MINISTÉRIO DA DEFESA

EXÉRCITO BRASILEIRO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

SESSÃO DE ENGENHARIA CARTOGRÁFICA – SE/6

AVALIAÇÃO DA PRECISÃO DAS COORDENADAS MEDIDAS NO GOOGLE EARTH

RIO DE JANEIRO

2010

ii

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

AL. DENISE GONÇALVES MAFRA

AL. ELISA RUZICKA ZORN

AVALIAÇÃO DA QUALIDADE GEOMÉTRICA DAS MEDIÇÕES EFETUADAS NO

GOOGLE EARTH

Iniciação à Pesquisa apresentada ao Curso de Graduação em Engenharia Cartográfica do Instituto Militar de Engenharia.

Orientador: Maj QEM Vagner Braga Nunes Coelho – M.C.

Rio de Janeiro 2010

iii

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

Praça General Tibúrcio, 80 – Praia Vermelha

Rio de Janeiro – RJ CEP: 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá

incluí-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar

qualquer forma de arquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre

bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que

esteja ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde

que sem finalidade comercial e que seja feita à referência bibliográfica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade dos autores e

do orientador.

Mafra, Denise Gonçalves

Zorn, Elisa Ruzicka

Avaliação da qualidade geométrica das medições efetuadas no Google Earth

/ Mafra, Denise Gonçalves; Zorn, Elisa Ruzicka – Rio de Janeiro: Instituto Militar

de Engenharia, 2010.

36p.: il., graf., tab.

IP (iniciação à pesquisa) – Instituto Militar de Engenharia, 2010.

1. Dimensionamento de Laje protendida

iv

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ............................................................................................... v

LISTA DE TABELAS ............................................................................................. vi

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 7

1.1 OBJETIVOS .................................................................................................... 7

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ......................................................................... 8

2.1 SENSORIAMENTO REMOTO................................................................. 8

2.2 VERSÕES DO GOOGLE EARTH ............................................................... 11

2.3 SISTEMAS DE COORDENADAS .............................................................. 14

2.4 TRANSFORMAÇÃO DE SISTEMA DE COORDENADA........................ 16

2.5 LINGUAGEM DO GOOGLE EARTH ........................................................ 17

3. METODOLOGIA................................................................................................ 19

3.1 DETERMINAÇÃO DA VERSÃO ............................................................... 19

3.2 COLETA DE DADOS .................................................................................. 19

3.3 FLUXOGRAMA ........................................................................................... 20

4. TRATAMENTO PROBABILÍSTICO AOS PONTOS ...................................... 21

4.1 Elipse dos Erros ............................................................................................. 23

5. CONCLUSÃO ..................................................................................................... 25

5.1 Diferença entre os pontos: ............................................................................. 25

5.2 Uso do Google Earth em cartografia: ............................................................ 25

6. ANEXOS ............................................................................................................. 26

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 36

v

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Exemplo de Resolução Espacia ................................................................ 9

Figura 2: Exemplo de Sensores ................................................................................. 9

Figura 3: Resolução Espectral ................................................................................ 10

Figura 4: Resolução Radiométrica ......................................................................... 10

Figura 5: Imagem da versão Básica ....................................................................... 12

Figura 6: Imagem da versão Plus ........................................................................... 12

Figura 7: Imagem da versão Pro ............................................................................ 13

Figura 8: Imagem da versão Enterprise ................................................................. 13

Figura 9: GPS com bússola e altímetro em WGS-84 .............................................. 15

Figura 10: Projeção UTM....................................................................................... 16

Figura 11: Comparação entre os elipsóides dos sistemas geocêntricos: WGS84 e

SIRGAS2000. .................................................................................................................. 17

Figura 12: Representação dos pontos fornecidos pelo IBGE por antenas. ............ 18

Figura 13: Elipse dos Errospse dos Erros. .............................................................. 24

vi

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Valores das Coordenadas em UTM ........................................................ 26

Tabela 2:Valores das diferenças das coordenadas ................................................. 28

Tabela 3:Resultados Parciais.................................................................................. 30

Tabela 4:Cálculo do desvio padrão após a retirada dos pontos. ........................... 32

Tabela 5: Cálculo da Elipse dos Erros ................................................................... 34

7

1 INTRODUÇÃO

A Cartografia é a ciência, arte e tecnologia de se representar o terreno na forma

plana. Para tal, são utilizados métodos, projeções e principalmente são avaliados os

objetivos e o foco principal de cada mapa a ser concretizado.

A partir das novas tecnologias cada vez mais complexas, a Cartografia começou

a se tornar um desafio também computacional, em que mais áreas precisam ser

desenvolvidas para que se consiga atingir o objetivo de se produzir mapas com maior

precisão e maior quantidade de dados, sem que se perca a clareza e não interfira na

comunicação com o leitor.

O Google Earth surgiu para popularizar essas representações, bem como,

mostrar uma nova perspectiva e uma nova visão da Cartografia no mundo.

Proporciona a visualização de construções, ruas, fotografias dos lugares, vista 3D e

possibilita que o usuário adicione fotografias e marque seus lugares preferidos entre

outras ferramentas atrativas. Dependendo da localidade, é possível a visualização com

grande riqueza de detalhes como automóveis e, até, nomes de ruas e lojas.

Ele se propõe a ser uma ferramenta de geoprocessamento gratuita e de fácil

uso, visando diferentes públicos, desde o cidadão simples até usuários acostumados

ao uso de sistemas de informações geográficas.

Essa elevada potencialidade de uso oferece a oportunidade para os engenheiros

cartógrafos usá-lo como fonte de dados e informações.

Essa pesquisa se propõe a analisar a confiabilidade das medições das coordenadas

utilizando o programa Google Earth, comparando-as com dados já existentes retirados

do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Esatística).

1.1 OBJETIVOS

Avaliar a precisão das coordenadas medidas nas imagens disponibilizadas no

programa Google Earth.

8

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 SENSORIAMENTO REMOTO

O avanço tecnológico trouxe diversas melhorias na área de sensores de

aquisição de imagens. Ocorreu avanço também em como as informações provenientes

dos satélites são distribuídas às pessoas, pois eram restritas ao uso dos militares,

membros do alto escalão do governo e de cientistas especializados. Hoje, é de suma

importância na pesquisa de diversas áreas, como por exemplo, seu uso por

pesquisadores em Meio Ambiente. De certa forma, pode-se dizer que a utilização de

sensores remotos pelas pessoas passou a ser corriqueiro, mesmo sem elas

perceberem.

Elachi, 1987, definiu Sensoriamento Remoto como sendo “a aquisição de

informações de um objeto sem que se entre em contato físico com ele”. Uma possível

interpretação dessa frase é que a informação é obtida através da determinação da

variação dos campos de força que cercam o objeto em questão. Os campos podem ser:

eletromagnéticos, acústicos ou potenciais. Porém, o mais utilizado é o

eletromagnético, pois não necessita de meio para de propagar, podendo, então, o alvo

estar afastado do sensor, como acontece com os satélites que estão na órbita da Terra.

Os sensores transformam a energia de radiação proveniente do alvo em dados

que formam a imagem ou um gráfico; de modo que exista a relação entre a

distribuição da radiação com as propriedades do objeto. De maneira que, possuindo

somente o gráfico da distribuição da radiação de um objeto seja capaz de se identificá-

lo.

Primeiramente o usuário do programa, sabendo qual o objetivo de sua pesquisa, é

possível escolher as imagens que mais se adequam a sua necessidade, pois,

dependendo do objetivo do projeto, deve-se saber especificar os sensores a serem

utilizados.

As principais resoluções de um sensor remoto imageador são:

Resolução espacial: menor feição que pode ser detectada pelo sensor.

Segue na Figura 1, um exemplo onde nota-se que em determinado

9

momento não é mais possível diferenciar os limites de feições vizinhas; isso

ocorre pois já ultrapassou a resolução que o sensor

Figura 1: Exemplo de Resolução Espacial Fonte: Notas de Aula

Na Figura 2, exemplo de alguns sensores.

Figura 2: Exemplo de Sensores Fonte: UFRGS (a)

10

Resolução Espectral: sensibilidade do sensor ligada a largura das faixas

espectrais. A figura 3, mostra as partes do espectro eletromagnético que

os satélites LandsatMSS e LandsatTM abrangem.

Figura 3: Resolução Espectral Fonte: UFRRJ

Resolução Radiométrica: número de bits que uma fotografia possui,

mostrado na figura 4.

Figura 4: Resolução Radiométrica Fonte: UFRGS (b)

11

Resolução Temporal: Freqüência que um sensor é capaz de imagear um

mesmo alvo. Muito usado em monitoramento de áreas.

Eles também são classificados como de alta, média ou baixa resolução.

Sabendo-se as resoluções dos sensores, pode-se, então escolher aquele que

mais se adequa ao projeto, lembrando-se do custo que se deve pagar para a utilização

de tais imagens.

2.2 VERSÕES DO GOOGLE EARTH

O primeiro programa de mapeamento, chamado Earth Viewer, foi criado em 1998

pela companhia americana Keyole Inc. Em 2004, essa companhia foi comprada pela

Google e, em 2005, esse programa de visulaização foi lançado com o nome de Google

Earth.

Em 6 de setembro de 2008, foi lançado o satélite patrocinado pela Google e em 7

de outubro do mesmo ano enviou a primeira imagem em cores. Este sensor possui

capacidade de resolução de até 41cm no modo pancromático e de 1,65m no modo

multiespectral.

O Google Earth é um programa que disponibiliza imagens de diferentes satélites,

mapas, construções e terrenos de todo o planeta. Em sua última versão, também

disponibiliza imagens do Sol e do Sistema Solar com riqueza de detalhes e pode ser

encontrado em nas seguintes versões.

Básica: gratuita, direcionada ao público em geral, com resolução de 1000

pixels. (Figura 5).

12

Figura 5: Imagem da versão Básica Fonte: Livre Uso(Google Earth, 2009).

Plus: a licença custa US$ 20 e é necessário renová-la anualmente. Possui

uma resolução de 1400 pixels e diversas ferramentas além das oferecidas

pela versão gratuita, como, por exemplo, a possibilidade de se importar

dados a partir de um dispositivo GPS. Esta versão foi cancelada em 2008

por motivos comerciais. (Figura 6).

Figura 6: Imagem da versão Plus Fonte: Tinypic, 2009.

Pro: com licença no valor de US$ 400 e também com a necessidade de

renovação anualmente, é direcionada à utilização profissional e comercial.

A resolução oferecida por esta versão é de 4800 pixels para impressão e

mais ferramentas que a versão Plus, como por exemplo, a confecção de

filmes e suporte para planilhas. (Figura 7).

13

Figura 7: Imagem da versão Pro Fonte: Maplink, 2009.

Enterprise: possui visualização 3D mais completa, pois une imagens e

dados para a formação de uma maior e também a função de pesquisa, que

permite ao usuário pesquisar pontos a partir de dados geográficos.

Também direcionado a fins comerciais. (Figura 8).

Figura 8: Imagem da versão Enterprise Fonte: Ujamacollective, 2009.

Como são utilizadas imagens de satélites distintos e de aeronaves, existe

grande diferença entre a qualidade das imagens em alguns lugares. As imagens

disponíveis, em geral, não são em tempo real e são substituídas à medida que novas e

mais recentes são obtidas. Porém existem atualizações que utilizam as câmeras de

segurança do Google Earth de tal maneira que essas câmeras sejam interligadas e um

programa controle os movimentos de veículos e pessoas.

14

Um dos serviços mais recentes oferecido pelo programa era o Google Street

View, habilitado apenas em algumas partes do globo. Consistia em câmeras de

seguranças e carros que filmavam as ruas, em que os usuários, mesmo da versão

básica, tinham acesso a essas imagens. Esse serviço tornou-se polêmico e alvo de

inúmeros processos à empresa, uma vez que tornava as pessoas expostas na rede. Em

3 de junho foi banido em algumas cidades americanas e em 4 de julho, no Reino Unido

e hoje não está mais disponível.

O programa é utilizado de diversas maneiras e com diferentes objetivos, seja

por pessoas comuns, ou por empresas e pessoas especializadas, pois além de oferecer

imagens interessantes e difíceis de serem adquiridas, também possui estudos e

ferramentas para que possa empregar o Google Earth como uma etapa de aquisição

de dados em projetos e trabalho específicos da área de Cartografia.

2.3 SISTEMAS DE COORDENADAS

A necessidade de haver um único sistema de referência geodésico para o mundo

ficou mais evidenciada nos anos 50 por diversas razões: A falta de informações

geodésicas entre continentes; a inabilidade de diversos sistemas geodésicos existentes

na época, como o ED50, NAD, TD; a carência de mapas para navegação, aviação e

geografia; a ciência espacial e o começo dos astronautas.

WGS84 (World Geodetic System )

É o sistema geodésico mundial utilizado pelo Google Earth. Está em sua terceira

versão, sendo essa cada vez mais aperfeiçoada, com sua última revisão feita em 2004,

porém não mudando sua essência, de maneira que chegue próximo às determinações

do ITRF (International Terrestrial Reference System). É usado no GPS (Global

Positioning System).

O WGS84 usa o IERS (International Earth Rotation Service) como referência

para meridiano. A coordenada longitude está referenciada com o datum norte

americano de 1927. A figura 9 mostra um exemplo de um rastreador GPS.

15

Figura 9: GPS com bússola e altímetro em WGS-84 Fonte: tiosam

SIRGAS( Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas)

O Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas, o SIRGAS 2000, foi

oficializado como novo referencial geodésico para o Sistema Geodésico Brasileiro

(SGB) em fevereiro de 2005, determinação do IBGE, conforme publicação da resolução

01/2005, sendo considerado uma necessidade, pois passa a ser um único referencial

geodésico para o continente americano. Os países da América Latina que utilizarão

esse sistema são: Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Colômbia, Costa Rica, El Salvador,

Equador, México, Panamá, Paraguai, Peru, Uruguai e Venezuela.

Até o ano de 2014, os sistemas utilizados no Brasil são: Córrego Alegre, SAD69 e

SIRGAS2000. Após esse período somente será aceito oficialmente o SIGAS2000, para

que não haja conflito de dados entre sistemas diferentes, já que eles não podem ser

utilizados em um mesmo mapa, por exemplo.

Uma das maiores vantagens de adotar o SIRGAS2000 como o referencial legal é

o fato de ser possível fazer o uso direto do GPS. O que acabará com a série de

problemas originados na diferença entre as coordenadas geográficas apresentadas

pelo sistema GPS e aquelas encontradas nos mapas utilizados atualmente no

continente.

16

UTM (Universal Transversal de Mercator)

Sistema referencial métrico com coordenadas definidas para cada uma das 60

zonas UTM, múltiplas de 6 graus de longitude, na Projeção Universal Transversal de

Mercator e cujos eixos cartesianos de origem são o Equador, para coordenadas N

(norte) e o meridiano central de cada zona, para coordenadas E (leste). A figura 10

ilustra o sistema UTM.

Figura 10: Projeção UTM Fonte: franson

2.4 TRANSFORMAÇÃO DE SISTEMA DE COORDENADA

O SIRGAS e o WGS84 são sistema geocêntricos, ou seja, possuem como referencial

um ponto no centro de massa da Terra. O ponto de origem do geóide deve coincidir

com o do elipsóide geocêntrico.

17

Figura 11: Comparação entre os elipsóides dos sistemas geocêntricos: WGS84 e SIRGAS2000.

Fonte: esteio

Segundo o IBGE, não existem parâmetros de transformação entre SIRGAS2000 e

WGS84 porque eles são praticamente iguais e a diferença entre os valores de suas

coordenadas está na casa dos centésimos.

2.5 LINGUAGEM DO GOOGLE EARTH

A linguagem computacional utilizada pelo Google Earth se chama KML (keyhole

Markup Language). De maneira simples, pode-se dizer que os navegadores do Google

Earth exibem arquivos KML, assim como os navegadores da web exibem arquivos

HTML. Essa linguagem pode ser encontrada em outros aplicativos como por exemplo:

Google Maps, Google Maps para celular, NASA WorldWind, ESRI ArcGIS Explorer,

Adobe PhotoShop, AutoCAD e Yahoo! Pipes.

O formato KMZ nada mais é que o formato KML compactado.

É possível, portanto haver compartilhamento de arquivos em KML, da mesma

maneira que ocorre com o formato HTML. Basta programar na linguagem e vincular-se

a um servidor. Assim os usuários de aplicativos como Google Earth poderão acessar as

informações postadas. Exemplo disso são as imagens de antenas, indicativas de cada

18

ponto, aparecem quando o arquivo KMZ é importado do site do IBGE para o Google

Earth.

Figura 12: Representação dos pontos fornecidos pelo IBGE por antenas.

19

3. METODOLOGIA

3.1 DETERMINAÇÃO DA VERSÃO

Para atingir o objetivo da pesquisa, a versão a ser utilizada é a versão mais atual

gratuita do Google Earth, disponível no site. Tal escolha se deve pela maior

abrangência de usuários e sua maior facilidade de acesso. Dessa forma, as ferramentas

utilizadas na versão gratuita estarão sendo avaliadas com a finalidade de se

estabelecer os possíveis erros médios e o desvio padrão dos resultados obtidos,

deixando a critério do usuário a utilização dos dados disponíveis pelo programa para

um determinado projeto.

3.2 COLETA DE DADOS

Utilizou-se pontos da Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC), obtidas

do site do IBGE, com coordenadas conhecidas e com a descrição detalhada da

localização da estação utilizada.

A partir das coordenadas dos pontos disponibilizados pelo IBGE, no sistema de

coordenadas SIRGAS2000, foram inseridas no Google Earth a latitude e a longitude de

cada ponto. A partir da localização encontrada, calculou-se a distância entre o ponto

real, ou seja, o ponto fornecido pelo IBGE e o ponto observado através da inserção das

coordenadas no programa. O ponto real foi localizado a partir do detalhamento

fornecido juntamente com as coordenadas.

Como no descritivo de cada estação possuía também as coordenadas UTM, foram

extraídas do ponto encontrado suas coordenadas UTM, a fim de se comparar as

diferenças existentes.

Dessa maneira, podem-se expressar as etapas realizadas da seguinte maneira:

1. “Download” dos pontos da RBMC encontrados no site do IBGE, estes estando

no sistema SIRGAS 2000.

2. As coordenadas da RBMC foram inseridas no Google Earth, aparecendo em

cada uma delas um ícone onde, com o botão direito do mouse, na opção

20

“propriedades”, é possível obter as coordenadas de cada ponto distribuído no

terreno. Esses são os chamados pontos observados.

3. Para cada ponto, o IBGE disponibiliza um arquivo em PDF que contém a

descrição de sua posição. Esses são chamados de pontos reais e foram

localizados a partir do detalhamento fornecido juntamente com as

coordenadas.

4. A partir disso, é possível analisar se os pontos de coordenadas RBMC aplicadas

no Google Earth (pontos observados) estão na mesma posição da descrição que

o PDF mostra ou ainda, coincidindo com os ícones (pontos reais).

5. Calculou-se a diferença entre os dois valores de coordenadas de cada ponto:

coordenada real e coordenada observada.

6. Após isso, foi dado tratamento estatístico às coordenadas, que será melhor

explicado posteriormente.

3.3 FLUXOGRAMA

1. "Download" dos pontos da RBMC no site do IBGE.

2. As coordenadas adquiridas (reais) são inseridas no Google Earth.

3. As coordenadas obtidas a partir do programa dão origem aos pontos observados.

4. Análise da diferença de localização de um mesmo ponto.

5. Cálculo da diferença entre os valores das coordenadas para um mesmo ponto.

6. Cálculo da distância entre as coordenadas reais e observadas para um mesmo ponto.

7. Análise estatística dos resultados obtidos.

21

A tabela1, em anexo, mostra o resultado obtido nesse processo, onde a diferença

entre as coordenadas UTM é dada pela diferença entre as coordenadas obtidas pelo

programa e as coordenadas fornecidas pelo IBGE. A tabela 1 mostra os pontos com as

coordenadas UTM e, a tabela 2, também em anexo, mostra a diferença entre essas

coordenadas, onde DN é a diferença das coordenadas no eixo y e DE, no eixo x.

4. TRATAMENTO PROBABILÍSTICO AOS PONTOS

A partir das diferenças de coordenadas, calculou-se a distância entre cada

ponto e seu “homólogo”. Essa diferença foi feita da seguinte maneira:

A partir da lista de distâncias, calculou-se o desvio padrão das distâncias.

, onde n=66.

,

Onde dmed é a média das distâncias e di é a distância entre as coordenadas de um

mesmo ponto.

E

D

N

Pi

Pf

DE

DN

22

O valor encontrando foi de 39556,27921m. A partir desse valor de desvio padrão,

os pontos que apresentavam uma distância maior que um desvio padrão foram

descartados. A tabela 3 mostra os resultados parciais.

Na tabela 3, os pontos que possuem campos vazios foram deixados apenas para

facilitar a visualização de todos os pontos e evitar possíveis erros de correlação da

nova numeração com a estação. Esses pontos não possuem as coordenadas UTM

obtidas do programa Google Earth pois não foi possível o reconhecimento do ponto

detalhado nas imagens disponíveis.

Na última coluna há dois valores negativos: das estações AMHU e SAGA. Esses

valores foram obtidos subtraindo-se a distância do ponto do desvio padrão. Valores

negativos significam que a distância calculada é maior que o desvio padrão e, portanto,

serão eliminados dos cálculos futuros.

Após a retirada desses dois pontos, o desvio padrão foi recalculado e novamente

comparado com a distância em cada ponto. Caso essa distância fosse maior que o

desvio padrão, os pontos seriam eliminados. A tabela 4 mostra os resultados obtidos.

Como mostra a tabela 4 do anexo, repetindo-se o processo os pontos

correspondentes as estações POAL, PRGU e TOGU são eliminados, pois suas distâncias

são maiores que o desvio padrão.

Após a eliminação desses cinco pontos, o novo desvio padrão encontrado para

as distâncias é de 62,82414486m.

É importante lembrar que inicialmente a amostra possuía 73 pontos, dos quais 7

não possuíam todas as informações. Eliminando-se mais cinco, temos agora 62 pontos

como espaço amostral.

Na amostra original havia alguns pontos que apresentavam uma diferença muito

elevada no valor de suas distâncias relativas. O processo de cálculo do desvio padrão

pode eliminar alguns pontos que possuíam essa elevada discrepância.

Após a retirada dos cinco pontos com maior erro, calculou-se a Elipse do Erro para

a amostra.

23

4.1 Elipse dos Erros

O cálculo do desvio padrão serviu apenas para retirar alguns pontos que estavam

com diferenças muito grosseiras. A elipse dos erros será calculada para que se tenha

um intervalo de erro bidimensional, ou seja, nos eixos x e y.

Segundo Gemael (2004), os valores do semi-eixo máximo e semi-eixo mínimo da

elipse dos erros são calculados ao extrair a raiz quadrada das variâncias máxima e

mínima.

Porém, como é considerado , tem-se que:

Dessa maneira, a equação da elipse de erros será:

A tabela 5 no anexo mostra os resultados obtidos nos cálculos dos parâmetros da

elipse dos erros.

A última coluna da tabela 5 mostra o teste realizado com os pontos. Para que

esses fossem considerados, devem pertencer ao intervalo da elipse. Dessa forma, ao

se substituir os valores das coordenadas na equação da elipse é necessário que o

resultado seja menor ou igual a 1. Caso contrário, o ponto não pertence ao intervalo e

deverá ser eliminado.

Os pontos BAVC, MCLA, PBCG, POVE, PPTE, PRMA, SALU, SCCH, SJRP, CUIB,

ONRJ, RIOD, RNMO, ROJI, VICO, por exemplo, retornaram valores maiores que 1 e, por

esse motivo, foram eliminados da amostra.

A elipse dos erros encontrada é mostrada na figura 12.

24

Figura 13: Elipse dos Errospse dos Erros.

Inicialmente tínhamos um espaço amostral de 66 pontos dos 73 possíveis de

serem analisados (com todas as coordenadas disponíveis). Em seguida, eliminamos um

total de 34 pontos. Assim, pode-se dizer que 51% da amostra foi utilizada.

25

5. CONCLUSÃO

5.1 Diferença entre os pontos:

Inicialmente, é possível verificar que, em alguns pontos, houve diferenças entre

as coordenadas UTM das estações conhecidas do IBGE e as coordenadas encontradas

após a entrada da latitude e da longitude do mesmo ponto no Google Earth. Em alguns

casos essa diferença foi pequena ou até mesmo zero. Essa discrepância entre alguns

resultados pode ser causada por alguns fatores analisados abaixo:

Erro do operador: Google Earth fornece as coordenadas UTM de um ponto,

porém esse dado é obtido colocando-se o cursor em cima do ponto desejado e, na

parte inferior, estão as coordenadas UTM. Porém, uma pequena variação na posição

do cursor é suficiente para mudar o valor da coordenada. Essa diferença é pequena,

porém muda de operador para operador, variando de forma aleatória.

5.2 Uso do Google Earth em cartografia:

Como apenas 51% dos pontos foram utilizados, pode-se concluir que não é um

resultado satisfatório para utilização em mapeamentos classe A. Apenas serviria para

mapeamento classe C.

Inicialmente, três pontos retornaram uma grande distância entre as

coordenadas do ponto dadas pelo IBGE e as calculadas no programa. São eles: AMHU,

TOGU, SAGA, sendo que a maior distância foi na estação SAGA, sendo de

316.000,954m.

Dessa maneira, o Google Earth não pode ser utilizado em mapeamentos

sistemáticos devido às discrepâncias encontradas na medição de 49% das estações

disponíveis. Ele pode, sim, dar uma noção grosseira, porém, suas informações não

podem ser utilizadas nos projetos em que a precisão é importante, como é o caso de

mapeamento classe A e os de classe B, que o Google Earth também não serviria.

26

6. ANEXOS

Tabela 1: Valores das Coordenadas em UTM

Ident. Estação (N) UTM IBGE (E) UTM IBGE (N) UTM Google (E) UTM Google

1 ALAR 8921420,847 757437,686 8921429,7 757453,82

2 AMHU 9170618,254 496853,855 9145156,49 555781,93

3 APSA 9993339,707 481364,759 * *

4 BAIR 8748697,572 187930,160 8748697,08 187931,02

5 BATF 8058906,266 421110,700 8058906,47 421110,76

6 BAVC 8353243,043 306067,834 8353243,06 306067,9

7 BELE 9844131,659 782362,747 9844213,87 782360,35

8 BOAV 314735,324 755563,828 314780,26 755376

9 BOMJ 8534062,652 670991,851 8534062,72 670991,89

10 BRAZ 8234747,341 191901,220 8234747,52 191901,35

11 ILHA 7741141,412 464178,025 7741141,39 464178,02

12 IMBT 6874555,729 730029,462 6874555,66 730029,62

13 IMPZ 9392398,833 223300,719 9392380,29 223297,42

14 MABA 9406959,977 708069,761 9406966,39 708040,07

15 MANA 9655111,002 827253,075 * *

16 MAPA 5160,189 489168,852 5160,19 489168,84

17 MCLA 8151040,841 619257,849 8151152,19 619317,87

18 MGBH 7794587,878 612507,701 7794571,92 612503,75

19 MGIN 7531309,952 363219,729 7531309,57 363221,17

20 MGMC 8151469,816 621712,543 8151500,1 621749,88

21 PARA 7184223,310 677878,513 7184181,74 677942,5

22 PBCG 9201606,165 178917,587 9201538,22 178853,98

23 PEPE 8962292,666 334616,263 8962319,47 334604,64

24 PISR 9000959,449 752542,389 9000922,55 752576,98

25 POAL 6673004,056 488457,545 6672863,25 488860,04

26 POLI 7393902,042 323390,708 7393894,58 323469,74

27 POVE 9037165,721 401400,675 9037082,15 401326,95

28 PPTE 7553844,608 457866,057 7553985,5 457798,84

29 PRGU 7192442,097 450952,308 7192459,96 450175,54

30 PRMA 7410814,703 404118,587 7410698,16 404124,63

31 SALU 9713315,615 587544,986 9713137,09 587797,97

32 SALV 8561854,853 552879,181 8561797,36 552860,81

33 SAVO 8569514,404 561583,034 8569494,29 561582,5

34 SCCH 6997318,540 341486,093 6997390,48 341584,89

35 SCLA 6925551,902 568538,121 6925494,63 568548,84

36 SJRP 7700722,082 670708,247 7700621,15 670814,73

37 SMAR 6709269,527 237205,247 6709291,48 237331,02

38 SSA1 8565561,750 552438,838 8565503,79 552511,9

39 TOGU 8700717,730 712607,505 8700612,95 709693,68

27

40 TOPL 8874471,328 792491,179 8874492,57 792550,61

41 UBAT 7401103,997 487860,109 * *

Ident. Estação (N) UTM IBGE (E) UTM IBGE (N) UTM Google (E) UTM Google

42 UBER 7909251,415 782656,488 7909276,5 782726,67

43 UEPP 7553844,608 457866,065 * *

44 UFPR 7184223,310 677878,515 7184181,88 677942,52

45 BRFT 9571397,376 563779,050 9571448,18 563816,30

46 CEEU 9571386,165 563778,664 9571442,57 563821,75

47 CEFE 7753574,912 362241,724 7753562,55 362179,98

48 CHPI 7491112,296 501524,482 7491112,32 501524,51

49 CRAT 9199917,893 454119,207 9199887,09 454145,73

50 CRUZ 9157996,970 756837,414 9157996,94 756837,44

51 CUIB 8280040,831 599737,357 8280182,71 599854,71

52 FORT 9571397,566 563770,683 * *

53 GOJA 8022578,268 423080,115 8022597,65 423061,19

54 CVAL 7912547,810 188333,128 7912563,74 188331,95

55 MGUB 7905871,703 789027,534 7905831,11 789034,84

56 MSCG 7737803,364 756591,501 7737780,11 756437,84

57 MTBA 8242826,137 364601,173 8242830,03 364603,78

58 MTCO 8805280,874 668773,366 8805280,9 668773,39

59 MTSF 8715523,339 536681,136 8715523,37 536681,13

60 NAUS 9665429,426 827394,323 9665429,4 827394,3

61 ONRJ 7466927,822 682133,192 7466865,21 682060,52

62 OURI 7461680,694 613285,159 7461680,68 613285,16

63 RECF 9109554,895 284931,043 9109504,77 284924,23

64 RIOB 8898169,188 631229,338 8898124,05 631155,08

65 RIOD 7475648,024 673825,217 7475716,54 673786,98

66 RNMO 9424513,864 685597,001 9424608,97 685529,79

67 ROGM 8806906,476 245146,303 8806906,5 245146,25

68 ROJI 8798874,478 613702,346 8798792,56 613650,86

69 ROSA 7507938,289 299223,778 7507938,25 299223,83

70 SAGA 9984090,557 716161,345 9674101,14 777505,98

71 VICO 7702785,751 721757,711 7702901,78 721863,52

72 NEIA 7229622,558 204807,722 * *

73 VARG 7617727,294 454968,971 * *

* Valores não encontrados no Google Earth

28

Tabela 2:Valores das diferenças das coordenadas

Ident. Estação DN DE

1 ALAR 8,853 16,134

2 AMHU -25461,764 58928,075

3 APSA ** **

4 BAIR -0,492 0,860

5 BATF 0,204 0,060

6 BAVC 0,017 0,066

7 BELE 82,211 -2,397

8 BOAV 44,936 -187,828

9 BOMJ 0,068 0,039

10 BRAZ 0,179 0,130

11 ILHA -0,022 -0,005

12 IMBT -0,069 0,158

13 IMPZ -18,543 -3,299

14 MABA 6,413 -29,691

15 MANA ** **

16 MAPA 0,001 -0,012

17 MCLA 111,349 60,021

18 MGBH -15,958 -3,951

19 MGIN -0,382 1,441

20 MGMC 30,284 37,337

21 PARA -41,570 63,987

22 PBCG -67,945 -63,607

23 PEPE 26,804 -11,623

24 PISR -36,899 34,591

25 POAL -140,806 402,495

26 POLI -7,462 79,032

27 POVE -83,571 -73,725

28 PPTE 140,892 -67,217

29 PRGU 17,863 -776,768

30 PRMA -116,543 6,043

31 SALU -178,525 252,984

32 SALV -57,493 -18,371

33 SAVO -20,114 -0,534

34 SCCH 71,940 98,797

35 SCLA -57,272 10,719

36 SJRP -100,932 106,483

37 SMAR 21,953 125,773

38 SSA1 -57,960 73,062

39 TOGU -104,780 -2913,825

40 TOPL 21,242 59,431

41 UBAT ** **

29

Ident. Estação DN DE

42 UBER 25,085 70,182

43 UEPP ** **

44 UFPR -41,430 64,005

45 BRFT 50,804 37,250

46 CEEU 56,405 43,086

47 CEFE -12,362 -61,744

48 CHPI 0,024 0,028

49 CRAT -30,803 26,523

50 CRUZ -0,030 0,026

51 CUIB 141,879 117,353

52 FORT ** **

53 GOJA 19,382 -18,925

54 CVAL 15,930 -1,178

55 MGUB -40,593 7,306

56 MSCG -23,254 -153,661

57 MTBA 3,893 2,607

58 MTCO 0,026 0,024

59 MTSF 0,031 -0,006

60 NAUS -0,026 -0,023

61 ONRJ -62,612 -72,672

62 OURI -0,014 0,001

63 RECF -50,125 -6,813

64 RIOB -45,138 -74,258

65 RIOD 68,516 -38,237

66 RNMO 95,106 -67,211

67 ROGM 0,024 -0,053

68 ROJI -81,918 -51,486

69 ROSA -0,039 0,052

70 SAGA -309989,417

61344,635

71 VICO 116,029 105,809

72 NEIA ** **

73 VARG ** ** ** Valores não calculados pela falta das coordenadas obtidas pelo programa.

30

Tabela 3:Resultados Parciais Ident. Estação DN DE Distâncias Desv. Pad. Pontos Retirados

1 ALAR 8,853 16,134 18,403 39556,27921 39537,876

2 AMHU -25461,764 58928,075 64193,609 39556,27921 -24637,330

3 APSA

4 BAIR -0,492 0,860 0,991 39556,27921 39555,288

5 BATF 0,204 0,060 0,213 39556,27921 39556,067

6 BAVC 0,017 0,066 0,068 39556,27921 39556,211

7 BELE 82,211 -2,397 82,246 39556,27921 39474,033

8 BOAV 44,936 -187,828 193,128 39556,27921 39363,151

9 BOMJ 0,068 0,039 0,078 39556,27921 39556,201

10 BRAZ 0,179 0,130 0,221 39556,27921 39556,058

11 ILHA -0,022 -0,005 0,023 39556,27921 39556,257

12 IMBT -0,069 0,158 0,172 39556,27921 39556,107

13 IMPZ -18,543 -3,299 18,834 39556,27921 39537,445

14 MABA 6,413 -29,691 30,376 39556,27921 39525,904

15 MANA

16 MAPA 0,001 -0,012 0,012 39556,27921 39556,267

17 MCLA 111,349 60,021 126,496 39556,27921 39429,784

18 MGBH -15,958 -3,951 16,440 39556,27921 39539,839

19 MGIN -0,382 1,441 1,491 39556,27921 39554,788

20 MGMC 30,284 37,337 48,075 39556,27921 39508,205

Ident. Estação DN DE Distâncias Desv. Pad. Pontos Retirados

21 PARA -41,570 63,987 76,305 39556,27921 39479,975

22 PBCG -67,945 -63,607 93,072 39556,27921 39463,207

23 PEPE 26,804 -11,623 29,216 39556,27921 39527,064

24 PISR -36,899 34,591 50,577 39556,27921 39505,702

25 POAL -140,806 402,495 426,414 39556,27921 39129,866

26 POLI -7,462 79,032 79,383 39556,27921 39476,896

27 POVE -83,571 -73,725 111,443 39556,27921 39444,836

28 PPTE 140,892 -67,217 156,105 39556,27921 39400,174

29 PRGU 17,863 -776,768 776,973 39556,27921 38779,306

30 PRMA -116,543 6,043 116,700 39556,27921 39439,580

31 SALU -178,525 252,984 309,632 39556,27921 39246,647

32 SALV -57,493 -18,371 60,357 39556,27921 39495,922

33 SAVO -20,114 -0,534 20,121 39556,27921 39536,158

34 SCCH 71,940 98,797 122,214 39556,27921 39434,065

35 SCLA -57,272 10,719 58,266 39556,27921 39498,013

31

36 SJRP -100,932 106,483 146,717 39556,27921 39409,562

37 SMAR 21,953 125,773 127,675 39556,27921 39428,605

38 SSA1 -57,960 73,062 93,260 39556,27921 39463,019

39 TOGU -104,780 -2913,825 2915,708 39556,27921 36640,571

40 TOPL 21,242 59,431 63,113 39556,27921 39493,166

41 UBAT

42 UBER 25,085 70,182 74,530 39556,27921 39481,749

43 UEPP

44 UFPR -41,430 64,005 76,244 39556,27921 39480,036

45 BRFT 50,804 37,250 62,997 39556,27921 39493,282

46 CEEU 56,405 43,086 70,978 39556,27921 39485,301

47 CEFE -12,362 -61,744 62,969 39556,27921 39493,310

48 CHPI 0,024 0,028 0,037 39556,27921 39556,242

49 CRAT -30,803 26,523 40,648 39556,27921 39515,631

50 CRUZ -0,030 0,026 0,040 39556,27921 39556,240

51 CUIB 141,879 117,353 184,123 39556,27921 39372,156

52 FORT

53 GOJA 19,382 -18,925 27,089 39556,27921 39529,190

54 CVAL 15,930 -1,178 15,973 39556,27921 39540,306

55 MGUB -40,593 7,306 41,245 39556,27921 39515,034

56 MSCG -23,254 -153,661 155,411 39556,27921 39400,869

Ident. Estação DN DE Distâncias Desv. Pad. Pontos Retirados

57 MTBA 3,893 2,607 4,685 39556,27921 39551,594

58 MTCO 0,026 0,024 0,035 39556,27921 39556,244

59 MTSF 0,031 -0,006 0,032 39556,27921 39556,248

60 NAUS -0,026 -0,023 0,035 39556,27921 39556,244

61 ONRJ -62,612 -72,672 95,924 39556,27921 39460,355

62 OURI -0,014 0,001 0,014 39556,27921 39556,265

63 RECF -50,125 -6,813 50,586 39556,27921 39505,693

64 RIOB -45,138 -74,258 86,900 39556,27921 39469,379

65 RIOD 68,516 -38,237 78,463 39556,27921 39477,816

66 RNMO 95,106 -67,211 116,458 39556,27921 39439,821

67 ROGM 0,024 -0,053 0,058 39556,27921 39556,221

68 ROJI -81,918 -51,486 96,754 39556,27921 39459,525

69 ROSA -0,039 0,052 0,065 39556,27921 39556,214

70 SAGA -309989,417 61344,635 316000,954 39556,27921 -276444,675

71 VICO 116,029 105,809 157,030 39556,27921 39399,250

32

Tabela 4:Cálculo do desvio padrão após a retirada dos pontos.

Ident. Estação Distâncias Desv. Padrao Pontos Retirados(*)

1 ALAR 18,403 373,4562498 355,053

2 AMHU

3 APSA

4 BAIR 0,991 356,2101 355,219

5 BATF 0,213 356,2101 355,997

6 BAVC 0,068 356,2101 356,142

7 BELE 82,246 356,2101 273,964

8 BOAV 193,128 356,2101 163,082

9 BOMJ 0,078 356,2101 356,132

10 BRAZ 0,221 356,2101 355,989

11 ILHA 0,023 356,2101 356,188

12 IMBT 0,172 356,2101 356,038

13 IMPZ 18,834 356,2101 337,376

14 MABA 30,376 356,2101 325,834

15 MANA

16 MAPA 0,012 356,2101 356,198

17 MCLA 126,496 356,2101 229,715

18 MGBH 16,440 356,2101 339,770

19 MGIN 1,491 356,2101 354,719

20 MGMC 48,075 356,2101 308,135

21 PARA 76,305 356,2101 279,905

22 PBCG 93,072 356,2101 263,138

23 PEPE 29,216 356,2101 326,995

24 PISR 50,577 356,2101 305,633

25 POAL 426,414 356,2101 *-70,203

26 POLI 79,383 356,2101 276,827

27 POVE 111,443 356,2101 244,767

28 PPTE 156,105 356,2101 200,105

29 PRGU 776,973 356,2101 *-420,763

30 PRMA 116,700 356,2101 239,511

31 SALU 309,632 356,2101 46,578

32 SALV 60,357 356,2101 295,853

33 SAVO 20,121 356,2101 336,089

34 SCCH 122,214 356,2101 233,996

35 SCLA 58,266 356,2101 297,944

36 SJRP 146,717 356,2101 209,493

37 SMAR 127,675 356,2101 228,536

38 SSA1 93,260 356,2101 262,950

39 TOGU 2915,708 356,2101 *-2559,498

40 TOPL 63,113 356,2101 293,097

41 UBAT

33

Ident. Estação Distâncias Desv. Padrao Pontos Retirados

42 UBER 74,530 356,2101 281,680

43 UEPP

44 UFPR 76,244 356,2101 279,967

45 BRFT 62,997 356,2101 293,213

46 CEEU 70,978 356,2101 285,232

47 CEFE 62,969 356,2101 293,241

48 CHPI 0,037 356,2101 356,173

49 CRAT 40,648 356,2101 315,562

50 CRUZ 0,040 356,2101 356,170

51 CUIB 184,123 356,2101 172,087

52 FORT

53 GOJA 27,089 356,2101 329,121

54 CVAL 15,973 356,2101 340,237

55 MGUB 41,245 356,2101 314,965

56 MSCG 155,411 356,2101 200,800

57 MTBA 4,685 356,2101 351,525

58 MTCO 0,035 356,2101 356,175

59 MTSF 0,032 356,2101 356,179

60 NAUS 0,035 356,2101 356,175

61 ONRJ 95,924 356,2101 260,286

62 OURI 0,014 356,2101 356,196

63 RECF 50,586 356,2101 305,624

64 RIOB 86,900 356,2101 269,310

65 RIOD 78,463 356,2101 277,747

66 RNMO 116,458 356,2101 239,752

67 ROGM 0,058 356,2101 356,152

68 ROJI 96,754 356,2101 259,456

69 ROSA 0,065 356,2101 356,145

70 SAGA

71 VICO 157,030 356,2101 199,181

72 NEIA

73 VARG

34

Tabela 5: Cálculo da Elipse dos Erros

Ident. Estação

DN Var.DN DE Var.DE M Max. Var Min. Var Teste dos

Pontos

1 ALAR 8,853 3410,831 16,134 4311,219 900,3879921 4311,219 3410,831 0,025

2 AMHU

3 APSA

4 BAIR -0,492 0,860 0,000

5 BATF 0,204 0,060 0,000

6 BAVC 0,017 0,066 0,000

7 BELE 82,211 -2,397 1,982

8 BOAV 44,936 -187,828 0,829

9 BOMJ 0,068 0,039 0,000

10 BRAZ 0,179 0,130 0,000

11 ILHA -0,022 -0,005 0,000

12 IMBT -0,069 0,158 0,000

13 IMPZ -18,543 -3,299 0,101

14 MABA 6,413 -29,691 0,018

15 MANA

16 MAPA 0,001 -0,012 0,000

17 MCLA 111,349 60,021 3,659

18 MGBH -15,958 -3,951 0,075

19 MGIN -0,382 1,441 0,000

20 MGMC 30,284 37,337 0,278

21 PARA -41,570 63,987 0,534

22 PBCG -67,945 -63,607 1,381

23 PEPE 26,804 -11,623 0,212

24 PISR -36,899 34,591 0,407

25 POAL

26 POLI -7,462 79,032 0,058

27 POVE -83,571 -73,725 2,084

28 PPTE 140,892 -67,217 5,850

29 PRGU

30 PRMA -116,543 6,043 3,982

31 SALU -178,525 252,984 9,773

32 SALV -57,493 -18,371 0,971

33 SAVO -20,114 -0,534 0,119

34 SCCH 71,940 98,797 1,583

35 SCLA -57,272 10,719 0,962

36 SJRP -100,932 106,483 3,063

37 SMAR 21,953 125,773 0,247

38 SSA1 -57,960 73,062 1,021

39 TOGU

35

Ident. Estação

DN Var.DN DE Var.DE M Max. Var Min. Var Teste dos

Pontos

40 TOPL 21,242 59,431 0,156

41 UBAT

42 UBER 25,085 70,182 0,218

43 UEPP 0,000

44 UFPR -41,430 64,005 0,531

45 BRFT 50,804 37,250 0,766

46 CEEU 56,405 43,086 0,945

47 CEFE -12,362 -61,744 0,070

48 CHPI 0,024 0,028 0,000

49 CRAT -30,803 26,523 0,283

50 CRUZ -0,030 0,026 0,000

51 CUIB 141,879 117,353 5,994

52 FORT

53 GOJA 19,382 -18,925 0,113

54 CVAL 15,930 -1,178 0,074

55 MGUB -40,593 7,306 0,483

56 MSCG -23,254 -153,661 0,317

57 MTBA 3,893 2,607 0,004

58 MTCO 0,026 0,024 0,000

59 MTSF 0,031 -0,006 0,000

60 NAUS -0,026 -0,023 0,000

61 ONRJ -62,612 -72,672 1,185

62 OURI -0,014 0,001 0,000

63 RECF -50,125 -6,813 0,737

64 RIOB -45,138 -74,258 0,634

65 RIOD 68,516 -38,237 1,386

66 RNMO 95,106 -67,211 2,682

67 ROGM 0,024 -0,053 0,000

68 ROJI -81,918 -51,486 1,985

69 ROSA -0,039 0,052 0,000

70 SAGA

71 VICO 116,029 105,809 4,022

72 NEIA

73 VARG

36

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. UFRGS (a)

http://www6.ufrgs.br/engcart/PDASR/resol.html (05 de outubro de 2009)

2. UFRRJ

http://www.ufrrj.br/institutos/it/de/acidentes/sr0.htm (05 de outubro de

2009)

3. UFRGS (b)

http://www6.ufrgs.br/engcart/PDASR/resol.html (05 de outubro de 2009)

4. Jacob Silverman. "HowStuffWorks - Como funciona o Google Earth". Publicado

em 24 de outubro de 2005 (atualizado em 16 de abril de 2007)

http://informatica.hsw.uol.com.br/google-earth1.htm (02 de outubro de

2009)

5. “Google Earth”. Atualizado em 22 de setembro de 2009

http://pt.wikipedia.org/wiki/Google_Earth (02 de outubro de 2009.)

6. “Figura da versão Básica do Google Earth”. (01 de outubro de 2009.)

http://www.livreuso.info/uploaded_images/Google-Earth-4.3.7284.3916-Beta-

799532.jpg

7. “Figura da versão Plus do Google Earth” (01 de outubro de 2009.)

http://i40.tinypic.com/16aae6g.jpg

8. “Figura da versão Pro do Google Earth” (01 de outubro de 2009.)

http://www.maplinkearthpro.com.br/

9. “Figura da versão Enterprise do Google Earth” (01 de outubro de 2009.)

http://ujamacollective.com/images/Google%20Earth%20Enterprise.jpg

37

10. Anderson, Paul Simon, ed.(1943-)”Fundamentos para fotointerpretação”Paul

S. Anderson, editor coordenador. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de

Cartografia, 1982.

11. Novo, Evlyn M. L. de Morais. “Sensoriamento remoto: princípios e aplicações”/

Evlyn M.L.de Moraes Novo. São Paulo: Blucher, 2008.

12. Programa Google Earth. http://earth.google.com

13. “Figura da bússola”(09 de março de 2010) http://www.tiosam.net/enciclopedia/?q=WGS84

14. “Figura da transformação UTM” (09 de março de 2010)

http://franson.com/coordtrans/index.asp?ref=google&gclid=CIen_9O9raACFcN05

QodJyvdPA

15. “Figura dos elipsóides” (09 março de 2010)

http://www.tiosam.net/enciclopedia/?q=WGS84

16. GEMAEL, Camil. Introdução ao Ajustamento de Observações: aplicações

geodésica. Curitiba: Ed. UFPR, 1994. Reimpressão 2004.