Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Alumno: Fernando Luis Mrquez PortilloMatrcula: ES1410913422

Carrera: Matemticas

Materia: Geometra

Facilitador: RUTH ELIZABETH MARTINEZ RAMIREZ

Unidad 4

Actividad 2. Propiedades y teoremas de proporcin y semejanza de tringulos

a) = c= = = b) = ac = ac-1 = - 1 = (b+1)(b-1)= =

= = y = 27

Sea D el punto donde la bisectriz corta a AC. Aplicar el teorema del coseno al tringulo completo para encontrar el coseno BAC2 = AB2 + BC2 - 2ABBCcosB100 = 144 + 64 - 192 cosB-108 = -192 cosBCosB = 108/192 = 9/16 =CosBCosenoA64 = 144+100 - 240cosA-180 = -240cosA cosA = 3/4

Cos C144 = 100+64 -160cosC-20 = -160cosCCos C = 1/8Entonces se aplica el teorema de los senos en los dos tringulos interiores, entonces deberemos calcular el seno de la mitad del ngulo en Bsen(B/2) = (1-cos)/2 = (1-9/16)/2 = 7/32El senAsenA = (1-9/16) = (7) / 4y el senCsenC = (1-1/64) = (63)/8 = 3sqrt(7)/8Teorema de los senos en ABD:senA / BD = sen(B/2) / AD[(7)/4] / BD = (7/32) / AD[(7)/4]AD = (7/32)BDY aplicndolo en BCDsenC / BD = sen(B/2) / CD[3(7)/8] / BD = (7/32) / CD[3(7)]CD = (7/32)BDLas dos ecuaciones tienen igual el lado derecho luego igualamos el izquierdo[(7)/4]AD = [3(7)/8]CDComo AD+CD = 10[(7)/4]AD = [3(7)/8](10-AD)[(7)/4]AD + [3(7)/8]AD = 30(7)/8AD = [30(7)/8] / [(7)/4 + 3(7)/8] = [30(7)/8] / [5(7)/8] = 6 AD=6 y CD=4

Teorema 4.9 La bisectriz de un ngulo externo de un tringulo divide exteriormente el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.Sea un ABC y P el punto de interseccin de la bisectriz interior del C con el lado opuesto se cumple: AP/PB = CA/CB. Sea Q el punto de interseccin de la bisectriz exterior correspondiente al vrtice C con la prolongacin del lado AB tenemos: AQ/QB = CA/CB. AP/PB = AQ/QB.Se cumple que rea (APC)/rea(PBC) = AP/PB , debido a que las alturas de ambos tringulos coinciden. Si ambos tringulos estn apoyados sobre los lados CA y CB, respectivamente, y las alturas son las distancias desde el punto B a las bases y que, por encontrarse B sobre la bisectriz, esas alturas son iguales, rea(APC)/rea(PBC) = CA/CB. AP/PB = CA/CB. Aplicado a los tringulos CAQ y CBQ AQ/QB = CA/CB. CA/CB = AP/PB = AQ/BQ

Los dos ngulos son congruentes o lo son los ngulos . + + 90 + ACB = 180ACB = 90- - Tomando en consideracin el tringulo rectngulo ADP APQ = APD = 90 - - APQ = ACB los dos ngulos son congruentes, tambin los sern los y los tringulos tendrn los tres ngulos congruentes en el orden ABC y APQ

Como el tringulo PQC queda inscrito dentro del tringulo ABC, es muy simple determinar la semejanza de ambos tringulos, definida entonces por la siguiente relacin AB/ PQ = BC/ PC

Teorema 4.14 Sean dos polgonos que se pueden dividir en una misma cantidad de tringulos semejantes, entonces ambos polgonos son semejantes.Como podemos observar ambas figuras geomtricas pueden dividirse en 5 tringulos semejantesLo cual implica que ambos polgonos son semejantes