metodo de separacion de variables

7/31/2019 metodo de separacion de variables

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BRIANDA GPE. VILLANUEVA ESCOBARJOHANA JAZMIN GONZALES ORELLANA

YESENIA KARINA GOMEZ RAMIREZ

KIRBETH LOPEZ VELAZQUEZ

ING. NICOLAS AGUILAR VAZQUEZ

METODO DE VARIACIN DE PARMETRO DEECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES NO

HOMOGENEOS


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SE TRATAR DE ENCONTRAR LA SOLUCIN GENERALDE LA ECUACIN NO HOMOGNEA.

ay + by + cy = g(x) (1)

EN DONDE A, B Y C SON CONSTANTES Y G ESCONTINUA. CUALQUIER FUNCIN YP , QUE NOCONTIENE PARMETROS ARBITRARIOS Y QUESATISFACEN (1), SE LLAMA SOLUCIN PARTICULAR DELA ECUACIN.

Ejemplo:

YP = X3- X ES UNA SOLUCIN PARTICULAR

Y - Y'+ 6Y = 6X3 3X2 + 1

PUESTO QUE YP

= 3X2 -1, YP

= 6X, Y


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Y - Y +6Y = 6X (3X2 1) + 6(X3 -X) = 6X3- 3X2 +1

SOLUCIN GENERAL

EL PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LA ECUACIN NOHOMOGENEA (1) CONSTA DE DOS PASOS:

(I) RESOLVER LA ECUACIN HOMOGENEA ASOCIADA

ay + by + cy = 0

(II) Y LUEGO ENCONTRAR CUALQUIER SOLUCINPARTICULAR DE LA ECUACIN NO HOMOGENEA (1) LASUMA DE LAS SOLUCIONES OBTENIDAS EN (I) Y(II)CONSTITUYE LA SOLUCIN GENERAL DE (1)


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SEA YPUNA SOLUCIN DADA DE LA ECUACIN NO

HOMOGNEA (1), Y SEA

YC= C1 Y1(X) +C2 Y2(X)LA SOLUCIN GENERAL DE LA ECUACIN HOMOGNEAASOCIADA. ENTONCES, LA SOLUCIN GENERALDE LAECUACIN NO HOMOGENEA ES.

Y= C1Y1 (X) + C2Y2 (X) + YP(X) = YC(X) +YP(X)VARIACIN DE PARAMETROS

UNA DE LAS FORMAS MS POPULARES PARADETERMINAR UNA SOLUCIN PARTICULAR Y

P

DE

LA ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL (1) SECONOCE COMO MTODO DE VARIACIN DEPARMETROS. PARA APLICAR ESTE MTODO SEEXPRESAR (1) EN LA FORMA :


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Y + PY'+ QY = f(X) (2)DIVIDIENDO LA ECUACIN ENTRE a.

SUPONGASE QUE Y1 y Y2 SON SOLUCIONES LINEALMENTEINDEPENDIENTES DE LA ECUACIN HOMOGENEA ASOCIADAA (2) ES DECIR,

Y 1 +PY1+QY1=0 y Y2 +PY2+QY2=0

ES POSIBLE ENCONTRAR DOS FUNCIONES U1

Y U2

DE MODO

QUE

YP= U

1(X) Y

1(X) + U

2(X) Y

2(X) (3)

SEA UNA SOLUCIN PARTICULAR DE (2) ? OBSERVESE QUESE HA PROPUESTO QUE Y

PTIENE UNA FORMA SEMEJANTE A

YC= C

1Y

1+C

2Y

2, PERO QUE SE HA REEM PLAZADO C

1Y C

2POR


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POR LOS PARAMETROS VARIABLES U1

Y U2. APLICANDO LA

REGLA DEL PRODUCTO PARA DERIVAR YPSE OBTIENE

YP = U1 Y1 +Y1U1+U2Y2+Y2U2 (4)SI ADEMAS SE EXIGE QUE U

1Y U

2SEAN FUNCIONES PARA

Y1U

1+Y

2U

2= 0 (5)

ENTONCES (4) SE TRANSFORMA EN:

YP = U1 Y1 +U2Y2

CONTINUANDO, SE HALLA QUE:

YP= U

1Y

1+Y

1U

1+U

2Y

2+Y

2U

2

Y POR LO TANTO

YP+PY

P+QY

P= U

1Y

1+Y

1U

1+U

2Y

2+Y

2U

2+PU

1Y

1+PU

2Y

2+QU

1Y

1+QU

2Y

2=

U1[Y

1+PY

1+QY

1] +U

2[Y

2+PY

2+QY

2] + Y

1U

1+Y

2U

2= f(x)

CERO CERO


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EN OTRAS PALABRAS,U1Y U

2DEBEN SER FUNCIONES QUE

ADEMAS SATISFAGAN LA CONDICION.

Y1U

1+Y

2U

2= f(x) (6)

LAS ECUACIONES (5) Y (6) CONSTITUYEN UN SISTEMALINEAL DE ECUACIONES PARA LAS DERIVADA U

1Y U

2. ES

DECIR , SE DEBEN RESOLVER

Y1U1+Y2U2= 0

Y1U

1+Y

2U

2= f(x).

POR LA REGLA DE CRAMER* SE OBTIENE

0 Y2

f(x) Y2

Y1

Y2

Y1

Y2

U1=

Y1 0Y1

f(x)

Y1

Y2

Y1

Y'2

U2=


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EL DETERMINANTE SE LLAMA WROSKIANO Y SE

DENOTA USUALMENTE POR WEJEMPLO:

RESOLVER: 4y'' + 36y = csc 3x

SOLUCION: PRIMERO SE ESCRIBE LA ECUACION EN LA FORMA:

Y'' + 9Y = 1 CSC 3X

PUESTO QUE LAS RAICES DE LA ECUACION AUXILIAR m2 + 9 = 0 SONm

1=3iY m

2= -3iSE TIENE:

YC= C

1cos 3x + C

2sen 3x

W = cos 3x sen 3x-3sen 3x 3cos 3x

U1=

Y1

Y2

Y1

Y'2

4

= 3(sen 3x)(csc 3x)

3=

121


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U1=

(cos 3x)(csc 3x)

3=

12 sen 3x

1 cos 3xY

INTEGRANDO u'1 Y u'2 RESULTA

U1

= 12

1x Y U2=

36

1ln sen 3x

POR LO TANTO:

yP=

12

1x cos 3x +

36

1(sen 3x) ln sen 3x

EN CONSECUENCIA, LA SOLUCION GENERAL ES:

Y = yc

+ yp

= C1 cos 3x + C2 sen 3x 12

1

x cos 3x + 36

1

(sen 3x) ln sen 3x

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