Методы решения Методы решения иррациональных иррациональных уравненийуравнений

Автор: Макарова Татьяна Павловна, учитель математики высшей категории ГБОУ СОШ №618 г. Москвы

Контингент: 10 класс физико-математического профиля.

Цель урока:Цель урока:

Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений.

Решение более сложных типов иррациональных уравнений .

Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений.

Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи.

Устная работаУстная работаМожно ли, не решая

уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений:;87 xx

13 2 xx

953 хх

024375 2 ххх

Методы решения Методы решения иррациональных иррациональных уравненийуравненийВведение новой переменнойИсследование ОДЗУмножение обеих частей

уравнения на сопряженный множитель.

Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.

Выделение полного квадрата

Методы решения Методы решения иррациональных иррациональных уравненийуравненийИспользование ограниченности

выражений, входящих в уравнениеИспользование свойств монотонности функций

Использование векторовФункционально - графический метод

Метод равносильных преобразованийМетод возведения обеих частей

уравнения в одну и ту же степень

Введение новой Введение новой переменнойпеременной

Решить уравнение.0634183 22 xxxx

Решение.

Пусть х2+3х-6= t , t – неотрицательное число,

тогда имеем .0412 tt

Отсюда, t1=4, t2=36.

Проверкой убеждаемся, что t=36 – посторонний корень.

Выполняем обратную подстановку

х2+3х-6=4

Отсюда, х1= - 5, х2=2.

Решить уравнение

хххх 12174133 3

Решение.

Замечаем, что ОДЗ уравнения состоит из одной точки х=1.

Проверкой убеждаемся, что х=1 – решение уравнения.

Умножение обеих частей Умножение обеих частей уравнения на сопряженный уравнения на сопряженный множительмножительРешить уравнение .583 xx

Решение. Умножим обе части уравнения на

83 xx

Получим, .83583 xxxx

Имеем,

.583

,183

xx

xx

Отсюда, .1,432 ххПроверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.

Сведение уравнения к системе Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с рациональных уравнений с

помощью введения переменнойпомощью введения переменнойРешить уравнение .3123 хх

Решение. Положим 3 ,2 xu .1 xv

Тогда u+v=3. Так как u3=x-2, v2=x+1, то v2 – u3 =3. Итак, в новых переменных имеем

3

,332 uv

uv

066

,323 uuu

uv

.1

,2

u

v

Значит, х=3.

Выделение полного Выделение полного квадратаквадратаРешить уравнение

.2122122 xxxx

Решение.

Заметим, что 211122 xxx

.111222

xxx

Следовательно, имеем уравнение

,2111122 xx .21111 xx

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

212

,011

x

xили

.21111

,011

xx

x

Решением первой системы будет х=0, решением второй системы – все числа, удовлетворяющие неравенству .01 х

Ответ: .01 x

Использование ограниченности Использование ограниченности выражений, входящих в выражений, входящих в уравнениеуравнение

Решить уравнение .211 24 42 xxx Решение.

Так как 112 x 114 4 хи для любых значений х,

то левая часть уравнения не меньше двух для RхПравая часть 22 2 х для .RхПоэтому уравнение может иметь корнями только те значения х, при которых

.22

,2112

4 42

х

хх

Решая второе уравнение системы, найдем х=0.

Это значение удовлетворяет и первому уравнению системы. Итак, х=0 – корень уравнения.

Использование свойств Использование свойств монотонности функциймонотонности функцийРешить уравнение 35 .2921 xxx Решение.

Если функция u(x) монотонная, то уравнение и(х) = А либо не имеет ре шений, либо имеет единственное ре шение. Отсюда следует, что урав нение и(х) = v(x), где и(х) - возрас тающая, a v(x) – убывающая функ ции, либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

Подбором находим, что х=2 и оно единственно.

Использование Использование вектороввекторовРешить уравнение .1231 2 xxxxРешение.

ОДЗ: .31 хПусть вектор xxbxa 3;1,1;

Скалярное произведение векторов

.31 xxxba

xxxba 3112 12 2 x

Получили baba

Отсюда,xx

x

3

1

1

Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение, получим

21;1 xx

Самостоятельная работа Самостоятельная работа с последующей с последующей проверкойпроверкой

.2555

,126202

,1714714

6 233

2

2

xxx

xxxx

xxx

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

.5425

,321

,112

46 7

5

3

xxxx

xx

хх

13

63)3

1)2

9;8;6;5)1

6561)3

2)2

10;2;1)1

Домашнее заданиеДомашнее задание

Решить систему уравнений

.9

,2

5

6

6

yxxy

x

yx

yx

х

Решите уравнения:

132342 222 xxxxxx

.471728 xxxx

Источники Источники

http://rudocs.exdat.com/docs/index-18133.html http://dist-tutor.info/mod/lesson/view.php http://ru.wikibooks.org/wiki/