mémoire présenté devant l’institut de science financière

Mémoire présenté

devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances

pour l’obtention

du diplôme d’Actuaire de l’Université de Lyon

le 21 avril 2009

Par : Carine GEAGEA

Titre: Solvabilité II : application sur un portefeuille temporaire décès

Confidentialité : NON � OUI (Durée : � 1 an � 2 ans � 5 ans)

Membre du jury I.A. Entreprise :

M. FETTIG Christian WINTER & Associés

Membres du jury I.S.F.A.

M. AUGROS Jean-Claude

M. BIENVENÜE Alexis Directeur de mémoire en entreprise :

Mme EYRAUD-LOISEL Anne Arnaud BURGER

M. LAURENT Jean-Paul

M. LEBOISNE Nicolas

M. LOISEL Stéphane

Mme MAUME-DESCHAMPS Véronique

M. PLANCHET Frédéric Secrétariat

M. QUITTARD-PINON François Mme GARCIA Marie-José

Mme REY-FOURNIER Béatrice Mme BARTHELEMY Diane

M. RULLIERE Didier M. BRIAS Samy

Mme BRUNET Marie-Christine

Mme GHAZOUANI Sondès

Invité : M. HUET Jean-Daniel

Mme MOUCHON Marie-Claude

Bibliothèque :

Mme SONNIER Michèle

50 Avenue Tony Garnier 69366 Lyon Cedex 07

Université Claude Bernard – Lyon 1

INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D'ASSURANCES

MEMOIRE ISFA – C.GEAGEA Page | 2

RESUME

Mots clés : Temporaire décès, Solvabilité, Best estimate, Net Asset Value (NAV), SCR, Exigence de capital, Formule standard, Modèle interne partiel, Value at Risk, Probabilité de ruine.

En 2001, la Commission européenne a lancé le projet Solvabilité II afin de revoir le dispositif européen de surveillance prudentiel des compagnies d’assurance.

Les objectifs de Solvabilité II sont d’établir une exigence de capital de solvabilité reflétant mieux les risques encourus par une compagnie d’assurance, de rendre compte des évolutions du marché et de promouvoir une plus grande convergence des normes prudentielles au niveau international.

Ce mémoire vise à évaluer le capital de solvabilité requis par le modèle standard de la quatrième étude quantitative d’impact (QIS4) et à proposer un modèle interne partiel compatible avec les objectifs de calibrage de la formule standard afin de comparer le surplus de fonds propres obtenu dans les deux modèles sous différents hypothèses.

Nous présenterons tout d’abord les principes généraux du QIS4 et la méthode d’évaluation des provisions techniques et du capital de solvabilité requis (SCR) et nous appliquerons ensuite le modèle sur un portefeuille temporaire décès fictif. Le calcul du SCR reposera sur une modélisation des risques et de leurs corrélations, il est déterminé à l’aide d’une formule standard qui permet d’éviter la ruine dans un an dans 99,5 % des cas.

Enfin, nous présenterons les résultats pour le modèle interne partiel simplifié appliqué sur notre portefeuille. Le modèle interne consistera à calculer la Value at Risk à 99,5 % après avoir évalué, à l’horizon d’un an, les provisions techniques et les actifs en se basant sur des méthodes de modélisation stochastiques, comme Black and Scholes pour les actions et l’immobilier et Cox, Ingersoll et Ross pour les obligations.

Les principaux résultats de l’étude sont résumés dans le tableau ci-dessous :

Surplus de Fonds Propres

Ratio de couverture

Normes Françaises 170 K€ 123%

Formule standard 469 K€ 198%

Modèle interne partiel 508 K€ 215%

Des tests de sensibilité ont également été réalisés afin de tester l’impact de certains paramètres et hypothèses sur les capitaux de solvabilité calculés dans les différents modèles.


ABSTRACT

Mots clés : Death risk assurance, Bonds, Solvency, Best estimate, Net Asset Value (NAV), SCR, Capital requirement, Standard formula, Internal Model, Value at risk, Ruin probability.

In 2001, the European Commission initiated the Solvency II project in order to review the European framework for prudential supervision of insurance companies.

The objectives of Solvency II are to establish a solvency capital requirement that is better matched to the risks of an insurance company, to reflect market developments and to incorporate international developments with the aim of promoting further convergence in prudential standard-setting.

This thesis aims to evaluate the solvency capital requirement using the standard model of the fourth Quantitative Impact Study (QIS4) and to propose an internal model compatible with the objectives of calibration of the standard formula in order to compare the surplus of funds obtained in both models under different assumptions.

We will first present the general principles of QIS4 and the evaluation method of technical provisions and of the Solvency Capital Requirement (SCR) and then we will apply the model on a fictive Death Risk assurance portfolio. The calculation of the SCR will be based on modeling of risks and their correlations, it will be determined using a standard formula which avoids ruin over one year in 99.5 % of cases.

Finally, we will present the internal model applied on our portfolio. The internal model will consist in calculating the Value at Risk at 99.5 % after having evaluated, on a one year horizon, the technical provisions and the assets based on stochastic modeling methods, such as Black and Scholes for equities and property and Cox, Ingersoll and Ross for bonds.

The main results of the study are summarized in the table below:

Surplus de Fonds Propres

Ratio de couverture

Normes Françaises 170 K€ 123%

Formule standard 469 K€ 198%

Modèle interne partiel 508 K€ 215%

Sensitivity tests are also realized in order to test the impact of certain parameters and hypothesis on solvency capitals calculated in the different models.


REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier en quelques mots tous ceux qui m’ont aidé à l’élaboration de ce mémoire…

Tout d’abord, le Cabinet WINTER & Associés, notamment Mr. Arnaud BURGER, directeur de ce mémoire, pour son aide, ses conseils et pour tout le temps qu’il m’a consacré.

Je remercie l’ISFA, surtout Mr. Pierre THEROND pour sa disponibilité et pour avoir porté une lecture attentive à ce mémoire.

Enfin, je remercie ma famille pour son soutien et son encouragement…


SOMMAIRE

RESUME ........................................................................................................................................................... 2

ABSTRACT ........................................................................................................................................................ 3

REMERCIEMENTS ............................................................................................................................................. 4

SOMMAIRE ...................................................................................................................................................... 5

INTRODUCTION ................................................................................................................................................ 7

PARTIE I : QIS4 – PRESENTATION GENERALE .................................................................................................... 8

CHAPITRE 1. ACTIFS DANS LE QIS4 .......................................................................................................................... 8

CHAPITRE 2. PASSIFS (PROVISIONS TECHNIQUES) DANS LE QIS4 .................................................................................... 9

Section 2. 1 Principes généraux ..................................................................................................................... 9

Section 2. 2 Evaluation des passifs non-réplicables : best estimate ............................................................ 12

Section 2. 3 Evaluation des passifs non-réplicables : marge pour risque .................................................... 15

Section 2. 4 Spécificités des provisions techniques vie ................................................................................ 19

CHAPITRE 3. FONDS PROPRES (ELEMENTS ELIGIBLES) ................................................................................................. 23

Section 3. 1 Détermination .......................................................................................................................... 23

Section 3. 2 Classification ............................................................................................................................ 24

Section 3. 3 Eligibilité des fonds propres ..................................................................................................... 24

CHAPITRE 4. PRINCIPE GENERAL DU SCR ................................................................................................................. 26

Section 4. 1 Description du SCR ................................................................................................................... 26

Section 4. 2 Charge de capital pour le risque opérationnel (SCROP) ............................................................. 27

Section 4. 3 Basic SCR (BSCR) ....................................................................................................................... 27

PARTIE II : PRESENTATION DU PORTEFEUILLE TEMPORAIRE DECES ................................................................ 29

CHAPITRE 1. PRESENTATION DE LA GARANTIE DU PORTEFEUILLE ................................................................................... 29

Section 1. 4 Hypothèses non financières ..................................................................................................... 29

Section 1. 5 Hypothèses financières et caractéristiques des placements .................................................... 30

Section 1. 6 Réassurance ............................................................................................................................. 31

CHAPITRE 2. PROVISIONS TECHNIQUES A T=0........................................................................................................... 32

CHAPITRE 3. EXIGENCE DE MARGE ......................................................................................................................... 34

CHAPITRE 4. BILAN NORMES FRANÇAISES ................................................................................................................ 35

PARTIE III : QIS4 – APPLICATION A L’EXEMPLE ETUDIE ................................................................................... 36

PREAMBULE : EVALUATION DE LA NAV ..................................................................................................................... 36

CHAPITRE 1. DETERMINATION DES ACTIFS ............................................................................................................... 37

CHAPITRE 2. DETERMINATION DES PASSIFS .............................................................................................................. 38

Section 2. 1 Modèle d’évaluation du best estimate ..................................................................................... 38

CHAPITRE 3. SCRMKT : MODULE RISQUE DE MARCHE ................................................................................................ 40

Section 3. 1 Présentation du module SCRMKT ............................................................................................... 40

Section 3. 2 Mktint : Risque de taux d’intérêt ............................................................................................... 40

Section 3. 3 Mkteq : Risque action ................................................................................................................ 43

Section 3. 4 Mktprop : Risque immobilier....................................................................................................... 46

Section 3. 5 Mktsp : Risque de spread ........................................................................................................... 47

Section 3. 6 Mktconc : Risque de concentration ............................................................................................. 51

Section 3. 7 SCRMKT : Risque de marché ....................................................................................................... 54

CHAPITRE 4. SCRDEF : MODULE RISQUE DE DEFAUT DE CONTREPARTIE .......................................................................... 56

Section 4. 1 Méthode de calcul standard ..................................................................................................... 56

Section 4. 2 Application à l’exemple retenu ................................................................................................. 58

CHAPITRE 5. SCRLIFE : MODULE RISQUE DE SOUSCRIPTION VIE .................................................................................... 60


Section 5. 1 Présentation du module SCRLIFE ................................................................................................ 60

Section 5. 2 Lifemort : risque de mortalité ..................................................................................................... 60

Section 5. 3 Lifeexp : risque de dépense ......................................................................................................... 62

Section 5. 4 LifeCAT : risque catastrophe ....................................................................................................... 64

Section 5. 5 SCRLIFE : risque de souscription vie ............................................................................................ 65

CHAPITRE 6. CALCUL DU SCR GLOBAL .................................................................................................................... 67

Section 6. 1 BSCR : SCR de base ................................................................................................................... 67

Section 6. 2 SCROP : Risque opérationnel ...................................................................................................... 68

Section 6. 3 SCR global ................................................................................................................................. 69

CHAPITRE 7. CALCUL DE LA MARGE POUR RISQUE .................................................................................................... 71

Section 7. 1 Calcul standard......................................................................................................................... 71

Section 7. 2 Calcul simplifié ......................................................................................................................... 73

CHAPITRE 8. « BILAN SOLVABILITE II » ET CONCLUSION DE LA PARTIE III ........................................................................ 75

PARTIE IV : MODELE INTERNE PARTIEL SIMPLIFIE – APPLICATION A L’EXEMPLE ETUDIE ................................ 77

CHAPITRE 1. PROBABILITE REELLE ET PROBABILITE RISQUE NEUTRE ............................................................................... 77

CHAPITRE 2. EVALUATION DES PASSIFS ................................................................................................................... 79

Section 2. 1 Best estimate à t=0 .................................................................................................................. 79

Section 2. 2 Best estimate à t=1 .................................................................................................................. 79

CHAPITRE 3. EVALUATION DES ACTIFS ..................................................................................................................... 81

Section 3. 1 Modélisation des taux d’intérêt ............................................................................................... 81

Section 3. 2 Modélisation des actions et de l’immobilier ............................................................................. 88

CHAPITRE 4. CAPITAL ECONOMIQUE ....................................................................................................................... 90

CHAPITRE 5. MESURE DE RISQUE ........................................................................................................................... 91

CHAPITRE 6. CALCUL DE L’EXIGENCE DE CAPITAL ....................................................................................................... 93

Section 6. 1 Calcul de l’exigence de capital en modèle interne partiel simplifié .......................................... 93

Section 6. 2 Calcul du SCR avec corrélation entre les risques de l’actif ........................................................ 98

Section 6. 3 Graphe récapitulatif ............................................................................................................... 103

Section 6. 4 Calcul de la marge pour risque ............................................................................................... 104

Section 6. 5 Bilan modèle interne partiel ................................................................................................... 105

PARTIE V : TESTS DE SENSIBILITE .................................................................................................................. 106

CHAPITRE 1. TEST SUR L’ACTIF ............................................................................................................................ 106

CHAPITRE 2. TEST SUR L’AGE DE SOUSCRIPTION ...................................................................................................... 107

CHAPITRE 3. TEST SUR LA REASSURANCE ............................................................................................................... 108

CHAPITRE 4. TEST SUR LES TAUX DE MORTALITE ...................................................................................................... 110

CONCLUSION GENERALE .............................................................................................................................. 111

BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................................................................ 113

ANNEXES ...................................................................................................................................................... 114

ANNEXE 1 TARIFICATION .................................................................................................................................... 114

ANNEXE 2 MKTEQ : RISQUE ACTION ...................................................................................................................... 116

ANNEXE 3 COURBE DE TAUX DU QIS4 .................................................................................................................. 119


INTRODUCTION

Le projet Solvabilité II piloté par la Commission européenne vise à réformer en profondeur les règles de solvabilité auxquelles sont soumises les entreprises d'assurance et à consolider l’ensemble des directives existantes.

Ses objectifs sont de créer un système plus harmonisé, avec une meilleure prise en compte des risques assumés par les organismes d'assurance, et plus cohérent avec le système prudentiel bancaire.

La mise en place de Solvabilité II comporte plusieurs étapes. En premier lieu, une directive comportant les éléments essentiels du nouveau système doit être proposée à l’adoption par le Conseil de l’Union européenne et le Parlement européen. Dans un second temps, des mesures de mise en œuvre doivent être définies et adoptées par voie de directive ou de règlement européens.

Actuellement, les organismes d’assurance doivent justifier d’un capital minimum appelé marge de solvabilité, destiné à faire face aux aléas inhérents à l’activité d’assurance.

Ce mémoire présente dans une première partie les principes généraux de la quatrième étude quantitative d’impact (QIS 4) qui serviront à l’évaluation de l’actif, des provisions techniques et du capital de solvabilité requis. Le SCR, ou Solvency Capital Requirement, sera calculé à l’aide d’une formule standard qui consiste à agréger les différents modules de risques relatifs à l’activité d’assurance.

La deuxième partie s’intéresse à la présentation du portefeuille temporaire décès retenu dans le cadre de ce mémoire et à l’évaluation de l’exigence de marge selon les normes de solvabilité actuelles afin de comparer le surplus des fonds propres par rapport au surplus obtenu en solvabilité II.

L’objet de la troisième partie sera d’appliquer la formule standard du QIS 4 sur le portefeuille retenu en agrégeant les charges de capital relatives à chaque sous risque pour obtenir ainsi le capital de solvabilité requis ou le SCR.

Ensuite, nous présentons dans une quatrième partie le modèle interne partiel mis en place pour l’évaluation du capital économique ou du capital cible. Ce modèle se base sur l’évaluation de la Value at Risk à 99,5% sur l’horizon d’un an ce qui vérifie les objectifs de calibration de la formule standard. Le ratio de solvabilité obtenu dans le modèle interne partiel sera alors comparé à ceux obtenus en Solvabilité II et en Normes Françaises.

Enfin, nous réalisons des tests de solvabilité sur le SCR en faisant varier certaines hypothèses pour tester leur effet sur le SCR et sur le ratio de solvabilité calculés selon les différents modèles.


PARTIE I : QIS4 – PRESENTATION GENERALE

CHAPITRE 1. ACTIFS DANS LE QIS4

Les différents actifs doivent être évalués à leur valeur de marché (voir la partie TS.I.A.2 du QIS4). Lorsque que des cours de marché observables existent sur des marchés très actifs et liquides, les valeurs des actifs doivent être égales à ces cours du marché.

Pour les positions dites longues (positions à l’achat) sur l’actif, le prix approprié est le prix offert (bid price) pris à la date d’évaluation, tandis que pour des positions dites courtes (positions à la vente), le prix approprié est le prix vendeur (offer price) à la date d’évaluation.

Par ailleurs, les actifs non liquides ou non négociables doivent être évalués sur une base prudente, en tenant compte de la baisse de valeur due aux risques de crédit et de liquidité y afférents.

QIS4 – Présentation générale


CHAPITRE 2. PASSIFS (PROVISIONS TECHNIQUES) DANS LE QIS4

Concernant les passifs, l’évaluation des provisions techniques doit être effectuée en distinguant les passifs réplicables (ou hedgeable) et les passifs non-réplicables (ou non- hedgeable): à chacun de ces types de passifs est associée une méthode d’évaluation. En outre, il est à noter que dans le calcul de ces engagements, le QIS4 consacre une place importante aux simplifications et autres approximations.

Section 2. 1 Principes généraux

Dans un premier temps, il convient de décrire les principes généraux des calculs des provisions techniques.

� Flux réplicables

Un passif est réplicable si les flux qu’il engendre peuvent être parfaitement répliqués et couverts à l’aide d’instruments financiers se monnayant sur un marché suffisamment actif, liquide et transparent.

Il est à noter qu’un marché est supposé actif, liquide et transparent si (voir la partie TS.II.A.27 du QIS4) :

- les participants du marché peuvent exécuter rapidement un grand nombre de transactions avec un faible impact sur le prix ;

- les informations sur les échanges courants et leurs prix sont disponibles au public ;

- les deux points ci-dessus sont vérifiés à tout instant.

Dans le cas des passifs réplicables, la valeur actuelle du portefeuille répliquant procure de façon immédiate un prix observable qui doit être utilisé pour valoriser le passif. On parle d’évaluation marked-to-market.

Par ailleurs, il convient de remarquer que, si une option, une garantie ou une part du contrat peut être isolée et peut être répliquée sur un marché actif, liquide et transparent, les flux associés sont classés parmi les flux réplicables (voir la partie TS.II.A.19 du QIS4).

En revanche, lorsque qu’aucune distinction n’est possible entre les flux réplicables et non- réplicables, la méthode de calcul relative aux flux non réplicables doit être retenue.



� Flux non-réplicables

Pour les passifs non-réplicables, l’évaluation doit correspondre à la somme explicite du best estimate et de la marge pour risque. Il est à noter que le best estimate et la marge pour risque font l’objet d’une évaluation séparée (voir la partie TS.II.A.6 du QIS4).

En outre, dans le QIS4, certaines précisions sont mentionnées sur des méthodes explicites pour le calcul du best estimate et de la marge risque (il s’agit des « simplifications » et des « approximations »).

� Best estimate

Le best estimate est égal à la valeur actuelle probable des potentiels flux futurs de trésorerie estimés à partir d’informations courantes et fiables et à partir d’hypothèses réalistes et spécifiques à l’entité.

Le calcul du best estimate doit reposer sur des informations actuelles et crédibles et des hypothèses réalistes et faire appel à des méthodes actuarielles et techniques statistiques adéquates (voir la partie TS.II.A.11 du QIS4).

La projection de flux de trésorerie intervenant dans le calcul du best estimate doit tenir compte de toutes les entrées et sorties de fonds nécessaires pour honorer les engagements d’assurance sur leur durée de vie.

Par ailleurs, le best estimate doit être évalué en brut, c’est-à-dire sans tenir compte des montants couverts par la réassurance (voir la partie TS.II.A.13 du QIS4).

Des précisions sur la description de l’évaluation du best estimate se trouvent dans la Section 2. 2.

� Marge pour risque

La marge de risque est calculée de manière à garantir que la valeur des provisions techniques est équivalente au montant dont les entreprises d’assurance et de réassurance auraient besoin pour reprendre et honorer leurs engagements d’assurance (voir la partie TS.II.A.14 du QIS4).

Elle correspond au coût que représente la mobilisation d’un montant de fonds propres éligibles égal au capital de solvabilité requis nécessaire pour faire face aux engagements d’assurance et de réassurance sur toute leur durée de vie.

Dans le cas des risques non réplicables, la marge pour risque est calculée par la méthode dite du coût du capital (CoC). Dans cette hypothèse, le taux de coût du capital utilisé est le même pour toutes les entreprises (6%) et correspond au supplément de taux, par rapport au taux d’intérêt sans risque pertinent, qu’une entreprise d’assurance ou de réassurance notée BBB devrait supporter pour se procurer des fonds propres éligibles nécessaire en cas de reprise des obligations et des droits d’un autre assureur.

Des précisions sur la description de l’évaluation de la marge pour risque se trouvent dans la Section 2. 3.



� Simplifications

Il est admis de calculer les engagements d’assurance à partir de méthodes et de techniques statistiques simplifiées, mais qui demeurent cohérente à la nature, à l’ampleur et à la complexité du risque couvert (voir la partie TS.II.A.32 du QIS4).

L’utilisation de ces simplifications est ainsi liée à la nature, à l’ampleur et à la complexité du risque couvert et non à la taille de l’assureur ou du réassureur. En outre, dans le cadre de l’utilisation de ces méthodes, il convient de s’assurer que le résultat obtenu n’est pas significativement différent du résultat que l’on obtiendrait en utilisant des méthodes d’évaluation plus complexes conformément à la partie TS.II.A.35 du QIS4.

Par ailleurs, l’utilisation de ces simplifications est soumise à conditions. Ainsi, ces méthodes peuvent être utilisées si (conditions issues de la partie TS.II.A.38 du QIS4) :

- les types de contrats par branche d’activité ou groupe homogène de risque ne sont pas complexes (i.e. le comportement de l’assuré n’a pas d’impact significatif) ;

- et les types de contrats par branche d’activité ou groupe homogène de risque sont simples par nature de risque (i.e. les risques assurés sont stables et prévisibles) ;

- et une nouvelle nature d’engagement auquel il convient d’associer un modèle complexe est initiée ;

- et l’engagement évalué selon cette approche n’est pas significatif au regard de l’ensemble des provisions techniques, c’est-à-dire :

o la somme des best estimate estimés avec l’approche simplifiée n’excède pas 50 000 K€ ;

o ou la somme des best estimate estimés avec l’approche simplifiée pour chaque groupe de risque homogène n’excède pas 5 % du total des provisions techniques brutes ;

o et la somme des best estimate estimés avec l’approche simplifiée n’excède pas 15 % du total des provisions techniques brutes.

Il est à noter que ces conditions d’utilisation des simplifications sont valables pour le calcul du best estimate, et pour le calcul de la marge pour risque associée.

� Approximations

Conformément à la partie TS.II.A.41 du QIS4, les approximations peuvent être assimilées à une méthode de simplification, ou plus exactement à la méthode de simplification la moins développée que l’on puisse appliquer.

L’utilisation des approximations pour le calcul des provisions techniques intervient si au moins une des conditions suivantes est vérifiée (voir la partie TS.II.A.42 du QIS4) :



- Condition sur les données : l’organisme assureur ne dispose pas d’assez de données d’expérience de qualité pour appliquer une méthode statistique et actuarielle fiable dans le cadre du calcul du best estimate. C’est par exemple le cas :

o pour les nouveaux types d’assurance dans un marché où il n’existe pas encore d’historique de données ;

o pour les types d’affaires proposés pour la première fois par un organisme assureur ;

o lorsque la réglementation change les caractéristiques d’un contrat de telle sorte que l’historique de données jusque là disponible n’est plus exploitable ;

o lorsque l’organisme assureur est trop petit pour établir une base de données fiable sur l’historique des sinistres.

En outre, sous les nouvelles règles prudentielles Solvabilité II, les approximations pourraient être utilisées dans la détermination des provisions techniques si :

- l’approximation est compatible avec le principe général d’évaluation des provisions techniques sous Solvabilité II (i.e. conformément à la proposition de directive) ;

- l’utilisation de l’approximation est cohérente avec le risque.

Section 2. 2 Evaluation des passifs non-réplicables : best estimate

Après avoir présenté les principes généraux, il convient de décrire et détailler les principes d’évaluation du best estimate, conformément au QIS4. En outre, dans cette partie, une attention particulière est portée à la réassurance.

Les assureurs doivent décrire la méthode actuarielle qu’ils ont utilisée pour déterminer le best estimate et indiquer s’ils emploient plusieurs méthodes actuarielles (voir la partie TS.II.B.6 du QIS4).

� Horizon de projection

Il est à noter qu’un horizon de projection assez long pour saisir tous les flux de trésorerie importants résultant du contrat ou de groupe de contrats évalués doit être utilisé. Le cas échéant, l’organisme doit s’assurer que l’utilisation d’un horizon de projection plus court n’affecte pas les résultats de manière significative.

� Actualisation

Concernant l’actualisation, les flux financiers doivent être actualisés au taux sans risque de marché observé pour des instruments de même durée et déterminé à partir de la structure par terme des taux sans risque à la date d’évaluation.



Lorsque le marché financier ne fournit aucune donnée pour une échéance, le taux d’intérêt doit être interpolé ou extrapolé de manière appropriée.

� Dépenses

S’agissant de la gestion, les chargements sur contrats et les dépenses futures (frais) doivent être intégrés dans les projections de flux.

� Réassurance

Le best estimate du passif d’assurance doit être déterminé sur la base des flux bruts de réassurance (voir la partie TS.II.B.21 du QIS4). La réassurance est prise en compte au travers d’un actif d’assurance (le droit que détient l’assureur vis-à-vis du réassureur au titre du traité) dont l’évaluation tient compte du risque de défaut du réassureur.

En pratique, la prise en compte du risque de défaut du réassureur repose sur sa probabilité de défaut et la perte moyenne résultant de ce défaut (loss-given-default), conformément à la partie TS.II.B.23 du QIS4.

Ces évaluations doivent être basées sur des informations actualisées, fiables et crédibles telles que les spreads de crédit, les notations, les informations issues d’une autorité du projet Solvabilité II ou encore le reporting financier du réassureur.

Néanmoins, dans le cas où aucune information fiable ne permet d’apprécier la probabilité de défaut du réassureur, il convient de retenir, conformément à la partie TS.II.B.28, la probabilité de défaut de contrepartie issue du module de risque du défaut pour un horizon d’une année.

Pour un horizon de t années, la probabilité ( )tPD−− 11 doit être utilisée, où PD est la probabilité associée à un horizon d’un an.

Par ailleurs, concernant la perte moyenne due au défaut, si aucune estimation fiable du loss-given-default n’est disponible, 50 % de la valeur du montant couvert (différence entre les best estimate nets et bruts) doit être retenu.

L’ajustement au titre de la perte attendue sera calculé séparément pour chaque contrepartie. Cependant, si la probabilité de défaut et la perte moyenne due au défaut (loss-given-default) de plusieurs contreparties coïncident, aucun calcul séparé n’est nécessaire dans l’approche simplifiée.

Conformément à la partie TS.II.B.31, un calcul simplifié du montant de la perte attendue peut être réalisé, si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

- le montant de la perte moyenne attendue calculée par la méthode simplifié est égal à moins de 5 % de la couverture avant prise en compte du défaut de la contrepartie ;

- l’approximation est cohérente avec la nature, l’ampleur et la complexité du risque couvert. Concrètement, a priori, rien n’indique que la formule simplifiée sous-estime le montant de la perte attendue.



En retenant une méthode simplifiée, le calcul du montant de la perte attendue peut être le suivant :

( )PD

PDDurBELGDEL Rec −

×××−=1

0;max mod%

où :

- EL représente l’ajustement pour la perte attendue ;

- %LGD représente la perte moyenne relative due au défaut de la contrepartie (exprimée

en pourcentage, par exemple 50% si aucune estimation fiable du loss-given-default n’est disponible) ;

- RecBE représente le best estimate de la couverture ne prenant pas en compte la perte

attendue due au défaut de la contrepartie ;

- modDur représente la duration modifiée de la couverture ;

- PD représente la probabilité de défaut de la contrepartie.

� Cotisations futures

Les flux de trésorerie pris en compte dans le Best estimate du passif d’assurance ou de réassurance ne concernent que les flux de trésorerie associés au contrat d’assurance en cours et tout engagement en cours à l’égard des souscripteurs. Ils ne doivent pas comprendre les futurs renouvellements attendus qui ne sont pas inclus dans le contrat d’assurance en cours (voir la partie TS.II.B.32 du QIS4).

Les primes récurrentes doivent être incluses dans le calcul des flux de trésorerie futurs ; la persistance future sera évaluée en fonction de l’expérience réelle et de l’expérience future anticipée.

Lorsqu’un contrat comporte des options et garanties qui confèrent au souscripteur le droit d’obtenir un autre contrat à des conditions favorables (par exemple, renouvellement assorti de restrictions à la réévaluation des primes ou autre souscription) ces options et garanties doivent être comprises dans l’évaluation du passif d’assurance découlant du contrat existant. En l’absence de restrictions à un nouveau tarif ou à une nouvelle souscription, il n’y a pas d’engagement en cours à l’égard des souscripteurs.

Les primes futures doivent en particulier être comprises dans le calcul des flux de trésorerie futurs lorsque :

- le paiement des primes futures par le souscripteur est légalement exigible ou

- les montants garantis au règlement sont fixés à la date de souscription.



Section 2. 3 Evaluation des passifs non-réplicables : marge pour risque

Cette section vise à décrire les principes d’évaluation de la marge pour risque, qui vient compléter le best estimate pour obtenir les provisions techniques des engagements non-réplicables, conformément au QIS4.

Pour le QIS4, il est demandé aux participants de calculer le SCR au moyen de la formule standard lorsqu’ils calculent la marge de risque même s’il serait possible d’utiliser le résultat d’un modèle interne pour calculer le SCR dans le futur cadre de Solvabilité II (voir la partie TS.II.C.4 du QIS4).

Lorsque la marge de risque est calculée suivant la formule standard, elle doit être calculée nette de réassurance.

� Etapes de calcul

Les étapes de calcul de la marge pour risque avec la méthode CoC se résument en trois étapes (voir la partie TS.II.C.15 du QIS4) :

- détermination du SCR (pour le risque opérationnel, le risque de souscription et le risque de contrepartie des réassureurs) pour chaque exercice futur jusqu’à la date de liquidation du portefeuille ;

- multiplication de chacun des futurs SCR par le facteur de coût du capital afin d’obtenir le coût de détention des futurs SCR (il est à noter que tous les participants doivent partir de l’hypothèse d’un facteur de coût de capital de 6 % supérieur au taux d’intérêt sans risque pour l’évaluation de la marge pour risque) ;

- actualisation des montants obtenus par la courbe des taux sans risque, la somme de ces montants actualisés correspondant à la marge pour risque recherchée.

Les trois étapes de calcul de la marge pour risque sont représentées par les schémas ci-dessous1:

1 Cf. THEROND P., [2007], « Mesure et gestion des risques d’assurance : analyse critique des futurs référentiels prudentiel et d’information financière ». Thèse du diplôme de doctorat, ISFA.



� Risques à prendre en compte

À la différence du QIS3 qui précisait que le SCR de la première année doit inclure tous les risques, le QIS4 se limite, pour le calcul des SCR futurs, au risque de souscription vie, au risque opérationnel et au risque de défaut de contrepartie des réassureurs (voir la partie TS.II.C.7 du QIS4).

La principale difficulté dans la méthode du CoC réside dans le calcul des SCR futurs. De fait, le QIS4 propose des méthodes simplificatrices, pour les risques autres que le risque opérationnel. Pour l’ensemble des risques concernés, deux types de méthodes simplificatrices sont renseignées.

� Estimation du risque opérationnel

La charge du risque opérationnel peut toujours être calculée directement de la formule conformément à la partie TS.II.C.18 du QIS4. La formule utilise comme paramètres les cotisations acquises brutes de réassurance pour l’assurance vie ainsi que les best estimate des provisions techniques brutes de réassurance pour l’assurance vie. Il est à noter qu’il existe aussi une borne supérieure proportionnelle au BSCR.



� Simplifications pour l’estimation de la marge pour risque (proposition 1)

Cette partie vise à présenter le premier jeu de simplifications pour l’estimation de la marge pour risque.

� Estimation du risque de défaut de la contrepartie

La charge du risque de défaut de la contrepartie peut être calculée directement de la définition, pour chaque segment et pour chaque année. Par ailleurs, la charge de risque de défaut du réassureur peut être approchée par l’application de la part du best estimate relative au réassureur au niveau de risque observé à l’année 0, si les conditions suivantes sont vérifiées (voir la partie TS.II.C.19 du QIS4) :

- l’exposition au défaut des réassureurs ne varie pas considérablement tout au long des années de développement ;

- le risque de défaut dans un segment est similaire au risque de défaut total ou est négligeable.

� Estimation du risque de souscription vie

Comme approximation, les SCR futurs des sous-modules peuvent être calculés en utilisant les approches simplifiées du SCR (définies dans les parties TS.XI.B.10, TS.XI.C.9, TS.XI.D.8, TS.XI.E.10, TS.XI.F.6 et TS.XI.G.5 des spécifications techniques du QIS4).

Les futurs SCR doivent alors être calculés en utilisant des données projetées dans le futur requis pour le calcul des SCR simplifiés (voir la partie TS.II.C.22 du QIS4).

� Estimation des effets d’atténuation du risque

Pour le calcul de la marge pour risque, les compagnies d’assurance doivent projeter le SCR net des participations aux bénéfices. Les participations aux bénéfices peuvent être ignorées quand elles sont le résultat de risques qui ont été exclus de la projection (le risque de marché par exemple).

Conformément à la partie TS.II.C.23 du QIS4, l’effet de la participation aux bénéfices peut être approché par le calcul du SCR futur brut de participation aux bénéfices multiplié par le rapport entre le SCR net de participation aux bénéfices à t=0 (risque de marché exclu) et le SCR brut de participation aux bénéfices à t=0 (risque de marché exclu).

Nous rappelons que pour l’exemple étudié, les effets d’atténuation du risque sont nuls puisqu’il n’existe pas de participations aux bénéfices.

� Simplifications pour l’estimation de la marge pour risque (proposition 2)

Si les participants sont incapables d’utiliser les simplifications ci-dessus, les calculs suivants peuvent alors être utilisés.



Ces calculs simplifiés seront effectués par segment et peuvent être appliqués seulement si la formule standard est utilisée pour le calcul du SCR. La marge pour risque est alors calculée en agrégeant les résultats risque par risque par la matrice d’agrégation de la formule standard.

La marge pour risque pour un segment est déterminée par la formule suivante (voir la partie TS.II.C.26 du QIS4):

( )0mod,tfloblob SCRDurCoCCoCM ××≈

où :

- CoCM représente la marge pour risque (calculée suivant la méthode du coût de capital) ;

- CoC représente le facteur du coût du capital ;

- tflobSCR représente le SCR actuel pour le segment excluant le risque de marché et le

risque de défaut pour les produits dérivés financiers ;

- modDur représente la duration modifiée du best estimate de la provision du segment

(net de réassurance).

Afin de déterminer ( )0tflobSCR , un calcul du SCR de souscription vie par segment peut être

nécessaire. Ce calcul peut être simplifié en redistribuant les charges des sous-risques (mortalité, longévité, etc.) du portefeuille global aux différents segments, selon un driver approprié. À cet effet, le tableau d’exposition ci-dessous pourra être utilisé.



Section 2. 4 Spécificités des provisions techniques vie

L’objet de cette section est de revenir sur certaines spécificités du calcul des provisions techniques de produits comportant des risques « vie ».

� Segmentation

Pour l’activité Vie, la segmentation générale suivante (segmentation en groupe homogènes de risque) doit être retenue, conformément au QIS4 (voir la partie TS.II.D.3 du QIS4) :

Segmentation de premier niveau :

- contrats avec des clauses de participations aux bénéfices ;

- contrats où le souscripteur supporte le risque d’investissement ;

- autres contrats sans clause de participation aux bénéfices ;

- réassurance.

Chacun des segments de premier niveau doit de plus être détaillé en moteur de risque de la façon suivante :

- contrats d’assurance décès ;

- contrats d’assurance du survivant ;

- contrat dans lesquels le principal moteur de risque est le risque d’invalidité/morbidité ;

- contrats d’épargne.

Les polices doivent être affectées en fonction du principal moteur de risque et que l’évaluation doit être effectuée sur la base de groupes de risques homogènes.

� Facteurs de risque

Les facteurs de risque concernés doivent inclure au moins les éléments suivants (voir la partie TS.II.D.6 du QIS4) :

- taux de mortalité ;

- taux de morbidité ;

- taux d’invalidité ;

- taux de rachat ;

- taux de reprise d’option ;

- hypothèse de dépenses.



Par ailleurs, lorsque les flux de trésorerie contiennent des options pouvant être exercées contre la compagnie, ou dont les résultats potentiels ont une répartition asymétrique (par exemple les garanties), alors le best estimate doit être calculé de manière cohérente avec le prix que donne le marché à ces options et garanties.

� Comportement des souscripteurs

Il est essentiel d’envisager les options du souscripteur dans la modification des conditions du contrat (voir la partie TS.II.D.11 du QIS4).

En particulier, les projections de flux de trésorerie doivent tenir compte de la proportion de souscripteurs susceptibles de retenir des options. Ce comportement peut dépendre de conditions financières au moment où l’option se cristallise ou de conditions non financières (par exemple la dégradation de la santé peut avoir un impact sur les taux de rachat des contrats disposant d’une garantie d’assurabilité).

� Actions de la direction

Les futures actions de la direction doivent se refléter dans les flux de trésorerie projetés et les éléments pris en compte doivent être cohérents avec les principes et pratiques actuels de la compagnie pour diriger l’activité.

� Options et garanties

Les coûts des options et garanties doivent être évalués sur une base cohérente avec le marché, comprenant à la fois la valeur intrinsèque et la valeur temps.

Incidemment, les considérations concernant les effets du comportement du souscripteur et autres facteurs non financiers doivent également être pris en compte dans l’évaluation des options et garanties.

Afin de calculer correctement la valeur d’une option ou garantie, les coûts de toute option ou garantie doivent être évalués à l’aide de l’une des quatre méthodes suivantes (voir la partie TS.II.D.42 du QIS4) :

- les coûts commerciaux du portefeuille de couverture ou de réplication de l’option ou de la garantie lorsque ceux-ci sont réplicables ;

- une approche probabiliste utilisant par exemple un modèle d’actif cohérent avec le marché (mettant en œuvre une résolution analytique ou numérique) ;

- une série de projection déterministe avec des probabilités appropriées ;

- une approche déterministe basée sur les futurs flux de trésorerie dans le cas où la projection conduit à une valorisation market-consistent comprenant le coût des options et garanties.



� Calcul simplifié du best estimate

Cette dernière sous-section du chapitre relatif aux provisions techniques précise les méthodes de calcul simplifié du best estimate.

Il est à noter que cette simplification n’est applicable que pour les assureurs ayant un faible profil de risque.

Dans le cadre du calcul du best estimate d’une provision technique, il convient de déterminer au préalable la prestation TY qui sera payée à la date T . Cette prestation est déterminée comme suit (voir la partie TS.II.D.76 du QIS4) :

( )∏ += tT RSY 10

- 0S représente la somme des montants assurés à la date d’évaluation ;

- T représente la maturité moyenne des polices ;

- tR représente le taux de revalorisation au titre de l’année Tt ,...,2,1= .

Il est à noter que tR est fonction du rendement tI des investissements de l’année t , soit

( )tt ImR = .

À titre d’exemple :

( )

+−

= δβ,

1max

r

rIIm t

t ,

où :

- β représente le coefficient de participation ;

- r représente le taux d’intérêt technique ;

- δ représente la garantie minimum au-delà de r .

Selon cet exemple, la garantie minimale est :

( ) TT

guaranteed SBE γδ+= 10

où Tγ représente le facteur d’actualisation au taux sans risque pour la maturité T .

La valeur intrinsèque ( )IV de TY est définie par :

( )[ ]∏ += tT fmSIV 10γ



où 11

−=−t

ttf γ

γ représente le taux forward sur la période [ ]tt ,1− issu de la structure de la

courbe des taux d’intérêt sans risque. IV correspond alors à une sous-estimation du best estimate de TY (l’écart étant dû à la valeur temps de TY ).

Par conséquent, la simplification pour le best estimate est égal à :

( )[ ]∏ += *0 1 tT fmSIV γ

où *tf représente la projection de taux obtenu en incrémentant le taux forward :

ttt fff ∆+=*

En considérant que le calibrage de l’incrément tf∆ doit tenir compte de la nature, de

l’ampleur et de la complexité du risque couvert, *tf est calculé comme suit :

( )[ ]t

wwff EEEB

tt

σσ +−+=

1*

où %5,2=Bσ , %15=Eσ et où Ew représente la fraction du fonds investie en actions.

La valeur de la participation aux bénéfices discrétionnaires )(FDB est alors égale à (au cas où il existe une participation aux bénéfices) :

guaranteedBEBEFDB −=



CHAPITRE 3. FONDS PROPRES (ELEMENTS ELIGIBLES )

Les fonds propres correspondent aux ressources financières disponibles d’une entreprise d’assurance ou de réassurance qui peuvent servir de tampon face aux risques et absorber les pertes financières nécessaires. La détermination des montants de fonds propres éligibles nécessaires pour couvrir les deux exigences de capital est un processus en trois étapes, dont chacune fait l’objet d’une sous-section : détermination, classification et éligibilité des fonds propres.

Section 3. 1 Détermination

Les montants de fonds propres disponibles doivent être identifiés. Ils sont la somme :

- d’éléments figurant au bilan, ou « éléments de fonds propres de base » ;

- d’éléments ne figurant pas au bilan, ou « éléments de fonds propres auxiliaires ».

� Fonds propres de base (BOF, Basic Own Funds)

Les fonds propres de base comprennent le capital économique (c’est-à-dire le surplus d’actifs par rapport aux passifs) et les engagements subordonnés (étant donné que ceux-ci peuvent servir de capital, en cas de liquidation par exemple). Les fonds propres de base sont classés en trois tiers : Tier 1 BOF, Tier 2 BOF et Tier 3 BOF :

- Tier 1 :

o L’excédent des actifs par rapport aux passifs ;

o certains instruments hybrides de capital et de dette subordonnée.

- Tier 2 :

o certains instruments hybrides de capital et de dette subordonnée.

- Tier 3 :

o les éléments de capital ne remplissant pas les conditions de Tier 1 et 2.

� Fonds propres auxiliaires (AOF, Ancillary Own Funds)

Les fonds propres auxiliaires englobent eux les engagements auxquels les entreprises peuvent faire appel pour accroître leurs ressources financières, tels que les rappels de cotisations et les lettres de crédit. La fixation du montant des fonds propres auxiliaires requiert l’approbation préalable de l’autorité de contrôle.



Les fonds propres auxiliaires sont classés en Tier 2 et Tier 3 :

- Tier 2 AOF :

o le capital social appelé non versé ;

o les instruments hybrides de capital éligibles en Tier 1 appelables et non versés ;

o les lettres de crédit et garanties ;

o 40 % des rappels de cotisations de mutuelles.

- Tier 3 AOF ;

o les instruments hybrides de capital éligibles en Tier 2 et Tier 3 appelables et non versés ;

o les autres lettres de crédit et garanties ;

o 60 % des rappels de cotisations de mutuelles ;

o autres…

Section 3. 2 Classification

Les éléments de fonds propres possédant des propriétés différentes et correspondant à des niveaux différents d’absorption de pertes, seront classés en trois niveaux, selon leur nature et la mesure dans laquelle ils satisfont cinq critères essentiels :

- subordination ;

- absorption des pertes ;

- permanence ;

- caractère perpétuel ;

- absence de charges financières obligatoires.

Section 3. 3 Eligibilité des fonds propres

Les éléments des niveaux 2 et 3 ne permettent pas une absorption totale de toute perte en toute circonstance, il apparaît donc nécessaire de fixer des limites à leur reconnaissance à des fins prudentielles. Deux séries de limites s’appliquent aux fonds propres disponibles pour le calcul des montants éligibles à des fins prudentielles :



- en ce qui concerne le Capital de Solvabilité Requis (SCR), la part d’éléments de niveau 1 dans les fonds propres éligibles devrait être d’au minimum 1/3 et celle d’éléments de niveau 3 d’au maximum 1/3 ;

- quant au Minimum de Capital Requis (MCR), les éléments de fonds propres auxiliaires ne sont pas éligibles et la proportion d’éléments éligibles de niveau 2 doit être limitée à ½.



CHAPITRE 4. PRINCIPE GENERAL DU SCR

Ce chapitre vise à décrire la structure et la méthode de calcul de l’exigence de capital (SCR) requis dans le cadre du projet Solvabilité II.

Section 4. 1 Description du SCR

Le SCR (Solvency Capital Requirement) est le niveau de capital qui doit permettre à l’entreprise d’absorber un certain montant de pertes, correspondant, en principe, à une probabilité de ruine sur un horizon d’un an inférieure à 0,5 %.

La formule standard telle que proposée dans QIS4 repose sur une approche modulaire qui divise le SCR selon les différents risques identifiés. La valeur du SCR, qui représente les



charges de capital de la formule standard globale, se décompose donc en plusieurs charges de capital spécifiques à chaque module :

En pratique, la démarche consiste, pour chaque risque, à déterminer un montant de capital (à partir d’un scénario défavorable). L’ensemble des capitaux représentatifs des risques de même niveau est ensuite agrégé selon une formule qui dépend du risque. On remonte ensuite dans la hiérarchie de la formule modulaire, c’est-à-dire que les modules de risques sont eux-mêmes agrégés par le biais des matrices de corrélation.

Les paramètres et hypothèses retenus pour le calcul du SCR sont déterminés de manière à ce que le modèle estime une VaR à 99,5 % sur le risque global de la compagnie à un horizon un an.

Le SCR s’obtient par la formule d’agrégation suivante :

opSCRAdjBSCRSCR +−=

où

- opSCR représente la charge de capital pour le risque opérationnel ;

- BSCR représente le SCR de base ;

- Adj représente l’ajustement au titre de l’effet d’absorption des risques des futures participations aux bénéfices et des impôts différés.

Dans la présente étude, la valeur Adj est nulle puisqu’il n’existe pas de participations aux bénéfices pour l’exemple retenu.

Section 4. 2 Charge de capital pour le risque opérationnel (SCROP)

Le risque opérationnel est le risque de perte résultant de processus, personnes, systèmes internes ou d’évènements externes inadéquats ou défaillants. Le risque opérationnel inclut également les risques juridiques.

Le module de risque opérationnel est conçu pour traiter les risques opérationnels dans la mesure où ils ne sont pas explicitement couverts par les autres modules de risque.

Section 4. 3 Basic SCR (BSCR)

Dans le cadre de la présente étude, le Basic SCR est le capital de solvabilité requis obtenu en combinant les charges de capital pour les trois principales catégories de risque :

- mktSCR , la charge de capital pour le risque de marché ;



- defSCR , la charge de capital pour le risque de défaut ;

- lifeSCR , la charge de capital pour le risque de souscription vie.


PARTIE II : PRESENTATION DU PORTEFEUILLE TEMPORAIRE DECES

Le présent mémoire porte sur l’étude d’un portefeuille temporaire décès. Un portefeuille d’assurance fictif a été considéré dans ce cadre. L’objet de cette partie est de présenter ce portefeuille.

CHAPITRE 1. PRESENTATION DE LA GARANTIE DU PORTEFEUILLE

Nous avons retenu pour notre exemple un produit temporaire décès d’une durée de cinq ans, avec un capital garanti de 100 000 €. Les primes sont annuelles, elles sont versées en début de période.

Section 1. 4 Hypothèses non financières

� Date de calcul

La date de calcul retenue est le 31/12/2007.

� Assurés

La population considérée est une population « run-off », soit en groupe fermé (autrement dit aucune nouvelle entrée ne sera prise en compte jusqu’à la liquidation du portefeuille).

La population est formée de 5 000 individus répartis en 40 % hommes et 60 % femmes, ayant tous 40 ans à la souscription. La durée résiduelle du contrat de chaque individu varie entre 1 et 5 ans.

� Cotisations

Les cotisations sont calculées par rapport à l’âge de souscription. La prime commerciale a été calculée comme étant la somme de la prime pure et des frais. Le détail du calcul des primes est indiqué en annexes. La prime pure est définie de manière à ce que l’engagement de l’assureur soit égal à l’engagement de l’assuré pendant la durée du contrat.

Les primes sont constantes au cours des cinq ans ou de la durée résiduelle du contrat. Nous supposons aussi que 5% des assurés arrêtent de payer leur primes chaque année ce qui entraine l’annulation du contrat.

Présentation du portefeuille temporaire décès


� Frais

Les frais de gestion des sinistres sont estimés à 1 % du capital garanti.

� Table de mortalité

La table de mortalité réelle utilisée dans le calcul des projections des prestations décès du modèle interne partiel et de la formule standard est la table TH/TF00-02 abattue de 3 %.

� Participation aux bénéfices

Nous considérons qu’il n’existe pas de participations aux bénéfices pour la garantie retenue.

Section 1. 5 Hypothèses financières et caractéristiques des placements

� Composition de l’actif

L’actif est composé de :

- 66 % d’obligations,

- 24 % d’actions,

- 10 % d’immobilier

Le portefeuille obligataire est constitué de 2 types d’obligations. L’assureur détient de manière équi-répartie 10 obligations de chaque type et pour à des contreparties différentes.

Les obligations de « type 1 » vérifient les caractéristiques suivantes :

- Coupon : 4,5 %

- Echéance : 31/12/2011

- Rating : AA (notation Standard & Poor’s)

Les obligations de « type 2 » vérifient les caractéristiques suivantes :

- Coupon : 5,5 %

- Echéance : 31/12/2012

- Rating : A (notation Standard & Poor’s)

De même que pour les obligations, les actions sont divisés en 2 catégories : une catégorie de « type 1 » où les actions appartiennent à des contreparties non notées et une autre de « type 2 » où les actions appartiennent à des contreparties de notation BBB selon Standard & Poor’s. Chaque catégorie comporte 10 actions appartenant à des contreparties différentes.



Notons aussi qu’il existe quatre types d’actifs immobilier différents.

La valeur comptable et la valeur de marché des obligations, actions et immobilier sont représentées dans le tableau ci-dessous :

Nombre d'oblig et d'actions

Obligation "type 1"

292 650 29% 289 723 27% -2 926 -1% 10

Obligation "type 2"

390 200 38% 397 028 37% 6 828 2% 10

Action "type 1"

122 550 12% 128 766 12% 6 216 5% 10

Action "type 2"

122 550 12% 139 496 13% 16 946 14% 10

Immobilier 97 550 10% 118 035 11% 20 485 21% s.o

Total 1 025 500 100% 1 073 049 100% 47 550 5% 40

Valeur comptable Valeur de Marché Plus Values Latente s

Section 1. 6 Réassurance

Nous introduisons aussi une réassurance en quote-part (50%).



CHAPITRE 2. PROVISIONS TECHNIQUES A T =0

Nous calculons dans ce chapitre les provisions techniques afin de pouvoir évaluer par la suite l’exigence de marge conformément aux normes françaises actuelles.

Les provisions techniques sont calculées au 31/12/2007 pour chaque individu selon les normes françaises. Elles sont calculées en actualisant les flux futurs probables selon un taux d’actualisation égal à 60 % du TME. Les flux futurs sont obtenus en soustrayant les cotisations probables à la somme des prestations probables et des frais. Les flux sont projetés sur la durée résiduelle du contrat de l’individu.

La formule de calcul des provisions mathématiques est la suivante :

( ) ( )tt

tt

tt

r

FCot

r

FDépFPrestaBE

+−

++

=∑ + 11 1

où :

- t représente la période ;

- r représente le taux d’actualisation à la période, égal à 60 % du TME soit 2,5 % pour les provisions techniques calculées en normes françaises ;

- tFPresta représente les flux de prestations probables à la période t (payés en fin de

période en cas de décès) :

( )TOtxpqGarantiCapFPresta xttxt _1_ −×××= +

avec : � GarantiCap_ le capital garanti de 100 000 € ;

� txq + la probabilité de décès à l’âge tx + selon la table de

mortalité TH/TF00-02 réglementaire utilisée pour le calcul des provisions techniques en normes françaises ;

� xt p la probabilité de survie à la période t d’un individu d’âge

x selon la table de mortalité TH/TF00-02 réglementaire utilisée pour le calcul des provisions techniques en normes françaises ;

� TOtx _ le taux de turn-over estimé à 5 % chaque année.

- tFCot représente les flux de cotisations probables à la période t (payés en début de

période en cas de vie) ;

( )TOtxpCotisationFCot xtt _1−××=

- tFDép représente les flux de frais de gestion probables à la période t (dépensés en fin

de période en cas de décès) ;



ionFrais_GestFPrestaFDép tt ×=

Les provisions techniques du portefeuille à t=0 sont égales à 196 997 €.



CHAPITRE 3. EXIGENCE DE MARGE

Selon les normes françaises, l’exigence de marge est égale à la somme des deux résultats suivants2 :

- Le premier résultat est obtenu en multipliant un nombre représentant 4 % des provisions mathématiques sans déduction des cessions en réassurance, par le rapport existant, pour le dernier exercice, entre le montant des provisions mathématiques après cessions en réassurance et le montant des provisions mathématiques brut de réassurance, sans que ce rapport puisse être inférieur à 85 %.

- Le second résultat est obtenu en multipliant un nombre représentant 0,3 % des capitaux sous risque par le rapport existant, pour le dernier exercice, entre le montant des capitaux sous risque après cession en assurance et le montant des capitaux sous risque brut de réassurance sans que ce rapport puisse être inférieur à 50 %. Pour les assurances temporaires en cas de décès d'une durée maximale de trois années, le facteur multiplicateur des capitaux sous risque est égal à 0, 1 %. Il est fixé à 0, 15 % desdits capitaux pour les assurances temporaires en cas de décès dont la durée est supérieure à trois années mais n'excède pas cinq années.

Le capital sous risque est égal au risque décès, déduction faite de la provision mathématique du risque principal.

L’exigence de marge pour le portefeuille temporaire décès étudiée est de 756 402 €.

2 Code des assurances, Article R334-13.



CHAPITRE 4. BILAN NORMES FRANÇAISES

Le bilan normes françaises prend en compte la valeur comptable des actifs et se présente comme suit :

ACTIF 2007 Passif 2007

Obligat ions 682 850 Fonds propres 927 001Actions 245 100Immobilier 97 550 Provisions techniques 196 997

Provisions techniques à charge des réassureurs

98 498

TOTAL 1 123 998 TOTAL 1 123 998

L’exigence de marge de 756 402 € est couverte par les fonds propres d’une valeur de 927 001 €.


PARTIE III : QIS4 – APPLICATION A L’EXEMPLE ETUDIE

Cette partie s’attache à présenter, dans le détail, l’intégralité des tests et calculs qui ont été effectués pour mettre en œuvre le QIS4 sur le portefeuille temporaire décès étudié.

PREAMBULE : EVALUATION DE LA NAV

Dans le cadre du calcul du SCR, de nombreux stress reposent sur le calcul de la NAV. La NAV, qui est l’acronyme de Net value of assets minus liabilities, représente la valeur des actifs nette des passifs.

Avant d’aborder la détermination de l’actif et du passif et l’évaluation du SCR, il convient de définir la méthode de calcul de la NAV retenue tout au long de l’étude.

La plupart des charges de capital nécessaires au calcul du SCR sont obtenues en évaluant précisément la variation de la NAV, NAV∆ :

( ) ( ) chocavantchocaprès PassifActifPassifActifNAV __ −−−=∆

si 0<∆NAV , alors :

( ) ( ) chocavantchocaprès PassifActifPassifActif __ −<−

Dans ce cas, la variation de la NAV constitue une perte pour la compagnie d’assurance, la valeur de la variation sera alors retenue comme charge de capital relative au risque testé.

Par conséquent, les charges de capital qui sont déterminées à partir de la NAV dans la présente étude seront égales à ( )0;NAVMax ∆− .

Il est à noter que pour les spécifications techniques du QIS4, il est indiqué que la convention d’écriture de l’expression NAV∆ est l’opposé de l’écriture ci-dessus avec une valeur positive de NAV∆ indique des pertes.

Si le fait que 0>∆NAV indique des pertes, alors dans les spécifications techniques du QIS4, NAV∆ est exprimée comme suit :

( ) ( ) chocaprèschocavant PassifActifPassifActifNAV __ −−−=∆

Les charges de capital calculées à partir de la NAV dans les spécifications techniques du QIS4 sont donc égales à ( )0;NAVMax ∆ .

QIS4 – Application à l’exemple étudié


CHAPITRE 1. DETERMINATION DES ACTIFS

Le QIS4 précise que le risque de marché doit également s’appliquer aux actifs excédents le SCR. Aussi, pour le calcul de la NAV par exemple, il convient de tenir compte de l’ensemble des actifs en contrepartie des passifs du contrat.

Les différents actifs doivent être évalués à leur valeur de marché. Lorsqu’ils sont fiables, et que des cours de marché observables sur des marchés très actifs et liquides existent, les valeurs des actifs sont égales à ces cours du marché.

La valeur comptable et la valeur de marché des différents actifs sont présentées dans le tableau suivant :

Nombre d'obl ig et d'actions

Obligation "type 1"

292 650 29% 289 723 27% -2 926 -1% 10

Obligation "type 2"

390 200 38% 397 028 37% 6 828 2% 10

Action "type 1"

122 550 12% 128 766 12% 6 216 5% 10

Action "type 2"

122 550 12% 139 496 13% 16 946 14% 10

Immobilier 97 550 10% 118 035 11% 20 485 21% s.o

Total 1 025 500 100% 1 073 049 100% 47 550 5% 40

Valeur comptable Valeur de Marché Plus Values Latente s



CHAPITRE 2. DETERMINATION DES PASSIFS

Après avoir déterminé le montant des actifs, il convient de déterminer le montant des passifs afin de déterminer la NAV dans le cadre du calcul du SCR. Toutefois, il est à noter que pour éviter toute circularité dans les calculs, toute référence aux provisions techniques dans les calculs des modules individuels doit exclure la marge de risque suivant la méthode du coût du capital (la marge pour risque étant calculée à partir des SCR projetés).

De fait, dans le cadre du calcul du SCR, le montant du passif désigne le montant du best estimate.

Section 2. 1 Modèle d’évaluation du best estimate

Cette section présente la méthode d’évaluation du best estimate pour le contrat temporaire décès retenu.

La méthode d’évaluation du best estimate en QIS4 est identique à celle utilisée pour le calcul des provisions techniques en normes françaises.

Le best estimate pour le contrat temporaire décès est alors évalué de la manière suivante :

( ) ( )∑+

−+

+= +

+tt

t

tt

t

tt

r

FCot

r

FDépFPrestaBE

11 11

où :


- tr représente le taux d’intérêt sans risque à la période t , issu de la courbe des taux

sans risque du QIS4 ;

- tFPresta représente les flux de prestations en cas de décès à la période t (payés en fin

de période) :

( )TOtxpqGarantiCapFPresta xttxt _1_ −×××= +

avec :

� GarantiCap_ le capital garanti de 100 000 € ;

� txq + la probabilité de décès à l’âge tx + selon la table de

mortalité TH/TF00-02 abattue d’un taux de 3 % ; � xt p la probabilité de survie à la période t d’un individu d’âge

x selon la table de mortalité TH/TF00-02 abattue d’un taux de 3 % ;



� TOtx _ le taux de turn-over estimé à 5 % chaque année.

- tFCot représente les flux de cotisations en cas de vie à la période t (payés en début

de période),

( )TOtxpCotisationFCot xtt _1−××=

- tFDép représente les flux de dépenses en cas de décès à la période t ,

GestionFraisPestaFDép tt _×=

L’abattement de 3 % est appliqué aux taux de mortalité afin de pouvoir refléter la mortalité réelle de la population étudiée.

Le best estimate de tout le portefeuille à t=0 est égal à 47 016 €. La marge pour risque sera évaluée après le calcul du SCR en t=0 (cf. PARTIE III, CHAPITRE 7).

La forte diminution de la valeur du best estimate par rapport à celle des provisions techniques calculées en normes françaises est due principalement au taux d’abattement de 3 % appliqué à la table de mortalité. La diminution des taux de mortalité entraine la baisse des prestations payés en cas de décès et donc des engagements de l’assureur.

Le tableau suivant présente les valeurs actuelles nettes des engagements de l’assureur et de l’assuré selon le code des assurances et en QIS4 :

Normes Françaises

QIS4

VAN assureur 2 958 788 2 740 671

VAN assuré 2 761 791 2 693 654

PT 196 997 47 017



CHAPITRE 3. SCRMKT : MODULE RISQUE DE MARCHE

Après avoir décrit et mesuré les actifs et les passifs, il est possible d’entamer les évaluations des charges de capital (à travers les stress tests) pour l’ensemble des risques identifiés. Ces évaluations sont regroupées en trois modules, dont le premier est relatif au risque de marché.

Section 3. 1 Présentation du module SCRMKT

Le module risque de marché mesure les risques de volatilité des cours de marché des instruments financiers. L’exposition au risque de marché est mesurée par l’impact des mouvements dans le niveau des variables financières telles que les cours des actions, les taux d’intérêt, les cours de l’immobilier, etc.

Ce module requiert les données suivantes :

- intMkt = charge de capital pour le risque de taux d’intérêt ;

- eqMkt = charge de capital pour le risque actions ;

- propMkt = charge de capital pour le risque immobilier ;

- spMkt = charge de capital pour le risque de spread ;

- concMkt = charge de capital pour le risque de concentration.

Le SCRMKT est obtenu après calcul et agrégation des différentes charges de risque citées ci-dessus.

Section 3. 2 Mkt int : Risque de taux d’intérêt

Le risque de taux d’intérêt existe pour tous les actifs et passifs dont la valeur est sensible aux variations de la structure de la courbe de taux d’intérêt ou à la volatilité des taux d’intérêt.

� Méthode de calcul standard

La charge de capital relative au risque de taux d’intérêt est déterminée comme le résultat d’un scénario prédéfini :

{ }0;; intintintDownUp MktMktMaxMkt =



avec :

kupwardshocUp NAVMkt ∆−=int ;

ockdownwardshDown NAVMkt ∆−=int

où kupwardshocNAV∆ et ockdownwardshNAV∆ représentent les variations de la valeur des actifs nette

des passifs suite à une variation des taux d’intérêt.

Les structures de courbe altérées sont dérivées en multipliant les taux de la courbe en vigueur

par ( )ups+1 et ( )downs+1 , où la tension à la hausse ( )tsup et la tension à la baisse ( )tsdown sont représentées par le tableau suivant :

Par exemple, le taux d’intérêt à 10 ans stressé R1(10) dans le scénario de tension à la hausse, est déterminé par :

( ) ( ) ( )42,011010 01 +×= RR

� Application à l’exemple retenu

� Impacts sur l’actif

Concernant l’actif, il convient de déterminer l’impact d’une variation des taux d’intérêt sous tension à la hausse ou à la baisse (conformément au tableau ci-dessus, issu de la partie TS.IX.B.5 du QIS4) sur la valeur de l’actif utilisée pour le calcul de la NAV (la tension qui maximise la NAV sera retenue).



Dans le cadre de l’exemple retenu, nous appliquons les tests de stress sur les valeurs des obligations en portefeuille, l’immobilier et les actions ont été supposés insensibles aux variations des taux d’intérêt.

La valeur de chaque obligation est alors recalculée en actualisant les flux une fois au taux ( )up

tt sr +× 1 , et une autre fois au taux ( )downtt sr +× 1 , tr étant le taux d’intérêt sans risque à la

période t , issu de la courbe des taux sans risque du QIS4.

La valeur de l’obligation après choc sur les taux d’intérêts est obtenue par la formule suivante :

( ) ( )nchoct

n

ttchoc

t r

Nominal

r

CouponObligVal

++

+=∑

= 11_

1

où :


- n représente l’échéance de l’obligation ;

- choctr représente ( )up

tt sr +× 1 en cas de choc haussier sur les taux et ( )downtt sr +× 1 en

cas de choc baissier sur les taux.

Ce calcul permet d’obtenir la valeur des obligations après choc haussier et après choc baissier sur les taux d’intérêt :

Valeur des oblig (avant choc)

Valeur des oblig (choc haussier)

Valeur des oblig (choc baissie r)

698 711 627 810 753 784

Actif

� Impacts sur le passif

Il s’agit de calculer le best estimate, conformément à la partie II.2.1, en actualisant cette fois les flux de trésorerie à partir des taux d’intérêt sous tension, à la hausse ou à la baisse.

La valeur du passif (ou du best estimate) après et avant chocs est représentée dans le tableau ci-dessous :

Valeur du passif (avant choc)

Valeur du passif (choc haussier)

Valeur du passif (choc baissier)

47 017 -33 730 105 617

Passif



� Risque de taux d’intérêt Mktint

D’après la méthode de calcul standard du risque de taux d’intérêt, il est nécessaire de calculer la NAV afin d’évaluer la charge de capital du risque :

Actif (Oblig)-Passif (avant choc)

Acti f (Obl ig)-Passif (choc haussier)

Acti f (Obl ig)-Passif (choc baissier)

675 203 644 675 700 976

Actif-Passif

Comme l’actif est calculé net de réassurance (sans prendre en compte la partie des provisions cédée au réassureur), nous en déduisons, pour le calcul de la NAV, la valeur du passif ou des provisions techniques nette de réassurance.

A partir de la variation de la NAV, NAV∆ , on obtient :

MKTINT (méth.

Standard)30 528

� Méthode de calcul simplifiée

La méthode de calcul simplifiée ne peut pas être utilisée pour les provisions techniques vie, conformément à la partie TS.IX.B.9 des spécifications techniques du QIS4. Elle ne sera pas appliquée à l’exemple retenu.

La simplification pour le risque de taux d’intérêt ne peut être utilisée que pour les actifs, les provisions techniques non-vie et les autres passifs.

Section 3. 3 Mkt eq : Risque action

Le risque action résulte du niveau ou de la volatilité des cours des actions. L’exposition au risque action fait référence à tous les actifs et passifs dont la valeur est sensible aux variations des cours des actions.


Il existe deux types d’actions : Other (actions des pays émergents, titres non côtés et produits alternatifs) et Global (actions autres que celles de l’indice Other). Ces deux types d’actions sont appelés dans la suite « indice » :



La première étape consiste à déterminer, pour chaque indice i , une charge de capital comme résultat d’un scénario prédéfini pour l’indice i :

( )0;max _, ishockequityieq NAVMkt ∆−=

où :

- ieqMkt , représente la charge de capital du risque action relative à l’indice i ;

- ishockequityNAV _∆ représente la variation de la valeur des actifs nette des passifs suite à

la chute prescrite de la valeur de l’indice i .

et où les chocs sur les actions sont spécifiés pour chaque indice i :

La deuxième étape consiste à agréger les charges de capital relatives à l’indice Global et à l’indice Other à l’aide de la matrice de corrélation établie ci-après :

De fait, la charge de capital relative au risque action est égal à :

∑×

× ××=cr

crcr

eq MktMktCorrIndexMkt

où :

- crCorrIndex × représente les cellules de la matrice de corrélation CorrIndex ;

- cr MktMkt , représentent les charges de capital relatives au risque action pour les deux

indices Other et Global suivant les lignes et les colonnes de la matrice de corrélation crCorrIndex × .


Il convient de noter que la valeur du best estimate reste inchangée suite au choc sur les actions en raison de l’absence de la participation aux bénéfices dans notre exemple. De ce fait, la variation du passif est nulle dans le calcul de la NAV.



Dans le cadre de l’exemple retenu, les actions de « type 2 », de notation BBB selon standard & Poors, sont des actions appartenant à l’indice Global. La charge de capital relative aux actions de « type 2 » sera alors calculée comme suit :

( )( )0;_max 1,1,1, eqeqeq ValMChocValMMkt −−=

où :

- 1,_ eqChocValM représente la valeur des actions de l’indice Global après choc, avec :

( )%321__ 1, ×−×= βGlobalActionsChocValM eq

- 1,eqValM représente la valeur de marché des actions de l’indice Global.

Le QIS4 introduit un coefficient β au niveau des actifs pour tenir compte de la distorsion entre actifs en portefeuille et actifs du marché. β est la sensibilité de l’action aux évolutions de l’indice de référence, il est supposé égal à 1 conformément aux spécifications techniques du QIS4.

Les actions de « type 1 », non notés, sont des actions appartenant à l’indice Other. La charge de capital relative aux actions de « type 1 » sera alors calculée comme suit :

( )( )0;_max 2,2,2, eqeqeq ValMChocValMMkt −−=

où :

- 2,_ eqChocValM représente la valeur des actions de l’indice Other après choc, avec :

( )%451__ 2, ×−×= βOtherActionsChocValM eq avec 1=β .

- 2,eqValM représente la valeur de marché des actions de l’indice Other.

Les charges de capital relatives à l’indice Other et Global, 1,eqMkt et 2,eqMkt , sont ensuite

agrégées par la formule suivante :

2,1,2

2,2

1, 75,02 eqeqeqeqeq MktMktMktMktMkt ×××++=

Les résultats des charges de capital calculées sont représentés dans le tableau ci-dessous :

Libellé Beta Choc Type ValM ValM_Choc Mkt equ

Action 1 1,00 45% Other 128 766 70 821 57 945Action 2 1,00 32% Global 139 496 94 858 44 639

Total s.o s.o s.o s.o s.o 96 073(* )

(*) où ( ) ( ) 44639579452446395794596073 22 ××++=




En raison de l’absence d’instruments de couverture dans notre exemple, la méthode de calcul simplifiée est identique à la méthode de calcul standard. Elle est exposée en annexes.

� Alternative « Dampener »

De même que l’approche simplifiée, l’alternative « Dampener » est exposée en annexe car elle n’a pas été appliquée à l’exemple étudié.

Section 3. 4 Mkt prop : Risque immobilier

Le risque immobilier résulte du niveau ou de la volatilité des cours de l’immobilier.


La charge de capital relative au risque immobilier est déterminée comme le résultat d’un scénario prédéfini :

ockpropertyshprop NAVMkt ∆−=

où :

- propMkt représente la charge de capital du risque immobilier ;

- ockpropertyshNAV∆ représente la variation dans la valeur des actifs nette des passifs en

raison de la chute des valeurs boursières immobilières de 20 %, en prenant en compte toutes les expositions directes ou indirectes aux prix de l’immobilier.


Le risque immobilier n’a pas d’impact sur le passif. Concernant l’actif, il conviendra de déterminer l’impact de la chute des valeurs boursières immobilières de 20 %.

La charge de capital relative au risque immobilier est calculée comme suit :

( )( )0;max Val_ImmVal_ImmMkt chocprop −−=

où :

- Val_Imm représente la valeur de marché de l’immobilier ;

- chocVal_Imm représente la valeur de marché de l’immobilier après choc avec :



( )%201_ −×= ImmValVal_Immchoc

Le résultat du test est représenté dans le tableau ci-dessous:

Val_Imm (Chute de 20%)

94 428

Mktprop 23 607

Section 3. 5 Mkt sp : Risque de spread

Le risque de crédit est la part de risque issue des instruments financiers qui est expliquée par la volatilité des spreads de crédit sur la structure de la courbe de taux d’intérêt sans risque. Il reflète la variation de valeur due à un mouvement de la courbe de crédit par rapport à la structure de la courbe des taux sans risque.

Les actifs affectés aux polices dont les souscripteurs assument le risque d’investissement doivent être exclus de ce module de risque.


La charge totale de capital au titre du risque de spread est égale à la somme de la charge de capital au titre du risque de spread de chacun des trois types d’actifs concernés par ce risque. Ainsi, on a :

cdsp

structsp

bondsspsp MktMktMktMkt ++=

où :

- bondsspMkt représente la charge de capital au titre du risque de spread des obligations ;

- structspMkt représente la charge de capital au titre du risque de spread des produits

structurés de crédit ;

- cdspMkt représente la charge de capital au titre des dérivés de crédit.

Pour l’exemple retenu, structspMkt et cd

spMkt sont nuls, on aura donc : bondsspsp MktMkt = .

La charge de capital relative au risque de spread des obligations est déterminée comme suit :

( ) ( ) uliii

ibondssp LiabratingFdurmMVMkt ∆+××=∑

où :



- iMV représente l’exposition au risque de crédit i ;

- idur représente la duration modifiée de l’exposition au risque de crédit i ;

- irating représente la notation de l’exposition au risque de crédit i ;

- ( )idurm est la fonction permettant de tenir compte de la duration dans le calcul de la

charge de capital. Les valeurs de cette fonction, qui dépendent du rating et de la duration, sont les suivantes :

o ( ) ( )( )1;8;minmax ii durdurm = si BBrating i =

o ( ) ( )( )1;6;minmax ii durdurm = si Brating i =

o ( ) ( )( )1;4;minmax ii durdurm = si CCCrating i = ou moins, non-noté

o ( ) ( )1;max ii durdurm = sinon.

- ( )iratingF est la fonction de la classe de notation de l’exposition au risque de crédit,

qui est calibrée pour produire un choc consistent avec une VaR 99,5 % :

- ulLiab∆ représente l’impact du choc sur le passif pour les polices où les souscripteurs

supportent le risque d’investissement.


Pour évaluer la charge de capital relative au risque de spread, il faudra calculer tout d’abord la duration modifiée de l’actif.

� Duration modifiée de l’actif

Ratingi F(Ratingi)

AAA 0.25%

AA 0.25%

A 1.03%

BBB 1.25%

BB 3.39%

B 5.60%

CCC or lower 11.20%

Unrated 2.00%



La duration modifiée permet de mesurer la sensibilité du portefeuille aux variations du taux d’intérêt.

Comme les actions et l’immobilier ne sont pas sensibles au taux d’intérêt, leur duration modifiée est supposée nulle. Cependant, calculer la duration modifiée du portefeuille reviendra à calculer celle des obligations.

La duration d’une obligation est calculée par la formule suivante :

( ) ( )∑∑== ++

×=

n

tt

tn

tt

t

r

F

r

FtD

11 1/

1

où :


- n représente le nombre de périodes ;

- r représente le taux actuariel de l’obligation tel que la valeur de marché de l’obligation corresponde à la valeur actualisée de celle-ci. Il est la solution de l’équation :

( )∑= +

=n

tt

t

r

FValM

1 1

- tF représente le flux de l’obligation à la date t .

Pour calculer la duration des deux obligations, et donc celle du portefeuille, il suffit que le flux tF dans la formule de la duration ci-dessus soit égal à la somme des flux des deux

obligations à la date t . Cependant, le taux actuariel vérifie toujours l’équation

( )∑= +

=n

tt

t

r

FValM

1 1, avec ValM la somme des valeurs de marché des deux obligations et tF

la somme des flux des deux obligations à la date t .

La duration modifiée est obtenue comme suit :

r

DD

+=

1*

Les durations des obligations et du portefeuille sont représentées dans le tableau ci-dessous :

Libellé

Valeur de marché

Taux actuariel Duration Duration modifiée

Obligation 1 289 723 4,78% 3,75 3,58

Obligation 2 397 028 5,09% 4,51 4,29

Portefeui lle 686 752 4,98% 4,19 3,99



� Charge de capital relative au risque de spread

Une fois la duration modifiée calculée, le risque de spread est évalué en appliquant la formule standard. Tout d’abord, on calcule la charge de risque relative à chacune des deux obligations :

Libellé MV m(dur i) F(Notation i) Mkt sp Mkt sp

Obligation 1 289 723 3,6 0,25% 0 2 591

Obligation 2 397 028 4,3 1,03% 0 17 549

ulliab∆

ulLiab∆ est nulle dans l’exemple retenu puisqu’il n’existe pas de polices où les souscripteurs

supportent le risque d’investissement

La somme des deux charges de risques donne la charge de capital relative au risque de spread de tout le portefeuille :

méthode standard

Mkt sp 20 140


La simplification suivante peut être utilisée si :

- les obligations à longue duration autre que les obligations d’État ne doivent pas être tenues à un taux de crédit inférieur aux obligations de courte duration ;

- les critères généraux de simplification sont suivis.

La simplification relative à la charge de capital du risque de spread des obligations bondsspMkt

est présentée ci-après :

( )( ) ulibondsi

bondsbondssp LiabratingFMvDurMVMkt ∆+×××= ∑ %

où :

- MV représente la valeur de marché totale du portefeuille d’obligations autre que les obligations d’État ;

- bondsDur représente la duration modifiée du portefeuille d’obligations autre que les obligations d’État ;

- iMV% représente la proportion du portefeuille d’obligations autre que les obligations

d’État tenue au taux i .

La charge de capital relative au risque de spread calculée suivant la méthode simplifiée est donnée dans le tableau suivant :



Libellé MV Duration %Mv i F(Notation i)%Mv i *

F(Notation i)Mkt sp

Portefeuille 686 752 3,99 100% 0,01 0,64% 17 547

Obligation 1 289 723 3,58 50% 0,25% 0,13% s.o.

Obligation 2 397 028 4,29 50% 1,03% 0,52% s.o.

Section 3. 6 Mkt conc : Risque de concentration

Dans le cadre du QIS4, le risque de concentration est le risque d’accumulation des expositions avec les mêmes contreparties. Ce risque est ainsi relatif à la volatilité additionnelle due à une concentration d’actifs en portefeuille d’une part, et au risque additionnel dû à des pertes suite au défaut d’un émetteur.


Pour évaluer la charge de capital au titre du risque de concentration, il convient de regrouper les actifs selon les contreparties :

- iE représente l’exposition nette au défaut de la contrepartie i ;

- xlAssets représente le montant total des actifs exceptés ceux pour lesquels le

souscripteur supporte le risque d’investissement ;

- irating représente la notation externe de la contrepartiei .

La charge de capital est alors évaluée en trois étapes.

� Etape 1 : exposition excédentaire

La première étape consiste à évaluer le montant des actifs d’une même contrepartie qui excède les seuils qui dépendent du rating. En d’autres termes, il s’agit d’identifier les excédents au-delà des limites de prudence. Ainsi, la contrepartiei , notée iXS est calculée par

la relation suivante :

−= CTAssets

EXS

xl

ii ;0max

où CT représente le seuil de concentration, fonction de la notation de la contrepartie i et est égal à :

- 5 % pour les notations AAA à A ;

- 3 % pour les notations inférieures ou égales à BBB.

� Etape 2 : calcul de la charge de concentration pour chaque contrepartie



La seconde étape consiste à calculer la charge au titre du risque de concentration pour chaque contrepartiei , noté iConc , sur la base de la relation suivante :

uliixli LiabgXSAssetsConc ∆+××=

où le paramètre g dépend du rating de la contrepartie, les valeurs de ces paramètres sont présentées dans le tableau suivant :

et où ulLiab∆ représente l’impact global sur les passifs lorsque l’assuré supporte le risque

d’investissement.

� Etape 3 : cumul

La troisième étape consiste à déterminer la charge de capital au titre du risque de concentration de toutes les contreparties, notéeconcMkt , avec la relation suivante :

∑=i

iconc ConcMkt 2


Les actifs concernés par le risque de contrepartie sont ceux pour lesquels il peut exister une accumulation dans l’exposition avec une même contrepartie. Dans notre étude, tous les actifs sont détenus par des contreparties différentes.

xlAssets est égal, pour l’exemple retenu, à la valeur totale des actifs, soit 1 074 174 €

iE représente la valeur de marché d’une obligation, d’une action ou de l’immobilier.

Le calcul des charges de concentration, iConc , montre qu’elles sont nulles pour toutes les

contreparties ; étant donné que les titres détenus sont suffisamment diversifiés, leur part en valeur de marché est inférieure au seuil limite de concentration CT :



Contrepartie Ei XSi Conc i (Conc i)2

Obligation 1_1 28 972 0 0 0

Obligation 1_2 28 972 0 0 0

Obligation 1_3 28 972 0 0 0

Obligation 1_4 28 972 0 0 0

Obligation 1_5 28 972 0 0 0

Obligation 1_6 28 972 0 0 0

Obligation 1_7 28 972 0 0 0

Obligation 1_8 28 972 0 0 0

Obligation 1_9 28 972 0 0 0

Obligation 1_10 28 972 0 0 0

Sous total s.o s .o s.o 0

Obligation 2_1 39 703 0 0 0

Obligation 2_2 39 703 0 0 0

Obligation 2_3 39 703 0 0 0

Obligation 2_4 39 703 0 0 0

Obligation 2_5 39 703 0 0 0

Obligation 2_6 39 703 0 0 0

Obligation 2_7 39 703 0 0 0

Obligation 2_8 39 703 0 0 0

Obligation 2_9 39 703 0 0 0

Obligation 2_10 39 703 0 0 0


Action 1_1 12 877 0 0 0

Action 1_2 12 877 0 0 0

Action 1_3 12 877 0 0 0

Action 1_4 12 877 0 0 0

Action 1_5 12 877 0 0 0

Action 1_6 12 877 0 0 0

Action 1_7 12 877 0 0 0

Action 1_8 12 877 0 0 0

Action 1_9 12 877 0 0 0

Action 1_10 12 877 0 0 0


Action 2_1 13 950 0 0 0

Action 2_2 13 950 0 0 0

Action 2_3 13 950 0 0 0

Action 2_4 13 950 0 0 0

Action 2_5 13 950 0 0 0

Action 2_6 13 950 0 0 0

Action 2_7 13 950 0 0 0

Action 2_8 13 950 0 0 0

Action 2_9 13 950 0 0 0

Action 2_10 13 950 0 0 0


Immobil ier_1 29 509 0 0 0Immobil ier_2 29 509 0 0 0Immobil ier_3 29 509 0 0 0Immobil ier_4 29 509 0 0 0Total général s.o s .o s.o 0

Notons que pour l’immobilier il n’existe pas de risque de concentration parce qu’il existe quatre types d’actifs immobiliers différents.

La racine carrée de la somme de la colonne ( )2iConc donne la charge de capital relative au

risque de concentration :



Mktconc 0

Section 3. 7 SCRMKT : Risque de marché


La charge de capital au titre du risque de marché est obtenue en agrégeant les charges de capital des risques compris dans le module de marché à l’aide de la matrice de corrélation comme suit :

∑×

××=cr

crcrmkt MktMktCorrMktSCR ,

où

- crCorrMkt , représente les cellules de la matrice de corrélation suivante :

- cr MktMkt , représentent les charges de capital pour les risques de marché spécifiques

en fonction des lignes et des colonnes de la matrice de corrélation CorrMkt .


Pratiquement, le calcul est effectué à l’aide d’un produit vecteur-matrice-vecteur. Le vecteur est composé des différentes charges de capital intMkt , eqMkt , propMkt , spMkt , concMkt et la

matrice correspond à la matrice de corrélation ci-dessus CorrMkt :

30 528 96 073 23 607 20 140 0

30 528 1 0 0,50 0,25 0

96 073 0 1 0,75 0,25 0

23 607 0,50 0,75 1 0,25 0

20 140 0,25 0,25 0,25 1 0

0 0 0 0 0 1

CorrMkt Mkt int Mkteq Mktprop Mkt sp Mkt conc

Mkt int 1 0 0,50 0,25 0

Mkteq 0 1 0,75 0,25 0

Mktprop 0,50 0,75 1 0,25 0

Mkt sp 0,25 0,25 0,25 1 0

Mkt conc 0 0 0 0 1



La charge de capital relative au risque marché est alors égale à la racine carrée du produit vecteur-matrice-vecteur :

SCRM KT 129 461



CHAPITRE 4. SCRDEF : MODULE RISQUE DE DEFAUT DE CONTREPARTIE

Le risque de contrepartie est le risque de pertes dues à une défaillance imprévue ou à une dégradation de la note de crédit des contreparties, ou aux débiteurs de contrats de réduction de risques, tel que des dispositifs de réassurance (voir la partie TS.X.A du QIS4).

Section 4. 1 Méthode de calcul standard

Pour évaluer la charge de capital au titre du risque de défaut, il convient de disposer des éléments suivants :

- iLGD la perte moyenne due au défaut de la contrepartie i ;

- iPD la probabilité de défaut de la contrepartie i .

Il est à noter que iLGD est définie comme suit :

( )0;max%50 // CollateralSCRSCResRecoverablLGD netWU

grossWU −−+×=

où :

- esRecoverabl représente l’évaluation best estimate des risques cédés en réassurance ;

- netWUSCR / représente le SCR pour les risques de souscription calculé conformément à la

formule standard (sans tenir compte de la capacité d’absorption des pertes futures par la PB) ;

- grossWUSCR / représente le SCR pour les risques de souscription calculé conformément à la

formule standard, mais hors éventuels effets d’atténuation dus à la réassurance (sans tenir compte de la capacité d’absorption des pertes futures par la PB) ;

- Collateral représente la garantie couvrant la perte en cas de défaut de contrepartie. Un Collateral ne doit pas être pris en compte dans le calcul ci-dessus s’il est détenu par la contrepartie elle-même.

- Le facteur de 50 % tient compte du fait que même en cas de défaillance le réassureur pourra exécuter une part de ses obligations.

Concernant la PD, il est à noter qu’une estimation en fonction du rating est fournie dans le tableau suivant :



Il est précisé dans le QIS4 que dans les cas où plusieurs notations sont disponibles pour une exposition de crédit donnée, en règle générale, la deuxième meilleure notation doit être appliquée.

Après avoir déterminé les LGD pour chaque contrepartie, il convient de segmenter en trois étapes le calcul de la charge de capital au titre du risque de défaut.

� Etape 1 : calcul de la concentration de l’exposition au risque de défaut de réassurance via l’indice d’Herfindahl

Dans le cadre de la première partie, l’indice d’Herfindahl pour la concentration de l’exposition de la réassurance est calculé par la relation suivante :

2

Re

Re

2

=

∑

∑

∈

∈

ii

ii

LGD

LGDH

où l’ensembleRereprésente l’ensemble des réassureurs.

� Etape 2 : calcul en besoin de capital par contrepartie

La deuxième partie consiste à calculer l’exigence au titre du risque de défaut de contrepartie

iDef pour une exposition i . À cet effet, la méthode de calcul de l’exigence au titre du risque

de défaut de contrepartie est alors fonction de la corrélation implicite R (avec HR ×+= 5,05,0 ) :

- Pour une corrélation implicite R inférieure à 1, iDef est définie par :



( ) ( )

×

−+×

−×= 995,0

11

1G

R

RPDG

RNLGDDef iii

où :

o N représente la fonction de répartition cumulative pour la variable aléatoire normale standard ;

o G représente l’inverse de la fonction de répartition cumulative pour la variable aléatoire normale standard.

- Pour une corrélation implicite R égale à 1, iDef est déterminée comme suit :

( )1;100min iii PDLGDDef ××=

� Etape 3 : cumul

La troisième et dernière étape consiste à cumuler les exigences des risques de défaut de toutes les contreparties afin de disposer du besoin en capital pour le risque de défaut de contrepartie.

Section 4. 2 Application à l’exemple retenu

Dans le cadre de la présente étude, le risque de défaut de contrepartie est dû à un unique réassureur de notation A.

Comme c’est une réassurance en quote-part 50 %, le montant des esRecoverabl dans la formule de LGD est égal à 50% du montant du best estimate, soit 23 508 €.

L’indice d’Herfindahl pour la concentration de l’exposition de la réassurance est égal à 1 parce qu’il n’existe qu’un seul réassureur, cela implique que la corrélation implicite Rsera aussi égale à 1.

Les trois étapes de calcul décrites dans le paragraphe précédent sont présentées dans les tableaux ci-dessous :


Notation du réassureur

RecoverablesSCR souscr iption

brut de réass.SCR souscription net

de réass.Collateral Perte moyenne (LGD)

A 23 508 798 630 399 315 0 211 412




H R PDi Defi

1,00 1,00 0,05% 10 571

� Etape 3 : cumul

SCRDE F

10 571



CHAPITRE 5. SCRLIFE : MODULE RISQUE DE SOUSCRIPTION VIE

Le troisième module utilisé pour l’évaluation des charges de capital est relatif aux risques de souscription vie, risques liés à la souscription de contrats d’assurance vie.

Section 5. 1 Présentation du module SCRLIFE

Dans le cadre de la présente étude, les risques de souscription vie sont divisés en risque de mortalité, risque de dépense et risque catastrophe.

Ce module requiert alors les données suivantes :

- mortLife = charge de capital pour le risque de mortalité ;

- expLife = charge de capital pour le risque de dépense ;

- CATLife = charge de capital pour le risque catastrophe.

Le SCRLIFE est obtenu après calcul et agrégation des différentes charges de risque citées ci-dessus.

Section 5. 2 Lifemort : risque de mortalité

Le traitement du risque de mortalité est applicable aux contrats d’assurance pour lesquels le montant payable en cas de décès est supérieur à la provision technique et où une augmentation du risque de mortalité engendre une augmentation de la provision technique.


La charge de capital relative au risque de mortalité est le résultat d’un scénario de mortalité défini comme suit (voir la partie TS.XI.B du QIS4) :

( )∑ ∆−=i

mortshockmort NAVLife

où :

- mortshockNAV∆ représente la variation de la valeur des actifs nette des passifs suite à

l’augmentation de 10 % des taux de mortalité pour chaque âge.




Comme le choc sur les taux de mortalité n’impacte que le passif, la variation de l’actif sera alors nulle dans l’expression de NAV∆ et la charge de capital pour le risque de mortalité sera égale à la variation de la valeur du best estimate suite à une augmentation permanente de 10 % des taux de mortalité pour chaque âge :

chocaprèsBEBENAV _−=∆

Pour calculer le best estimate après choc, il suffit de remplacer txq + par ( )%101+×+txq dans

le calcul présenté dans la Section 2. 1.

Les résultats des calculs bruts de réassurance sont présentés dans le tableau ci-dessous :

Best estimateBest estimate (hausse des

qx de 10%)Li fe mort

47 017 320 943 273 927

Comme les modules du SCR souscription vie sont calculés net de réassurance, il suffit alors de multiplier les valeurs des best estimate obtenues par 50 % (réassurance en quote-part 50 %) :

Best estimateBest estimate (hausse des

qx de 10%)Li fe mort

23 508 160 472 136 963


La méthode de simplification suivante peut être utilisée si :

- il n’y a pas de changement significatif dans le capital sous risque sur la durée du contrat ;

- les critères généraux de simplification sont suivis.

( )creaseortalityInProjectedM

nspecificfirmqalAtRiskTotalCapitirementapitalRequMortalityC ×××−×= 10,0

où:

- irementapitalRequMortalityC représente le capital requis pour le risque de mortalité ;

- alAtRiskTotalCapit représente le capital total sous risque;

- n représente la duration modifiée des flux du passif ;

- q représente la mortalité attendue pour l’année prochaine pondérée par la somme assurée ;



- creaseortalityInProjectedM représente l’augmentation de la mortalité projetée et est

égale à ( )( )2/11,1 −n .

La charge de capital relative au risque de mortalité, brute de réassurance, calculée suivant la méthode simplifiée est présentée dans le tableau suivant :

Capital sous risque

Qx moyenLife m ort (hors hausse

anticipé de la mortali té)Lifem ort (avec hausse anticipé

de la mortalité)

499 952 983 0,19% 485 697 587 694

La charge de capital nette de réassurance se présente comme suit :

Capital sous risque

Qx moyenLife m ort (hors hausse

anticipé de la mortali té)Lifem ort (avec hausse anticipé

de la mortalité)

249 976 492 0,19% 242 849 293 847

Section 5. 3 Lifeexp : risque de dépense

Le risque de dépenses résulte de la variation des dépenses associées aux contrats d’assurance. Les dépenses sont les frais d’administration liés aux contrats (y compris frais liés aux cotisations) et les frais de gestion des prestations (sortie en capital ou en rente).


La charge de capital pour le risque de dépense est déterminée comme suit :

expshockNAVLife ∆−=exp

où :

- expshockNAV∆ représente la variation de la valeur des actifs nette des passifs suite à

l’augmentation de 10 % des dépenses futures par rapport aux anticipations du best estimate et à l’augmentation de 1 % par an du taux d’inflation des dépenses par rapport aux anticipations.


Comme le choc sur les dépenses futures n’impacte que le passif, la variation de l’actif sera alors nulle dans l’expression de NAV∆ et la charge de capital pour le risque de dépense sera égale à la variation de la valeur du best estimate lorsque les dépenses futures sont supérieures aux anticipations best estimate de 10 % et que le taux d’inflation des dépenses est de 1 % par an supérieur aux prévisions. :

chocaprèsBEBENAV _−=∆



Dans le cadre de l’exemple retenu, les dépenses se limitent aux frais de gestion (frais liés aux sinistres). Le best estimate après choc sera alors calculé en augmentant les frais de gestion chaque année de projection de ( )%101+ au titre de l’évolution des dépenses futures, et en les

augmentant l’année nde ( )n%11+ au titre de l’inflation.

Les résultats des calculs bruts de réassurance sont présentés dans le tableau ci-dessous :

Best estimateBest estimate (choc sur

les dépenses)Li fe exp

47 017 49 730 2 714

Comme les modules du SCR souscription vie sont calculés net de réassurance, il suffit alors de multiplier les valeurs des best estimate obtenues par 50 % (réassurance en quote-part 50 %) :

Best estimateBest estimate (choc sur

les dépenses)Li fe exp

23 508 24 865 1 357


( ) ( )( )exp005,01,0exp nn

tionDateiorToValua12MonthsPrensesInTheRenewalExpquirementkCapitalReExpenseRis

×+××=

où:

- quirementkCapitalReExpenseRis représente le capital requis pour le risque de dépenses;

- ( )expn représente la période moyenne avant l’extinction du risque, pondérée par les dépenses renouvelables.

La charge de capital relative au risque de dépense, brute de réassurance, calculée suivant la méthode simplifiée est présentée dans le tableau suivant :

Dépenses Duration des dépenses Li fe exp

9 715 1,25 1 294

La charge de capital nette de réassurance est calculée dans le tableau suivant :

Dépenses Duration des dépenses Li fe exp

4 857 1,25 647



Section 5. 4 LifeCAT : risque catastrophe

Les risques catastrophe vie résultent d’évènements extrêmes ou irréguliers (par exemple une pandémie) qui ne sont pas suffisamment pris en compte par les sous-modules de risque de souscription vie. Dans le cadre de la présente étude, ce risque est assimilé à un risque de mortalité de grande ampleur.


La charge de capital pour le risque catastrophe est définie comme suit (voir la partie TS.XI.H du QIS4) :

ShockCATLifeCAT NAVLife __∆−=

- ShockCATLifeNAV __∆ représente la variation de la valeur des actifs nette des passifs suite

à la combinaison des événements suivants survenant simultanément :

o une augmentation en valeur absolue de 1,5 pour mille du taux de souscripteurs décédant dans l’année suivante ;

o une augmentation en valeur absolue de 1,5 pour mille du taux de souscripteurs touchés par la maladie au cours de l’année suivante.

La méthode de calcul standard n’a pas été appliquée sur l’exemple étudié.


La formule suivante peut être utilisée comme simplification pour le risque de catastrophe :

∑ ×=i

iCAT RiskatCapitalLife __%15,0

avec :

iiii TPtorAnnuityFacABSARiskatCapital −×+=__

où :

- iTP la provision technique (nette de réassurance) pour chaque police i ;

- iSA la somme assurée (nette de réassurance) sur la mortalité lorsque la prestation est

payable en capital, 0 sinon (pour chaque police i) ;

- iAB le montant annualisé de l’indemnité (nette de réassurance) payable sur la

mortalité lorsque les prestations sont payables en rente, 0 sinon (pour chaque police i) ;



- torAnnuityFac le facteur représentant l’engagement de verser une rente périodique d’un euro au titre de la prestation qui peut être payée lors d’un sinistre.


Pour l’exemple étudié, la méthode simplifiée a été retenue.

La charge de capital relative au risque catastrophe est calculée nette de réassurance. Une évaluation brute de réassurance sera également réalisée :

� Calcul brut de réassurance

Somme assurée Provisions techniques SA-TP Life CAT

500 000 000 47 017 499 952 983 749 929

� Calcul net de réassurance

Pour le calcul brut de réassurance, il suffit de multiplier la somme assurée et les provisions techniques par 50 %.

Somme assurée Provisions techniques SA-TP Life CAT

250 000 000 23 508 249 976 492 374 965

Section 5. 5 SCRLIFE : risque de souscription vie


La charge de capital au titre du risque de souscription vie est obtenue en agrégeant les charges de capital des risques compris dans le module de marché à l’aide de la matrice de corrélation comme suit :

∑×

× ××=cr

crcr

life LifeLifeCorrLifeSCR

- crCorrLife × représente les cellules de la matrice de corrélation suivante :

CorrLife Life mort Life exp Life cat

Life mort 1 0,25 0

Life exp 0,25 1 0

Life cat 0 0 1



- cr LifeLife , représentent les charges de capital pour les risques de marché spécifiques

en fonction des lignes et des colonnes de la matrice de corrélation CorrLife .


Le calcul est effectué à l’aide d’un produit vecteur-matrice-vecteur. Le vecteur est composé des différentes charges de capital mortLife , expLife , CATLife et la matrice correspond à la

matrice de corrélation ci-dessus CorrLife .

La charge de capital relative au module du risque de souscription vie est obtenue par agrégation des charges de capital calculées nettes de réassurance :

136 963 1 357 374 965

136 963 1 0,25 0

1 357 0,25 1 0

374 965 0 0 1

La charge de capital nette de réassurance est présentée ci-dessous :

SCRLIF E net de

réass.399 315

Un calcul du SCRLIFE brut de réassurance est aussi réalisé parce qu’il est utilisé dans l’évaluation du risque de défaut de contrepartie :

273 927 2 714 749 929

273 927 1 0,25 0

2 714 0,25 1 0

749 929 0 0 1

La charge de capital du risque de souscription vie brute de réassurance est présentée ci-dessous :

SCRLIFE brut de

réass.798 630

Il est intéressant de noter que la réassurance permet de diviser par deux le capital requis au titre du risque de souscription.



CHAPITRE 6. CALCUL DU SCR GLOBAL

Après avoir déterminé la charge de capital au titre de chaque module, il convient de déterminer le montant du Capital de Solvabilité Requis global (SCR) de l’assureur. Ce montant est établi à partir du SCR de base (BSCR) et du SCR au titre du risque opérationnel (SCRop).

Section 6. 1 BSCR : SCR de base


Le BSCR est le Capital de Solvabilité Requis avant tout ajustement, combinant, dans la présente étude, les charges de capital pour les trois principaux modules de risque (module risque de marché, module risque de défaut, module risque de souscription vie).

Le BSCR est déterminé comme suit :

∑×

××=cr

crcr SCRSCRCorrSCRBSCR ,

où :

- crCorrSCR, représente les cellules de la matrice de corrélation suivante :

- cr SCRSCR , représentent les charges de capital pour chaque risque de SCR (parmi les

trois modules de risques étudiés) en fonction des lignes et des colonnes de la matrice de corrélation CorrSCR.


La méthode de calcul du BSCR est identique à celle utilisée pour l’agrégation des sous modules de risque de marché et des sous modules du risque de souscription vie (produit vecteur-matrice-vecteur). Les modules à agréger sont le SCR marché, le SCR défaut de contrepartie et le SCR souscription vie net de réassurance :

CorrSCR SCRMKT SCRDEF SCRLIFE

SCRMKT 1 0,25 0,25

SCRDEF 0,25 1 0,25

SCRLIFE 0,25 0,25 1



129 461 10 571 399 315

129 461 1 0,25 0,25

10 571 0,25 1 0,25

399 315 0,25 0,25 1

La charge de capital du BSCR est représentée ci-dessous :

BSCR 452 733

Section 6. 2 SCROP : Risque opérationnel


La charge de capital au titre du risque opérationnel est déterminée par :

{ } ullnulop ExpOpBSCRSCR ×+×= 25,0;30,0min

où :

- ulExp représente le montant annuel des dépenses (bruts de réassurance) relatifs à

l’activité en unités de compte ;

- lnulOP représente la charge du risque opérationnel de base pour toutes les activités

hors unités de compte (brutes de réassurance). Il est déterminé comme suit :

( )( )

×+×+−×

×+×+−×=

−

−

hnlullifelife

hnlullifelife

lnul TPTPTPTP

EarnEarnEarnEarnOP

002,002,0003,0

;02,002,003,0max

où :

o lifeEarn représente le total des primes acquises en vie (brutes de réassurance) ;

o ullifeEarn − représente le total des primes acquises en vie pour les contrats en

unités de compte (brutes de réassurance) ;

o nlEarn représente le total des provisions techniques d’assurance non-vie

(brutes de réassurance) ;

o hEarn représente le total des primes acquises en assurance santé (brutes de

réassurance) ;



o lifeTP représente le total des provisions techniques d’assurance vie (brutes de

réassurance) ;

o ullifeTP − représente le total des provisions techniques d’assurance vie pour les

contrats en unités de compte (brutes de réassurance) ;

o nlTP représente le total des provisions techniques d’assurance non-vie (brutes

de réassurance)

o hTP représente le total des provisions techniques d’assurance santé (brutes de

réassurance).


Dans le cadre de la présente étude, il n’existe pas de contrats d’assurance non-vie ni de contrats en unités de compte. Cependant, la formule du SCROP devient :

( ){ }lifelifeop TPEarnBSCRSCR ×××= 003,0;03,0max;30,0min

Le résultat du calcul est présenté dans le tableau suivant :

Facteur BSCR Earnl ife TP li fe SCRop

30% 452 733 938 060 47 017 28 142

Section 6. 3 SCR global


Le SCR global est le Capital de Solvabilité Requis de la formule standard du QIS4 global. Il est égal à :

OPSCRAdjBSCRSCR +−=

où :

- BSCRreprésente le Capital de Solvabilité Requis de Base ;

- Adj représente l’ajustement au titre de l’effet d’absorption des risques des futures participations aux bénéfices et des impôts différés ;

- OPSCR représente les charges de capital au titre du risque opérationnel.




CommeAdj est nul pour la garantie temporaire décès, le SCR global sera égal à :

OPSCRBSCRSCR +=

Le résultat est présenté ci-dessous :

BSCR SCRop SCR

452 733 28 142 480 874



CHAPITRE 7. CALCUL DE LA MARGE POUR RISQUE

Après avoir déterminé le SCR global, il convient de calculer la marge pour risque pour obtenir les provisions techniques des engagements.

Section 7. 1 Calcul standard

Nous réalisons dans cette section un calcul exact de la marge pour risque qui consiste à projeter les SCR futurs (hors risque de marché), de les multiplier par le facteur du coût de capital (6% au dessus du taux sans risque) et d’actualiser les montants obtenus par la courbe des taux sans risque.

� Projection des SCR

Vu que la marge pour risque est calculée hors risque de marché, la projection des SCR futurs revient à projeter le SCR souscription vie et le SCR de défaut de contrepartie. Nous exposons ci-dessous les étapes suivies pour le calcul des SCR futurs :

- La première étape consiste à projeter les best estimate avant choc, après choc sur la mortalité et après choc sur les dépenses pour déduire les modules relatifs aux risques de mortalité, de dépenses et de catastrophe.

Les résultats des best estimate, des modules de risque vie et du SCR souscription vie projetés sont présentés brut de réassurance (calcul nécessaire pour l’évaluation du SCR de défaut de contrepartie) dans le tableau ci-dessous :

0 1 2 3 4

Best estimate avant choc 47 017 99 195 93 845 58 251 20 513

Best estimate (choc mortalité) 320 943 292 771 208 748 112 125 36 096

Best estimate (choc dépenses) 49 730 101 113 94 984 58 786 20 667

Life mort. 273 927 193 576 114 903 53 874 15 584

Life exp 2 714 1 918 1 139 534 155

Life cat 749 929 785 064 783 800 783 732 783 965

SCR life brut de réass 798 630 808 695 792 219 785 590 784 121

Le tableau suivant présente les SCR souscription vie futurs calculés net de réassurance :

0 1 2 3 4

Life mort. Net de réass 136 963 96 788 57 451 26 937 7 792

Life exp net de réass 1 357 959 569 267 77

Life cat net de réass 374 965 392 532 391 900 391 866 391 983

SCR life net de réass 399 315 404 347 396 110 392 795 392 061



Nous rappelons que le SCR souscription vie est obtenu par agrégation des modules de risque vie à l’aide de la matrice de corrélation présentée dans la Section 5. 5, Partie III.

- Nous calculons dans une deuxième étape les SCR de défaut de contrepartie projetés sur les cinq années futures, à l’aide des best estimate et des SCR souscription vie bruts et nets de réassurance obtenus dans l’étape précédente. Le calcul du SCR de défaut de contrepartie chaque année future est le même que celui exposé dans le CHAPITRE 4, Partie III :

0 1 2 3 4

Recoverables 23 508 49 597 46 923 29 126 10 256

Perte moyenne (LGD)

211 412 226 972 221 516 210 960 201 158

Hre 1 1 1 1 1

Rre 1 1 1 1 1

PDi 0,05% 0,05% 0,05% 0,05% 0,05%

SCR défaut 10 571 11 349 11 076 10 548 10 058

- Les calculs effectués dans les deux étapes précédentes permettent de déduire dans la troisième étape les BSCR futurs (hors risque de marché) à l’aide de la matrice de corrélation présentée dans la Section 6. 1, Partie III, ainsi que les SCR opérationnels futurs.

Les SCR projetés sont enfin présentés dans le tableau suivant comme étant la somme du SCR opérationnel et du BSCR de chaque année future :

0 1 2 3 4

BSCR 402 088 407 333 399 023 395 564 394 695

Cotisations 938 060 780 528 602 156 378 579 155 452

SCR op 28 142 23 416 18 065 11 357 4 664

SCR 430 229 430 749 417 087 406 921 399 359

� Coût du capital et Marge pour risque

Les SCR futurs sont maintenant multipliés par le facteur du coût de capital fixé à 6 % au-dessus de la courbe de taux sans risque. Ils sont ensuite actualisés à l’aide de la courbe des taux sans risque :

0 1 2 3 4SCR (MP) 430 229 430 749 417 087 406 921 399 359

Taux sans risque 4% 5% 5% 5% 5%

Cout du capital 10% 11% 11% 11% 11%

SCR actualisés 42 662 44 006 40 184 37 466 35 229

Nous rappelons que la courbe utilisée correspond à la courbe de taux sans risque du QIS4.



La Marge pour risque est présentée ci-dessous, elle est égale à la somme des SCR actualisés :

MPR 199 546

Section 7. 2 Calcul simplifié

Nous faisons l’évaluation dans cette section suivant la méthode simplifiée pour tester son impact sur la valeur de la marge pour risque.

Pour l’estimation de la marge pour risque selon la méthode simplifiée, on applique la deuxième proposition des simplifications présentées dans la Section 2. 3, Partie I :

( )0mod,tfloblob SCRDurCoCCoCM ××≈

Nous rappelons que ( )0tflobSCR est calculé net de réassurance et se limite aux risque

opérationnel, risque de souscription et risque de défaut de contrepartie relatif aux cessions de réassurance. Par contre le facteur du coût du capital est fixé à 6 % au-dessus du taux sans risque conformément au QIS4.

Pour pouvoir évaluer ( )0tflobSCR , il faudra calculer le BSCR de nouveau sans prendre en

compte le risque de marché :

0 10 571 399 315

0 1 0,25 0,25

10 571 0,25 1 0,25

399 315 0,25 0,25 1

Dans ce cas :

- le BSCR sera égal à :

BSCR 402 088

- et le SCR global à t=0 (ou ( )0tflobSCR ) sera égal à :

BSCR SCRop SCR

402 088 28 142 430 229

Avant de pouvoir calculer la marge pour risque selon la méthode du coût du capital, il convient d’évaluer la duration du passif par la formule suivante :



( ) ( )∑∑== ++

×=

n

tt

t

tt

t

t

r

F

r

FtD

1

4

0 1/

1

où :


- tr représente le taux d’intérêt sans risque à la période t , issu de la courbe des taux

sans risque du QIS4 ;

- tF représente le flux des engagements globaux du best estimate à la date t .

Les résultats des calculs sont présentés ci-dessous :

Duration modifiée 5,00

Facteur de cout du capital 10%

SCR(0) 430 229

Marge pour risque 213 308

Best estimate 47 017

Passif technique 260 324

Nous remarquons que la marge pour risque évaluée selon la méthode simplifiée conduit à un résultat supérieur à celui obtenu à l’aide de la méthode standard. La projection des SCR futurs et leur actualisation à l’aide de la courbe de taux sans risque donne une valeur de la marge pour risque inférieure à celle obtenue en multipliant le SCR à t=0 par la duration.



CHAPITRE 8. « BILAN SOLVABILITE II » ET CONCLUSION DE LA PARTIE III

En Solvabilité II, les actifs sont évalués en valeur de marché et non plus en valeur comptable comme il était le cas en Normes Françaises. L’actif augmente ainsi du montant des plus values latentes.

La valeur des provisions techniques est égale au best estimate augmenté de la marge pour risque. Cependant, les provisions en Solvabilité II sont inférieures à celles calculées en Normes Françaises et ceci est dû d’une part, à l’augmentation des taux d’actualisation de la courbe du QIS4 par rapport au taux réglementaire égal à 60 % du TME et d’une autre part, à l’abattement appliqué aux taux de mortalité lors du calcul du best estimate.

Le bilan Solvabilité II se présente alors comme suit :

ACTIF 2007 Passi f 2007



123 281

TOTAL 1 196 331 TOTAL 1 196 331

Les fonds propres « revus » dans le cadre du référentiel Solvabilité II s’élèvent à 949 768 € et couvrent largement le capital de solvabilité requis qui est égal à 480 874 € (le ratio de couverture de 949 768/480 874 est égal à 198 %).

Le graphique ci-dessous présente le SCR total et les trois catégories de risque principales, le risque de marché, le risque de défaut et le risque de souscription vie :

0

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000

600 000

Marché Défaut de

contrepartie

Vie Opérationnel Total



Le SCR et les différents sous-modules qui le constituent sont présentés dans le graphique ci-dessous :

0

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000

600 000

Nous remarquons que le surplus de Fonds Propres (montant qui correspond à l’actif diminué du passif et de l’exigence de marge) passe de 170 K€ en normes françaises (ou selon le code des assurances) à 469 K€ en normes Solvabilité II, ceci est dû à la diminution de l’exigence de marge en passant d’un modèle à un autre.

En Normes Françaises, l’exigence de marge se calcule comme étant un facteur des provisions mathématiques et des capitaux sous risque (évaluation forfaitaire globale, sans distinguer explicitement les risques de marché, de défaut de contrepartie et de souscription vie) .

En normes Solvabilité II le risque de marché constitue à peu près 27 % du SCR et le risque de souscription vie s’élève à 83 % du SCR global.


PARTIE IV : MODELE INTERNE PARTIEL SIMPLIFIE – APPLICATION A

L’EXEMPLE ETUDIE

Le SCR ou Solvency Capital Requirement représente le capital cible nécessaire pour absorber le choc provoqué par une sinistralité exceptionnelle.

Les assureurs et réassureurs seront contraints de mesurer leurs risques et de s'assurer qu'ils ont suffisamment de fonds propres pour les couvrir. Le niveau de prudence (ou probabilité d'être solvable à un an) retenu pour le SCR est de 99,5%.

Le SCR devrait correspondre à une Value at risk 99,5%. En d’autres termes, les formules du capital cible (SCR) ont pour objectif de définir une exigence de capital permettant de limiter la probabilité de ruine à un an à 0,5%.

Il est défini comme étant le montant de fonds propres initial que doit détenir une compagnie d’assurance à t=0 pour que la relation suivante soit vérifiée à t=1 :

( )[ ] %5,99011 ≥>− == tt PTActifP

Le modèle interne partiel aura pour objectif de déterminer tout d’abord la situation nette à t=1 correspondant à une VaR 99,5% et de déduire ensuite le capital cible ou capital économique.

CHAPITRE 1. PROBABILITE REELLE ET PROBABILITE RISQUE NEUTRE

Quand on veut quantifier le risque associé à des grandeurs financières de nature aléatoire, il convient de s’intéresser à la distribution de probabilité réelle qui représente la vraie évolution future de la grandeur qu’on évalue3.

Néanmoins, les produits financiers évalués en probabilité réelle, possèdent tous des taux de rendement différents reflétant le ratio rendement/risque de la finance. Pour calculer la valeur actuelle présente en actualisant les flux aléatoires futurs d’un produit financier, on ne pourra pas alors utiliser la formule d’actualisation classique suivant :

Valeur présente = Espérance mathématique des cash flows aléatoires futurs sous la mesure réelle et actualisés au taux sans risque

Pour valoriser un produit financier sous la mesure de probabilité réelle, on pourra utiliser la formule ci-dessus en actualisant les flux aléatoires futurs non pas à l’aide du taux sans risque (taux unique) mais à un taux d’actualisation moyen qui reflète le risque propre au produit 3 Partie inspirée de l’article de AZIZIEH C., DEVOLDER P., (2006) Modèles de gestion des risques et dispense de provision complémentaire. Réacfin.

Modèle interne partiel simplifié – Application à l’exemple étudié


évalué. Si on décide d’actualiser les cash flows aléatoires au taux sans risque, on ne retrouvera pas le prix initial du produit financier considéré.

Adapter le taux d’actualisation au produit complique le processus d’évaluation car lors de l’introduction d’un nouveau produit, on ne connaît pas aujourd’hui le taux à utiliser pour l’actualisation des cash flows aléatoires quelconques dans le futur. Cela nous amène à garder le taux sans risque comme taux d’actualisation et à changer la mesure de probabilité en mesure risque neutre, c’est-à-dire à maintenir les scénarios futurs en mesure réelle en changeant le poids de probabilité attaché à chacun. On crée alors un univers fictif dans lequel tous les actifs ont le même rendement moyen égal au taux sans risque. Nous pouvons alors utiliser ce taux sans risque pour valoriser n’importe quel produit.

Finalement, il convient de savoir quand utiliser la probabilité réelle ou la probabilité risque neutre :

La mesure de probabilité réelle est utilisée quand on veut projeter dans le futur le bilan d’une compagnie d’assurance à l’aide de scénarios stochastiques et déterminer la probabilité de ruine ou la Value at Risk à un certain horizon de temps.

Par exemple, l’estimation d’un capital économique nécessite le calcul, au terme de l’horizon de projection (un an ou plus), d’un surplus actif/passif ayant une distribution de probabilité réelle qui permet de calculer un quantile représentant le montant maximal de perte ou 99,5 %. Tout ceci se fait sous la distribution réelle de probabilité. Pour déterminer ensuite le montant de capital qui, placé au taux sans risque, permettra d’éviter la ruine dans 99 % ou 99,5 %, on pourra actualiser le quantile obtenu au taux sans risque.

La mesure risque neutre est utilisée lorsqu’il s’agit de valoriser en t=0 des instruments financiers en actualisant les flux futurs aléatoires.



CHAPITRE 2. EVALUATION DES PASSIFS

L’évaluation du best estimate en modèle interne partiel est identique à son évaluation en QIS4 ou en formule standard.

Section 2. 1 Best estimate à t=0

La méthode de calcul du best estimate à t=0 et les hypothèses retenues restent inchangées, elles sont présentées dans le CHAPITRE 2 de la partie III.

Un abattement de 3 % est aussi appliqué sur les taux de mortalité réduisant ainsi la valeur des provisions mathématiques par rapport à celle calculée en Normes Françaises.

La valeur du best estimate de tout le portefeuille à t=0 reste toujours égale à 47 017 €.

Section 2. 2 Best estimate à t=1

En modèle interne partiel, on s’intéresse à la valeur du best estimate à t=1, l’objectif étant de calculer la probabilité de ruine à l’horizon d’un an.

On calcule le best estimate à t=1 par une méthode déterministe et une méthode stochastique. La méthode déterministe consiste à appliquer le calcul réalisé pour le best estimate à t=0 en actualisant les flux futurs à partir de la situation en t=1 et en tenant compte de la probabilité de survie entre t=0 et t=1.

Pour la méthode stochastique, un aléa est généré chaque année. Tout d’abord, on teste si l’individu est vivant la première année. Si l’individu décède la première année, ou bien si l’aléa est inférieur à son taux de mortalité, sa provision est nulle à t=1, sinon un test de l’aléa par rapport au taux de mortalité est effectué chaque année suivante. Un individu qui décède avant la fin du contrat aura une provision égale à l’actualisation à t=1 de la prestation payée au moment du décès diminuée des cotisations payées de t=1 jusqu’à l’année de décès, sans oublier d’ajouter les frais de gestion et de diminuer les flux du taux de turn-over.

L’actualisation des flux tombant à l’année de décès est effectuée avec la courbe de taux générée par le modèle de Cox, Ingersoll et Ross à t=1. Le modèle CIR sera décrit dans la partie IV, CHAPITRE 3, Section 3. 1.

Dix milles simulations de la provision globale sont réalisés. Pour l’actualisation aux taux simulés par CIR, à chaque scénario de la provision on associe un scénario de la courbe de taux générée par le modèle de CIR. La moyenne des dix mille scénarios de provisions nous donne la valeur du best estimate à t=1.



Les résultats du best estimate à t=1 sont présentés dans le tableau suivant :

BE déterministe 92 509

BE stochastique (courbe CIR)

96 126

Le graphe suivant représente la convergence du best estimate vers la valeur moyenne (soit 96 126 €) :

-

20 000

40 000

60 000

80 000

100 000

120 000

140 000

160 000

180 000

200 000

1 1001 2001 3001 4001 5001 6001 7001 8001 9001

BE stochastique

Nombre

de simulations

Nous remarquons que les simulations convergent bien vers la valeur moyenne ou le best estimate.



CHAPITRE 3. EVALUATION DES ACTIFS

Ce chapitre porte sur la valorisation des différents constituants de l’actif de la société. On s’intéressera à la valeur de l’actif à t=1, l’objectif étant de calculer la probabilité de ruine à l’horizon d’un an.

L’actif peut se décomposer en deux catégories :

- Obligations,

- Actions et immobilier.

L’évaluation de la première catégorie nécessite la modélisation de la structure des taux d’intérêt par le modèle d’évaluation Cox-Ingersoll-Ross. Nous nous intéresserons dans un second temps à la modélisation des actions et de l’immobilier par le modèle de Black & Scholes.

Section 3. 1 Modélisation des taux d’intérêt

L’objectif de la modélisation des taux d’intérêt est d’évaluer les prix des obligations futurs. A une date t donnée, le prix d’une obligation sans risque de maturité T est déterminé par la formule suivante, à partir des prix des zéro-coupons ( )TtP , 4 :

( ) ( )TtPNitPNPT

tit ,,

1

×+××= ∑+=

τ

où :

- N représente le nominal ;

- τ représente le taux facial.

Le prix zéro-coupon ( )TtP , est calculé en fonction des taux zéro-coupons :

( ) ( ) ( )tTtTtReTtP −×−−= ,,

Le but sera donc de déterminer les prix des zéro-coupons ou bien les taux zéro-coupons afin d’évaluer les prix des obligations.

4 Partie inspirée de l’ouvrage de PLANCHET F., THEROND P., JAQUEMIN J. (2005) Modèles financiers en assurance, analyses de risque dynamiques. Economica. .



Plusieurs modèles d’évaluation de la courbe des taux d’intérêt existent. Les modèles de Vasicek, de Cox, Ingersoll et Ross que nous présentons par la suite sont des modèles à un facteur ; un seul facteur, le taux court, guide l’évolution de la courbe des taux d’intérêt.

Bien que ces deux modèles ne reproduisent pas toutes les formes et les déformations des courbes de taux qui existent sur le marché comme le font les modèles bifactoriels (Fong et Vasicek, Longstaff et Schwartz), ils restent des modèles importants de l’évolution du taux court à cause de leur solution analytique et de leur mise en œuvre pratique.

� Modélisation des taux en temps continu5

Les modèles à un facteur sont très utilisées en pratique pour la modélisation de la structure de taux d’intérêt et sont représentés par l’équation différentielle stochastique suivante :

( ) ( ) ( ) ( )tdWtrdttrtdr ,, σµ +=

où :

- dr représente la variation du taux r pendant l’instant dt ;

- ( )tr ,µ représente le coefficient de dérive ou la moyenne autour de laquelle oscille le taux spot ;

- ( )tr ,σ représente le coefficient de diffusion ou la volatilité instantanée ;

- tW représente un mouvement brownien standard.

On suppose pour ces modèles que les marchés financiers sont sans friction (pas de coûts de transaction) et qu’il existe un taux d’intérêt unique sans risque pour réaliser toutes les opérations d’emprunts et de prêts. On suppose aussi que les marchés sont efficients, c’est-à-dire qu’il y a absence d’opportunité d’arbitrage.

� Le modèle de Vasicek6

Vasicek (1977) suppose que le taux spot instantané évolue selon un processus d’Orstein-Uhlenbeck avec des coefficients constants :

( ) ttt dWdtrbadr σ+−=

où les paramètres positifs a ,b et σ représentent respectivement la vitesse de retour à la moyenne, le taux moyen à long terme, et la volatilité et où tW représente un processus de

Wiener standard.

5 Partie inspirée de l’ouvrage de PLANCHET F., THEROND P., JAQUEMIN J. (2005) Modèles financiers en assurance, analyses de risque dynamiques. Economica. 6 Idem.



Le modèle de Vasicek possède la structure affine suivante :

( ) ( ) ( )( )trTtBTtATtP ,,exp, −=

où A et B sont des fonctions déterministes. Il s’avère que l’existence d’une structure affine est très satisfaisante d’un point de vue analytique et pratique.

Les fonctions A et B sont données par :

- ( ) ( )[ ] ( )( )22

2

2

,4

,2

, TtBa

TtBa

bTtAστσ −−

−= ;

- ( ) ( )[ ]tTaea

TtB −−−= 11

,

où tT −=τ .

Ceci permet d’obtenir la valeur du Zéro-Coupon :

( ) ( )

−−

−−

−−−= −

−2

3

2

2

2

2

2

1422

1exp, τ

τ στσσ at

a

eaa

bra

ba

eTtP

où tT −=τ .

Nous pouvons déduire le taux zéro-coupon par la relation ( ) ( )TtPtT

TtR ,ln1

,−

−= :

( ) ( )2

3

2

2

2

2

2

1422

1, τ

τ

τσσσ

τa

t

a

eaa

ba

bra

eTtP −

−

−+

−+

+−−=

L’inconvénient de ce modèle réside dans le fait qu’il ne permette pas d’obtenir des courbes inversées sur le court terme et qu’il génère des valeurs du taux d’intérêt négatives avec une probabilité non nulle.

Le modèle de Cox, Ingersoll et Ross (CIR) vient pallier ce désavantage en introduisant un processus nommé « racine carrée » similaire à celui d’Orstein-Uhlenbeck qui interdit l’apparition des taux d’intérêt négatifs.

� Le modèle de Cox, Ingersoll et Ross7

Dans ce modèle le taux court instantané suit l’équation différentielle stochastique suivante :

7 Partie inspirée de l’ouvrage de PLANCHET F., THEROND P., JAQUEMIN J. (2005) Modèles financiers en assurance, analyses de risque dynamiques. Economica.



( ) tttt dWrdtrbadr σ+−= , ( ) 00 rr =

où a , b , σ et 0r sont des constantes positives et tW est un mouvement brownien. Quand on

impose la condition 22 σ>ab le taux d’intérêt est toujours positif, sinon on ne pourra garantir que le fait qu’il soit non nul avec une probabilité positive d’arriver à zéro.

La volatilité σ du modèle de Vasicek est multipliée par le terme tr , et ceci élimine

l’inconvénient principal du modèle de Vasicek, la probabilité positive d’obtenir des taux d’intérêt négatifs.

Le modèle de CIR fournit une solution explicite pour le prix de l’obligation. Le modèle possède une structure par terme affine, alors le prix d’un zéro-coupon à une date t et de maturité T a la forme suivante :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]trTtBTtATtP ,exp,, −=

où,

- ( ) ( )( ){ }( ) ( ){ }( )

2/2

21exp

2/exp2,

σ

γγγγγ

ab

tTa

tTaTtA

+−−+−+= ;

- ( ) ( ){ }( )( ) ( ){ }( ) γγγ

γ21exp

1exp2,

+−−+−−=

tTa

tTTtB ;

- 22 2σγ += a ;

.Nous obtenons par la relation ( ) ( )TtPtT

TtR ,ln1

,−

−= la structure par terme des taux :

( ) ( ) ( )tT

TtBTtATtrR

−+−= ,,ln

,,

� Estimation des paramètres du modèle de CIR

En pratique, dans les problèmes assurantiels, la grandeur modélisée par un processus continu n’est, le plus souvent, pas la grandeur d’intérêt : typiquement, on modélise le taux court, par exemple par un processus de diffusion, mais dans le cadre d’une problématique d’allocation d’actif pour un régime de rentiers, il sera déterminant que le modèle représente correctement les prix des obligations d’échéances longues. De manière équivalente, on est amené à estimer les paramètres du modèle pour représenter correctement la courbe des taux zéro-coupon, qui est dans une relation bijective avec la courbe du prix des obligations zéro-coupon8 :




( ) ( ){ }TTRTP ,0exp,0 −=

Nous retenons pour l’estimation des paramètres du modèle la méthode des moindres carrées. Cette méthode consiste à calculer les paramètres en minimisant l’écart entre la courbe de référence du QIS49 et la courbe du modèle de CIR. L’écart entre les points des deux courbes est mesuré par l’erreur quadratique :

( )∑ −=i

modréf

iirrErreur

2

où :

- réf

ir représente les points de la courbe de taux de référence du QIS4 ;

- mod

ir représente les points de la courbe de taux du modèle de CIR.

Nous obtenons par cette méthode les paramètres a , b , σ et 0r tel que la distance entre les

deux courbes ou l’erreur calculée ci-dessus soit la plus petite possible.

De plus, la minimisation des écarts peut être réalisée à partir des taux zéro-coupons ou des prix zéro-coupons qui s’en déduisent. En effet, la fonction de correspondance entre ces deux grandeurs accentue les écarts de courbure et le choix de l’une ou l’autre des paramétrisations peut conduire à des résultats sensiblement différents. Au surplus, on notera que l’exploitation directe de données telles que le prix des zéro-coupon (ou les taux zéro-coupon) évite l’estimation de la prime de risque ; celle-ci est en effet incluse dans ces prix de marché et conduit ainsi à travailler naturellement dans l’univers corrigé du risque10.

La détermination des paramètres a , b , σ et 0r a été réalisée à l’aide de l’outil solveur

d’Excel. Cette approche conduit à la solution suivante :

Estimation à partir des taux zéro-coupons

Estimation à partir des prix zéro-coupons

a 6,06% 14,04%b 4,99% 4,92%

1,20% 1,18%r0 4,69% 4,72%

σ

9 La courbe de référence du QIS4 est donnée en annexes. 10 Cf. THEROND P., [2007], « Mesure et gestion des risques d’assurance : analyse critique des futurs référentiels prudentiel et d’information financière ». Thèse du diplôme de doctorat, ISFA.



4,200%

4,300%

4,400%

4,500%

4,600%

4,700%

4,800%

4,900%

5,000%

5,100%

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

Courbe QIS4 Estimation à partir des taux ZC Estimation à partir des prix ZC

Nous remarquons que la volatilité obtenue est faible (à peu près 1,2%).

Nous pouvons alors réaliser une approche alternative qui consiste à fixer de manière arbitraire σ (avec un choix de σ relativement haut), puis à estimer par la méthode des moindres

carrées les trois autres paramètres11 ( ba ˆ,ˆ et 0̂r ).

Les résultats des simulations sont présentés ci-dessous :

- Pour %5=σ :

Estimation à partir des taux

zéro-couponsEstimation à partir des prix

zéro-couponsa 4,68% 11,68%b 6,51% 5,26%

5,00% 5,00%r0 4,56% 4,70%

σ




4,200%

4,300%

4,400%

4,500%

4,600%

4,700%

4,800%

4,900%

5,000%

5,100%

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49


- Pour %10=σ :

Estimation à partir des taux zéro-coupons

Estimation à partir des prix zéro-coupons

a 5,88% 9,12%b 8,51% 6,88%

10,00% 10,00%r0 4,27% 4,33%

σ

4,200%

4,300%

4,400%

4,500%

4,600%

4,700%

4,800%

4,900%

5,000%

5,100%

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49


Nous remarquons que plus σ est grand plus les deux courbes, estimées à partir des taux zéro-coupons et à partir des prix zéro-coupons, se rapprochent et plus ils reproduisent la forme de la courbe de référence du QIS4.



Nous retenons pour notre exemple la courbe estimée à partir des prix zéro-coupons et qui correspond à une volatilité de 5 % parce qu’elle approche bien la courbe de taux sans risque. De plus, les paramètres qui correspondent à une volatilité de 10 % ne vérifient pas la condition 22 σ>ab , le processus n’est pas alors défini pour une volatilité de 10 %.


L’évaluation des obligations est effectuée en probabilité historique, le but étant de contrôler la probabilité de ruine à l’horizon d’un an.

Nous utilisons pour la simulation de la courbe des taux le modèle de Cox, Ingersoll et Ross parce que le modèle de Vasicek a l’inconvénient de simuler des taux négatifs.

Le modèle de Cox, Ingersoll et Ross permet de simuler une courbe de taux zéro-coupon à chaque instant futur. Pour l’exemple retenu, cinq mille simulations de la courbe de taux sont effectuées à t=1, puisque nous nous intéressons à la probabilité de ruine à l’horizon d’un an.

Pour chaque simulation de la courbe de taux, on calcule la valeur des deux obligations en actualisant au taux sans risque augmenté du spread relatif à chacune des obligations.

On obtient cinq mille valeurs du portefeuille obligataire au 31/12/2008.

A noter que le spread est calculé tel que la valeur de l’obligation actualisée au taux sans risque soit égale à la valeur de marché. Il a été estimé à partir des données en t=0, par la formule suivante :

( ) ( )nn

n

tt

t spreadr

Nominal

spreadr

CouponValM

+++

++=∑

−

= 11

1

1

Les valeurs des spreads sont représentées dans le tableau suivant :

Spread - Oblig 1 0,32%

Spread - Oblig 2 0,62%

Les spreads obtenus indiquent que les obligations du portefeuille sont plus risquées que les obligations d’état car leurs taux de rendement sont plus élevés que le taux sans risque.

Section 3. 2 Modélisation des actions et de l’immobilier

La modélisation de l’évolution du cours des divers actifs se base aujourd’hui sur l’étude de processus stochastique.

Le modèle de Black et Scholes suppose que le prix de l’action suit un processus de diffusion qui est une fonction continue du temps. Il est le modèle de référence de l’évolution des cours des actifs, même s’il ne reflète pas la réalité du marché sur lequel on pourra observer des sauts qui peuvent être considérés comme des discontinuités dans l’évolution des prix des actifs.



� Le modèle de Black et Sholes

Dans le modèle de Black et Sholes (1973), l’évolution du cours des actions est donnée par l’équation suivante :

( )ttt dWdtSdS σµ +=

où µ et σ sont des constantes et tW est un mouvement brownien, µ désigne le rendement

instantané de S et σ désigne son écart-type instantané.

La solution de cette équation est un processus de prix log-normal, elle est donnée par :

+

−= tt WtS σσµ

2exp

2


On modélisera l’évolution des cours de l’immobilier et des actions à l’aide du modèle de Black et Scholes et à partir de la valeur de marché à t=0 définie en page 31. Nous n’avons pas réalisé d’études particulières de calibration sur les paramètres du modèle. Les paramètres usuels sont de 7 % pour le rendement instantané (µ ) et 15 % pour la volatilité des actions et de 5 % pour la volatilité de l’immobilier.

De même que pour les obligations, on simule, par la formule ci-dessus, cinq mille valeurs des actions et de l’immobilier à t=1.

Un test de sensibilité sera réalisé ultérieurement afin de tester la sensibilité du SCR à une volatilité des actions à 25 %.



CHAPITRE 4. CAPITAL ECONOMIQUE

L’évaluation du SCR dans le modèle interne partiel consiste à déterminer le capital économique qui constitue le montant de capital dont la compagnie a besoin pour couvrir ses risques.

Le capital économique est une mesure qui permet une gestion du capital basée sur les risques. Il est donc une mesure du risque et non des capitaux propres effectivement détenus. Pratiquement, il est calculé sous une certaine probabilité pour représenter le montant de capitaux propres tel que l’entreprise soit assurée de rester solvable sur une certaine période.

Le capital économique est donc un « coussin » que chaque institution financière considère comme nécessaire pour absorber les pertes exceptionnelles (« unexpected losses »)12.

La difficulté essentielle réside dans l’estimation des risques. Il s’agit d’une mesure de capital ajustée du risque spécifique à chaque type d’activité. La problématique est liée à la diversité des risques supportés par les institutions, dont les caractéristiques très différentes impliquent a priori des outils de mesure distincts. Il est donc difficile d’évaluer par un outil unique ou une méthodologie commune l’ensemble des risques. Or, le capital économique a pour vocation de couvrir l’ensemble des risques, c’est-à-dire en plus des risques principaux et les mieux évalués, risque de crédit et risque de marché, le risque opérationnel, le risque de taux.

12 TIESSET M., TROUSSARD P. (2005) Capital réglementaire et capital économique. Revue de la stabilité financière N°7, Banque de France, 63-79.



CHAPITRE 5. MESURE DE RISQUE

Sans que l’on puisse estimer que les méthodologies de mesure des risques soient aujourd’hui totalement abouties, une mesure de valeur en risque (VaR) est le moyen le plus utilisé pour apprécier de façon agrégée l’ensemble des risques. Une telle mesure est supposée permettre de quantifier et de prendre en compte les corrélations entre risques.

La Value-at-Risk (VaR) est une mesure probabiliste de la perte possible sur un horizon donné. Elle représente un niveau de perte, pour une position ou un portefeuille, qui ne sera dépassé durant une période donnée qu’avec un certain degré de confiance.

La valeur en risque (VaR) est l’une des mesures les plus utilisées pour l’évaluation du capital économique. Outre son utilisation courante dans le risque du marché, elle est souvent utilisée comme mesure de référence pour les autres types de risque et au niveau global d’une société.

Pour chaque mesure de risque, il faut spécifier trois paramètres essentiels : l’horizon de modélisation, le seuil de confiance et la variable financière à modéliser.

L’horizon est la durée de temps sur laquelle le modèle doit être projeté pour produire des informations adéquates.

Pour le besoin de l’agrégation des risques et l’évaluation du capital, une période d'un an est souvent requise, étant donné qu’elle correspond à la période sur laquelle la société peut liquider ou atténuer ses risques et accéder au marché pour le capital additionnel en cas de besoin.

Le choix du seuil de confiance est un paramètre capital de la mesure de risque. Il s’agit de spécifier la valeur critique de la mesure qui distingue entre le niveau acceptable et le niveau inacceptable de risque. Généralement, pour une mesure de risque donnée, on fixe un niveau de confiance qui correspond à la probabilité que le montant des pertes ne dépasse pas cette mesure de risque en valeur absolue.

Du point de vue réglementaire, l’objectif de l’utilisation de ce seuil est la minimisation du nombre de faillites. Les autorités de contrôle imposent un niveau du capital souhaitable dont une société a besoin pour fonctionner avec une faible probabilité de faillite.

Pour le calcul du capital au niveau global d’un groupe ou d’un conglomérat, le choix d’un niveau de confiance commun est nécessaire. Néanmoins cela pose un grand défi surtout pour les besoins de l’agrégation de risques et l’allocation de capital.

Le risque est défini en termes de changement de valeur entre deux dates. Plus exactement, entre la date de modélisation (où la valeur est connue) et une date future (l’horizon de modélisation).

De ce fait, la variable à modéliser est tout simplement la valeur future dans tous les états du monde, due aux changements de marché ou plus généralement à des événements incertains.



Cette variable aléatoire est interprétée en tant que valeurs futures d’une position ou d’un portefeuille actuellement détenu.

De manière générale, la variable financière à modéliser peut représenter la perte d’un portefeuille donné, la perte globale d’une société, le surplus d’une société d’assurance…

« La notion de Value-at-Risk (VaR) de niveau de confianceα associée au risqueX est donnée par13 :

( ) [ ]{ }αα ≥≤= xXxXVaR /PrInf,

On notera que ( ) ( )αα 1, −= XFXVaR où 1−XF désigne la fonction quantile de la loi de X . Cette

mesure de risque a le mérite de reposer sur un concept simple et facilement explicable : ( )α,XVaR est le montant qui permettra de couvrir le montant de sinistres engendré par le

risqueX avec une probabilitéα . Ce concept est directement lié à celui de probabilité de ruine puisque si une société, disposant d’un montant de « ressources » égal à ( )α,XVaR , assure un unique risqueX , sa probabilité de ruine est égale à α−1 ».

Dans la présente étude, notre objectif sera de calculer la VaR à 99,5 % associée à la situation nette de la compagnie d’assurance à l’horizon d’un an.

La situation nette est définie comme la différence entre la valeur de marché des actifs et la valeur économique des passifs. En d’autres termes, il s’agit de l’excédent de la valeur de marché des actifs par rapport à la valeur économique des passifs.

La valeur économique des passifs est constituée de la valeur actuelle des prestations, des provisions mathématiques de fin de projection, des frais et commissions et des richesses résiduelles de fin de projection.

Le bilan économique à t=0 est unique puisque la situation des marchés financiers est connue. En revanche, l’environnement financier est aléatoire en t=1 donc il existe autant de bilan économique que de simulations.

13 Cf. PLANCHET f., THEROND P., JACQUEMIN J.,[2005] «Modèles financiers en assurance, Analyses de risques dynamiques ». Economica.



CHAPITRE 6. CALCUL DE L ’EXIGENCE DE CAPITAL

Après avoir déterminé les actifs et les passifs à t=1, il convient de calculer les charges de capital relatives au risque de marché, au risque de souscription vie et au risque de défaut pour pouvoir déduire l’exigence de marge ou le capital cible.

Section 6. 1 Calcul de l’exigence de capital en modèle interne partiel simplifié

Dans cette section, l’exigence de marge est calculée à l’aide d’un modèle interne simplifié. La démarche suivante a été réalisée :

- Nous commençons dans une première étape par estimer le BSCR à l’aide d’un modèle actuariel. Ce BSCR étant estimé sans prendre en compte le risque de spread, de dépenses et le risque de défaut de contrepartie, les étapes 2 et 3 vont corriger ce biais.

- Nous estimons ensuite dans une deuxième étape la charge de capital relative au risque de marché.

- La troisième étape consiste à déduire la charge de capital relative au risque de souscription vie à partir du BSCR estimé en étape 1 et de la charge de capital du risque marché estimée en étape 2 grâce à la matrice de corrélation fournie par le QIS4.

- Enfin, le SCR global est évalué à l’aide de la matrice de corrélation en partant des charges de capital du risque marché de l’étape 2, des charges de capital du risque souscription vie de l’étape 3 et en prenant le risque de défaut de contrepartie et le risque opérationnel calculés à partir de la formule standard.

� Calcul du BSCR

Cette sous-section consiste à calculer la situation nette en prenant en compte le risque de marché et le risque de souscription vie à la fois. Pour ce faire, on calcule le best estimate par la méthode stochastique, en actualisant aux taux générés par le modèle de CIR. L’actif est évalué à t=1 par le modèle de Black and Scholes et de CIR.

Il est à noter que cette méthode néglige le risque de spread, le risque de dépenses et le risque de défaut de contrepartie.

Après génération de dix mille scénarios de la situation nette, nous déduisons la VaR 99,5 % et le capital économique sui représente le SCR global.

La situation nette est calculée par la formule suivante :

FraisinanciersProduits_fSinistresPrimesPTPlacementsNAV tt −+−+−= == 11



où :

- NAV représente la situation nette à t=1 ;

- 1=tActifs représentent la valeur des obligations, des actions et de l’immobilier à t=1 ;

- 1=tPT représente la valeur du best estimate à t=1 nette de réassurance et augmentée de

la marge pour risque à t=1;

- Primes représente les cotisations payées au début de l’année, nettes de réassurance ;

- Sinistres représente le montant des sinistres survenus entre t=0 et t=1, net de réassurance ;

- inanciersProduits_f représentent les coupons reçus à t=1 ;

- Frais représentent les frais de gestion entre t=0 et t=1 calculés en fonction des prestations.

La distribution de la situation nette est présentée ci-dessous :

ClassesNombre

d'observationsProbabilité

Borne inf Borne sup Classe] -infini ; 385 536 [ ]-infini;0,4[ 10 0,1%] 385 536 ; 544 129 [ ]0,4;0,5[ 40 0,4%] 544 129 ; 632 367 [ ]0,5;0,6[ 75 0,8%] 632 367 ; 720 606 [ ]0,6;0,7[ 181 1,8%] 720 606 ; 808 845 [ ]0,7;0,8[ 319 3,2%] 808 845 ; 897 083 [ ]0,8;0,9[ 515 5,2%

] 897 083 ; 985 322 [ ]0,9;1[ 832 8,3%] 985 322 ; 1 073 561 [ ]1;1,1[ 1 076 10,8%] 1 073 561 ; 1 161 800 [ ]1,1;1,2[ 1 356 13,6%] 1 161 800 ; 1 250 038 [ ]1,2;1,3[ 1 407 14,1%] 1 250 038 ; 1 338 277 [ ]1,3;1,3[ 1 363 13,6%] 1 338 277 ; 1 426 516 [ ]1,3;1,4[ 1 164 11,6%] 1 426 516 ; 1 514 755 [ ]1,4;1,5[ 799 8,0%] 1 514 755 ; 1 602 993 [ ]1,5;1,6[ 445 4,5%] 1 602 993 ; 1 691 232 [ ]1,6;1,7[ 253 2,5%] 1 691 232 ; 1 779 471 [ ]1,7;1,8[ 115 1,2%] 1 779 471 ; 1 867 709 [ ]1,8;1,9[ 38 0,4%] 1 867 709 ; 1 955 948 [ ]1,9;2[ 11 0,1%] 1 955 948 ; 2 044 187 [ ]2;2[ 1 0,0%] 2 044 187 ; 2 132 426 [ ]2;2,1[ 0 0,0%] 2 132 426 ; 2 220 664 [ ]2,1;2,2[ 0 0,0%] 2 220 664 ; infini [ ]2,2;infini[ 0 0,0%

10 000 100%



0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

16,0%

Le capital économique est égal à la différence entre la VaR et le niveau de fonds propres à t=0. Le capital économique est ensuite actualisé au taux sans risque pour donner le niveau de capital à t=0 (ou le SCR) qui permettra d’éviter la ruine dans 99,5 % des cas :

BSCR433 221

� Estimation de la charge de capital relative au risque de marché

La charge de capital relative au risque de marché est calculée sans prendre en compte le risque lié à la mortalité.

Les actifs sont évalués à t=1 à l’aide du modèle de Black et Scholes pour l’immobilier et les actions et du modèle de Cox Ingersoll et Ross pour les taux d’actualisation des obligations. Dix milles scénarios d’actifs sont réalisés.

Le best estimate est calculé à t=1 par la méthode déterministe en actualisant les flux aux taux de la courbe générée par le modèle de Cox, Ingersoll et Ross. On effectue 10 000 simulations du best estimate en associant à chaque scénario un scénario de la courbe de taux.

Nous supposons pour l’évaluation du risque marché que les sinistres survenus pendant la première année dépendent du taux moyen de mortalité de la population à t=0. Le montant des prestations payé la première année est alors calculé comme suit :

IndividusNbreGarantiCapitalMoyenQsPrestation x ___ ××=

Nous simulons ainsi dix mille simulation de la situation nette ce qui permettra de déduire la VaR 99,5 % et le capital économique :



La distribution de la situation nette est représentée ci-dessous :

ClassesNombre


Borne inf Borne sup Classe] -infini ; 848 763 [ ]-infini;0,8[ 10 0,1%] 848 763 ; 868 232 [ ]0,8;0,9[ 40 0,4%] 868 232 ; 892 230 [ ]0,9;0,9[ 181 1,8%] 892 230 ; 916 228 [ ]0,9;0,9[ 526 5,3%] 916 228 ; 940 226 [ ]0,9;0,9[ 1 120 11,2%] 940 226 ; 964 223 [ ]0,9;1[ 1 710 17,1%

] 964 223 ; 988 221 [ ]1;1[ 1 902 19,0%] 988 221 ; 1 012 219 [ ]1;1[ 1 779 17,8%] 1 012 219 ; 1 036 216 [ ]1;1[ 1 266 12,7%] 1 036 216 ; 1 060 214 [ ]1;1,1[ 759 7,6%] 1 060 214 ; 1 084 212 [ ]1,1;1,1[ 399 4,0%] 1 084 212 ; 1 108 210 [ ]1,1;1,1[ 179 1,8%] 1 108 210 ; 1 132 207 [ ]1,1;1,1[ 79 0,8%] 1 132 207 ; 1 156 205 [ ]1,1;1,2[ 30 0,3%] 1 156 205 ; 1 180 203 [ ]1,2;1,2[ 14 0,1%] 1 180 203 ; 1 204 200 [ ]1,2;1,2[ 5 0,1%] 1 204 200 ; 1 228 198 [ ]1,2;1,2[ 1 0,0%] 1 228 198 ; 1 252 196 [ ]1,2;1,3[ 0 0,0%] 1 252 196 ; 1 276 193 [ ]1,3;1,3[ 0 0,0%] 1 276 193 ; 1 300 191 [ ]1,3;1,3[ 0 0,0%] 1 300 191 ; 1 324 189 [ ]1,3;1,3[ 0 0,0%] 1 324 189 ; infini [ ]1,3;infini[ 0 0,0%

10 000 100%

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

16,0%

18,0%

20,0%

Le capital économique actualisé au taux sans risque est présenté ci-dessous :

SCRmarché

120 479



� Estimation de la charge de capital relative au risque de souscription vie

Nous considérons dans cette sous-section que le risque de défaut de contrepartie est nul et nous utilisons la matrice de corrélation fournie par le QIS4. A l’aide de l’outil solveur d’Excel, nous calculons la charge de capital relative au risque de souscription vie tel que le BSCR obtenu par agrégation des risque de marché et de souscription vie soit égal au BSCR calculé dans la Section 6. 1 de la partie IV (soit 433 221 €) :

120 479 0 383 802

120 479 1 0,25 0,25

0 0,25 1 0,25

383 802 0,25 0,25 1

La charge de capital obtenue est de 383 802 €.

� Calcul de la charge de capital relative au risque de défaut de contrepartie

La charge de capital relative au risque de défaut de contrepartie est calculée conformément au QIS4. La méthode de calcul est présentée dans la Section 4. 1 de la partie III.

Cela requiert le calcul d’une charge de capital relative au risque de souscription vie brut de réassurance, c’est-à-dire en partant d’un bilan ne prenant pas en compte la réassurance.

Les trois étapes de calcul décrites précédemment sont présentées dans les tableaux ci-dessous :


Notation du réassureur

RecoverablesSCR souscription

brut de réass.SCR souscription net

de réass.Collateral

A 23 508 777 813 383 802 0


Hre Rre PDi Defi1,00 1,00 0,05% 10 438

� Etape 3 : cumul

SCR défaut

10 438



� Calcul du SCR global

Le SCR global est calculé à l’aide de la matrice de corrélation donnée par le QIS4. Nous ajoutons à la charge de capital agrégée le SCR opérationnel pour obtenir le SCR global. La méthode de calcul est exposée dans le CHAPITRE 6 de la partie III.

120 479 10 438 383 802

120 479 1 0,25 0,25

10 438 0,25 1 0,25

383 802 0,25 0,25 1

Le SCR opérationnel est présenté dans le tableau suivant :

Facteur BSCR Earn life TPlife SCRop

30% 433 221 987 431 47 017 29 623

Le SCR global est présenté ci-dessous :

SCR global442 083

Section 6. 2 Calcul du SCR avec corrélation entre les risques de l’actif

Nous reprenons dans cette section le même travail fait dans la Section 6. 1 en simulant l’actif d’une manière à prendre en compte la corrélation entre actions, entre actions et taux d’intérêt et entre immobilier et taux d’intérêt.

� Modélisation des actions

L’action de type 2 (Global) suit le modèle de Black and Scholes, l’évolution du cours de l’action est alors donné par l’équation suivante14 :

( )1tiitt dWdtSdS σµ +=

Nous supposons que cette action est dépendante de l’évolution des taux instantanés, Alors :

dtdWdW iρ=int1 *

où intW est un mouvement brownien qui régit la dynamique des taux d’intérêt, on a alors :

14 Cette partie est inspirée de l’ouvrage de PLANCHET f., THEROND P., JACQUEMIN J.,[2005] «Modèles financiers en assurance, Analyses de risques dynamiques ». Economica.



utiitiii

t

t dWdWdtS

dS 2int 1 ρσρσµ −++=

où uW est un mouvement indépendant de intW .

Nous faisons ensuite l’hypothèse que l’action de type 1,ou (Other), suivant aussi le modèle de Black and Scholes ( ( )2

tiitt dWdtSdS σµ += ) est corrélée avec l’action de type 2, nous

aurons :

itaitaii

t

t dWdWdtS

dS 21 1 ρσρσµ −++=

où 1tW et i

tW sont deux mouvements browniens indépendants, avec dtdWdW aρ=12 * .

L’action de type 2 sera alors dépendante de l’évolution des taux instantanés par le biais de l’action de type 1 :

( ) itai

utiaitiaii

t

t dWdWdWdtS

dS 22int 11 ρσρρσρρσµ −+−++=

Après intégration de l’équation différentielle stochastique, il vient une formule fermée pour le cours de l’action à une date t :

( )

−+−++

−×= ∫

ti

taiu

tiaitiaii

it dWdWdWduSS0

22int2

0 112

exp ρσρρσρρσσµ

Ce processus peut se discrétiser par :

( ) ( )( ) ( )

iiiai

uiiiaiiiaiiiiii

ii

tt

tttttttS

tStS

ερσ

ερρσερρσµ

−−+

−−+−+−=−

+

++++

12

12

int111

1

1

où intε , uε et iε sont des variables aléatoires indépendantes de loi N(0,1). Ainsi lorsque le

pas de discrétisation vaut 1 :

( ) ( )( ) iaiuiaiaiii

i

ii

tS

tStS ερσερρσερρσµ 22int

1 11 −+−++=−+

Pour l’estimation des coefficients de corrélation nous supposons que l’action de type 2 (Global) suit l’évolution du CAC 40 et que l’action de type 1 (Other) suit l’évolution d’une action d’un pays émergeant. Nous estimons ensuite les corrélations par des régressions sur les données historiques de l’EONIA et du CAC 40 d’une part et l’action de type Other et le CAC 40 d’une autre part, Nous obtenons :



4,0

04,0

=−=

a

i

ρρ

� Modélisation de l’immobilier

On modélisera l’évolution des cours de l’immobilier à l’aide du modèle de Black and Scholes15 :

( )immotiitt dWdtSdS σµ +=

Nous supposons que le cours de l’immobilier est dépendant des taux d’intérêt, on a alors :

itimmoitimmoii

t

t dWdWdtS

dS 2int 1 ρσρσµ −++=

où intW et iW sont deux mouvements browniens indépendants et dtdWdW immoimmo ρ=int* .

Après intégration et discrétisation le processus devient :

( ) ( )( ) iimmoiimmoii

i

ii

tS

tStS ερσερσµ 2int

1 1−++=−+

où intε et iε sont des variables aléatoires indépendantes de loi N(0,1).

Le paramètre immoρ est estimé par régression linéaire sur les données historiques du cours de

l’immobilier et des taux. Nous obtenons : 35,0−=immoρ .

� Calcul du SCR

Le calcul du SCR étant identique au calcul effectué dans la Section 6. 1, nous exposons les résultats obtenus pour les différents modules de risques.

Tout d’abord la distribution de la situation nette pour le BSCR est présentée ci-dessous :

15 Cette partie est inspirée de l’ouvrage de PLANCHET f., THEROND P., JACQUEMIN J.,[2005] «Modèles financiers en assurance, Analyses de risques dynamiques ». Economica.



ClassesNombre


Borne inf Borne sup Classe] -infini ; 377 371 [ ]-infini;0,4[ 10 0,1%] 377 371 ; 549 840 [ ]0,4;0,5[ 40 0,4%] 549 840 ; 637 335 [ ]0,5;0,6[ 87 0,9%] 637 335 ; 724 830 [ ]0,6;0,7[ 179 1,8%] 724 830 ; 812 325 [ ]0,7;0,8[ 313 3,1%] 812 325 ; 899 820 [ ]0,8;0,9[ 527 5,3%

] 899 820 ; 987 315 [ ]0,9;1[ 795 8,0%] 987 315 ; 1 074 810 [ ]1;1,1[ 1 121 11,2%] 1 074 810 ; 1 162 306 [ ]1,1;1,2[ 1 341 13,4%] 1 162 306 ; 1 249 801 [ ]1,2;1,2[ 1 366 13,7%] 1 249 801 ; 1 337 296 [ ]1,2;1,3[ 1 426 14,3%] 1 337 296 ; 1 424 791 [ ]1,3;1,4[ 1 125 11,3%] 1 424 791 ; 1 512 286 [ ]1,4;1,5[ 819 8,2%] 1 512 286 ; 1 599 781 [ ]1,5;1,6[ 437 4,4%] 1 599 781 ; 1 687 276 [ ]1,6;1,7[ 256 2,6%] 1 687 276 ; 1 774 772 [ ]1,7;1,8[ 108 1,1%] 1 774 772 ; 1 862 267 [ ]1,8;1,9[ 38 0,4%] 1 862 267 ; 1 949 762 [ ]1,9;1,9[ 11 0,1%] 1 949 762 ; 2 037 257 [ ]1,9;2[ 1 0,0%] 2 037 257 ; 2 124 752 [ ]2;2,1[ 0 0,0%] 2 124 752 ; 2 212 247 [ ]2,1;2,2[ 0 0,0%] 2 212 247 ; infini [ ]2,2;infini[ 0 0,0%

10 000 100%

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

16,0%

Le BSCR ou le capital économique qui correspond à la différence entre la VaR et le montant de fonds propres initial est alors égal à :

BSCR

424 591



Nous remarquons que le montant du BSCR (hors risque de spread, de dépenses et de défaut de contrepartie) est inférieur au BSCR obtenu en négligeant la corrélation entre risques, ceci est dû à l’augmentation de la situation nette suite à la corrélation entre les différents actifs et à l’atténuation du risque de l’actif.

La distribution de la situation nette pour le risque marché est présentée ci-dessous :

ClassesNombre


Borne inf Borne sup Classe] -infini ; 850 212 [ ]-infini;0,9[ 10 0,1%] 850 212 ; 869 174 [ ]0,9;0,9[ 40 0,4%] 869 174 ; 889 727 [ ]0,9;0,9[ 107 1,1%] 889 727 ; 910 281 [ ]0,9;0,9[ 304 3,0%] 910 281 ; 930 834 [ ]0,9;0,9[ 639 6,4%] 930 834 ; 951 388 [ ]0,9;1[ 1 179 11,8%

] 951 388 ; 971 941 [ ]1;1[ 1 675 16,8%] 971 941 ; 992 494 [ ]1;1[ 1 895 19,0%] 992 494 ; 1 013 048 [ ]1;1[ 1 697 17,0%] 1 013 048 ; 1 033 601 [ ]1;1[ 1 203 12,0%] 1 033 601 ; 1 054 155 [ ]1;1,1[ 737 7,4%] 1 054 155 ; 1 074 708 [ ]1,1;1,1[ 349 3,5%] 1 074 708 ; 1 095 261 [ ]1,1;1,1[ 115 1,2%] 1 095 261 ; 1 115 815 [ ]1,1;1,1[ 40 0,4%] 1 115 815 ; 1 136 368 [ ]1,1;1,1[ 4 0,0%] 1 136 368 ; 1 156 922 [ ]1,1;1,2[ 5 0,1%] 1 156 922 ; 1 177 475 [ ]1,2;1,2[ 0 0,0%] 1 177 475 ; 1 198 029 [ ]1,2;1,2[ 1 0,0%] 1 198 029 ; 1 218 582 [ ]1,2;1,2[ 0 0,0%] 1 218 582 ; 1 239 135 [ ]1,2;1,2[ 0 0,0%] 1 239 135 ; 1 259 689 [ ]1,2;1,3[ 0 0,0%] 1 259 689 ; infini [ ]1,3;infini[ 0 0,0%

10 000 100%

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

16,0%

18,0%

20,0%



Le SCR marché est donc égal à :

SCRmarché

119 580

Comme pour le BSCR nous remarquons que le SCR marché est inférieur à celui calculé sans corrélation entre les actifs. La corrélation entre actifs atténue le risque de marché et entraine la diminution de son SCR suite à l’augmentation de la VaR.

Après calcul du BSCR et du SCR marché nous pouvons déduire, nous l’avons déjà vu, la charge de capital relative au risque de souscription vie. Elle est égale à 424 591 €.

Le calcul du SCR de défaut de contrepartie, identique à celui effectué dans la Section 6. 1 conduit au résultat suivant :

SCR défaut

10 730

Le BSCR est obtenu par agrégation des modules de risque de marché, de souscription vie et de défaut de contrepartie à l’aide de la matrice de corrélation présentée dans la Section 6. 1. La somme du BSCR et du SCR opérationnel donne le résultat suivant :

SCR global436 964

Nous déduisons que l’exigence de capital est inférieure lorsqu’on prend en compte la corrélation entre risques. La corrélation atténue les risques de pertes et conduit à une VaR 99,5 % supérieure.

Par mesure de prudence, nous prenons en compte dans la suite de l’étude la charge de capital la plus élevée et nous supposons alors qu’il n’existe pas de corrélation entre les risques de marché.

Section 6. 3 Graphe récapitulatif

Le graphe suivant représente les charges de capital et le SCR global en modèle interne partiel et en modèle standard :



0

100 000

200 000

300 000

400 000

500 000

600 000

Marché Défaut de

contrepartie

Vie Opérationnel Total

Modèle interne partiel Modèle standard - QIS4

Les charges de capital en modèle interne partiel sont inférieures à celles obtenues en modèle solvabilité II. La diminution du SCR par rapport à Solvabilité II est de 7 % pour le SCR marché, 1 % pour le SCR de défaut de contrepartie, 4 % pour le SCR souscription vie et de 8 % pour le SCR global.

En Solvabilité II, les modules de risques sont calculés suite à des chocs ou à des stress tests appliqués à l’actif et au passif à l’instant t=0. Dans le modèle interne partiel, la détermination de l’exigence de capital dépend de l’évolution de l’actif et du passif entre t=0 et t=1 et de la Value at Risk à 99,5 % à t=1.

Nous pouvons déduire que l’approche VaR conduit à une exigence de capital inférieure à celle évaluée en Solvabilité II.

Section 6. 4 Calcul de la marge pour risque

La simplification proposée par le QIS4 est réutilisée pour l’évaluation de la marge pour risque dans le cadre de notre modèle interne partiel. Le QIS4 précise que, pour l’évaluation de la marge pour risque, il est préférable d’utiliser le SCR calculé à partir de la formule standard, même s’il est possible de le calculer à partir d’un modèle interne.



Section 6. 5 Bilan modèle interne partiel

Le bilan en modèle interne partiel reste identique au bilan Solvabilité II :

ACTIF 2007 Passif 2007



123 281

TOTAL 1 196 331 TOTAL 1 196 331

Les « Fonds Propres » au sens Solvabilité II s’élèvent à 949 768 € et s’avèrent supérieurs au capital de solvabilité requis (soit 442 083 €), soit un ratio de couverture de 215 %.

Le surplus de Fonds Propres augmente de 170 K€ en Code des assurances, à 469 K€ en modèle standard Solvabilité II et à 508 K€ en modèle interne partiel. Cette augmentation est due principalement à la diminution de l’exigence de capital en passant des normes françaises à Solvabilité II et puis au modèle interne partiel.

Notons que l’exigence de capital est déterminée, selon le code des assurances, comme étant un pourcentage des provisions mathématiques et des capitaux sous risques, alors qu’en Solvabilité II et en modèle interne partiel elle est déterminée à partir de la NAV (Net Asset Value). Ce changement de contexte entraine pour notre exemple l’augmentation du surplus de fonds propres.

La prise en compte de plusieurs risques et de leurs corrélations dans la détermination du capital de solvabilité diminue l’exigence de marge. De plus, pour notre exemple, cette exigence de marge est inférieure quand on passe du concept de stress test (modèle standard) au concept de la Value at Risk ( modèle interne partiel).


PARTIE V : TESTS DE SENSIBILITE

Cette dernière partie présente les tests de sensibilité qui ont été effectués. Ces tests consistent à déterminer l’impact du changement de certaines données ou hypothèses sur la valeur du SCR.

Cinq tests de sensibilité ont été réalisés : un test sur la distribution de l’actif, un test sur l’âge de souscription des individus, un test sur la réassurance, un test sur la volatilité et un dernier test sur les taux de mortalité.

Le tableau ci-dessous présente les SCR obtenus avant la réalisation des tests de sensibilité :

Normes Françaises Formule standard Modèle interne par tiel

SCR marché 129 461 120 479

SCR défaut de contrepartie

10 571 10 438

SCR souscription vie 399 315 383 802

SCR global 756 673 480 874 442 083

Ratio de couverture 123% 198% 215%

CHAPITRE 1. TEST SUR L’ACTIF

Pour ce test, nous modifions la répartition de l’actif initiale en 20% obligations, 70 % actions et 10 % immobilier.

Le tableau suivant résume les résultats obtenus sur le SCR suite à la modification de la proportion des obligations, des actions et de l’immobilier dans l’actif :

Formule standard Modèle interne partiel

SCR marché 288 062 251 481


10 571 10 863


SCR global 579 223 465 934

Ratio de couverture 164% 204%

Le test sur l’actif augmente le SCR dans les deux modèles tout en ayant un SCR toujours inférieur en modèle interne partiel qu’en modèle standard. L’augmentation considérable du SCR marché montre qu’une stratégie orientée vers les actions est plus risquée et entraine une exigence de capital relative au risque de marché plus élevée.

Tests de sensibilité


CHAPITRE 2. TEST SUR L’AGE DE SOUSCRIPTION

Ce test de sensibilité consiste à changer l’âge de souscription des individus et le fixer à 60 ans au lieu de 40. Cela augmente le best estimate, le risque de souscription vie et le SCR global comme le montre le tableau suivant :


SCR marché 145 871 208 810


17 894 10 967


SCR global 865 749 638 494


Les valeurs du best estimate à t=0 et à t=1 sont présentées dans le tableau suivant :

Méthode déterministe Méthode stochastique

Best estimate à t=0 53 212

Best estimate à t=1 (courbe CIR)

241 198 243 052

L’augmentation du passif suite au vieillissement de la population a un effet plus important sur le risque de souscription vie, nous pouvons le remarquer plus pour le modèle standard que pour le modèle interne partiel.

Nous remarquons aussi que la diminution du ratio de couverture par rapport au scénario central est plus forte pour le test de sensibilité sur le passif que pour le test réalisé sur l’actif dans le CHAPITRE 1.

Nous pouvons déduire que pour une garantie temporaire décès, le vieillissement de la population pourrait augmenter l’exigence du capital du double du montant à peu près.



CHAPITRE 3. TEST SUR LA REASSURANCE

Nous supposons dans ce test qu’il n’existe pas de réassurance et nous calculons les différents modules de risque brut de réassurance :


SCR marché 122 194 167 826

SCR défaut de contrepar tie 0 0


SCR global 817 537 868 816


Par rapport aux exigences de marge avec réassurance, on s’aperçoit que le ratio de couverture se dégrade sensiblement.

L’exigence de marge augmente de son double à peu près proportionnellement à l’augmentation du best estimate de 50 % (Réassurance en quote part 50 %).

Ce test nous montre bien l’effet de la réassurance dans notre exemple temporaire décès étudié car, en introduisant la réassurance, le ratio de solvabilité augmente du double.

Nous remarquons que sans la réassurance, le capital de solvabilité requis en modèle interne partiel est supérieur au SCR évalué en Solvabilité II.



Test sur la volatilité

La volatilité des actions est supposée pour ce test de sensibilité égale à 25 %, cela impacte le modèle interne partiel uniquement et conduit à un risque de marché plus élevé et à un capital de solvabilité supérieur :


SCR marché 129 461 162 766


10 571 10 622


SCR global 480 874 451 951


Nous remarquons qu’en modèle standard, la variation de la volatilité des actions n’a pas d’impact sur le SCR parce qu’elle n’est pas prise en compte dans le calcul.

Plus la volatilité est élevée et plus l’action est risquée, cela se traduit par l’augmentation du SCR marché par rapport à celui du scénario central et conduit à une exigence de capital global plus élevée.

Tout en restant supérieur en modèle interne partiel, le ratio de solvabilité se rapproche plus du SCR évalué en modèle standard.



CHAPITRE 4. TEST SUR LES TAUX DE MORTALITE

Ce test consiste à diminuer les taux de mortalité de 30 %. Les résultats des SCR obtenus en modèle interne partiel et en modèle standard sont présentés ci-dessous :


SCR marché 141 060 232 766


757 0


SCR global 473 535 409 314


L’abattement des taux de mortalité de 30 % diminue fortement les provisions techniques, il aboutit même à des provisions négatives, ce qui pourra expliquer, avec la diminution du SCR souscription vie, l’obtention d’un SCR de défaut de contrepartie nul pour le modèle interne partiel.

Le ratio de solvabilité augmente, par rapport au scénario central, de 42 % en formule standard et de 51 % en modèle interne partiel.

Nous remarquons, pour notre portefeuille temporaire décès, que les tests sur le passif ont un impact plus important sur l’exigence de capital et sur le ratio de solvabilité que les tests réalisés sur l’actif.


CONCLUSION GENERALE

Les compagnies d’assurance doivent aujourd’hui détenir un capital réglementaire appelé marge de solvabilité pour faire face aux évènements imprévus. Les exigences de marge de solvabilité actuelles (Solvabilité I), mises en place depuis les années 1970 et réexaminées en 2002, ne semblent plus répondre aux attentes des groupes d’intérêt (actionnaires, superviseurs, clients, dirigeants d’entreprises,…). Le projet Solvabilité I était limité à l’exigence de marge de solvabilité tandis que le projet Solvabilité II a une portée beaucoup plus étendue.

L’objectif de Solvabilité II est de mettre à jour le système européen de solvabilité des entreprises en examinant leur situation financière globale et en modifiant leur gestion des risques afin de protéger les assurés dans tous les Etats membres de l’Union Européenne.

Le capital de solvabilité requis peut être calculé suivant l’approche standard ou à l’aide d’un modèle interne. La détermination du SCR à partir d’un modèle interne nécessite l’accord préalable de l’autorité de contrôle. L’approche par le modèle interne est plus contraignante mais elle est la seule à apporter des éléments permettant une meilleure maîtrise de l’activité de la société. Solvabilité II permet aussi une approche hybride permettant l’utilisation de modèles simplifiés comprenant quelques éléments de standardisation. Cette approche intéresse les compagnies d’assurance de petites ou moyennes tailles incapables de fournir une modélisation complète de leur activité.

Dans ce cadre, on a mené une étude sur un portefeuille temporaire décès fictif afin d’évaluer l’impact de changement de modèle sur le capital de solvabilité requis ou le SCR. Le critère étudié dans le présent mémoire correspond principalement au ratio de couverture (ratio des Fonds Propres rapportés aux exigences de capital requis). Un niveau de ratio plus faible permettra aux actionnaires d’immobiliser moins de capitaux et d’augmenter la rentabilité de leurs investissements.

L’étude menée indique les éléments suivants :

- La formule standard du QIS4 et le modèle interne simplifié aboutissent à des résultats relativement proches en général, en termes de capital requis et de ratio de couverture.

- La formule standard du QIS4 peut conduire à des ratios de couverture soit supérieurs, soit inférieurs aux ratios de couverture donnés par les normes Solvabilité I actuelles, en fonction des caractéristiques du passif. Rappelons à ce titre que les exigences de capital données par Solvabilité I sont quasiment invariantes en fonction des risques encourus (les normes actuelles ne prennent pas trop en compte si le portefeuille est constitué de personnes âgées, ou si la mortalité réelle s’écarte des tables réglementaires et le ratio de couverture en Normes Françaises actuelles reste stable à environ 123 %, exception faite du scénario « sans réassurance »). A contrario, le ratio de couverture en Solvabilité II, est de 198 % (scénario central) et passe à environ 300 % dès lors que la mortalité d’expérience est d’environ 70 % des tables nationales. Par ailleurs, si le portefeuille étudié est plus vieux (60 ans au lieu de 40 ans), le ratio


de couverture Solvabilité II serait alors à environ 103 % et donc serait inférieur à celui des Normes Françaises (120 %).

- La structure des actifs de la compagnie a également un impact sur les ratios de couverture : A titre d’exemple, une structure d’actifs plus orientée en actions diminue les ratios d’environ 10 % pour le scénario 6 (passage de 198 % à 164 % ou de 215 % à 210 % selon que le modèle interne ou la formule standard soit utilisée). On retrouve ici le fait que les stratégies orientées vers des actions sont pénalisées par le projet Solvabilité II actuel.

Exigence de marge Surplus de Fonds Propres Ratio de couverture

Normes Françaises

Formule standard

Modèle interne partiel

Normes Françaises

Formule standard


Normes Françaises

Formule standard


1 - Scénario central 757 K€ 481 K€ 442 K€ 170 K€ 469 K€ 508 K€ 123% 198% 215%

2 - Scénario sans réassurance 1 508 K€ 818 K€ 869 K€ -679 K€ 10 K€ -41 K€ 55% 101% 95%

3 - Scénario avec mortalité diminuée (abattement de 30%) 754 K€ 474 K€ 409 K€ 173 K€ 851 K€ 915 K€ 123% 280% 323%

4 - Scénario avec un portefeuille vieilli (âge de 60

ans au lieu de 40)772 K€ 866 K€ 638 K€ 155 K€ 22 K€ 250 K€ 120% 103% 139%

5 - Scénario avec volatili té des actions accrue

757 K€ 481 K€ 452 K€ 170 K€ 469 K€ 498 K€ 123% 198% 210%

6 - Scénario avec une part d'actions forte (70% Actions)

757 K€ 579 K€ 466 K€ 170 K€ 371 K€ 484 K€ 123% 164% 204%


BIBLIOGRAPHIE

DOCUMENTS AZIZIEH C., DEVOLDER P., (2006) Modèles de gestion des risques et dispense de provision complémentaire. Réacfin. PLANCHET F., THEROND P.E. (2005b) Simulation de trajectoires de processus continus. Belgian Actuarial Bulletin vol. 5, 1-13. THEROND P.E., PLANCHET F. (2007) Provisions techniques et capital de solvabilité d’une compagnie d’assurance : méthodologie d’utilisation de Value-at-Risk. Assurances et gestion des risques vol. 74 (4), 1-32. TIESSET M., TROUSSARD P. (2005) Capital réglementaire et capital économique. Revue de la stabilité financière N°7, Banque de France, 63-79. ZEYTUN S., GUPTA A. (2007) A Comparative Study of the Vasicek and the CIR Model of the Short Rate. Fraunhofer ITWM. MEMOIRES HAMI S. (2003) Les modèles DFA : Présentation, utilité et application. ISFA. THEROND P.E. (2007) Mesure et gestion des risques d’assurance : analyse critique des futurs référentiels prudentiel et d’information financière. Diplôme de doctorat, ISFA. OUVRAGES PLANCHET F., THEROND P., JAQUEMIN J. (2005) Modèles financiers en assurance, analyses de risque dynamiques. Economica. SITES INTERNET www.ceiops.org www.reacfin.com


ANNEXES

ANNEXE 1 TARIFICATION

Pour établir la grille tarifaire, des primes ont été calculées pour chaque âge, en distinguant entre les hommes et les femmes.

La table de mortalité utilisée pour le calcul des primes est la table réglementaire TH/TF00-02.

Par ailleurs, le taux technique retenu est égal à 2,50% au 31/12/2007 ; ce qui correspond à la référence de 60% du taux moyen des emprunts d’Etat français au 31/12/2007.

La prime pure est calculée tel que l’engagement de l’assureur soit égal à l’engagement de l’assuré au 31/12/2007.

L’engagement de l’assureur correspond à la valeur actuelle des prestations futures affectées de la probabilité de l’assurer de survivre jusqu’à l’année t , xt p , et de la probabilité de

décéder dans la même année t , txq + . Nous supposons que les flux de prestations tombent à la

fin de l’année.

L’engagement de l’assuré correspond à la valeur actuelle de la prime pure à calculer affectée de la probabilité de l’assureur de survivre jusqu’à l’année t , xt p . Nous supposons que les

primes sont payées au début de l’année.

L’égalité entre ces deux engagements nous permet de tirer la prime pure d’un âge x donné.

Ceci est illustré par la formule suivante :

( ) ( ) txxtt

ttt

tt

xt qpr

GarantiCap

r

pPurePrime +××

+=

+× ∑∑

1

_

1_

où :


- tr représente le taux d’actualisation à la période t , égal à 60 % du TME ;

- xt p la probabilité de survie à la période t d’un individu d’âge x selon la table de

mortalité TH/TF00-02 ;

- txq + la probabilité de décès à l’âge tx + selon la table de mortalité TH/TF00-02 ;

- GarantiCap_ le capital garanti de 100 000 €.

Annexes


La prime commerciale est égale à la prime pure augmentée des frais de l’assureur:

FraisPurePrimeCommPrime += _._ où :

- ._CommPrime représente la prime commerciale ;

- Frais représentent les frais de gestion proportionnels au capital assuré et prélevés sur la prime tant que l’assuré est vivant.

Annexes


ANNEXE 2 MKT EQ : RISQUE ACTION


La détermination de la charge de capital eqMkt correspondant à un indice individuel i peut

être réalisée en prenant en compte les mécanismes de couverture et du transfert du risque utilisant un processus de deux étapes.

� Etape 1 : actions et couvertures simples

Dans la première étape les instruments de couverture des actions simples doivent être pris en compte. La couverture réduit le stress avec le changement dans la valeur de marché de l’instrument même.

Les calculs au sein de cette première méthode seront réalisés comme suit :

Pour chaque indice i la valeur de marché des actions individuelles affectées à i dans le cas du scénario de stress ikequityshoc sera calculée en prenant en compte les instruments de

couverture. Les valeurs de marché « stressées » seront calculées comme suit :

( ) jiijiji HedgevolafactorEquitystressequity ,,, 1_ +−×=

où :

- jiEquity , représente la valeur de marché de l’action j affectée à l’indice i ;

- jistressequity ,_ représente la valeur de marché de l’action ji, après stress ;

- jiHedge, représente le changement dans la valeur de marché des couvertures par

action individuelle ji, sous stress ;

- ivolafactor représente le facteur de volatilité dépendant du niveau de confiance et de

l’écart type de l’indice i .

et où les facteurs de volatilité (consistant avec la spécification des scénarios ikequityshoc )

sont déterminés comme suit :

� Etape 2 : actions et couvertures pour les sous-portefeuilles

Annexes


Dans une seconde étape, les instruments de couverture des sous-portefeuilles c’est-à-dire les indices et les fonds spéciaux seront pris en compte. L’atténuation du risque sera reflétée par le changement dans la valeur de marché des instruments de couverture par indice.

Au sein de cette seconde étape, les changements dans la valeur de marché de toutes les actions sous l’indice i seront agrégés à une charge de capital prenant en compte les instruments de couverture pour le risque d’action pour l’indice individuel i comme suit :

( )∑ −−=j

ijijii HedgestressEquityEquityuityValueChangeInEq ,, _

où :

- iuityValueChangeInEq représente la charge de capital du risque action pour l’indice

i (ou ieqMkt , ) ;

- iHedge représente le changement dans la valeur de marché des couvertures par indice

i sous stress.

Finalement, la charge de capital globale pour le risque action sera établie en combinant les charges de capital des indices individuels et en utilisant une matrice de corrélation comme décrit ci-dessus.

En raison de l’absence d’instruments de couverture dans notre exemple, la méthode de calcul simplifiée est identique à la méthode de calcul standard.

� Alternative « Dampener »

L’alternative « Dampener » sera testée sur les actions de type « Global ».

La base théorique de cette alternative consiste à considérer que la probabilité que la valeur d’une action augmente est faible lorsque la valeur de cette action est élevée, et qu’elle est forte lorsque la valeur de cette action est basse.

En outre, dans l’alternative proposée, la valeur des actions est décomposée en une composante tendancielle, et une composante cyclique.

À cet effet, il est admis que la composante cyclique est égale à la moyenne des valeurs de l’indice actions sur les 10 derniers jours ouvrables avant la date de calcul du SCR minorée de la moyenne des valeurs de l’indice actions de la dernière année (environ 250 jours ouvrables) précédant la date de calcul du SCR.

Cette alternative ne s’applique que lorsque les passifs correspondant à ces actions ont une duration supérieure à 3 ans.

Dans cette alternative, la charge de capital au titre des actions de la classe 1 (Global) est :

( ) ( )( ) ( )( )%32111, ×−+×+××= αα ckGkFMVEPMkteq

Annexes


où : - 1,eqMkt représente la valeur de marché du portefeuille d’actions de classe 1 ;

- k représente la duration des passifs (de plus de 3 ans) ;

- α représente la part des provisions techniques associées à ces actions et ayant un engagement de plus de 3 ans ;

- ( )kF et ( )kG sont des coefficients définis comme suit :

- tc représente la composante cyclique et est égale à ( ) ( )25010ttt YYc −= , avec :

o 10tY correspondant à la moyenne sur les 10 derniers jours ouvrables avant la

date de calcul du SCR ;

o 250tY correspondant à la moyenne sur l’année (environ 250 jour ouvrables)

précédant la date de calcul du SCR ;

( )

N

YLn

Y

N

iit

Nt

∑−

=−

=

1

0 correspond à la moyenne de l’indice actions sur les N derniers jours

ouvrables avant la date de calcul du SCR, et ( )tYLn est la valeur du logarithme naturel de

l’indice actions, noté tY , à la date t .

Une simplification pour l’approche « Dampener » peut être utilisée. Cette simplification consiste à déterminer la duration des passifs (notée k dans la relation du paragraphe précédent) à partir de la moyenne des durations par branche d’activité observées sur le marché, pondérée par la part des provisions techniques détenue par branche d’activité souscrite.

Notons que l’alternative « Dampener » n’a pas été appliquée à l’exemple étudié.

Annexes


ANNEXE 3 COURBE DE TAUX DU QIS4

Année Date (31/12/….)taux zéro-

couponPrix zéro-coupon

1 31/12/2008 4,696% 95,41%2 31/12/2009 4,526% 91,35%3 31/12/2010 4,510% 87,35%4 31/12/2011 4,533% 83,42%5 31/12/2012 4,553% 79,64%6 31/12/2013 4,580% 75,97%7 31/12/2014 4,614% 72,40%8 31/12/2015 4,653% 68,92%9 31/12/2016 4,698% 65,52%

10 31/12/2017 4,742% 62,24%11 31/12/2018 4,784% 59,08%12 31/12/2019 4,820% 56,08%13 31/12/2020 4,851% 53,23%14 31/12/2021 4,877% 50,52%15 31/12/2022 4,901% 47,95%16 31/12/2023 4,920% 45,51%17 31/12/2024 4,936% 43,21%18 31/12/2025 4,951% 41,01%19 31/12/2026 4,965% 38,93%20 31/12/2027 4,977% 36,96%21 31/12/2028 4,973% 35,19%22 31/12/2029 4,970% 33,51%23 31/12/2030 4,967% 31,90%24 31/12/2031 4,965% 30,38%25 31/12/2032 4,962% 28,92%26 31/12/2033 4,950% 27,61%27 31/12/2034 4,939% 26,35%28 31/12/2035 4,929% 25,15%29 31/12/2036 4,919% 24,01%30 31/12/2037 4,911% 22,92%31 31/12/2038 4,893% 21,94%32 31/12/2039 4,877% 21,00%33 31/12/2040 4,862% 20,10%34 31/12/2041 4,847% 19,24%35 31/12/2042 4,834% 18,42%36 31/12/2043 4,821% 17,63%37 31/12/2044 4,809% 16,88%38 31/12/2045 4,797% 16,15%39 31/12/2046 4,786% 15,46%40 31/12/2047 4,776% 14,80%41 31/12/2048 4,759% 14,21%42 31/12/2049 4,742% 13,65%43 31/12/2050 4,726% 13,10%44 31/12/2051 4,711% 12,58%45 31/12/2052 4,697% 12,08%46 31/12/2053 4,683% 11,60%47 31/12/2054 4,670% 11,14%48 31/12/2055 4,657% 10,70%49 31/12/2056 4,645% 10,27%50 31/12/2057 4,633% 9,86%51 31/12/2058 4,622% 9,47%52 31/12/2059 4,611% 9,09%53 31/12/2060 4,601% 8,73%54 31/12/2061 4,591% 8,38%55 31/12/2062 4,581% 8,05%56 31/12/2063 4,572% 7,73%57 31/12/2064 4,563% 7,42%58 31/12/2065 4,554% 7,13%59 31/12/2066 4,546% 6,84%60 31/12/2067 4,538% 6,57%61 31/12/2068 4,530% 6,31%62 31/12/2069 4,523% 6,06%63 31/12/2070 4,515% 5,82%64 31/12/2071 4,508% 5,58%65 31/12/2072 4,501% 5,36%66 31/12/2073 4,495% 5,15%67 31/12/2074 4,488% 4,94%68 31/12/2075 4,482% 4,75%69 31/12/2076 4,476% 4,56%70 31/12/2077 4,470% 4,38%71 31/12/2078 4,464% 4,20%72 31/12/2079 4,459% 4,03%73 31/12/2080 4,453% 3,87%74 31/12/2081 4,448% 3,72%75 31/12/2082 4,443% 3,57%

mémoire présenté devant l’institut de science financière

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