Méthodes eulériennes pour le couplage fluide-structure

Milcent Thomas

INRIA Bordeaux Sud-Ouest, Equipe MC2

Groupe de Travail Méthodes Numériques, Laboratoire JLL

– p. 1

Contexte physique et biologique

−→ Modèles permettant de simuler des structures immergées dans un fluide.

– p. 2

Plan de l’exposé

I) Introduction générale

II) Modèle de membrane

⊲ Analyse mathématique

⊲ Modélisation flexion

⊲ Simulations numériques

III) Modèle volumique

⊲ Incompressible

⊲ Compressible

IV) Perspectives

– p. 3

Approche eulérienne

Conservation de la masse et de la quantité de mouvement

ρt + divx(ρu) = 0 ρ(ut + (u · ∇x)u) = divx(σ)

⊲ Equations posées sur Ωt −→ Difficultés pour les surfaces libres

⊲ Bien adapté à la mécanique des fluides σ = −pI + f (∇u)

– p. 4

Eulerien versus Lagrangien

Ω0

x = X(ξ, t)

Ωt

u(x, t)

ξ

u(X(ξ, t), t) = ∂X∂t (ξ, t)

– p. 5

Approche lagrangiennex = X(ξ, t)

Conservation de la masse et de la quantité de mouvement

ρ(X, t)det(∇ξX) = ρ0 ρ0∂2X

∂t2= divξ(T )

Lien entre les tenseurs des contraintes T = σ(X, t)Cof(∇ξX)

⊲ Equations posées sur Ω0 −→ Prise en compte des surfaces libres

⊲ Bien adapté à l’élasticité T = T (∇ξX) (effet mémoire)– p. 6

Problématique générale du couplage fluide-structure

Couplage des modèles à l’interface

⊲ Continuité de la vitesse

⊲ Continuité des contraintes normalesmarqueurs lagrangiens

Champ de vitesse

Solide

Fluide

Interface

Difficultés

⊲ Couplage de modèles écrit dans des formulations différentes

⊲ Traitement de la frontière libre du fluide

⊲ Interpolations à l’interface

– p. 7

Méthode ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian)

Idée: Introduire une vitesse de maillage pour traiter la surface libre du fluide

Source: Cécile Dobrzynski

Inconvénients

⊲ Remaillage pour des grandes déformations

⊲ Implémentation en 3D– p. 8

Méthode de frontière immergée de Peskin (1977)

Idée: Traiter l’élasticité (incompressible) comme un terme source

ρ(ut + (u · ∇)u)− µ∆u+∇p = F(X)δS,∂X∂t = u(X, t), div(u) = 0

marqueurs lagrangiens

Champ de vitesse

Fluide

Interface

Solide

Inconvénients

⊲ Interpolations pour le calcul de F(X) −→ pertes de volume

⊲ Ajout de marqueurs lagrangiens pour de grandes déformations

Approche adoptée −→ Traiter l’élasticité de manière eulérienne

– p. 9

Plan de l’exposé

I) Introduction générale

II) Modèle de membrane

⊲ Analyse mathématique

⊲ Modélisation flexion

⊲ Simulations numériques

III) Modèle volumique

⊲ Incompressible

⊲ Compressible

IV) Perspectives

– p. 10

Membranes élastiques

Types de déformations que l’on veut considérer

Variation d’aire Cisaillement membranaire

Flexion

−→ Modèle eulérien pour ces déformations?

– p. 11

Méthode level set

Idée: Représenter une surface comme la ligne de niveau de φ : Rn −→ R.

Informations géométriques contenues dans φ

⊲ Interface: Γ = φ = 0

⊲ Normale: n(φ) = ∇φ|∇φ|

⊲ Courbure: H(φ) = div(n(φ))

−→ Prise en compte de l’elasticité à l’aide de φ?

– p. 12

Modèle de membrane eulérien (Cottet-Maitre, M3AS 2006)

Fluide

Fluidemembrane elastique

φ(·, t) = 0

Energie liée à la variation d’aire

Eelas =∫

QE(|∇φ|)

1

εζ

(

φ

ε

)

dx

Modèle

ρ(φ)(ut + (u · ∇)u)− µ∆u+∇p = Felas(φ)

φt + u · ∇φ = 0

div(u) = 0

– p. 13

Plan de l’exposé

I) Introduction générale

II) Modèle de membrane

⊲ Analyse mathématique

⊲ Modélisation flexion

⊲ Simulations numériques

III) Modèle volumique

⊲ Incompressible

⊲ Compressible

IV) Perspectives

– p. 14

Analyse mathématique

Hypothèses

⊲ Ω ouvert régulier de R3

⊲ φ0 ∈ W2,p(Ω) et u0 ∈ W2,p(Ω)⋂

W1,p0 (Ω) (p > 3)

⊲ E′ ∈ C1([0,∞[) et ε > 0

Résultat : Théorème d’existence local en temps de solutions fortes

Plan de la preuve

⊲ Existence globale de solutions pour un problème approché

⊲ Estimations Lp pour le problème de Stokes et l’équation de transport

⊲ Passage à la limite

– p. 15

Plan de l’exposé

I) Introduction générale

II) Modèle de membrane

⊲ Analyse mathématique

⊲ Modélisation flexion

⊲ Simulations numériques

III) Modèle volumique

⊲ Incompressible

⊲ Compressible

IV) Perspectives

– p. 16

Problématique energie de flexion

Energie de flexion

J(Γ) =∫

Γ

H(Γ)2 ds

Dérivée de forme paramétrique (Willmore)

J′(X)(θ) = −∫

Γ

(

2∆ΓH + H(H2 − 4G))

θ ds

Dérivée de forme level set (Cottet-Maitre)

J′(φ)(θ) =∫

φ=0

1

|∇φ|div

(

−H(φ)2∇φ

|∇φ|+

2

|∇φ|P∇φ⊥ (∇(|∇φ|H(φ)))

)

θ ds.

Lien entre ces formules? −→ approche surfacique

– p. 17

Méthode de différentiation surfacique

Formule de Reynolds surfacique

d

dt

(

∫

φ=0f [φ] ds

)

=∫

φ=0( f [φ])t +div( f [φ]n) u · n ds

Vitesse u(·, t)

Γ = φ(·, t) = 0

Intégration par parties

∫

Γ

fdivΓ(v) ds = −∫

Γ

v · ∇Γ f ds+∫

Γ

f H v · n ds

Dérivée de forme

(J(φ))t = −∫

φ=0

(

2∆ΓH + H(H2 − 4G))

u · n ds

−→ Résultat géométrique

– p. 18

Calcul dans le cas général

Resultat 1. Soit J(φ) =∫

φ=0 F(H(φ),G(φ)) ds avec φ une fonction distance. Alors

(J(φ))t =∫

φ=0

F(H,G)H − FH (H2 − 2G)− ∆Γ(FH)

− FG GH − H∆Γ(FG) + [∇Γn] : ∇Γ(∇Γ(FG)) u · n ds

Intérêt

⊲ Implémentation en level set

⊲ Résultat géométrique qui coïncide avec le résultat a

⊲ Applications physiques faisant intervenir la courbure de Gauss

aD. Steigmann, Interfaces and free boundaries (2003)

– p. 19

Plan de l’exposé

I) Introduction générale

II) Modèle de membrane

⊲ Analyse mathématique

⊲ Modélisation flexion

⊲ Simulations numériques

III) Modèle volumique

⊲ Incompressible

⊲ Compressible

IV) Perspectives

– p. 20

Problématique vésicules

Contraintes physiques

⊲ Vésicule très rigide

⊲ Peu de résistance au cisaillement

⊲ Flexion de la membrane

⊲ Faible nombre de Reynolds

⊲ Conservation du volume

Vésicule phospholipidiqueObjectifs

⊲ Formes d’équilibre

⊲ Comportement dans un écoulement en cisaillement

– p. 21

Méthodes numériques

Modèle de membrane avec la force de flexion

ρ(φ)(ut + (u · ∇)u)−1

Re∆u+∇p =

1

WeFe(φ) +

1

WcFc(φ)

φt + u · ∇φ = 0

div(u) = 0

Re =LUρre f

µre fWe =

LU2ρre f

λWc =

L3U2ρre f

α

⊲ Méthode eulérienne −→ différences finies

⊲ Découplage explicite des équations

⊲ Méthode de projection sur une grille MAC

⊲ Schéma Weno pour l’équation de transport

⊲ Faibles nombres de Reynolds −→ diffusion en im-plicite (FISHPACK)

vi,j

ui,j

pi,j , φi,j

– p. 22

Formes d’équilibre 3D

Les formes d’équilibre dépendent du taux de remplissage τ = V43 π( S

4π )32

⊲ Le volume est fixé par l’incompressibilité du fluide

⊲ L’aire est pénalisée par une grande raideur de la force élastique

Paramètres: Resolution = 643, Re = 0.01, We = 0.01, Wc = 30.

Taux de remplissage τ = 0.77 Taux de remplissage τ = 0.6

– p. 23

Simulation cisaillement 3D

Résolution = 643, Re = 0.01, We = 0.0001, Wc = 30

– p. 24

Conclusions, perspectives pour le modèle de membrane

Conclusions

⊲ Théorème d’existence local pour le modèle de membrane

⊲ Comparaison de méthodes d’optimisation de forme pour des fonctionnellesdépendant de la courbure

⊲ Formes d’équilibre de vésicules

⊲ Simulations numériques de cisaillement à viscosité constante

Perspectives

⊲ Formes d’équilibre 3D de vésicules avec la courbure de Gauss

⊲ Simulations numériques de cisaillement à viscosité variable

⊲ Prise en compte d’une énergie de cisaillement membranaire en eulerien

– p. 25

Plan de l’exposé

I) Introduction générale

II) Modèle de membrane

⊲ Analyse mathématique

⊲ Modélisation flexion

⊲ Simulations numériques

III) Modèle volumique

⊲ Incompressible

⊲ Compressible

IV) Perspectives

– p. 26

Elasticité lagrangienne

Caractéristiques directes X

ξ

ξ + dξX(ξ + dξ, t)

X(ξ, t)

Ω0 Ωt

Développement limité

X(ξ + dξ, t)− X(ξ, t) = ∇ξX(ξ, t)dξ + o(dξ)

Pour un matériau hyperélastique

E =∫

Ω0

W(∇ξX(ξ, t))dξ

−→ Permet de calculer T = ∂W∂F (∇ξX)

– p. 27

Isotropie et indifférence matérielle

Indifférence matérielle + Isotropie

E =∫

Ω0

W(Tr(C), Tr(Cof(C), det(C)) dξ C = [∇ξX]T [∇ξX]

Tenseur des contraintes correspondant T = [∇ξX]Σ avec

Σ(ξ, t) = αC I + βCC+ γCC−1

En notant B = [∇ξX][∇ξX]T

σ(X(ξ, t), t) = αB I + βBB+ γBB−1

−→ On est encore en lagrangien car on calcule σ avec X(ξ, t)!!

−→ Comment calculer σ de manière eulérienne?

– p. 28

Elasticité eulérienne (Cottet-Maitre-M, M2AN 2008)

Caractéristiques rétrogrades Y

x = X(ξ, t)ξ = Y(x, t)

Ω0 ΩtX(·, t)

Y(·, t)

En dérivant Y(X(ξ, t), t) = ξ

Yt(x, t) + u(x, t) · ∇xY(x, t) = 0 [∇ξX](ξ, t) = [∇xY]−1(x, t)

−→ permet de calculer σS avec les caractéristiques rétrogrades Y(x, t) eulériennes

– p. 29

Plan de l’exposé

I) Introduction générale

II) Modèle de membrane

⊲ Analyse mathématique

⊲ Modélisation flexion

⊲ Simulations numériques

III) Modèle volumique

⊲ Incompressible

⊲ Compressible

IV) Perspectives

– p. 30

Elasticité eulérienne incompressible

Incompressibilité eulérien vs lagrangien

div(u) = 0 det(∇ξX) = 1

Indifférence matérielle + Isotropie

E =∫

Ωt

W(Tr(B), Tr(Cof(B))) dx

Tenseur des contraintes

σS(x, t) = −pI + dev(σ(B)) B(x, t) = [∇xY]−1[∇xY]

−T

p est un multiplicateur de Lagrange qui permet d’imposer la conditiond’incompressibilité.

– p. 31

Modèle fluide-structure volumique incompressible

Solide elastique

Fluide

Ψ(·, t) = 0Modèle

ρ(Ψ)(ut + (u · ∇)u)− div(σ(u,Y)) +∇p = 0

div(u) = 0

Yt + u · ∇Y = 0

avec σ(u,Y) = σS(Y)χS + σF(u)χF

Avantages

⊲ Traitement implicite de la continuité de la vitesse et des contraintes

⊲ Discrétisation sur une grille fixe cartésienne avec des différences finies

⊲ Méthode de projection pour imposer la contrainte d’incompressibilité

⊲ Schémas WENO pour le transport

– p. 32

Relaxation d’un volume élastique

– p. 33

Déformation d’une paroie

– p. 34

Cavité entrainée

– p. 35

Résultats préliminaires sur les biolocomotions

– p. 36

Perspectives incompressible

Déplacement d’objets rigides déformables dans un fluide

Source: Michel Bergmann

−→ Ajout de parties élastiques (queue, nageoires...)

Difficulté : Grandes raideurs élastiques −→ Implicite?– p. 37

Plan de l’exposé

I) Introduction générale

II) Modèle de membrane

⊲ Analyse mathématique

⊲ Modélisation flexion

⊲ Simulations numériques

III) Modèle volumique

⊲ Incompressible

⊲ Compressible

IV) Perspectives

– p. 38

Elasticité eulérienne compressible

E =∫

Ωt

(

Wvol(ρ) +Wiso(Tr(B), Tr(Cof(B))))

ρ dx

avec

ρ = det(B)−12 B =

B

det(B)13

tenseur des contraintes

σS(x, t) = W ′vol(ρ)I + dev(σiso(B))

WvolWiso

– p. 39

Lien avec les fluides compressibles

Pour une déformation isochore

σS = −p(ρ)I

−→ Equations d’euler compressible barotropes

Exemples de lois de comportement pour r 7→ Wvol(r)

0

2

4

6

8

10

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.5*(-2*log(x) +exp(2*log(x))-1)

(a) Milieu elastique

0

2

4

6

8

10

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

exp(-1.0*log(x))

(b) Milieu fluide

– p. 40

Elasticité eulérienne compressible

Modèle complet sous forme conservative

(ρu)t + div(ρu⊗ u− σ(∇Y)) = 0

ρt + div(ρu) = 0

∇Yt +∇((u · ∇)Y) = 0

Système hyperbolique Ψ = (ρ, ρu,∇Y)

Ψt + div(F(Ψ)) = 0

Développement de méthodes numériques −→ recherche des valeurs propres

– p. 41

Elasticité eulérienne compressible 1D

Equations de l’élasticité 1D

ρt + (ρu)x = 0

(ρu)t + (ρu2 − σ(Yx))x = 0

(Yx)t + (uYx)x = 0

Valeurs propres du système

ΛE =

u, u+

√

−σ′(Yx)Yx

ρ, u−

√

−σ′(Yx)Yx

ρ

−→ On retrouve Euler isotherme et Euler isoentropique.

– p. 42

Elasticité eulérienne compressible 2D-1D

Le système s’écrit Ψt + (F1(Ψ)),1 = 0 avec

Ψ =

ρ

φ1

φ2

Y1,1

Y2,1

F1(Ψ) =

φ1(φ1)2

ρ − σ11

φ1φ2

ρ − σ21

φ1Y1,1

ρφ1Y

2,1+φ2

ρ

Valeurs propres du système

ΛE =

u1, u1 +

√

α1ρ, u1 −

√

α1ρ, u1 +

√

α2ρ, u1 −

√

α2ρ

−→ 5 ondes

– p. 43

Méthode numérique

Méthode volume finis

Ψn+1k − Ψ

nk

∆t= −

Fnk+1/2(Ψ

nk ,Ψ

nk+1)−Fn

k−1/2(Ψnk−1,Ψ

nk )

∆x

⊲ Calcul des flux F −→ Solveur de Riemann HLLC

⊲ Traitement "sharp" de l’interface

⊲ Ordre 1 en temps et en espace

Loi de comportement

W =ργ−1

γ − 1+

p∞

ρ+ α(Tr(B)− 2)

Partie volumique −→ Stiffened gas

Partie élastique −→ Néo-Hookean

– p. 44

Cas test

Solid Air

0 0, 15 0, 4 1

u2 = 1000 u2 = 0 u2 = 0

u1 = 0 u1 = 0 u1 = 0

ρ0 = 1

p0 = 105

ρ0 = 8.9103

p0 = 105

Paramètres cuivre: γ = 4.22, p∞ = 3.42× 108, α = 9.2× 1010

Paramètre air: γ = 1.4

– p. 45

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 46

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 47

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 48

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 49

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 50

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 51

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 52

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 53

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 54

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 55

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 56

Résultats numériques

0

200

400

600

800

1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u2

u2

– p. 57

Plan de l’exposé

I) Introduction générale

II) Modèle de membrane

⊲ Analyse mathématique

⊲ Modélisation flexion

⊲ Simulations numériques

III) Modèle volumique

⊲ Incompressible

⊲ Compressible

IV) Perspectives

– p. 58

Lien avec les fluides visco-élastiques

Tenseur des contraintes

σ = µ1D(u) + σS

Modele de Voigt Modele de Maxwell

µ1

G G µ2

µ1

3

σS = 03

σS +1

τσS =

µ2

τD(u)

3

σS =

σS = (σS)t + u · ∇σS − [∇u]σS − σS[∇u]T sur-convectéeσS = (σS)t + u · ∇σS + [∇u]TσS + σS[∇u] sous-convectée

−→ Lien avec l’élasticité eulérienne?

– p. 59

Approche avecY pour des fluides viscoélastiques

En dérivant Yt + u · ∇Y = 0 (B = [∇xY]−1[∇xY]−T)

B = 0

B−1 = 0

Approche avec Y

−→ Calcul des 3 composantes de Y avec une équation de transport

Approche avec σS

−→ Calcul des 6 composantes de σS avec une équation plus complexe

– p. 60

Lien modèles volumique et membrane

Y contient toute l’information sur les déformations. Projection sur le plan tangent

M = [∇Y]−1[I − n0(Y)⊗ n0(Y)] A = MMT

Variation d’aire et de cisaillement

Va =√

Tr(Cof(A)) Vc =Tr(A)

2√

Tr(Cof(A))

– p. 61

Publications

⊲ G.-H Cottet, E. Maitre and T. Milcent : Eulerian formulation and level set

models for incompressible fluid-structure interaction, M2AN (2008)

⊲ E. Maitre, T. Milcent, G.-H Cottet, A. Raoult, Y. Usson : Applications of levelset methods in computational biophysics, MCM (2009)

⊲ A. Iollo, T. Milcent, H. Telib : A sharp contact discontinuity scheme for

multimaterial models, soumis (2011)

⊲ T. Milcent : Shape derivative of the Willmore functional and applications to

equilibrium shapes of vesicles, soumis (2011)

– p. 62