Intro Spe Rel A Rel/GenRelMik a számok a melyik térid®ben?Székely GergelyRényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetwww.renyi.hu/�turmsFiatal Kutatói Mini-konferen ia,2010. November 15., Budapest.

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztNagyon naivan!Mik a számok a ��zikai világban�?

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztNagyon naivan!Mik a számok a ��zikai világban�?Nyilván a valós (vagy a komplex) számok! (A �zikaielméleteink legalább 99%-a ezekkel számol.)Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztNagyon naivan!Mik a számok a ��zikai világban�?Nyilván a valós (vagy a komplex) számok! (A �zikaielméleteink legalább 99%-a ezekkel számol.)Nyilván része a ra ionális (s®t az egész) számoknak! (Amérések kimenetelei véges tizedestörtek.)Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztNagyon naivan!Mik a számok a ��zikai világban�?Nyilván a valós (vagy a komplex) számok! (A �zikaielméleteink legalább 99%-a ezekkel számol.)Nyilván része a ra ionális (s®t az egész) számoknak! (Amérések kimenetelei véges tizedestörtek.)A kérdés ezen a szinten túl naiv...Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztNagyon naivan!Mik a számok a ��zikai világban�?Nyilván a valós (vagy a komplex) számok! (A �zikaielméleteink legalább 99%-a ezekkel számol.)Nyilván része a ra ionális (s®t az egész) számoknak! (Amérések kimenetelei véges tizedestörtek.)A kérdés ezen a szinten túl naiv...Próbáljuk meg szilárd logikai keretek között újrafogalmazni akérdést! Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztMi köze van a számoknak térid®höz?

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztMi köze van a számoknak térid®höz?A számfogalom de�niálható a geometriából.(Hilbert-féle koordinátázás)

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztMi köze van a számoknak térid®höz?A számfogalom de�niálható a geometriából.(Hilbert-féle koordinátázás)Tarski: Euklideszi geometria els®rend¶ logikai axiómarendszere koordinátázás rendezett testek.Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztMi köze van a számoknak térid®höz?A számfogalom de�niálható a geometriából.(Hilbert-féle koordinátázás)Tarski: Euklideszi geometria els®rend¶ logikai axiómarendszere koordinátázás rendezett testek.Tétel:�Minden egyenes, ami tartalmazza egy kör bels® pontját metszi akörvonalat.� ⇐⇒ �Minden pozitív számnak van négyzetgyöke.�Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztMi köze van a számoknak térid®höz?A számfogalom de�niálható a geometriából.(Hilbert-féle koordinátázás)Tarski: Euklideszi geometria els®rend¶ logikai axiómarendszere koordinátázás rendezett testek.Tétel:�Minden egyenes, ami tartalmazza egy kör bels® pontját metszi akörvonalat.� ⇐⇒ �Minden pozitív számnak van négyzetgyöke.�A térid® tulajdonságok hogyan tükröz®dnek a számokon?Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztNyelv: {B, IOb,Ph,Q,+, ·,≤,W }PSfrag repla ements WIOb PhB Q+·≤0

B! Bodik (mozgó objektumok)IOb! Iner iális meg�gyel®k Ph! Fotonok (fényjelek)Q! Mennyiségek (számok) +, · és ≤! m¶veleti jelek ésrendezésW! Világkép relá ió (d + 2-változós B2 × Qd típusú relá ió)Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Naivan Logikai keretek köztPSfrag repla ements t

xym b

A b bodi életútja az m meg�gyel® szerint.Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpAxióma [ AxPh ℄:A fénysebesség minden iner iális meg�gyel® számára mindenhol,minden irányban ugyanakkora; és mindenhol, minden irányban ki islehet bo sátani egy fényjelet ezzel a sebességgel.PSfrag repla ements ∀m ∃p∀m ∃ m > 0 ∀x̄ x̄ ′ t t ′ IOb(m)

→(

(

∃p Ph(p) ∧W(m, p, x̄ , t) ∧W(m, p, x̄ ′, t ′)) ↔(x ′1 − x1)2 + (x ′1 − x1)2 + . . .+ (x ′d−1 − xd−1)2 = 2m · (t ′ − t)2).Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpMit tegyünk fel a számokról?

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpMit tegyünk fel a számokról?Axióma [ AxField ℄:A számok struktúrája 〈Q; +, ·,≤〉 egy rendezett test.

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpAxióma [ AxEv ℄:Az iner iális meg�gyel®k ugyanazokat az eseményeket (bodiktalálkozásait) látják.PSfrag repla ements m m′b1b2

b1b2

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpAxióma [ AxSf ℄:Az iner iális meg�gyel®k önmagukat állni látják.PSfrag repla ements

∀m

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpAxióma [ AxSym ℄:Az iner iális meg�gyel®k egyetértenek a köl sönösen egyidej¶nektartott események távolságán. Továbbá a fénysebesség 1.PSfrag repla ements m m′

∃p e1e1 e2e2Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpSpe Rel = {AxField,AxPh,AxEv,AxSf,AxSym}Tétel: (Andréka-Madarász-Németi)Spe Rel |= �mozgó órák kiállnak a szinkronból�,�mozgó órák lelassulnak�,�mozgó méterrudak megrövidülnek�,stb.Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpSpe Rel = {AxField,AxPh,AxEv,AxSf,AxSym}Tétel: (Andréka-Madarász-Németi)Spe Rel |= �mozgó órák kiállnak a szinkronból�,�mozgó órák lelassulnak�,�mozgó méterrudak megrövidülnek�,stb.Kérdés: (Kutatási irány)Mi maradna meg a Spe Rel tételekb®l, ha a rendezett testekhelyett valami más algebrai struktúrát használnánk?Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpHiányzó fény-egyenesek. . .PSfrag repla ements

(1, 1)1

1 10 √2m

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpDef.:Számokn(Th) = {〈Q,+, ·,≤〉 : 〈Q,+, ·,≤〉 a Th elméletmodelljeinek mennyiség struktúrája, ha d = n}.

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpAxióma [ AxThExp ℄:Tetsz®leges fénysebességnél kisebb sebességgel haladhat iner iálismeg�gyel®.PSfrag repla ements

∀m ∃k

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpTétel: (Andréka-Madarász-Németi)Számokn(Spe Rel+ AxThExp) = {Euklideszien rendezett testek }

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpTétel: (Andréka-Madarász-Németi)Számokn(Spe Rel+ AxThExp) = {Euklideszien rendezett testek }PSfrag repla ements(t, vt)

v10 (1, v)0 < x ∈ Q

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpTétel: (Andréka-Madarász-Németi)Számokn(Spe Rel+ AxThExp) = {Euklideszien rendezett testek }PSfrag repla ements(t, vt)

v1√1−v210 (1, v)( 1√1−v2 , v√1−v2) 0 < x ∈ Q1√1−v2 ∈ Q, ha v ∈ Q ∩ [0, 1)

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpTétel: (Andréka-Madarász-Németi)Számokn(Spe Rel+ AxThExp) = {Euklideszien rendezett testek }PSfrag repla ements(t, vt)

v1√1−v210 (1, v)( 1√1−v2 , v√1−v2) 0 < x ∈ Q1√1−v2 ∈ Q, ha v ∈ Q ∩ [0, 1)

√1− v2 ∈ QSzékely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpTétel: (Andréka-Madarász-Németi)Számokn(Spe Rel+ AxThExp) = {Euklideszien rendezett testek }PSfrag repla ements(t, vt)

v1√1−v210 (1, v)( 1√1−v2 , v√1−v2) 0 < x ∈ Q1√1−v2 ∈ Q, ha v ∈ Q ∩ [0, 1)

√1− v2 ∈ Qx =( x+12 )2 ·(1−( x−1x+1)2)

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpTétel: (Andréka-Madarász-Németi)Számokn(Spe Rel+ AxThExp) = {Euklideszien rendezett testek }PSfrag repla ements(t, vt)

v1√1−v210 (1, v)( 1√1−v2 , v√1−v2) 0 < x ∈ Q1√1−v2 ∈ Q, ha v ∈ Q ∩ [0, 1)

√1− v2 ∈ Qx =( x+12 )2 ·(1−( x−1x+1)2)x+12 ·√1− ( x−1x+1)2 ∈ Q

√x ∈ QSzékely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpSpe Rel0 = Spe Rel− AxSym

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpSpe Rel0 = Spe Rel− AxSymTétel: (Andréka-Madarász-Németi)Számok3(Spe Rel0 + AxThExp) = {Euklideszien rendezett testek }

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpSpe Rel0 = Spe Rel− AxSymTétel: (Andréka-Madarász-Németi)Számok3(Spe Rel0 + AxThExp) = {Euklideszien rendezett testek }Tétel: (Andréka)Számok2k (Spe Rel0 + AxThExp) % {Euklideszien rendezett testek }Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpSpe Rel0 = Spe Rel− AxSymTétel: (Andréka-Madarász-Németi)Számok3(Spe Rel0 + AxThExp) = {Euklideszien rendezett testek }Tétel: (Andréka)Számok2k (Spe Rel0 + AxThExp) % {Euklideszien rendezett testek }Kérdés: (n ≥ 4)Számokn(Spe Rel0 + AxThExp) =???

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpAxióma [ AxThExp− ℄:Tetsz®leges fénysebességnél kisebb sebességhez tetsz®legesen közelisebességgel haladhat iner iális meg�gyel®.

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpAxióma [ AxThExp− ℄:Tetsz®leges fénysebességnél kisebb sebességhez tetsz®legesen közelisebességgel haladhat iner iális meg�gyel®.Tétel: (Madarász-SzG)Q ∈ Számokn(Spe Rel+ AxThExp−)

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpAxióma [ AxThExp− ℄:Tetsz®leges fénysebességnél kisebb sebességhez tetsz®legesen közelisebességgel haladhat iner iális meg�gyel®.Tétel: (Madarász-SzG)Q ∈ Számokn(Spe Rel+ AxThExp−)Köv.:

{Ar himédeszien rendezett testek}$Számokn(Spe Rel+AxThExp−)Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel Axiómák AxThExpAxióma [ AxThExp− ℄:Tetsz®leges fénysebességnél kisebb sebességhez tetsz®legesen közelisebességgel haladhat iner iális meg�gyel®.Tétel: (Madarász-SzG)Q ∈ Számokn(Spe Rel+ AxThExp−)Köv.:

{Ar himédeszien rendezett testek}$Számokn(Spe Rel+AxThExp−)Sejtés:Számokn(Spe Rel+ AxThExp−) = {rendezett testek }Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokGyorsuló meg�gyel®k (A Rel) / általános relativitáselmélet (GenRel)A Rel/GenRel nyelve ugyanaz.Meg�gyel®k: Ob(m)def⇐⇒ ∃xyzt b W(m, b, x , y , z , t)Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokAxióma [ AxCmv ℄:Minden meg�gyel® életútjának minden pillanatában lokálisanolyannak látja a világot, mint egy iner iális meg�gyel®.PSfrag repla ements

∀k ∈ Ob∃m ∈ IOb∀x̄

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokAxióma [ AxEv− ℄:Minden meg�gyel® látja azokat az eseményeket, amiben ®t látták.Axióma [ AxSf− ℄:Minden meg�gyel® önmagát az id®tengely egy intervallumán látja.A Rel0 = Spe Rel ∪ {AxCmv,AxEv−,AxSf−}Tétel: (Madarász-Németi-SzG)A Rel0|= ∀m ∈ IOb, k ∈ Ob �k életútja az m világképében a k(lokálisan) sajátideje szerint van paraméterezve.�Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokIkerparadoxon

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokA Rel0 = Spe Rel ∪ {AxCmv,AxEv−,AxSf−}.Tétel: (Madarász-Németi-SzG)A Rel0 6|= TwP

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokA Rel0 = Spe Rel ∪ {AxCmv,AxEv−,AxSf−}.Tétel: (Madarász-Németi-SzG)A Rel0 6|= TwPTh(R) ∪ A Rel0 6|= TwPahol Th(R) a valós számok teljes els®rend¶ elmélete.

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokAxiómaséma [ CONT ℄:Q minden nem üres korlátos (paraméteresen) de�niálhatórészhalmazának van legkisebb fels® korlátja.A Rel = A Rel0 ∪ CONT

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokAxiómaséma [ CONT ℄:Q minden nem üres korlátos (paraméteresen) de�niálhatórészhalmazának van legkisebb fels® korlátja.A Rel = A Rel0 ∪ CONTTétel: (Madarász-Németi-SzG)A Rel |= TwPSzékely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokAxiómaséma [ CONT ℄:Q minden nem üres korlátos (paraméteresen) de�niálhatórészhalmazának van legkisebb fels® korlátja.A Rel = A Rel0 ∪ CONTTétel: (Madarász-Németi-SzG)A Rel |= TwPTétel: AxField+ CONT |= Th(R)Köv.: Számokn(A Rel) = {valósan zárt testek}.Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokAxióma [ Ax∃UnifOb ℄:Vannak egyenletesen gyorsuló meg�gyel®k.PSfrag repla ements ∀m ∃k

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokTétel: (Madarász-Németi-SzG)A Rel|= ∀m ∈ IOb, k ∈ Ob �k életútja az m világképében a ksajátideje szerint van paraméterezve.�

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokTétel: (Madarász-Németi-SzG)A Rel|= ∀m ∈ IOb, k ∈ Ob �k életútja az m világképében a ksajátideje szerint van paraméterezve.�Köv.: A Rel + Ax∃UnifOb |= e ∈ QPSfrag repla ements m ke2 − 12e e2 + 12e0 1 〈 h1, sh1〉Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokTétel: (Madarász-Németi-SzG)A Rel|= ∀m ∈ IOb, k ∈ Ob �k életútja az m világképében a ksajátideje szerint van paraméterezve.�Köv.: A Rel + Ax∃UnifOb |= e ∈ QKérdés: Számokn(A Rel+ ∃UnifOb) =????Exponential ordered �elds? (Salma Kuhlmann)Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokDef. (Geodetikus):Egy meg�gyel® életútját id®szer¶ geodetikusnak nevezzük, ha�lokálisan maximalizálja az eltelt id®t�.PSfrag repla ements k ∀h

∃δ > 0∀x̄Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokDef. (Geodetikus):Egy meg�gyel® életútját id®szer¶ geodetikusnak nevezzük, ha�lokálisan maximalizálja az eltelt id®t�.Axiómaséma [ COMPR ℄:Minden (paraméteresen) de�niálható id®szer¶ görbéhez van egyolyan meg�gyel®, akinek az életútja ezen a görbén halad.

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokÁll.:Számokn(A Rel+ COMPR) j Számokn(A Rel+ ∃UnifOb)

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokÁll.:Számokn(A Rel+ COMPR) j Számokn(A Rel+ ∃UnifOb)Kérdés: Számokn(A Rel+ COMPR) =???Számokn(GenRel+ COMPR) =??????di�erentially losed �elds??? (Abraham Robinson)

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?

Intro Spe Rel A Rel/GenRel AxCmv Ikerparadoxon AxEUnifOb GeodetikusokKöszönöm a �gyelmet!További részletek: www.renyi.hu/�turms

Székely Gergely Mik a számok a melyik térid®ben?