min 220 semana2a

MIN-220 Simulacin

Semana 2Elementos de Probabilidades y Estadstica

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de Chile

Profesor: Vctor Encina [email protected]

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileHoy: Probabilidades

Eventos Aleatorios Espacio Muestral Concepto de Probabilidad Estimacin de probabilidad

Mtodo Clsico (Laplace) Mtodo Emprico Juicio Experto

Propiedades Aditiva Multiplicativa

Probabilidad Condicional Ejercicios

MIN-220 Simulacin 2

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEventos Aleatorios

DefinicionesEVENTO ALEATORIO es cualquier operacin, sea real oficticia, que entrega uno o ms resultados distinguibles yconocidos

EVENTO ALEATORIO es cualquier situacin que puedarepresentarse como una lista de resultados posibles

Si la lista de resultados posibles es finita,hablaremos de Evento Aleatorio Discreto

3MIN-220 SimulacinMIN-220 Simulacin


4MIN-220 SimulacinMIN-220 Simulacin

Distinciones entre eventos aleatorios1. Conjunto de resultados posibles

2. Estimacin disponible de cun posible es obtenercada uno de esos resultados

Dos eventos aleatorios no son distinguibles sitienen la misma lista de resultados posibles y cadaresultado de una lista tiene la misma factibilidad deocurrencia que en la otra lista.

Eventos Aleatorios

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEspacio Muestral

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El conjunto de resultados posibles se denomina ESPACIO MUESTRAL A mayor cantidad de resultados posibles mayor falta

de informacin (o azar) Si la cantidad de resultados posibles es finita, diremos

que tenemos un ESPACIO MUESTRAL DISCRETO

El ESPACIO MUESTRAL se puede representar como un conjunto

y aplicar toda la formalidad matemtica de la Teora de Conjuntos para demostrar propiedades y realizar clculos

MIN-220 Simulacin

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEspacio Muestral

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Un mismo Evento Aleatorio Puede dar lugar a muchos espacios muestrales,

algunos discretos y otros no

La definicin de Espacio Muestral depende del observador del evento, porque generalmente se refiere slo a algn tipo de resultados

Ejemplo: evento lanzar un dado EM1: {1,2,3,4,5,6} referido a nmero en la cara

superior cuando deja de rodar EM2: {1,0} referido a si el dado cay dentro o fuera

de la mesa (en que 1=dentro y 0=fuera)

MIN-220 Simulacin

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileProbabilidad

7MIN-220 Simulacin

Concepto

PROBABILIDAD es un valor numrico positivo, entre0 y 1 que representa la posibilidad de ocurrencia dealgn resultado particular del espacio muestral

Mientras ms pequeo el nmero, menor es la factibilidadde obtener ese resultado en una realizacin del evento. El 0indica que el resultado es casi imposible

Mientras ms grande el nmero, mayor es la factibilidad deobtener ese resultado en una realizacin del evento. El 1indica que es casi imposible que NO ocurra

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEstimacin de Probabilidad

8MIN-220 Simulacin

El valor de probabilidad es una estimacin

tambin la hace el observador, por algn anlisis lgicoo por fundamento emprico-histrico

Hay 3 formas de estimar la probabilidad de un resultado:Estimacin Clsica, o regla de Laplace: cociente entrecasos favorables sobre los posibles.

Estimacin emprica: Corresponde a lo que enESTADSTICA, se denomina FRECUENCIA RELATIVA

Estimacin por Juicio Experto: cuantificacin obtenida porel slo juicio subjetivo de un observador determinado

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEstimacin Clsica

9MIN-220 Simulacin

o regla de Laplace: Se calcula como la fraccinde casos favorables sobre casos posibles.

Cuidado! esta definicin tcitamente asume que todos loscasos tienen la misma probabilidad (1/n), adems, es muydependiente de la definicin de casos posibles y favorablesque haga el observador

Ejemplo: Probabilidad de obtener al menos un selloen el evento: lanzar 2 veces una moneda

EM clsico: {0 sello, 1 sello, 2 sellos} P(1 sello) = 2/3EM exhaustivo: {ss, sc, cs, cc} P(1 sello) =

La definicin del EM del primer caso es correcta, pero elerror est en considerar que son equiprobables ( hay 2casos en que se puede obtener 1 sello

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEstimacin Emprica

10MIN-220 Simulacin

de la Estadstica: es la cantidad de veces en que se haobtenido cada resultado sobre el total de realizacionesobservadas del evento.

Cuidado! esta definicin tcitamente asume que lo que ha ocurridohistricamente, habr de seguir ocurriendo sabemos que no siemprees as.

Se puede demostrar que esta estimacin es ms precisamientras mayor sea la cantidad de realizaciones observadas

Si en n realizaciones un resultado ocurre k veces se tiene que laprobabilidad del resultado ser k/nSi observamos una realizacin ms, tendremos que la probabilidad delmismo resultado puede ser k/n+1 o k+1/n+1, es decir la nuevafrecuencia difiere de la anterior, a lo ms, en 1/n+1

A medida que n crece, 1/n+1 se hace cada vez ms pequeo y portanto la estimacin converge a un valor lmite (Teorema de losgrandes nmeros)

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEstimacin por Juicio Experto

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simplemente: es la cantidad que un experto establecesubjetivamente segn su parecer y conocimiento delevento.

Cuidado! esta definicin deja la estimacin en manos de un expertosin embargo la responsabilidad de la estimacin sigue siendo delobservador. l es quin elige y confa en el experto

El ejemplo tpico es el evento jugar una partida de tenis Objetivamente, los resultados posibles son que gane A o que gane B Un observador no familiarizado con el ranking ATP dir que laprobabilidad de A=B=1/2 Un observador experto que sabe que A es 12 en el mundo y B es342, seguramente dir que la probabilidad de A >> que la de B

Nada impide que en esta realizacin gane B, lo que el expertodice, es que esa realizacin es menos probable que unarealizacin en que gane ATiene razn?

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChilePropiedades

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SIGNO

Probabilidad P1 P2 P3 P4

Asumamos que la probabilidad de ocurrencia de cada signo, es proporcional al ngulo del sector circular en que est ubicado.

Queda claro que P( ) > que P( )

Adaptacin de Probabilidades Doctas por: Pierre-Paul Romagnoli

P1+P2+P3+P4=1


13MIN-220 Simulacin

Propiedad AditivaSIGNO


SIGNO

Probabilidad P1+P3 P2+P4

El nuevo sector arriba se compone de los antiguos sectores y . Y el de abajo por y

P(arriba) = P( ) + P( )P(abajo) = P( ) + P( )P(arriba)+P(abajo)=1


P1+P2+P3+P4=1


14MIN-220 Simulacin

Propiedad Multiplicativade sucesos independientes

Probabilidad de obtener resultado k del evento 2 y el resultado j del evento 1

P(k^j)=P(j) x P(k)


P1P3P2 P4

Q1 Q2 S1 S2 S3 T1 T2 T3Q3 R1 R2

EVENTO 1(j =4 Resultados)

EVENTO 2(k Resultadospor cadaresultado j )

P( )=P2 x R2

T1+T2+T3=1

P1+P2+P3+P4=1

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileVisto como torta

15MIN-220 Simulacin

Aun cuando a veces en la realidad, no es posible invertir el orden en los eventos,

para efectos de clculo, la probabilidad de ocurrencia conjunta de sucesos independientes es conmutativa

P(k^j)=P(j) x P(k)=P(k)xP(j)

Cada porcin es la fraccin producto P( )x P( )

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileConcepto de

Probabilidad Condicional

16MIN-220 Simulacin

P1+P2+P3+P4=1

Probabilidad Condicional: Es la probabilidad de una realizacin dado que ya ocurri otra

(Se escribe P(A B) y se lee probabilidad de A dado B)

Probabilidad Condicional: Es equivalente a reducir el EM a los resultados que no han ocurrido, entonces:

P( i )= P( i ) / (P1+P3+P4) = P( i ) / (1- P2 ) As:

P1 / (1-P2) + P3 / (1-P2) + P4/ / (1-P2) = 1

SIGNO


Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileEjercicio 1

Un cura visita a una pareja que tiene 2 hijos

Al entrar la madre pide a un nio que est en la sala que salude al cura y se retire para poder conversar cosas de adultos

Cul es la probabilidad de que el otro hijo sea varn?

CASO 1: Si no sabe nada ms

CASO 2: Se sabe que el nio de la sala es el mayor

17MIN-220 Simulacin


Un cura visita a una pareja que tiene 2 hijos Al entrar la madre pide a un nio varn que est en la sala

que salude al cura y se retire para poder conversar cosas de adultos

Cul es la probabilidad de que el otro hijo sea varn?CASO 1: Si no sabe nada msCASO 2: Se sabe que el nio de la sala es el mayor

Razonamiento:Caso 1: EM exhaustivo: vv, vm, mv, mm

Se descarta mm, por lo tanto P=1/3

Caso 2: Dado que el mayor es v, EM queda slo con: vv, vmSlo hay 2 posibilidades, por tanto P= 1/2

18MIN-220 Simulacin


Se tiene 3 tarjetas en un cajn:

Una tiene ambas caras color rojo

Otra tiene ambas caras color blanco

Otra tiene una cara de cada color

Se saca una y se coloca en la mesa.

La cara visible es roja

Cul es la probabilidad de que la cara oculta tambin sea roja?

19MIN-220 Simulacin


Carta

Probabilidad Carta

Color RR RB BR BB RR RB BR BB RR RB BR BB

Probabilidad Color 1 0 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 1

1/3 1/3 1/3

Carta 1 Carta 2 Carta 3

Ejercicio 2

20MIN-220 Simulacin

Dado que la cara visible es Roja,

DESCARTADO

EM reducido (condicional) : RR y RB,P(RR) = P(RR)/((P(RR)+P(RB)) = 1 / (1+1/2) = 2/3

Carta

Probabilidad Carta

Color RR RB BR BB RR RB BR BB RR RB BR BB

Probabilidad Color 1 0 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 1

Probabilidad Conjunta 1/3 0 0 0 0 1/6 1/6 0 0 0 0 1/3

Carta 1

1/3

Carta 2

1/3

Carta 3

1/3

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileProblema del falso +

21MIN-220 Simulacin

Una monja se hace un test de embarazo y sale +Se sabe que el test da: Falso positivo en el 0,1% de los casos Y falso negativo en el 0,01% de los casosEn medicina un falso negativo es peor que un falso+

Cul es la probabilidad de que la monja est embarazada?

ConsidereEvento 1: Estar o no embarazada (si con probabilidad p y

no con probabilidad (1-p)y Evento 2: El Test dio resultado falso o no.Despus defina un valor p con criterio experto y calcule.

Carrera de Ingeniera Civil de MinasCampus San Joaqun, Santiago de ChileBibliografa

22MIN-220 Simulacin

Probabilidades Doctas con Discos, rboles, Bolitas y Urnas Pier Paul Romagnoli Universidad Andrs BelloFONDEF D051-10211

Coleccin Herramientas para la formacin de profesores de matemticas

ISBN: 978-956-306-071-3EDITOR: JC Saez febrero 2011

MIN-102 Industria Minera

Semana 2Elementos de Probabilidades y Estadstica


Profesor: Vctor Encina [email protected]

min 220 semana2a

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