método dos mínimos quadrados. motivação a interpolação não é adequada quando desejamos obter...
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Método dos Mínimos Quadrados
Motivação
A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar
Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros
Há necessidade de ajustar à função tabelada, uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados
Esta boa aproximação deve permitir extrapolação com uma certa margem de segurança
Método dos mínimos Quadrados
Método dos mínimos Quadrados
Método dos mínimos Quadrados
Método dos mínimos Quadrados
f(x) – h(x)
h(x)
Método dos mínimos Quadrados
Método dos mínimos Quadrados
h(x)
Método dos mínimos Quadrados
h(x)
Caso discreto
Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos
Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções escolhidas de alguma forma
Sendo m >= n
O objetivo é determinar coeficientes α1, α2,..., αn tal que
h(x)= α1g1(x)+ α2g2(x)+...+ αngn(x)
E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)
Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk
O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima
m
k
m
k
k kk xhxfd1 1
22 )()(
m
k
m
k
knnkkkk xgxgxgxfd1 1
22 )(...)()()( 2211
Minimizando os desvios
Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos
Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero
m
kk knnkkk xgxgxgxfxF
1
2)(...)()()()( 2211
m
kkn xgxgxgxgxf
Fknnkkk
111
1)]([)(...)()()(2)...( 2211
Regra da Cadeia
.,...,2,1,0),...,,( 21 njj
Fn
.)()()...()(2),...,,(1
1121
m
k
kjknnkkn xgxgxgxfj
F
0)()()...()(1
211
m
k
kknnkk xgxgxgxf
0)()()...()(1
111
m
k
kknnkk xgxgxgxf
0)()()...()(1
11
m
k
knknnkk xgxgxgxf
...
...
)()()()(...)()( 22121
111
kknkknkk xgxfxgxgxgxgm
k
m
k
m
k
)()()()(...)()(111
11 knknknknknk xgxfxgxgxgxgm
k
m
k
m
k
)()()()(...)()( 11111
111
kknkknkk xgxfxgxgxgxgm
k
m
k
m
k
22222121 .... baaa nn
11212111 .... baaa nn
nnnnnn baaa ....2211
...
Propriedades
aij = aji – a matriz A é simétrica
Se as funções gi(x) forem tais que os vetores gi resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução
Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)
Exemplo
Seja o conjunto de pontos:
Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos usando MQ
x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
)()()()(11
1
11
1
kkkk xgxfxgxgkk
)()()(11
1
11
1
2kkk xgxfxg
kk
11
1
211
1
2 )()()( 2
kk
k
kk xfxx
x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 somas
x2.x2 1 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0 0,0016 0,0256 0,0625 0,2401 1 2,8464
f(x).x2 2,05 0,6485 0,162 0,1 0,045 0 0,008 0,096 0,128 0,588 2,05 5,8756
2,8464α = 5,8756
α = 2,0642
Assim, h(x)=2,0642 x2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada
Para o caso contínuo
Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto
Como fazer para o caso contínuo?
...
)(2)()(2)(...1)(2)(1111
xkgxkfnxkgxkgnxkgxkgm
k
m
k
m
k
)()()()(...1)()(1111
xkgnxkfnxkgnxkgnxkgnxkgm
k
m
k
m
k
)(1)()(1)(...1)(1)(1111
xkgxkfnxkgxkgnxkgxkgm
k
m
k
m
k
dxxgxfndxxgxgndxxgxgb
a
b
a
b
a)(2)()(2)(...1)(2)(1
...
dxxgxfndxxgxgndxxgxgb
a
b
a
b
a)(1)()(1)(...1)(1)(1
dxxgnxfndxxgnxgndxxgnxgb
a
b
a
b
a)()()()(...1)()(1
dxxgxfndxxgxgndxxgxgb
a
b
a
b
a)(2)()(2)(...1)(2)(1
...
dxxgxfndxxgxgndxxgxgb
a
b
a
b
a)(1)()(1)(...1)(1)(1
dxxgnxfndxxgnxgndxxgnxgb
a
b
a
b
a)()()()(...1)()(1
Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as gi(x) são contínuas
Casos não Lineares
Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros
Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente
O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado
Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original