metode lokasi akar-akar root locus method - professional · sebagai vektor dan dalam kordinat polar...
TRANSCRIPT
Metode lokasi akar-akar
(Root locus method)
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Pendahuluan
Metode lokasi akar-akar
1. Metode lokasi akar-akar dapat digunakan untuk melukiskansecara kualitatif unjuk kerja sistem kontrol jika beberapaparameter diubah. Contoh : efek mengubah gain terhadap %OS, settling time dan peak time
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
settling time dan peak time2. Metode ini juga dapat memberikan gambaran mengenai stabilitas
sistem kontrol secara grafis
Latar Belakang
� Problem sistem kontrol
� Representasi bilangan kompleks sebagai vektor
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Bentuk gelombang tes input yang biasa digunakan
Problem sistem kontrol
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
T(s)pole berubah denganperubahan K
N : pembilangD : penyebut
Ilustrasi
( )( )[ ]( )( )4
3)(
2
1)(
+
+=
+
+=
s
ssH
ss
ssG
Pole dari KG(s)H(s) adalah 0, -2 dan -4
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Pole dari KG(s)H(s) adalah 0, -2 dan -4Zero dari KG(s)H(s) adalah -1 dan -3
( )( )[ ]KsKsKs
ssKsT
3)8(6
)4(1)(
23 +++++
++=
Pole dari T(s) tergantung harga K
Karena respons transien danstabilitas tergantung pada poledari T(s) maka kita harusmemfaktorkan penyebutuntuk setiap harga K
Representasi vektor dari bilangan kompleks
Bilangan kompleks σ+jω dapat digambarkan dalam kordinat Cartesiansebagai vektor dan dalam kordinat polar dengan besar M dan sudut q.
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
F(s)=(s+a)F(s)=(σ+a)+jω
Translasi dari (b)
Representasi secara umum
∏∏
=kompleksfaktor penyebut
kompleksfaktor pembilang m= jumlah zeron=jumlah pole
==∏ zero dari panjang
M
Besar dari F(s)
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
==∏∏
pole dari panjang
zero dari panjangM
Sudut dari F(s)
∑ ∑= pole darisudut -zero darisudut θ
Ilustrasi
Carilah F(s) pada titik
Zero pada -1
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Zero pada -1
pole pada 0
pole pada -2
Latihan
carilah di titik
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Definisi lokasi akar-akar
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Lokasi akar-akar jika K bervariasi
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Letak pole dan zero Lokasi akar-akar (root locus)
Sifat-sifat root locus
•Untuk polinom orde 2 pada penyebut fungsi transfer, mudah untuk mencari faktor-faktor (rumus ABC)•Untuk polinom orde lebih tinggi (3, 4, 5 atau lebih) , sulit untuk memfaktorkan tanpa bantuan komputer(numerik) , maka dengan root locus kita dapatmenggambarkan secara kualitatif tanpamemfaktorkannya
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Sifat-sifat root locus
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Terdapat pole jika penyebutnya =0
atau 1
2
Ilustrasi
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Dari tabel, misalnya untuk K=5Maka pole berada di -9,47 dan -0.53
Jika harga-harga ini disubtitusi ke persamaan inimaka akan menghasilkan -1, demikian juga untukharga K dan pole-pole yang lain
Contoh
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Plot pole dan zero dari G(s)
Tinjau titik -2+j3, jika titik ini adalah pole dari sistem jerat tertutup makaHarus memenuhi persamaan-persamaan (1) dan (2)
Maka titik ini bukan pole sistem jerat tertutup karena hasil penjumlahansudutnya bukan kelipatan dari 1800
Contoh
Jika dicoba dengan cara yang sama untuk titik
Maka akan menghasilkan sudut 1800
Harga K adalah
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Maka titik Adalah titik pada root locus dengan gain=0.33
Latihan
a. Tentukan sudut G(s) pada titik (-3+j0) dengan menjumlahkan sudut-sudut vektor
dari zero dan pole G(s) pada titik tersebutb. Tentukan apakah titik di a adalah berada di root locus
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
b. Tentukan apakah titik di a adalah berada di root locusc. Jika titik di a adalah root locus, tentukan harga K menggunakan panjang vektor
Menggambarkan root locus
Aturan penggambaran root locus1. Jumlah percabangan . Jumlah percabangan root locus sama dengan jumlah pole
sistem jerat tertutup
2. Simetri. Root locus simetri terhadap sumbu real3. Segment sumbu real. Pada sumbu real, untuk K>0 root locus berada di sebelah kiri
bilangan ganjil pada sumbu real, pole open loop terhingga dan/atau zero
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
bilangan ganjil pada sumbu real, pole open loop terhingga dan/atau zero open loop berhingga
Root locus pada sumbu realberada antara -1 dan -2 dan antara -3 dan -4
Lanjutan
4. Titik awal dan titik akhir. Root locus berawal pada pole-pole G(s)H(s) yang berhingga dan tak terhingga, laluberakhir di zero dari G(s)H(s) yang berhingga dan takterhingga.
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Dari contoh di atas maka root
locus adalah
Lanjutan
5. Sifat root locus di tak terhingga. Root locus mendekati garis lurussebagai asimtot pada saat locus mendekati tak terhingga. Persamaanasimtot diberikan oleh perpotongan dengan sumbu real, σa dansudut θa sbb:
berhingga zero#berhingga- pole#
berhingga zero - berhingga pole∑ ∑=
aσ
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
berhingga zero#berhingga- pole#
berhingga zero#berhingga- pole#
)12( πθ
+=
ka
di mana k=0, ±1, ±2, ±3 dan sudut dalam satuan radian thd sumbu positif
IlustrasiBuatlah root locus untuk sistem sbb
solusi
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8
Karena jumlah pole-jumlah zero =3Maka ada 3 zero berada di tak berhingga
Latihan
Sketsalah root locus dari sistem di atas
Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8