¬¨­¨áâ¥àá⢮ ®¡à §®¢ ­¨ï ¨ ­ ãª¨ à®áᨩ᪮© 䥤¥à æ¨¨�¥¤¥à «ì­®¥  £¥­âá⢮ ¯® ®¡à §®¢ ­¨î�®á㤠àá⢥­­®¥ ®¡à §®¢ â¥«ì­®¥ ãç०¤¥­¨¥

¢ëá襣® ¯à®ä¥áᨮ­ «ì­®£® ®¡à §®¢ ­¨ï

�®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å­¨ç¥áª¨© ¨­áâ¨âãâ(£®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â)

� ä¥¤à  ¢ëá襩 ¬ â¥¬ â¨ª¨

������, �������������� ������������������

������� ��������������������

�祡­®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¯®á®¡¨¥

�®áâ ¢¨â¥«ì: �.�. �¥â஢¨ç

�®áª¢ , 2007

��� 517.22, 517.24

�¥æ¥­§¥­â:�®ªâ®à 䨧¨ª®-¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨å ­ ãª �¢ ­®¢ �.�.

�।¥«, ­¥¯à¥à뢭®áâì ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ä㭪権­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå: �祡­®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¯®á®¡¨¥ / �®áâ.�.�. �¥â஢¨ç | �.: ����, 2007. 64 á.

��� 517.22, 517.24

�  ¯à¨¬¥à¥ ä㭪権 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯®ïá­ï¥âáï ª ç¥á⢥­­®¥®â«¨ç¨¥ ¯®­ï⨩ ¯à¥¤¥« , ­¥¯à¥à뢭®á⨠¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâ¨ä㭪権 ¬­®£¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ®â ®¤­®¬¥à­®£® á«ãç ï. �ᮡ®¥ ¢­¨-¬ ­¨¥ 㤥«¥­® ¢®¯à®á ¬, ª®â®àë¥ ®¡ëç­® ¯®¢¥àå­®áâ­® ®á¢¥é îâáï¢ ªãàá å ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£®  ­ «¨§ , çâ® ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ­¥¢¥à­®¬ã¨å ¯®­¨¬ ­¨î ¨ ­¥¢¥à­®¬ã à¥è¥­¨î ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç (á¢ï§ì¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥«  á ¯à¥¤¥« ¬¨ ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬, ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¯®«ïà-­ëå ª®®à¤¨­ â ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢,¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¤«ï í⮩ 楫¨ ®¤­®¬¥à­®© ä®à¬ã«ë �¥©«®à , ¨áá«¥¤®-¢ ­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠ä㭪権 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå). �ᯮ«ì§ã-¥âáï 㤮¡­ ï ­¥ ᮢᥬ ®¡ëç­ ï ᨬ¢®«¨ª  ¤«ï ­ å®¦¤¥­¨ï ç áâ­ëå¯à®¨§¢®¤­ëå,  ªæ¥­â¨àã¥âáï ¢­¨¬ ­¨¥ ­  ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¯®«ã祭¨ï ªªãà â­ëå ®æ¥­®ª ¤«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­ëå ¯à¥-¤¥«®¢. �¨£¤¥ à ­¥¥ ­¥ ¯à¨¢®¤¨«®áì à¥è¥­¨¥ â ª®£® ª®«¨ç¥á⢠ à §-­®®¡à §­ëå ¯à¨¬¥à®¢.

�।­ §­ ç¥­® ¤«ï áâ㤥­â®¢ ¨ ¯à¥¯®¤ ¢ â¥«¥© ã­¨¢¥àá¨â¥â®¢ ¨â¥å­¨ç¥áª¨å ¢ã§®¢.

c© �®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å­¨ç¥áª¨© ¨­áâ¨âãâ(£®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â), 2007c© �.�. �¥â஢¨ç, á®áâ ¢«¥­¨¥, 2007

�®¤¥à¦ ­¨¥

I. �।¥« ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå . . . . . . 4§1. �¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠ . . . . . . . . . . . . . 4§2. �®¯ë⪨ ᢥ¤¥­¨ï ª ¯à¥¤¥« ¬ ä㭪権 ®¤­®©

¯¥à¥¬¥­­®© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6§3. �®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥«  . 11§4. � ¯à¨¬¥­¥­¨¨ ®¤­®¬¥à­®© ä®à¬ã«ë �¥©«®à  ª

¢ëç¨á«¥­¨î ¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢ . . . . . . . . . . . . . . . 14II. �¥¯à¥à뢭®áâì ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå 20§1. �¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®­ï⨥¬ ¯à¥¤¥«  . . . . . . . . . 20§2. �áá«¥¤®¢ ­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪権 . . . . . . . . . . 23III. �¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å¯¥à¥¬¥­­ëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28§1. � áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28§2. �¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ä㭪樨 ¢ â®çª¥ . . . . . . . . . . 32§3. �¨ää¥à¥­æ¨ «. �­¢ à¨ ­â­®áâì ä®à¬ë

¤¨ää¥à¥­æ¨ «  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35§4. �®à¬ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ . . . . . . . . . . . . . . 38§5. �áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠ä㭪樨 ¢ â®çª¥ . . 45

�⢥âë ª ã¯à ¦­¥­¨ï¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63�¯¨á®ª «¨â¥à âãàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

I. ������ ����������������� ����������

§ 1. �¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠�¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à¥¤¥«  ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå

ä®à¬ «ì­® ­¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à¥¤¥«  ä㭪樨®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©. � ªãàá å ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£®  ­ «¨§  ®¡ëç­®¤ îâáï ¤¢  ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à¥¤¥«  | ¯® �®è¨ ¨ ¯® �¥©­¥, ¤®-ª §ë¢ ¥âáï ¨å à ¢­®á¨«ì­®áâì.

�¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.1 (¯® �®è¨). �ã­ªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥-«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ~a, ¨¬¥¥â ¢í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤¥«, à ¢­ë© b, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì-­®£® ç¨á«  ε ­ ©¤ñâáï â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® δ, çâ® ¤«ï¢á¥å~x ¨§ ¯à®ª®«®â®© δ-®ªà¥áâ­®áâ¨~a ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮|f(~x)− b| < ε.

�  ï§ëª¥ ª¢ ­â®à®¢: lim~x→~a

f(~x) = b, ¥á«¨

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀~x ∈ Uδ(~a) → |f(~x)− b| < ε.

� í⮬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ~x = (x1, . . . , xn) ¨ ~a = (a1, . . . , an)| â®çª¨ n-¬¥à­®£® ¥¢ª«¨¤®¢  ¯à®áâà ­á⢠ Rn; f(~x) == f(x1, . . . , xn) (¢® ¨§¡¥¦ ­¨¥ ¯ãâ ­¨æë, ¥á«¨ â®çª  Rn ®¡®-§­ ç ¥âáï ¬ «®© ¡ãª¢®© « â¨­áª®£®  «ä ¢¨â , ¬ë ¡ã¤¥¬ áâ -¢¨âì ­ ¤ í⮩ ¡ãª¢®© áâ५ªã; ¥á«¨ áâ५ª¨ ­¥â | íâ® ¤¥©áâ-¢¨â¥«ì­®¥ ç¨á«®, â.¥. â®çª  ç¨á«®¢®© ¯àאַ© R1). �ப®«®â ï®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ ~a | íâ® ¬­®¦¥á⢮ â®ç¥ª ~x â ª¨å, çâ® 0 << ρ(~x,~a) < δ, £¤¥

ρ(~x,~a) =√

(x1 − a1)2 + . . . + (xn − an)2.

�¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.2 (¯® �¥©­¥). �ã­ªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ­-­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨~a, ¨¬¥¥â ¢ í⮩â®çª¥ ¯à¥¤¥«, à ¢­ë© b, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâ¨~xk â ª®©, çâ® ~xk 6= ~a ¨ lim

k→∞~xk = ~a, ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮

limk→∞

f(~xk) = b.

5

�室¨¬®áâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠â®ç¥ª ~xk ª â®çª¥ ~a ®§­ -ç ¥â, çâ® lim

k→∞ρ(~xk,~a) = 0, â.¥.

∀ ε > 0 ∃ k0 : ∀ k > k0 → ρ(~xk,~a) < ε.

�ᥠ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠ ¯à¥¤¥«®¢ ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­-­®© á®åà ­ïîâáï ¢ ¬­®£®¬¥à­®¬ á«ãç ¥: â¥®à¥¬ë ®¡  à¨ä¬¥-â¨ç¥áª¨å ®¯¥à æ¨ïå á ¯à¥¤¥« ¬¨, ᢮©á⢠ ¯à¥¤¥«®¢, á¢ï§ ­-­ë¥ á ­¥à ¢¥­á⢠¬¨ ¨ â.¤. �ã­ªæ¨ï α(~x) ­ §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®-­¥ç­® ¬ «®© ¯à¨ ~x → ~a, ¥á«¨ lim

~x→~aα(~x) = 0. �᫨ äã­ªæ¨ï

f(~x) ®£à ­¨ç¥­  ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨~a,   äã­ªæ¨ï α(~x) ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ ~x → ~a, â® äã­ªæ¨ïα(~x)f(~x) â ª¦¥ ï¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ¯à¨ ~x →~a.

�®¢®àïâ, çâ® f(~x) = o(g(~x)) ¯à¨ ~x →~a (f(~x) ¥áâì o ¬ «®¥ ®âg(~x)), ¥á«¨ f(~x) = α(~x)g(~x), £¤¥ α(~x) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨~x → ~a. �᫨ g(~x) ­¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®-⮩ ®ªà¥áâ­®á⨠~a, â® íâ® ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ à ¢­®á¨«ì­® à ¢¥­áâ¢ãlim~x→~a

f(~x)g(~x) = 0.

�¥á¬®âàï ­  ®¡é­®áâì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï, ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ áãé¥áâ-¢®¢ ­¨ï ¯à¥¤¥«  ¤«ï ä㭪権 ¬­®£¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯à¨­æ¨¯¨- «ì­® á«®¦­¥¥, 祬 ¢ ®¤­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥. � ¯à¨¬¥à, ¥á«¨äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¯®-à §­®¬ã ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨ x >> a ¨ x < a, â® ¤®áâ â®ç­® ¨áá«¥¤®¢ âì áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ®¤-­®áâ®à®­­¨å ¯à¥¤¥«®¢ á«¥¢  ¨ á¯à ¢ . �  ç¨á«®¢®© ¯àאַ© ªâ®çª¥ ¬®¦­® ¯®¤®¡à âìáï ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨,   ¢®â 㦥 ­  ¯«®á-ª®á⨠R2 â ª¨å ᯮᮡ®¢ ¡¥áª®­¥ç­® ¬­®£®, çâ® ãá«®¦­ï¥â á¨-âã æ¨î. �ਠí⮬ ¢ á«ãç ¥ ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å à §¬¥à­®á⥩ n > 3ª à⨭  ­¥ ãá«®¦­ï¥âáï ª ç¥á⢥­­®. �ਭ樯¨ «ì­ë¬ ï-¥âáï ¨¬¥­­® ¯¥à¥å®¤ ®â n = 1 ª n = 2. � ¤ «ì­¥©è¥¬, ¥á«¨ ­¥®£®¢®à¥­® ¯à®â¨¢­®¥, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® n = 2.

�®çª  ~x ¯«®áª®á⨠§ ¯¨á뢠¥âáï ¢ ª®®à¤¨­ â å: ~x = (x, y);f(~x) = f(x, y). �।¥« ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ­ §ë¢ ¥âá濫®©­ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) ¨«¨ limx→x0y→y0

f(x, y).

6

�¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯® �®è¨: limx→x0y→y0

f(x, y) = b, ¥á«¨ f(x, y) ®¯à¥-

¤¥«¥­  ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠(x0, y0) ¨ ∀ ε > 0∃ δ > 0: ∀ (x, y), 0 <

√(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ → |f(x, y)−b| <

< ε.�¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯® �¥©­¥: lim

x→x0y→y0

f(x, y) = b, ¥á«¨ f(x, y) ®¯à¥-

¤¥«¥­  ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠(x0, y0) ¨ ¤«ï «î-¡®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠(xk, yk) â ª®©, çâ® (xk, yk) 6= (x0, y0) ¨lim

k→∞(xk, yk) = (x0, y0), ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮ lim

k→∞f(xk, yk) =

= b.�¡à é ¥¬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­  â®, çâ® ãá«®¢¨¥ (xk, yk) 6= (x0, y0)

®§­ ç ¥â ­¥á®¢¯ ¤¥­¨¥ â®ç¥ª; ¯à¨ í⮬ ¢®§¬®¦­®, ­ ¯à¨¬¥à,çâ® xk = x0 (­® ⮣¤  ®¡ï§ â¥«ì­® yk 6= y0).

§ 2. �®¯ë⪨ ᢥ¤¥­¨ï ª ¯à¥¤¥« ¬ ä㭪権 ®¤­®©¯¥à¥¬¥­­®©

�áâ¥á⢥­­® ¢®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á, ­¥«ì§ï «¨ ¤¢®©­®© ¯à¥-¤¥« ä㭪樨 f(x, y) ¢ â®çª¥ (x0, y0) ᢥá⨠ª ¯à¥¤¥« ¬ ¢¨¤ lim

x→x0

( limy→y0

f(x, y)) ¨ limy→y0

( limx→x0

f(x, y))?

x

y

0 x0 + δ

y0 + δ

x0 − δ

y0 − δ

x0

y0

�¨á. 1.1

7

�®ç­¥¥, ¥á«¨ f(x, y) ®¯à¥¤¥«¥­  ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®©®ªà¥áâ­®á⨠(x0, y0), â® ®­  ®¯à¥¤¥«¥­  ¢ ª¢ ¤à â¥ ¢¨¤  {x0 −− δ < x < x0 + δ, y0 − δ < y < y0 + δ} á ¢ëª®«®â®© â®çª®©(x0, y0) (á¬. à¨á. 1.1). �ãáâì ¤«ï «î¡®£® x ∈ (x0 − δ; x0 ++ δ), x 6= x0, áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = lim

y→y0

f(x, y) (áâ५ª¨ ¢­¨§¨ ¢¢¥àå ­  à¨á. 1.1). � ª ª ª äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©ϕ(x) ®¯à¥¤¥«¥­  ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© δ-®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨x0, â® ¬®¦­® ¯®áâ ¢¨âì ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ lim

x→x0

ϕ(x)

(áâ५ª¨ ¢«¥¢® ¨ ¢¯à ¢® ­  à¨á. 1.1). �᫨ â ª®© ¯à¥¤¥«áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¥£® ¥áâ¥á⢥­­® ­ §¢ âì ¯®¢â®à­ë¬ ¯à¥¤¥«®¬lim

x→x0

( limy→y0

f(x, y)). �­ «®£¨ç­® ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¤à㣮© ¯®¢-â®à­ë© ¯à¥¤¥« lim

y→y0

( limx→x0

f(x, y)).�¥âà㤭® ¯à¨¢¥á⨠¯à¨¬¥à, ª®£¤  ®¡  ¯®¢â®à­ëå ¯à¥¤¥« 

áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ᮢ¯ ¤ îâ,   ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.�ਬ¥à 1.1. � áᬮâਬ äã­ªæ¨î f(x, y) = (x + y)2

x2 + y2 , x2+

+ y2 > 0. �­  ®¯à¥¤¥«¥­  ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨(0; 0), ¯®í⮬㠨¬¥¥â á¬ëá« ¯®áâ ­®¢ª  ¢®¯à®á  ® áãé¥á⢮¢ -­¨¨ lim

x→0y→0

f(x, y). � áᬮâਬ á­ ç «  ¯®¢â®à­ë¥ ¯à¥¤¥«ë.

�«ï «î¡®£® x 6= 0 áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = limy→0

(x + y)2

x2 + y2 = x2

x2 = 1,¯®í⮬㠯®¢â®à­ë© ¯à¥¤¥« lim

x→0(limy→0

f(x, y)) = 1. �­ «®£¨ç­®,

¤«ï «î¡®£® y 6= 0 áãé¥áâ¢ã¥â ψ(y) = limx→0

(x + y)2

x2 + y2 = y2

y2 = 1, ¨¤à㣮© ¯®¢â®à­ë© ¯à¥¤¥« â ª¦¥ à ¢¥­ 1.

�¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â. � á ¬®¬ ¤¥«¥,f(x, x) = 2; f(x,−x) = 0. �᫨ ¡ë ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮-¢ « ¨ à ¢­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠(xk, yk) 6=6= (0, 0) â ª®©, çâ® lim

k→∞(xk, yk) = (0, 0), ¢ë¯®«­ï«®áì ¡ë à -

¢¥­á⢮ limk→∞

f(xk, yk) = b. �® ¥á«¨ xk 6= 0 ¨ limk→∞

xk = 0, â®f(xk, xk) = 2,   f(xk,−xk) = 0, â.¥. b = 2 = 0. �®«ã祭­®¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â ®âáãâá⢨¥ ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« .

�¯à ¦­¥­¨¥ 1.1. �®ª § âì, çâ® ¤«ï ä㭪樨 f(x, y) =

8

= x2 − y2

x2 + y2 , x2+y2 > 0, ®¡  ¯®¢â®à­ëå ¯à¥¤¥«  ¯à¨ x → 0, y → 0áãé¥áâ¢ãîâ, ­® à §«¨ç­ë.

�¯à ¦­¥­¨¥ 1.2. �®ª § âì, çâ® ¤«ï ä㭪樨 f(x, y) =

={

x sin 1y , y 6= 0;

0, y = 0,¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ¯à¨ x → 0, y → 0 à ¢¥­ 0,

  ¯®¢â®à­ë© ¯à¥¤¥« limx→0

(limy→0

f(x, y)) ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â (­¥ áãé¥áâ-¢ã¥â ¤ ¦¥ lim

y→0f(x, y) ­¨ ¯à¨ ®¤­®¬ x 6= 0).

�¯à ¦­¥­¨¥ 1.3. �ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥«lim

x→x0y→y0

f(x, y) = b, ¨ ¯à¨ «î¡®¬ x ∈ (x0 − δ;x0 + δ), x 6= x0,

áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = limy→y0

f(x, y). �®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¢-â®à­ë© ¯à¥¤¥« lim

x→x0

ϕ(x) = b.�éñ ®¤­  ¯®¯ë⪠ ᢥá⨠¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ª ¯à¥¤¥« ¬ äã­ª-

権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© | íâ® ¯à¥¤¥«ë ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬.�¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.3. �ãáâì~l = (cos ϕ; sin ϕ) | ¥¤¨­¨ç­ë©

¢¥ªâ®à. �᫨ äã­ªæ¨ï f(x, y) ®¯à¥¤¥«¥­  ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®-«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0; y0), â® ¥ñ ¯à¥¤¥«®¬ ¯à¨ x → x0,y → y0 ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à ~l (¨«¨ ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î, ®¯à¥-¤¥«ï¥¬®¬ã 㣫®¬ ϕ) ­ §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥-¬¥­­®© ρ:

limρ→+0

f(x0 + ρ cosϕ, y0 + ρ sinϕ).

�   ¬ ¥ ç   ­ ¨ ¥. � í⮬ á«ãç ¥ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¢¢®¤ïâáﯮ«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­ âë ­  ¯«®áª®á⨠á 業â஬ ¢ â®çª¥ (x0, y0).�¨ªá¨à®¢ ­­®¥ §­ ç¥­¨¥ ϕ £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® äã­ªæ¨ï à á-ᬠâਢ ¥âáï «¨èì ­  «ãç¥, ¢ë室ï饬 ¨§ â®çª¨ (x0, y0) ¯®¤ã£«®¬ ϕ ª ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ã «ãçã ¯àאַ©, ¯ à ««¥«ì­®© ®á¨Ox.

�â६«¥­¨¥ (x, y) ª (x0, y0) ¯à®¨á室¨â «¨èì ¯® í⮬㠫ãçã.�ਠϕ = 0 ¯®«ãç ¥¬ ¯à ¢ë© ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­-­®© f(x, y0) ¢ â®çª¥ x0:

limx→x0+0

f(x, y0),

  ¯à¨ ϕ = π2 ¯®«ãç ¥¬ lim

y→y0+0f(x0, y).

9

�⢥ত¥­¨¥ 1.1. �᫨ áãé¥áâ¢ã¥â limx→x0y→y0

f(x, y) = b, â®

¯à¥¤¥« ¯® «î¡®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î ¯à¨ x → x0, y → y0 à ¢¥­ b.¤ � áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ρk ¯®«®¦¨-⥫ì­ëå ç¨á¥« â ªãî, çâ® lim

k→∞ρk = 0. �®£¤  ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì-

­®áâì â®ç¥ª (xk, yk) = (x0 + ρk cosϕ, y0 + ρk sinϕ) áâ६¨âáïª â®çª¥ (x0, y0), ¯à¨çñ¬ (xk, yk) 6= (x0, y0). �®£¤  lim

k→∞f(x0 +

+ρk cosϕ, y0+ρk sinϕ) = b, â.¥. limρ→+0

f(x0+ρ cosϕ, y0+ρ sinϕ) =

= b (§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à¥¤¥«  ¯® �¥©­¥ äã­ª-樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå x, y ¨ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ρ). ¥

�âá á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ ¯à¥¤¥«ë ä㭪樨 f(x, y) ¯® ¤¢ã¬à §­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ ¢ â®çª¥ (x0, y0) à §«¨ç­ë, â® ¤¢®©­®©¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.

� ª, ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1

f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) =(ρ cosϕ + ρ sinϕ)2

ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ= (cosϕ + sin ϕ)2

(¯à¨ ϕ = π4 ¨¬¥¥¬ 2; ¯à¨ ϕ = − π

4 ¨¬¥¥¬ 0). �® à §«¨ç­ë¬ ­ -¯à ¢«¥­¨ï¬ à §«¨ç­ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §­ ç¨â, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ¯à¨x → 0, y → 0 ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.

�®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¬®¦¥â ¡ëâì, ¥á«¨ ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢-«¥­¨î äã­ªæ¨ï f(x, y) ¨¬¥¥â ¯à¨ x → x0, y → y0 ®¤¨­ ¨ â®â¦¥ ¯à¥¤¥« b, â® ¨ ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ b? � ᮦ «¥­¨î, íâ®­¥¢¥à­®.

�ਬ¥à 1.2. � áᬮâਬ äã­ªæ¨î

f(x, y) =x2y

x4 + y2, x2 + y2 > 0.

�ãáâì x → 0, y → 0. �¥à¥å®¤¨¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬.

f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) =ρ3 cos2 ϕ sinϕ

ρ4 cos4 ϕ + ρ2 sin2 ϕ=

ρ cos2 ϕ sinϕ

ρ2 cos4 ϕ + sin2 ϕ.

�᫨ sinϕ = 0, â® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ à ¢­® 0 ¯à¨ «î¡®¬ρ > 0. �᫨ sinϕ 6= 0, â® ¢áñ à ¢­® lim

ρ→+0f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) = 0.

�â ª, ¯® «î¡®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î ¯à¥¤¥« f(x, y) ¯à¨ x → 0, y →→ 0 à ¢¥­ 0. �® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f(x, x2) = 1

2 . �­ «®£¨ç­®

10

à áá㦤¥­¨î ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1: ¥á«¨ xk 6= 0 ¨ limk→∞

xk = 0, â®

f(xk, 0) = 0,   f(xk, x2k) = 1

2 . �¢®©­®© ¯à¥¤¥« limx→0y→0

f(x, y) ­¥

áãé¥áâ¢ã¥â.

x

y

0

A

B

C

�¨á. 1.2

� ª ¦¥ ¬®£«® ¯à®©§®©â¨ â ª,çâ® ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0 (¢à®¤¥ ¡ë, ª ª­¨ ¨¤â¨ ª â®çª¥, ¢áñ à ¢­® 0),  ¯® ¯ à ¡®«¥ ¯®«ãç ¥¬ ¤àã-£®¥ ç¨á«® 1

2? �®§ì¬ñ¬, ­ ¯à¨-¬¥à, â®çªã A ­  à¨á. 1.2. �­ -祭¨¥ f(A) = 1

2 , ­® ¯à¥¤¥«f(~x) ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î AO à -¢¥­ 0. �® ¦¥ ¬®¦­® ᪠§ âì¯à® â®çª¨ B, C, . . . , «¥¦ é¨¥­  ¯ à ¡®«¥. �® ¢á¥å íâ¨å â®ç-ª å äã­ªæ¨ï ¯à¨­¨¬ ¥â §­ -

祭¨¥ 12 . �¥¬ ¡«¨¦¥ â ª ï â®çª  ª ­ ç «ã ª®®à¤¨­ â, ⥬ ª®-

à®ç¥ ®â१®ª, ­  ª®â®à®¬ äã­ªæ¨ï ¤®«¦­  ý㯠áâìþ ®â §­ ç¥-­¨ï 1

2 ¤® §­ ç¥­¨ï 0, ­® â ª®© ®â१®ª ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­ã¨­ã, ¨ áâ६«¥­¨¥ ä㭪樨 ª ­ã«î ¢¤®«ì í⮣® ®â१ª  ­¨-祬㠭¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â.

�®¢¥à襭­® ïá­®, çâ® ¥á«¨ 㤠áâáï ¤®¡¨âìáï áâ६«¥­¨ïª ­ã«î ¯® «î¡®© ¯ à ¡®«¥, â® ¬®£ãâ ­ ©â¨áì ¡®«¥¥ á«®¦­ë¥ªà¨¢ë¥ (­ ¯à¨¬¥à, ᯨࠫ¨), ¯® ª®â®àë¬ áâ६«¥­¨ï ª ­ã«î­¥ ¡ã¤¥â. �®¦¥â ᮧ¤ áâìáï ¢¯¥ç â«¥­¨¥, çâ® ­¥¢®§¬®¦­® ¤®-¡¨âìáï áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« . �® ¨ íâ® ­¥¢¥à­®.

�à®áâ® ¬ë ­ ¨¢­® áç¨â ¥¬, çâ® ¯®­ï⨥ ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« ¬®¦­® ᢥá⨠¨áª«îç¨â¥«ì­® ª ¯à¥¤¥« ¬ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥-६¥­­®©. �â® ¤¥©á⢨⥫쭮 ­¥¢®§¬®¦­®, ¨ ­ã¦­ë ¤à㣨¥¬¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï.

11

§ 3. �®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­®£®¯à¥¤¥« 

�⢥ত¥­¨¥ 1.2. �ãáâì äã­ªæ¨ï f(x, y) ®¯à¥¤¥«¥­  ¢¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0, y0), ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨-⥫쭮¥ ç¨á«® ρ0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ϕ ¨ ¯à¨ ¢á¥å ρ ∈ (0; ρ0)¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮

|f(x0 + ρ cosϕ, y0 + ρ sinϕ)− b| 6 F (ρ),

£¤¥ limρ→+0

F (ρ) = 0.�®£¤  ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« lim

x→x0y→y0

f(x, y) = b.

¤ �§ ãá«®¢¨ï á«¥¤ã¥â, çâ®∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ ρ ∈ (0; δ) → F (ρ) < ε.

�«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¨ (x, y) ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«  ρ¨ ϕ â ª, çâ® x = x0 + ρ cosϕ, y = y0 + ρ sinϕ (â.¥. ¢¢¥¤ñ¬¯®«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­ âë á 業â஬ ¢ â®çª¥ (x0, y0)). �®£¤  ρ ==

√(x− x0)2 + (y − y0)2. �®í⮬㠤«ï ¢á¥å â®ç¥ª (x; y) â ª¨å,

çâ® 0 <√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ, ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮|f(x, y) − b| = |f(x0 + ρ cosϕ, y0 + ρ sinϕ) − b| 6 F (ρ) < ε. �⮨ ®§­ ç ¥â, çâ® lim

x→x0y→y0

f(x, y) = b. ¥

�ਬ¥à 1.3. � áᬮâਬ äã­ªæ¨î

f(x, y) =x2y

x2 + y2, x2 + y2 > 0.

�¢¥¤ñ¬ ¯®«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­ âë á 業â஬ ¢ â®çª¥ (0; 0): x == ρ cosϕ, y = ρ sinϕ.

�®£¤  f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) = ρ3 cos2 ϕ sin ϕρ2(cos2 ϕ + sin2 ϕ)

= ρ cos2 ϕ sinϕ.� ª ª ª |f(ρ cosϕ, ρ sinϕ)| 6 ρ → 0, â® lim

x→0y→0

f(x, y) = b.

�   ¬ ¥ ç   ­ ¨ ¥ 1. �àã¡® ®è¨¡®ç­ë¬ ï¥âáï à á-á㦤¥­¨¥: lim

ρ→+0ρ cos2 ϕ sinϕ = 0, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, lim

x→0y→0

f(x, y) =

= 0.�  á ¬®¬ ¤¥«¥, ¬ë ¤®ª § «¨ ⮫쪮 â®, çâ® ¯à¥¤¥« f(x, y)

¯à¨ x → 0, y → 0 ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î à ¢¥­ 0. � ª ¬ë

12

¢¨¤¥«¨, í⮣® ¥éñ ­¥¤®áâ â®ç­® ¤«ï ­ «¨ç¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥-¤¥« . �㦭  ®æ¥­ª  ¬®¤ã«ï à §­®á⨠f(x, y)− b ᢥàåã äã­ª-樥© ⮫쪮 ®â ρ, ­¥ § ¢¨áï饩 ®â ϕ ¨ áâ६ï饩áï ª ­ã«î¢¬¥á⥠á ρ.

�   ¬ ¥ ç   ­ ¨ ¥ 2. �¥ á«¥¤ã¥â ¤ã¬ âì, çâ® ¯¥à¥-室 ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ᯮá®-¡®¬ ¤®ª § â¥«ìá⢠ ­ «¨ç¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« . �ਢ¥¤ñ¬ ¥éñ®¤­® à¥è¥­¨¥ ¯à¨¬¥à  1.3. �«ï «î¡ëå ç¨á¥« x, y ¨¬¥¥â ¬¥áâ®­¥à ¢¥­á⢮ |xy| 6 x2 + y2

2 . �­ ç¨â, f(x, y) = x · xyx2 + y2 |

¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樨 x ­  ®£à ­¨ç¥­­ãîäã­ªæ¨î xy

x2 + y2 . �®í⮬ã f(x, y) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï äã­ª-æ¨ï ¯à¨ x → 0, y → 0.

�ਢ¥¤ñ­­®¥ à¥è¥­¨¥ §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«¥¥ ý¨áªãáá⢥­­®þ,祬 ¯¥à¢®¥. �¥â®¤ ¢¢¥¤¥­¨ï ¯®«ïà­ëå ª®®à¤¨­ â ã­¨¢¥àá «¥­¨, ª ª ¯à ¢¨«®, ¡ëáâ॥ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ­ã¦­ãî ®æ¥­ªã,祬 ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ª ª¨å-«¨¡® ­¥à ¢¥­á⢠­¥¯®á।á⢥­­® ¤«ïä㭪権 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå, å®âï ¡ë¢ ¥â ¨ ¨­ ç¥.

�ਬ¥à 1.4. � áᬮâਬ äã­ªæ¨î

f(x, y) =x5

x4 + y4, x2 + y2 > 0.

�¬¥¥¬

|f(ρ cosϕ, ρ sinϕ)| =∣∣∣∣

ρ5 cos5 ϕ

ρ4(cos4 ϕ + sin4 ϕ)

∣∣∣∣ 6

6 ρ

(cos2 ϕ + sin2 ϕ)2 − 2 cos2 ϕ sin2 ϕ=

ρ

1− sin2 2ϕ2

6

6 ρ

1− 12

= 2ρ → 0,

¯®í⮬ã limx→0y→0

f(x, y) = 0.

�ਬ¥à 1.5. � áᬮâਬ äã­ªæ¨î

f(x, y) =ln(1 + 3

√x2y2)√

x2 + y2, x2 + y2 > 0.

13

�¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f(x, y) > 0 ¯à¨ x2 + y2 > 0. �¬¥¥¬

f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) =ln(1 + 3

√ρ4 cos2 ϕ sin2 ϕ)

ρ6 1

ρln(1 + ρ4/3).

�।¥« ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© F (ρ) = 1ρ ln(1+ρ4/3) ¬®¦­®

¢ëç¨á«¨âì, ¯à¨¬¥­ïï ä®à¬ã«ã �¥©«®à :

limρ→+0

ln(1 + ρ4/3)ρ

= limρ→+0

ρ4/3 + o(ρ4/3)ρ

= 0;

¯®í⮬ã limx→0y→0

f(x, y) = 0.

�­®£¤  ¯®«ã祭¨¥ ­ã¦­®© ®æ¥­ª¨ ᢥàåã âॡã¥â §­ ç¨-⥫ì­ëå ãᨫ¨©.

�ਬ¥à 1.6. � áᬮâਬ äã­ªæ¨î

f(x, y) =3√

x3 + y4 − x√x2 + y2

, x2 + y2 > 0.

�¯ïâì-â ª¨ f(x, y) > 0 ¯à¨ x2 + y2 > 0. �¬¥¥¬

f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) =3√

ρ3 cos3 ϕ + ρ4 sin4 ϕ− ρ cosϕ

ρ=

= 3

√cos3 ϕ + ρ sin4 ϕ− cosϕ 6 3

√cos3 ϕ + ρ− cosϕ.

�ãáâì cosϕ = t ∈ [−1; 1]. �®£¤ 

0 6 f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) 6 g(t, ρ) = 3√

t3 + ρ− t.

�ਠ䨪á¨à®¢ ­­®¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ ρ ­ ©¤ñ¬ F (ρ) == max−16t61

g(t, ρ). �ந§¢®¤­ ï ä㭪樨 g(t, ρ) ª ª ä㭪樨 ®â

t ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ρ à ¢­  13 (t3 + ρ)−2/3 · 3t2 − 1. �­  ®¡-

à é ¥âáï ¢ ­ã«ì, ¥á«¨ t2 = (t3 + ρ)2/3, â.¥. t6 = t6 + 2t3ρ + ρ2,®âªã¤  t = − 3

√ρ2 . �ਠ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå ρ íâ® §­ ç¥­¨¥ t

¯à¨­ ¤«¥¦¨â ®â१ªã [−1; 1], ¨ ¤«ï ­ å®¦¤¥­¨ï F (ρ) ­ã¦­®

14

¢ë¡à âì ­ ¨¡®«ì襥 ¨§ âàñå ç¨á¥«:

g

(− 3

√ρ

2, ρ

)= 3

√− ρ

2+ ρ + 3

√ρ

2= 3

√4ρ;

g(1, ρ) = 3√

1 + ρ− 1 ∼ ρ

3, ρ → +0;

g(−1, ρ) = 3√−1 + ρ + 1 ∼ ρ

3, ρ → +0.

�ਠ¬ «ëå ρ ­ ¨¡®«ì訬 ¨§ íâ¨å ç¨á¥« ¡ã¤¥â 3√

4ρ; §­ ç¨â,­ ©¤ñâáï ρ0 > 0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ρ ∈ (0; ρ0) ¨¬¥îâ ¬¥áâ®­¥à ¢¥­á⢠

0 6 f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) 6 3√

4ρ.�«¥¤®¢ â¥«ì­®, lim

x→0y→0

f(x, y) = 0.

�¯à ¦­¥­¨¥ 1.4. �®ª § âì, çâ®: ) lim

x→0y→0

x3y√x6 + y6

= 0; ¡) limx→0y→0

arctg√|x|5 + y6

x2 + y2 = 0;

¢) limx→0y→0

x sin y + y sin x√x2 + y2

= 0; £) limx→0y→0

1− cosx3√

x4 − x2y2 + y4= 0.

�¯à ¦­¥­¨¥ 1.5. �®ª § âì, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ãîâ: ) lim

x→0y→0

x3yx4 + x2y2 + y4 ; ¡) lim

x→0y→0

x3yx6 + y4 ;

¢) limx→0y→0

x3yx6 + y2 ; £) lim

x→0y→0

ln(1 + xy)x2 + y2 .

§ 4. � ¯à¨¬¥­¥­¨¨ ®¤­®¬¥à­®© ä®à¬ã«ë �¥©«®à ª ¢ëç¨á«¥­¨î ¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢

�®à¬ã«  �¥©«®à  ¤«ï ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ë宯¨à ¥âáï ­  ¯®­ï⨥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «  n-£® ¯®à浪  ¨ ¢®§­¨-ª ¥â ¢ ªãàá å ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£®  ­ «¨§  §­ ç¨â¥«ì­® ¯®§¦¥,祬 ¯®­ï⨥ ¯à¥¤¥« . �® ­¥ á«¥¤ã¥â § ¡ë¢ âì ® ⮬, çâ®,¯à¨áâã¯ ï ª ¨§ã祭¨î ¬­®£®¬¥à­®£®  ­ «¨§ , áâ㤥­âë 㦥§­ ª®¬ë á ä®à¬ã«®© �¥©«®à  ¤«ï ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­-­®©, ¨, ¥áâ¥á⢥­­®, ¯ëâ îâáï ¯à¨¬¥­ïâì ¥ñ ª ¢ëç¨á«¥­¨î¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢. �®¯ëâ ¥¬áï ¢ëïá­¨âì, ­ áª®«ìª® íâ® ¤®-¯ãá⨬®. �£à ­¨ç¨¬áï ä®à¬ã«®© � ª«®à¥­  (à §«®¦¥­¨¥ ¢®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ 0).

15

� ª ¨§¢¥áâ­®, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ϕ(u) ¨¬¥¥ân ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢ â®çª¥ 0, â® ϕ(u) =

n∑k=0

ϕ(k)(0)k! uk + o(un) ¯à¨

u → 0 (ä®à¬ã«  �¥©«®à  á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬ ¢ ä®à¬¥ �¥- ­®); íâ® ®§­ ç ¥â, çâ®

limu→0

ϕ(u)−n∑

k=0

ϕ(k)(0)k! uk

un= 0. (1.1)

�¬¥¥â ¬¥áâ®�⢥ত¥­¨¥ 1.3. (�¥®à¥¬  ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯à¥¤¥«ã

¯®¤ §­ ª®¬ ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­-­®©). �ãáâì äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå f(x, y) ¨¬¥¥â ¯à¥-¤¥« lim

x→x0y→y0

f(x, y) = b,   äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© g(u) ­¥¯à¥-

à뢭  ¢ â®çª¥ b. �®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« á«®¦­®© ä㭪樨¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå lim

x→x0y→y0

g(f(x, y)) = g(b), â.¥. limx→x0y→y0

g(f(x, y)) =

= g( limx→x0y→y0

f(x, y)) (§­ ª ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥«  ¨ §­ ª ­¥¯à¥à뢭®©

ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¬®¦­® ¬¥­ïâì ¬¥áâ ¬¨).¤ �ãáâì (xk, yk) | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì â®ç¥ª¯«®áª®á⨠⠪ ï, çâ® lim

k→∞(xk, yk) = (x0, y0), ¯à¨çñ¬ (xk, yk) 6=

6= (x0, y0). �®£¤  limk→∞

f(xk, yk) = b, â.¥. limk→∞

uk = b, £¤¥ uk =

= f(xk, yk). �®£¤  ¨§ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 g(u) ¢ â®çª¥ bá«¥¤ã¥â, çâ® lim

k→∞g(uk) = g(b). � ª ª ª (xk, yk) | ¯à®¨§¢®«ì­ ï

¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì â®ç¥ª, áâ६ïé ïáï ª (x0, y0), ¨ â ª ï, çâ®(xk, yk) 6= (x0, y0), â® lim

x→x0y→y0

g(f(x, y)) = g(b). ¥

�   ¬ ¥ ç   ­ ¨ ¥. �â  â¥®à¥¬  ï¥âáï ¥áâ¥á⢥­-­ë¬ à á¯à®áâà ­¥­¨¥¬ ­  ¤¢ã¬¥à­ë© á«ãç ©  ­ «®£¨ç­®© ®¤-­®¬¥à­®© ⥮६ë (f ¨ g | ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©), ª®-â®à ï ¤®«¦­  ¤®ª §ë¢ âìáï (­®, ª ᮦ «¥­¨î, ­¥ ¢á¥£¤  ¤®ª -§ë¢ ¥âáï) ¢ «î¡®¬ ªãàᥠ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£®  ­ «¨§ .

�ãáâì ⥯¥àì u(x, y) | äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå â ª ï,çâ® lim

x→x0y→y0

u(x, y) = 0,   ¢ ª ç¥á⢥ ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ 0 äã­ª-

16

樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© g(u) ¢®§ì¬ñ¬

g(u) =

ϕ(u)−n∑

k=0

ϕ(k)(0)k! uk

un , u 6= 0;0, u = 0.

�ਬ¥­ïï ⮫쪮 çâ® ¤®ª § ­­ãî ⥮६ã, ¨§ (1.1) ¯®«ã稬lim

x→x0y→y0

g(u(x, y)) = 0 ⇒

ϕ(u(x, y)) =n∑

k=0

ϕ(k)(0)k!

(u(x, y))k + o((u(x, y))n)

¯à¨ x → 0, y → 0. (1.2)�®á«¥¤­¥¥ o ¬ «®¥ | ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥«  ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥-¬¥­­ëå. � ¯à¨¬¥à,

ex2y =n∑

k=0

x2kyk

k!+ o(x2nyn) ¯à¨ x → 0, y → 0.

�ãáâì ρ =√

x2 + y2. �®£¤  |x| 6 ρ, |y| 6 ρ, ¨, á«¥¤®¢ -⥫쭮, |x2y| 6 ρ3. � ª ª ª

o(x2nyn) = α(x, y)·x2nyn = α(x, y)·(

x

ρ

)2n(y

ρ

)n

ρ3n = β(x, y)·ρ3n,

£¤¥ β(x, y) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï äã­ªæ¨ï ¯à¨ x → 0, y → 0,ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ­  ®£à ­¨ç¥­­ãî; ¯®í⮬ão(x2nyn) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ o(ρ3n). �â ª,

ex2y =n∑

k=0

x2kyk

k!+ o(ρ3n) ¯à¨ x → 0, y → 0.

�  ¯à ªâ¨ª¥ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï á«ãç ©, ª®£¤  u(x, y) |¬­®£®ç«¥­ ®â ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¡¥§ ᢮¡®¤­®£® ç«¥­  (¢ í⮬á«ãç ¥ lim

x→0y→0

u(x, y) = 0). �®¦­® ¤®ª § âì, çâ® ¯à¨ ρ 6 1 ¨¬¥¥â

¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮ |u(x, y)| 6 Cρm, £¤¥ C | á㬬  ¬®¤ã«¥© ª®-íää¨æ¨¥­â®¢ ¬­®£®ç«¥­ ,   m | ¬¨­¨¬ «ì­ ï á⥯¥­ì ®¤­®-ç«¥­®¢, ¢å®¤ïé¨å ¢ ¤ ­­ë© ¬­®£®ç«¥­; ¯à¨ í⮬ o((u(x, y))n)¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ o(ρmn). � ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮

17í⮣® ä ªâ  £à®¬®§¤ª®, ¯®íâ®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ ¢ ª ¦¤®¬ ª®­ªà¥â-­®¬ á«ãç ¥ ¯à¨¢®¤¨âì ¯®å®¦¥¥ à áá㦤¥­¨¥.

�ਬ¥à 1.7. � §«®¦¨âì äã­ªæ¨î f(x, y) = arctg(xy ++ x2 − y3) ¯® ä®à¬ã«¥ �¥©«®à  ¯à¨ x → 0, y → 0 ¤® o(ρ6).

�ãáâì u(x, y) = xy + x2 − y3 | ¬­®£®ç«¥­; ¬¨­¨¬ «ì­ ïá⥯¥­ì ¢å®¤ïé¨å ¢ ­¥£® ®¤­®ç«¥­®¢ à ¢­  2. �®í⮬㠯à¨ρ 6 1 ¨¬¥¥¬

|u(x, y)| 6 ρ2 + ρ2 + ρ2 = 3ρ2,¨ ¤«ï à §«®¦¥­¨ï f(x, y) ¤® o(ρ6) ­ã¦­® ¢§ïâì à §«®¦¥­¨¥arctg u ¤® o(u3):

arctg u = u− u3

3+ o(u3).

�®£¤ arctg(xy + x2 − y3) =

= xy+x2−y3− 13

(xy+x2−y3)3+o((xy−x2−y3)3), x → 0, y → 0.

�¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® o((u(x, y))3) = α(x, y)(u(x, y))3 =

= α(x, y) ·(

u(x, y)ρ2

)3

· ρ6 = o(ρ6), â ª ª ª äã­ªæ¨ï β(x, y) =

= α(x, y) ·(

u(x, y)ρ2

)3

| ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ x → 0, y → 0,ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ­  ®£à ­¨ç¥­­ãî.

�஬¥ ⮣®, ¢ ¬­®£®ç«¥­¥ 13 (xy+x2−y3)3 ­ã¦­® ¢ë¡à®á¨âì

¢á¥ ®¤­®ç«¥­ë ᥤ쬮© á⥯¥­¨ ¨ ¢ëè¥, â ª ª ª, ­ ¯à¨¬¥à,∣∣∣13 · 3(xy + x2)2 · y3∣∣∣ 6 (ρ2 + ρ2)2 · ρ3 = 4ρ7, ¨ íâ® á« £ ¥¬®¥ ¥áâì

o(ρ6). �ª®­ç â¥«ì­®arctg(xy + x2 − y3) =

= xy + x2 − y3 − 13

(x3y3 + 3x4y2 + 3x5y + x6) + o(ρ6) =

= xy + x2 − y3 − 13

x3y3 − x4y2 − x5y − 13

x6 + o(ρ6).

�   ¬ ¥ ç   ­ ¨ ¥. �®¤ç¥àª­ñ¬, ¥éñ à §, çâ® ¢ íâ¨åà §«®¦¥­¨ïå ρ ï¥âáï ­¥ ­¥§ ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥­­®©,   äã­ª-樥© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ρ(x, y) =

√x2 + y2; ¯®í⮬ã o(ρ6) ­ã¦­®

¯®­¨¬ âì ª ª o((x2 + y2)3) ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥«  ä㭪樨 ¤¢ãå

18

¯¥à¥¬¥­­ëå. �¥¯®­¨¬ ­¨¥ í⮣®,   â ª¦¥ ⮣®, çâ® ¢ à -¢¥­á⢥ (1.2) u(x, y) ¤®«¦­  ¡ëâì ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樥©¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ®è¨¡®ç­ë¬ ¢ë¢®¤ ¬.

�ᯮ¬­¨¬, ­ ¯à¨¬¥à, çâ® äã­ªæ¨ï ¨§ ¯à¨¬¥à  1.3 ­¥ ¨¬¥¥â¯à¥¤¥«  ¯à¨ x → 0, y → 0, ¨ à áᬮâਬ ®è¨¡®ç­®¥ ¤®ª § -⥫ìá⢮ ⮣®, çâ® íâ®â ¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0.

�á­®, çâ® f(x, 0) = 0 ¯à¨ x 6= 0. �᫨ y 6= 0, â® f(x, y) =

=x2

y

1 +(

x2

y

)2 . � ª ª ª u(x, y) = x2

y = ρ2 cos2 ϕρ sinϕ = ρ cos2 ϕ

sinϕ , â®

limρ→+0

u(x, y) = 0, ¨ f(x, y) = u1 + u2 = u(1 − u2 + o(u2)) = u −

− u3 + o(ρ3); limx→0y→0

f(x, y) = 0.

�訡ª  á®á⮨⠢ ⮬, çâ® äã­ªæ¨ï u(x, y) ¢á¥£® «¨è쨬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨ ρ → +0 ¯à¨ ª ¦¤®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ϕ (â.¥.¯à¥¤¥« ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î à ¢¥­ 0) ¨ ­¥ ï¥âáï ¡¥á-ª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樥© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå. � ¯¨á ­­ë¥ o ¬ -«ë¥ ®¯ïâì-â ª¨ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì «¨èì ª ª o ¬ «ë¥ ¯à¨ρ → +0 ¯à¨ ª ¦¤®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ϕ, ¨ ¢ ¨â®£¥ ¬ë ¤®ª § «¨«¨èì â®, çâ® ¯à¥¤¥« f(x, y) à ¢¥­ 0 ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î.

�ਬ¥à 1.8. � áᬮâਬ äã­ªæ¨î

f(x, y) =x sin y − y sinx

(x2 + y2)3/2, x2 + y2 > 0.

� ª ª ª sin y = y − y3

6 + o(y3) = y − y3

6 + o(ρ3); sinx = x −− x3

6 + o(x3) = x − x3

6 + o(ρ3) (§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­® â®, çâ®|x| 6 ρ, |y| 6 ρ, ¨ o(ρ3) ¯®­¨¬ ¥âáï ª ª o((x2 + y2)3/2) ¢ á¬ëá«¥¯à¥¤¥«  ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå). �®£¤  x sin y − y sinx =

= x(y − y3

6 + o(ρ3))− y

(x− x3

6 + o(ρ3))

= yx3 − xy3

6 + o(ρ4);§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­® â®, çâ® x ·o(ρ3) = x ·α(x, y) ·ρ3 = β(x, y) ·ρ4,£¤¥ β(x, y) = x

ρ · α(x, y) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ x → 0, y →→ 0;  ­ «®£¨ç­®, y · o(ρ3) = o(ρ4). � ª ª ª

∣∣∣yx3 − xy3

6

∣∣∣ 6 ρ4

3 ,

19

â® x sin y − y sinx = o(ρ3) + o(ρ4) = o(ρ3) = o((x2 + y2)3/2

), ¨

limx→0y→0

f(x, y) = 0.

�ਬ¥à 1.9. �®ª ¦¥¬, çâ® limx→0y→0

x sin y − y sin x(x2 + y2)2 ­¥ áãé¥áâ-

¢ã¥â. � á ¬®¬ ¤¥«¥, x sin y−y sinx = yx3 − xy3

6 +o(ρ4), ¯®í⮬ã

x sin y − y sinx

(x2 + y2)2=

yx3 − xy3

6(x2 + y2)2+

o((x2 + y2)2)(x2 + y2)2

.

�â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«, à ¢­ë© ­ã«î; ¯®í⮬㠤®-áâ â®ç­® ¤®ª § âì, çâ® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ­¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«  ¯à¨x → 0, y → 0. �¥à¥å®¤ï ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ x = ρ cosϕ,y = ρ sinϕ, ¨¬¥¥¬ρ4 sinϕ · cos3 ϕ− ρ4 cosϕ · sin3 ϕ

6ρ4(cos2 ϕ + sin2 ϕ)2=

sinϕ cos3 ϕ− cosϕ · sin3 ϕ

6.

�® à §­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ | à §­ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §­ ç¨â, ¤¢®©­®©¯à¥¤¥« ®â ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£® ¯à¨ x → 0, y → 0 ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.

�¯à ¦­¥­¨¥ 1.6. �®ª § âì, çâ® ) lim

x→0y→0

ln(1 + x3 + y3)x2 + y2 = 0;

¡) limx→0y→0

shx · ln(y +√

1 + y2)− sin y · arcsin x

(x2 + y2)5/2 = 0.

�¯à ¦­¥­¨¥ 1.7. �®ª § âì, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ãîâ: ) lim

x→0y→0

1− cos(x3 + y3)x6 + y6 ;

¡) limx→0y→0

shx · ln(y +√

1 + y2)− sin y · arcsin x(x2 + y2)3 .

II. ������������� ����������������� ����������

§ 1. �¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®­ï⨥¬ ¯à¥¤¥« �¥¯à¥à뢭®áâì ¢ â®çª¥ ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå

®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ®¤­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥.�¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.1. �ã­ªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®-

â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ~a ∈ Rn, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢â®çª¥ ~a, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â lim

~x→~af(~x) = f(~a).

�᫨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¯à¥¤¥«  ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® äã­ªæ¨ï®¯à¥¤¥«¥­  ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®áâ¨~a,   ¢ á ¬®© â®çª¥ ¬®¦¥â¡ëâì ­¥ ®¯à¥¤¥«¥­  ¢®¢á¥, ⮠⥯¥àì ®­  ¤®«¦­  ¡ëâì ®¯à¥¤¥-«¥­  ¨ ¢ á ¬®© â®çª¥~a, ¯à¨çñ¬ ¯à¥¤¥« ¤®«¦¥­ ¡ëâì à ¢¥­ §­ -祭¨î ä㭪樨 ¢ â®çª¥. � ¯®¬­¨¬, çâ® δ-®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨~a | íâ® ¬­®¦¥á⢮ â®ç¥ª ~x â ª¨å, çâ® ρ(~x,~a) < δ; ¥á«¨ ¨§í⮩ δ-®ªà¥áâ­®á⨠㤠«¨âì â®çªã ~a | ¯®«ã稬 ¯à®ª®«®âãà¥áâ­®áâì. �¯à¥¤¥«¥­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¬®¦­® à áè¨äà®-¢ âì ª ª ¢ â¥à¬¨­ å �®è¨, â ª ¨ ¢ â¥à¬¨­ å �¥©­¥.

�® �®è¨: äã­ªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-­®á⨠â®çª¨ ~a, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ ~a, ¥á«¨ ¤«ï«î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á«  ε ­ ©¤ñâáï â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì-­®¥ ç¨á«® δ, çâ® ¤«ï ¢á¥å ~x ¨§ δ-®ªà¥áâ­®á⨠~a ¢ë¯®«­ï¥âáﭥࠢ¥­á⢮ |f(~x)− f(~a)| < ε.

�  ï§ëª¥ ª¢ ­â®à®¢:∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀x, ρ(~x,~a) < δ → |f(~x)− f(~a)| < ε.

�® �¥©­¥: äã­ªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-­®á⨠â®çª¨ ~a, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ ~a, ¥á«¨ ¤«ï«î¡®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠~xk â ª®©, çâ® lim

k→∞~xk = ~a, ¢ë¯®«-

­ï¥âáï à ¢¥­á⢮ limk→∞

f(~xk) = f(~a).�£®¢®àª  ~xk 6=~a ¢ í⮬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ­¥ ­ã¦­ .� ª ¨ ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¯à¥¤¥« , ¢á¥ ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­ë¥ ®â-

«¨ç¨ï ¬­®£®¬¥à­®£® á«ãç ï ®â ®¤­®¬¥à­®£® ¯à®ï¢«ïîâáï 㦥

21¯à¨ n = 2, ¯®í⮬㠢 ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âìä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå f(x, y).

�¡êñ¬ ­ áâ®ï饣® ¯®á®¡¨ï ­¥ ¯®§¢®«ï¥â ­ ¬ ­¥áª®«ìª®ãá«®¦­¨âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.1 ¨ à áᬮâà¥âì ¯®­ï⨥ ­¥¯à¥àë¢-­®á⨠ä㭪樨 ¢ â®çª¥ ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã (â ª ¦¥, ª ª ¨ ¯®­ï-⨥ ¯à¥¤¥«  ä㭪樨 ¢ â®çª¥ ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã); ¬ë ¡ã¤¥¬ à á-ᬠâਢ âì ⮫쪮 ä㭪樨, ®¯à¥¤¥«ñ­­ë¥ ¢ ­¥ª®â®à®© δ-®ªà¥áâ­®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¨~a (¢ ¤¢ã¬¥à­®¬ á«ãç ¥ |â®çª¨ (x0, y0)).

�­ «®£¨ç­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.3, ¢¢¥¤ñ¬ ¯®­ï⨥ ­¥¯à¥àë¢-­®á⨠ä㭪樨 ¯® ¤ ­­®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î.

�¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.2. �ãáâì~l = (cos ϕ, sinϕ) | ¥¤¨­¨ç­ë©¢¥ªâ®à. �ã­ªæ¨ï f(x, y), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-­®á⨠â®çª¨ (x0, y0), ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ í⮩ â®çª¥ ¯®­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à ~l, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ρ

f(x0 + ρ cosϕ, y0 + ρ sinϕ)

­¥¯à¥à뢭  á¯à ¢  ¢ â®çª¥ 0, â.¥.lim

ρ→+0f(x0 + ρ cosϕ, y0 + ρ sinϕ) = f(x0, y0).

�¥¯à¥à뢭®áâì ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à  (1, 0) ®§­ ç ¥â, çâ®lim

ρ→+0f(x0 + ρ, y0) = f(x0, y0), â.¥. lim

x→x0+0f(x, y0) = f(x0, y0).

�®®¡é¥, ¥á«¨ limx→x0

f(x, y0) = f(x0, y0), â® £®¢®àïâ ® ­¥¯à¥àë¢-­®á⨠ä㭪樨 f(x, y) ¯® x ¢ â®çª¥ (x0, y0) (­¥¯à¥à뢭®áâì ¯®­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à  (1; 0) | íâ® ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® x á¯à ¢ ).�­ «®£¨ç­®, ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à  (0, 1) |íâ® ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® y á¯à ¢ .

�ã­ªæ¨ï f(x, y) =

{(x + y)2

x2 + y2 , x2 + y2 > 0;1, x = y = 0

­¥¯à¥à뢭 

ª ª ¯® x, â ª ¨ ¯® y ¢ â®çª¥ (0, 0) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.1). �â® §­ ç¨â,çâ® ®­  ­¥¯à¥à뢭  ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ ¢¥ªâ®à®¢(1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0,−1). �® ¢á¥¬ ®áâ «ì­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬®­  ­¥ ¡ã¤¥â ­¥¯à¥à뢭®©, â ª ª ª f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) = (cosϕ ++ sinϕ)2,   íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ à ¢­® 1 ⮫쪮 ¯à¨ ϕ = π

2 k ,k ∈ Z,ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ ç¥âëàñå 㪠§ ­­ëå ¢¥ªâ®à®¢.

22

�ã­ªæ¨ï f(x, y) =

{x2y

x4 + y2 , x2 + y2 > 0;0, x = y = 0

­¥¯à¥à뢭  ¯®

«î¡®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢ â®çª¥ (0, 0), ­® ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢-­®© ¢ í⮩ â®çª¥ (á¬. ¯à¨¬¥à 1.2).

� ¢®â äã­ªæ¨ï f(x, y) =

{x2y

x2 + y2 , x2 + y2 > 0;0, x = y = 0

ï¥âáï

­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ (0, 0) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.3).�᫨ ä㭪樨 f(x, y) ¨ g(x, y) ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ â®çª¥ (x0, y0),

â® ¨å á㬬 , ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨ ç áâ­®¥ â ª¦¥ ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ í⮩â®çª¥ (¢ ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥ ­ ¤® âॡ®¢ âì, ç⮡ë g(x0, y0) 6=6= 0). �®í⮬ã ä㭪樨 ¨§ ¯à¨¬¥à®¢ 1.1{1.3 ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ª ¦¤®© â®çª¥, ®â«¨ç­®© ®â (0, 0); ¯®á«¥¤­ïï ¯®á«¥ ¤®®¯à¥¤¥«¥-­¨ï f(0, 0) = 0 áâ ­¥â ­¥¯à¥à뢭®© ¢® ¢á¥å â®çª å ¯«®áª®áâ¨;¯¥à¢ë¥ ¤¢¥, ª ª ¨å ­¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ â®çª¥ (0, 0), ¢áñ à ¢­® ¡ã-¤ãâ ¨¬¥âì ¢ í⮩ â®çª¥ à §àë¢.

�¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.3. �®çª  (x0, y0) ­ §ë¢ ¥âáï â®çª®© à §-à뢠 ä㭪樨 f(x, y), ¥á«¨ f(x, y) ®¯à¥¤¥«¥­  ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®-ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0, y0), ­® ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢-­®© ¢ í⮩ â®çª¥.

�§ ªãàá  ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£®  ­ «¨§  ¨§¢¥áâ­  ⥮६  ® ­¥-¯à¥à뢭®á⨠᫮¦­®© ä㭪樨.

�ãáâì äã­ªæ¨ï f(x1, . . . , xn) ­¥¯à¥à뢭  ¢ â®çª¥(x0

1, . . . , x0n),   ä㭪樨 x1(t1, . . . , tk), . . . , xn(t1, . . . , tk)

­¥¯à¥àë¢­ë ¢ â®çª¥ (t01, . . . , t0k). �®£¤ , ¥á«¨ x01 =

= x1(t01, . . . , t0k), . . . , x0n = xn(t01, . . . , t0k), â® á«®¦­ ï

äã­ªæ¨ï f(x1(t1, . . . , tk), . . . , xn(t1, . . . , tk)) ­¥¯à¥à뢭  ¢â®çª¥ (t01, . . . , t0k).

�⬥⨬, çâ® ¢­ãâ७­¨¥ ä㭪樨 x1, . . . , xn ¬®£ãâ ¡ëâìäã­ªæ¨ï¬¨ ®â à §­®£® ç¨á«  ¯¥à¥¬¥­­ëå; ­ ¯à¨¬¥à, x1 == x1(t1, t2), x2 = x2(t1, t2, t3), x3 = x3(t1, t2, . . . , t10). �®£¤ ¢ ª ç¥á⢥ k ¬®¦­® ¢§ïâì ­ ¨¡®«ì襥 ¨§ íâ¨å ç¨á¥«; ¢ ­ è¥¬á«ãç ¥ k = 10.

�âá ¨ ¨§ ­¥¯à¥à뢭®áâ¨ í«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権 ®¤-­®© ¯¥à¥¬¥­­®© á«¥¤ã¥â, çâ® «î¡ ï á㯥௮§¨æ¨ï í«¥¬¥­â à-

23­ëå ä㭪権 ®â ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢-­®© ¢ «î¡®© â®çª¥, ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠ª®â®à®© ®­  ¢ë-à ¦ ¥âáï ä®à¬ã«®© ç¥à¥§ í«¥¬¥­â à­ë¥ ä㭪樨. � ¯à¨¬¥à,f(x, y) = ln(1 + sin2(exy − 3) − x5 − y4) ­¥¯à¥à뢭  ¢ «î¡®©â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨, ¢ ª®â®à®© ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯®¤ §­ ª®¬ «®£ à¨ä¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­®.

§ 2. �áá«¥¤®¢ ­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪権�ᥠ¯à¨¬¥àë í⮣® ¯ à £à ä  ä®à¬ã«¨àãîâáï ®¤¨­ ª®¢®:

­ ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤ ­­®© ä㭪樨. �â® §­ ç¨â,çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ (x0, y0) â ª®©, çâ® f(x, y) ®¯à¥¤¥«¥­  ¢­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨, ­ã¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì, ï¥âáï «¨f(x, y) ­¥¯à¥à뢭®© ¢ í⮩ â®çª¥ (â.¥. ®¯¨á âì ¢á¥ â®çª¨ ­¥-¯à¥à뢭®á⨠¨ â®çª¨ à §à뢠).

�ਬ¥à 2.1. f(x, y) ={

(x2 + y2)xy, x2 + y2 > 0;1, x = y = 0.

� ª ª ª ¯à¨ x2 + y2 > 0 f(x, y) = exy ln(x2+y2), â® ¢ ª ¦-¤®© â ª®© â®çª¥ äã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥¯à¥à뢭  ª ª á㯥௮§¨æ¨ïí«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権. �áâ ñâáï ¨áá«¥¤®¢ âì ¯à¥¤¥« äã­ª-樨 ¢ â®çª¥ (0, 0).

�ãáâì g(x, y) = xy ln(x2 + y2). �¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à-¤¨­ â ¬.

|g(ρ cosϕ, ρ sinϕ)| = |ρ2 cosϕ · sinϕ · ln ρ2| 6 2ρ2| ln ρ|(§¤¥áì ¬ë ã竨, çâ® ln ρ < 0 ¯à¨ 0 < ρ < 1).

� ª ¨§¢¥áâ­®, limρ→+0

ρ2 ln ρ = 0, ¯®í⮬ã limx→0y→0

g(x, y) = 0.

�® ⥮६¥ ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯®¤ §­ ª®¬ ­¥¯à¥à뢭®©ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© (ã⢥ত¥­¨¥ 1.3), lim

x→0y→0

f(x, y) =

= exp(limx→0y→0

g(x, y)) = e0 = 1. �­ ç¨â, f(x, y) ­¥¯à¥à뢭  ¢ â®çª¥

(0, 0). �â ª, f(x, y) ­¥¯à¥à뢭  ¢ «î¡®© â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨.

�ਬ¥à 2.2. f(x, y) ={

x sin 1y , y 6= 0;

0, y = 0(á¬. ã¯à ¦­¥-

­¨¥ 1.2).

24

 ) �ã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥¯à¥à뢭  ¢ «î¡®© â®çª¥ (x0, y0), £¤¥y0 6= 0 (ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ í«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥-¬¥­­®©).

¡) � «¥¥, limx→0y→0

x sin 1y = 0 (¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­®

¬ «®© ä㭪樨 x ­  ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î ϕ(y) =

={

sin 1y , y 6= 0;

0, y = 0). �­ ç¨â, lim

x→0y→0

f(x, y) = f(0, 0), ¨ äã­ªæ¨ï

f(x, y) ­¥¯à¥à뢭  ¢ â®çª¥ (0, 0).¢) � áᬮâਬ, ­ ª®­¥æ, â®çªã (x0, 0), £¤¥ x0 6= 0. �®ª -

¦¥¬, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â limx→x0y→0

f(x, y). �᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥« áã-

é¥á⢮¢ « ¨ à ¢­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠â®-祪 (xk, yk) â ª®©, çâ® lim

k→∞(xk, yk) = (x0, 0) ¨ (xk, yk) 6= (x0, 0),

¢ë¯®«­ï«®áì ¡ë à ¢¥­á⢮ limk→∞

(xk, yk) = b. �® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì-

­®á⨠(x′k, y′k) ¨ (x′′k, y

′′k), £¤¥ x′k = x0, y′k = 1

2πk + π2

; x′′k = x0,

y′′k = 12πk − π

2, k = 1, 2, . . . , 㤮¢«¥â¢®àïîâ ­ã¦­ë¬ ãá«®¢¨ï¬,

  f(x′k, y′k) = x0, f(x′′k, y

′′k) = −x0, â.¥. b = x0 = −x0. � ª ª ª

x0 6= 0, â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â,çâ® f(x, y) à §à뢭  ¢ â®çª¥ (x0, 0).

�ਬ¥à 2.3. f(x, y) ={

x arctg x− arctg yx− y , x 6= y;

0, x = y. ) �ã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥¯à¥à뢭  ¢ «î¡®© â®çª¥ (x0, y0), £¤¥

y0 6= x0 (ª ª १ã«ìâ â ¯à¨¬¥­¥­¨ï  à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à æ¨©ª í«¥¬¥­â à­ë¬ äã­ªæ¨ï¬ ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©).

¡) �® ⥮६¥ � £à ­¦  ¤«ï «î¡ëå x, y ¢ë¯®«­ï¥âáï à -¢¥­á⢮ arctg x − arctg y = 1

1 + ξ2 (x − y), £¤¥ â®çª  ξ «¥¦¨â¬¥¦¤ã x ¨ y. � ª ª ª 0 < 1

1 + ξ2 6 1, â® | arctg x−arctg y| 6 |x−− y| ¤«ï «î¡ëå x ¨ y. �®£¤  f(x, y) = x · ϕ(x, y), £¤¥ ϕ(x, y) =

={ arctg x− arctg y

x− y , x 6= y;0, x = y.

�­ ç¨â, limx→0y→0

f(x, y) = 0 (¯à®¨§¢¥-

¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樨 x ­  ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î

25

ϕ(x, y); ¨§ ¯à¨¢¥¤ñ­­®© ¢ëè¥ ®æ¥­ª¨ á«¥¤ã¥â, çâ® |ϕ(x, y)| 6 1¯à¨ ¢á¥å x, y).

�â ª, limx→0y→0

f(x, y) = f(0, 0), ¨ äã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥¯à¥à뢭  ¢

â®çª¥ (0, 0).¢) � áᬮâਬ, ­ ª®­¥æ, â®çªã (x0, x0), £¤¥ x0 6= 0. �®-

ª ¦¥¬, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â limx→x0y→x0

f(x, y). �᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥«

áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâ¨â®ç¥ª (xk, yk) â ª®©, çâ® lim

k→∞(xk, yk) = (x0, x0) ¨ (xk, yk) 6=

6= (x0, x0) ¢ë¯®«­ï«®áì ¡ë à ¢¥­á⢮ limk→∞

f(xk, yk) = b.

x

y

0

(x0, x0 + 1

k

)

(xk, xk)y0 = x0

x0

�¨á. 2.3

�® (á¬. à¨á. 2.3), ¥á«¨ ¢§ïâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠(xk, xk),xk = x0 + 1

k , ¨(x0, x0 + 1

k

), k = 1, 2, . . . , â® ®­¨ 㤮¢«¥â-

¢®àïîâ ­ã¦­ë¬ ãá«®¢¨ï¬. �⬥⨬, çâ® f(xk, xk) = 0,  

limk→∞

f(x0, x0 + 1

k

)= x0 lim

k→∞

arctg(x0 + 1

k

)− arctg x0

1k

.

�®á«¥¤­¨© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ ¯à®¨§¢®¤­®© ä㭪樨 arctg x ¢â®çª¥ x0, â.¥. 1

1 + x20. �®í⮬ã b = 0 = x0

1 + x20. � ª ª ª x0 6= 0,

â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f(x, y)à §à뢭  ¢ â®çª¥ (x0, x0).

�ਬ¥à 2.4. f(x, y) ={

xy, x ∈ Q, y ∈ Q;0, x 6∈ Q ¨«¨ y 6∈ Q.

26

� ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®¬  ­ «¨§¥ ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©¢ à §«¨ç­ëå ª®­âà¯à¨¬¥à å ¢áâà¥ç ¥âáï äã­ªæ¨ï �¨à¨å«¥:D(x) =

{1, x ∈ Q,0, x 6∈ Q. � áᬠâਢ ¥¬ ï äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥-

६¥­­ëå ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ äã­ªæ¨î �¨à¨å«¥: f(x, y) == xyD(x)D(y).

 ) � áᬮâਬ â®çªã, «¥¦ éãî ­  ª®®à¤¨­ â­ëå ®áïå, â.¥.â®çªã (x0, y0) â ªãî, çâ® x0y0 = 0, â.¥. å®âï ¡ë ®¤­® ¨§ §­ ç¥-­¨© x0 ¨«¨ y0 ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì. �ãáâì, ¤«ï ®¯à¥¤¥«ñ­­®áâ¨,x0 = 0. �®£¤ , ¥á«¨ ¢§ïâì ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ (0, y0) à ¤¨ãá  1,â® ¢ ­¥© |y| < |y0|+ 1, ¨ |yD(x)D(y)| < |y0|+ 1. �®í⮬ã äã­ª-æ¨ï f(x, y) ¥áâì ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樨 x ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î yD(x)D(y). �­ ç¨â, lim

x→0y→y0

f(x, y) = 0 =

= f(0, y0). �ã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥¯à¥à뢭  ¢ à áᬠâਢ ¥¬®©â®çª¥.

¡) � áᬮâਬ â®çªã, ­¥ «¥¦ éãî ­  ª®®à¤¨­ â­ëå ®áïå,â.¥. â®çªã (x0, y0) â ªãî, çâ® x0y0 6= 0. �®ª ¦¥¬, çâ® ­¥ áã-é¥áâ¢ã¥â lim

x→x0y→y0

f(x, y). �᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢-

­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠â®ç¥ª (xk, yk) â ª®©,çâ® lim

k→∞(xk, yk) = (x0, y0) ¨ (xk, yk) 6= (x0, y0), ¢ë¯®«­ï«®áì ¡ë

à ¢¥­á⢮ limk→∞

f(xk, yk) = b. �® ¤«ï «î¡ëå ¤¥©á⢨⥫ì­ëåç¨á¥« x0, y0 ­ ©¤ãâáï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠à æ¨®­ «ì­ëå ç¨-ᥫ x′k, y′k, ¨àà æ¨®­ «ì­ëå ç¨á¥« x′′k, y′′k â ª¨¥, çâ® lim

k→∞x′k =

= x0, limk→∞

x′′k = x0, x′k 6= x0, x′′k 6= x0; limk→∞

y′k = y0, limk→∞

y′′k =

= y0, y′k 6= y0, y′′k 6= y0. �®£¤  ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠â®ç¥ª (x′k, y′k)

¨ (x′′k, y′′k) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ­ã¦­ë¬ ãá«®¢¨ï¬; f(x′k, y

′k) = x′ky

′k;

limk→∞

f(x′k, y′k) = x0y0, f(x′′k, y

′′k) = 0. �®í⮬ã b = x0y0 = 0.

� ª ª ª x0y0 6= 0, â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f(x, y) à §à뢭  ¢ â®çª¥ (x0; y0).

�¯à ¦­¥­¨¥ 2.1. � ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤ ­-­®© ä㭪樨:

 ) f(x, y) =

{(3√

x2 + y2)x+y

, x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;

27

¡) f(x, y) ={

(x2 + y2) cos 1x2 , x 6= 0,

0, x = 0;

¢) f(x, y) =

{x3y − x2y2

x3 − y3 , x 6= y,0, x = y;

£) f(x, y) ={

x2 + y2, x ∈ Q, y ∈ Q,0, x 6∈ Q ¨«¨ y 6∈ Q.

III. ������������������ ����������������� ����������

§1. � áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥�¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.1. � áâ­®© ¯à®¨§¢®¤­®© ¯® x ä㭪樨

¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå f(x, y) ¢ â®çª¥ (x0, y0) ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®¤-­ ï ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© f(x, y0) ¢ â®çª¥ x0. � áâ­®©¯à®¨§¢®¤­®© ¯® y ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå f(x, y) ¢ â®çª¥(x0, y0) ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®¤­ ï ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©f(x0, y) ¢ â®çª¥ y0 (¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® í⨠¯à®¨§¢®¤­ë¥ áã-é¥áâ¢ãîâ ¨ ª®­¥ç­ë).

�¨¬¢®«¨ç¥áª¨ í⨠®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ­ë â ª∂f

∂x(x0, y0) =

d

dxf(x, y0)

∣∣∣x=x0

;

∂f

∂y(x0, y0) =

d

dyf(x0, y)

∣∣∣y=y0

.

(3.1)

�«ï ç áâ­®© ¯à®¨§¢®¤­®© ¯® x ¢ â®çª¥ (x0, y0) ¯à¨¬¥­ï-¥âáï ᨬ¢®« ∂f

∂x (x0, y0) ≡ f ′x(x0, y0). �«ï ç áâ­®© ¯à®¨§¢®¤-­®© ¯® y ¢ â®çª¥ (x0, y0) ¯à¨¬¥­ï¥âáï ᨬ¢®« ∂f

∂y (x0, y0) ≡≡ f ′y(x0, y0). �¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥­á⢠(3.1) ®§­ ç ¥â, çâ® ¤«ï ¢ë-ç¨á«¥­¨ï ∂f

∂x (x0, y0) ­ã¦­® § ä¨ªá¨à®¢ âì ¯¥à¥¬¥­­ãî y == y0, ¨ ¯®«ã祭­ãî äã­ªæ¨î ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© f(x, y0) ¯à®-¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ âì ¯® í⮩ ¯¥à¥¬¥­­®© x ¢ â®çª¥ x0. �¯¥-à æ¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© x ®¡®-§­ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ d

dx . �­ «®£¨ç­® ®¡êïá­ï¥âáï ¢â®à®¥ ¨§à ¢¥­á⢠(3.1).

�᫨ ¢á¯®¬­¨âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à®¨§¢®¤­®© ä㭪樨 ®¤­®©¯¥à¥¬¥­­®©, â® à ¢¥­á⢠ (3.1) ¬®¦­® § ¯¨á âì â ª

∂f

∂x(x0, y0) = lim

∆x→0

f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)∆x

;

∂f

∂y(x0, y0) = lim

∆y→0

f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0)∆y

29

(í⨬¨ à ¢¥­á⢠¬¨ ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ §­ ç¥­¨ï ¯à®¨§¢®¤­®© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥-¬¥­­®© ­¥«ì§ï ¢ëç¨á«¨âì ¯® ¨§¢¥áâ­ë¬ ä®à¬ã« ¬ ¤¨ää¥à¥­-æ¨à®¢ ­¨ï).

� ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ç áâ­ãî¯à®¨§¢®¤­ãî ä㭪樨 f(x1, . . . , xn) ¯® ¯¥à¥¬¥­­®© xi ¢ â®çª¥(x0

1, . . . , x0n) ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª

∂f

∂xi(x0

1, . . . , x0n) =

d

dxif(x0

1, . . . , x0i−1, xi, x

0i+1, . . . , x0

n)∣∣∣xi=x0

i

.

� ­ áâ®ï饬 ¯®á®¡¨¨ ¬ë ¢ ®á­®¢­®¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âìä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå.

�᫨ ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0, y0), äã­ªæ¨ïf(x, y) ï¥âáï á㯥௮§¨æ¨¥© í«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権, â®ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¬®¦­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ®¡ëç­ë¬ ä®à¬ã-« ¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï, áç¨â ï ®¤­ã ¨§ ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯ à ¬¥â-஬. � ¯à¨¬¥à,∂

∂x(3x2y3 + ex + ln(x− sin y)) = 6xy3 + ex +

1x− sin y

;

∂

∂y(3x2y3 + ex + ln(x− sin y)) = 9x2y2 − cos y

x− sin y;

∂

∂x

(x2 − y2

x2 + y2

)=

(x2 + y2) · 2x− (x2 − y2) · 2x

(x2 + y2)2;

∂

∂y

(x2 − y2

x2 + y2

)=−2y(x2 + y2)− (x2 − y2) · 2y

(x2 + y2)2.

�®á«¥¤­¨¥ ¤¢  à ¢¥­á⢠ ¢ë¯®«­ïîâáï ¢® ¢á¥å â®çª å, ªà®¬¥(0, 0). �᫨ ¦¥ ¤®®¯à¥¤¥«¨âì äã­ªæ¨î

f(x, y) =

{x2 − y2

x2 + y2 , x2 + y2 > 0;1, x = y = 0,

â® ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¢ â®çª¥ (0, 0) ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì ®¯ïâì-â ª¨ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î. �¬¥¥¬

∂f

∂x(0, 0) =

d

dxf(x, 0)

∣∣∣x=0

.

30

�® f(x, 0) ={

1, x 6= 0,1, x = 0, â.¥. f(x, 0) = 1 ¯à¨ ¢á¥å x. �à®-

¨§¢®¤­ ï â ª®© ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© x à ¢­  0 ¢ «î-¡®© â®çª¥, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¯à¨ x = 0. �­ ç¨â, ∂f

∂x (0, 0) = 0. �

¤à㣮© áâ®à®­ë, ∂f∂y (0, 0) = d

dy f(0, y)∣∣∣y=0

. � ª ª ª f(0, y) =

={−1, y 6= 0;

1, y = 0, â® íâ  äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© y ­¥ ¨¬¥¥â

¯à®¨§¢®¤­®© ¢ â®çª¥ y = 0. �­ ç¨â, ∂f∂y (0, 0) ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.

�­®£¤  ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢ â®çª¥ ¯à¨-室¨âáï ¢ëç¨á«ïâì ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©.

�ਬ¥à 3.1. �ëç¨á«¨âì ∂f∂x ¨ ∂f

∂y ¢® ¢á¥å â®çª å ¯«®áª®á⨤«ï ä㭪樨

f(x, y) =

{exp

(− 1

x2 + y2

), x2 + y2 > 0;

0, x = y = 0.

�áî¤ã, ªà®¬¥ â®çª¨ (0, 0)

∂f

∂x= exp

(− 1

x2 + y2

)· 2x

(x2 + y2)2;

∂f

∂y= exp

(− 1

x2 + y2

)· 2y

(x2 + y2)2.

� «¥¥, ∂f∂x (0, 0) = d

dx f(x, 0)∣∣∣x=0

.

�® f(x, 0) =

{exp

(− 1

x2

), x 6= 0;

0, x = 0.�ந§¢®¤­ãî â ª®© ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¢ â®çª¥ x =

= 0 ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì ⮫쪮 ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨îd

dxf(x, 0)

∣∣∣x=0

= lim∆x→0

f(∆x)− f(0)∆x

=

= limt→0

exp(− 1

t2

)

t= lim

u→∞e−u2

1u

= limu→∞

u

eu2 .

31

�®«ã祭­ãî ­¥®¯à¥¤¥«ñ­­®áâì ¢¨¤  ∞∞ à áªà뢠¥¬ ¯® ¯à -¢¨«ã �®¯¨â «ï: lim

u→∞1

eu2 · 2u= 0. �­ ç¨â, ∂f

∂x (0, 0) = 0. �­ -

«®£¨ç­®, ∂f∂y (0, 0) = 0.

�᫨ äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥(çâ® à ¢­®á¨«ì­® áãé¥á⢮¢ ­¨î ª®­¥ç­®© ¯à®¨§¢®¤­®©), â®®­  ­¥¯à¥à뢭  ¢ í⮩ â®çª¥. �¡à â­®¥ ­¥¢¥à­® (­ ¯à¨¬¥à,äã­ªæ¨ï |x| ­¥¯à¥à뢭 , ­® ­¥ ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®¤­®© ¢ â®çª¥ 0).�«ï ä㭪権 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ¤¥«® ®¡á⮨â á«®¦­¥¥.

�ਬ¥à 3.2. � áᬮâਬ äã­ªæ¨î

f(x, y) =

{(x + y)2

x2 + y2 , x2 + y2 > 0;1, x = y = 0.

�â  äã­ªæ¨ï ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ (0, 0) (á¬.¯à¨¬¥à 1.1). �¬¥á⥠á ⥬,

∂f

∂x(0, 0) =

d

dxf(x, 0)

∣∣∣x=0

= 0,

â ª ª ª f(x, 0) ={

1, x 6= 0,1, x = 0, â.¥. f(x, 0) ≡ 1, ¨ ¯à®¨§¢®¤­ ï

í⮩ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¢ «î¡®© â®çª¥ à ¢­  0. �­ -«®£¨ç­®, ∂f

∂y (0, 0) = 0.� ª ¦¥ ¬®£«® ¯à®¨§®©â¨ â ª, çâ® äã­ªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ç áâ-

­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¢ â®çª¥, ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®©? � § -«®áì ¡ë, íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨, ¨¬¥î饩¯à®¨§¢®¤­ãî. �® ¤¥«® ¢ ⮬, çâ® ­ «¨ç¨¥ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤-­ëå ®§­ ç ¥â ýå®à®è¥¥þ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëåf(x, y) «¨èì ¯à¨ ä¨ªá¨à®¢ ­­®¬ x ¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ y. �¥®-¬¥âà¨ç¥áª¨ í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ªà¥áâã ¨§ ¤¢ãå ¯àï¬ëå, ¯ à «-«¥«ì­ëå ª®®à¤¨­ â­ë¬ ®áï¬, ¯à®å®¤ï騬 ç¥à¥§ â®çªã (x0, y0).�® ¢á¥å ®áâ «ì­ëå â®çª å ¨§ ®ªà¥áâ­®á⨠(x0, y0) äã­ªæ¨ï ¬®-¦¥â ¢¥á⨠ᥡï ᪮«ì 㣮¤­® ¯«®å®, ¤ ¦¥ ¬®¦¥â áâ६¨âìáï ª∞ ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬, ­¥ ᮢ¯ ¤ î騬 á ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬¨ ª®®à-¤¨­ â­ëå ®á¥©. �¥¯à¥à뢭®áâì ¦¥ ä㭪樨 ¢ â®çª¥ (x0, y0)®§­ ç ¥â ýå®à®è¥¥þ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ä㭪樨 ¢® ¢á¥© ý⮫á⮩þ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨. � ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ®¡¥

32

ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¢ â®çª¥, ®¡ï§ ­  ¡ëâì ­¥¯à¥à뢭®© ¯®ª ¦¤®© ¨§ ¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ í⮩ â®çª¥, ­® ­¥ ®¡ï§ ­  ¡ëâì ­¥-¯à¥à뢭®© ª ª äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå.

�ਬ¥à 3.3. �ã­ªæ¨ï f(x, y) = |x| + |y| ­¥¯à¥à뢭  ¢â®çª¥ (0, 0), ­® ∂f

∂x (0, 0) = ddx f(x, 0)

∣∣∣x=0

= ddx |x|

∣∣∣x=0

| ­¥ áã-

é¥áâ¢ã¥â. �­ «®£¨ç­®, ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ∂f∂y (0, 0).

� ª¨¬ ®¡à §®¬, ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï ­¥ ®¡ï§ ­  ¨¬¥âìç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥. �â® ­¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ­ è¨¬ á«®¦¨¢-訬áï ý®¤­®¬¥à­ë¬þ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï¬.

§ 2. �¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ä㭪樨 ¢ â®çª¥�ᯮ¬­¨¬, çâ® äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ­ §ë¢ ¥âáï

¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ x0, ¥á«¨ ¥ñ ¯à¨à é¥­¨¥ ¢ â®çª¥¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥∆f(x0) ≡ f(x0 + ∆x)− f(x0) = A∆x + o(∆x) ¯à¨ ∆x → 0.

� ªãàá å ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£®  ­ «¨§  ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¤¨ää¥-७æ¨à㥬®áâì ¢ â®çª¥ à ¢­®á¨«ì­  ­ «¨ç¨î ª®­¥ç­®© ¯à®¨§-¢®¤­®© ¢ â®çª¥, ¯à¨çñ¬ A = f ′(x0).

�­ «®£¨ç­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï ä㭪権 ­¥-᪮«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå.

�¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.2. �ã­ªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥­­ëå f(x1, . . . , xn)­ §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (x0

1, . . . , x0n), ¥á«¨ ¥ñ

¯à¨à é¥­¨¥ ¢ í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥∆f(x1, . . . , xn) ≡ f(x0

1 +∆x1, . . . , x0n +∆xn)−f(x0

1, . . . , x0n) =

= A1∆x1 + . . . + An∆xn + o(ρ)¯à¨ (∆x1, . . . , ∆xn) → (0, . . . , 0).

�¤¥áì ρ =√

(∆x1)2 + . . . + (∆xn)2 | äã­ªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥­­ëå∆x1, . . . , ∆xn.

�§ ªãàá   ­ «¨§  ¨§¢¥áâ­ë�¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâ¨.

�᫨ äã­ªæ¨ï f(x1, . . . , xn) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥(x0

1, . . . , x0n), â® ®­  ­¥¯à¥à뢭  ¢ í⮩ â®çª¥ ¨ ¨¬¥¥â

33¢ í⮩ â®çª¥ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ¢á¥¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬∂f∂xi

(x01, . . . , x0

n) = Ai, i = 1, 2, . . . , n.�⨠­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ­¥ ïîâáï ¤®áâ â®ç­ë¬¨.�ਬ¥à 3.4. �ã­ªæ¨ï f(x, y) =

√|xy| ­¥¯à¥à뢭  ¢ â®çª¥

(0, 0) ¨ ¨¬¥¥â ¢ í⮩ â®çª¥ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥-६¥­­ë¬, ­® ­¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ í⮩ â®çª¥.¤ �ã­ªæ¨ï ­¥¯à¥à뢭  ¢ â®çª¥ (0, 0) ª ª á㯥௮§¨æ¨ï ­¥¯à¥-à뢭ëå ä㭪権. � «¥¥,

∂f

∂x(0, 0) =

d

dxf(x, 0)

∣∣∣x=0

= 0,

â ª ª ª f(x, 0) ≡ 0 | ⮦¤¥á⢥­­® ­ã«¥¢ ï äã­ªæ¨ï ®¤­®©¯¥à¥¬¥­­®©. �­ «®£¨ç­® ∂f

∂y (0, 0) = 0.�®ª ¦¥¬, ­ ª®­¥æ, çâ® äã­ªæ¨ï ­¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨-

à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0). �à¨à é¥­¨¥ ä㭪樨 ¢ í⮩ â®çª¥∆f(0, 0) ≡ f(∆x,∆y)− f(0, 0) =

√|∆x∆y|.

�᫨ f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0), â® A1 = A2 = 0,¨ ∆f(0, 0) = o(ρ) ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0, â.¥.

lim∆x→0∆y→0

√|∆x∆y|√

(∆x)2 + (∆y)2= 0.

�® ¥á«¨ ¯¥à¥©â¨ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ∆x = ρ cosϕ, ∆y =

= ρ sinϕ, â®√|ρ cos ϕ · ρ sin ϕ|√

ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ=

√| cosϕ sinϕ|. �® à §­ë¬

­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ à §­ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §­ ç¨â, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áã-é¥áâ¢ã¥â, ¨ f(x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0). ¥

�®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâ¨. �᫨äã­ªæ¨ï f(x1, . . . , xn) ¨¬¥¥â ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ¢á¥¬ ¯¥-६¥­­ë¬ ∂f

∂x1, . . . , ∂f

∂xn, ­¥¯à¥àë¢­ë¥ ¢ â®çª¥ (x0

1, . . . , x0n)

ª ª ä㭪樨 n ¯¥à¥¬¥­­ëå, â® ®­  ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ í⮩â®çª¥.

�â® ¤®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ­¥ ï¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬ë¬.�ਬ¥à 3.5. �ã­ªæ¨ï f(x, y) = 3

√x2y2 ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 

¢ â®çª¥ (0, 0), ­® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ­¨ ®¤­®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨

34

(0, 0), ¢® ¢á¥å â®çª å ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«¥­ë ∂f∂x ¨ ∂f

∂y . �­ ç¨â, ­¥¬®¦¥â ¡ëâì ¨ à¥ç¨ ® ­¥¯à¥à뢭®á⨠∂f

∂x ¨ ∂f∂y ¢ â®çª¥ (0, 0).

¤ �à¨à é¥­¨¥ ä㭪樨 ¢ â®çª¥ (0, 0)

∆f(0, 0) ≡ f(∆x,∆y)− f(0, 0) = 3√

(∆x)2(∆y)2.

�¥à¥å®¤ï ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ∆x = ρ cosϕ, ∆y == ρ sinϕ, ¨¬¥¥¬: |∆f(0, 0)| = 3

√ρ4 cos2 ϕ sin2 ϕ 6 ρ4/3. �­ -

ç¨â, |∆f(0, 0)|ρ 6 ρ1/3. �® ã⢥ত¥­¨î 1.2 lim

∆x→0∆y→0

∆f(0, 0)ρ = 0,

â.¥. ∆f(0, 0) = o(ρ) ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0. �­ ç¨â, f(x, y) ¤¨ä-ä¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0) á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ A1 = A2 = 0(®âá á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ∂f

∂x (0, 0) = ∂f∂y (0, 0) = 0).

�®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ®á¨ y, ªà®¬¥ â®çª¨(0, 0), ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ∂f

∂x . � á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨ y0 6= 0

∂f

∂x(0, y0) =

d

dxf(x, y0)

∣∣∣x=0

=d

dx

(3

√x2y2

0

)∣∣∣x=0

=

= 3

√y20

d

dx( 3√

x2)∣∣∣x=0

= 3

√y20 · lim

∆x→0

3√

(∆x)2

∆x,

  ¯®á«¥¤­¨© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â. �­ «®£¨ç­®, ¢ ª ¦¤®©â®çª¥ ®á¨ x, ªà®¬¥ â®çª¨ (0, 0), ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ∂f

∂y . ¥�«ï § ¯®¬¨­ ­¨ï ­¥®¡å®¤¨¬ëå ãá«®¢¨© ¨ ¤®áâ â®ç­ëå

ãá«®¢¨© ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâ¨,   â ª¦¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨åª®­âà¯à¨¬¥à®¢, ¯®«¥§­  á«¥¤ãîé ï á奬  (á¬. à¨á. 3.4)

�¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.3. �ã­ªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥­­ëå f(x1, . . . , xn)­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥(x0

1, . . . , x0n), ¥á«¨ ¢á¥ ¥ñ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ∂f

∂x1, . . . ,

∂f∂xn

­¥¯à¥àë¢­ë ¢ í⮩ â®çª¥ ª ª ä㭪樨 n ¯¥à¥¬¥­­ëå.�®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠⥯¥àì ¬®¦¥â

¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ ­® â ª: ¥á«¨ äã­ªæ¨ï f(x1, . . . , xn) ­¥¯à¥-à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥, â® ®­  ¤¨ää¥-७æ¨à㥬  ¢ í⮩ â®çª¥.

35

ç áâ­ë¥¯à®¨§¢®¤­ë¥­¥¯à¥à뢭ë

áãé¥áâ¢ãîâç áâ­ë¥¯à®¨§¢®¤­ë¥

¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì

­¥¯à¥à뢭®áâì|x|+ |y|√|xy|

3√

x2y2{

(x + y)2

x2 + y2 , x2 + y2 > 0;1, x = y = 0

XXXXXXz ©©©©©¼

¡¡

¡µ

HHHHHHHHHY

�¨á. 3.4

§3. �¨ää¥à¥­æ¨ «. �­¢ à¨ ­â­®áâì ä®à¬ë¤¨ää¥à¥­æ¨ « 

� ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©, «¨­¥©-­ ï ç áâì ¯à¨à é¥­¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨 ­ §ë¢ -¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¬ ä㭪樨 ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¥. � -¯®¬­¨¬, çâ® ¯à¨à é¥­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨 ¯à¥¤-áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥

∆f(x01, . . . , x0

n) = A1∆x1 + . . . + An∆xn + o(ρ).

�¨­¥©­ ï ç áâì ¯à¨à é¥­¨ï A1∆x1+ . . .+An∆xn | íâ® ¨ ¥áâ줨ää¥à¥­æ¨ «. �¡®§­ ç ¥âáï íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ df(x0

1, . . . , x0n).

�à¨à é¥­¨ï ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ∆x1, . . . , ∆xn ¯à¨-­ïâ® ­ §ë¢ âì ¨å ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ¬¨ ¨ ®¡®§­ ç âì dx1, . . . ,dxn. � ª ª ª ¤«ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨 Ai == ∂f

∂xi(x0

1, . . . , x0n), â®

df =∂f

∂x1dx1 + . . . +

∂f

∂xndxn (3.2)

(df ¨ §­ ç¥­¨ï ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå à áᬠâਢ îâáï ¢ â®çª¥(x0

1, . . . , x0n)).

36

�¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६  ® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠᫮¦­®©ä㭪樨.

�ãáâì äã­ªæ¨ï f(x1, . . . , xn) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥(x0

1, . . . , x0n),   ä㭪樨 x1(t1, . . . , tk), . . . , xn(t1, . . . , tk)

¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë ¢ â®çª¥ (t01, . . . , t0k). �®£¤ , ¥á«¨ x01 =

= x1(t01, . . . , t0k), . . . , x0n = xn(t01, . . . , t0k), â® á«®¦­ ï äã­ª-

æ¨ï f(x1(t01, . . . , t0k), . . . , xn(t01, . . . , t0k)) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢â®çª¥ (t01, . . . , t0k), ¯à¨çñ¬ ¤«ï ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå í⮩ä㭪樨 ¯® ¯¥à¥¬¥­­ë¬ t1, . . . , tk ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ä®à¬ã«ë:

∂f

∂ti=

∂f

∂x1· ∂x1

∂ti+ . . .+

∂f

∂xn· ∂xn

∂ti=

n∑

j=1

∂f

∂xj

∂xj

∂ti, i = 1, 2, . . . , k.

� áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ¯¥à¥¬¥­­ë¬ ti ¡¥àãâáï ¢ â®çª¥(t01, . . . , t0k),   ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ¯¥à¥¬¥­­ë¬ xj | ¢â®çª¥ (x0

1, . . . , x0n).

�⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ¢á¥ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ä㭪樨 ­¥ ¤¨ä-ä¥à¥­æ¨à㥬ë,   ¢á¥£® «¨èì ¨¬¥îâ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¢ á®-®â¢¥âáâ¢ãîé¨å â®çª å, â® á«®¦­ ï äã­ªæ¨ï ¬®¦¥â ¨ ­¥ ¨¬¥âìç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå. � áᬮâਬ, ­ ¯à¨¬¥à, á«ãç © n = 2,k = 1. �᫨ äã­ªæ¨ï f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (x0, y0),  ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© x = x(t), y = y(t) ¤¨ää¥à¥­æ¨-àã¥¬ë ¢ â®çª¥ t0, ¯à¨çñ¬ x0 = x(t0), y0 = y(t0), â® á«®¦-­ ï äã­ªæ¨ï f(x(t), y(t)) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ t0, ¯à¨-çñ¬ df

dt = ∂f∂x

dxdt + ∂f

∂ydydt .

�ã­ªæ¨ï f(x, y) =√|xy| ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥

(0, 0), ­® ¨¬¥¥â ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ (¯à¨¬¥à 3.4). �᫨ ¢§ïâìx = t, y = t (¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¥ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©),â® á«®¦­ ï äã­ªæ¨ï f(x(t), y(t)) = |t| ­¥ ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®¤­®© ¢â®çª¥ t = 0. �â®â ä ªâ ï¥âáï ª®á¢¥­­ë¬ ¤®ª § â¥«ìá⢮¬â®£®, çâ® äã­ªæ¨ï

√|xy| ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

�¨ää¥à¥­æ¨ « ä㭪樨 n ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëåf(x1, . . . , xn) ¢ëà ¦ ¥âáï à ¢¥­á⢮¬ (3.2), £¤¥ dx1, . . . , dxn

| ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå. �᫨ áç¨â âì⥯¥àì, çâ® df | ¤¨ää¥à¥­æ¨ « á«®¦­®© ä㭪樨 k ­¥§ ¢¨-

37ᨬëå ¯¥à¥¬¥­­ëå t1, . . . , tk, â®

df =k∑

i=1

∂f

∂tidti =

k∑

i=1

n∑

j=1

∂f

∂xj

∂xj

∂ti

dti =

=n∑

j=1

∂f

∂xj

(k∑

i=1

∂xj

∂tidti

)=

n∑

j=1

∂f

∂xjdxj .

�®«ã稫®áì à ¢¥­á⢮,  ­ «®£¨ç­®¥ (3.2), ⮫쪮 §¤¥áì dxj

| ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë ä㭪権 xj(t1, . . . , tk). �®¢¯ ¤¥­¨¥ ¯®ä®à¬¥ ¯®«ã祭­®£® à ¢¥­á⢠ ¨ (3.2) ­ §ë¢ ¥âáï ¨­¢ à¨ ­â-­®áâìî ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ «  ®â­®á¨â¥«ì­® § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­-­ëå. �â®â 䠪⠬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¢.

�ਬ¥à 3.6. �®ª § âì, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëåä㭪権 ¯à®¨§¢®«ì­®£® ç¨á«  ¯¥à¥¬¥­­ëå

d(u

v

)=

v du− u dv

v2

¢ â®çª å, £¤¥ §­ ¬¥­ â¥«ì ­¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì.¤ �«ï ä㭪権 ¤¢ãå ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå f(x, y) = x

y

ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ∂f∂x = 1

y , ∂f∂y = − x

y2 . � ª ª ª í⨠ç áâ­ë¥¯à®¨§¢®¤­ë¥ ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ â®çª å, £¤¥ y 6= 0, â® äã­ªæ¨ï¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 , ¨

df =1y

dx− x

y2dy.

� ᨫ㠨­¢ à¨ ­â­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « , ¤«ï á«®¦­®©ä㭪樨 f(u, v) = u

v ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ¡ã¤¥â

df =1v

du− u

v2dv =

v du− u dv

v2. ¥

�   ¬ ¥ ç   ­ ¨ ¥. �᫨ u, v | ¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¥ äã­ª-樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©, â® à ¢¥­á⢮ ¨§ ¯à¨¬¥à  3.6 ¢ë⥪ ¥â¨§ ä®à¬ã«ë ¯à®¨§¢®¤­®© ç áâ­®£®. � ®¡é¥¬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï

38

¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¨­¢ à¨ ­â­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « . �­ «®-£¨ç­® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå äã­ª-権 ¯à®¨§¢®«ì­®£® ç¨á«  ¯¥à¥¬¥­­ëå

d(uv) = u dv + v du.

�ਬ¥à 3.7. �¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥­¨¥ d(arctg u

v

), £¤¥ u

v |¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¥ ä㭪樨 ¯à®¨§¢®«ì­®£® ç¨á«  ¯¥à¥¬¥­-­ëå, ¯à¨çñ¬ §­ ¬¥­ â¥«ì ­¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì.

�«ï ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© f(x) = arctg x

df = f ′(x) dx =dx

1 + x2.

� ᨫ㠨­¢ à¨ ­â­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ,

d(arctg

u

v

)=

d(

uv

)

1 + u2

v2

=v2

v2 + u2· v du− u dv

v2=

v du− u dv

u2 + v2.

§ 4. �®à¬ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥�®¤ ä®à¬ «ì­ë¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬ ¯®­¨¬ ¥âáï ¢ë-

ç¨á«¥­¨¥ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¢ ¢ â¥å á«ã-ç ïå, ª®£¤  ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠à áᬠâਢ ¥¬®© â®çª¨äã­ªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨æ¨¨ í«¥¬¥­â à­ëåä㭪権 ¨ § ¢¥¤®¬® ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 . �ëç¨á«¥-­¨¥ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¢ ᢮¤¨âáï ⮫쪮ª ¯à¨¬¥­¥­¨î ¨§¢¥áâ­ëå ä®à¬ã« ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï äã­ª-権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¨ ª  à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬ ®¯¥à æ¨ï¬.

�ਬ¥à 3.8. �ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ä㭪樨f(x, y) = exy−π sin y:  ) ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¥ (x, y); ¡) ¢ â®çª¥(1, π).

�¥à¢ë© ᯮᮡ. � ©¤ñ¬ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¤ ­­®©ä㭪樨:

∂f

∂x= y · exy−π sin y,

∂f

∂y= (x− π cos y) · exy−π sin y,

∂f

∂x(1, π) = πeπ,

∂f

∂y(1, π) = (1 + π)eπ.

39�®í⮬ã:

 ) df(x, y) = yexy−π sin ydx + (x− π cos y)exy−π sin ydy;

¡) df(1, π) = πeπdx + (1 + π)eπdy.

�â®à®© ᯮᮡ. �«ï ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© f(u) == eu ¤¨ää¥à¥­æ¨ « df = eu du. � ᨫ㠨­¢ à¨ ­â­®á⨠ä®à¬ë¤¨ää¥à¥­æ¨ « :

 ) df(x, y) = exy−π sin y d(xy−π sin y) = exy−π sin y(y dx+x dy−− π cos y dy) = yexy−π sin ydx + (x− π cos y)exy−π sin ydy.

�â®â ᯮᮡ ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«ïâì ¤¨ää¥à¥­æ¨ « á«®¦­®©ä㭪樨 ¡¥§ ­¥¯®á।á⢥­­®£® ­ å®¦¤¥­¨ï ¥ñ ç áâ­ëå ¯à®-¨§¢®¤­ëå. �¬¥áâ® ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨© ¯à®¢®¤¨âáï ®¤­®,¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª®¥. �â®â ᯮᮡ ⥬¢ë£®¤­¥¥, 祬 ¡®«ì襥 ç¨á«® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ï-îâáï  à£ã¬¥­â ¬¨ ä㭪樨. � ¯à¨¬¥à, ¤«ï ä㭪樨 ¯ï⨯¥à¥¬¥­­ëå ¢¬¥áâ® ¯ï⨠¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨© ­ã¦­® ¯à®¢®-¤¨âì ¢á¥£® ®¤­® | í⮠㦥 áãé¥á⢥­­®¥ ®¡«¥£ç¥­¨¥. � á ¬¨ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥, ¥á«¨ ®­¨ ­ã¦­ë, ¬®£ãâ ¡ëâì ᮡ࠭몠ª ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ « å ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥-¬¥­­ëå. � ­ è¥¬ ¯à¨¬¥à¥

∂f

∂x= yexy−π sin y;

∂f

∂y= (x− π cos y)exy−π sin y.

¡) df(1, π) = πeπdx + (1 + π)eπdy.

�ਬ¥à 3.9. �ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ä㭪樨f(x, y, z) =

(xy

)1/z¢ â®çª¥ (1, 1, 1).

�¥à¢ë© ᯮᮡ. �।áâ ¢¨¬ äã­ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨-樨 í«¥¬¥­â à­ëå:

f(x, y, z) = exp(

1z

lnx

y

).

40

� ©¤ñ¬ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥:

∂f

∂x= exp

(1z

lnx

y

)1z

y

x

1y

=1xz

(x

y

)1/z

;

∂f

∂y= exp

(1z

lnx

y

)1z

y

x

(− x

y2

)= − 1

yz

(x

y

)1/z

;

∂f

∂z= exp

(1z

lnx

y

)ln

x

y

(− 1

z2

)= − 1

z2ln

x

y

(x

y

)1/z

;

∂f

∂x(1, 1, 1) = 1;

∂f

∂y(1, 1, 1) = −1;

∂f

∂z(1, 1, 1) = 0; df(1, 1, 1) = dx− dy.

�â®à®© ᯮᮡ. d(eu) = eu du, ¯®í⮬㠢 ᨫ㠨­¢ à¨ ­â-­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « 

df(x, y, z) = exp(

1z

lnx

y

)d

(1z

lnx

y

)=

=(

x

y

)1/z

·[1z

d

(ln

x

y

)+ ln

x

y· d

(1z

)].

� ª ª ª d(lnu) = 1u du, â® ¢ ᨫ㠨­¢ à¨ ­â­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ä-

ä¥à¥­æ¨ « 

d

(ln

x

y

)=

y

xd

(x

y

)=

y

x· y dx− x dy

y2=

y dx− x dy

xy.

�®í⮬ã

df(x, y, z) =(

x

y

)1/z (y dx− x dy

xyz− 1

z2ln

x

y

);

df(1, 1, 1) = dx− dy.

�®à¬ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ ¯à¨¬¥­ï¥âáï ¯à¨ ¢ë¯®«-­¥­¨¨ § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨ïå áç áâ­ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨.

41�ਬ¥à 3.10. �८¡à §®¢ âì ãà ¢­¥­¨¥, ¯à¨­¨¬ ï ξ, η § 

­®¢ë¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥:

∂z

∂x=

∂z

∂y, ξ = x + y, η = x− y.

�«ï í⮣® ­ã¦­® ¢ëà §¨âì ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ®â äã­ª-樨 z ¯® ýáâ àë¬þ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ x, y ç¥à¥§ ¥ñç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ý­®¢ë¬þ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ ξ,η. �® ä®à¬ã«¥ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå á«®¦­®© ä㭪樨 ¨¬¥¥¬

∂z

∂x=

∂z

∂ξ

∂ξ

∂x+

∂z

∂η

∂η

∂x=

∂z

∂ξ+

∂z

∂η;

∂z

∂y=

∂z

∂ξ

∂ξ

∂y+

∂z

∂η

∂η

∂y=

∂z

∂ξ− ∂z

∂η.

�®¤áâ ¢«ïï ¢ ãà ¢­¥­¨¥, ¯®«ã稬

∂z

∂ξ+

∂z

∂η=

∂z

∂ξ− ∂z

∂η.

� ­®¢ëå ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ãà ¢­¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤∂z∂η = 0.

�¥è¥­¨ï¬¨ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ïîâáï ¢á¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨àã-¥¬ë¥ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ξ, ¯®í⮬㠮¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨­ïâ® § ¯¨á뢠âì ¢ ¢¨¤¥ z = f(x + y), £¤¥ f |¯à®¨§¢®«ì­ ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©.

� ¤ ç  ­¥áª®«ìª® ãá«®¦­ï¥âáï, ¥á«¨ ® § ¤ ­® ¢ëà ¦¥-­¨¥ ýáâ àëåþ ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ç¥à¥§ ­®¢ë¥,   ®¡à â-­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ ®¬ ¢¨¤¥ ­ ¯¨á âì á«®¦­® ¨«¨ ­¥ 㤠ñâá®¡é¥.

�ਬ¥à 3.11. �¥è¨âì ãà ¢­¥­¨¥ x ∂u∂y − y ∂u

∂x = 0, ¯à¥®¡-à §®¢ ¢ ¥£® ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ x = r cosϕ, y = r sinϕ.

�¡à â­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ r, ϕ ç¥à¥§ x, y £à®¬®§¤ª® ¨ ­¥®¤­®-§­ ç­®, ¯®í⮬㠢ëà §¨¬ á­ ç «  ∂u

∂r ¨ ∂u∂ϕ ç¥à¥§ ∂u

∂x ¨ ∂u∂y ,  

¯®â®¬ ¯®«ã稬 ®¡à â­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ (§¤¥áì ¯à¨¤ñâáï à¥è âì

42

㦥 «¨­¥©­ãî á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©). �¬¥¥¬∂u

∂r=

∂u

∂x

∂x

∂r+

∂u

∂y

∂y

∂r=

∂u

∂xcosϕ +

∂u

∂ysinϕ;

∂u

∂ϕ=

∂u

∂x

∂x

∂ϕ+

∂u

∂y

∂y

∂ϕ= − ∂u

∂x· r sinϕ +

∂u

∂y· r cosϕ.

(3.3)

�¬­®¦¨¬ ¯¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥­á⢠(3.3) ­  r sinϕ,   ¢â®à®¥ ­ cosϕ,   § â¥¬ á«®¦¨¬ ¯®«ã祭­ë¥ à ¢¥­á⢠. �®«ã稬:

r∂u

∂y= r sinϕ · ∂u

∂r+ cosϕ · ∂u

∂ϕ,

â.¥.∂u

∂y= sinϕ · ∂u

∂r+

cosϕ

r

∂u

∂ϕ.

�᫨ ⥯¥àì 㬭®¦¨âì ¯¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥­á⢠(3.3) ­  r cosϕ, ¢â®-஥ ­  sinϕ,   § â¥¬ ¢ëç¥áâì ¨§ ¯¥à¢®£® ¢â®à®¥, â® ¯®«ã稬

r∂u

∂x= r cosϕ · ∂u

∂r− sinϕ · ∂u

∂ϕ, â.¥.

∂u

∂x= cosϕ · ∂u

∂r− sinϕ

r

∂u

∂ϕ.

�®¤áâ ¢«ïï ¢ ¨á室­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ¨¬¥¥¬

x sinϕ∂u

∂r+

x cosϕ

r

∂u

∂ϕ− y cosϕ

∂u

∂r+

y sinϕ

r

∂u

∂ϕ= 0.

� ª ª ª x = r cosϕ, y = r sinϕ, â® ç«¥­ë, ᮤ¥à¦ é¨¥ ∂u∂r ,

ã­¨ç⮦ âáï, ¨ ãà ¢­¥­¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤∂u

∂ϕ= 0.

�¥è¥­¨¥¬ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ïîâáï ¢á¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ë¥ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© r, ¯®í⮬㠮¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥-­¨ï § ¯¨á뢠¥âáï ¢ ¢¨¤¥ u = f(

√x2 + y2), ¨«¨, çâ® ¯à®é¥, u =

= f(x2 + y2), £¤¥ f | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ª-æ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©.

�­®£¤  ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ᮢ¥àè îâáï ¡®«¥¥ á«®¦­ë¥ § ¬¥­ë,ª á î騥áï ­¥ ⮫쪮 ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ­® ¨ ­¥¨§-¢¥áâ­ëå ä㭪権.

43�ਬ¥à 3.12. �८¡à §®¢ âì ãà ¢­¥­¨¥

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y=

x

z,

¯à¨­¨¬ ï ξ, η §  ­®¢ë¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥: ξ = 2x− z2,η = − y

z .�¤¥áì ­®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ u, v ¢ëà ¦ îâáï ­¥ ⮫쪮 ç¥à¥§

áâ àë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ x, y, ­® ¨ ç¥à¥§ ­¥¨§¢¥áâ­ãî äã­ªæ¨î z.�¬¥¥¬

∂z

∂x=

∂z

∂ξ· ∂ξ

∂x+

∂z

∂η· ∂η

∂x.

�® ­ã¦­® ãç¥áâì, çâ® ξ ¨ η ¢ëà ¦ îâáï ­¥ ⮫쪮 ç¥à¥§ x, y,­® ¨ ç¥à¥§ z, ª®â®à ï ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ï¥âáï ä㭪樥© ®â x,y. �®í⮬ã

∂ξ

∂x= 2− 2z

∂z

∂x;

∂η

∂x=

y

z2

∂z

∂x.

�­ ç¨â,∂z

∂x=

∂z

∂ξ

(2− 2z · ∂z

∂x

)+

∂z

∂η· y

z2· ∂z

∂x.

�®«ã祭­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ à¥è¨¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ∂z∂x :

∂z

∂x

(1 + 2z · ∂z

∂ξ− y

z2· ∂z

∂η

)= 2

∂z

∂ξ, ®âªã¤ 

∂z

∂x= 2

∂z∂ξ

1 + 2z · ∂z∂ξ −

yz2 · ∂z

∂η

.

�­ «®£¨ç­®,

∂z

∂y=

∂z

∂ξ· ∂ξ

∂y+

∂z

∂η· ∂η

∂y=

∂z

∂ξ

(−2z · ∂z

∂y

)+

∂z

∂η·y ∂z

∂y − z

z2.

�®«ã祭­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ à¥è¨¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ∂z∂y :

∂z

∂y

(1 + 2z · ∂z

∂ξ− y

z2· ∂z

∂η

)= − 1

z

∂z

∂η, ®âªã¤ 

∂z

∂y= − 1

z·

∂z∂η

1 + 2z · ∂z∂ξ −

yz2 · ∂z

∂η

.

44

�®¤áâ ¢«ïï ¢ ¨á室­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ¨¬¥¥¬

2x∂z

∂ξ− y

z

∂z

∂η=

x

z

(1 + 2z

∂z

∂ξ− y

z2

∂z

∂η

),

â.¥.∂z

∂η

(xy

z3− y

z

)=

x

z.

� ª ª ª y = −ηz, x = ξ + z2

2 , â® ¯®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ãà ¢­¥-­¨¥ ¯à¨¢¥¤ñâáï ª ¢¨¤ã

η(z2 − ξ)∂z

∂η= z(z2 + ξ).

� ¯¨á âì ®¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ­¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï-¥âáï ¢®§¬®¦­ë¬, ¯®í⮬ã â ª¨¥ ¯à¨¬¥àë ¨¬¥îâ ç¨áâ® â¥å­¨-ç¥áª¨© å à ªâ¥à.

�¯à ¦­¥­¨¥ 3.1. �®ª § âì, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥­æ¨-à㥬ëå ä㭪権 ¯à®¨§¢®«ì­®£® ç¨á«  ¯¥à¥¬¥­­ëå:

 ) d(uv) = u dv + v du;¡) d(uv) = uv lnu du + vuv−1 dv ¢ â®çª å, £¤¥ u > 0.�¯à ¦­¥­¨¥ 3.2. �¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥­¨¥:

 ) d(arcsin e−u), ¥á«¨ u > 0;¡) d(sin3(u2v) + ln(1 + arctg2 v)).�¯à ¦­¥­¨¥ 3.3. �ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ä㭪樨

f(x, y) ¢ â®çª¥ (x0, y0): ) f(x, y) = arctg(x2 − y2), (x0, y0) = (1, 1);¡) f(x, y) = x cos x

y , (x0, y0) = (π, 2);¢) f(x, y) = arcsin(xy), (x0, y0) =

(√3, 1

2

).

�¯à ¦­¥­¨¥ 3.4. �८¡à §®¢ âì ãà ¢­¥­¨¥, ¯¥à¥å®¤ï ª­®¢ë¬ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬. �᫨ 㤠áâáï, ­ ©â¨ ®¡é¥¥à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï

 ) y ∂z∂x − x ∂z

∂y = 0, ξ = x , η = x2 + y2;¡) x ∂z

∂x + y ∂z∂y = z, ξ = x , η = y

x ;¢) x ∂z

∂x +√

1 + y2 ∂z∂y = xy, ξ = ln x , η = ln(y +

√1 + y2);

£) (x + y) ∂z∂x − (x− y) ∂z

∂y = 0, x = eξ cos η , y = eξ sin η;

45

¤) (x + z) ∂z∂x + (y + z) ∂z

∂y = x + y + z, ξ = x + z , η = y + z.

§5. �áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠ä㭪樨¢ â®çª¥

�᫨ ä®à¬ã« , ª®â®à®© § ¤ ñâáï äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­-­ëå, ᮤ¥à¦¨â ¬®¤ã«¨, ª®à­¨ à §«¨ç­ëå á⥯¥­¥©, 䨣ãà­ë¥áª®¡ª¨ (â.¥. ®¤­  ä®à¬ã«  ¯à¨ ®¤­¨å §­ ç¥­¨ïå  à£ã¬¥­â®¢,¤à㣠ï | ¯à¨ ¤à㣨å), â® ä®à¬ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥,ª ª ¯à ¢¨«®, ­¥¢®§¬®¦­®. � ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì ­ã¦­® ¢ëïá­¨âì,ï¥âáï «¨ â ª ï äã­ªæ¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª å, £¤¥®¡à é îâáï ¢ ­ã«ì ¯®¤ª®à¥­­ë¥ ¢ëà ¦¥­¨ï ¨«¨ ¢ëà ¦¥­¨ï¯®¤ §­ ª®¬ ¬®¤ã«ï, £¤¥ ¯à®¨á室¨â ý᪫¥©ª þ, â.¥. ¯¥à¥å®¤ ®â®¤­®© ä®à¬ã«ë ª ¤à㣮©. �ਠí⮬ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ 㤮¡­® ¯à¨-¤¥à¦¨¢ âìáï á«¥¤ãî饩 áå¥¬ë ¤¥©á⢨©.

1) �ëïá­¨¬ á­ ç « , áãé¥áâ¢ãîâ «¨ ¢ ¨áá«¥¤ã¥¬®© â®çª¥(x0, y0) ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥

A =∂f

∂x(x0, y0), B =

∂f

∂y(x0, y0). (3.4)

�᫨ å®âì ®¤­  ¨§ ­¨å ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â | ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥ç¨ ®¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠¢ â®çª¥.

2) �᫨ ®¡¥ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ A ¨ B áãé¥áâ¢ãîâ, ⮤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ᢮¤¨âáï ª à ¢¥­áâ¢ã

lim∆x→0∆y→0

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0)−A ·∆x−B ·∆y√(∆x)2 + (∆y)2

. (3.5)

�᫨ äã­ªæ¨ï ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (x0, y0), â® à -¢¥­á⢮ (3.5) ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¨ ¯à¨ ª ª¨å A, B. �᫨ ¤¨ää¥-७æ¨à㥬  | ¢ë¯®«­ï¥âáï ¯à¨ A, B, ®¯à¥¤¥«ñ­­ëå ¨§ (3.4).�®í⮬ã, ¥á«¨ A ¨ B ­ ©¤¥­ë ¨§ (3.4), â® ­ã¦­® ¯à®¢¥à¨âì¢ë¯®«­¥­¨¥ à ¢¥­á⢠ (3.5).

� ¤ «ì­¥©è¥¬, ¥á«¨ ­¥ ®£®¢®à¥­® ¯à®â¨¢­®¥, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨á-á«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ä㭪樨 f(x, y) ¢ â®çª¥ (0, 0).

46

�ਬ¥à 3.13. f(x, y) =√

x2 + xy + y2. � ª ª ª∂f∂x (0, 0) = d

dx f(x, 0)∣∣∣x=0

= ddx |x|

∣∣∣x=0

| ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â®f(x, y) ­¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0).

�ਬ¥à 3.14. f(x, y) = |x|α|y|β, £¤¥ α > 0, β > 0.�¬¥¥¬ ∂f

∂x (0, 0) = ddx f(x, 0)

∣∣∣x=0

= 0, â ª ª ª f(x, 0) = 0 ¯à¨

¢á¥å x. �­ «®£¨ç­®, ∂f∂y (0, 0) = 0.

�áâ ñâáï ¯à®¢¥à¨âì ¢ë¯®«­¥­¨¥ à ¢¥­á⢠ (3.5) ¯à¨ x0 == y0 = 0, f(0, 0) = 0, A = B = 0, â.¥. ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)√(∆x)2 + (∆y)2

= lim∆x→0∆y→0

|∆x|α|∆y|β√(∆x)2 + (∆y)2

.

�᫨ ¢¢¥á⨠¯®«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­ âë ∆x = ρ cosϕ, ∆y = ρ sinϕ,â® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤

ρα| cosϕ|αρβ| sinϕ|β√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ

= ρα+β−1| cosϕ|α| sinϕ|β.

�᫨ α + β > 1, â® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥, ¡ã¤ãç¨ ­¥®âà¨-æ â¥«ì­ë¬, ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ρα+β−1. �®á«¥¤­ïï äã­ªæ¨ï ®â ρáâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ ρ → +0. �®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¤¢®©­®©¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0, ¨ äã­ªæ¨ï f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥(0, 0).

�᫨ α + β = 1, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ à ¢­®| cosϕ|α| sinϕ|β, â.¥. ­¥ § ¢¨á¨â ®â ρ. �।¥«ë ¯® à §­ë¬ ­ -¯à ¢«¥­¨ï¬ à §«¨ç­ë, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äã­ª-æ¨ï f(x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

� ª®­¥æ, ¥á«¨ α + β < 1, â® ¯à¨ ϕ 6= πk2 , k ∈ Z, ᮮ⢥â-

áâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¡¥áª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥« ¯à¨ ρ → +0.�¥¬ ¡®«¥¥ ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥«, ¨ äã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

� áâ­ë¥ á«ãç ¨ ¯à¨¬¥à  3.14 ¡ë«¨ à áᬮâà¥­ë ¢ëè¥.�᫨ α = β = 1

2 , â® f(x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥(0, 0) (¯à¨¬¥à 3.4), ¥á«¨ α = β = 2

3 | ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  (¯à¨-¬¥à 3.5). �᫨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.14 α ¨ β ïîâáï à æ¨®­ «ì­ë¬¨ç¨á« ¬¨, ¢ëà ¦¥­­ë¬¨ ¤à®¡ï¬¨ á ­¥çñâ­ë¬ §­ ¬¥­ â¥«¥¬, â®

47

¬®¤ã«¨ ¢ ãá«®¢¨¨ ¬®¦­® ®¯ãáâ¨âì. � ¯à¨¬¥à, f(x, y) = 3√

x2y

­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0) (α = 23 , β = 1

3),   f(x, y) =

= 5√

x3y4 | ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  (α = 35 , β = 4

5).

�ਬ¥à 3.15. f(x, y) = 3√

x3 + y3. �¬¥¥¬: ∂f∂x (0, 0) =

= ddx f(x, 0) = 1, â ª ª ª f(x, 0) = x ¯à¨ ¢á¥å x. �­ «®£¨ç­®,

∂f∂y (0, 0) = 1.

�㦭® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)− f(0, 0)−∆x−∆y√(∆x)2 + (∆y)2

=

= lim∆x→0∆y→0

3√

(∆x)3 + (∆y)3 −∆x−∆y√(∆x)2 + (∆y)2

.

�®á«¥ ¢¢¥¤¥­¨ï ¯®«ïà­ëå ª®®à¤¨­ â ∆x = ρ cosϕ, ∆y == ρ sinϕ, ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥3√

ρ3 cos3 ϕ + ρ3 sin3 ϕ− ρ cosϕ− ρ sinϕ√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ

=

= 3

√cos3 ϕ + sin3 ϕ− cosϕ− sinϕ.

�®­¥ç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ρ, ¯à¥¤¥«ë ¯® à §­ë¬ ­ -¯à ¢«¥­¨ï¬ à §«¨ç­ë, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äã­ª-æ¨ï f(x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

�ਬ¥à 3.16. f(x) = 3√

x3 + y4.�¬¥¥¬: ∂f

∂x (0, 0) = ddx f(x, 0) = 1, â ª ª ª f(x, 0) = x ¯à¨

¢á¥å x. � «¥¥, f(0, y) = 3√

y4 ¨ ∂f∂y (0, 0) = d

dy f(0, y)∣∣∣y=0

=

= lim∆y→0

3√

(∆y)4∆y = 0.

�㦭® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)− f(0, 0)−∆x√(∆x)2 + (∆y)2

= lim∆x→0∆y→0

3√

(∆x)3 + (∆y)4 −∆x√(∆x)2 + (∆y)2

.

48

�ᯮ¬­¨¬, çâ® íâ®â ¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0 (á¬. ¯à¨¬¥à 1.6; ¤®-ª § â¥«ìá⢮ í⮣® ã⢥ত¥­¨ï ¤®áâ â®ç­® á«®¦­®). �­ ç¨â,f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

�­®£¤  ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠¯®«¥§­®¯à¨¬¥­ïâì ⥮६㠮 ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠᫮¦­®© ä㭪樨.

�ਬ¥à 3.17. f(x, y) = ln(3 + cos(xy) + 4√

x2|y|3).�ᯮ¬­¨¬, çâ® äã­ªæ¨ï 4

√x2|y|3 ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥

(0, 0) (¯à¨¬¥à 3.14 ¯à¨ α = 12 , β = 3

4). � ª ª ª äã­ªæ¨ï3 + cos(xy) § ¢¥¤®¬® ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ «î¡®©â®çª¥, â® äã­ªæ¨ï u(x, y) = 3 + cos(xy) + 4

√x2|y|3 ¤¨ää¥à¥­-

æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0), ¯à¨çñ¬ u(0, 0) = 4. � ª ª ª ¢­¥è­ïïäã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ln u ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ u == 4, â® á«®¦­ ï äã­ªæ¨ï f(x, y) = lnu(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).

�ਬ¥à 3.18. f(x, y) = sin(ex+y + 3√

x3 + y3).�ã­ªæ¨ï 3

√x3 + y3 ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0) (¯à¨-

¬¥à 3.15). �«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ­¥¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠f(x, y)¡ã¤¥¬ à áá㦤 âì ®â ¯à®â¨¢­®£®. �ãáâì f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨-à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0), f(0, 0) = sin 1. �®£¤  äã­ªæ¨ï g(x, y) == ex+y + 3

√x3 + y3 = arcsin f(x, y) â ª¦¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 

¢ â®çª¥ (0, 0). � á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢­¥è­ïï äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥-¬¥­­®© arcsinu ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ u = sin 1, ¯®í⮬ãá«®¦­ ï äã­ªæ¨ï g(x, y) = arcsin f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢â®çª¥ (0, 0). �® ⮣¤  3

√x3 + y3 = g(x, y)− ex+y | ¤¨ää¥à¥­-

æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï ¢ â®çª¥ (0, 0),   íâ® ­¥ â ª. �®«ã祭­®¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® äã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­-æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

�   ¬ ¥ ç   ­ ¨ ¥. �㭪樨 ¨§ ¯à¨¬¥à®¢ 3.17 ¨ 3.18¬®¦­® ¨áá«¥¤®¢ âì ­  ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¨ ¯® ®¡é¥© á奬¥,­® â ª¨¥ à áá㦤¥­¨ï ¤®áâ â®ç­® £à®¬®§¤ª¨ ¨ âॡãîâ ­¥ª®-â®à®© ¨§¢®à®â«¨¢®áâ¨. �ਢ¥¤ñ­­ë¥ ¦¥ ¢ëè¥ à¥è¥­¨ï íâ¨å¯à¨¬¥à®¢ ¯à®áâë ¨ áâ ­¤ àâ­ë.

�ਬ¥à 3.19. f(x, y) = cos( 3√

xy).�ã­ªæ¨ï 3

√xy ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0) (¯à¨-

¬¥à 3.14 ¯à¨ α = β = 13). � § «®áì ¡ë,  ­ «®£¨ç­® ¯à¨-

49¬¥àã 3.18, ¬®¦­® ¤®ª § âì ­¥¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì á«®¦­®©ä㭪樨 f(x, y). �® §¤¥áì ¯®å®¦¥¥ à áá㦤¥­¨¥ ­¥ ¯à®©¤ñâ,¯®â®¬ã çâ® f(0, 0) = 1,   äã­ªæ¨ï arccosu ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨-à㥬  ¢ â®çª¥ u = 1 (íâ  äã­ªæ¨ï ®¯à¥¤¥«¥­  «¨èì ­  ®â१ª¥[−1, 1],   ¢ ª®­æ å ¥£® ¨¬¥¥â ¡¥áª®­¥ç­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥). �à¨-¤ñâáï ¯à¨¬¥­¨âì ®¡éãî á奬ã.

�¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ∂f∂x (0, 0) = d

dx f(x, 0)∣∣∣x=0

= 0, â ª ª ª

f(x, 0) = 1 ¯à¨ ¢á¥å x. �­ «®£¨ç­®, ∂f∂y (0, 0) = 0. � ª ª ª

f(0, 0) = 1, â® ­ã¦­® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2

= lim∆x→0∆y→0

cos(

3√

∆x ·∆y)− 1√

(∆x)2 + (∆y)2. (3.6)

�ã­ªæ¨ï 3√

xy ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯®â®¬ã, ç⮢ëà ¦¥­¨¥ 3

√∆x∆y ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤  ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬

∆x = ρ cosϕ, ∆y = ρ sinϕ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 23 ¯® ¯¥à¥¬¥­­®©

ρ, ¨ ¯®á«¥ ¤¥«¥­¨ï ­  ρ ­¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ­ã«¥¢®© ¯à¥¤¥«. �®à §­®áâì ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(3.6) 㦥 ¨¬¥¥â ¯®à冷ª43 ¯® ρ (â ª ª ª ¤«ï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ¢¥«¨ç¨­ë α ¢ëà ¦¥­¨¥cosα− 1 ¨¬¥¥â ¯®à冷ª α2). �®á«¥ ¤¥«¥­¨ï ­  ρ áâ६«¥­¨¥ ª­ã«î á®åà ­¨âáï, ¨, ¯®å®¦¥, ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¡ã¤¥â ¨¬¥â쬥áâ®. �¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬ íâ®  ªªãà â­®.

�®á«¥ ¯¥à¥å®¤  ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ®æ¥­¨¬ ¬®¤ã«ì¯à ¢®© ç á⨠(3.6):∣∣∣∣∣∣cos

(3√

ρ2 cosϕ sinϕ)− 1

√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ

∣∣∣∣∣∣=

2ρ

sin2

(3√

ρ2 cosϕ sinϕ

2

)6

6 2ρ

(3√

ρ2 cosϕ sinϕ

2

)2

6 2ρ· ρ4/3

4=

12

ρ1/3.

�®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ ρ → +0 (§¤¥áì¨á¯®«ì§®¢ ­ë ä®à¬ã«  âਣ®­®¬¥âਨ 1 − cosα = 2 sin2 α

2 ¨­¥à ¢¥­á⢮ | sinα| 6 |α|, á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ ¯à¨ ¢á¥å §­ ç¥­¨ïå α).�­ ç¨â, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ¢ «¥¢®© ç á⨠(3.6) à ¢¥­ 0, ¨ äã­ªæ¨ïf(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

50

�®¯à®¡ã¥¬ ⥯¥àì à §®¡à âìáï ¢ ⮬, ¬®¦­® «¨ ¯à¨ ­ å®¦-¤¥­¨¨ í⮣® ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥«  ¯à¨¬¥­ïâì à §«®¦¥­¨¥ ª®á¨­ãá ¯® ä®à¬ã«¥ �¥©«®à . �§ à ¢¥­á⢠ (1.2) ¨¬¥¥¬

cos ( 3√

xy) = 1− 12

( 3√

xy)2 + o(( 3√

xy)2)

¯à¨ x → 0, y → 0,

£¤¥ o ¬ «®¥ | ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥«  ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå.�® |x| 6 ρ, |y| 6 ρ, £¤¥ ρ =

√x2 + y2. �®í⮬ã |( 3

√xy)2| 6 ρ4/3,

¨ o(( 3√

xy)2) = α(x, y)( 3√

xy)2 = α(x, y)( 3√

xy)2

ρ4/3 ρ4/3 = o(ρ4/3),

â ª ª ª äã­ªæ¨ï β(x, y) = α(x, y)( 3√

xy)2

ρ4/3 | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï¯à¨ x → 0, y → 0, ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî.

�­ ç¨â, cos( 3√

xy)− 1 = − 12 ( 3√

xy)2 + o(ρ4/3), ¨

cos( 3√

∆x∆y)− 1√(∆x)2 + (∆y)2

= − 12

3√

(∆x)2(∆y)2√(∆x)2 + (∆y)2

+ o(ρ1/3), (3.7)

(¢ ¯®á«¥¤­¥¬ à ¢¥­á⢥ § ¬¥­¨«¨ x ­  ∆x, y ­  ∆y, ρ ==

√(∆x)2 + (∆y)2). �¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(3.7)

¨¬¥¥â ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« 0 ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0 (í⮠ᮮ⢥â-áâ¢ã¥â ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠ä㭪樨 3

√x2y2 ¢ â®çª¥ (0, 0) |

á¬. ¯à¨¬¥àë 3.5 ¨ 3.14). �â®à®¥ â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥«,à ¢­ë© ­ã«î, â ª ª ª ρ1/3 | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ ∆x → 0,∆y → 0. �⨬ ¤®ª § ­  ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ä㭪樨 f(x, y)¢ â®çª¥ (0, 0).

� ª®¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ ­¥ ¯à®é¥ ¯à¥¤ë¤ã饣®. �®í⮬ã,¥á«¨ ¥áâì ¢®§¬®¦­®áâì ®¡®©â¨áì ¡¥§ à §«®¦¥­¨ï ¯® ä®à¬ã«¥�¥©«®à , â® «ãçè¥ í⮩ ¢®§¬®¦­®áâìî ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï. �¥¬­¥ ¬¥­¥¥ ¡ë¢ îâ á«ãç ¨, ª®£¤  ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ä®à¬ã«ë �¥©«®à ï¢«ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬ à §ã¬­ë¬ á¯®á®¡®¬ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¤¢®©-­®£® ¯à¥¤¥« .

�ਬ¥à 3.20. f(x, y) = 5√

xy − sin( 5√

xy).�¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f(x, 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x, ¯®í⮬ã ∂f

∂x (0, 0) =

= ddx f(x, 0)

∣∣∣x=0

= 0. �­ «®£¨ç­®, ∂f∂y (0, 0) = 0.

51�㦭® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(∆x, ∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2

= lim∆x→0∆y→0

5√

∆x ·∆y − sin( 5√

∆x ·∆y)√(∆x)2 + (∆y)2

.

�§ à ¢¥­á⢠ (1.2) ¨¬¥¥¬

5√

xy − sin( 5√

xy) =16

( 5√

xy)3 + o(( 5√

xy)3) ¯à¨ x → 0, y → 0.

�® |x| 6 ρ, |y| 6 ρ, £¤¥ ρ =√

x2 + y2, ¯®í⮬ã,  ­ «®£¨ç­®à áá㦤¥­¨ï¬ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥, ¬®¦­® ¯®ª § âì, çâ®o(( 5√

xy)3) = o(ρ6/5). �®£¤ , § ¬¥­¨¢ x ­  ∆x, y ­  ∆y, ¯®«ã稬5√

∆x ·∆y − sin( 5√

∆x ·∆y)√(∆x)2 + (∆y)2

=16

5√

(∆x)3(∆y)3√(∆x)2 + (∆y)2

+ o(ρ1/5),

(3.8)£¤¥ ρ =

√(∆x)2 + (∆y)2. �¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®©

ç á⨠(3.8) ¨¬¥¥â ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« 0 ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0,â ª ª ª ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ∆x = ρ cosϕ,∆y = ρ sinϕ, ¨¬¥¥¬∣∣∣∣∣

5√

ρ3 cos3 ϕ · ρ3 sin3 ϕ√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ

∣∣∣∣∣ 6 ρ1/5,

  ρ1/5 | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0. �â®à®¥á« £ ¥¬®¥ ¨ ¯®¤ ¢­® ¨¬¥¥â ­ã«¥¢®© ¯à¥¤¥«. �®í⮬㠤¢®©­®©¯à¥¤¥« ¢ëà ¦¥­¨ï ¢ «¥¢®© ç á⨠(3.8) à ¢¥­ ­ã«î, ¨ äã­ªæ¨ïf(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

�§ ¯à¨¬¥à®¢ 1.8 ¨ 1.9, à¥èñ­­ëå ¯à¨ ¯®¬®é¨ à §«®¦¥­¨ï¯® ä®à¬ã«¥ �¥©«®à , «¥£ª® ãᬮâà¥âì, çâ® äã­ªæ¨ï

f(x, y) =

{x sin y − y sin x

x2 + y2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0

¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0),   äã­ªæ¨ï

f(x, y) =

{x sin y − y sin x(x2 + y2)3/2 , x2 + y2 > 0,

0, x = y = 0

­¥¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

52

�ਢ¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥àë § ¤ ç, ¯à¥¤« £ ¢è¨åáï áâ㤥­â ¬ 1ªãàá  ���� ­  íª§ ¬¥­ æ¨®­­ëå ª®­â஫ì­ëå à ¡®â å ¯®¬ â¥¬ â¨ç¥áª®¬ã  ­ «¨§ã ¢ ¢¥á¥­­¥¬ ᥬ¥áâà¥.

�ਬ¥à 3.21. f(x, y) =

{(x2y3)3/5

x2 − xy + y2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0.

� ª ª ª ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¨ §­ ¬¥­ â¥«¥ áâ®ïâ ®¤­®à®¤­ë¥ ¢ëà -¦¥­¨ï ®â­®á¨â¥«ì­® x, y (¢ ç¨á«¨â¥«¥ á⥯¥­¨ 3, ¢ §­ ¬¥­ â¥«¥| á⥯¥­¨ 2), â® äã­ªæ¨ï f(x, y) ¨¬¥¥â á⥯¥­ì 1 ®â­®á¨â¥«ì­®ρ, ¨ ¯®á«¥ ¤¥«¥­¨ï ­  ρ áâ६«¥­¨¥ ª ­ã«î 㦥 ­¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ .� ª¨¥ ¨­âã¨â¨¢­ë¥ á®®¡à ¦¥­¨ï ¯à¨¢®¤ïâ ­ á ª ¬ë᫨ ® ⮬,çâ® f(x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0). � ⥯¥àì ¯à¨-¢¥¤ñ¬  ªªãà â­®¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮.

� ª ª ª f(x, 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x (¯à¨ x 6= 0 íâ® á«¥¤ã¥â¨§ ®¡é¥© ä®à¬ã«ë,   f(0, 0) â ª¦¥ à ¢­  0), â® ∂f

∂x (0, 0) =

= ddx f(x, 0)

∣∣∣x=0

= 0.

�­ «®£¨ç­®, ∂f∂y (0, 0) = 0.

�áâ ñâáï ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2

=

= lim∆x→0∆y→0

((∆x)2(∆y)3)3/5

((∆x)2 −∆x∆y + (∆y)2)√

(∆x)2 + (∆y)2.

�®á«¥ ¯¥à¥å®¤  ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà -¦¥­¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥

((ρ cosϕ)2(ρ sinϕ)3)3/5

(ρ2 cos2 ϕ− ρ2 cosϕ sinϕ + ρ2 sin2 ϕ)√

ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ=

=(cosϕ)6/5(sinϕ)9/5

1− cosϕ sinϕ,

â.¥. ®­® ­¥ § ¢¨á¨â ®â ρ.�।¥«ë ¯® à §­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ à §«¨ç­ë, ¤¢®©­®© ¯à¥-

¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢â®çª¥ (0, 0).

53

�ਬ¥à 3.22. f(x, y) =

{(x2y3)3/5√x2 − xy + y2

, x2 + y2 > 0,0, x = y = 0.

�­âã¨â¨¢­ë¥ á®®¡à ¦¥­¨ï,  ­ «®£¨ç­ë¥ ¯à¨¢¥¤ñ­­ë¬ ¢­ ç «¥ à¥è¥­¨ï ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¨¬¥à , ¯®ª §ë¢ îâ, çâ®äã­ªæ¨ï f(x, y) ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 3

2 ®â­®á¨â¥«ì­® ρ, ¨ ¯®á«¥ ¤¥-«¥­¨ï ­  ρ ¯à®¤®«¦ ¥â áâ६¨âìáï ª ­ã«î. �­ ç¨â, ®­  ¤¨ä-ä¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0). �¥¯¥àì ¯à¨¢¥¤ñ¬  ªªãà â­®¥ ¤®-ª § â¥«ìá⢮.

�­ «®£¨ç­® ¯à¥¤ë¤ã饬㠯ਬ¥àã, ­ã¦­® ¯à®¢¥à¨âì, à -¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

((∆x)2(∆y)3)3/5

√(∆x)2 −∆x∆y + (∆y)2

√(∆x)2 + (∆y)2

. (3.9)

�®á«¥ ¯¥à¥å®¤  ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬, ¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥­¨¥((ρ cosϕ)2(ρ sinϕ)3)3/5

√ρ2 cos2 ϕ− ρ2 cosϕ sinϕ + ρ2 sin2 ϕ

√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ

=

=ρ(cosϕ)6/5(sinϕ)9/5

√1− cosϕ sinϕ

.

� ª ª ª ¢á¥£¤  1−cosϕ sinϕ = 1− 12 sin 2ϕ > 1

2 , â® ­ è¥ ¢ë-à ¦¥­¨¥ ¯® ¬®¤ã«î ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ρ

√2. �¢®©­®© ¯à¥¤¥« (3.9)

à ¢¥­ 0, äã­ªæ¨ï f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).�ਬ¥à 3.23. f(x, y) = x

√1 + y2/3.

�¬¥¥¬: ∂f∂x (0, 0) = d

dx f(x, 0)∣∣∣x=0

= 1, ∂f∂y (0, 0) =

= ddy f(0, y)

∣∣∣y=0

= 0, â ª ª ª f(x, 0) = x ¯à¨ ¢á¥å x, f(0, y) = 0

¯à¨ ¢á¥å y. �஢¥à¨¬, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)− f(0, 0)−∆x√(∆x)2 + (∆y)2

= lim∆x→0∆y→0

∆x(√

1 + (∆y)2/3 − 1)√(∆x)2 + (∆y)2

.

�®á«¥ ¯¥à¥å®¤  ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥-­¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤

ρ cosϕ(√

1 + (ρ sinϕ)2/3 − 1)√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ

= cosϕ(√

1 + (ρ sinϕ)2/3 − 1).

54

�­® ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ¯® ¬®¤ã«î√

1 + ρ2/3 − 1. �â  äã­ªæ¨ï®â ρ áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ ρ → +0. �¢®©­®© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0,äã­ªæ¨ï f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

�ਬ¥à 3.24. f(x, y) = 3√

sin4 x + cos4 y.�⬥⨬, çâ® f(0, 0) = 1. � «¥¥,

∂f

∂x(0, 0) =

d

dxf(x, 0)

∣∣∣x=0

=d

dx(sinx)4/3

∣∣∣x=0

=

=43

(sinx)1/3 cosx∣∣∣x=0

= 0,

∂f

∂y(0, 0) =

d

dyf(0, y)

∣∣∣y=0

=d

dy(cos y)4/3

∣∣∣y=0

=

=43

(cos y)1/3(− sin y)∣∣∣y=0

= 0.

�⬥⨬, çâ® ¢ëç¨á«¥­¨¥ â ª¨¬ ᯮᮡ®¬ ¢â®à®© ¨§ íâ¨å¯à®¨§¢®¤­ëå ¢¯®«­¥ § ª®­­®,   ¢®â ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¯¥à¢®© ¨§ ­¨å,áâண® £®¢®àï, ­ã¦­® ¡ë«® ¡ë ¯à®¢®¤¨âì ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î. �¥¬­¥ ¬¥­¥¥ ¬®¦­® áç¨â âì ¨§¢¥áâ­ë¬, çâ® d

dx (x4/3) = 43 x1/3 ¯à¨

¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ì­ëå x, £¤¥ x1/3 = 3√

x, ¨ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¯¥à¢®©¨§ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ⮦¥ áç¨â âì ®¡®á­®¢ ­­ë¬.

�㦭® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2

= lim∆x→0∆y→0

3√

sin4 ∆x + cos4 ∆y − 1√(∆x)2 + (∆y)2

.

�®á«¥ ¯¥à¥å®¤  ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà -¦¥­¨¥ ®æ¥­¨âáï ¯® ¬®¤ã«î ᢥàåã á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:∣∣∣∣∣

3√

sin4(ρ cosϕ)+ cos4(ρ sinϕ)− 1√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ

∣∣∣∣∣ =|A− 1|

ρ=

|A3 − 1|ρ(1 + A + A2)

=

=| sin4(ρ cosϕ) + cos4(ρ sinϕ)− 1|

ρ(1 + A + A2)6

6 | sin4(ρ cosϕ)|+ |1− cos4(ρ sinϕ)|ρ

6 ρ4 + 2 sin2(ρ sinϕ)ρ

6

6 ρ4 + 2ρ2

ρ= 2ρ + ρ3.

55�®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ ρ → +0, á®-

®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0, f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨-à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0). �¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­  ®ç¥¢¨¤­ ï 楯®çª âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨å ᮮ⭮襭¨© 1− cos4 α = (1 + cos2 α)(1−− cos2 α) 6 2 sin2 α.

�ਬ¥à 3.25. f(x, y) =

{y

(1− cos x√

|y|

), y 6= 0,

0, y = 0.� ª ª ª f(x, 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x,   f(0, y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y, â®

∂f∂x (0, 0) = d

dx f(x, 0)∣∣∣x=0

= 0, ∂f∂y (0, 0) = d

dy f(0, y)∣∣∣y=0

= 0.�㦭® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2

= lim∆x→0∆y→0

∆y

(1− cos ∆x√

|∆y|

)

√(∆x)2 + (∆y)2

=

= lim∆x→0∆y→0

∆y · 2 sin2

(∆x

2√|∆y|

)

√(∆x)2 + (∆y)2

.

�®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ¯® ¬®¤ã«î

2|∆y|(

∆x2√|∆y|

)2

ρ=

(∆x)2

2ρ6 ρ2

2ρ=

ρ

2.

� ¯à¨¢¥¤ñ­­®© 楯®çª¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© áç¨â «®áì, çâ® ∆y 6=6= 0, ­® ®ª®­ç â¥«ì­ ï ®æ¥­ª ∣∣∣∣∣

f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2

∣∣∣∣∣ 6 ρ

2,

£¤¥ ρ =√

(∆x)2 + (∆y)2, á¯à ¢¥¤«¨¢ , ®ç¥¢¨¤­®, ¨ ¯à¨ ∆y == 0. �ਠí⮬ ¤ ¦¥ ­¥ ¯à¨è«®áì ä®à¬ «ì­® ¯¥à¥å®¤¨âì ª¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬. �ã¦­ë© ­ ¬ ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« à ¢¥­0, f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

�ਬ¥à 3.26. f(x, y) =

(x + y) arctg(

xy

)2, y 6= 0,

π2 x, y = 0.

56

� ª ª ª f(x, 0) = π2 x ¯à¨ ¢á¥å x,   f(0, y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y,

â® ∂f∂x (0, 0) = d

dx f(x, 0)∣∣∣x=0

= π2 , ∂f

∂y (0, 0) = ddy f(0, y)

∣∣∣y=0

= 0.� ª ª ª f(0, 0) = 0, â® ­ã¦­® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)− f(0, 0)− π2 ∆x

√(∆x)2 + (∆y)2

=

= lim∆x→0∆y→0

(∆x + ∆y) arctg(

∆x∆y

)2− π

2 ∆x√

(∆x)2 + (∆y)2.

�®á«¥ ¯¥à¥å®¤  ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà -¦¥­¨¥ ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

(ρ cosϕ + ρ sinϕ) arctg(

ρ cosϕρ sin ϕ

)2− π

2 ρ cosϕ√

ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ=

= (cos ϕ + sin ϕ) arctg(ctg2 ϕ)− π

2cosϕ,

â.¥. ­¥ § ¢¨á¨â ®â ρ. �।¥«ë ¯® à §­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ à §-«¨ç­ë, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥ ¤¨ä-ä¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

�ਬ¥à 3.27. f(x, y) =

3

√x6 + y6

|x|+ y2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0.

� ª ª ª f(x, 0) = |x|5/3 ¯à¨ ¢á¥å x,   f(0, y) = y4/3 ¯à¨ ¢á¥åy, â® ∂f

∂x (0, 0) = ddx f(x, 0)

∣∣∣x=0

= 0, ∂f∂y (0, 0) = d

dy f(0, y)∣∣∣y=0

=

= 0. �㦭® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2

=

= lim∆x→0∆y→0

3√

(∆x)6 + (∆y)63√|∆x|+ (∆y)2

√(∆x)2 + (∆y)2

.

� ª ª ª ­ á ¨­â¥à¥áã¥â ¯®¢¥¤¥­¨¥ ä㭪樨 ¢ ­¥ª®â®à®©®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (0, 0), â® ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® |∆x| 6 1.�®£¤  |∆x| > (∆x)2, ¨ ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ®æ¥­¨âáï ᢥàåã

57ç¥à¥§

3√

(∆x)6 + (∆y)63√

(∆x)2 + (∆y)2√

(∆x)2 + (∆y)26

3√

2ρ6

ρ2/3 · ρ = 3√

2ρ1/3.

�â ª,∣∣∣∣f(∆x, ∆y)− f(0, 0)√

(∆x)2 + (∆y)2

∣∣∣∣ 6 3√

2ρ1/3, £¤¥ ρ =√

(∆x)2 + (∆y)2,¨ ¨­â¥à¥áãî騩 ­ á ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0. �ã­ªæ¨ï f(x, y)¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

�ਬ¥à 3.28. � ©â¨ ¢á¥ §­ ç¥­¨ï α ¨ A, ¯à¨ ª®â®àëå

äã­ªæ¨ï f(x, y) =

{(x2 + 2y2)α sin

(π3 − x + y

), x2 + y2 > 0,

A, x = y = 0,¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ ¯à¨ íâ¨å α ¨ A ­ ©â¨ ¤¨ä-ä¥à¥­æ¨ « df(0, 0).

�®­ï⨥ ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ì让 ä㭪樨 ¬®¦¥â ¡ëâì ¢¢¥-¤¥­® ¤«ï ä㭪権 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå  ­ «®£¨ç­® ®¤­®-¬¥à­®¬ã á«ãç î: lim

~x→~af(~x) = ∞, ¥á«¨

∀E > 0 ∃ δ > 0 : ∀~x ∈ Uδ(~a) → |f(~x)| > E.

�᫨ äã­ªæ¨ï g(~x) ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ ~x →~a ¨ ­¥ ®¡à é -¥âáï ¢ ­ã«ì ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠~a, â® f(~x) == 1

g(~x) | ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ìè ï ¯à¨ ~x →~a.� ª ª ª ¯à¨ α < 0 äã­ªæ¨ï (x2 + 2y2)−α ï¥âáï ¡¥áª®-

­¥ç­® ¬ «®© ¯à¨ x → 0, y → 0, â® (x2 + 2y2)α | ¡¥áª®­¥ç­®¡®«ìè ï. � ª ª ª lim

x→0y→0

sin(

π3 − x + y

)=√

32 , â® f(x, y) â ª¦¥

ï¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ì让 ¯à¨ x → 0, y → 0 ( ­ «®£¨ç­®®¤­®¬¥à­®¬ã á«ãç î ¬®¦­® ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ lim

~x→~af1(~x) = ∞,

lim~x→~a

f2(~x) = C 6= 0, â® lim~x→~a

f1(~x)f2(~x) = ∞). �­ ç¨â, ¯à¨ α <

< 0 äã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¨ ⥬ ¡®«¥¥ ­¥ï¢«ï¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0).

�ਠα = 0 äã­ªæ¨ï f(x, y) = sin(

π3 − x + y

). �¤¨­á⢥­-

­ë¬ §­ ç¥­¨¥¬ A, ¯à¨ ª®â®à®¬ f(x, y) ¡ã¤¥â ª ª ­¥¯à¥à뢭®©,â ª ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0), ï¥âáï A =

√3

2 . �à¨

58

í⮬ §­ ç¥­¨¨ A äã­ªæ¨ï f(x, y) ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤­®, ¤ ¦¥ ­¥¯à¥-à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ df(0, 0) ¬®¦­® ¢ë-ç¨á«¨âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ä®à¬ «ì­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï:

df(x, y) = cos(π

3− x + y

)(dy − dx); df(0, 0) =

12

(dy − dx).

� ª®­¥æ, ¯à¨ α > 0 limx→0y→0

f(x, y) = 0. �®í⮬ã f(x, y) ¡ã¤¥â

­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯à¨ A = 0.�«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠à áᬮâਬ á­ -

ç «  äã­ªæ¨î g(x, y) = (x2 + 2y2)α. � ª ª ª g(x, 0) = |x|2α, â®∂g∂x (0, 0) = d

dx g(x, 0)∣∣∣x=0

= ddx (|x|2α)

∣∣∣x=0

= lim∆x→0

|∆x|2α

∆x | ­¥áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ 0 < α 6 1

2 . �­ ç¨â, g(x, y) ­¥ ï¥âáï ¤¨ä-ä¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0). �® ¥á«¨ ¡ë f(x, y) ¡ë«  ¤¨ää¥-७æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0), â® ¨ g(x, y) = f(x, y)

sin(

π3 − x + y

) ¡ë« 

¡ë ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ í⮩ â®çª¥,   íâ® ­¥ â ª. �­ ç¨â, ¯à¨0 < α 6 1

2 äã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

�ਠα > 12 ¨¬¥¥¬: ∂g

∂x (0, 0) = ddx |x|2α

∣∣∣x=0

= 0. �­ «®£¨ç­®,∂g∂y (0, 0) = d

dy g(0, y)∣∣∣y=0

= ddy (2α|y|2α)

∣∣∣y=0

= 0. � ª ª ª

∣∣∣∣∣g(∆x,∆y)− g(0, 0)√

(∆x)2 + (∆y)2

∣∣∣∣∣ =((∆x)2 + 2(∆y)2)α

√(∆x)2 + (∆y)2

6 (3ρ2)α

ρ= 3αρ2α−1,

¨ ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ ρ → +0, â®äã­ªæ¨ï g(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ dg(0, 0) = 0.�­ ç¨â, ¯à¨ α > 1

2 äã­ªæ¨ï f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥(0, 0) ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ä㭪権, ¨

df(x, y) =

= dg(x, y) sin(π

3− x + y

)+ g(x, y) · cos

(π

3− x + y

)(dy − dx),

df(0, 0) = dg(0, 0) · sin π

3+ g(0, 0) · cos

π

3· (dy − dx) = 0.

59

�⢥â. f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯à¨ α = 0,A =

√3

2 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df(0, 0) = 12 (dy − dx)) ¨ ¯à¨ α > 1

2 ,A = 0 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df(0, 0) = 0).

� áᬮâਬ ¯à¨¬¥àë, ª®£¤  ­ã¦­® ¨áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥­-æ¨à㥬®áâì ­¥ ¢ â®çª¥ (0, 0),   ¢ ¤à㣨å â®çª å ¯«®áª®áâ¨.

�ਬ¥à 3.29. �áá«¥¤®¢ âì ­  ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâìäã­ªæ¨î f(x, y) = log2(5+ |x− 1|5/7 · |y +2|1/3) ¢ â®çª¥ (1,−2).

� áᬮâਬ á­ ç «  äã­ªæ¨î u(x, y) = |x− 1|5/7|y + 2|1/3.� ª ª ª u(x,−2) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x,   u(1, y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y, â®

∂u

∂x(1,−2) =

d

dxu(x,−2)

∣∣∣x=1

= 0;

∂u

∂y(1,−2) =

d

dyu(1, y)

∣∣∣y=−2

= 0.

� ª ª ª u(1,−2) = 0, â® ¯à®¢¥à¨¬, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

u(1 + ∆x,−2 + ∆y)− u(1,−2)√(∆x)2 + (∆y)2

= lim∆x→0∆y→0

|∆x|5/7|∆y|1/3

√(∆x)2 + (∆y)2

.

�®á«¥ ¯¥à¥å®¤  ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ∆x = ρ cosϕ,∆y = ρ sinϕ, ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ρ5/7| cosϕ|5/7ρ1/3| sinϕ|1/3

√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ

=ρ22/21| cosϕ|5/7| sinϕ|1/3

ρ6 ρ1/21.

�®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ ρ → +0,§­ ç¨â, ¨­â¥à¥áãî騩 ­ á ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0, äã­ªæ¨ïu(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (1,−2).

�­¥è­ïï äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© g(u) = log2(5+u) ¤¨ä-ä¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ u = 0. �® ⥮६¥ ® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®-á⨠᫮¦­®© ä㭪樨 äã­ªæ¨ï f(x, y) = g(u(x, y)) ¤¨ää¥à¥­-æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (1,−2).

�ਬ¥à 3.30. �áá«¥¤®¢ âì ­  ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâìäã­ªæ¨î f(x, y) = (2x2 − y2 − 1)

√x2 + y2 − xy − x− y + 1 ¢

â®çª¥ (1, 1).�⬥⨬, çâ® f(1, 1) = 0. � «¥¥,

f(1, y) = (1− y2)√

y2 − 2y + 1 = (1− y2)|y − 1| ¯à¨ ¢á¥å y,

60

f(x, 1) = (2x2−2)√

x2 − 2x + 1 = 2(x2−1)|x−1| ¯à¨ ¢á¥å x.

� ©¤ñ¬ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ä㭪樨 f(x, y) ¢ â®çª¥ (1, 1).�¬¥¥¬: ∂f

∂x (1, 1) = ddx f(x, 1)

∣∣∣x=1

= lim∆x→0

2((1 + ∆x)2 − 1)|∆x|∆x =

= 2 lim∆x→0

(2 + ∆x)|∆x| = 0. �­ «®£¨ç­®, ∂f∂y (1, 1) = 0.

�áâ ñâáï ¢ëïá­¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«

lim∆x→0∆y→0

f(1 + ∆x, 1 + ∆y)− f(1, 1)√(∆x)2 + (∆y)2

=

= lim∆x→0∆y→0

(2(1 + ∆x)2 − (1 + ∆y)2 − 1)×

×√

(1+ ∆x)2+ (1+ ∆y)2− (1+ ∆x)(1+ ∆y)− 1−∆x−∆y√(∆x)2 + (∆y)2

=

= lim∆x→0∆y→0

(4∆x− 2∆y +2(∆x)2− (∆y)2)√

(∆x)2+ (∆y)2−∆x∆y√(∆x)2 + (∆y)2

.

�®á«¥ ¯¥à¥å®¤  ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ¯®«ã祭­®¥ ¢ë-à ¦¥­¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤(4ρ cosϕ− 2ρ sinϕ+2ρ2 cos2 ϕ− ρ2 sin2 ϕ)

√ρ2− ρ2 cosϕ sinϕ

ρ=

= ρ(4 cosϕ− 2 sin ϕ + 2 cos2 ϕ− sin2 ϕ)√

1− cosϕ sinϕ,

¨ ¯® ¬®¤ã«î ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ρ(4 + 2 + 2 + 1)√

1 + 1 = 9ρ√

2.�â® ¢ëà ¦¥­¨¥ áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ ρ → +0, §­ ç¨â, ¨­â¥-à¥áãî騩 ­ á ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0. �«¥¤®¢ â¥«ì­®, f(x, y)¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (1, 1).

�ਬ¥à 3.31. � ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâ¨ä㭪樨 f(x, y) = x|y|+ y|x|.

�â® §­ ç¨â, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ (x0, y0) ¯«®áª®á⨠­ã¦­®®¯à¥¤¥«¨âì, ï¥âáï «¨ ¤ ­­ ï äã­ªæ¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®©¢ í⮩ â®çª¥.

 ) � «î¡®© â®çª¥ (x0, y0), £¤¥ x0y0 6= 0 (â.¥. ¢ «î¡®© â®çª¥,­¥ «¥¦ é¥© ­  ª®®à¤¨­ â­ëå ®áïå) äã­ªæ¨ï f(x, y) ï¥âá鸞¦¥ ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®©, â ª ª ª ¢ ­¥ª®â®à®©®ªà¥áâ­®á⨠í⮩ â®çª¨ § ¢¥¤®¬® ¨¬¥¥â ­¥¯à¥àë¢­ë¥ ç áâ­ë¥

61

¯à®¨§¢®¤­ë¥ (f(x, y) = 2xy ¢ I ç¥â¢¥àâ¨, f(x, y) = −2xy ¢ IIIç¥â¢¥àâ¨, f(x, y) = 0 ¢® II ¨ IV ç¥â¢¥àâïå).

¡) � â®çª¥ (0, 0): ∂f∂x (0, 0) = d

dx f(x, 0)∣∣∣x=0

= 0,  ­ «®£¨ç­®∂f∂y (0, 0) = 0.

lim∆x→0∆y→0

f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2

= lim∆x→0∆y→0

∆x|∆y|+ ∆y|∆x|√(∆x)2 + (∆y)2

= 0,

â ª ª ª ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤  ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ¯®á«¥¤­¥¥¢ëà ¦¥­¨¥ ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤ρ cosϕ|ρ sinϕ|+ ρ sinϕ|ρ cosϕ|

ρ= ρ(cosϕ| sinϕ|+ sin ϕ| cosϕ|),

¨ ¯® ¬®¤ã«î ­¥ ¯à¥¢®á室¨â 2ρ. �­ ç¨â, f(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨-à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0).

¢) �®ª ¦¥¬, ­ ª®­¥æ, çâ® ¢ â®çª å, «¥¦ é¨å ­  ª®®à¤¨-­ â­ëå ®áïå, ªà®¬¥ â®çª¨ (0, 0), äã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥ ï¥âá廊ää¥à¥­æ¨à㥬®©. � áᬮâਬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«ñ­­®á⨠â®çªã(x0, 0), £¤¥ x0 6= 0. �¬¥¥¬ ∂f

∂y (x0, 0) = ddy f(x0, y)

∣∣∣y=0

=

= ddy (x0|y| + |x0|y)

∣∣∣y=0

= x0ddy |y|

∣∣∣y=0

+ |x0| | ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â,

â ª ª ª ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ddy |y|

∣∣∣y=0

. �­ ç¨â, f(x, y) ­¥ ï¥âá廊ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (x0, 0).

�¯à ¦­¥­¨¥ 3.5. �®ª § âì, çâ® äã­ªæ¨ï f(x, y) ­¥ ï¢-«ï¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0):

 ) f(x, y) =√

x2 + y2;¡) f(x, y) = 5

√x5 − y5;

¢) f(x, y) = sin(2xy + 5√

x3y2);£) f(x, y) = arctg(

√1− x2 − y2 +

√|xy|).

�¯à ¦­¥­¨¥ 3.6. �®ª § âì, çâ® äã­ªæ¨ï f(x, y) ï-¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0):

 ) f(x, y) =√

x4 + y4;¡) f(x, y) = 3

√x4 − y4;

¢) f(x, y) = arcsin(

x2 + y2

2 + 7√

x4y4)

;£) f(x, y) = ch(5ex − ln(1 + x2 − y2)− 8

√|x|3y6).

62

�¯à ¦­¥­¨¥ 3.7. �áá«¥¤®¢ âì ­  ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì¢ â®çª¥ (0, 0) ä㭪樨:

 ) f(x, y) =

{(x3 + y3)2

x4 + y4 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;

¡) f(x, y) =

{x5 + y5

x4 + x2y2 + y4 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;

¢) f(x, y) =

{x3y2√x6 + y6

, x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;

£) f(x, y) =

{x3y2

(x6 + y6)2/3 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;

¤) f(x, y) =

x3 − xy2

(x6 + y6 − 3

2 x3y3)1/4 , x2 + y2 > 0,

0, x = y = 0;

¥) f(x, y) =

(y2 − xy)2(x8 + y8 − 4

3 x4y4)1/3 , x2 + y2 > 0,

0, x = y = 0.�¯à ¦­¥­¨¥ 3.8. �áá«¥¤®¢ âì ­  ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì

¢ â®çª¥ (0, 0) ä㭪樨: ) f(x, y) = e

3√

xy − 3√

xy;¡) f(x, y) = sh 7

√xy − arcsin 7

√xy;

¢) f(x, y) =

xey − yex + y − x + xy2 (x− y)

(x2 + y2)3/2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;

£) f(x, y) =

xey − yex + y − x + xy2 (x− y)

x2 + y2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;

¤) f(x, y) = ch 6√|xy|+ cos 6

√|xy|;

¥) f(x, y) =

x arctg y − y arctg x + xy3 (y2 − x2)

(x2 + y2)5/2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0.

�¯à ¦­¥­¨¥ 3.9. �áá«¥¤®¢ âì ­  ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì¢ â®çª¥ (0, 0) ä㭪樨:

 ) f(x, y) = x4/5(cos( 5√

y)− 1);

63

¡) f(x, y) = y2/3 arctg√|x|;

¢) f(x, y) = y + cos 3√

x2 + y2;

£) f(x, y) =

{x3

y arctg yx2 + y2 , y 6= 0,

x, y = 0;¤) f(x, y) = 5

√sinx(1− cosxy);

¥) f(x, y) =

y sin√

x2

|y| , y 6= 0,0, y = 0.

�¯à ¦­¥­¨¥ 3.10. � ©â¨ ¢á¥ §­ ç¥­¨ï α ¨ A, ¯à¨ ª®â®-àëå äã­ªæ¨ï

f(x, y) ={

(3x2 + y2)α ln(2 + x− 3y). x2 + y2 > 0,A, x = y = 0,

¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ ¯à¨ íâ¨å α ¨ A ­ ©â¨ ¤¨ä-ä¥à¥­æ¨ « df(0, 0).

�¯à ¦­¥­¨¥ 3.11. �áá«¥¤®¢ âì äã­ªæ¨î f(x, y) ­  ¤¨ä-ä¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢ ¤ ­­®© â®çª¥:

 ) f(x, y) = arctg(3 + |x + 3|2/5|y − 1|3/4) ¢ â®çª¥ (−3, 1);¡) f(x, y) = cos

(π4 +

∣∣∣x− π2

∣∣∣2/7|y|4/5

)¢ â®çª¥

(π2 , 0

);

¢) f(x, y) = (xy + 3)√

2x2 + y2 + xy − 2x + 3y + 4 ¢ â®çª¥(1,−2);

£) f(x, y) = (x2 + xy− 4)√

x2 + y2 + xy − 4x− 2y + 4 ¢ â®çª¥(2, 0).

�¯à ¦­¥­¨¥ 3.12. � ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®-á⨠ä㭪樨:

 ) f(x, y) = |x2 − y2|;¡) f(x, y) = 1

1 + |xy| ;¢) f(x, y) = (y − |x|)2.

�⢥âë ª ã¯à ¦­¥­¨ï¬2.1.  ) � §à뢭  ¢ â®çª¥ (0, 0), ­¥¯à¥à뢭  ¢ ®áâ «ì­ëå â®ç-ª å; ¡) à §à뢭  ¢ â®çª å (0, y0), £¤¥ y0 6= 0, ­¥¯à¥à뢭  ¢®áâ «ì­ëå â®çª å; ¢) à §à뢭  ¢ â®çª å (x0, x0), £¤¥ x0 6= 0,

64

­¥¯à¥à뢭  ¢ ®áâ «ì­ëå â®çª å; £) ­¥¯à¥à뢭  ¢ â®çª¥ (0, 0),à §à뢭  ¢ ®áâ «ì­ëå â®çª å.3.3.  ) 2 dx− 2 dy; ¡) − π

2 dx + π2

4 dy; ¢) dx + 2√

3 dy.3.4.  ) z = f(x2 + y2); ¡) z = xf

(yx

); ¢) ∂z

∂ξ + ∂z∂η = eξ sh η; £)

∂z∂ξ = ∂z

∂η ; ¤) (2ξ + η − z) ∂z∂ξ + (ξ + 2η − z) ∂z

∂η = ξ + η − z.� ®â¢¥â å ª ®áâ «ì­ë¬ ã¯à ¦­¥­¨ï¬ ý¤ þ ®§­ ç ¥â, çâ®

äã­ªæ¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ ¤ ­­®© â®çª¥, ý­¥âþ | ­¥ ¤¨ä-ä¥à¥­æ¨à㥬 .3.7.

 ) ¤ ; ¡) ­¥â; ¢) ¤ ; £) ­¥â;¤) ¤ ; ¥) ¤ .

3.8. ) ¤ ; ¡) ¤ ; ¢) ¤ ; £) ­¥â;¤) ¤ ; ¥) ­¥â.

3.9. ) ¤ ; ¡) ¤ ; ¢) ¤ ; £) ­¥â;¤) ­¥â; ¥) ¤ .

3.10. �ਠα = 0, A = ln 2 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df(0, 0) = dx− 3 dy2 );

¯à¨ α > 12 , A = 0 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df(0, 0) = 0).

3.11. ) ¤ ; ¡) ¤ ; ¢) ­¥â; £) ¤ .

3.12.  ) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª å (x, y) â ª¨å, çâ® y 6= ±x,  â ª¦¥ ¢ â®çª¥ (0, 0). �¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ ®áâ «ì­ëå â®ç-ª å; ¡) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ â®çª å (x, y) â ª¨å, çâ® xy 6= 0,  â ª¦¥ ¢ â®çª¥ (0, 0). �¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ ®áâ «ì­ëå â®ç-ª å; ¢) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ «î¡®© â®çª¥.

�¯¨á®ª «¨â¥à âãàë1. �¥¬¨¤®¢¨ç �.�. �¡®à­¨ª § ¤ ç ¨ ã¯à ¦­¥­¨© ¯® ¬ â¥¬ -

â¨ç¥áª®¬ã  ­ «¨§ã. { �.: � ãª , 1966 { 544 á.2. �ã¤àï¢æ¥¢ �.�., �ãâ á®¢ �.�., �¥å«®¢ �.�., � ¡ã­¨­

�.�. �¡®à­¨ª § ¤ ç ¯® ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®¬ã  ­ «¨§ã. �ã­ª-樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå / �®¤ ।. �.�. �ã¤àï¢æ¥¢ . {��¡: � ãª , 1994 { 496 á.