s ssC L LC

= + +

=+ +

=

= = =+ ++ + + +

7

KRATAK PREGLED LINEARNE ALGEBRE

KRATAK PREGLED LINEARNE ALGEBRE

Osnovne operacije

8

KRATAK PREGLED LINEARNE ALGEBREOsnovne operacije

KRATAK PREGLED LINEARNE ALGEBRE

9

KRATAK PREGLED LINEARNE ALGEBRE

KRATAK PREGLED LINEARNE ALGEBRE

10

KRATAK PREGLED LINEARNE ALGEBRE

Matrica A :

987

654

321

Naći trasnponovanu matricu matrica AT

963852741

11

Naći kofaktore od transponovane matrice:

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Kofaktor: [(a*d)-(b*c)] [(5*9)-(8*6)] = -3

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Negativni Kofaktor: -[(a*d)-(b*c)]-[(2*9)-(8*3)] = 6

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Kofaktor: [(a*d)-(b*c)] [(2*6)-(5*3)] = -3

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Negativni Kofaktor: -[(a*d)-(b*c)]

-[(4*9)-(7*6)] = 6

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Kofaktor: [(a*d)-(b*c)] [(1*9)-(7*3)] = -12

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Negativni Kofaktor: -[(a*d)-(b*c)]

-[(1*6)-(4*3)] = 6

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Kofaktor: [(a*d)-(b*c)] [(4*8)-(7*5)] = -3

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Negativni Kofaktor: -[(a*d)-(b*c)]

-[(1*8)-(7*2)] = 6

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Kofaktor: [(a*d)-(b*c)] [(1*5)-(4*2)] = -3

Adjungovana matrica

adjA:

-36-3

6-126

-36-3

12

KRATAK PREGLED LINEARNE ALGEBRE

KRATAK PREGLED LINEARNE ALGEBRE

13

KRATAK PREGLED LINEARNE ALGEBRE

Uvedimo Laplasovu transformaciju smatrajući početne uslove jednakim nuli

14

Zamjenjujući

U jednačinu izlaza

dobijamo

15

To get started, select MATLAB Help or Demos from the Help menu.

>> help ss2tf

SS2TF State-space to transfer function conversion.

[NUM,DEN] = SS2TF(A,B,C,D,iu) calculates the transfer function:

NUM(s) -1

H(s) = -------- = C(sI-A) B + D

DEN(s)

of the system:

.

x = Ax + Bu

y = Cx + Du

from the iu'th input. Vector DEN contains the coefficients of the denominator in descending powers of s. The numerator coefficients are returned in matrix NUM with as many rows as there are outputs y.

D

16

Kontrolabilnost i opservabilnost sistema

17

Kontrolabilna kanonična forma

18

Kontrolabilna kanonična forma

19

Opservabilna kanonična forma

20

Opservabilna kanonična forma

21

Kretanje stacionarnih sistema u prostoru stanja

22

Sukcesivno diferenciranje daje

U trenutku t=0

Da bi odredili x(t) moramo napraviti razvoj u Tajlorov red

23

Matrica prelaza stanja Φ(t)

24

Matrica prelaza stanja Φ(s)

Uporedimo je sa rješenjem u vremenskom domenu

PRIMJER

FUNKCIJA PRELAZA STANJA U VREMENSKOM DOMENU MOŽE SADA BITI DOBIJENA KORIŠĆENJEM INVERZNE LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

25

PRETPOSTAVLJAJUĆI POČETNE USLOVE

DOLAZIMO DO HOMOGENOG RJEŠENJA

26

27

28