método forças 2
DESCRIPTION
Método Forças 2TRANSCRIPT
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
21
A tabela de integração desenvolvida pelo pesquisador A. N. Vereshchagin
fornece equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo de integração. Esta tabela é apresentada a seguir como tabelas 3a e 3b. Tabela 3a: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu)
1/2.L.M.Mub
1/2.L.M.Mua
1/2.L.M.(Mua+ Mub)
1/2.L.M.(Mua+ Mub)
1/3.L.Mb.Mub
1/6.L.Mb.Mua
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub)
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub)
1/6.L.Ma.Mub
1/3.L.Ma.Mua
1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub)
1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub)
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+
Mb.(Mua+2Mub)]
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+
Mb.(Mua+2Mub)]
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+
Mb.(Mua+2Mub)]
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+
Mb.(Mua+2Mub)]
1/3.L.Mm.Mub
1/3.L.Mm.Mua
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub)
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub)
# #
1/6.L.(Ma - 2Mb).Mub
1/6.L.(2Ma - Mb).Mua
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)-
Mb.(Mua+2Mub)]
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)-
Mb.(Mua+2Mub)]
OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra deve ser inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. Exemplos:
Mub Mua
M
Mb
Ma
Ma Mb
Ma
par. 2º grau
Mm
Mb
Ma
Mb
Mua Mub Mua
Mub
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb
Mb
Mub
Mb Mub
Mb Mub
Mb Mub
- 1/3.L.Mb.Mub
1/3.L.Mb.Mub
1/3.L.Mb.Mub
- 1/3.L.Mb.Mub
Mua ou Mub tracionando lado oposto ao do Ma: inserir o sinal de ( - ) no início da equação
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
22
Tabela 3b: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu)
*****
*****
L.M.Mu
1/2.L.M.( Mua - Mub)
1/2.L.M.(- Mua + Mub)
1/2.L.Mb.Mu
1/6.L.(Mua - 2Mub).Mb
1/6.L.(-Mua +2Mub).Mb
1/2.L.Ma.Mu
1/6.L.(2Mua - Mub).Ma
1/6.L.(-2Mua + 2Mub).Ma
1/2.L.(Ma+Mb).Mu
1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)-
Mub.(Ma+2Mb)]
1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+
Mub.(Ma+2Mb)]
1/2.L.(Ma+Mb).Mu
1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)-
Mub.(Ma+2Mb)]
1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+
Mub.(Ma+2Mb)]
2/3.L.Mm.Mu
1/3.L.(Mua - Mub).Mm
1/3.L.(- Mua + Mub).Mm
# #
1/2.L.(Ma - Mb).Mu
1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+
Mub(-Ma+2Mb)]
1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+
Mub(Ma - 2Mb)]
# #
1/2.L.(-Ma + Mb).Mu
1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+
Mub(Ma - 2Mb)]
1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+
Mub(-Ma+2Mb)]
OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra deve ser inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. Exemplos:
Mb
Mub
Mb Mub
Mb Mub
Mb Mub
- 1/3.L.Mb.Mub
1/3.L.Mb.Mub
1/3.L.Mb.Mub
- 1/3.L.Mb.Mub
M
Mb
Ma
Ma
Mm
Ma
Mb
Ma
Mu Mua
Mub
Mub
Mua
Para os casos: Mua = Mub ; Mua > Mub E Mua < Mub
Mb
Ma
par. 2º grau
Mb
Mb
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb
# # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
23
Exemplo2: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos:
a) a rotação relativa do ponto b; b) o deslocamento horizontal do ponto c;
E = 205 GPa; υ = 0,3
Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa
Resolução: Item a) Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=bh) A = 280 cm2
Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iz = bh3/12) Iz = 37333,33 cm4
Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fz = 6/5) AQz = A/fz = 233,33 cm2
A = 280x10-4 m2; Iz = 37333,33x10-8 m4; AQz = 233,33x10-4 m2 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa no ponto b.
=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento unitária em b. Caso 3 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força momento virtual unitária.
Ma= 0 + Vd . 6,0 + 1,0 = 0 Vd = 1/6 = - 0,167 Vd = 0,167
+ Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = Vd = 0,167
b
A A
50 kN
4,0 m
a
6,0 m
3,0 m
b c
d
1ª
2ª
3ª
q= 10 kN/m
Ha = 0
Mu = 1
4,0 m
a
6,0 m
3,0 m
b c
d
va = 0,167 Vd = 0,167
1ª
2ª
3ª
A A B
B
B
B
A A h = 40 cm
b = 7 cm
a
h b h
a
b
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
24
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: carregamento exterior.
Ma= 0 + Vd . 6,0 + 50,0 . 4,0 - R . 2,0 = 0 Vd = -120/6 = -20,0 KN Vd = 20 KN
+ Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = Vd = 20,0 KN
4 - Cálculo da rotação relativa do ponto b ( =?)
𝛿 = ∑ [∫�̅�𝑀
𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥
0
𝑥
]
0
𝑖=1,2,𝑛
Parcela do Momento fletor de todas as barras:
𝛿 = ∫�̅�1𝑀1
𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥
0
𝑙1
+ ∫�̅�2𝑀2
𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥
0
𝑙2
+ ∫�̅�3𝑀3
𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥
0
𝑙3
= ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas a barra 2 contribui para a rotação do ponto b Barra 2: 1/3.L.Ma.Mua
= 1 . [ 0 + 1/3.L.Ma.Mua + 0 ] = 1 . [1/3 . 6 . 120000 . 1 ] E.I (205x109. 37333,33x10-8)
= 3,14x10-3 rad lembrete: 2rad = 3600 O valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força momento virtual unitária está correto, ou seja, o ponto b sofre uma rotação de 3,14x10-3 rad no sentido anti-horário.
Ha = 10 KN
50 KN
4,0 m
a
6,0 m
3,0 m
b c
d
va = 20,0 KN
Vd = 20,0 KN
R = 40 KN
Ma = 120 KN Mua =1
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
25
Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c.
=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c. Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força virtual unitária.
Ma= 0 + Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 Vd = 4/6 = 0,67
+ Fy = 0 Va + Vd = 0 Va = - 0,67 = 0,67
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: carregamento exterior. ** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo diagrama.
Ha = 1
Fu = 1
4,0 m
a
6,0 m
3,0 m
b c
d
va = 0,67 Vd = 0,67
1ª
2ª
3ª
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
26
4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto c ( =?)
𝛿 =1
𝐸 . 𝐼 . [∑ 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑏𝑠. 3𝑎 𝑒 3𝑏]
Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto c Barra 1: + - 1/3.L.Ma.Mua + 1/3.L.Mm.Mub - 1/3 . 4. 120000 . 4 + 1/3 . 4 . 20000 . 4 = - 533333,33 Barra 2: -1/3.L.Ma.Mua -1/3 . 6 . 120000 . 4 = - 960000
= 1 . [ - 533333,33 - 960000 + 0 ] = 1 . - 1493333,33 E.I (205x109. 37333,33x10-8)
= - 0,0195 m = - 19,2 mm O valor negativo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está errado, ou seja, o ponto c sofre um deslocamento horizontal de 19,2 mm, porém para a esquerda. Exemplo3: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos:
a) a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b; b) o deslocamento vertical do ponto e;
E = 205 GPa; υ = 0,3
Resolução: Item a) Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=hth + 2btb) A = 285 cm2
Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iy = b3tb/6) Iy = 21333,33 cm4
Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fy = A/hth) AQy = A/fy = 125 cm2
A = 285x10-4 m2; Iy = 21333,33x10-8 m4; AQy= 125x10-4 m2
b A A
a
Ma = 120KN.m Mua = 4
Mb = 120 KN.m Mub = 4 Mub = 4 Mm = 20 KN.m
10 kN
4,0 m
a
5,0 m
3,0 m
b c
d
1ª
2ª 3ª
q= 18 kN/m 15 kN
4ª e
3,0 m
A A A A B
B
B
B
b b = 40 cm
h = 50 cm
tb
th
a
b
h
h
tb = 2,0 cm
th = 2,5 cm
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
27
Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b.
=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento virtual unitária em torno da rótula b. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação do par de Força momento unitária. 1ª ordem:
Mb= 0 + Vd . 5,0 + 1,0 = 0 Vd = 1/5 = - 0,2 Vd = 0,2
+ Fy = 0 Vb - Vd = 0 Vb = Vd = 0,2 2ª ordem:
Ma= 0 + - Ma - 1,0 = 0 Ma = -1 Ma = 1
Mu = 1
Mu = 1
b 3,0 m
b c
d
2ª 4ª e
3,0 m
Vd = 0,2
4,0 m
a
5,0 m
1ª
3ª
Mu = 1
Mu = 1
b c
d
e
a
Q. 1ª ordem
Q. 2ª ordem
Hb = 0
vb = 0,2
vb’ = 0,2
Ha = 0
va = 0,2
Ma = 1
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
28
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação do carregamento exterior. 1ª ordem:
Mb= 0 + Vd .5,0 - R.2,5 - 15. 8,0=0 Vd = 345/5 = 69 KN
+ Fy = 0 Vb + Vd = 105 Vb = 36 KN 2ª ordem:
Ma= 0 + - Ma + 10. 4,0 = 0 Ma = 40 KN.m
4 - Cálculo da rotação relativa entre as barras 1 e 2 no ponto b ( =?)
𝛿 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para a rotação relativa entre as barras 1 e 2 no ponto b
b 3,0 m
b c
d
2ª 4ª e
3,0 m
Vd = 69 KN
4,0 m
a
5,0 m
1ª
3ª
b c
d
e
a
Q. 1ª ordem
Q. 2ª ordem
Hb = 10 KN
vb = 36 KN
vb’ = 36 KN
Ha = 10 KN
va = 36 KN
Ma = 40 KN.m
R = 90 KN
10 kN
q= 18 kN/m 15 kN
10 kN
15 kN
Hb’ = 10 KN
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
29
Barra 1: - 1/2.L.Ma.Mu - 1/2. 4. 40000.1 = - 80000,0 Barra 2: 1/6.L.Mb.Mua + -1/3.L.Mm.Mua 1/6. 5. 45000.1 + - 1/3.5. 56250.1 = - 56250,0
= 1 . [ - 80000 - 56250,0 ] = 1 . - 136250,0 = - 3,115x10-3 rad E.I (205x109. 21333,33x10-8) O valor negativo indica que o sentido arbitrado para o par de força momento unitária está errado, ou seja, as barras 1 e 2 se aproximam, conforme ilustrado no esquema ao lado. Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto e.
=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em e Caso 1 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força unitária. 1ª ordem:
Mb= 0 + Vd . 5,0 - 1. 8,0 = 0 Vd = 8/5 = 1,6
+ Fy = 0 Vb + Vd = 1,0 2ª ordem: Vb = - 0,6
Ma= 0 + - Ma = 0 Vb = 0,6 Ma = 0
Mb = 45KN.m Mua = 1
Ma = 40 KN.m Mu = 1
Mm = 56,25 KN.m Mua = 1
b 3,0 m
b c
d
2ª 4ª e
3,0 m
Vd = 1,6
4,0 m
a
5,0 m
1ª
3ª
b c
d
e
a
Q. 1ª ordem
Q. 2ª ordem
Hb = 0
vb = 0,6
vb’ = 0,6
Ha = 0
va = 0,6
Ma = 0
Fu = 1
Fu = 1
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
30
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: carregamento exterior. ** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo diagrama.
4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto e ( =?)
𝛿 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 2 e 4 contribuem para o deslocamento do ponto e Barra 2: 1/3.L.Mb.Mub + -1/3.L.Mm.Mub 1/3. 5. 45000.3 + - 1/3.5. 56250.3 = - 56250,0
Mb = 45KN.m Mub = 3 Mm = 56,25 KN.m Mub = 3
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
31
Barra 4: 1/3.L.Ma.Mua 1/3 . 3 . 45000 . 3 = 135000,0
= 1 . [ - 56250,0 + 135000 ] = 1 . 78750,0 E.I (205x109. 21333,33x10-8)
= 1,80 x10-3 m = 1,80 mm O valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está correto, ou seja, o ponto e sofre um deslocamento vertical de 1,80 mm para baixo. Exemplo4: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos:
a) a rotação absoluta da corda bc da grelha; b) o deslocamento vertical do ponto c;
E = 205 GPa; υ = 0,3
Resolução: Item a) Área da seção transversal das barras: tabela 1 ( A= 2(hth + btb) ) A = 105 cm2 Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 ( Iy = b2 (btb + 3hth)/6 )
Iy = 4218,75 cm4
Momento de inércia à torção da seção transversal: 1( J = 2b2h2(tbth)/(btb + hth) ) J = 7714,29 cm4
Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa
Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fy = A/hth) AQy = A/fy = 60 cm2
A = 105x10-4 m2; Iy = 4218,75x10-8 m4; AQy = 60x10-4 m2; J = 7714,29x10-8 m4
G = 78,85 x109 N/m2 E= 205x109 N/m2
b
h
Ma = 45 KN.m Mua = 3
a
3 kN.m
a
2,0 m b
c
b
1ª 2ª
q= 8 kN/m 6 kN
1,5 cm
B
B
h
1,0 m
4 kN.m d
1,5 m
X
Y Z
A
A
b = 15 cm
h = 20 cm
A
A
B
B
b c b
h
b = 15 cm
h = 20 cm
1,5 cm b
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
32
Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação absoluta da corda bc da grelha.
=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias no ponto b e no ponto c. Caso 6 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu e o diagrama de momento torçor Tu devido à ação do par de forças unitárias.
Tab = 0 + - Fu . 1,5 + Ta = 0 Ta = 1
Tbc = 0 + Ma = 0 3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M e o diagrama de momento torçor T devido à ação do carregamento exterior.
+ Fz = 0 Va = 6 + R Va = 18 KN
Tab = 0 + Ta - 4 - R . 0,75 = 0 Ta = 13 KN.m
Tbc = 0 + Ma + Va . 2,0 - 6 . 1,0 + 3 = 0 Ma = - 33 KN.m Ma = 33 KN.m
a
2,0 m
b
c 1ª 2ª
Fu = 1/1,5
1,0 m
d
1,5 m
X
Y Z
Fu = 1/1,5
Va = 0
Ma = 0
Ta = 1
a
2,0 m
b
c 1ª 2ª
R = 12 KN
1,0 m
d
1,5 m
X
Y Z
Va = 18 KN
Ma = 33 KN.m
Ta = 13KN.m 3 kN.m 6 kN
4 kN.m
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
33
4 - Cálculo da rotação absoluta da corda bc da grelha ( =?)
𝛿 = ∑ [(∫ �̅�𝑀
𝐸. 𝐼
0
𝑥
+ �̅�𝑇
𝐺 . 𝐽 ) . 𝑑𝑥] = ∑ [ ∫
�̅�𝑀
𝐸. 𝐼
0
𝑥
. 𝑑𝑥]
0
𝑖=1,2,𝑛
+ ∑ [ ∫ �̅�𝑇
𝐺. 𝐽
0
𝑥
. 𝑑𝑥]
0
𝑖=1,2,𝑛
0
𝑖=1,2,𝑛
***Obs: �̅� e T e também G e J são constantes ao longo da barra, isto permite obter:
∫ �̅�𝑇
𝐺 . 𝐽. 𝑑𝑥
0
𝑥
= �̅�𝑇
𝐺 . 𝐽 . ∫ 𝑑𝑥
0
𝑥=𝐿
= �̅�𝑇
𝐺 . 𝐽 . [𝑥]0
𝐿 = �̅�𝑇 . 𝐿
𝐺 . 𝐽 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐿 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
A contribuição de cada barra em termos de Momento torçor vale: �̅�𝑇 .𝐿
𝐺 .𝐽
A contribuição de cada barra em termos de Momento fletor: equações tabs. 3a e 3b Então, a equação acima pode ser escrita da seguinte forma:
𝛿 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑇 . 𝐿
𝐺 . 𝐽 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Em termo de momento fletor apenas a barra 2 contribui com a rotação. Já em termo de momento torçor apenas a barra 1 contribui para a rotação. Contribuição em termo de Momento fletor: Barra 2: 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua + -1/3.L.Mm.Mua 1/6. 1,5.(2.13000 + 4000).1 + -1/3.1,5. 2250.1 = 6375,0
Mb = 4KN.m
Mua = 1 Mm = 2,25 KN.m Mua = 1 Ma = 13KN.m
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
34
OBS: caso a barra 1 contribuísse teria que ser feito: DOIS TRECHOS ad e db. Contribuição em termo de Momento torçor: Barra1: Tu1 . T1 . L1.= (-13000) . (-1) . 2,0 = 26000
= 1 . [ 6375 ] + 1 . [ 26000 ] = E.I GJ
= [ 6375 ] + [ 26000 ] =
(205x109. 4218,75x10-8) (78,85x109. 7714,29x10-8)
= 5,0x10-3 rad O valor positivo indica que o sentido arbitrado para o par de força unitária está correto, ou seja, a corda bc da grelha rotaciona o sentido horário. Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto c.
=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c Caso 1 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu e o diagrama de momento torçor Tu devido à ação da força unitária.
+ Fz = 0 Va = 1
Tab = 0 + - Fu . 1,5 + Ta = 0 Ta = 1,5
Tbc = 0 + Ma + 1. 2,0 = 0 Ma = - 2,0 Ma = 2,0
a
b
c
a
2,0 m
b
c 1ª 2ª
Fu = 1
1,0 m
d
1,5 m
X
Y Z
Va = 1
Ma = 2
Ta = 1,5
d
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
35
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: carregamento exterior. ** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo diagrama.
4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto c ( =?)
𝛿 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑇 . 𝐿
𝐺 . 𝐽 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
Contribuição em termo de Momento fletor: Barra 1: trecho(ad): Lad = 1,0m e não 2,0m 1/6.L. [ Ma .(2Mua + Mub) + Mb .(Mua + 2Mub) ] 1/6. 1,0.[ 33000 . ( 2 . 2 + 1) + 15000 .(2 +2.1) ] = 37500 trecho(db): Ldb = 1,0m e não 2,0m 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 1/6. 1,0.(2.15000 + 3000). 1 = 5500 Total da barra 1 : 43000
Mb = 15 KN.m Mua = 2
Ma = 33 KN.m
Mb = 3 KN.m
Mua = 1 Ma = 15 KN.m
Mub = 1
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
36
Barra 2: 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua + - 1/3.L.Mm.Mua 1/6. 1,5.(2.13000 + 4000).1,5 - 1/3.1,5. 2250.1,5 = 9562,5 Contribuição em termo de Momento torçor: Barra1: Tu1 . T1 . L1.= (-13000) . (-1,5) . 2,0 = 39000 Rotação absoluta da barra bc:
= 1 . [ 43000 + 9562,5 ] + 1 . [ 39000 ] = E.I GJ
= [52562,5 ] + [ 39000 ] =
(205x109. 4218,75x10-8) (78,85x109. 7714,29x10-8)
= 0,0125 m = 12,5 mm O valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está correto, ou seja, o ponto c da grelha desloca verticalmente para baixo 12,5 mm. Exemplo5: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento horizontal do ponto b;
E = 25 GPa; υ = 0,2
Resolução: Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=b.h) A = 1200 cm2
Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iy = bh3/12) Iy = 360000,0 cm4
Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fy =6/5) AQy = A/fy = 1000 cm2
A = 1200x10-4 m2; Iy = 36,0x10-4 m4; AQy= 1000x10-4 m2
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto b.
=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária horizontal no ponto b. Caso 2 da tabela 2
Mb = 4KN.m
Mua = 1,5 Mm = 2,25 KN.m Mua = 1,5 Ma = 13KN.m
a
b
c
b A A
a
1 kN
4,0 m
a
5,0 m
3,0 m
b c
d
1ª
2ª 3ª
q= 3 kN/m 2 kN
4ª e
3,0 m
A A A A B
B
B
B
b
b
h
h
b = 20 cm
h = 60 cm
a
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
37
2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força virtual unitária.
Ma = 0 + Vd . 5,0 + 1,0 .4,0 = 0 Vd = -0.8 Vd = 0.8
+ Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = 0,8 3 - Esboçar o diagrama de momento fletor devido ao carregamento exterior.
Ma = 0 + Vd . 5 - R . 2,5 - 2 . 8 - 1. 4 = 0 Vd = 11,5 kN
+ Fy = 0 Va + Vd = 17 kN Va = 5,5 kN
Fu = 1
3,0 m
3,0 m
Vd = 0,8
4,0 m
5,0 m
b c
d
e
a
Ha = 1 Va = 0,8
3,0 m
3,0 m
Vd = 11,5 kN
4,0 m
5,0 m
b c
d
e
a
Ha = 1 Va = 5,5 kN
1 kN 2 kN R=15 kN
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
38
4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto b ( =?)
𝛿 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
Utilizando as tabelas 3a e 3b para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento horizontal do ponto b Barra 1: - 1/3.L.Ma.Mua - 1/3. 4. 4000 . 4 = - 21333,33 Barra 2: - 1/6.L.(2Ma - Mb).Mua + -1/3.L.Mm.Mua - 1/6. 5. (2 . 4000 - 6000). 4 + - 1/3.5. 9375 . 4 = - 69166,67
= 1 . [ - 21333,33 - 69166,67] = 1 . (- 90500,0) = - 100,55 x10-5 m E.I (25x109. 36,0x10-4)
= - 1,00 mm O valor negativo indica que o sentido arbitrado para a força virtual unitária está errado, ou seja, o ponto b desloca 1,0 mm para a direita e não para a esquerda conforme arbitrado inicialmente.
Mb = 6 KN.m Mua = 4
Ma = 4 KN.m Mu = 4
Mm = 9,375 KN.m Mua = 4
Ma = 4 KN.m
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
39
6) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b.
E = 21 GPa; υ = 0,2
Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 8,75 GPa
Resolução: Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=b.h) A = 825 cm2
Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iy = bh3/12) Iy =15468,75 cm4
Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fy =6/5) AQy = A/fy = 990 cm2
A = 825x10-4 m2; Iy = 1,55x10-4 m4; AQy= 990x10-4 m2
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2.
=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento unitária em b. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação do par de força momento virtual unitária. Neste caso não é necessário calcular as reações de apoio para esboçar o diagrama Mu
5,0 m
b c d a
2,0 m 3,0 m
13 kN. m
50 kN q = 15 kN/ m
1ª 2ª 3ª A
A
h
A
A
h = 55 cm
b = 15 cm
b
7 kN. m
5,0 m
b
c d
a
2,0 m 3,0 m
Mu = 1
b
Mu = 1
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
40
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação do carregamento exterior. Neste caso não é necessário calcular as reações de apoio deste trecho da viga gerber para esboçar o diagrama M
4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto b ( =?)
𝛿 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
Utilizando as tabelas 3a e 3b para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as 3 barras contribuem para a rotação relativa entre as barras 1 e 2 Barra 1: - 1/6.L .( Ma – Ma ). Mub - 1/6. 5. (13000 – 7000).1 = - 4166,67
Ma = 13 KN.m
Mub = 1
5,0 m
b
c d
a
2,0 m 3,0 m
7 kN.m
b
7 kN.m 13 kN.m
Vb = 42,1 kN Vd = 52,9 kN
50 kN R = 45 kN
Mb = 7 KN.m
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
41
Barra 2: 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6. 2,0 [ 7000 .(2 . 1 + 0,6) + 91200 . (1 + 2 . 0,6)] = + 72946,67 Barra 3: + 1/3.L.Ma .Mua + 1/3.L.Mm.Mua 1/3. 3. 91200 . 0,6 + 1/3.3. 16875 . 0,6 = + 64845
= 1 . [- 4166,67 + 72946,67 + 64845] = 1 . (133625) = 0,041 rad E.I (21x109. 1,55x10-4)
= 0,041 rad O valor positivo indica que o sentido arbitrado para o par de força momento unitária está correto, ou seja, as barras 1 e 2 se aproximam, conforme ilustrado no esquema ao lado.
Mb = 91,2 KN.m Mua = 1 Ma = 7KN.m Mub = 0,6
Mua = 0,6 Mm = 16,875 KN.m Mua = 0,6 Ma = 91,2 KN.m
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
42
1 Lista de exercícios: 1) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação do ponto d. Considerar concreto de módulo de elasticidade igual a 21GPa. 2) Determine o deslocamento vertical do ponto c da estrutura esquematizado na figura abaixo. Considerar módulo de elasticidade igual a 205 GPa. 3) Calcule a para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento horizontal do ponto c;
E = 25 GPa; υ = 0,2
4) Determine o deslocamento vertical do ponto c do pórtico esquematizado na figura abaixo, sendo E= 25 GPa.
h
1,5 m
b a 1ª
5,0 m
b c d a
2,0 m 3,0 m
20 KN. m
50 KN q = 30 KN/ m q = 20 KN/ m
1ª 2ª 3ª A
A
h
A
A
h = 30 cm
b = 40 cm
b
1,5 m
c d
2,0 m
q = 10 KN/ m
3ª
A
A
b
A
A
h = 100 cm
b = 15 cm
2ª 1,5 m
3,0 m
b c d a
2,0 m 5,0 m
q = 30 KN/ m 10 kN.m
1ª A
A
b
A
A
h 3,0 m
e 2ª 3ª 4ª
th = 1,5 cm
b = 15 cm
h = 40 cm
tb = 1,5 cm
tb
b A A
a
4,0 m
a
5,0 m
b c
1ª
2ª
q= 3 kN/m
A A A A B
B
B
B
b
b
h
h
b = 20 cm
h = 60 cm
a
4kN.m
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
43
5) Calcule a para a estrutura abaixo a rotação relativa entre as barras 2 e 3
E = 25 GPa; υ = 0,2
6) Calcule para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos:
a) a rotação do ponto c; b) o deslocamento horizontal do ponto b;
E = 205 GPa; υ = 0,3
7) Determine o deslocamento horizontal do ponto d da estrutura apresentada abaixo.
Considerar concreto de módulo de elasticidade igual a 27 GPa e υ = 0,2.
b
3,0 m
A A
a
2 kN
4,0 m
a
b c
1ª
2ª
3ª
q= 9 kN/m
d
4,0 m
A A A A
B
B
B
B
h
a
h
1,5 cm
b = 15 cm
h = 60 cm
b b
A A
a
15 kN
4,0 m
5,0 m
b
c
e
1ª
2ª 3ª
q= 10 kN/m
4ª
d
5,0 m
A A A A
B
B
B
B
h
1,0 m
a a
h
h = 70 cm
b = 15 cm
b
b A A
a
4,0 m
a
5,0 m
b
d
1ª
2ª 3ª
q= 3 kN/m
A A A A B
B
B
B
b
b
h
h
b = 20 cm
h = 60 cm
a
2kN.m 2kN.m
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
44
8) Calcule para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos:
a) a rotação relativa entre as barras 2 e 4 que concorrem para a rótula c; b) o deslocamento horizontal do ponto f;
E = 205 GPa; υ = 0,3
9) Calcule para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento vertical do ponto a.
E = 26 GPa; υ = 0,2
10) Calcule para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento vertical do ponto c.
E = 205 GPa; υ = 0,3
f d
b
A
4,0 m
a
4,0 m
a
b c
1ª
2ª
3ª
q= 10 kN/m
e
3,0 m
A A
B
B
t = 2,0 cm
d = 50 cm
3,0 m
q= 15 kN/m
5ª
4ª
A
a
d B
B
b d
4,0 m
X
Y Z
q = 30KN/m
30 KN
3,0 m
3,0 m
29KN. m
18 KN. m
30 KN
a
1ª
b c
d
2ª
3ª
h
b
A
A
h = 100 cm
b = 20 cm
A
A
1,5 m
X
Y Z
q = 3 KN/m
2 KN
2,0 m
2,0 m
4 KN. m
a
1ª
c
d
2ª
3ª
b
h
A
A
A
A 4 KN
b = 35 cm
h = 45 cm
t = 2,0 cm
t
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
45
11) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação da corda cd.
E = 26 GPa; υ = 0,2
12) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação relativa entre as cordas ab e bc.
E = 205 GPa; υ = 0,3
2,0 m
X
Y Z
q = 6KN/m
7 KN
5,0 m
2,0 m
8 KN. m
a 1ª b
c d
2ª
3ª
d
d
A
A
A
A
4,0 m
X
Y Z
q = 7 KN/m
6 KN
3,0 m 4,0 m
8 KN. m 3,5 KN
a
3ª
b
c d
2ª
4ª
b
h
A
A A
A
d = 60 cm
5 KN. m
e
2,0 m
b = 30 cm
h = 35 cm
tb
1ª
tb = 2,0 cm
th = 2,5 cm
th