UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA

ANALISIS NUMERICO: RESUMEN UNIDAD III

PARTICIPANTE JOSE MONTERO C.I. 24.340.872SECCION: SAIA

BARQUISIMETO, NOVIEMBRE DE 2015

RESUMEN UNIDAD III

El objetivo primordial de la unidad III es conocer y entender los diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, entre los cuales tenemos los de eliminación y los iterativos. Entre los métodos de eliminación tenemos: Eliminación gaussiana, el método de eliminación de Gauss-Jordan, (descomposición LU, factorización de Cholesky y el de QR, factorización Householder.) Los métodos iterativos son el de Gauss Seidel y el de Jacobi.

Es así como a partir del material aportado se efectuara un resumen, con respecto a los métodos de eliminación gaussiana para el estudio a fondo de cada una de ellas, para encontrar cada una de sus finalidades en distintas áreas de trabajos, con ejercicios explicativos para un mayor entendimiento. Es así como siguiendo el orden del documento ha analizar se realiza el siguiente analisis.

Métodos De Eliminación Gaussiana

En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables enel sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Unavez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valoresde todas las variables. Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El métodode solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones sepuedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuaciónentre 2, obteniendo:

Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primeraecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:

sumándolas resulta :

Métodos De Eliminación Gaussiana

La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahoratenemos:

Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:

En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede ahacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo losvalores de las otras incógnitas. Se obtendrá:

Método de Gauss-Jordan

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss –Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuacioneslineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas,en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debeen primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema deecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Método de Gauss-Jordan

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en unamatriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original,la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simplesoperaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta queuna operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, seael caso.Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términosindependientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance laforma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución delsistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables,correspondiéndose de la siguiente forma:

d1 = xd2 = yd3 = z

Descomposición LU

El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuacioneslineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz originalde coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).Esto es: Donde: L - Matriz triangular inferior U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:

Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:

Descomposición LU

De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:

Si el sistema de ecuaciones original se escribe como: A x = b lo cual resulta lo mismo escribir: L U X = b Definiendo a: U X = Y podemos escribir: L Y = b Resolviendo para Y, encontramos:

Descomposición LU

El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrarprimeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b". Ensegundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para encontrar losvalores de "x", obteniendo:

La determinación de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientementeaplicando una forma modificada del método de eliminación de Gauss.

Factorización De Cholesky

Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En otraspalabras, [A] =[A] T. Tales sistemas ocurren comúnmente en problemas deambos contextos: el matemático y el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajascomputacionales ya que sólo se necesita la mitad de almacenamiento y, en lamayoría de los casos, sólo se requiere la mitad del tiempo de cálculo para susolución. Al contrario de la Descomposición LU, no requiere de pivoteo. Elmétodo de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matrizA es simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU, puede serfactorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuestade la matriz triangular inferior, es decir los factores triangulares resultantesson la traspuesta de cada uno.

Ejemplo:Obtener la factorización de Cholesky de la siguiente matriz (entrar sólo loselementos de U, la triangular superior)

5 7 −87 14 −14

−8 −14 24

Factorización De Cholesky

√5 7/5 √5 −8/5 √50 1/5 1051/2 −2/15 1051/2

0 0 2/3 211/2

Entrar el valor del determinante:

Resolver el sistema lineal Ax=b cuando b es el vector siguiente

5184

−90

Factorización:En cada etapa de la resolución se muestran los valores actuales de la matriz.Los nuevos elementos calculados aparecen con su valor definitivo en colordiferente.Calculando el elemento (1,1)

5^(1/2) 7 -8 7 14 -14 -8 -14 24

Factorización De Cholesky

Tratando la fila/columna 1

5^(1/2) 7/5*5^ (1/2) -8/5*5^(1/2) 7/5*5^ (1/2) 14 -14 -8/5*5^ (1/2) -14 24

Calculando el elemento (2,2)

5^(1/2) 7/5*5^(1/2) -8/5*5^(1/2) 7/5*5^(1/2) 1/5*105^(1/2) -14

-8/5*5^(1/2) -14 24

Tratando la fila/columna 2

5^(1/2) 7/5*5^(1/2) -8/5*5^(1/2) 7/5*5^(1/2) 1/5*105^(1/2) -2/15*105^(1/2)

-8/5*5^(1/2) -2/15*105^(1/2) 24

Factorización De Cholesky

Calculando el elemento (3,3)

5^(1/2) 7/5*5^(1/2) -8/5*5^(1/2) 7/5*5^(1/2) 1/5*105^(1/2) -2/15*105^(1/2) -8/5*5^(1/2) -2/15*105^(1/2) 2/3*21^(1/2)

La factorización final es la siguiente, en la que aparecen las matrices UT y U, y el vector de permutaciones:

√5 0 07/5 √5 1/5 1051/2 0

−8/5 √5 −2/15 1051/2 2/3 211/2

√5 7/5 √5 −8/5 √50 1/5 1051/2 −2/15 1051/2

0 0 2/3 211/

El valor del determinante viene dado por el producto de los elementos de ladiagonal principal de U y coincide con la diagonal principal de UT. Por tanto, es:

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Sea A 2 Rmn con m n. La factorización QR de A esA = QR = [Q1 Q2] R10 = Q1R1

Donde Q 2 Rmm es una matriz ortogonal y R1 2 Rnn es una matriztriangular superior. Se dice que la matriz R es trapezoidal superior.

Esta factorización es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales,problemas de mínimos cuadrados y problemas de eigenvalores.Las maneras más comunes de calcular la factorización QR son aplicando• las transformaciones de Householder,• las rotaciones de Givens,• el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.

Sea V ∈ 𝑹𝒏, v ≠ 0. La matriz de Householder se define como:

𝑃 = 1 −2

𝑣𝑡 𝑣𝑣𝑡 𝑣

Factorización de QR, Householder

Factorización de QR, Householder

El objetivo de esta matriz es usarla para producir ceros en la matriz que queremosfactorizar. Para hacerlo, debemosconsiderar el problema:Dados los vectores x y y, ¿cómo calculmos P tal que Px = y?• Puesto que P realiza una reflexión, se debe cumplir que 𝑦 2 = 𝑥 2 para poder

calcular P.• Hay que notar que P es invariante a la escala de v.x - y tiene la dirección del vector que queremos.

Así, podemos definir v = x - y.

Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos

El método de Gauss y sus variantes son conocidos como métodos directos pararesolver el problema inicial Ax = b. Se ejecutan a través de un número finito depasos y generan una solución x que sería exacta sino fuera por los errores deredondeo. En contraste, un método iterativo da lugar a una sucesión de vectoresque idealmente converge a la solución. El cálculo se detiene cuando se cuenta conuna solución aproximada con cierto grado de precisión especificado de antemanoo después de cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casisiempre iterativos.Un método iterado de resolución del sistema Ax = b es aquel que genera, a partirde un vector inicial x0, una sucesión de vectores x1, x2, . . . xn.. "Un métodoiterado se dirá que es consistente con el sistema Ax = b, si el límite x de lasucesión (xn), en caso de existir, es solución del sistema. Se dirá que el método esconvergente si la sucesión generada por cualquier vector inicial x0 es convergentea la solución del sistema".Es evidente que si un método es convergente esconsistente, sin embargo, el recíproco no es cierto

Método De Gauss Seidel

El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después itera para obtenerestimaciones refinadas de la solución; es particularmente adecuado para un grannúmero de ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un método máscomúnmente usado. La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despejede cada una de las xi en cada una de las ecuaciones y se les da un valor inicial a cadaxi de cero.Observase que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi

sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método deJacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo lasustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse acabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1,x2, ..., x i-1.La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la soluciónexacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable paraaquellos sistemas dominantes diagonalmente.

Método de Jacobi

El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal aleliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal.Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones,ya que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevovalor no cero en el elemento cero anterior. Si A es diagonalmente dominante,entonces la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a lasolución de Ax = b para cualquier vector inicial Xo. Partimos de unaaproximación inicial Xo para las soluciones Xi al sistema de ecuaciones ysustituimos estos valores en la ecuación:Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vectorx(k) en función de vector anterior x(k-1) en la iteración de Jacobi, en surespectivo algoritmo; donde el a el método de Jacobi más que usar el últimovalor disponible de , con base en un conjunto de las x anteriores (). De estaforma, como se generan nuevos valores, no se usan en forma inmediata sinoque se retienen para la siguiente iteración.