método numérico - regla de simpson
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Método numérico - regla de simpsonTRANSCRIPT
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Curso: Métodos Numéricos
Escuela de Ingeniería en Electrónica
MÉTODO NUMÉRICO: REGLA DE SIMPSON
Profesor: Marvin Hernández
I SEMESTRE, 2006
INDICE GENERAL
SECCIÓN PÁGINA
I. Introducción 1
A. Justificación 1
B. Objetivos 1
C. Metodología 2
II. Resultados de Investigación 3
A. Método numérico: Regla de Simpson 3
III. Desarrollo de problemas 14
A. Manualmente 14
B. Programas 30
IV. Conclusiones 32
V. Bibliografía 36
VI. Apéndices 37
I. INTRODUCCION
A. JUSTIFICACIÓN
Como parte del curso de Métodos Numéricos se deben estudiar diferentes
técnicas para formular problemas matemáticos. Una forma práctica para que el
estudiante aprenda es mediante la investigación; es por eso que en este curso se
fomenta esta práctica y el grupo se divide en subgrupos entre los cuales se
distribuyen diferentes temas.
B. OBJETIVOS
Los ingenieros encuentran con frecuencia el problema de integrar funciones
que están definidas en forma tabular o en forma gráfica y no como funciones
explícitas. Se pueden utilizar métodos gráficos, pero los métodos numéricos son
mucho más precisos.
El objetivo de este proyecto es investigar sobre el método numérico “la Regla
de Simpson” y buscar la forma de aplicarlo a problemas cotidianos con los que se
enfrentan los ingenieros.
Nota:
La regla Trapezoidal será tratada brevemente en la sección de apéndices ya
que no es parte del proyecto, pero investigar sobre este método numérico permite
comprender mejor la regla de Simpson.
C. METODOLOGÍA
Para realizar este trabajo se requiere investigar el tema en libros y en Internet,
asimismo, se requiere aprender a utilizar la herramienta Matlab.
Para aplicar este método a problemas cotidianos es necesario realizar un
trabajo de investigación y entrevistas a personas que laboran en diferentes empresas
y que han requerido utilizar este tipo de métodos para resolver sus problemas.
II. RESULTADOS DE INVESTIGACION
La integración numérica consiste en encontrar una buena aproximación al
área bajo la curva que representa una función f(x), que ha sido determinada a partir
de datos experimentales o a partir de una expresión matemática.
Las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes son los procedimientos más
comunes de integración numérica; se basan en la estrategia de reemplazar una
función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de
integrar. Estas fórmulas son:
- La regla de integración Trapezoidal.
- La regla de Simpson.
Estas reglas están diseñadas para casos en los que los datos por integrarse
están espaciados de manera uniforme.
A. MÉTODO
NUMÉRICO:
REGLA DE
SIMPSON
Una forma de obtener una aproximación adecuada de una integral es usar
polinomios de grado superior para unir los puntos y aproximar la función real.
El método de Simpson, a diferencia de la Regla trapezoidal, intenta no incurrir
en un mayor número de subdivisiones; se trata de ajustar una curva de orden
superior en lugar de una línea recta como en la Regla Trapezoidal.
Sea una función f(x), si entre f(a) y f( b) existe un tercer punto, entonces será
posible ajustar por ellos una parábola, en la misma forma, si existe dos puntos entre f
(a) y f( b), entonces por esos cuatro puntos se podrá ajustar una curva de grado
tres, y así sucesivamente.
En la figura 1, se muestra la función que es una parábola que aproxima a la
función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la parábola que une los
tres puntos. Note que hay tres puntos y dos segmentos, por lo que se verá más
adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 1/3. Por lo tanto las
fórmulas que resultan de tomar integrales bajo estos polinomios se conocen como
regla de Simpson.
Figura 1 Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 1/3
En la figura 2, se muestra la función que describe una ecuación cúbica que
aproxima a la función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la cúbica
que une los cuatro puntos. Note que hay cuatro puntos y tres segmentos, por lo que
se verá más adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 3/8.
Figura 2 Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 3/8
1. Regla de Simpson 1/3
Esta regla resulta cuando se utiliza una interpolación polinomial de segundo
orden:
La función
2f
, es la interpolación
polinomial de segundo orden. Esto se logra con el polinomio de Lagrange de
segundo grado. Sea c= (a+b)/2.
La función f2 es un polinomio de Lagrange de Segundo grado. Sea c= (a+b)/2.
=2f
Sustituyendo en la ecuación de la integral, se obtiene:
A continuación haremos todo el análisis matemático para obtener el valor de la
ecuación que es conocida como la regla de Simpson.
Tome en cuenta que h = (b-a)/2 y c =(a+b)/2 para la demostración.
Para b hacemos la siguiente sustitución:
( )ahb
abh +=⇒−= 2
2
La expresión ( )( )baca −− la sustituimos de la siguiente forma.
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )( ) 2
22
22
2
222
22
2
22
hcaba
hhhcaba
hab
hcaba
bahbhcaba
chbhcaba
cahcaba
hbaab
h
−=−−
−−=−−
−−−=−−
+−−−=−−
−−−=−−−−=−−
−=−⇒−=
Y obtenemos lo siguiente:
Usando la expresión: u = x-a, para el cambio de variable:
( )( )
( )( ) hucx
baucx
baaucx
caucx
−=−
−+=−
+−+=−
−+=−
2
2
( )( )( ) hubx
abubx
baubx
•−=−
−•−=−
−+=−
22
2
En donde se obtiene:
En forma similar se obtiene que
Tenemos pues que
La ecuación anterior se conoce como la regla de Simpson 1/3. La
especificación 1/3 se origina del hecho que h está dividida en tres intervalos.
Recordando que la expresión h = (b-a)/2, podemos expresar la ecuación
anterior de la siguiente manera.
6
)(2
4)(
)(
bfba
faf
abI
+
++
−≅ (1.1)
Además se puede determinar que la ecuación anterior tiene un error asociado
de:
)(90
1 )4(5 ζfhEt •−=
La expresión anterior se puede expresar también así:
( ))(
2880)4(
5
ζfab
Et−−= (1.2)
El término ( )ζ4f lo podemos aproximar al promedio de la cuarta derivada.
( )( )
ab
di
i
b
a
−=
∫ λλζ
)4(
)4( (1.3)
El error asociado a la regla de Simpson nos indica que este método es más
exacto que otros métodos de integración como la regla del trapecio. Vemos que el
error es proporcional a la cuarta derivada, por lo tanto el coeficiente del tercer grado
se hace cero en la interpolación polinomial. Por lo tanto, para ecuaciones de tercer
grado se obtienen ecuaciones exactas aunque se aproxime con una parábola. Así, el
método de Simpson es muy relevante.
De las ecuaciones (1.1) y (1.2). La integral es igual a:
( ) ( )ζ)4(55
28806
)(2
4)(
)( fhab
bfba
faf
abI •−−+
++
−≅ (1.4)
2. Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.
La aplicación múltiple utiliza la misma idea que la regla de Simpson con la
diferencia que se divide el intervalo de integración en muchos segmentos o
subintervalos, como se observa en la figura 3. Es decir en lugar de 2 segmentos se
hace para n segmentos donde n es de la forma 2k.
Por lo tanto tomamos h = (b-a)/n.
-
Figura 3 Se toman n segmentos
Por lo tanto, aplicando la regla de Simpson a cada subintervalo se obtiene.
( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfIn
n
x
x
x
x
x
x∫∫∫
−
+++=1
4
2
2
0
...
Utilizando la fórmula (1.1) a cada integral se obtiene:
( ) ( )
( )6
)(4)()(...
6
)(4)()(
6
)(4)()(
12
432210
nnn xfxfxfab
xfxfxfab
xfxfxfabI
++−++
++−+
++−≅
−−
Sacando a factor común (b-a) y agrupando términos obtenemos.
( ) ( ) [ ] ( )
n
xfxffxfxf
abI
n
jnj
n
ii
3
24
)(
2
...6,4,2
1
...5,3,10 ∑∑
−
=
−
=
+++−≅
(1.5)
La ecuación anterior es la regla de Simpson 1/3 generalizada a un número par
de segmentos e impar de puntos.
El error en este caso es de:
( ) )4(4
5
180f
n
abEa
−−= (1.6)
3. Regla de Simpson 3/8
A continuación se describe la regla de integración de Simpson 3/8 para la
“integración cerrada”, es decir, para cuando los valores de la función en los extremos
de los límites de integración son conocidos.
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentación más fina, otra forma
de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomios
de orden superior para conectar los puntos (en lugar de utilizar líneas para
conectarlos).
Las reglas de Simpson son las fórmulas que resultan al tomar las integrales
bajo los polinomios que conectan a los puntos.
La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla
de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que
conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer
grado es:
Figura 4 Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 3/8
En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola
pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El
intervalo de integración es de - a , lo que produce:
que es la regla de los tres octavos de Simpson.
La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:
Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3.
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que
alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos
necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las
aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar.
III. DESARROLLO DE PROBLEMAS
A. MANUALMENTE
1. Aplicación de la regla de Simpson 1/3.
Problema 1
Se tiene un sistema magnético en un transformador, en donde la energía se
almacena en la inductancia. Recordemos que la energía en este caso está
relacionada con el enlazamiento de flujo λ y sabemos que la corriente en función de
los enlazamientos de flujo es:
( ) 1000002500025001258/2532/ 2345 −+−+−= xi λλλλλ
Determine la energía almacenada en la inductancia desde λ=20, hasta
λ=25Wb. Además encuentre el error estimado usando la regla de Simpson.
Solución:
La energía está dada por la siguiente ecuación:
∫=λ
λ0idw
Sustituyendo la ecuación
( ) 1000002500025008/1252532/ 2345 −+−+−= xi λλλλλ
en la ecuación anterior se obtiene:
∫ −+−+−=λ
λλλλλ0
2345 )1002500025001258/2532/( dkxw (1)
Utilizando el método de Simpson 1/3, hacemos la siguiente aproximación:
( ) ( )6
)(4)( 210 λλλ iiiabw
++−≅ (2)
Determinación de puntos:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 6563.9732
312525
05176.31024
31259603.95.22
020
2
1
0
≈==
≈===
==
ii
ii
ii
λ
λ
λ
Sustituyendo en (2)
632
3125
1024
312540
)2025(
+
+
−=w
El error de truncamiento o error estimado en este ejemplo está dado por la
ecuación:
( )ζ45
2880
)(f
abEt •−= (3)
El término ( )ζ4f lo aproximaremos al promedio de la cuarta derivada.
( )( )
ab
di
i
b
a
−=
∫ λλζ
)4(
)4( (4)
Derivando la expresión:
55273437.91512
46875
=
=
w
w
754/15)(
750758/15)('''
50007502/758/5)(''
2500050003752/2532/5)('
1000002500025001258/2532/)(
)4(
2
123
234
2345
−=+−=
−+−=+−+−=
−+−+−=
λλλλλ
λλλλλλλλλ
λλλλλ
i
i
i
i
xi
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (4) y colocando los límites de
integración se obtiene:
( )2025
754/1525
20)4(
−
−=
∫ λλζ
d
i
( ) 375.98
75)4( ≈=ζi
Ya obtenido el valor anterior sustituimos en la ecuación (3) para encontrar el
error.
1725.108
75
2880
)2025( 5
=
•−=
Et
Et
Si derivamos de manera analítica la solución es: 81.3802083333.
Si restamos el valor real menos el aproximado obtenido con la regla de
SImpson se obtiene: 1725.1033381.380208355273437.91 =− .
En este caso se concluye que el error es el mismo.
Problema 2
Utilice la regla de 1/3 Simpson para evaluar la doble integral.
∫ ∫ +=a
b
xd
xc
dydxyxI)(
)(
)sin(
Los límites de integración son: a=1, b=3, c(x)= ln(x), d(x)= 3+exp(x/5).
Solución:
Para aplicar la regla de Simpson puede hacer la siguiente sustitución:
∫+
+=exp(x/5)3
ln(x),
)sin()( dyyxixif
Por lo que se obtiene:
∫=3
1
)( dxxifI (*)
Aplicando la regla de Simpson se obtiene:
( ) ( )6
)(4)( 210 xfxfxfabI
++−≅ (**)
Los puntos son los siguientes:
X0 = 1; X1= 2 ; X2=3
Por lo tanto sustituyendo (*) en (**). Obtenemos:
6
)sin()sin(4)sin(
)(
exp(x/5)3
ln(x),
exp(x/5)3
ln(x),
exp(x/5)3
ln(x),∫∫∫
+++
+++++−≅
dyyxidyyxidyyxi
abI
6
)3sin()2sin(4)1sin(
)13(
exp(3/5)3
ln(3),
exp(2/5)3
ln(2),
exp(1/5)3
ln(1),∫∫∫
+++
+++++−≅
dyydyydyy
I (***)
Cada una de las integrales anteriores se puede calcular nuevamente con la
regla de Simpson. La siguiente integral se calcula de la siguiente manera.
∫
∫
+=
+=+
2214.4
0,
1
exp(1/5)3
ln(1),
1
)1sin(
)1sin(
dyyI
dyyI
Aplicando la regla de Simpson se obtiene:
( ) ( )6
)(4)( 210
1
xfxfxfabI
++−≅
Los puntos son los siguientes:
X0 = 0; X1= 2.11070 ; X2=4.2214
Por lo que se obtiene:
6
)2214.41sin()11070.21(4)01sin()02214.4(1
+++++−≅ senI
064581.01 ≅I
De manera similar resolvemos las otras integrales utilizando el método de
Simpson.
1086.2)2sin()2sin(4918.4
0.6931
exp(2/5)3
ln(2),
2 −=+=+= ∫∫+
dyydyyI
67454.0)3sin()3sin(8211.4
1.0986
exp(3/5)3
ln(3)
3 −=+=+= ∫∫+
dyydyyI
Sustituyendo en la expresión (***), obtenemos el resultado final de la integral.
0148.36
67454.0)1086.2(4064581.0)13(
−≅
−+−+−≅
I
I
Problema Nº 3
La siguiente ecuación muestra la relación integral de tensión-corriente en un
inductor:
)('1
)( 0
0
tidtvL
tit
t
+⋅= ∫
Se sabe que la tensión en un inductor de 2H corresponde a 6 cos(5t.)
Determine la corriente de inductor resultante si )( 0ti =1 A. Considere el intervalo de
tiempo de 0 a 0.5 segundos.
Solución:
a) A continuación se muestra la solución del problema en forma analítica:
∫ +⋅⋅=t
t
tidttti0
)(´)5cos(62
1)( 0
∫ +⋅⋅=5.0
0
1´)5cos(62
1)( dttti
1)5(5
6
2
1)(
5.0
0
+
⋅
⋅= tsenti
1)05(5
6)5.05(
5
6
2
1)( +
⋅⋅
−⋅⋅
⋅= sensenti
1 718167.05.0)( +⋅=ti
35908.1)( =ti A
b) A continuación se muestra la solución del problema utilizando la Regla de
Simpson:
Se sabe que )5cos(6)( xxf = y el intervalo [ ]ba, = [0,0.5]. Para hallar los tres
puntos necesarios para aplicar la Regla de Simpson de 1/3:
• 6)05cos(6)0( =⋅=f
• 89193.1)25.05cos(6)25.0( =⋅=f
• 80686.4)5.05cos(6)5.0( −=⋅=f
Así la integral deseada se calcula como:
6
)()(4)()( 210 xfxfxfabI
+⋅+−=
6
)80686.4(89193.146)05.0(
−+⋅+−=I
730073.0=I
Por lo que:
12
1)( +⋅= Iti
1730073.02
1)( +⋅=ti
36504.1)( =ti A
El error exacto es:
%66,1100718167.0
730073.0718167.0 =×−=tE
El error estimado se calcula como:
5)4( )(90
1hfEt ξ−=
Como:
708.89705.0
)5cos(3750)(
)(
5.0
0
)4(
)4( =−
⋅⋅=
−
⋅=⇒
∫∫ dxx
ab
dxxf
f
b
aξ
Así:
009741.025.0708.89790
1 5 −=⋅⋅−=tE
Problema Nº 4
)5cos(3750)4( xf ⋅=
El circuito de la figura 1 corresponde al de un amplificador operacional
conectado como integrador. La ecuación que relaciona el voltaje de salida con el
voltaje de entrada es la siguiente:
∫ −⋅⋅
−=t
fSf
sal VcdtVCR
V01
)0('1
Figura 5 Amplificador operacional conectado como un integrador.
Si )2(5 tsenVs = , R1 = 100 k Ω, Cf = 4.7 µ F y Vc = 2V. Calcule el voltaje de
salida en t de 0 a 0.8 segundos.
Solución:
a) Solución del problema en forma analítica:
2)2(5)107.4(100000
1 8.0
06
−⋅×⋅
−= ∫− dttsenVsal
573.2)2(58.0
0
=⋅∫ dttsen
47447.7−=salV V
b) A continuación se muestra la solución del problema utilizando la Regla de
Simpson:
Se sabe que )2(5)( xsenxf ⋅= y el intervalo [ ]ba, = [0,0.8]. Para hallar los tres
puntos necesarios para aplicar la Regla de Simpson de 1/3:
• 0)02(5)0( =⋅⋅= senf
• 1,94709171)2.02(5)2.0( =⋅⋅= senf
• 3,58678045)4.02(5)4.0( =⋅⋅= senf
• 4,66019543)6.02(5)6.0( =⋅⋅= senf
• 4,99786802)8.02(5)8.0( =⋅⋅= senf
Si n = 4
Para obtener la integral se utiliza la ecuación:
n
xfxfxfxfabI nji
3
)()(2)(4)()( 0 ∑∑ ++⋅+
−=
43
)58678045.3(2)66019543.494709171.1(40)08.0(
⋅⋅++⋅+−=I
I = 2,57337183
Por lo tanto el voltaje de salida sería:
212766.2 −⋅−= IVsal
257337183.212766.2 −⋅−=salV
47526,7−=salV V
El error exacto es:
%01.010047447.7
)47526.7(47447.7 =×−
−−−=tE
El error estimado se calcula como:
5)4( )(90
1hfEt ξ−=
Como:
46.5108.0
)2(80)(
)(
8.0
0
)4(
)4( =−
⋅⋅=
−
⋅=⇒
∫∫ dxxsen
ab
dxxf
f
b
aξ
Así:
005855.04.046.5190
1 5 −=⋅⋅−=tE
)2(80)4( xsenf =
2. Aplicación de la regla de Simpson 3/8.
Problema 1
Para los datos de máximo punto del volumen en un tanque tabulado obtenido
en una fábrica de jugos medidos por un sensor cada cierto tiempo
Integrar con trapecio de segmentos múltiples
I = (b-a)* f(Xo)+2 ∑f(X1)+∑f(Xn)
2n
I = (3,4-1,6) 4,593+2*(108,015 +29,964)
2*18
I = 25,0547
29,9643,4
24,5333,2
20,0663
16,4452,8
13,4642,6
11,0232,4
9,0252,2
7,3892
6,051,8
4,5931,6
f(t)t
Datos tabulados
Aplicando Simpson 3/8
I1 = (0,6)*4,593+3(6,050)+3(7,389)+9,025
8
I1 = 4,045125
I2 = (0,6)*9,025+3(11,023)+3(13,464)+16,445
8
I2 = 7,4198
I3 = (0,6)*16,445+3(20,086)+3(24,533)+29,964
8
I3 = 13,1449
I = 24,6099
Problema 2
Con la regla de Simpson de 3/8 integre la función
f(x)= 0,2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5.
Desde a = 0 hasta b = 0,8.
Figura 6 Calculo del área bajo la curva con la regla de Simpson de 3/8.
Resolución del problema
n = 3 → h = 0,8-0 = 0,2667, entonces,
3
f(0) = 0,2 f(0,2667)= 1,433 f(0,5333) = 3,487 f(0,8) = 0,232
I = 0,8*0,2+3(1,432724+3,487177+0,232
8
I = 1,519170.
Errores en el problema
Error de truncamiento:
Et = 1.640533 – 1,519170 = 0,1213630
Et = 7,4%
Para un error estimado de:
Ea= -(0,8)2*(-2400)
6480
Ea = 0,1213630
B. PROGRAMAS
1. Programa en C++
Problema #3 – programado
#include <iostream.h>
#include <iostream.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>
int Lee_Datos(void);
int Nseg;
float a,b;
double Xi;
float X[10];
float Fx[10];
int main (void)
int i;
float Base;
double Area;
double SumMulti = 0;
double SumResto = 0;
Lee_Datos();
Base = (b-a)/Nseg;
Xi = a;
printf("\nDatos Tabulados.......");
printf("\n-------------------------");
printf("\n| i | Xi | Funcion");
printf("\n-------------------------");
printf("\n| 0 | %.2f | %.4lf",a,Fx[0]);
for ( i=1; i<Nseg; i++)
Xi += Base;
if ( i == (i/3)*3 )
SumMulti += 2*Fx[i];
else
SumResto += 3*Fx[i];
printf("\n| %2d | %.2f | %.4lf",i,Xi,Fx[i]);
printf("\n| %2d | %.2f | %.4lf",Nseg,b,Fx[i]);
Area = 3*(b-a)/(8*Nseg)*( Fx[0] + SumMulti + SumResto + Fx[Nseg]);
printf("\n------------------------------------------");
int Lee_Datos(void)
printf("\n Numero de Segmentos (Multiplo de 3) =");
scanf("%d",&Nseg);
printf("\n Valor de a =>");
scanf("%f",&a);
printf("\n Valor de b =>");
scanf("%f",&b);
printf("\n Área bajo La Curva es => %.8lf",Área);
getche();
X[0] = 0; Fx[0]= 0;
X[1] = 2; Fx[1]= 4;
X[2] = 4; Fx[2]= 16;
X[3] = 6; Fx[3]= 36;
X[4] = 8; Fx[4]= 64;
X[5] = 10; Fx[5]= 100;
X[6] = 12; Fx[6]= 144
2. Programa en
MatLab
Esta aplicación en Matlab, es para el problema 1 de la parte de Simpson de
1/3. La explicación que se presenta es una descripción del funcionamiento del
programa y la descripción del por qué fue diseñado.
En la figura 1 se presenta la interfaz gráfica con el usuario. Hay una sección
donde el usuario puede variar el número de segmentos, es decir n = 2 para el
método 1/3 simple y n = 2k, para 1/3 extendido. Se presenta dos campos más para
colocar los límites de integración. La idea es que el usuario varíe el valor de n para
observar cómo se va acercando el valor aproximado por el método de Simpson al
valor real. Como se puede observar en la figura 7.
Además, se presenta un área para gráficas. Con el botón “gráfica exacta” se
grafica el valor de la función real y con el botón “gráfica aproximada” se grafica el
polinomio de Lagrange que aproxima al real.
Figura 7 Interfaz gráfica
Resultados
Para n = 2, y con los límites dados por el problema 1 de la regla de Simpson
de 1/3 se obtiene:
Figura 8 Resultado de la integral con n=2
Si n = 16 se obtiene:
Figura 9 Resultado de la integral con n=16
En donde observamos que al aumentar el número de segmentos se mejora el
valor de la integral, ya que el valor real es de: 33381.3802083 .
En la figura 10 presentamos los resultados de las gráfica para el límite inferior
igual a 20, el límite superior igual a 25 y n = 2.
Vemos que el polinomio de Lagrange trata de aproximar a la gráfica real en el
rango de los límites de integración para obtener el menor margen de error. En esta
parte se pueden variar los límites de integración para observar como la gráfica de
Lagrange se aproxima a la real.
(a) (b)
Figura 10 (a) Gráfica aproximada por el polinomio de Lagrange
(b) Gráfica teórica.
IV. CONCLUSIONES
La integración con métodos numéricos es una herramienta útil cuando se trata
de integrar una función muy complicada o datos tabulados.
Con el método de Simpson se puede aproximar una integral compleja a la
integral de un polinomio.
Con el método de Simpson se logra convertir matemáticas superiores en
aritméticas básicas.
La regla de Simpson de 1/3 es útil cuando se tiene una cantidad par de
segmentos y una cantidad impar de puntos.
La regla de Simpson de 1/3 alcanza una precisión de tercer orden.
La regla de Simpson de 3/8 es útil cuando se tiene impar de segmentos y una
cantidad par de puntos.
La regla de Simpson de 1/3 y la de 3/8 se pueden aplicar juntas sobre una
misma curva para obtener exactitudes de tercer orden sobre todo un intervalo.
Tanto la regla de Simpson de 1/3 y 3/8 es más exacta que otros formas
numéricas de aproximar la integral como la regla del trapecio.
La regla de Simpson utiliza un polinomio interpolante el cual es de grado
menor o igual a n, y que pasa por n puntos.
V. BIBLIOGRAFIA
o Steven Chapra, Raymond Canale. Métodos numéricos para ingenieros.
4 ed. México: Editorial McGraw Hill Interamericana, 2003.
o Shoichiro N. Análisis numérico y visualización gráfica con MatLab. 1
ed. México: Prentice-Hall, 1997.
o William H.; Jack K.; Steven D. Análisis de circuitos en ingeniería. 6ª ed, México: Mc Graw-Hill Co, 2002.
VI. APÉNDICES
A. MÉTODO NUMÉRICO: REGLA TRAPEZOIDAL
La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de
Newton-Cotes. Esta regla permite aproximar el resultado de una integración
en el intervalo [a,b] con la ecuación:
Figura 11 Representación gráfica de la regla del trapecio.
Cuando se aplica esta regla para aproximar una integral se puede obtener un error
considerable. Estimar el valor de este error se hace con la siguiente fórmula:
3))((12
1abfE n
t −−= ξ
La regla del trapecio de aplicación múltiple es una forma de mejorar la
precisión de la regla trapezoidal. Lo que se hace es que se divide el intervalo de
2
)()()(b
a dx f(x)bfaf
ab+−=∫
integración [a,b] en varios segmentos aplicando el método a cada uno. De esta forma
se obtiene la siguiente ecuación:
n
xfxfxfabI
n
n
ii
2
)()(2)()(
1
10 ++
−=∑
−
=
(a)
(b)
Figura 11 a) Representación gráfica de la regla del trapecio de aplicación múltiple con dos
segmentos.
b) Representación gráfica de la regla del trapecio de aplicación múltiple con tres
segmentos.