HiperestáticosMétodo de las Fuerzas

Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol

Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Analicemos una estructura sometida a un determinado

estado de carga:

Consideraciones Preliminares

• Si el número de incógnitas, (I), es menor que el número de ecuaciones, (E), la estructura es inestable, (sistema hipostático). Constituye un sistema incompatible.

• Si el número de incógnitas, (I), es igual al número de ecuaciones, (E), la estructura es estáticamente determinada, (sistema isostático).

• Si el número de incógnitas, (I), es mayor que el número de ecuaciones, (E), la estructura es estáticamente indeterminada, (sistema hiperestático).

El criterio de resolución es el siguiente:

Consideraciones Preliminares

• Se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un sistema isostático fundamental o principal.

• El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático, por esta razón, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituirán las incógnitas hiperestáticas.

• Las condiciones suprimidas pueden pertenecer a la sustentación o ser condiciones internas del sistema.

Para la misma estructura existen varios sistemas fundamentales

posibles:

Consideraciones Preliminares

• El sistema fundamental más conveniente será aquel en el cual los diagramas debidos a las incógnitas y a las cargas exteriores resulten simples y donde haya la menor cantidad posible de coeficientes δij suplementarios, distintos de cero.

Por el Principio de Superposición…

Consideraciones Preliminares…las solicitaciones y desplazamientos en el sistema fundamental bajo la acción de las cargas

exteriores y de las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, deben ser iguales a las solicitaciones y deformaciones en la estructura hiperestática planteada, bajo la acción de las cargas exteriores.

= + + +

X1X3X2

Los efectos el momento flector total en una sección genérica C de la estructura hiperestática original valdrán:

C C0 C1 C2 C3

CM 0CM 1CM 2CM 3CM

Estructura original Estado 0 Estado 1 Estado 2 Estado 3

Pero se desconocen los valores verdaderos de X1, X2

y X3

Consideraciones Preliminares

…luego, no pueden obtenerse M1C, M2C ni M3C.

• Sin embargo, la forma del diagrama de solicitaciones es única para cualquier valor de la carga que lo produzca.

• Así por ejemplo los diagramas de momentos de un par de 1 tm y el de 5 tm son idénticos, sólo varía la escala de referencia de los mismos.

Siguiendo el razonamiento…

Consideraciones Preliminares

…puede escribirse: CC MXM 111 en la cual:

• X1 - valor (adimensional) de la incógnita hiperestática verdadera.

• M’1C - valor del momento flector en C originado por una carga unitaria en el punto de actuación de la incógnita X1.

y generalizando, la expresión del momento en C en la estructura hiperestática será:

CCCCC MXMXMXMM 3322110

y en general:

n

iiiC MXMM

10

Veamos las ecuaciones de compatibilidad…

Consideraciones Preliminares…debemos plantear ahora tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones

como incógnitas hiperestáticas existan.

Si en las secciones de la estructura hiperestática donde se consideraron las incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3) los enlaces son rígidos, los desplazamientos relativos de dichas secciones serán nulos.

Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones en cuestión, originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, debe ser nula. Por lo tanto:

00 133122111101 XXX

X1

X2X3

Donde:

Consideraciones Preliminares

00 133122111101 XXX

• δ’1 - desplazamiento relativo entre las secciones en el punto de aplicación de la incógnita hiperestática X1, en la estructura fundamental.

• δ11 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X1 actuando en A. (etc.)

• δ10 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por las cargas exteriores.

• X1 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 1 (adimensional).

y en general: δij - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática Xi en la estructura fundamental, en la dirección y sentido de esta fuerza, por acción de Xj = 1 [t o tm] (según sea fuerza o par).

La expresión de los desplazamientos δ’ij la

obtenemos…

Consideraciones Preliminares

…aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales: mtótdlIEMM i

ij

• M’i - momentos en la estructura fundamental originados por X1 = 1 [t] ó [tm]

donde:

• M - momentos finales en la estructura fundamental (iguales a los momentos verdaderos en la estructura hiperestática).

Sustituyendo los valores de δij e igualando a cero resulta la ecuación de δ’1 :

0133

122

21

110

dl

IEMMXdl

IEMMXdl

IEMXdl

IEMM

Planteando la nulidad de desplazamientos para las otras dos

incógnitas hiperestáticas obtenemos…

Consideraciones Preliminares

…un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas X1; X2 y X3:

000

33332231130

23322221120

13312211110

XXXXXXXXX

0

0

0

23

332

231

130

233

22

221

120

133

122

21

110

dlIE

MXdlIEMMXdl

IEMMXdl

IEMM

dlIEMMXdl

IEMXdl

IEMMXdl

IEMM

dlIEMMXdl

IEMMXdl

IEMXdl

IEMM

o bien:

Planteando la nulidad de desplazamientos para las otras dos

incógnitas hiperestáticas obtenemos…

Consideraciones Preliminares

…un sistema que puede representarse como sigue: 0 TXF

dónde:

• F representa la matriz de coeficientes del sistema, o matriz de flexibilidad, ya que sus términos miden deformaciones de la estructura bajo la acción de cargas unitarias.

• X representa la matriz columna de las incógnitas hiperestáticas Xi.

• T representa la matriz columna de los términos independientes.

30

20

10

T;

333231

232221

131211

F ;

3

2

1

XXX

X

Resuelto el sistema obtenemos los valores de las incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3).

Bibliografía

Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias