miseln-gen-04 generalità sulle misure di grandezze fisiche · il misurando non è messo a...
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Misure-generalità n. 4
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MISELN-GEN-04
Torino, 28-May-02
Franco FerrarisMarco Parvis
Generalità sulle Misure diGrandezze Fisiche
- Misurazioni indirette- Esempi di stima di incertezze
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Testi consigliati
• Norma UNI 4546 - Misure e Misurazioni; terminie definizioni fondamentali - Milano - 1984
• Norma UNI-CEI 9 - Guida all’espressionedell’incertezza nella misurazione - Milano - 1997
– UNI: Ente Nazionale Italiano di UnificazioneCEI: Comitato Elettrotecnico Italiano
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Il misurando non è messo a confronto con una gran-dezza di riferimento della stessa specie (campione),
ma
il valore del misurando e’ ottenuto
elaborando i risultati di una o piu’misurazioni dirette
effettuate su grandezze ad esso collegate
Misurazioni indirette
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• Esempi:– Velocità di un oggetto: misurazioni dirette
di lunghezza e tempo
– Densità di una sostanza: misurazioni di-rette di massa e di volume
– Volume di un solido sferico: misurazionediretta di lunghezza (diametro)
– Resistenza di un resistore: misurazionidirette di tensione e corrente
Misurazioni indirette
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Misure-generalità n. 4
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• La maggior parte delle misure è ottenu-ta in questo modo
• Motivazione della scelta: quasi sempreper ragioni di comodita’ (costo,...)
– Con riferimento agli esempi:
– la densità potrebbe essere ottenutaanche con un densimetro
– la resistenza potrebbe essere ottenutaper confronto con resistore campione
Misurazioni indirette
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• La misurazione indiretta presupponel’esistenza di un modello
n’ = f(n1, n2, .. n i ... nm )
che lega le m misure ni delle grandezzeq1, ...qm alla misura n’ della grandezza q’
• La presenza del modello implica unaincertezza aggiuntiva “di modello”:f(...) non descrive adeguatamente lerelazioni nel mondo empirico
Misurazioni indirette
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Misure-generalità n. 4
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• Esempi:– Velocità: v = l / t
– Densità: δ = m / V
– Volume: V = π · d3 / 6
– Resistenza: R = V / I
Misurazioni indirette
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Stima delle incertezze Modello deterministico
• Ipotesi:– Sono definite e note le incertezze δni delle
misure dirette ni
ni = nio ± δni
– Le grandezze qi sono tutte indipendenti– Le incertezze δni sono piccole rispetto alle
misure ni
– Sono definite e calcolabili le derivate parzialiprime di f rispetto alle variabili indipendenti
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• Il valore centrale n’o da attribuire allamisura è dato da:
– con nio valori centrali delle misure ni
StimaModello deterministico
n’o = f(n1o, n2o, .... nmo)
δ ∂∂
δ ∂∂
δ ∂∂
δ′ = + +nf
nn
fn
nf
n mn m
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• L’incertezza massima δn’ da attribuirealla misura è data da:
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Esempi (a > 0, b > 0)
• Somma
• Differenza
x a b
x E a bx
= += = +δ δ δ
x a b
x E a bx
= −= = +δ δ δ
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Esempi
• Prodotto
• Quoziente
x a b
x
x
a
a
b
bx a b
= ⋅
= = + = +δ ε δ δ ε ε
xa
bx
x
a
a
b
bx a b
=
= = + = +δ ε δ δ ε ε
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Esempi
• Potenza
• Radice
x a
x
xn
a
an
n
x a
=
= = =δ ε δ ε
x a
x
x n
a
a n
n
xa
=
= = =δ ε δ ε1
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Esempi
• Piccolo incremento
x aa
x
x
a
a a ax a
= + <<
= = + ⋅ = +
∆ ∆
∆ ∆∆
∆∆
; 1
δ ε δ δ ε ε
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Modello probabilistico
• La stima n’o da attribuire alla misura èdata da:
– con nio valori stimati delle misure niottenute con le misurazioni dirette
n’o = f(n1o, n2o, .... nmo )
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• Ipotesi analoghe al caso deterministico:– Sono definite e note le incertezze tipo uni
dellemisure dirette ni
– Le grandezze qi sono tutte statisticamenteindipendenti
– Le incertezze tipo uni sono piccole rispetto alle
misure ni
– Sono definite e calcolabili le derivate parzialiprime di f rispetto alle variabili indipendenti
Stima delle incertezze modello probabilistico - I
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Stimamodello probabilistico - I
• La varianza composta u2n’ da attribuire
alla misura è data da:
• L’incertezza tipo composta un’ è laradice quadrata positiva della varianzacomposta
u nf
nu n
fn
u nf
nmu n m′ =
+
+
2
1
22
2
22
22
1 2
∂∂
∂∂
∂∂
. . .
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• Se non vale l’ipotesi di non correla-zione:
– Sono definite e note le incertezze tipo unidelle misure dirette ni
– Le grandezze qi sono correlate– Le incertezze tipo uni
sono piccole rispettoalle misure ni
– Sono definite e calcolabili le derivate parzialiprime di f rispetto alle variabili indipendenti
Stima delle incertezze modello probabilistico - II
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Stimamodello probabilistico - II
• La varianza composta u2n’ da
attribuire alla misura è data da:
• dove uni,nj è la covarianza stimata
associata a ni e nj
u nf
n iu n
i
m fn ij i
m
i
m fn j
u n ni
i j′ =
=+
= +
−
=
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2
12
1
1
1
∂∂
∂∂
∂∂ ,
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• Anche in questo caso:L’incertezza tipo composta un’ è laradice quadrata positiva della varianza
composta
Stimamodello probabilistico - II
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• La covarianza delle medie aritmetiche di duevariabili aleatorie p e q è data da:
Stimamodello probabilistico - II
( )u p q m mp k p
k
mq k q,
_ _=
−−
=−
1
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• Somma
• Differenza
x a b
u u ux a b
= +
= +2 2 2
Esempi (a > 0, b > 0, non correlati)
x a b
u u ux a b
= −
= +2 2 2
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Esempi (non correlati)
• Prodotto
• Quoziente
x a b
u
x
u
a
u
bx a b
= ⋅ =
+
2 2 2
xa
b
u
x
u
a
u
bx a b
=
=
+ 2 2 2
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Esempi
• Potenza
• Radice
x a n=. . . . . . . . . . . . .
x an=. . . . . . . . . . . . .
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• Se tutte le stime d’ingresso sono correlatecon coefficienti di correlazione rni,nj
= 1
• I coefficienti di correlazionesono definiti come:
Esempi
rp qu p q
u p u q,
,=⋅
u nf
n iu n
i
m
i′ ==
2
1
2∂
∂
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Misurazioni dirette e indirette
Un esempio:
misura di resistenza di unresistore
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Misurazione di resistenze(modello deterministico dell’incertezza)
Si analizzano tre metodi:• ohmetro• metodo “volt-amperometrico”• ponte di Wheatstone
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Ohmetro
Metodo di misurazione in cui lo strumentofornisce direttamente la misura.Prestazioni metrologiche definite da:
• Caratteristiche dello strumento
• Grandezze di influenza
• Incertezza intrinseca del misurando(effetto della temperatura, resistenze di contatto,ecc.)
L’incertezza intrinseca del misurando sarà discussa unasola volta parlando del ponte di Wheatstone
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Le prestazioni dello strumentoricavate dal manuale sono diversein base alla portata impiegata:Portata Incertezza
300 Ω 0.7%+2 count
3kΩ - 3MΩ 0.7%+1 count
30MΩ 2%+1 count
OhmetroCaratteristiche strumento
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Grandezze influenzaOhmetro
Il campo d’impiego delle grandezzedi influenza per il corretto funziona-mento dello strumento è letto sulmanuale; ad esempio:
• temperatura: 25±5 °C
• tempo dalla taratura: 1 anno
Si ipotizza che la misurazione siaeseguita all’interno del campo d’impiego
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Ohmetro
La formula dell’incertezza è binomia e quindiincertezze relative inferiori si hanno vicinoal fondo scala
Esempi (L é la lettura):
( )
R L
E
R L
E
R R
R R
= =
= ⋅ + = = ≈ ≈
= =
= ⋅ ⋅ + = = ≈ ≈
2900 2900
2900 0 007 1 213213
29000 0074 0 7%
3100 310
10 310 0 007 1 317317
31000 01 1%
Ω
Ω
Ω
Ω
. ..
. .
. ..
.
ε
ε
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Metodo “ volt-amperometrico”
Metodo di misurazione indiretto in cui ilvalore di resistenza è ottenuto come:
RV
I=
a partire dalle misurazioni dirette di unvoltmetro ed un amperometro.
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Metodo “ volt-amperometrico”
Prestazioni metrologiche definite da:
• Caratteristiche degli strumenti, grandezze diinfluenza e composizione delle incertezze
• Incertezza intrinseca del misurando (effetto dellatemperatura, resistenze di contatto, ecc.)
• Tipo di circuito impiegato per la misurazione:voltmetro “a monte” oppure voltmetro “a valle”(problema del carico strumentale o “consumo”)
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Misurazione indiretta: si sommano le incertez-ze relative degli strumenti :
RV
I R V I= = +ε ε ε
Metodo “volt-amperometrico”
Esempio: strumenti elettromeccanici in classe 1
V V
I A
V V V V
I A I A
RV
I
FS
FS
V
I
R
==
= == =
=
=
= = =
100
10
1 80
01 4
125%
2 5%
20 375%
δδ
εε
ε
.
.
.
; .Ω
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Metodo “volt-amperometrico”
Gli strumenti non sono “ideali”
• L’amperometro ha una resistenza interna RAnon nulla
• Il voltmetro ha una resistenza interna RVnon infinita
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Metodo “volt-amperometrico”
Voltmetro a monte: si misura R+RA
Voltmetro a valle: si misura R//RV
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Metodo “volt-amperometrico”
Il “consumo” può essere uno scostamentoperché:
• può essere descritto da un modello e quindipuò essere corretto
• la correzione non può essere totale, perchéi valori del carico strumentale sono affetti daincertezza
• e quindi conviene cercare prima di tutto lacondizione operativa in cui l’effetto delcarico strumentale è minore
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Il ponte di Wheatstone
Metodo di misurazione in cui il valore diresistenza è ottenuto per “confronto” del
resistore incognito con resistori campione
Il confronto si effettua ricercando unequilibrio di tensioni, cioè la misura nulla
di una tensione “a vuoto”
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Il ponte di Wheatstone
RR
RRX
A
BC=
Si modifica il campione C fino a che il galvano-metro G indica equilibrio
• RX: misurando
• RA/RB: trasduttore“comandato”
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Prestazioni metrologiche definite da:
• Caratteristiche dei resistori impiegati
• Grandezze di influenza
• Risoluzione del galvanometro
• Fenomeni secondari (forze termoelettromotrici,resistenze di contatto,...)
• Incertezza intrinseca del misurando (effettodella temperatura, resistenze di contatto, ecc.)
Il ponte di Wheatstone
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Il ponte di Wheatstone
L’incertezza su RX relativa ai resistori impiegatisi ottiene con le regole di composizione delleincertezze:
RR
RRX
A
BC R R R RX A B C i
= = + + +ε ε ε ε ε δ
Note:
• I termini εδi rappresentano gli effetti secondari di cui si
tiene conto nel calcolo delle incertezze
• Nel calcolo delle incertezze ε si è tenuto conto dellegrandezze di influenza (temperatura, tempo, ...)
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Il ponte di Wheatstone
L’incertezza σX dovuta al galvanometro si deter-mina sperimentalmente squilibrando leggermenteil ponte
σδ
δ
XX X
X
X
X
R R
e e
R
R
e
e
R=
∆∆
∆∆ ∆
/
/ dove
valore di equilibrio di X
variazione intorno all'equilibrio
deviazione prodotta da
minima deviazione apprezzabile
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• L’incertezza stimata finora è dunquecomposta dai termini:
ε ε ε ε σR R R R XX A B C= + + + +. ..
Il ponte di Wheatstone
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Il ponte di Wheatstone
• L’incertezza dovuta ad alcuni effetti secondarisi può valutare con prove “ad hoc”.
• I principali effetti secondari sono:• le forze termoelettromotrici (FTEM)• le resistenze di contatto.
• Questi effetti secondari sono:• correggibili con opportuni modelli• riducibili con opportuni procedimenti
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Il ponte di Wheatstone
Una FTEM è una tensione chesi genera quando:
• Esiste una giunzione tramateriali diversi
• Esiste una differenza ditemperatura tra i punti delcircuito.
( ) ( ) ( )e f T T T T T T
V K
FTEM = − ≈ − + − +
≈ ÷ ≈
1 2 1 2 1 2
2
5 50 0
α βα µ β
..
/ ;
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Misure-generalità n. 4
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Il ponte di Wheatstone
L’effetto delle FTEM:
• Si minimizza equalizzando termicamente ilcircuito
• Si rende sufficientemente piccoloeseguendo due misure prima e dopo averinvertito l’ali-mentazione del ponte (le FTEM,che dipendono dalla temperatura, non si invertono)
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Il ponte di Wheatstone
La resistenza di contatto è quella resistenzache si genera ove esiste un contatto mobile tradue conduttori.
Le resistenze di contatto sono causa di problemiperché:
• Il valore varia ogni volta che si fa il contatto
• Si tratta di resistenze non note che sipongono in serie ai diversi elementi e nealterano il valore
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Misure-generalità n. 4
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Il ponte di Wheatstone
Le resistenze di contatto sono dell’ordinedei centesimi di ohm. Il loro effettorelativo é tanto più elevato quanto piùsono bassi i valori di resistenza coinvolti
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Il ponte di Wheatstone
I contatti sono due per ogni oggetto, cioè dieciin un ponte
Ogni contatto si puòmodellizzare conuna resistenza
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Il ponte di Wheatstone
L’effetto delle resistenze di contatto può esserediminuito operando (se possibile) con resistoriA, B e C di elevato valore
NOTA: esistono confi-gurazioni circuitali per“eliminare” l’effetto dialcune resistenze dicontatto, ma NON ditutte
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• Soluzione: prelevare la tensione che definiscela resistenza in modo indipendente dall’ad-duzione della corrente
Si costruisce il resistore con quattro morsetti: duedestinati all’adduzione della corrente (amperome-trici) e due destinati al prelievo della tensione(voltmetrici)
Le resistenze di contatto
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La resistenza del doppio bipolo è ora definitacome rapporto tra la corrente I ai morsettiamperometrici e la tensione V tra i morsettivoltmetrici
RV
I=
Le resistenze di contatto
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Le resistenze di contatto ora noninfluenzano né la definizione, né lamisurazione di R.
Le resistenze di contatto