METODIČKA OBRADA NASTAVNIH

TEMA VEZANIH ZA

FUNKCIJE

Đurđica Takači, Duška Pešić

Arpad Takači, Jelena Tatar

Obrada funkcija

razvija sposobnost učenika i studenata da prepozna, prikaže i rešava probleme

kao veze između objekata kao matematičkih modela

Funkcija-mašina

Obrada

Ulazni elementi Izlazni elementi

x

f(x)

y

Nezavisne promenljive

Zavisne promenljive

Šta je dobra definicija Poenkare 1908 (Poincare) Za naučnike definicija se odnosi na sve i samo one objekte koje

treba odrediti po pravilima logike.

Za obrazovanje to baš ne mora uvek biti tako, ali mora biti razumljivo za učenike.

Šezdesetih godina dvadesetog veka «nova matematika» se bazira na definicijama i teoremama koncept definicije

Problem: Individualni metod mišljenja

Iskustvo vezano za reči... Funkcija...

Tall, Viner, Sierpinska, Borsai

Koncept slike

Koncept definicije - reči

Prelaz sa aritmetike na algebru (generalizacija)

Prelaz sa elementarnog na više

matematičko mišljenje (abstrakcija)

Neka su i dva neprazna skupa i neka je skup uredjenih parova skupova i . Podskup skupa je funkcija, ako za bilo koja dva uredjena para iz važi: ako je tada je .

Neka su i dva neprazna skupa. Relacija je funkcija, ako važe sledeća dva uslova

A

B

BA A BBAf

),,( 11 yx ),,( 22 yx f,21 xx 21 yy

A

B

BAf

)( Ax )( By )),( fyx

2121 )),(),(( yyfyxfyx

Neka su i dva neprazna skupa. Pridruživanje (korespodencija, pravilo) koje svakom elementu skupa dodeljuje tačno jedan elemenat skupa naziva se funkcija.B

A B

f

A

Poblem domena i kodomena

Tablično zadavanje funkcija

1 2 3 4 5 6 7

3 6 9 12 15 18 21

,)( 2xxf

,)( 2xxf

,)( 2xxf

,R ,R

,R ),,0[

),,0[ ),,0[ -2 0 2

2

4

6

x

y

-4 -2 0 2 4

10

20

x

y

-4 -2 2 4

-10

10

20

x

y

Proces matematičkog modeliranja

Problem iz svakodnevnog

života

Matematički model

Formulacija

Interpretacija

Tenis

Ako teniser udari lopticu brzinom v0 m/s pod uglom θ, tada će loptica udariti zemlju na rastojanju d (izraženo u metrima) od mesta gde je servirana.

Kosi hitac

Matematički model veze izmedju v0, d i θ jeste funkcija

20 sin cos

50

vd

2sin100

20v

d

Pod kojim uglom treba N. Djoković da servira lopticu brzinom od 60 m/s (odnosno 216 km/h) da bi loptica pala najdalje.

•Funkcja ima maksimum za i tada bi loptica pala na rastojanju:

sin 2f 4

360036

100.d m

Da li to može da bude dobra lopta?

• Ovo je aut lopta zato što je dužina terena nešto manja od 25 m.

Odediti ugao pod kojim Novak Djoković treba da servira tako da loptica padne na rastojanju 15 m.

Ako Djoković servira brzinom od 60m/s tada se ugao dobija iz:

2sin

100

360015

12

arcsin 1536

0.21489 0.21489 180 12. 312

Smena dana i noći

Dužina dana se periodično menja u toku godine, odnosno 365 dana. Na severnoj polulopti

najkraći dan je 22 decembra, i traje oko 9 sati,

ravnodnevnica je 21 marta i 23 septembra i traje oko 12 sati,

a najduži dan je 22 juna i traje oko 15 sati.

)365

)4

365(2

sin(3)(

x

xf )

365

2cos(3)(

xxg

TEST IZ ANALIZE

1) Da li postoji funkcija čiji je grafik

a) b) c)

a) da ne b) da ne c) da ne

-4 -2 2 4

-2

2

x

y

-4 -2 2 4 6 8

10

20

x

y

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y