misalkan p himpunan bilangan bulat kelipatan 3
TRANSCRIPT
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
1/33
Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan
dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.
Jawaban:
P = {3x|x Z }Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.
1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a+b P.Perhatikan :a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)
= (x+y) + (x+y) + (x+y)
= 3(x+y)
Karena x+y Z, maka a+b P
2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a+b = b+aPerhatikan:
a+b = 3x + 3y = 3(x+y)= 3(y+ x)
= 3y + 3x= b + a
3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)Perhatikan:
a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)
= 3x + 3(y+z)=3(x+ (y+z))
= 3((x+y) + z)
= 3(x+y) + 3z
= (3x + 3y) + 3z= (a+b) + c
4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.Ambil sebarang a = 3x P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.Perhatikan:
a + 0 = 3x + 3.0
= 3(x+0)
= 3x= a
Ini berarti 0 unsur nol dalam P.
5. Ambil sebarang a = 3x P. Pilih b = 3(-x) P. Akan ditunjukkan(3x) = 3(-x)Perhatikan:3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))
= 3.0= 0
Jadi(3x) = 3(-x)
Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
2/33
1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a.b P.Perhatikan:
a .b = 3x . 3y= 3. 3xy
= 3(3xy)
Karena 3xy Z, maka a.b P.2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c
Perhatikan:
a.(b.c) = 3x(3y . 3z)
= 3x(3(3yz))
= 3.3.3(x(yz))= 3.3.3((xy)z)
= 3.3(xy) . 3z
= (3x . 3y). 3z
= (a.b). c
Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.
1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan(b+c)a = b.a + c.a
Perhatikan:
a(b+c) = 3x(3y + 3z)
= 3x(3(y + z))= 3.3(x(y + z))
= 3.3(xy + xz)
= 3.3xy + 3.3xz= a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x
= ((y+z)3). 3x= ((y+z)x)3.3
= (yx + zx)3.3= 3.3yx + 3.3zx
= 3y.3x + 3z.3x
= b.a + c.a
Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.
1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a.b = b.aPerhatikan:
a .b = 3x. 3y= 3.3xy
= 3.3yx= 3y. 3x
= b.a
Jadi P adalahgelanggangatau ring komutatif.
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
3/33
2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.
Bukti :
Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsiyang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan
operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari
fungsi.Misalkan f : Z Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalamcontoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z
maka:
x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Zsehingga:
xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai
nq + r.
Akibatnya:xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring
3. Bila didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(2 )merupakan ring bagian dari R.
Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(2 ) juga himpunan yang tidakkosong.
Terhadap operasi pergandaan bersifat( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2dan terhadap operasi pengurangan bersifat
( a + b ) 2 ( c + d ) 2 = ( ac ) + ( bd ) 2Karena ac + 2bd, ad + bc, ac dan ad tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi
pengurangannya tetap dalam Q (2 ).Oleh karena itu Q (2 ) merupakan ring bagian dari R.Perlu dicatat bahwa Q (2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i a, b dalam R }Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b2 dan dalam hal ini ring Q ( 2 ) mengandungQ, seperti juga C mengandung R.
4. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma.Penyelesaian :
Tabel
Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
4/33
Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel
tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua
unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehinggaterdapat korespodensi 11 dari kedua tabel tersebut.Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut
dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) (H,.), untuk setiapa, b Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,sehingga :
p(a + b) = p(a) . p(b)p(0 + 1) = p(0) . p(1)
p(1) = 1 . -1
-1 = -1
Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif,sehingga merupakan Isomorfisma.
5. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+)yang didefinisikan pemetaan p : Z Z adalah p(x) = 2x, x Z, adalah suatu Homomorfisma.Penyelesaian :
Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma :
Misalkan x, y Z, maka p(x + y) = 2(x + y)
= 2x + 2y
= p(x) + p(y)
Sehingga p adalah suatu Homomorfisma.Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan
(kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup kedalam dirinya sendiri.
6. Tunjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring.
Penyelesaian :
Tabel
Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
5/33
Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4= {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi
:1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)
- Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z41 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 31 + 3 = 0
karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4- Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2
a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2maka Z4 assosiatif
- Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari Z4
misalkan 0 Z40 + e = e + 0 = 0
misalkan 1 Z41 + e = e + 1 = 1
misalkan 2 Z42 + e = e + 2 = 2
misalkan 3 Z43 + e = e + 3 = 3
maka Z4 ada unsur satuan atau identitas- Adanya unsur balikanatau invers
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
6/33
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 Z4, pilih 0 Z4,sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)
-1= 0
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 Z4, pilih 3 Z4,sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)
-1= 3
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 Z4, pilih 2 Z4,sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)
-1= 2
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 Z4, pilih 1 Z4,sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)
-1= 1
maka Z4 ada unsur balikan atau invers
- Komutatif
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 Z4(a + b) = (2 + 3) = 1
(b + a) = (3 + 2) = 1Sehingga :
(a + b) = (b + a) = 1
maka Z4 komutatifJadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +).
2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)
- Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z41 . 0 = 0
1 . 1 = 1
1 . 2 = 2
1 . 3 = 3karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4- Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = 2maka Z4 assosiatif
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4a.(b + c) = 2.(1 + 3)
= 2.(0)= 0
(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)
= 2 + 6= 0Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
7/33
(a + b).c = (2 + 1).3
= (3).3
= 1(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)
= 2 + 3
= 1Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu
Ring (Z4,+,.).
7. Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif.
Penyelesaian :
Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarangakan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.
a . b = b . a, a,b Z4
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3
Z4 (pada tabel no.6)2 . 3 = 2
3 . 2 = 2Sehingga
2 . 3 = 3 . 2 = 2
Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah
Ring Komutatif atau Ring Abelian.
8. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan genapdan ganjil adalah suatu Ring Komutatif.Penyelesaian:
Tabel
Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)
Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif
bila memenuhi :
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)
- TertutupAmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil Pgenap + genap = genap
genap + ganjil = ganjil
ganjil + ganjil = genap
Karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P
- Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
8/33
(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil
a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil
Sehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil
Maka P assosiatif
- Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih genap P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap
maka P ada unsur satuan atau identitas
- Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)
-1= genap
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)
-1= ganjil
maka P ada unsur balikan atau invers
- Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil P
(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil
Sehingga :(a + b) = (b + a) = ganjilmaka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +).
2. Monoid terhadap perkalian (P, .)- Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil Pgenap . ganjil = genapgenap . genap = genap
ganjil . ganjil = ganjil
karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P
- AssosiatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap
a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = genapmaka P assosiatif
- Adanya unsur satuan atau identitas
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
9/33
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil
maka P ada unsur satuan atau identitas- Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil P(a . b) = (genap . ganjil) = genap
(b . a) = (ganjil . genap) = genap
Sehingga :
(a . b) = (b . a) = genapmaka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap Pa.(b + c) = genap . (ganjil + genap)
= genap.(ganjil)= genap
(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)
= genap + genap
= genapmaka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap
(a + b).c = (genap + ganjil). Genap
= (ganjil). Genap= genap
(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)= genap + genap
= genapmaka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap
Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatuRing Komutatif (P,+, .).
9. Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa RingKomutatif tersebut adalah Integral Domain.
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengankata lain:
a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0
Misalkan :X = {,-3, -1, 1, 3, } adalah himpunan bilangan ganjil danY = {, -4, -2, 0, 2, 4,} adalah himpunan bilangan genap.Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
10/33
genap ada unsur nol.
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0
jika a = 0 atau b = 0, a,b P.
10. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a 0, serta b,c R.Tunjukan bahwa b
= c.Penyelesaian :
ab = ac, maka:abac = 0a(bc) = 0Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a 0, maka :bc = 0Jadi b = c
11. Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.
Penyelesaian :
Daftar Cayley (Z4, .)
Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh
[2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] [3].Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki
pembagi nol yaitu [2].12. Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring
Komutatif tersebut adalah Field.
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap
perkalian, dengan kata lain:
a P, a-1
P, sedemikian sehingga a . a-1
= a-1. a = e
Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap.ganjil = genap e
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
11/33
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap.genap = genap e
maka P tidak ada unsur balikan atau invers.
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.
Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P Z, adalah suatu RingKomutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan
Field (Lapangan).
Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.
Bukti :
Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi
yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan
operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) darifungsi.
Misalkan f : Z Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalamcontoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Zmaka:
x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z
sehingga:xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai
nq + r.
Akibatnya:
xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)
Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring
Bila didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(2 )
merupakan ring bagian dari R.
Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(2 ) juga himpunan yang tidakkosong.
Terhadap operasi pergandaan bersifat( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
12/33
dan terhadap operasi pengurangan bersifat
( a + b ) 2 ( c + d ) 2 = ( a c ) + ( bd ) 2
Karena ac + 2bd, ad + bc, ac dan ad tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasipengurangannya tetap dalam Q (2 ).
Oleh karena itu Q (2 ) merupakan ring bagian dari R.
Perlu dicatat bahwa Q (2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i a, b dalam R }
Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b2 dan dalam hal ini ring Q ( 2 ) mengandungQ, seperti juga C mengandung R.
Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma.
Penyelesaian :
Tabel
Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)
Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel
tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang duaunsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga
terdapat korespodensi 11 dari kedua tabel tersebut.
Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut
dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) (H,.), untuk setiapa, b Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,
sehingga :
p(a + b) = p(a) . p(b)
p(0 + 1) = p(0) . p(1)
p(1) = 1 . -1
-1 = -1
http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture2.jpg -
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
13/33
Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif,sehingga merupakan Isomorfisma.
Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang
didefinisikan pemetaan p : Z Z adalah p(x) = 2x, x Z, adalah suatu Homomorfisma.
Penyelesaian :
Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma :
Misalkan x, y Z, maka p(x + y) = 2(x + y)= 2x + 2y
= p(x) + p(y)
Sehingga p adalah suatu Homomorfisma.
Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan(kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke
dalam dirinya sendiri.
unjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring.
Penyelesaian :
Tabel
Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0
Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4= {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi:
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)
- Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z4
http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture3.jpg -
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
14/33
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 0
karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4
- Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4
(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2
a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2
maka Z4 assosiatif
- Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari Z4
misalkan 0 Z40 + e = e + 0 = 0
misalkan 1 Z41 + e = e + 1 = 1
misalkan 2 Z42 + e = e + 2 = 2
misalkan 3 Z43 + e = e + 3 = 3
maka Z4 ada unsur satuan atau identitas
- Adanya unsur balikanatau invers
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 Z4, pilih 0 Z4,sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)
-1= 0
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
15/33
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 Z4, pilih 3 Z4,sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)
-1= 3
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 Z4, pilih 2 Z4,sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)
-1= 2
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 Z4, pilih 1 Z4,sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)
-1= 1
maka Z4 ada unsur balikan atau invers
- Komutatif
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 Z4
(a + b) = (2 + 3) = 1
(b + a) = (3 + 2) = 1
Sehingga :
(a + b) = (b + a) = 1
maka Z4 komutatif
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +).
2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)
- Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z4
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
1 . 2 = 2
1 . 3 = 3
karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4
- Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
16/33
(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2
a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = 2
maka Z4 assosiatif
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4
a.(b + c) = 2.(1 + 3)
= 2.(0)
= 0
(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)
= 2 + 6
= 0
Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0
(a + b).c = (2 + 1).3
= (3).3
= 1
(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)
= 2 + 3
= 1
Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
17/33
Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu
Ring (Z4,+,.).
Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif.
Penyelesaian :
Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarangakan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.
a . b = b . a, a,b Z4
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 Z4 (pada tabel no.6)
2 . 3 = 23 . 2 = 2
Sehingga
2 . 3 = 3 . 2 = 2
Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah
Ring Komutatif atau Ring Abelian.
Misalkan P = {genap, ganjil} dan P Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan genap danganjil adalah suatu Ring Komutatif.
Penyelesaian :
Tabel
Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)
Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif
bila memenuhi :
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)
- Tertutup
http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/tabel.jpg -
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
18/33
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil P
genap + genap = genap
genap + ganjil = ganjil
ganjil + ganjil = genap
Karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P
- Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P
(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil
a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil
Maka P assosiatif
- Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih genap P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap
maka P ada unsur satuan atau identitas
- Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)
-1= genap
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)
-1= ganjil
maka P ada unsur balikan atau invers
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
19/33
- Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil P
(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil
Sehingga :
(a + b) = (b + a) = ganjil
maka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +).
2. Monoid terhadap perkalian (P, .)
- Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil P
genap . ganjil = genap
genap . genap = genap
ganjil . ganjil = ganjil
karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P
- Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P
(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap
a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = genap
maka P assosiatif
- Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
20/33
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil
maka P ada unsur satuan atau identitas
- Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil P
(a . b) = (genap . ganjil) = genap
(b . a) = (ganjil . genap) = genap
Sehingga :
(a . b) = (b . a) = genap
maka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P
a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)
= genap.(ganjil)
= genap
(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)
= genap + genap
= genap
maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap
(a + b).c = (genap + ganjil). Genap
= (ganjil). Genap
= genap
(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
21/33
= genap + genap
= genap
maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap
Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu
Ring Komutatif (P,+, .).
Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring
Komutatif tersebut adalah Integral Domain.
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.
Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengankata lain:
a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0
Misalkan :
X = {,-3, -1, 1, 3, } adalah himpunan bilangan ganjil danY = {, -4, -2, 0, 2, 4,} adalah himpunan bilangan genap.
Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan
genap ada unsur nol.Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0
jika a = 0 atau b = 0, a,b P.
Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring
Komutatif tersebut adalah Integral Domain.
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.
Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengankata lain:
a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0
Misalkan :
X = {,-3, -1, 1, 3, } adalah himpunan bilangan ganjil danY = {, -4, -2, 0, 2, 4,} adalah himpunan bilangan genap.
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
22/33
Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan
genap ada unsur nol.
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0
jika a = 0 atau b = 0, a,b P.
Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a 0, serta b,c R.Tunjukan bahwa b = c.
Penyelesaian :
ab = ac, maka:
abac = 0a(bc) = 0
Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a 0, maka :bc = 0
Jadi b = c
Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.
Penyelesaian :
Daftar Cayley (Z4, .)
Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh[2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] [3].
Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki
pembagi nol yaitu [2]
Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatiftersebut adalah Field.
http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture4.png -
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
23/33
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.
Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap
perkalian, dengan kata lain:a P, a
-1P, sedemikian sehingga a . a
-1= a-
1. a = e
Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap.ganjil = genap e
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap.genap = genap e
maka P tidak ada unsur balikan atau invers.
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.
Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P Z, adalah suatu RingKomutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakanField (Lapangan).
CONTOH SOAL STRUKTUR ALJABAR
1.Himpunan
Contoh 1
Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan
bulat positif, didefinisikan x * y = |xy| bila x y dan x * x = x untuk
setiap x,y Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan
assosiatif.Penyelesaian :
a. Tertutup
Misalkan x = 2 dan y = 3,x * y = 2 * 3 = 1x * x = 2 * 2 = 2x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Z+
b. Komutatif
x, y Z+, misalkan x = 2 dan y = 3x * y = 2 * 3 = |23| = 1
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
24/33
y * x = 3 * 2 = |32| = 1x * y = y * x komutatif
c.Assosiatif
x, y, z Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4
(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 3| * 4 = |14| = 3x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 4| = |21| = 1
(x * y) * z x * (y * z) tidak assosiatif
Contoh 2
Jika A, B R didefinisikan A = { x | 1 x 4} = { 1, 2, 3, 4} dan
B = { x | 2 x 3} = {2, 3}. Tunjukan bahwa A x B B x A !Penyelesaian :
Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2),
(4,3)}Relasi terhadap B x A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3),(3,4)}
2.semigrup dan monoid
Contoh 1
Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:
a * b = a + b + ab
Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.Penyelesaian:
1. Tertutup
Ambil sebarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka
a * b = a + b + ab * N.Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
2. Assosiatif
Ambil sebarang a, b, c * N, maka(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc
a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc
Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku
(a * b) * c = a * (b * c).
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
25/33
Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.
Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S, *) disebut
juga semigrup abel.
Contoh 2
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap
penjumlahan (G, +).
Penyelesaian:Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut
+ -1 1
-1 -2 0
1 0 2
Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1}menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan
G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Jadi, (G, +) bukan suatu grup.
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
26/33
3.Dasar2 grup
Contoh 1
tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakanSubgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).Penyelesaian :
H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},sehingga H G.
Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syaratsuatu Grup :
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Hmisalkan 0, 2, 4 H
0 + 0 = 00 + 2 = 20 + 4 = 42 + 2 = 42 + 4 = 04 + 4 = 2
karena hasilnya 0, 2, 4 H,maka tertutup terhadap H
b.AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Hmisalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2Sehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = 2maka H assosiatif
c.Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)Ambil sebarang nilai dari G misalkan 0 G0 + e = e + 0 = 0 misalkan 2 G
2 + e = e + 2 = 2 misalkan 4 G
4 + e = e + 4 = 4maka G ada unsur satuan atau identitas
d.Adanya unsur balikan atau inversAmbil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G,
sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
27/33
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G,sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G,sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2maka G ada unsur balikan atau invers
e.Adanya unsur satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari H
misalkan 4 H4 + e = 4 + 0 = 4e + 4 = 0 + 4 = 4Sehingga :4 + e = e + 4 = 4maka H ada unsur satuan atau identitas
f.Adanya unsur balikan atau inversAmbil sebarang nilai dari H, misalkan 4 H4 + (-4) = 44 = 0 = e(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = eSehingga :4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = emaka H ada unsur balikan atau inversJadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +)merupakan Subgrup dari (G, +).
Contoh 2tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakanSubgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H G.Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 2, 3 H
didapat : 2 + 3 = 55 G tetapi 5 H, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +)Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
4.Grup siklik
Contoh 1Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangunoleh 1.
Penyelesaian :
[1] = {, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, }= {, -2, -1, 0, 1, 2, }
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
28/33
Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.
Contoh 2Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.Penyelesaian :
Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1
[-1] = {(-1)n| n Z}= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, }= {-1, 1}[1] = {(1)n| n Z}= {(1)0, (1)1, (1)2, }= {1}generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :[-1] = {-1, 1}
generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :[1] = {1}.
5.Grup faktor
Contoh 1Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakanSubgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.Penyelesaian :
(G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3
Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}2 + H = 2 + {0,2} = {2,0}3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}Koset kanan: H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}Sehingga :0 + H = H + 0= {0,2}
1 + H = H + 1= {1,3}2 + H = H + 2 = {0,2}3 + H = H + 3 = {1,3}Maka koset kiri = koset kanan
Contoh 2Misalkan 3Z adalah merupakan Subgrup dari Z. Tentukan koset kiri dankoset kanan dari 3Z dalam Z.
Penyelesaian :
Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi penjumlahandan operasi perkalian.
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
29/33
Diketahui :Z = { , -2, -1, 0, 1, 2, }3Z = {., -6, -3, 0, 3, 6, }
a. Terhadap operasi penjumlahan
Koset kiri :-2 + 3Z = {., -8, -5, -2, 1, 4, }-1 + 3Z = {., -7, -4, -1, 2, 5, }0 + 3Z = {., -6, -3, 0, 3, 6, }1 + 3Z = {., -5, -2, 1, 4, 7, }2 + 3Z = {., -4, -1, 2, 5, 8, }
Koset kanan:3Z + (-2) = {., -8, -5, -2, 1, 4, }
3Z + (-1) = {., -7, -4, -1, 2, 5, }3Z + 0 = {., -6, -3, 0, 3, 6, }3Z + 1 = {., -5, -2, 1, 4, 7, }3Z + 2 = {., -4, -1, 2, 5, 8, }Koset kiri = Koset kanan
b. Terhadap operasi perkalian
Koset kiri :-2 . 3Z = {., 12, 6, 0, -6, -12, }
-1 . 3Z = {., 6, 3, 0, -3, -6, }0 . 3Z = {0}1 . 3Z = {., -6, -3, 0, 3, 6, }2 . 3Z = {., -12, -6, 0, 6, 12, }
Koset kanan:3Z . (-2) = {., 12, 6, 0, -6, -12, }3Z . (-1) = {., 6, 3, 0, -3, -6, }3Z . 0 = {0}3Z . 1 = {., -6, -3, 0, 3, 6, }3Z . 2 = {., -12, -6, 0, 6, 12, }
Koset kiri = Koset kanan
6.RING
Contoh 1Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.
Bukti :
Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu
fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut
mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan daerah
asal (domain) dari fungsi.
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
30/33
Misalkan f : Z Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n.Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y
dalam Z maka:
x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z
sehingga:
xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakansebagai nq + r.
Akibatnya:
xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)
Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring
Contoh 2.Didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q }. Buktikan bahwa Q(2 ) merupakan ring
bagian dari R
Jawab:Bila didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(2 )merupakan ring bagian dari R.
Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(2 ) juga himpunan yang tidakkosong.
Terhadap operasi pergandaan bersifat
( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2dan terhadap operasi pengurangan bersifat
( a + b ) 2 ( c + d ) 2 = ( a c ) + ( bd ) 2Karena ac + 2bd, ad + bc, ac dan ad tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi
pengurangannya tetap dalam Q (2 ).Oleh karena itu Q (2 ) merupakan ring bagian dari R.Perlu dicatat bahwa Q (2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i a, b dalam R } Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b2 dan dalam hal ini ring Q ( 2 )mengandung Q, seperti juga C mengandung R.
7.subring
Contoh 1Akan kita tunjukan bahwa S = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu
Ring.1. S , syarat terpenuhi karena S = {0, 2}
2. a - b SMisalkan 0, 2 S20 = 222 = 002 = 2Sehinigga 0, 2 S3. a . b S
Misalkan 0, 2 S
2 . 0 = 02 . 2 = 0
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
31/33
0 . 2 = 0
Sehingga 0 SSyarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka S adalah Subring dari Z4.
Contoh 2
Diketahui R ring komutatif dan himpunan bagian X R . Didefinisikan
I X = { I ideal di R I X I } = dan (X)= Jika A,B R , maka (A) (B) merupakan
IIX.ideal pada (A) .Bukti.Karena (A),(B) ideal-ideal di R, maka (A) (B) juga merupakan ideal di R. Karena
berlaku hubungan (A)(B) (A) , maka untuk setiap x (A)(B) dan r (A)selalu
berlaku rx =xr(A) (B) . Jadi, terbukti bahwa (A) (B) merupakan ideal pada A .
8.ring faktor & homomorfisma
Contoh 1
Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z6.Tunjukan Z6/K adalah merupakan Ring Faktor.
Penyelesaian :Ada dua koset / Ideal dari Ring Z6, yaitu :K = {0, 2, 4}K + 1 = {1, 3, 5}Sehingga Z6/K = {K, K + 1}
Tabel 8.1.
Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, +) dan (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, .)
Tabel 8.1. menunjukan penjumlah dan perkalian unsur-unsur dari Z6/K.Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahw Z6/K dengan syaratsyaratsuatu Ring merupakan Ring Faktor dari Z6/K. Adapun syaratsyaratnyasebagai berikut :
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K, K + 1 Z6/K
+ k K+1
k k k-1
K+1 K+1 k
. k K+1
k k k
K+1 k k-1
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
32/33
berlaku K + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1
Sehingga K + 1 Z6/K
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K, K + 1 Z6/K
[K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)][K + (0 + 1)] + (K + 1) = K + [K + (1 + 1)](K + 1) + (K + 1) = K + (K + 0)K + (1 + 1) = K + (0 + 0)K = KSehingga [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)] = K
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K + 1 Z6/K
(K + 0) + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1
(K + 1) + (K + 0) = K + (1 + 0) = K + 1Sehingga (K + 0) + (K + 1) = (K + 1) + (K + 0) = K + 1
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K + 1 Z6/K(K + 1) + (K + (-1)) = K + (1 + (-1)) = K + 0 = K(K + (-1)) + (K + 1) = K + ((-1) + 1) = K + 0 = KSehingga (K + 1) + (K + (-1)) = (K + (-1)) + (K + 1) = K + 0 = K
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K + 1 Z6/KK + (K + 1) = (K + 1) + KK + (0 + 1) = K + (1 + 0)K + 1 = K + 1Sehingga K + (K + 1) = (K + 1) + K = K + 1
6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/K K, K + 1 Z6/Kberlaku K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = KSehingga K Z6/K
7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/K K, K + 1 Z6/K
[K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)][K + (0 . 1)] . (K + 1) = K . [K + (1 . 1)](K + 0) . (K + 1) = K . (K + 1)K + (0 . 1) = K + (0 . 1)K = KSehingga [K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)] = K
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di Z6/K
K Z6/K(K + 1) . K = K + (1 . 0) = K + 0 = K
-
5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3
33/33
K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = KSehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K
9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K, K + 1 Z6/K
Misalkan a = K , b = K + 1 dan c = K + 1a. (b + c) = (a . b) + (a . c)K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)]K . [K + (1 + 1)] = [K + (0 . 1)] + [K + (0 . 1)]K + [0 . (1 + 1)] = K + [(0 . 1) + (0 . 1)]K + (0 . 0) = K + (0 + 0)K = KSehingga K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)] = KJadi, Z6/K = {K, K + 1} adalah merupakan suatu Ring Faktor
Contoh 2Tunjukan apakah f : ZR dengan f(a) = a adalah suatu HomomorfismaRing.Penyelesaian :
Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku :1. f(a + b) = f(a) + f(b)2. f(a . b) = f(a) . f(b)Sehingga :
1. f(a + b) = f(a) + f(b), a, b R
(a + b) = (a) + (b)a + a = a + b
2. f(a . b) = f(a) . f(b), a, b R(a . b) = (a) . (b)a . b = a . bDikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) makaf : ZR untuk f(a) = a adalah merupakan suatu HomomorfismaRing.
9.ring polinom
Contoh 1
Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z3[x], dimanap(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, p(x) adalah polinom yang dibagi dang(x) polinom pembagi.