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Métodos deInteligencia Artificial
L. Enrique Sucar (INAOE)[email protected]
ccc.inaoep.mx/esucarTecnologías de Información
UPAEP
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Redes Bayesianas: Parte I
• Introducción• Representación• Inferencia
– Propagación en árboles
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Representación
• Las redes bayesianas son unarepresentación gráfica de dependenciaspara razonamiento probabilístico, en la cuallos nodos y arcos representan:– Nodos: Variables proposicionales.– Arcos: Dependencia probabilística
• La variable a la que apunta el arco esdependiente (causa-efecto) de la que estáen el origen de éste.
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Ejemplo de una red bayesiana
Borracho
Sed Dolor-Cabeza
Vino
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MGP - RB I, L.E. Sucar 5
Otro ejemplo …
Influenza
Fiebre Dolor-Cabeza
Contagio
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1. Distribución de probabilidad: Representa la distribución de la probabilidad conjunta de las variables representadas en la red.
Podemos interpretar a una RB de dos formas:
Por ejemplo:
P(C, I, F, D) = P(C) P(I | C) P(F | I) P (D | I)
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2. Base de reglas: Cada arco representa un conjunto de reglas que asocian las variables involucradas, Por ejemplo:
Si I entonces F
Dichas reglas están cuantificadas porlas probabilidades respectivas.
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Otro ejemplo
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Estructura
• La topología o estructura de la red nos dainformación sobre las dependenciasprobabilísticas entre las variables.
• La red también representa las independenciascondicionales de una variable (o conjunto devariables) dada otra variable(s).
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Ejemplo
• Para el caso del domo:{Fva} es cond. indep. de {Fv, Fe, Nd} dado {Fb}• Esto es:
P(Fva | Fv, Fe, Nd, Fb)= P(Fva | Fb)• Esto se representa gráficamente por el nodo Fb separando al
nodo Fva del resto de las variables.
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Independencias condicionales• En una RB todas la relaciones de independencia condicional
representadas en el grafo corresponden a relaciones deindependencia en la distribución de probabilidad.
• Dichas independencias simplifican la representación delconocimiento (menos parámetros) y el razonamiento(propagación de las probabilidades).
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Representación Gráfica
• Una red bayesiana representa en formagráfica las dependencias e independenciasentre variables aleatorias, en particular lasindependencias condicionales
• Independencia en la distribución– P(X | Y,Z) = P(X | Z)
• Independencia en el grafo– X “separada” de Y por Z
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Representación Gráfica
Notación:• Independencia en la distribución
– I(X,Z,Y)• Independencia en el grafo
– < X | Z | Y >
X Z Y
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Separación “D”
• El conjunto de variables A esindependiente del conjunto B dado elconjunto C, si no existe trayectoria entreA y B en que
1. Todos los nodos convergentes están o tienendescendientes en C
2. Todos los demás nodos están fuera de C
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Separación “D”• Tres casos básicos
– Arcos divergentes– Arcos en secuencia– Arcos convergentes
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Separación “D” – casos básicos• caso 1: Secuencia:
X Z Y
• caso 2: Divergentes:
• caso 3: Convergentes:
X Z Y
X Z Y
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Ejemplos Separación-D
A
DC
F G
B
E ¿I(A,CD,F)?¿I(A,CD,B)?¿I(BD,A,C)?¿I(A,G,B)?¿I(A,D,G)?¿I(C,BEG,D)?
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Especificación Estructural
• En una RB, cualquier nodo X esindependiente de todos los nodos que noson sus descendientes dados sus nodospadres Pa(X) – “contorno de X”
• La estructura de una RB se especificaindicando el contorno (padres) de cadavariable
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Especificación Estructural
A
DC
F G
B
E
Pa(A) = 0Pa(B) = 0Pa(C) = APa(D) = A, BPa(E) = BPa(F) = C, DPa(G) = D
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Cobija de Markov
• La “cobija de Markov” de un nodo es elconjunto de nodos que lo hacenindependiente del resto de la red
• Para una RB la cobija de Markov estáformada por:– Nodos padre– Nodos hijo– Otros padres de los hijos
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Cobija de Markov
A
DC
F G
B
E
CM (D) ?
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Parámetros
• Complementan la definición de una redbayesiana las probabilidades condicionalesde cada variable dados sus padres.
– Nodos raíz: vector de probabilidadesmarginales
– Otros nodos: matriz de probabilidadescondicionales dados sus padres
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P(C)
P(T|C) P(G)
P(R|T) P(F|T,G)
Comida
GripeTifoidea
Fiebre DolorReaccionesP(D|T,G)
Ejemplo
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P(C)
P(T|C) P(G)
P(R|T) P(F|T,G)
Comida
GripeTifoidea
Fiebre DolorReaccionesP(D|T,G)
Ejemplo 0.80.2SalIns
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P(C)
P(T|C) P(G)
P(R|T) P(F|T,G)
Comida
GripeTifoidea
Fiebre DolorReaccionesP(D|T,G)
0.80.2SalIns
.9.3No
.1.7SiSalIns
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P(C)
P(T|C) P(G)
P(R|T)
P(F|T,G)
Comida
GripeTifoidea
Fiebre DolorReacciones
P(D|T,G)
0.80.2SalIns
.9.3No
.1.7SiSalIns
0.90.50.40.2~F0.10.50.60.8FNo,NoNo,SiSi,NoSi, Si
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Especificación Paramétrica
• Dado que los contornos (padres) de cada nodo especificanla estructura, mediante las probabilidades condicionales dedichos nodos podemos especificar también lasprobabilidades requeridas
• Aplicando la regla de la cadena y las independenciascondicionales, se puede verificar que con dichasprobabilidades se puede calcular la probabilidad conjunta
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Especificación ParamétricaA
DC
F G
B
E
P(A,B,C,D,E,F,G)= P(G|F,E,D,C,B,A) P(F|E,D,C,B,A) P(E|D,C,B,A) P(D|C,B,A) P(C|B,A) P(B|A) P(A)= P(G|D) P(F|D,C) P(E|B) P(D|B,A) P(C|A) P(B) P(A)
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Especificación Paramétrica
• En general, la probabilidad conjunta seespecifica por el producto de lasprobabilidades de cada variable dados suspadres:
P(X1,X2, ..., Xn) = Π P(Xi | Pa(Xi))
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Inferencia probabilística
• En RB, la inferencia probabilística consiste en: “dadas ciertas variables conocidas (evidencia), calcular la
probabilidad posterior de las demás variables(desconocidas)”
• Es decir, calcular: P(Xi | E), donde:– E es un subconjunto de variables de la RB (posiblemente vació)– Xi es cualquier variable en la RB, no en E
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Inferencia bayesiana
C
H
E
P(H|C)
P(E|H)
Causal:C H
Evidencial:E H
Mixta:C, E H
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Tipos de Técnicas
• Calcular probabilidades posteriores:– Una variable, cualquier estructura: algoritmo
de eliminación (variable elimination)– Todas las variable, estructuras sencillamente
conectadas (árboles, poliárboles): propagación– Todas las variables, cualquier estructura:
• Agrupamiento (junction tree)• Simulación estocástica• Condicionamiento
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Tipos de Técnicas
• Obtener variable(s) de mayor probabilidaddada cierta evidencia – abducción:– Abducción total– Abducción parcial
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Tipos de estructuras• Sencillamente
conectadas– Árboles
– Poliárboles
• Multiconectadas
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Cada nodo corresponde a una variablediscreta, B (B 1, B 2,…, B m) con surespectiva matriz de probabilidadcondicional, P(B|A)=P(Bj| Ai)
Propagación en Árboles
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Propagación en Árboles
A
D
C
F G
B
E
H
I
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Dada cierta evidencia E -representada por lainstanciación de ciertas variables- laprobabilidad posterior de cualquier variableB, por el teorema de Bayes:
P( Bi | E)=P( Bi ) P(E | Bi) / P( E )
B
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Evidencia
A
D
C
F G
B
E
H
I
E = {I,F,E}
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Ya que la estructura de la red es un árbol, elNodo B la separa en dos subárboles, por loque podemos dividir la evidencia en dosgrupos:
E-: Datos en el árbol que cuya raíz es B
E+: Datos en el resto del árbol
Evidencia
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Evidencia
A
D
C
F G
B
E
H
I
E+
E-
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Entonces:
P( Bi | E ) = P ( Bi ) P ( E-,E+ | Bi ) / P(E)
Pero dado que ambos son independientes yaplicando nuevamente Bayes:
P( Bi | E ) = α P ( Bi | E+ ) P(E- | Bi )
Donde α es una constante de normalización
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Si definimos los siguientes términos:
Definiciones:
λ (Bi) = P ( E- | Bi)
Entonces:
π (Bi) = P (Bi | E+ )
P(Bi | E ) = α π (B i) λ (B i)
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Desarrollo
• En base a la ecuación anterior, se puedeintegrar un algoritmo distribuido paraobtener la probabilidad de un nodo dadacierta evidencia
• Para ello se descompone el cálculo de cadaparte:– Evidencia de los hijos (λ)– Evidencia de los demás nodos (π)
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Evidencia de los hijos (l )
• Dado que los hijos son condicionalmenteindependientes dado el padre:
λ (Bi) = P ( E- | Bi) = Πk P ( Ek- | Bi)
• Donde Ek- corresponde a la evidencia del
subárbol del hijo k
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Evidenciahijos
A
D
C
F G
B
E
H
I
E-(D) E-(E)
J
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Evidencia de los hijos (λ)
• Condicionando respecto a los posiblesvalores de los hijos de B:
λ (Bi)= Πk [ Σj P ( Ek- | Bi, Sj
k) P(Sjk | Bi) ]
• Donde Sk es el hijo k de B, y la sumatoria essobre los valores de dicho nodo (teorema deprobabilidad total)
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Evidencia de los hijos (λ)
• Dado que B es condicionalmenteindependiente de la evidencia dados sus hijos:
λ (Bi) = Πk [ Σj P ( Ek- | Sj
k) P(Sjk | Bi) ]
• Substituyendo la definción de λ:
λ (Bi)= Πk [ Σj P(Sjk | Bi) λ (Sj
k)]
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Evidenciahijos
A
D
C
F G
B
E
H
I
λ(E)λ(D)
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Evidencia de los hijos (l )
• Recordando que λ es un vector (un valor porcada posible valor de B), lo podemos ver enforma matricial:
λ = λ P (S | B)
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Evidencia de los demás nodos (π)
• Condicionando sobre los diferentes valoresdel nodo padre (A):
π (Bi) = P (Bi | E+ ) = Σj P (Bi | E+ , Aj) P(Aj | E+ )
• Donde Aj corresponde a los diferentes valoresdel nodo padre de B
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Evidenciapadre
A
D
C
F G
B
E
H
IE+
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Evidencia de los demás nodos (p)• Dado que B es independiente de la evidencia “arriba” de A,
dado A:
Π (Bi) = Σj P (Bi | Aj) P(Aj | E+ )
• La P(Aj | E+ ) corresponde a la P posterior de A dada toda laevidencia excepto B y sus hijos, por lo que se puede escribircomo:
P(Aj | E+ ) = α π (A i) Πk¹ B λk (A i)
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Evidenciapadre
A
D
C
F G
B
E
H
I
λ(C)
λ(B)
π(A)
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Evidencia de los demás nodos (π)
• Substituyendo P(Aj | E+ ) en la ecuación de π :
π (Bi) = Σj P (Bi | Aj) [ α π (A i) Πk¹ B λk (A i) ]
• De forma que se obtiene combinando la π dedel nodo padre con la λ de los demás hijos
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Evidencia de los demás nodos (p)
• Dado que también π es un vector, lo podemos ver en formamatricial (donde PA es el producto de la evidencia de padre yotros hijos):
π = P (B | A) PA
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Algoritmo
• Mediante estas ecuaciones se integra unalgoritmo de propagación deprobabilidades en árboles.
• Cada nodo guarda los valores de losvectores π y λ, así como su matriz deprobabilidad condicional (CPT), P.
• La propagación se hace por un mecanismode paso de mensajes, en donde cada nodoenvía los mensajes correspondientes a supadre e hijos
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Mensaje al padre (hacia arriba) –nodo B a su padre A:
Mensaje a los hijos (hacia abajo) -nodo B a su hijo Sk :
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Algoritmo
• Al instanciarse ciertos nodos, éstos envíanmensajes a sus padres e hijos, y se propagan hastaa llegar a la raíz u hojas, o hasta encontrar unnodo instanciado.
• Así que la propagación se hace en un solo paso,en un tiempo proporcional al diámetro de la red.
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Propagaciónλ
A
D
C
F G
B
E
H
I
λI (H)
λE(B)
λG(D)λF(D)
λC(A)
λD(B)
λB(A)
λA(H)
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Propagaciónπ
A
D
C
F G
B
E
H
I
πH(I)
πB(E)
πD(G)πD(F)
πA(C)
πB(D)
πA(B)
πH(A)
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Condiciones Iniciales• Nodos hoja no conocidos:
λ (Bi) = [1,1, …]• Nodos asignados (conocidos):
λ (Bi) = [0,0, ..1, 0, …, 0] (1 para valor asignado)π (Bi) = [0,0, ..1, 0, …, 0] (1 para valor asignado)
• Nodo raíz no conocido:π (A) = P(A), (probabilidad marginal inicial)
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Ejemplo
Enf.
Fiebre Dolor
Comida
P(F|E)0.9 0.50.1 0.5
P(D|E)0.7 0.40.3 0.6
P(E|C)0.9 0.70.1 0.3
P(C)0.8 0.2
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Ejemplo
Enf.
Fiebre Dolor
Comida
F=siλ=[1,0] λ=[1,1]
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Ejemplo
Enf.
Fiebre Dolor
ComidaλF= [1,0] * [.9 .5 | .1 .5] = [.9 .5]
λD= [1,1] * [.7 .4 | .3 .6] = [1 1]
P(D|E)0.7 0.40.3 0.6
P(F|E)0.9 0.50.1 0.5
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Ejemplo
Enf.
Fiebre Dolor
Comida
λ(E) = [.9 .5] * [1 1] = [.9 .5]
P(D|E)0.7 0.40.3 0.6
P(F|E)0.9 0.50.1 0.5
λ(C) = [.9 .5] * [.9 .7| .1 .3] = [.86 .78]
P(E|C)0.9 0.70.1 0.3
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Ejemplo
Enf.
Fiebre Dolor
Comidaπ(E) = [.8 .2] * [.9 .7| .1 .3] = [.86 .14]
P(D|E)0.7 0.40.3 0.6
P(F|E)0.9 0.50.1 0.5
π(C) = [.8 .2]
P(E|C)0.9 0.70.1 0.3
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Ejemplo
Enf.
Fiebre Dolor
Comida
π(E) = [.86 .14]
P(D|E)0.7 0.40.3 0.6
π(C) = [.8 .2]
π(D) = [.86 .14] * [.9 .5] [.7 .4| .3 .6] = [.5698 .2742]
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Ejemplo
Enf.
Fiebre Dolor
Comidaπ(E) = [.86 .14]π(C) = [.8 .2]
π(D) = [.57 .27]λ(D)=[1,1]
λ(E) = [.9 .5]λ(C) = [.86 .78]
P(C)=α[.688 .156]P(C)= [.815 .185]
P(E)=α[.774 .070]P(E)= [.917 .083]
P(D)=α[.57 .27]P(D)= [.67 .33]
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Tarea
• Leer sobre redes bayesianas (capítulo en lapágina)