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Modelação computacional do escoamento deslizante sobre
turbilhões em descarregadores de cheias em degraus com
paredes convergentes
Ana Filipa Piedade Nunes
Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Orientadores
Professor Doutor Jorge de Saldanha Gonçalves Matos
Professora Doutora Inês Osório de Castro Meireles
Júri
Presidente: Professor Doutor António Alexandre Trigo Teixeira
Orientador: Professor Doutor Jorge de Saldanha Gonçalves Matos
Vogais: Professor Doutor António Alberto do Nascimento Pinheiro
Professora Doutora Maria Rita Lacerda Morgado Fernandes de
Carvalho Mesquita David
Janeiro de 2017
“Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. The important thing is not to stop questioning.”
Albert Einstein, 1879-1955
iii
Agradecimentos
Ao Professor Jorge de Saldanha Matos pelo voto de confiança que fez em mim há um ano atrás, pela
orientação perspicaz desta dissertação, pelo apoio contínuo e pelas palavras amigas. Todo o seu apoio
e ensinamentos ajudaram-me a crescer enquanto pessoa e estudante desta instituição.
À Professora Inês Meireles pela revisão cuidada que fez a esta dissertação, bem como pelos
esclarecimentos e sugestões prestadas.
À Inês Lúcio agradeço por me ter orientado nos meus primeiros passos nesta dissertação, pelas horas
despendidas a introduzir-me ao FLOW-3D® e no desenvolvimento dos meus primeiros modelos
numéricos. A tua experiência traduzida em conselhos fundamentais à estruturação desta tese e todo o
teu auxílio na adaptação do modelo foram indispensáveis à finalização deste projeto.
Ao Professor António Trigo Teixeira pela simpatia e apoio durante a minha estadia no Brasil, e por
todos os conselhos valiosos durante o meu percurso académico.
Ao Daniel Valero pela completa disponibilidade no esclarecimento de questões técnicas relativas ao
FLOW-3D® e pelas sugestões cruciais para melhorar resultados.
À Vera Almeida e ao Eddy Pereira pela partilha de conhecimentos, pelos debates de ideias e por toda
a ajuda na resolução de particularidades do FLOW-3D®.
A todos os meus colegas do gabinete de bolseiros de Hidráulica, Recursos Hídricos e Ambientais pelos
bons momentos de confraternização e partilha de conhecimentos. Em especial à Daniela Urbano pela
boa disposição e disponibilidade em ouvir os meus devaneios na escrita desta tese.
Ao Grupo Local BEST Lisboa e a todos os seus membros e alumni, por terem transformado a minha
vida universitária e por me terem ensinado a olhar para a vida com uma nova perspetiva. Por me terem
dado todas as oportunidades para crescer nesta organização, por todas as memórias e experiências e
pelas amizades que ficarão para sempre.
À Daniela Fonseca, Cláudia Faria, Luís Alves, Sandra Figueirinha, Carolina Jarimba, Rita Carvalho e
Madalena Costa e Silva pela amizade, apoio incondicional, incentivo e, principalmente, por acreditarem
sempre em mim e nas minhas capacidades. O vosso apoio foi essencial para tornar este percurso
possível e bastante mais divertido. Para todos os meus outros amigos, não existem palavras suficientes
para agradecer! Posso apenas dizer que fico de coração cheio ao pensar em todas as aventuras e
experiências que vivemos em conjunto.
Ao meu pai por me incutir o “perfecionismo” no trabalho e pela possibilidade que me deu de estudar
longe de casa e poder realizar um ano de intercâmbio no Brasil.
iv
À minha mãe e minha melhor amiga, ouvinte e conselheira, agradeço por tudo! Sem ti, sem o teu
incentivo constante, sem o teu apoio incondicional, não teria terminado esta longa jornada. És a minha
heroína e a pessoa que aspiro a ser. Esta tese é dedicada a ti, à tua entrega, esforço e sacrifício que
me trouxeram a este ponto da minha vida.
v
Resumo
A construção de descarregadores de cheias de barragens em degraus tem vindo a ser fortemente
implementada, devido, essencialmente, à utilização da técnica de betão compactado por cilindros. Uma
variante desta tipologia, que se afigura interessante, resulta da aplicação de paredes convergentes ao
longo do canal descarregador. Esta solução possibilita o aumento da largura da crista do descarregador
em relação à do pé do descarregador e, consequentemente, uma diminuição da carga sobre a crista,
para idêntico caudal. Contudo, apresenta como desvantagens o desenvolvimento de ondas
estacionárias oblíquas e um maior empolamento da veia líquida próximo das paredes, sendo
necessário prever uma folga adequada no seu dimensionamento, para evitar o galgamento.
Nesta dissertação, apresentam-se resultados de um estudo numérico 3D desenvolvido com recurso à
modelação CFD (Computational Fluid Dynamics) aplicando o software FLOW-3D®. Analisam-se as
principais caraterísticas do escoamento num descarregador com paredes convergentes (alturas e
distribuição de velocidades da água) e procede-se à comparação dos resultados obtidos com os
adquiridos numa instalação experimental com declive típico do paramento de jusante de pequenas
barragens de aterro.
Em geral, obteve-se uma boa concordância entre os resultados numéricos e experimentais ao longo
da soleira espessa e do canal descarregador com paredes convergentes, com exceção das alturas do
escoamento no descarregador com maior ângulo de convergência. A modelação computacional do
escoamento em descarregadores em degraus com paredes fortemente convergentes, assim como a
jusante da secção de afloramento da camada limite, continua a constituir um desafio para o
desenvolvimento da investigação neste domínio.
Palavras-Chave: descarregador de cheias em degraus; escoamento deslizante sobre turbilhões;
dinâmica de fluidos computacional; paredes convergentes; ondas estacionárias oblíquas; FLOW-3D®.
vii
Abstract
There has been a significant increase in the use of stepped spillways, which is closely linked to the use
of roller compacted concrete as a construction technique applied to dam engineering. An interesting
alternative configuration to the typical stepped spillway is the use of converging side-walls along the
chute. This typology of spillway enables the increase of the crest length in relation to the chute width at
the toe, allowing a decrease of the head above the crest, for identical discharge. However, a wall
deflection induces undesired cross-waves by increasing the flow depths in the vicinity of the wall, this
will require new design guidelines that can predict the minimum vertical training wall height necessary
to prevent overtopping.
This dissertation presents a 3D numerical study developed with CFD (Computational Fluid Dynamics)
models using the commercial software code FLOW-3D®. Flow characteristics along the converging
spillway (flow depths and velocity profiles) were evaluated and compared with those acquired at an
experimental facility of a stepped spillway with a sloping chute representative of small embankment
dams.
In general, a good correlation was found between numerical and experimental data along the broad
crested weir and the converging stepped spillway, with the exception of the flow depths obtained for the
chute with greater side-wall convergence. However, the precise CFD modelling of the flow on stepped
chutes with large convergence angles, as well as the self-aerated flow region, downstream of the
inception point, remains a challenge for further research in this field.
Key-words: stepped spillway; skimming flow; computational fluid dynamics; side-wall convergence;
cross-waves; FLOW-3D®.
ix
Índice do texto
1 Introdução ...................................................................................................................................... 1
1.1 Enquadramento geral ............................................................................................................. 1
1.2 Objetivos ................................................................................................................................. 3
1.3 Estrutura da dissertação ......................................................................................................... 4
2 Revisão bibliográfica .................................................................................................................... 5
2.1 Tipos de escoamento em descarregadores em degraus ........................................................ 5
2.2 Escoamento deslizante sobre turbilhões ................................................................................ 5
2.3 Desenvolvimento e afloramento da camada limite ................................................................. 7
2.3.1 Considerações gerais ......................................................................................................... 7
2.3.2 Secção de afloramento da camada limite ........................................................................... 8
2.4 Onda estacionária oblíqua nos descarregadores convergentes ........................................... 10
3 Instalação experimental .............................................................................................................. 13
4 Modelação numérica de fluidos ................................................................................................. 15
4.1 Fundamentos teóricos .......................................................................................................... 15
4.1.1 Caraterização da turbulência ............................................................................................ 16
4.1.2 Modelos de resolução numérica da turbulência................................................................ 18
4.2 Modelo numérico – CFD ....................................................................................................... 19
4.2.1 Métodos numéricos .......................................................................................................... 20
4.2.1.1 Método dos volumes finitos ...................................................................................... 20
4.2.1.2 Método VOF.............................................................................................................. 21
4.2.2 Geração da malha de cálculo ........................................................................................... 22
4.2.2.1 Método FAVORTM ..................................................................................................... 23
4.2.3 Modelos de turbulência ..................................................................................................... 24
4.2.4 Condições de fronteira e condições iniciais ...................................................................... 25
4.2.5 Efeitos de parede .............................................................................................................. 26
5 Estabelecimento de parâmetros do modelo numérico ............................................................ 27
5.1 Geometria ............................................................................................................................. 27
5.2 Malha de cálculo ................................................................................................................... 29
5.3 Condições de fronteira .......................................................................................................... 30
x
5.4 Condições de inicialização e finalização ............................................................................... 32
5.5 Modelos físicos ..................................................................................................................... 32
5.6 Opções numéricas ................................................................................................................ 33
5.6.1 Considerações prévias ..................................................................................................... 33
5.6.2 Métodos de aproximação numérica da equação de conservação da quantidade de
movimento ..................................................................................................................................... 34
5.7 Metodologia para obtenção de grandezas caraterísticas do escoamento ............................ 35
6 Análises de sensibilidade ........................................................................................................... 37
6.1 Convergência ....................................................................................................................... 38
6.2 Soleira descarregadora ........................................................................................................ 39
6.2.1 Alturas do escoamento ..................................................................................................... 39
6.2.2 Perfis de velocidade do escoamento ................................................................................ 41
6.3 Independência da malha ...................................................................................................... 43
6.3.1 Tipologia A - Configuração A e degraus com hd=2,5 cm .................................................. 43
6.3.2 Tipologia B - Configuração A e degraus com hd=5,0 cm .................................................. 45
6.4 Aplicação da condição de fronteira de simetria .................................................................... 48
7 Resultados ................................................................................................................................... 51
7.1 Caudal .................................................................................................................................. 51
7.2 Alturas do escoamento no canal descarregador................................................................... 52
7.2.1 Considerações gerais ....................................................................................................... 52
7.2.2 Comparação entre resultados numéricos e experimentais ............................................... 55
7.3 Perfis de velocidade do escoamento no canal descarregador ............................................. 61
7.3.1 Considerações gerais ....................................................................................................... 61
7.3.2 Comparação entre resultados numéricos e experimentais ............................................... 69
7.4 Largura da onda estacionária oblíqua .................................................................................. 73
8 Conclusões e desenvolvimentos futuros ................................................................................. 77
8.1 Conclusões ........................................................................................................................... 73
8.2 Desenvolvimentos futuros .................................................................................................... 80
Bibliografia .......................................................................................................................................... 81
Anexo A Modelos de resolução numérica de turbulência................................................................... I
A.1 Equações médias de Reynolds ............................................................................................... I
A.2 Modelos de turbulência ........................................................................................................... II
xi
Anexo B Regime permanente ........................................................................................................ VII
Anexo C Alturas e perfis de velocidade do escoamento no canal descarregador ......................... VIII
C.1 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o descarregador em degraus
com hd=5,0 cm e duas paredes convergentes de 9,9⁰ .................................................................... VIII
C.2 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o descarregador em degraus
com hd=2,5 cm de altura e duas paredes convergentes de 9,9⁰ ........................................................ X
C.3 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o descarregador com
paramento liso e duas paredes convergentes de 9,9⁰ .................................................................... XIII
C.4 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o descarregador em degraus
com hd=5,0 cm de altura e uma parede convergente com θ=19,3⁰ ................................................ XIV
C.5 Perfis de velocidade no canal descarregador com paramento em degraus com hd=2,5 cm e
duas paredes convergentes para Q=42 l/s ..................................................................................... XVI
Anexo D Ondas estacionárias oblíquas no descarregador com paredes convergentes.............. XVIII
xiii
Índice de figuras
Figura 1.1 - Barragem de Pedrógão (Fot.: EDIA, 2016). ........................................................................ 1
Figura 1.2 - Proteção do paramento de jusante de barragens de aterro em BCC: (a) Barragem de Goose
Pasture, EUA, finalizada em 1991 (Fot.: P. Guedes de Melo, in Matos e Meireles, 2014); (b) Barragem
de Yellow River Watershed No. 14, EUA, reabilitada em 2004 (Fot.: J. Matos, in Matos e Meireles,
2014). ..................................................................................................................................................... 2
Figura 1.3 - Galgamento da parede lateral convergente (θ=52⁰) num descarregador em degraus com
declive 1V:3H e caudal Q=763 m3/s (Fot.: Woolbright, 2008). ............................................................... 2
Figura 1.4 - Exemplo de modelos CFD de descarregadores de cheias com paredes convergentes da
barragem Lake Manchester, Austrália (Lesleighter et al., 2008). ........................................................... 3
Figura 2.1 - Escoamento deslizante sobre turbilhões. Subtipos: (a) preenchimento parcial da soleira do
degrau pelo escoamento secundário; (b) preenchimento praticamente integral da soleira do degrau pelo
escoamento secundário; (c) escoamento com recirculação estável do escoamento secundário
(adaptado de Gonzalez, 2005). .............................................................................................................. 6
Figura 2.2 - Trechos do escoamento em regime deslizante sobre turbilhões sobre um descarregador
em degraus típico de uma pequena barragem de aterro (adaptado de Meireles e Matos, 2008). ......... 7
Figura 2.3 - Esquema ilustrativo dos parâmetros utilizados para a medição do ponto de início de
arejamento (adaptado de Meireles e Matos, 2008; Faria, 2014). ........................................................... 9
Figura 2.4 - Desenvolvimento da onda estacionária oblíqua junto da parede convergente representada
esquematicamente (adaptado de Zindovic et al., 2016). ...................................................................... 11
Figura 2.5 - Onda estacionária oblíqua que se forma junto da parede direita do descarregador liso com
uma parede convergente; Q = 27,9 l/s; tg θ = 0,5 (Fot.: André e Ramos, 2003). ................................. 11
Figura 3.1 - Instalação experimental: (a) vista geral; (b) escoamento sobre o descarregador com uma
parede convergente (θ=19,3°; hd=5,0 cm) para Q=75 l/s; (c) entrada de ar no seio do escoamento
(descarregador com uma parede convergente θ=19,3°, hd=5,0 cm e Q=50 l/s); (d) descarregador com
duas paredes convergentes (θ=9,9°; hd=2,5 cm) (Fot.: André e Ramos, 2003; Cabrita, 2007). ........... 14
Figura 4.1 - Repartição de energia no domínio da frequência ou número de onda (adaptado de Eça,
2015a). ................................................................................................................................................. 18
Figura 4.2 - Grau de modelação e custo computacional de modelos de turbulência (adaptado de
Rezende, 2009). ................................................................................................................................... 19
Figura 4.3 - Relações entre os três elementos principais de um software CFD (adaptado de Versteeg e
Malalasekera, 1995; Jiyuan et al., 2008). ............................................................................................. 20
Figura 4.4 - Exemplo de valores de distribuição da função Ϝ perto da superfície livre (Okamori, 2016).
............................................................................................................................................................. 21
Figura 4.5 - Tipologias para geração de malhas de cálculo: (a) Nested mesh blocks; (b) Linked mesh
blocks (Flow Science, Inc., 2016). ........................................................................................................ 22
Figura 4.6 - Alinhamento entre células a evitar (à esquerda) e alinhamento aconselhado (à direita)
(adaptado de Burnham, 2011a). ........................................................................................................... 23
Figura 4.7 - Consequências da aplicação do método FAVORTM (Flow Science, Inc., 2015)................ 23
xiv
Figura 5.1 - Aplicação do método FAVORTM na geometria construída componente a componente para
o descarregador com duas paredes convergentes e altura dos degraus igual a hd=2,5 cm. ............... 27
Figura 5.2 - Geometria da configuração A (θ=9,9°; hd=5,0 cm). ........................................................... 28
Figura 5.3 - Geometria da configuração B (θ=19,3°; hd=5,0 cm). ......................................................... 28
Figura 5.4 - Metade do domínio computacional (corte da configuração A em y=0) para θ=9,9° e hd=5,0
cm. ....................................................................................................................................................... 28
Figura 5.5 - Bloco 1 (a azul) e Bloco 2 (a amarelo) para descarregador em degraus com hd=5,0 cm. 30
Figura 5.6 - Número de Froude na fronteira de jusante, Xmáx. .............................................................. 31
Figura 5.7 - Ficheiro de coordenadas (a rosa) do programa MATLAB: (a) coordenadas para obtenção
do perfil de velocidades na vertical 5; (b) coordenadas para obtenção da altura do escoamento
relativamente à soleira fictícia (adaptado de Lúcio, 2015).................................................................... 36
Figura 6.1 - Monitorização do critério de convergência no decorrer de uma das simulações efetuadas
(configuração A; hd= 5,0cm, Q=35 l/s, malha 2). .................................................................................. 38
Figura 6.2 - Evolução das alturas de escoamento na soleira: comparação entre os resultados
experimentais de Cabrita (2007) e numéricos (malha 2). ..................................................................... 39
Figura 6.3 - Alturas de escoamento na soleira: comparação entre os resultados numéricos obtidos no
presente estudo e os obtidos por Lúcio (2015). ................................................................................... 40
Figura 6.4 - Perfis de velocidade do escoamento na soleira para Q=56 l/s obtidos no presente estudo
(malha 2) e nos estudos de Cabrita (2007) e Lúcio (2015) (malha 4 definida em Lúcio, 2015): (a) secção
1; (b) secção 2; (c) secção 3; (d) secção 4........................................................................................... 41
Figura 6.5 - Alturas do escoamento no eixo do canal descarregador para duas paredes convergentes
com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm). ......................................................................................... 43
Figura 6.6 - Alturas do escoamento na parede direita do canal descarregador para duas paredes
convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm). .................................................................. 44
Figura 6.7 - Perfis de velocidade no canal descarregador para 2 paredes convergentes com ângulo de
9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm): (a) vertical 2, L=0,11 m; (b) vertical 4, L=0,22 m; (c) vertical 6, L=0,34 m;
(d) vertical 8, L=0,45 m. ........................................................................................................................ 45
Figura 6.8 - Alturas do escoamento no eixo do canal descarregador para duas paredes convergentes
com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm). ......................................................................................... 46
Figura 6.9 - Alturas do escoamento na parede direita do canal descarregador para duas paredes
convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm). .................................................................. 46
Figura 6.10 - Perfis de velocidade no canal descarregador para duas paredes convergentes com ângulo
de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm): (a) vertical 1, L=0,11 m; (b) vertical 2, L=0,22 m; (c) vertical 3, L=0,34
m; (d) vertical 4, L=0,45 m; (e) vertical 5, L=0,56 m; (f) vertical 6, L=0,67 m. ...................................... 47
Figura 6.11 - Comparação das alturas do escoamento no eixo do descarregador para domínio total do
modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (duas paredes
convergentes e malha 4; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm). ..................................................................... 49
Figura 6.12 - Comparação das alturas do escoamento na parede direita do descarregador para domínio
total do modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (duas
paredes convergentes e malha 4; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm). ....................................................... 49
xv
Figura 6.13 - Comparação dos perfis de velocidade no eixo do descarregador para domínio total do
modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (2 paredes
convergentes; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm): (a) vertical 1, L=0,11 m; (b) vertical 2, L=0,22 m; (c) vertical
3, L=0,34 m; (d) vertical 4, L=0,45 m; (e) vertical 5, L=0,56 m; (f) vertical 6, L=0,67 m. ...................... 50
Figura 7.1 - Evolução temporal do caudal nas fronteiras de montante e jusante para a configuração A.
............................................................................................................................................................. 51
Figura 7.2 - Alturas do escoamento no eixo do descarregador obtidas numericamente para os caudais
em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso. ......................................... 53
Figura 7.3 - Alturas do escoamento na parede esquerda do descarregador (parede com a direção do
escoamento) obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração B e hd=5,0 cm.
............................................................................................................................................................. 54
Figura 7.4 - Alturas do escoamento na parede direita do descarregador obtidas numericamente para os
caudais em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso. ............................ 54
Figura 7.5 - Alturas do escoamento na parede direita do descarregador (parede convergente) obtidas
numericamente para os caudais em estudo e para a configuração B e hd=5,0 cm. ............................. 55
Figura 7.6 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os
resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 5,0 cm e configuração
A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 42 l/s, eixo; (b2) 42 l/s, parede direita; (c1) 49 l/s,
eixo; (c2) 49 l/s, parede direita; (d1) 56 l/s, eixo; (d2) 56 l/s, parede direita. ........................................ 57
Figura 7.7 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os
resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 2,5 cm e para a
configuração A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 42 l/s, eixo; (b2) 42 l/s, parede direita;
(c1) 49 l/s, eixo; (c2) 49 l/s, parede direita; (d1) 56 l/s, eixo; (d2) 56 l/s, parede direita. ...................... 58
Figura 7.8 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os
resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador com paramento liso e para a
configuração A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 56 l/s, eixo; (b2) 56 l/s, parede direita.
............................................................................................................................................................. 59
Figura 7.9 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os
resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 5,0 cm e configuração
B (parede convergente ≡ parede direita): (a1) 35 l/s, parede esquerda; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1)
42 l/s, parede esquerda; (b2) 42 l/s, parede direita; (c1) 49 l/s, parede esquerda; (c2) 49 l/s, parede
direita; (d1) 56 l/s, parede esquerda; (d2) 56 l/s, parede direita. .......................................................... 60
Figura 7.10 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 5,0 cm de altura e
configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s. ..................................... 61
Figura 7.11 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 2,5 cm de altura e
configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s. ..................................... 63
Figura 7.12 - Perfis de velocidade no canal descarregador com paramento convencional e configuração
A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 56 l/s. .......................................................................................... 64
xvi
Figura 7.13 - Comparação entre perfis de velocidade do escoamento para a configuração A e para cada
tipo de paramento (Q=35 l/s): (a) vertical 1/2; (b) vertical 2/4; (c) vertical 3/6; (d) vertical 4/8; (e) vertical
5/10; (f) vertical 6/12. ............................................................................................................................ 65
Figura 7.14 - Comparação entre perfis de velocidade do escoamento para a configuração A e para cada
tipo de paramento (Q=56 l/s): (a) vertical 1/2; (b) vertical 2/4; (c) vertical 3/6; (d) vertical 4/8; (e) vertical
5/10; (f) vertical 6/12; (g) vertical 7/14; (h) vertical 8/16........................................................................ 66
Figura 7.15 - Campo de velocidades (m/s) ao longo do eixo do descarregador de duas paredes
convergentes para 35 l/s: (a) descarregador com paramento convencional; (b) descarregador em
degraus com hd=2,5 cm........................................................................................................................ 68
Figura 7.16 - Distribuição transversal do campo de velocidades (m/s) para t=120s e caudal de 49 l/s:
(a) descarregador com duas paredes convergentes em degraus (θ=9,9⁰; hd=5,0 cm); (b) descarregador
com uma parede convergente em degraus (θ=19,3⁰; hd=5,0 cm). ....................................................... 69
Figura 7.17 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal
descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 5,0 cm de altura para Q=56 l/s: (a)
vertical 1; (b) vertical 2; (c) vertical 3; (d) vertical 4; (e) vertical 5; (f) vertical 6. ................................... 70
Figura 7.18 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal
descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 2,5 cm de altura para Q=56 l/s: (a)
vertical 1; (b) vertical 3; (c) vertical 5; (d) vertical 7; (e) vertical 9; (f) vertical 11; (g) vertical 13; (h) vertical
15; (i) vertical 17. .................................................................................................................................. 71
Figura 7.19 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos em quatro verticais do
canal descarregador liso para a configuração A: (a) Q=35 l/s; (b) Q=56 l/s. ........................................ 72
Figura 7.20 - Alturas do escoamento ao longo da secção transversal da segunda vertical do
descarregador (Q=35 l/s): (a) descarregador com duas paredes convergentes (θ=9,9°; hd=5,0 cm); (b)
descarregador com uma parede convergente (θ=19,3°; hd=5,0 cm). ................................................... 74
Figura 7.21 - Largura da onda estacionária oblíqua ao longo do descarregador que adota a configuração
A para valores numéricos (parede direita) e experimentais (parede esquerda): (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5
cm; (c) liso. ........................................................................................................................................... 75
Figura 7.22 - Largura da onda estacionária oblíqua ao longo do descarregador que adota a configuração
B para valores numéricos (parede direita) e experimentais (parede esquerda) e altura dos degraus igual
a hd=5,0cm. .......................................................................................................................................... 76
Figura A.1 - Modelos de turbulência (adaptado de Meireles, 2011 in Lúcio, 2015). .............................. III
Figura B.1 - Monitorização de variáveis de avaliação da estacionaridade do escoamento: (a) energia
cinética média do escoamento (J/kg); (b) energia cinética turbulenta média (J/kg); (c) dissipação média
da energia cinética turbulenta (J/kg/s); (d) massa de fluido total (kg). ................................................ VII
Figura C.1 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal descarregador
com duas paredes convergentes e degraus com 2,5 cm de altura para Q=42 l/s: (a) vertical 1; (b) vertical
3; (c) vertical 5; (d) vertical 7; (e) vertical 9; (f) vertical 11; (g) vertical 13; (h) vertical 15; (i) vertical 17.
........................................................................................................................................................... XVI
Figura D.1 - Esquema da secção transversal do escoamento na vertical 4 do descarregador em degraus
com duas paredes convergentes (hd=5,0 cm; Q=49 l/s). .................................................................. XVIII
xvii
Figura D.2 - Alturas de escoamento ao longo da secção transversal da vertical do descarregador em
degraus com duas paredes convergentes (hd=5,0 cm; Q=49 l/s). .................................................... XVIII
Figura D.3 - Diferença das alturas do escoamento na vertical 4 em relação ao valor médio da secção
transversal (-0,1m < y < 0). ................................................................................................................ XIX
Figura D.4 - Comparação das larguras da onda estacionária oblíqua obtidas experimental e
numericamente ao longo do descarregador que adota a configuração A (Q=35 l/s; hd=5,0cm). ........ XX
xix
Índice de tabelas
Tabela 3.1 - Tipos de rugosidade testadas no paramento do canal descarregador. ............................ 13
Tabela 5.1 - Resumo das configurações realizadas no presente estudo. ............................................ 27
Tabela 5.2 - Malhas de cálculo utilizadas para a configuração A – duas paredes convergentes com
θ=9,9°. .................................................................................................................................................. 29
Tabela 5.3 - Malha de cálculo utilizada para a configuração B – uma parede convergente com θ=19,3°.
............................................................................................................................................................. 29
Tabela 6.1 - Resumo das simulações realizadas no presente estudo. ................................................ 37
Tabela 6.2 - Alturas de escoamento numéricas (hnum) e experimentais (hexp) na soleira descarregadora.
............................................................................................................................................................. 40
Tabela 6.3 - Diferenças relativas entre alturas de escoamento numéricas e experimentais na soleira.
............................................................................................................................................................. 40
Tabela 6.4 - Diferenças relativas entre alturas de escoamento obtidas numericamente no presente
estudo (hpres. estudo) e em Lúcio (2015) (hLúcio (2015)) na soleira descarregadora para Q=56 l/s. .............. 41
Tabela 7.1 - Diferenças relativas entre os caudais obtidos experimental e numericamente nas fronteiras
de montante e jusante para a configuração A (malha 4). ..................................................................... 51
Tabela A.1 - Termos da equação de transporte de energia cinética turbulenta, 𝑘. .............................. IV
Tabela A.2 - Termos das equações de transporte 𝑘 e 휀. ....................................................................... V
Tabela A.3 - Valores das constantes do modelo standard 𝑘 − 휀 (Isfahani e Brethour, 2009). ............... V
Tabela A.4 - Termos das equações de transporte 𝑘 e 휀. ...................................................................... VI
Tabela A.5 - Valores das constantes do modelo RNG 𝑘 − 휀 (Isfahani e Brethour, 2009). .................... VI
Tabela C.1 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o
descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42
l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s. ............................................................................................................. VIII
Tabela C.2 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o
descarregador em degraus de 2,5 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42
l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s. ................................................................................................................ X
Tabela C.3 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o
descarregador liso e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=56 l/s. ................................... XIII
Tabela C.4 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o
descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e com uma parede convergente (parede direita): (a)
Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s. ............................................................................... XIV
Tabela D.1 - Alturas do escoamento na secção transversal da vertical 4 e respetivas diferenças
percentuais em relação ao valor médio. ............................................................................................. XIX
xxi
Simbologia
Latinas Minúsculas
𝑔 - aceleração da gravidade;
ℎ - altura do escoamento (altura equivalente de água num escoamento com
emulsionamento de ar);
ℎ𝑐 - altura crítica do escoamento, calculada por ℎ𝑐 = √𝑞2/𝑔3
;
ℎ𝑑 - altura do degrau;
ℎ𝑖 - altura do escoamento na SACL;
ℎ𝑝 - altura do escoamento potencial;
𝑘 - energia cinética turbulenta;
𝑘𝑑 - rugosidade absoluta para paramento liso, rugosidade de forma para paramento
em degraus (𝑘𝑑 = ℎ𝑑 cos 𝜃);
𝑘𝑠 - rugosidade das paredes laterais do descarregador;
𝑙𝑑 - comprimento do degrau;
𝑙𝑚 - comprimento de mistura;
𝑝 - pressão;
𝑞 - caudal de água unitário;
𝑡 - coordenada temporal;
𝑥𝑖 - coordenada espacial medida segundo a normal à soleira descarregadora (ou
soleira fictícia, no caso de descarregadores em degraus) desde a secção de
montante do canal descarregador até à SACL;
𝑦 - coordenada espacial medida segundo a normal à soleira descarregadora (ou
soleira fictícia, no caso de descarregadores em degraus).
xxii
Latinas Maiúsculas
𝐷 - unidade de comprimento caraterística do escoamento;
𝐷𝑖𝑓𝑓𝑘 - difusão de 𝑘;
𝐷𝑖𝑓𝑓𝜀 - difusão de 휀;
𝐹𝑟∗ - número de Froude definido em função da rugosidade de forma;
𝐺𝑇 - produção (ou decaimento) de energia cinética turbulenta devido a efeitos de
flutuação;
𝐻0 - energia específica do escoamento potencial medido em relação à soleira fictícia;
𝐿 - largura da onda estacionária oblíqua;
𝑙𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙,𝑣 - largura de metade do canal descarregador para uma dada vertical;
𝑁 - parâmetro da distribuição adimensional de velocidades;
𝑃𝑇 - produção de energia cinética turbulenta;
𝑅𝑒 - número de Reynolds;
𝑈 - velocidade média do escoamento;
𝑉 - velocidade pontual do escoamento à distância y da soleira;
𝑉𝑚á𝑥 - velocidade máxima do escoamento na região exterior à camada limite (𝑦 > 𝛿, tal
que 𝑉𝑚á𝑥 = 𝑉𝑝);
𝑉𝑝 - velocidade potencial do escoamento.
Gregas Minúsculas
𝛿 - espessura da camada limite;
𝛿𝑖𝑗 - delta de Kronecker;
휀 - taxa de dissipação de energia cinética turbulenta;
𝜃 - ângulo que a soleira descarregadora faz com a horizontal;
𝜅 - número de onda;
xxiii
𝜇 - viscosidade dinâmica;
𝜇𝑇 - viscosidade turbulenta;
ν - viscosidade cinemática;
ν𝑇 - viscosidade cinemática turbulenta;
𝜌 - massa volúmica;
𝜐𝑡 - velocidade turbulenta;
𝜔 - taxa de dissipação de energia.
xxiv
Abreviaturas
ACI - American Concrete Institute;
BCC - Betão Compactado por Cilindros;
CFD - Computational Fluid Dynamics;
DNS - Direct Numerical Simulation;
EDT - Escoamento deslizante sobre turbilhões;
EPSI - Critério de convergência para o cálculo iterativo das pressões;
EQS - Escoamento em quedas sucessivas;
ECQM - Equação de conservação da quantidade de movimento;
FAVOR - Fractional Area/Volume Obstacle Representation;
GMRES - Generalized Minimum Residual Solver;
GUI - Graphical User Interface;
ICOLD - International Commission on Large Dams;
LES - Large Eddy Simulation;
RANS - Reynolds Averaged Navier-Stokes;
RNG - Renormalized Group;
SACL - Secção de afloramento da camada limite;
SK1 - Escoamento com recirculação instável e com interferência esteira-degrau;
SK2 - Escoamento com circulação instável e com interferência esteira-esteira;
SK3 - Escoamento com recirculação estável;
TLEN - Maximum Turbulent Length Scale;
TKE - Turbulent Kinetic Energy;
TRA - Escoamento de transição;
VOF - Volume of Fluid.
1
1 Introdução
1.1 Enquadramento geral
Os descarregadores de cheias em degraus têm vindo a ser crescentemente utilizados nas
últimas três décadas o que se deve, em grande parte, ao surgimento de novas técnicas
construtivas, nomeadamente o betão compactado por cilindros (BCC). É possível encontrar
diversas definições de BCC, sendo a mais aceite a do American Concrete Institute (ACI, 1999),
que define o betão compactado por cilindros como uma mistura com os mesmos constituintes de
um betão convencional – cimento, água, agregados e ocasionalmente adjuvantes – distinguindo-
se deste pelo seu método de colocação e consolidação através de compactação alternada,
recorrendo a cilindros vibradores (vibração externa). Estas caraterísticas tornam o BCC um betão
simples e de rápida aplicação, o que poderá conduzir a uma significativa redução de custos,
consoante o local ou o tipo de barragem o permitam.
Embora a aplicação desta técnica na construção de estruturas hidráulicas tenha sido sugerida
na década de 40 (ICOLD, 2000), só em 1965 foi construída a primeira barragem em BCC, Alpe
Gera, localizada em Itália. Até ao final de 2010, mais de 400 grandes barragens em BCC foram
construídas em todo o mundo e cerca de 30% possuíam descarregadores de cheias em degraus
(RCC DAMS, 2010). Em Portugal, a barragem de Pedrógão (Figura 1.1), finalizada em 2005, foi
a primeira no país a ser construída recorrendo à técnica de BCC com paramento de jusante em
degraus.
Figura 1.1 - Barragem de Pedrógão (Fot.: EDIA, 2016).
Os descarregadores de cheias em degraus, quando comparados com descarregadores com
soleira convencional, permitem uma maior de dissipação de energia, devido à macro-rugosidade
conferida pelos degraus, conduzindo a uma diminuição das dimensões da estrutura de
dissipação de energia a jusante (e.g., bacia de dissipação de energia). Por outro lado, no âmbito
da reabilitação de barragens de aterro com insuficiente capacidade de descarga, a construção
de degraus em BCC tem sido considerada uma medida eficaz de proteção do paramento de
2
jusante, em situações de cheia excecional. Na Figura 1.2 apresentam-se exemplos típicos de
proteções do paramento de jusante em BCC.
(a) (b)
Figura 1.2 - Proteção do paramento de jusante de barragens de aterro em BCC: (a) Barragem de Goose Pasture, EUA, finalizada em 1991 (Fot.: P. Guedes de Melo, in Matos e Meireles, 2014); (b) Barragem de
Yellow River Watershed No. 14, EUA, reabilitada em 2004 (Fot.: J. Matos, in Matos e Meireles, 2014).
A procura de novas soluções para o projeto deste tipo de descarregadores tem sido desenvolvida
com o objetivo de as tornar cada vez mais fiáveis e economicamente mais vantajosas do que os
descarregadores habitualmente projetados, nomeadamente no que respeita ao aumento da
capacidade de descarga. Uma das soluções que tem vindo a ganhar destaque resulta da
aplicação de paredes convergentes ao longo do canal. Este tipo de solução permite fazer face a
limitações decorrentes da reduzida largura da secção transversal do curso de água a jusante,
permitindo maiores larguras da crista do descarregador e, consequentemente, menores cargas
sobre a crista para idênticos caudais de dimensionamento. As principais desvantagens recaem
na ocorrência de ondas estacionárias oblíquas e consequente tridimensionalidade do
escoamento, com empolamento da veia líquida próximo das paredes, bem como na turbulência
acrescida. Um exemplo desta solução é a instalação desenvolvida por Woolbright (2008) que
testou ângulos de convergência de 15⁰, 30⁰ e 52⁰ num modelo físico (escala de 1:22) de um
descarregador de cheias em degraus de BCC (Figura 1.3).
Figura 1.3 - Galgamento da parede lateral convergente (θ=52⁰) num descarregador em degraus com declive 1V:3H e caudal Q=763 m3/s (Fot.: Woolbright, 2008).
3
Estudos já desenvolvidos no âmbito da aplicação de paredes convergentes compreendem um
limitado número de análises teórico-experimentais (e.g., Hanna e Pugh, 1997; André e Ramos,
2003; Cabrita, 2007; Hunt et al., 2008; Woolbright, 2008; Hunt et al., 2012; Wadhai, Deshpande,
e Ghare, 2014; Zindovic et al., 2016) e são escassos os estudos que exploram a vertente da
utilização de modelos computacionais para complementar e apoiar a análise deste tipo de
descarregadores e o comportamento do seu escoamento (e.g. Lesleighter et al., 2008; Willey et
al., 2010).
Figura 1.4 - Exemplo de modelos CFD de descarregadores de cheias com paredes convergentes da barragem Lake Manchester, Austrália (Lesleighter et al., 2008).
Condicionalismos a nível topográfico e de custo e novos requisitos de capacidade de descarga
justificam o interesse no prosseguimento de investigação na área de descarregadores com
paredes convergentes. Estudos já desenvolvidos sugerem que a aplicação de degraus em
descarregadores com paredes convergentes atenua o efeito das ondas estacionárias oblíquas,
sendo este tipo de descarregador uma solução eficaz no que respeita à dissipação de energia
(André e Ramos, 2003; Cabrita, 2007).
1.2 Objetivos
Tendo por base o trabalho desenvolvido por André e Ramos (2003), Cabrita (2007) e Lúcio
(2015), a presente dissertação tem como objetivo principal a implementação de um modelo
numérico de um descarregador de cheias com paredes convergentes no programa FLOW-3D®
e a sua validação com base nos resultados experimentais anteriormente obtidos no âmbito da
dissertação de Cabrita (2007). Enumeram-se em seguida os objetivos que orientaram o estudo
realizado:
comparar resultados numéricos e experimentais relativos à altura do escoamento e
distribuição de velocidades do escoamento deslizante sobre turbilhões no canal
descarregador para três tipos de paramento e dois ângulos de convergência das paredes
laterais;
4
definir a largura da onda estacionária oblíqua ao longo do canal descarregador para o
modelo numérico e comparar os resultados obtidos com os valores adquiridos
experimentalmente;
realizar testes de sensibilidade a parâmetros e condições do modelo para deste modo
aferir o seu efeito nos respetivos resultados numéricos obtidos;
avaliar as potencialidades da utilização de um software CFD na simulação do
escoamento deslizante sobre turbilhões na interface com a parede lateral convergente.
1.3 Estrutura da dissertação
A dissertação encontra-se dividida em oito capítulos, incluindo o presente, com a seguinte
organização:
Capítulo 2 – Revisão bibliográfica – abordam-se resumidamente os tipos de escoamento que
podem ocorrer em descarregadores de cheias em degraus e respetivas condições de ocorrência,
dando-se maior relevo ao escoamento deslizante sobre turbilhões. O capítulo termina com uma
breve referência a estudos anteriormente desenvolvidos na temática do escoamento deslizante
sobre turbilhões em descarregadores de cheias em degraus com paredes convergentes.
Capítulo 3 – Instalação experimental – é apresentada a instalação experimental na qual foram
desenvolvidos os ensaios experimentais utilizados para validação do modelo numérico e é
resumidamente descrito o equipamento utilizado na realização dos ensaios.
Capítulo 4 – Modelação numérica de fluidos – são apresentadas as bases teóricas da dinâmica
de fluidos computacional e dos modelos de turbulência. Ainda neste capítulo, é feita a descrição
do software comercial FLOW-3D®.
Capítulo 5 – Calibração do modelo computacional – é apresentada a calibração do modelo
computacional, descrevendo a implementação do caso de estudo.
Capítulo 6 – Análises de sensibilidade – contém as análises de sensibilidade realizadas no
modelo de forma a aferir a sua influência nos resultados.
Capítulo 7 – Resultados – apresentam-se os resultados computacionais obtidos nas simulações
realizadas e a sua validação por comparação com as grandezas medidas em modelo físico.
Capítulo 8 – Conclusões e desenvolvimentos futuros – contém as conclusões gerais desta
dissertação e algumas sugestões para trabalhos futuros.
5
2 Revisão bibliográfica
2.1 Tipos de escoamento em descarregadores em degraus
O escoamento sobre um descarregador com soleira em degraus classifica-se em (Chanson,
1994, 2002; Matos e Quintela, 1997; Fael, 2000):
Escoamento em quedas sucessivas – EQS, caraterizado por uma série de quedas livres,
de degrau para degrau, que ocorre em geral para reduzidos valores de caudal unitário e
de declive da soleira do descarregador.
Escoamento deslizante sobre turbilhões – EDT, caraterizado por um escoamento
principal que se forma de forma similar à verificada num canal rugoso, sobre uma região
ocupada por escoamentos secundários turbilhonares existentes em cada degrau e que
ocorre para maiores valores de caudal unitário.
Escoamento de transição – TRA, em que coexistem os dois tipos de escoamento acima
descritos. Esta separação entre os dois regimes torna-se de difícil distinção em declives
pouco acentuados (hd/ld ≤ 1/2,5).
O tipo de escoamento em descarregadores em degraus, com largura constante, é função do
caudal descarregado e da geometria dos degraus. Desta forma, para um dado descarregador
em degraus, poderá assistir-se à transição entre o escoamento em quedas sucessivas e o
escoamento deslizante sobre turbilhões com o aumento do caudal escoado. Esta transição
implica uma alteração muito forte do campo de pressões dado que a diferença fundamental entre
os dois tipos de escoamento reside na distribuição de pressões na secção transversal do
escoamento (Chanson, 1996).
As simulações numéricas realizadas nesta dissertação foram efetuadas para condições
respeitantes ao escoamento deslizante sobre turbilhões.
2.2 Escoamento deslizante sobre turbilhões
O escoamento deslizante sobre turbilhões é caraterizado por dois tipos distintos de escoamento:
o escoamento principal e o escoamento secundário (Chanson, 1994, 2002; Matos, 1999). No
primeiro a massa fluida escoa-se de forma análoga à verificada num canal rugoso ocorrendo
sobre a soleira fictícia do canal (zona definida pela envolvente dos degraus). No segundo caso,
o escoamento secundário dá-se no interior da cavidade delimitada pelos degraus e,
superiormente, pelo escoamento principal, desenvolvendo-se vórtices que são responsáveis, em
grande parte, pela perda de carga do escoamento. Estes vórtices são consequência direta da
6
transmissão da tensão tangencial da água que se escoa sobre os degraus. Este escoamento
ocorre para caudais específicos mais elevados.
De acordo com diversos autores (Chanson, 1994, 2002; Matos, 1999; Gonzalez, 2005), o
escoamento deslizante sobre turbilhões é habitualmente subdivido em três subtipos:
i) Escoamento com recirculação instável e com interferência esteira-degrau, ocorre em
degraus bastante alongados que impossibilita a formação de vórtices estáveis,
originando a formação de esteiras instáveis. Estas atuam isoladamente em cada
degrau e geram uma força de arrastamento causada pela interferência esteira-
degrau – Figura 2.1 (a).
ii) Escoamento com circulação instável e com interferência esteira-esteira, caraterizado
por degraus menos alongados, levando a que a esteira interfira no degrau de jusante
e em que as forças de arrastamento no degrau passam a ser desprezáveis – Figura
2.1 (b).
iii) Escoamento com recirculação estável, caraterístico de soleiras fictícias muito
inclinadas que geram grandes vórtices de recirculação associados a elevada
dissipação de energia – Figura 2.1 (c).
(a) (b) (c)
Figura 2.1 - Escoamento deslizante sobre turbilhões. Subtipos: (a) preenchimento parcial da soleira do degrau pelo escoamento secundário; (b) preenchimento praticamente integral da soleira do degrau pelo escoamento secundário; (c) escoamento com recirculação estável do escoamento secundário (adaptado
de Gonzalez, 2005).
Soleira fictícia
Recirculação instável no
escoamento secundário Zona de interferência de duas
esteiras do escoamento deslizante
Vórtices com
recirculação estável
7
2.3 Desenvolvimento e afloramento da camada limite
2.3.1 Considerações gerais
No escoamento deslizante sobre turbilhões são, em geral, possíveis de identificar duas regiões
distintas do escoamento (Figura 2.2):
Região não-arejada – a superfície livre apresenta-se inicialmente lisa e sem
perturbações. No sentido de jusante, a superfície livre adquire ondulação até à secção
de entrada de ar, designada por secção de afloramento da camada limite (SACL).
Região arejada – para um descarregador com grande extensão esta região apresenta
três trechos distintos: após ser atingida a secção de afloramento da camada limite tem-
se um escoamento com emulsionamento de ar parcialmente desenvolvido, caraterizado
por uma superfície bastante irregular devido à entrada do ar com uma maior
intensificação de bolhas de ar nas cavidades dos degraus. Segue-se um trecho com
arejamento completamente desenvolvido e, eventualmente mais a jusante, o
escoamento atinge o regime uniforme – definido a partir da secção na qual a altura
equivalente da água, a concentração média do ar e as distribuições de velocidade e de
concentração de ar se tornam constantes ao longo do percurso. Dessa secção e até ao
final do canal descarregador, no caso de este não sofrer alterações, o escoamento dá-
se praticamente da mesma forma (Chanson, 2002; Meireles, 2004; Meireles et al., 2014).
Na Figura 2.2 representam-se esquematicamente os trechos de escoamento num descarregador
em degraus típico de uma pequena barragem de aterro. Em diversas aplicações em protótipo
verifica-se frequentemente que, para o caudal de dimensionamento, não ocorre o afloramento
da camada limite (Meireles e Matos, 2008).
Figura 2.2 - Trechos do escoamento em regime deslizante sobre turbilhões sobre um descarregador em
degraus típico de uma pequena barragem de aterro (adaptado de Meireles e Matos, 2008).
Desenvolvimento da
camada limite
Secção de afloramento
da camada limite (SACL)
Escoamento potencial
8
2.3.2 Secção de afloramento da camada limite
A secção de afloramento da camada limite define-se como sendo o local no qual a espessura da
camada limite coincide com a altura do escoamento. Como mencionado anteriormente, é a partir
deste ponto que o escoamento apresenta uma superfície bastante irregular devido à entrada de
ar.
Na secção de afloramento da camada limite e a montante desta, a distribuição adimensional de
velocidades é apresentada de acordo com a Eq. 2.1:
𝑉
𝑉𝑚á𝑥= (
𝑦
𝛿)1 𝑵⁄
(2.1)
em que:
𝑉 - velocidade pontual do escoamento à distância y da soleira;
𝑉𝑚á𝑥 - velocidade máxima do escoamento na região exterior à camada limite (𝑦 > 𝛿, tal
que 𝑉𝑚á𝑥 = 𝑉𝑝, sendo 𝑉𝑝 a velocidade potencial);
𝑦 - distância medida segundo a normal à soleira descarregadora (ou soleira fictícia,
no caso de descarregadores em degraus);
𝛿 - espessura da camada limite;
𝑁 - parâmetro da distribuição adimensional de velocidades.
No exterior da camada limite a velocidade de escoamento é igual à velocidade potencial, dado
que o escoamento não sofre perdas de energia, apresentando o comportamento de um fluido
ideal. Esta velocidade pode ser determinada a partir da equação de Bernoulli (dada pela Eq. 2.2):
𝑉𝑝 = √2𝑔×(𝐻0 − ℎ𝑝 cos𝜃) para 𝛿 < 𝑦 < ℎ (2.2)
em que:
𝑔 - aceleração da gravidade;
𝐻0 - energia específica do escoamento potencial medido em relação à soleira fictícia;
ℎ𝑝 - altura do escoamento potencial;
𝜃 - ângulo que a soleira descarregadora faz com a horizontal;
ℎ - altura do escoamento (altura equivalente de água num escoamento com emulsionamento de ar).
9
São vários os autores que propuseram expressões que permitem determinar a localização da
secção de afloramento da camada limite. Dessa necessidade foi introduzido o conceito de
número de Froude, Fr*, definido em função da rugosidade de forma por:
𝐹𝑟∗ =𝑞
√𝑔𝑘𝑑3×sen 𝜃
(2.3)
em que:
𝑞 - caudal de água unitário;
𝑘𝑑 - rugosidade de superfície ou de forma (no caso de descarregadores em degraus
é dada por 𝑘𝑑 = ℎ𝑑 cos𝜃, como é possível observar pelo detalhe da Figura 2.3);
𝜃 - ângulo que a soleira descarregadora faz com a horizontal.
Na Figura 2.3 são representadas esquematicamente as variáveis que definem a secção de início
do arejamento.
Figura 2.3 - Esquema ilustrativo dos parâmetros utilizados para a medição do ponto de início de arejamento (adaptado de Meireles e Matos, 2008; Faria, 2014).
A posição do início do arejamento assim como a altura do escoamento, hi, na mesma secção
poderão ser obtidas através das Eqs. 2.4 e 2.5, respetivamente, propostas por Chanson (2002)
kd hd
ld
θ
Desenvolvimento da camada limite
10
após a realização de ensaios experimentais e com base em resultados de diversos
investigadores:
𝑥𝑖𝑘𝑑= 9,719(sin 𝜃)0,0796 (𝐹𝑟∗)0,713 (2.4)
ℎ𝑖𝑘𝑑=
0,4034
(sin 𝜃)0,04(𝐹𝑟∗)0,592 (2.5)
André e Ramos (2003) apresentaram igualmente duas expressões para a localização da SACL
em descarregadores em degraus com largura constante (Eq. 2.6) e com largura variável (Eq.
2.7). Para estimar a altura do escoamento na secção de afloramento da camada limite
apresentam uma expressão para ambos os descarregadores mencionados (Eq. 2.8).
𝑥𝑖𝑘𝑑= 5,790(𝐹𝑟∗)0,905 (2.6)
𝑥𝑖𝑘𝑑= 5,869(𝐹𝑟∗)0,858 (2.7)
ℎ𝑖𝑘𝑑= 0,283(𝐹𝑟∗)0,684 (2.8)
A partir da investigação experimental, Hunt e Kadavy (2013) desenvolveram as seguintes
expressões:
𝑥𝑖
𝑘𝑑= 5,19(𝐹𝑟∗)0,89 0,1 < 𝐹𝑟∗ ≤ 28 (2.9)
𝑥𝑖
𝑘𝑑= 7,48(𝐹𝑟∗)0,78 28 < 𝐹𝑟∗ ≤ 105 (2.10)
em que:
𝑥𝑖 - distância medida segundo a soleira fictícia do descarregador desde a secção de
montante do canal descarregador até à SACL;
ℎ𝑖 - altura do escoamento na SACL.
2.4 Onda estacionária oblíqua nos descarregadores convergentes
O desenvolvimento de ondas estacionárias oblíquas que se observa nos descarregadores de
cheias é a resposta do escoamento rápido a modificações na geometria da soleira, das paredes
ou pela existência de pilares (Gameiro, 1996). Na presença de um estrangulamento pela
diminuição da largura ao longo do canal descarregador, dá-se deflexão do escoamento pela
parede vertical na direção do eixo do canal conduzindo a uma sobrelevação da veia líquida junto
das paredes convergentes. Em escoamentos arejados, esta sobrelevação da veia líquida é
composta por duas partes (Figura 2.4). Na região de escoamento não-arejado é formada a parte
principal da onda oblíqua, em que o ar é introduzido no escoamento através da superfície livre
11
(arejamento natural). Quando a parte principal da onda interage com o escoamento com
emulsionamento de ar forma-se uma parte secundária da onda, totalmente arejada.
Figura 2.4 - Desenvolvimento da onda estacionária oblíqua junto da parede convergente representada esquematicamente (adaptado de Zindovic et al., 2016).
A Figura 2.5 mostra o desenvolvimento da onda estacionária oblíqua e a sobrelevação do
escoamento junto da parede convergente do descarregador com paramento convencional no
ensaio experimental de André e Ramos (2003), aumentando a sua largura de montante para
jusante.
Figura 2.5 - Onda estacionária oblíqua que se forma junto da parede direita do descarregador liso com uma parede convergente; Q = 27,9 l/s; tg θ = 0,5 (Fot.: André e Ramos, 2003).
Dos estudos de André e Ramos (2003) e Cabrita (2007) conclui-se que nos descarregadores de
cheias em degraus a largura da onda estacionária oblíqua é menor do que a observada nos
descarregadores com paramento liso, em particular no pé do descarregador. É também registado
Secção de afloramento da
camada limite (SACL)
Escoamento sem
emulsionamento de ar
Escoamento com
emulsionamento de ar
12
que o descarregador com maior altura do degrau (hd = 5,0 cm) apresenta menores larguras de
onda, excetuando as secções mais próximas do pé do descarregador, para os maiores caudais.
Quanto à sobrelevação da superfície livre do escoamento junto das paredes convergentes, André
e Ramos (2003) concluíram que a presença de degraus atenua o aumento da altura do
escoamento junto das paredes. Por outro lado, com o aumento do ângulo de convergência (de
9,9° para 19,3°), maior é a altura de escoamento registada. É assim fundamental estimar o perfil
da superfície livre do escoamento, bem como o campo de velocidades, de modo a dimensionar
corretamente a altura das paredes laterais com uma folga adequada (Hunt et al., 2008, 2012;
Woolbright, 2008; Wadhai et al., 2014).
13
3 Instalação experimental
Os ensaios experimentais que permitiram a calibração e validação do presente estudo
decorreram no Laboratório de Hidráulica e Recursos Hídricos do IST, no âmbito das
investigações desenvolvidas por André e Ramos (2003) e Cabrita (2007), numa instalação
experimental readaptada a partir da instalação utilizada por Fael (2000).
A instalação é constituída por um canal de secção retangular, no qual se insere o descarregador,
para além de um reservatório de alimentação, um compartimento de restituição e circuitos de
alimentação e recirculação da água. O canal tem 8 m de comprimento e 0,7 m de largura sendo
limitado a montante por um reservatório de alimentação e a jusante por um compartimento de
restituição onde se encontra uma comporta de charneira articulada na base, que permite regular
a localização do ressalto hidráulico a jusante do descarregador. O descarregador em PVC de
0,50 m de altura é constituído por uma soleira espessa horizontal com 0,50 m de comprimento e
por um canal descarregador, instalado sensivelmente a meio do canal, em que foram testados
três tipos de rugosidade do paramento (como apresentado na Tabela 3.1), sendo que o
paramento forma um ângulo de 26,6° com a horizontal (1V:2H). Na parede vertical,
imediatamente a montante da soleira, encontra-se uma estrutura cilíndrica que tem por objetivo
reduzir a perturbação do escoamento à entrada do descarregador (Fael, 2000; André e Ramos,
2003; Cabrita, 2007; Lúcio, 2015).
Tabela 3.1 - Tipos de rugosidade testadas no paramento do canal descarregador.
Tipo de rugosidade Nº degraus
Degraus com hd=5,0 cm 9
Degraus com hd=2,5 cm 19
Liso --
No âmbito dos ensaios experimentais desenvolvidos por Cabrita (2007) realizaram-se sete
configurações do descarregador com paredes convergentes (uma parede convergente com
ângulo 19,3° na situação de descarregador com degraus de 5,0 cm de altura e uma ou duas
paredes convergentes com ângulo de 9,9°) e três tipos de rugosidades da superfície (como
apresentado na tabela acima). Para os ensaios com a configuração de parede convergente com
19,3°, usou-se a placa convergente de PVC apresentada na Figura 3.1 (c), previamente utilizada
nos estudos de André e Ramos (2003). A obtenção do descarregador convergente foi conseguida
mediante a colocação de uma placa de PVC ao longo do canal descarregador, para que a largura
a jusante fosse igual a 0,35 m, o que corresponde ao ângulo de convergência de 19,3°. As placas
de acrílico de 0,01m de espessura respeitantes às restantes configurações foram construídas no
laboratório para os ensaios de Cabrita (2007). Como se pode observar nas Figuras 3.1 (c) e (d),
no final do descarregador convergente foi sempre colocada uma placa vertical, de modo a que a
14
largura da bacia de dissipação fosse constante e coincidente com a da secção de jusante do
canal descarregador.
No canal descarregador, para os ensaios experimentais desenvolvidos por Cabrita (2007),
realizaram-se medições de altura do escoamento, perfis de velocidade e de largura da onda
estacionária oblíqua para todos as configurações, sendo utilizados no presente documento os
ensaios experimentais respeitantes aos caudais de 35, 42, 49 e 56 l/s. A medição de alturas do
escoamento foi efetuada por observação visual recorrendo à colocação de fitas métricas nas
paredes laterais do canal, com direção normal à soleira fictícia formada pelos vértices dos
degraus. Os perfis de velocidade do escoamento nas verticais dos degraus foram obtidos com
recurso a um tubo de Pitot. A largura da onda estacionária oblíqua em cada vertical de cada
degrau foi determinada por dois métodos: por observação visual – com o auxílio de uma fita
métrica – e recorrendo a um micro-molinete fixado a um coordinómetro. É de salientar que a
determinação da largura da onda com o molinete a jusante da secção de afloramento da camada
limite foi impossibilitada dado que a jusante dessa secção a superfície livre era muito irregular.
Também a medição por observação visual se revelou igualmente difícil a jusante dessa secção,
devido à oscilação da largura da onda.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 3.1 - Instalação experimental: (a) vista geral; (b) escoamento sobre o descarregador com uma parede convergente (θ=19,3°; hd=5,0 cm) para Q=75 l/s; (c) entrada de ar no seio do escoamento
(descarregador com uma parede convergente θ=19,3°, hd=5,0 cm e Q=50 l/s); (d) descarregador com duas paredes convergentes (θ=9,9°; hd=2,5 cm) (Fot.: André e Ramos, 2003; Cabrita, 2007).
15
4 Modelação numérica de fluidos
4.1 Fundamentos teóricos
A modelação numérica de fluidos, também conhecida por dinâmica dos fluidos computacional
(em inglês designada por Computational Fluid Dynamics – CFD), é definida como o conjunto de
metodologias que permitem a simulação de problemas que envolvem o escoamento de fluidos,
recorrendo a equações diferenciais parciais como modo de descrição dos fenómenos físicos
subjacentes. Os constantes avanços tecnológicos e computacionais possibilitam o surgimento
de computadores com cada vez mais capacidade de processamento e armazenamento de
dados, sendo que atualmente os modelos CFD têm um extenso campo de aplicação na resolução
de problemas complexos da engenharia e física. No entanto persiste a questão sobre a validade
destes modelos reproduzirem corretamente a realidade, pelo que se torna necessário a sua
validação por comparação com valores medidos em protótipo ou em modelo reduzido (apesar
da existência dos inerentes erros de medição).
Existem diversos software comerciais de CFD atualmente disponíveis em que os princípios em
que se baseiam têm como suporte as equações fundamentais da mecânica dos fluidos. Embora
estas equações possam ser escritas em diferentes formulações matemáticas, a base dos
modelos CFD passa pela descrição do comportamento de um fluido recorrendo aos princípios
da conservação da mecânica dos meios contínuos, nomeadamente para fluidos incompressíveis:
Princípio de conservação da massa.
Princípio de conservação da quantidade de movimento.
Neste documento não serão apresentados estes princípios e equações de conservação. É
possível consultar uma exaustiva revisão bibliográfica a respeito da definição das equações que
se obtêm da aplicação dos princípios físicos enunciados e a sua manipulação para a obtenção
das equações diferenciais que regem a dinâmica de fluidos (e.g. Versteeg e Malalasekera, 1995;
Hirsch, 2007; Jiyuan et al., 2008; Oliveira e Lopes, 2015). Trata-se de uma temática também
discutida em trabalhos que precedem a presente dissertação e que envolvem igualmente o
estudo numérico em bacias de dissipação de energia, descarregadores de cheias ou, mais
concretamente, do escoamento deslizante sobre turbilhões em descarregadores em degraus
(e.g., Carvalho e Amador, 2009; Carvalho e Martins, 2009; Meireles, 2011; Silva, 2013; Faria,
2014; Lúcio, 2015; Lopes et al., 2016; Pereira, 2016).
16
4.1.1 Caraterização da turbulência
A partir de ensaios experimentais Osborne Reynolds, em 1883, demonstrou a existência de dois
regimes de escoamento: laminar e turbulento. Poder-se-á dizer que um escoamento tem lugar
em regime laminar quando este é caraterizado por trajetórias bem definidas das partículas
fluidas, enquanto no escoamento turbulento essas trajetórias são extremamente irregulares e a
velocidade varia constantemente em grandeza e direção para um dado ponto do fluido. Na
dinâmica de fluidos, os escoamentos turbulentos representam a maioria das situações de
interesse e os escoamentos laminares a exceção, pois são necessárias pequenas dimensões e
viscosidades elevadas para se obterem escoamentos laminares (Tennekes e Lumley, 2010;
Quintela, 2011).
Um escoamento em regime laminar é descrito pelas equações de energia, continuidade e
quantidade de movimento e, nos casos mais simples, estas são passíveis de serem resolvidas
analiticamente. Para escoamentos mais complexos – como é o caso dos escoamentos
turbulentos – existe a necessidade de recorrer à introdução de equações para a sua modelação
computacional (Jiyuan et al., 2008).
A descrição do escoamento turbulento em todos os pontos do espaço e instantes do tempo não
é exequível, pelo que apenas se podem enumerar algumas das caraterísticas dos escoamentos
turbulentos e que são descritas em seguida.
Irregularidade
Implica que o escoamento é aleatório, isto é, não é determinístico, levando a uma abordagem
estatística dos problemas de turbulência (valor médio, desvio-padrão, correlações espaciais e/ou
temporais).
Difusividade
A difusividade da turbulência traduz-se numa elevada capacidade de mistura de massa,
quantidade de movimento, energia e calor (Tennekes e Lumley, 2010).
Números de Reynolds elevados
O número de Reynolds pode ser interpretado como sendo proporcional à razão entre as forças
de inércia (𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎) e as de viscosidade (𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎), dado por:
𝑅𝑒 =𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎
=𝑈𝐷
𝜈 (4.1)
onde 𝑈 e 𝐷 designam, respetivamente, uma velocidade média e um comprimento caraterístico
do escoamento e 𝜈 denota a viscosidade cinemática do fluido em causa.
Para pequenos valores do número de Reynolds tem-se um escoamento em regime laminar,
representando um escoamento em que os efeitos de inércia são menores. Para valores mais
elevados do número de Reynolds, originam-se instabilidades no escoamento laminar com as
17
forças de inércia suficientemente grandes para amplificar as flutuações turbulentas, ocorrendo a
passagem de escoamento laminar para turbulento (Silva, 2010; Tennekes e Lumley, 2010).
Flutuações tridimensionais de vorticidade
Escoamentos turbulentos são tridimensionais e rotacionais, caraterizando-se pela presença de
estruturas coerentes de fluido com dimensões variadas, distribuição irregular no espaço e sem
periodicidade, designadas por vórtices ou turbilhões (eddies), seguindo o escoamento com
movimentos que tipificam um comportamento aparentemente caótico (Jiyuan et al., 2008;
Tennekes e Lumley, 2010; Quintela, 2011; Oliveira e Lopes, 2015). Em escoamentos
bidimensionais a produção de vorticidade não é adequadamente representada, em resultado do
mecanismo de estiramento dos vórtices, ou seja, o escoamento turbulento varia aleatoriamente
nas três direções do espaço e no tempo.
Dissipação
A turbulência é essencialmente dissipativa, ou seja, é necessário fornecer energia aos
escoamentos turbulentos para que a turbulência se mantenha e de modo a compensar as perdas
viscosas (Tennekes e Lumley, 2010; Quintela, 2011). Ao se produzir a turbulência, a energia do
escoamento transita para a energia cinética dos turbilhões de maiores dimensões e estes, por
sua vez, vão-se subdividindo noutros de dimensões ainda menores, através de um processo
complexo que pode ser modelado pelo mecanismo de estiramento de vórtices (Quintela, 2011;
Oliveira e Lopes, 2015). A dissipação viscosa de energia faz-se para os turbilhões de menores
dimensões dos escoamentos turbulentos.
Meio contínuo
A escoamentos turbulentos aplica-se um modelo de meio contínuo, uma vez que mesmo as mais
pequenas escalas para este tipo de escoamento são muito maiores que qualquer escala de
comprimento molecular (Tennekes e Lumley, 2010).
Para além das caraterísticas acima mencionadas, outra propriedade importante dos
escoamentos turbulentos é a sua vasta gama de escalas de comprimento. A análise espectral
assiste na compreensão desta propriedade, caraterizando a distribuição de energia de flutuação
de um escoamento em regime turbulento pelas diferentes frequências de oscilação inerentes às
diversas escalas dos turbilhões (Oliveira e Lopes, 2015), sendo um exemplo de espectro de
energia a Figura 4.1, que apresenta a gama de escalas de comprimento em escoamentos
turbulentos no domínio das frequências e do número de onda, 𝜅. Um turbilhão pode ser
caraterizado pelo seu número de onda, i.e. um turbilhão de número de onda 𝜅 pode ser definido
como uma perturbação que contém energia na vizinhança 𝜅.
Como já se referiu nesta secção, a turbulência envolve a presença de turbilhões caraterizados
por diferentes escalas de comprimento, aos quais correspondem oscilações de velocidade que
se estendem por toda uma gama de comprimentos de onda, desde um mínimo determinado
18
pelas forças inerentes aos efeitos de dissipação viscosa (turbilhões de menor dimensão, sendo
esta dimensão conhecida por escala de Kolmogorov) até um máximo delimitado pelas condições
de fronteira do escoamento (turbilhões de maiores dimensões e aos quais correspondem baixas
frequências de flutuação, i.e., maiores comprimentos de onda). Na zona intermédia atua um
mecanismo de inércia que promove a transferência energética, através do mecanismo de
estiramento de vórtices, das grandes para as pequenas escalas, habitualmente designada por
sub-região inercial.
Figura 4.1 - Repartição de energia no domínio da frequência ou número de onda (adaptado de Eça, 2015a).
4.1.2 Modelos de resolução numérica da turbulência
O caráter irregular e aparentemente aleatório da turbulência faz deste regime de escoamento um
fenómeno complexo e de difícil resolução, pelo que os modelos de turbulência ganham especial
relevância na medida em que permitem resolver o sistema de equações que rege o campo
cinemático médio de um escoamento turbulento, estabelecendo expressões para as tensões de
Reynolds. Atualmente definem-se três métodos de simulação computacional:
Simulação numérica direta (DNS – Direct Numerical Simulation): neste método
resolvem-se todas as escalas do campo turbulento, dispensando a utilização de modelos
de turbulência. No entanto, devido às elevadas exigências computacionais e limitações
temporais, a utilização prática das DNS é restringida a simulações de escoamentos com
baixos números de Reynolds.
Região
dissipativa
Sub-região
inercial
Zonas de significativa
transferência de energia
Turbilhões de
maiores dimensões
log𝐸(𝜅)
log (𝜅)
19
Simulação das grandes escalas (LES – Large Eddy Simulation): este modelo tem como
principal objetivo a simulação do comportamento dos grandes turbilhões e para as
pequenas escalas utilizam-se modelos de escalas sub-malha (subgrid scale) (Jiyuan et
al., 2008).
Simulações baseadas nas Equações Médias de Reynolds (RANS – Reynolds
Averaged Navier-Stokes): trata-se do modelo matemático mais utilizado em que uma
variação instantânea é decomposta num termo médio (no tempo) e numa flutuação. Por
permitirem obter soluções para as propriedades médias, os modelos RANS são menos
exigentes computacionalmente do que as DNS e os modelos LES (ver Figura 4.2).
Figura 4.2 - Grau de modelação e custo computacional de modelos de turbulência (adaptado de Rezende, 2009).
A presente dissertação contempla uma breve descrição das formulações matemáticas e
numéricas relativas a simulações baseadas nas Equações Médias de Reynolds (RANS). No
Anexo A encontra-se disponível informação complementar relativa a esta temática.
4.2 Modelo numérico – CFD
O papel dos software CFD consiste na estruturação de algoritmos numéricos que permitem a
simulação de problemas que envolvam o escoamento de fluidos. De modo a permitir a introdução
dos parâmetros da simulação e analisar os resultados, estes software incluem interfaces gráficas
(GUI, acrónimo para a expressão em inglês Graphical User Interface).
Todos os software CFD são constituídos por três elementos principais – pré-processador, solver
e pós-processador – sendo estes apresentados esquematicamente na Figura 4.3, bem como os
passos a executar em cada elemento (Versteeg e Malalasekera, 1995; Jiyuan et al., 2008).
Grau de
modelação
Custo
computacional
0%
100%
Baixo Alto Muito Alto
20
Solver
Figura 4.3 - Relações entre os três elementos principais de um software CFD (adaptado de Versteeg e Malalasekera, 1995; Jiyuan et al., 2008).
O software FLOW-3D®, desenvolvido pela Flow Science, Inc., é o programa de cálculo utilizado
no presente trabalho. Este software foi escolhido por apresentar uma variedade de opções físicas
e numéricas que permitem a modelação de escoamentos em superfície livre com grande
precisão. Ao longo deste subcapítulo serão apresentadas algumas das caraterísticas do
programa FLOW-3D®.
4.2.1 Métodos numéricos
4.2.1.1 Método dos volumes finitos
O FLOW-3D® resolve numericamente as equações fundamentais da dinâmica de fluidos
recorrendo ao método dos volumes finitos. Um domínio é então subdividido numa malha de
células hexaédricas fixas, procedendo-se à integração das equações para cada célula (volume
de controlo) do domínio da solução. Em cada célula da malha todas as variáveis são
consideradas localizadas no centróide da célula, excetuando a velocidade que se encontra
localizada na face da célula, sendo os valores das variáveis nas superfícies dos volumes de
Pré-processador
Definição da geometria
Definição/geração da malha
Seleção dos fenómenos físicos e
químicos que necessitam ser
modelados
Definição das propriedades dos
materiais
Definição das condições de
fronteira
Obtenção das equações que regem o fenómeno, para a malha definida
Equações de conservação Modelos físicos
Massa
Quantidade de movimento
Energia
Definições do Solver
Inicialização
Controlo da solução
Monitorização da solução
Cálculo CFD
Verificar convergência
Turbulência
Combustão
Radiação
Outros processos
Pós-processador
Resultados em 2D e 3D
Representações de vetores
Representações de linhas de
corrente
Gráficos de isolinhas
Animações
Se não verifica: modificar parâmetros do modelo ou malha
21
controlo obtidos por esquemas de interpolação em função dos valores nodais (localizados no
centro do volume de controlo) (Jiyuan et al., 2008). A conversão das equações da forma integral
para sistemas de equações algébricas – resolúveis por processos iterativos – dá-se por
discretização utilizando aproximações de diferenças finitas. Por oposição ao método dos
volumes finitos, o método das diferenças finitas discretiza a forma diferencial das equações
considerando pontos em vez de células.
Pelo facto do método dos volumes finitos lidar com volumes de controlo em vez de pontos,
apresenta a vantagem de poder ser aplicado a qualquer tipo de malha, adaptando-se a
geometrias complexas. Outra vantagem passa por a malha não necessitar estar relacionada com
um sistema de coordenadas. Como desvantagem do método de volumes finitos em relação ao
método das diferenças finitas tem-se a dificuldade de desenvolver em 3D métodos de segunda
ordem (ou superiores) quando se utilizam malhas não estruturadas. Isto deve-se ao facto da
aproximação por volumes finitos requerer dois níveis de aproximação, a interpolação e a
integração (Jiyuan et al., 2008).
4.2.1.2 Método VOF
No FLOW-3D® a superfície livre do escoamento – interface entre um líquido e um gás ou entre
dois líquidos – é modelada através do método VOF (acrónimo para a designação inglesa Volume
of Fluid), desenvolvido por Hirt e Nichols (1981). Este método utiliza a função de fração de fluido
Ϝ para reconstrução da superfície livre, que assume valores entre 0 e 1 como mostra a Figura
4.4, dependendo da quantidade de fluido em cada célula. A interpretação desta função encontra-
se também dependente do tipo de problema que se está a simular, sendo o caso mais comum o
escoamento de um fluido (one-fluid problem) em que a fração de fluido toma o valor de 1 quando
na célula apenas se tem fluido, caso contrário (nas regiões de vazio, i.e. onde apenas existe ar)
Ϝ toma o valor 0. No intervalo entre os casos extremos apresentados é onde se localiza a
superfície livre.
A definição da função de volume de fluido corresponde à primeira de três componentes principais
deste algoritmo presente no FLOW-3D®, consistindo as restantes componentes na resolução da
equação de transporte de Ϝ recorrendo a um algoritmo de advecção e na definição das condições
de fronteira na superfície livre. Trata-se de uma melhoria ao método original e foi desenvolvido
pela Flow Science, Inc. sob a designação de TruVOFTM (Flow Science, Inc., 2015; Okamori,
2016).
Figura 4.4 - Exemplo de valores de distribuição da função Ϝ perto da superfície livre (Okamori, 2016).
22
4.2.2 Geração da malha de cálculo
Após a definição da geometria no FLOW-3D® é necessário subdividir o domínio total do
escoamento numa malha que é ortogonal e definida em coordenadas cartesianas ou cilíndricas
(Flow Science, Inc., 2015). Cada parâmetro de fluido é descrito e resolvido numericamente em
cada célula, pelo que quanto menor o espaçamento da malha, maior será a precisão da solução
numérica. No entanto, o refinamento da malha, i.e. redução da dimensão das células, leva a um
aumento do esforço computacional e, por conseguinte, a maiores tempos de cálculo, sendo
necessário atingir um compromisso entre a precisão de cálculo desejada e as limitações
impostas pelos recursos computacionais e tempos de cálculo.
O tipo de malha utilizada para um determinado problema pode causar um impacto significativo
na simulação, inclusivamente na qualidade da solução. Num sistema de coordenadas
cartesianas, a malha pode ser uniforme, sendo o comprimento das células igual em cada direção,
caso contrário tem-se uma malha não uniforme. Para problemas de escoamentos mais
complexos, uma malha não uniforme traz flexibilidade ao modelo computacional, dado que
subdivide o domínio para que se obtenha um grau de precisão adequado a cada parte desse
domínio. Por outro lado, apresentará menor estabilidade que uma malha uniforme (Hirsch, 2007).
No que respeita às boas práticas de geração de malhas, é aconselhável que o rácio entre as
dimensões ortogonais da célula seja próximo de 1, e que não exceda o valor de 3. Entre células
adjacentes, a proporção na mesma direção (x:x, y:y ou z:z) deve aproximar-se, o mais possível,
à unidade, não excedendo 1.25 (Burnham, 2011a).
O FLOW-3D® permite o recurso à definição de blocos múltiplos (Multi-Block) de malha,
permitindo aumentar a resolução da simulação em áreas de interesse. Os blocos de malha
adicionais podem ser definidos para estarem totalmente inseridos, designando-se de nested
block (Figura 4.5 (a)), podem partilhar apenas uma fronteira – sendo designados de linked blocks,
Figura 4.5 (b) – ou podem sobrepor-se parcialmente (Burnham, 2011a; Flow Science, 2015).
(a) (b)
Figura 4.5 - Tipologias para geração de malhas de cálculo: (a) Nested mesh blocks; (b) Linked mesh blocks (Flow Science, Inc., 2016).
De modo a minimizar os erros de interpolação na construção de blocos múltiplos é de salientar
a minimização do número de blocos, o cuidado no alinhamento entre células de diferentes blocos
23
sempre que possível (Figura 4.6) e evitar grandes rácios entre dimensões de células adjacentes,
não excedendo 2:1 (Burnham, 2011a).
Figura 4.6 - Alinhamento entre células a evitar (à esquerda) e alinhamento aconselhado (à direita) (adaptado de Burnham, 2011a).
Outra caraterística importante da malha gerada pelo FLOW-3D® é o facto de esta ser desfasada
(staggered grid), o que significa que as quantidades escalares são armazenadas no centróide da
célula, enquanto as quantidades vetoriais (velocidades) são armazenadas nas faces da célula.
4.2.2.1 Método FAVORTM
O método FAVORTM, acrónimo para Fractional Area/Volume Obstacle Representation (Hirt e
Sicilian, 1985), é utilizado pelo FLOW-3D® para a representação de superfícies complexas numa
malha estruturada e retangular. Esta técnica incorpora a geometria na malha criando frações de
áreas/volumes parciais para cada célula recorrendo à determinação dos pontos da face de uma
dada geometria que intersetam os vértices da célula de cálculo, sendo assumidas conexões em
linha reta (ou num plano, no caso de uma simulação 3D) entre os pontos de interseção. Esta
abordagem encontra-se apresentada na Figura 4.7 e é possível observar que a hipótese de
conexões em linha reta induz pequenos erros na fração da área, embora o erro possa ser
reduzido com o refinamento da malha (Flow Science, Inc., 2015).
Figura 4.7 - Consequências da aplicação do método FAVORTM (Flow Science, Inc., 2015).
Este método aplica algoritmos complexos para o cálculo das frações de áreas/volumes durante
o pré-processamento da simulação e também a cada iteração se se dá movimento de objetos
sólidos por ação do escoamento (Flow Science, Inc., 2015).
FAVORTM
24
4.2.3 Modelos de turbulência
O programa FLOW-3D® disponibiliza seis opções de modelos de turbulência: modelo de
comprimento de mistura líquida de Prandlt, modelo de uma equação, modelo LES e, dentro dos
modelos de duas equações, os modelos standard 𝑘 − 휀, RNG 𝑘 − 휀 e 𝑘 − 𝑤. A formulação destas
equações no FLOW-3D® é feita com base no método FAVORTM e de forma análoga às
formulações matemáticas dos modelos de turbulência apresentados no capítulo A.2 do Anexo A.
Na presente dissertação apenas será testado o modelo de transporte das tensões turbulentas a
duas equações RNG 𝑘 − 휀, devido à sua maior precisão e fiabilidade para uma maior gama de
escoamentos, comparativamente ao modelo 𝑘 − 휀. As equações referentes a este modelo
baseiam-se no conceito de viscosidade turbulenta e resolvem as equações de transporte para a
energia cinética turbulenta, 𝑘, e dissipação de energia turbulenta, 휀 (Eqs. 4.2 e 4.3). As equações
para a determinação dos valores de 𝑘 e 휀 encontram-se apresentadas em A.2 no Anexo A.
𝜕𝑘
𝜕𝑡+1
𝑉𝐹{𝑢𝐴𝑥
𝜕𝑘
𝜕𝑥+ 𝑣𝐴𝑦
𝜕𝑘
𝜕𝑦+ 𝑤𝐴𝑧
𝜕𝑘
𝜕𝑧} = 𝑃𝑇 + 𝐺𝑇 + 𝐷𝑖𝑓𝑓𝑘 − 휀 (4.2)
𝜕휀
𝜕𝑡+1
𝑉𝐹{𝑢𝐴𝑥
𝜕휀
𝜕𝑥+ 𝑣𝐴𝑦𝑅
𝜕휀
𝜕𝑦+ 𝑤𝐴𝑧
𝜕휀
𝜕𝑧} =
𝐶𝐷𝐼𝑆1 ∙ 휀
𝑘(𝑃𝑇 + 𝐶𝐷𝐼𝑆3 ∙ 𝐺𝑇) + 𝐷𝑖𝑓𝑓𝜀 − 𝐶𝐷𝐼𝑆2
휀2
𝑘 (4.3)
em que:
𝑃𝑇 - produção de energia cinética turbulenta;
𝐺𝑇 - produção (ou decaimento) de energia cinética turbulenta devido a efeitos
de flutuação;
𝐷𝑖𝑓𝑓𝑘 - difusão de 𝑘;
𝐷𝑖𝑓𝑓𝜀 - difusão de 휀;
𝑉𝐹 , 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦, 𝐴𝑧 - funções do método FAVORTM;
𝐶𝐷𝐼𝑆1, 𝐶𝐷𝐼𝑆3 - parâmetros adimensionais ajustáveis pelo utilizador e que tomam, por omissão, os valores 1,42 e 0,2;
𝐶𝐷𝐼𝑆2 - parâmetro calculado em função de 𝑘 e de 𝑃𝑇.
As equações associadas aos termos mencionados não serão apresentadas neste documento,
sendo no entanto possíveis de ser consultadas em Flow Science, Inc. (2015).
A viscosidade cinemática turbulenta é calculada, em todos os modelos de turbulência, através
da seguinte expressão:
ν𝑇 = 𝐶𝑁𝑈𝑘2
휀 (4.4)
Para o modelo RNG 𝑘 − 휀 a constante 𝐶𝑁𝑈 toma o valor de 0,085.
25
Para modelos de duas equações existe a necessidade de limitar o valor de 휀. A equação de
transporte para a taxa de dissipação 휀 pode produzir valores próximos de zero e, por
conseguinte, valores excessivamente elevados para a viscosidade turbulenta (Eq. 4.4) – irrealista
do ponto de vista físico –, sendo necessário definir um limite estipulado pelo utilizador ou
automaticamente (Flow Science, Inc., 2015). Nesta situação o FLOW-3D® define o valor mínimo
de 휀 através da Eq. 4.5.
ε𝑚𝑖𝑛 = 𝐶𝑁𝑈√3
2
𝑘3 2⁄
𝑇𝐿𝐸𝑁 (4.5)
onde 𝑇𝐿𝐸𝑁 – acrónimo para Maximum Turbulent Length Scale – corresponde ao valor limite
máximo para o comprimento de turbulência. No FLOW-3D® este valor pode ser definido pelo
utilizador ou calculado automaticamente em função do espaço e tempo durante a simulação,
sendo que na presente dissertação se optou pelo cálculo automático deste valor.
4.2.4 Condições de fronteira e condições iniciais
As equações fundamentais da dinâmica de fluidos presentes no algoritmo do FLOW-3D® e que
regem o movimento de um escoamento enquadram-se na categoria de problemas de valor inicial.
Assim sendo, é necessário conhecer a solução nos limites (condições de fronteira) e a solução
inicial (em t=0) de modo a poder calcular corretamente o desenvolvimento do escoamento para
o caso em estudo (Flow Science, Inc., 2015). Esta é uma etapa fundamental do pré-
processamento, dado que uma definição de condições iniciais e de fronteira apropriadas pode
ter um grande impacto sobre a medida em que os resultados da simulação refletem a realidade.
No FLOW-3D® encontram-se disponíveis dez tipos de condições de fronteira diferentes para a
definição das seis condições de fronteira de cada bloco de malha: Continuative, Grid overlay,
Outflow, Periodic, Specified Pressure, Specified Velocity, Symmetry, Volume Flow Rate, Wall e
Wave. Destes tipos foram apenas utilizados quatro deles como condições de fronteira nas
simulações realizadas, sendo em seguida apresentadas as suas caraterísticas de acordo com
Flow Science, Inc. (2015):
Saída de caudal (Outflow): nesta condição imposta ao escoamento existe uma saída de
todo o caudal que interseta a fronteira de jusante, assegurando a inexistência de
perturbações na distribuição de velocidades do escoamento. É importante referir que
esta condição apenas deve ser utilizada para números de Froude de valor igual ou
superior a um.
Pressão definida (Specified Pressure): define uma pressão específica na fronteira. Este
limite pode representar sistemas como, por exemplo, grandes reservatórios podendo ser
definida uma condição de pressão hidrostática, deixando de ser necessário representar
26
toda a sua extensão, trazendo vantagens óbvias do ponto de vista de tempos
computacionais.
Simetria (Symmetry): garante uma condição de velocidade zero na direção normal ao
limite, i.e. não há transmissão de fluido ou calor neste tipo de fronteira, apresentando
vantagens a nível de custo computacional no caso de escoamentos com planos de
simetria, quando comparados com a condição de fronteira Wall. Esta condição
estabelece uma simetria de modo a estimar as mesmas condições de fluido na zona
imediatamente fora da fronteira.
Parede (Wall): aplica uma condição de não escorregamento (no-slip) na interface entre
um fluido viscoso e um sólido, em que os elementos do fluido imediatamente junto ao
limite aderem à parede, tendo por isso velocidade tangencial nula relativamente a esta.
4.2.5 Efeitos de parede
A modelação de um escoamento no contacto com uma superfície sólida requer atenção, dado
que o fluido encontra resistência que está dependente da sua velocidade, turbulência e da
rugosidade da parede. Modelar os efeitos na interface fluido-sólido obriga à consideração de
condições de fronteira como o escorregamento da superfície, rugosidade e à definição de um
tamanho da malha apropriado que permita uma correta resolução do perfil de velocidades junto
da parede (Flow Science, Inc., 2015).
Como mencionado em 4.2.4, a condição de fronteira Wall impõe uma condição de não
escorregamento que traduz o caso de uma interface fluido viscoso-parede em que os elementos
de fluido imediatamente em contacto com uma parede sólida aderem a esta, desenvolvendo-se
tensões de corte. O efeito da condição de não escorregamento resulta num aumento de
espessura ao longo do escoamento da região onde se manifestam efeitos quantificáveis destas
tensões de corte e onde se verifica apreciável gradiente de velocidades segundo a normal à
soleira fictícia: é a chamada camada limite (Brederode, 2014).
No FLOW-3D® a simulação do escoamento de um fluido é apenas afetada pela rugosidade de
um sólido através das tensões de corte de nível viscoso que se desenvolvem junto da parede.
Um modo de reproduzir no modelo numérico o arejamento junto das paredes laterais passa por
desenvolver maiores forças perturbadoras nessa zona, ou seja, maiores tensões de corte.
Aumentando a rugosidade das paredes laterais, 𝑘𝑠, poderá desenvolver-se maior turbulência no
escoamento. Quanto à validade desta opção numérica, esta pode ser comprovada com base nos
estudos de Shin e Song (2014). Para um gradiente de pressão favorável1, situação respeitante
ao caso de estudo, estes autores atestam que a turbulência tende a ser superior do que no caso
de gradientes de pressão nulos (em que impera uma distribuição semi-logarítmica da
velocidade), aumentando os efeitos de rugosidade no caso de camadas limite turbulentas.
1 Gradiente de pressão negativo (pressão a diminuir no sentido do escoamento) que produz um acréscimo de velocidade dos elementos do fluido (Brederode, 2014).
27
5 Estabelecimento de parâmetros do modelo numérico
5.1 Geometria
À semelhança do estudo numérico realizado por Lúcio (2015) a configuração geométrica foi
construída componente a componente recorrendo às formas geométricas disponibilizadas pelo
software FLOW-3D®, de modo a reduzir pequenos erros na fração da área (devido à aplicação
do método FAVORTM – descrito no capítulo 4.2.2.1). É de salientar que, como se observa na
Figura 5.1, se verifica uma pior resolução da geometria junto ao canto do último degrau,
possivelmente devida à transição entre blocos de malha.
Figura 5.1 - Aplicação do método FAVORTM na geometria construída componente a componente para o descarregador com duas paredes convergentes e altura dos degraus igual a hd=2,5 cm.
As configurações que serão analisadas no presente estudo encontram-se apresentadas na
tabela seguinte. As configurações de geometria de duas paredes convergentes com ângulo de
9,9° e de uma parede convergente de 19,3° passarão adiante a ser designadas por
configurações A e B, respetivamente.
Tabela 5.1 - Resumo das configurações realizadas no presente estudo.
Designação Configuração Paramento
A Duas paredes convergentes com ângulo de 9,9°
Liso Degraus com hd=2,5 cm Degraus com hd=5,0 cm
B Uma parede convergente com ângulo de 19,3° Degraus com hd=5,0 cm
A geometria construída para a configuração de duas paredes convergentes com ângulo de 9,9°
e para a configuração de uma parede com ângulo de convergência de 19,3° – ambas com altura
dos degraus igual a 5,0 cm – é apresentada nas Figuras 5.2 e 5.3, respetivamente. O domínio
28
do modelo computacional desenvolve-se de acordo com o referencial posicionado no vértice da
soleira descarregadora com o canal descarregador. A direção x é a direção longitudinal, y a
direção transversal e z a direção vertical. O ângulo que a comporta de charneira faz com a
horizontal foi alterado consoante o caudal em estudo, para que o ressalto hidráulico ocorra no
pé do descarregador. Numa primeira fase estes ângulos foram consultados em André e Ramos
(2003), no entanto, dado que os dados fornecidos são respeitantes a paredes laterais não-
convergentes, houve a necessidade de fazer pequenos reajustamentos a estes valores.
Figura 5.2 - Geometria da configuração A (θ=9,9°; hd=5,0 cm).
Figura 5.3 - Geometria da configuração B (θ=19,3°; hd=5,0 cm).
Na Figura 5.4 apresenta-se um corte da configuração A na direção longitudinal para um ângulo
de convergência de 9,9° e degraus com 5 cm de altura, sendo possível observar a folga de 0,1m
na altura das paredes laterais convergentes em relação à altura na soleira do descarregador
(também visível na Figura 5.3), de modo a contemplar a sobrelevação da veia líquida.
Figura 5.4 - Metade do domínio computacional (corte da configuração A em y=0) para θ=9,9° e hd=5,0 cm.
Como já foi referido no capítulo 4.2.5, houve a necessidade de implementar um valor de
rugosidade não-nulo nas paredes laterais convergentes, tendo sido adotado para as
configurações em estudo o valor de 0,002 m.
29
5.2 Malha de cálculo
A definição da malha de cálculo – em um ou mais blocos – permite o estabelecimento das
condições de fronteira e a definição do domínio da simulação computacional. O domínio
computacional poderá ser dividido em vários blocos de malhas de cálculo (multi-block),
conferindo flexibilidade ao domínio computacional e permitindo subdividi-lo de modo a obter um
grau de discretização adequado a cada parte do domínio, variável consoante a importância da
zona em estudo. Pressões e velocidades do escoamento são calculadas separadamente em
cada bloco e a informação associada a cada bloco é transferida entre eles.
Tendo em consideração a relação entre tempos computacionais e a dimensão da malha de
cálculo, houve a necessidade de considerar diferentes malhas de cálculo para a análise das
configurações A e B. No caso da configuração A foi possível a simplificação do modelo
recorrendo à simulação de metade do domínio através da imposição de uma condição de simetria
ao longo do eixo do descarregador (𝑦 = 0). Assim sendo, as malhas descritas na Tabela 5.2
dizem respeito a metade do domínio computacional entre 𝑦 = −0,35 𝑚 e 𝑦 = 0. No caso do
descarregador convergente de 19,3°, este exige a análise do canal descarregador em toda a sua
largura, pelo que a malha de cálculo apresentada na Tabela 5.3 compreende todo o domínio, i.e.
o domínio entre 𝑦 = −0,35 𝑚 e 𝑦 = 0,35 𝑚.
Todos os blocos de malha apresentam células cúbicas e sem qualquer distorção de tamanho.
As dimensões das malhas apresentadas nas Tabelas 5.2 e 5.3 têm em consideração as
dimensões da geometria, de modo a que o número de células em qualquer direção seja sempre
um número inteiro.
Tabela 5.2 - Malhas de cálculo utilizadas para a configuração A – duas paredes convergentes com θ=9,9°.
Nome Nº de blocos Nº de células Dimensões das células (m)
Malha 1 1 983 808 0,0125 x 0,0125
Malha 2 2 1 972 992 Bloco 1: 0,0125 x 0,0125
Bloco 2: 0,00625 x 0,00625
Malha 3 1 415 296 0,0166(6) x 0,0166(6)
Malha 4 2 832 608 Bloco 1: 0,0166(6) x 0,0166(6)
Bloco 2: 0,0083(3) x 0,0083(3)
Tabela 5.3 - Malha de cálculo utilizada para a configuração B – uma parede convergente com θ=19,3°.
Nome Nº de blocos Nº de células Dimensões das células (m)
Malha 4 2 1 665 216 Bloco 1: 0,0166(6) x 0,0166(6)
Bloco 2: 0,0083(3) x 0,0083(3)
As malhas 1 e 3 são consideradas as mais grosseiras das quatro malhas de cálculo definidas,
tendo em conta as dimensões da geometria. No caso das malhas 2 e 4 foram usados dois blocos
de malha de cálculo, sendo um deles nested block (Bloco 2). O primeiro bloco de malha
30
apresenta maiores dimensões, originando uma condição de fronteira de entrada para o segundo
bloco que contém uma malha mais refinada para o domínio de interesse (descarregador), onde
será posteriormente necessário retirar os resultados para comparação com os valores obtidos
do estudo experimental de Cabrita (2007). O bloco auxiliar de malha é visível na Figura 5.5, com
um rácio de tamanho das células (cell size ratio) entre o bloco 1 e o bloco 2 de 2:1 – tal como
recomendado no capítulo 4.2.2 – como forma de reduzir erros de interpolação. É de salientar que
a transição entre blocos deve localizar-se numa zona em que não existam elevados gradientes
no escoamento (Lúcio, 2015; Valero e Bung, 2015), pelo que a fronteira entre blocos se encontra
no último degrau – como se pode observar na Figura 5.5 –, antes do início do ressalto hidráulico.
Não sendo objetivo desta dissertação a caraterização do escoamento na soleira descarregadora,
definiu-se a fronteira de montante (entre os blocos de malha) a meio da soleira.
Figura 5.5 - Bloco 1 (a azul) e Bloco 2 (a amarelo) para descarregador em degraus com hd=5,0 cm.
Para se obterem resultados rigorosos, recorreu-se ao Simulation Pre-Check disponível no
FLOW-3D®, consultando o rácio entre as dimensões ortogonais da célula (Maximum aspect ratio)
que se verificou ser 1, valor ideal para a proporção entre lados de uma mesma célula. Analisou-
se também o rácio entre dimensões de células adjacentes (Maximum adjacent cell ratio size) e
que se verificou ser também igual a 1 em ambos os blocos de malha.
5.3 Condições de fronteira
Na fronteira de montante do Bloco 1, Xmin, foi definida uma condição de pressão na qual foi
definida a altura da água, para cada caudal, medida experimentalmente por Cabrita (2007). Note-
se que, embora o reservatório do modelo físico apresentasse 2,5 m de comprimento, procedeu-
se à modelação de um reservatório com 1 m de comprimento introduzindo as alturas de água
experimentais obtidas a 1 m da soleira descarregadora. Esta opção permitiu reduzir o esforço
computacional necessário comparativamente ao que seria exigido para a simulação de
condições do reservatório semelhantes às do modelo físico.
Na fronteira de jusante, Xmax, aplicou-se uma condição de saída de caudal (outflow). Note-se
que, à semelhança de Lúcio (2015), foi necessário impor a condição numa zona em que esta
não afetasse o escoamento a montante e estando o mais afastada possível do descarregador
31
(região de análise), evitando colocar esta condição em zonas de grandes mudanças de
configurações geométricas e de estados de escoamento. Como já foi mencionado no capítulo
4.2.4., esta condição só pode ser utilizada para escoamentos com 𝐹𝑟 ≥ 1. Como ilustra a Figura
5.6, a comporta de charneira provoca no escoamento um aumento do número de Froude,
satisfazendo a condição anteriormente referida.
Figura 5.6 - Número de Froude na fronteira de jusante, Xmáx.
Em Ymin, que corresponde ao limite esquerdo do descarregador quando visto de jusante para
montante, foi definida uma condição de fronteira sólida (wall). Em Ymax (y=0 para a configuração
A) especificou-se uma condição de simetria no eixo do descarregador como forma de reduzir o
tempo computacional das simulações, simulando apenas metade do domínio computacional
estabelecendo as mesmas condições do fluido na região imediatamente fora da fronteira. No
caso do descarregador com uma parede convergente foi definida uma condição de fronteira
sólida.
Em Zmin foi definida uma condição de fronteira sólida enquanto em Zmax se especificou uma
condição de pressão com fração de fluido igual a zero e com pressão constante igual à
atmosférica (101325 Pa) aplicada na região de vazio acima da superfície livre.
Foi também necessário definir condições de fronteira para o Bloco 2 (nested block) para as
configurações A e B. Para a configuração A, à exceção de Ymin e Zmax, foi imposta uma condição
de simetria em todas as fronteiras de modo a estimar as mesmas condições do fluido entre o
bloco grosseiro e o bloco mais refinado. Para Ymin especificou-se uma condição de fronteira
sólida, enquanto que em Zmax se aplicou uma condição de pressão constante e igual à
atmosférica. No caso da configuração B, a definição das condições de fronteira apenas difere
em Ymax, onde se definiu uma condição de fronteira sólida em y=0,35 m.
Froude number contours
0.28 0.58 0.88 1.18 1.49
0.65
0.25
-0.15
4.102 4.354 4.606 4.858 5.110 5.362
X (m)
32
5.4 Condições de inicialização e finalização
Como condição inicial da simulação definiu-se uma condição de escoamento referente à
imposição do nível de água na albufeira com valor igual ao definido na condição de fronteira Xmin.
A condição de finalização foi estabelecida através da definição do tempo de simulação de valor
igual a 100 segundos. O regime permanente é verificado através da monitorização da energia
cinética média do escoamento (mass-averaged mean kinetic energy), para todo o fluido dentro
do domínio computacional, exibida na interface gráfica do programa. Este regime é atingido
quando o valor da energia cinética média se torna praticamente constante e variando menos de
1% no decorrer da simulação. É possível retirar da interface gráfica exemplos de gráficos de
variáveis como a massa total, a energia cinética média, a energia cinética turbulenta média e a
dissipação média da energia cinética turbulenta, que permitem comprovar a estacionaridade do
escoamento. No Anexo B, encontram-se exemplos dos gráficos das quantidades acima
mencionadas obtidos para Q=35 l/s e malha 2. Optou-se por não se definir como condição de
finalização a condição de regime permanente para a energia cinética média para se poder
estudar a evolução de outras quantidades até aos 100 segundos pois, caso contrário, a
simulação terminaria assim que se atingisse esse regime.
Em seguida, foi realizada uma simulação Restart2 da simulação de 100 segundos para adotar
um modelo de 2ª ordem com preservação de monotonicidade para a iteração da equação de
conservação da quantidade de movimento (ECQM) – assunto a ser desenvolvido no subcapítulo
5.6. Estas simulações Restart, por partirem de condições de regime permanente, terão um tempo
de simulação suficiente para permitir a estabilização dos resultados do modelo (e.g. energia
cinética média, energia cinética turbulenta média, caudal).
5.5 Modelos físicos
Os modelos físicos ativados foram: Air entrainment, Bubble and phase change, Density
evaluation, Drift-flux, Gravity and non-inertial reference frame e Viscosity and turbulence.
O modelo de turbulência considerado em Viscosity and turbulence foi o modelo RNG 𝑘 − 휀 por
ser o modelo mais utilizado e recomendado por outros autores na simulação de descarregadores
em degraus, para além das caraterísticas apresentadas no subcapítulo A.2 do Anexo A. Adotou-
se a opção de cálculo automático do 𝑇𝐿𝐸𝑁 como critério conservativo, dado ser também a opção
mais recomendada por Flow Science, Inc. (2015).
2 O utilizador pode iniciar uma simulação no FLOW-3D® utilizando resultados de uma outra simulação, reduzindo o tempo de cálculo computacional. É possível ainda modificar as caraterísticas da simulação Restart (e.g. dimensão das células de cálculo, parâmetros/condições de escoamento, geometria).
33
Foi adicionado um modelo de emulsionamento de ar (air entrainment model), desenvolvido por
Hirt (2003), com um coeficiente que estipula a área superficial que contribui para a entrada de ar
(entrainment rate coefficient) de 0,5 e uma tensão superficial de 0,073 𝑁/𝑚 (água a 20°C). O
fluido apresenta massa volúmica de 1000 𝑘𝑔/𝑚3 e viscosidade dinâmica 1×10−3 𝑁𝑠/𝑚2.
Quando a quantidade de ar que entra no sistema é significativa (>10%) e afeta o escoamento, é
necessário ativar os modelos Density evaluation e Drift-flux. O modelo Density evaluation
consiste num modelo de emulsionamento de ar que tem em conta o efeito de empolamento da
veia líquida, que estipula que um aumento de volume de um escoamento bifásico é compensado
pela diminuição da massa volúmica da mistura ar-água. A equação de transporte da densidade
de um escoamento bifásico foi numericamente resolvida recorrendo a equações de 2ª ordem
(second order monotonicity preserving approximation to density transport equations), dado que
permite obter resultados mais rigorosos (Flow Science, Inc., 2015).
O modelo Drift-flux tem em conta, para além dos efeitos de empolamento sobre as bolhas de ar
formadas próximo da superfície livre e no interior do escoamento, a interação entre duas fases
(bolhas de ar e água) através da definição prévia das suas caraterísticas pelo utilizador (Flow
Science, Inc., 2015; Pereira, 2016). A atribuição de valores para os vários parâmetros deste
modelo encontra-se definida por omissão para os valores recomendados por Flow Science, Inc.
(2015) e para os valores de densidade e viscosidade do ar e da água a 20°C. Optou-se também
por ativar a opção “Allow gas to escape at free surface”, que permite que as bolhas de ar que
ascendem até à superfície livre possam “escapar” para a atmosfera.
Em Bubble and phase change ativou-se a opção Adiabatic bubbles atribuindo às bolhas de ar
(reconhecidas como regiões de vazio dentro do fluido) uma relação constitutiva das variáveis
pressão, volume e temperatura caraterística de um processo adiabático.
Por fim, ativou-se o modelo Gravity and non-inertial reference frame de modo a estipular a força
de gravidade segundo a coordenada espacial 𝑧 (medida na direção vertical de cima para baixo,
↓).
5.6 Opções numéricas
5.6.1 Considerações prévias
Para método de resolução de equações de movimento e turbulência selecionou-se o método
iterativo e de aproximação implícita GMRES (Generalized Minimum Residual Solver), tratando-
se de um método rigoroso e que converge rapidamente.
Como opções para o cálculo da advecção da fração de fluido (Volume-of-fluid advection) o
FLOW-3D® disponibiliza as seguintes opções: Automatic (seleciona automaticamente a melhor
34
opção consoante o problema, de entre as que a seguir se apresentam), One fluid - free surface,
Two fluids with sharp interface, Unsplit Lagrangian method e Split Lagrangian method. Em Flow
Science, Inc. (2015) é referido que para escoamentos não-lineares com o sistema cartesiano de
cálculo, deverá ser considerado o modelo Split Lagrangian, uma vez que este modelo permite
melhorias significativas na representação da superfície livre. No entanto, ao testar este modelo
em algumas das configurações de geometria não se verificaram diferenças significativas em
relação ao modelo One fluid – free surface e houve um acréscimo significativo ao tempo de
processamento. No presente caso de estudo recorreu-se à escolha automática do modelo VOF
e que recai no modelo One fluid - free surface.
5.6.2 Métodos de aproximação numérica da equação de conservação da
quantidade de movimento
Nesta alínea será estudado o efeito da consideração de um modelo de 2ª ordem com
preservação de monotonicidade na discretização dos termos advectivos (relacionados com as
componentes do escoamento) da equação de conservação da quantidade de movimento
(momentum advection) no modelo numérico.
Um sistema é dito com preservação de monotonicidade se o facto de 𝑢𝑛 ser uma função
monotónica implica que 𝑢𝑛+1 também o será. Por sua vez, uma função é considerada monotónica
se o valor da solução 𝜙𝑖𝑛+1 no tempo (𝑛 + 1) não alcançar valores fora da gama de valores
obtidos pela solução 𝜙𝑖+𝑗𝑛 no tempo anterior (𝑛), ou seja, a solução diz-se monotónica quando a
solução numérica não cria extremos locais e o valor mínimo local existente é não decrescente e
o valor máximo local é não crescente (Versteeg e Malalasekera, 1995; Hirsch, 2007).
O método de preservação da monotonicidade é usado no FLOW-3D® para garantir que o valor
da aproximação de segunda ordem para a primeira derivada de uma dada variável (e.g. caudal,
velocidade) não exceda um valor máximo estipulado pelo Solver. Se o valor dessa variável
corresponder a um máximo ou mínimo o seu valor é atualizado para zero e é considerada uma
aproximação através do valor de uma célula vizinha.
No FLOW-3D® o processo de discretização utiliza aproximações de diferenças finitas. O domínio
total do escoamento é divido em células numa malha que é ortogonal e definida em coordenadas
cartesianas com dimensões 𝛿𝑥𝑖, 𝛿𝑦𝑗 e 𝛿𝑧𝑘.
Modelo de 1ª ordem
A aproximação de 1ª ordem é a opção automática do FLOW-3D® e é um modelo robusto e
eficiente em escoamentos lineares. No entanto não permite simular efeitos de 2ª ordem (e.g.
tridimensionalidade de um escoamento), sendo estes difundidos por completo.
35
Modelo de 2ª ordem com preservação de monotonicidade
Este modelo é praticamente tão robusto como o modelo de 1ª ordem, embora requeira um maior
tempo de cálculo. Apresenta uma precisão de 2ª ordem no espaço e de 1ª ordem no tempo. A
maioria dos trabalhos na área da simulação numérica de escoamentos em superfície livre são
desenvolvidos com recurso a equações de segunda ordem e, de acordo com Flow Science, Inc.
(2015), este é o modelo mais indicado para situações de escoamentos turbulentos complexos.
Para a iteração da ECQM pensou-se que um modelo de 2ª ordem com preservação da
monotonicidade seria o mais adequado uma vez que produz resultados consideravelmente
melhores comparativamente aos do modelo de 1ª ordem. No estudo desta opção verificou-se
uma maior entrada de ar no escoamento (efeito desejado, devido à maior proximidade dos
valores obtidos com os resultados experimentais), contudo foram verificadas instabilidades nos
perfis de velocidade obtidos nas verticais dos degraus, o que não acontece usando um modelo
de 1ª ordem de iteração da ECQM. Assim sendo, optou-se por utilizar no presente estudo uma
combinação dos dois modelos, utilizando-se inicialmente uma aproximação de 1ª ordem para
uma simulação de 100 segundos e realizando de seguida uma simulação Restart desta
recorrendo ao modelo de 2ª ordem com preservação de monotonicidade.
5.7 Metodologia para obtenção de grandezas caraterísticas do
escoamento
De modo a obter os perfis de velocidade e alturas do escoamento ao longo do descarregador na
direção normal à soleira fictícia (pseudo-bottom) e dado o FLOW-3D® apenas fornecer resultados
nas direções ortogonais x, y e z, recorreu-se ao código MATLAB desenvolvido em Lúcio (2015).
Este código permite converter os resultados obtidos do FLOW-3D® nas direções ortogonais para
valores em função da soleira fictícia (Figura 5.7) para o caso de escoamentos bidimensionais,
i.e. não se considera a velocidade na direção transversal ao escoamento no eixo. Em virtude de
se recorrer a uma simplificação do modelo numérico para a configuração A é possível a obtenção
dos resultados no eixo do descarregador recorrendo a este código.
Para se obterem resultados noutras direções é necessário gerar um ficheiro de coordenadas no
qual se especificam as coordenadas em que se pretendem obter os valores das variáveis de
interesse. Consoante o pedido do utilizador (perfis de velocidade ou alturas do escoamento), o
MATLAB cria automaticamente um ficheiro de coordenadas (denominado transf.in) e guarda-o
na diretoria da simulação. No FLOW-3D® selecionam-se as variáveis de interesse para o cálculo
das quantidades pretendidas e o programa interpola os valores das variáveis selecionadas nas
coordenadas especificadas no ficheiro transf.in. Posteriormente, esta informação é transferida
36
para o MATLAB num ficheiro denominado transf.out e o programa processa a informação
recebida e decompõe os valores das variáveis nas direções pretendidas.
(a) (b)
Figura 5.7 - Ficheiro de coordenadas (a rosa) do programa MATLAB: (a) coordenadas para obtenção do perfil de velocidades na vertical 5; (b) coordenadas para obtenção da altura do escoamento relativamente
à soleira fictícia (adaptado de Lúcio, 2015).
Para o caso do descarregador que adota a configuração B e para os casos que adotam a
configuração A e modelam todo o domínio computacional, recorreu-se ao pós-processador
FlowSight para a obtenção em cada vertical dos valores das variáveis de interesse.
O processo usado para obtenção da secção transversal (direção y) do escoamento em cada
vertical do descarregador na direção normal à soleira encontra-se descrito no Anexo D. Destes
perfis da secção transversal foi possível obter os valores da altura do escoamento nas paredes
laterais em cada vertical do descarregador.
Soleira fictícia Soleira fictícia
37
6 Análises de sensibilidade
Os testes de sensibilidade são considerados uma parte fundamental da calibração do modelo
computacional e têm por objetivo o estudo da influência de diferentes parâmetros e condições
do modelo de modo a determinar o seu efeito nos respetivos resultados.
Tendo por base os resultados da modelação numérica desenvolvida por Lúcio (2015), optou-se
por não se realizar uma análise de sensibilidade ao parâmetro 𝑇𝐿𝐸𝑁 e adotar a opção de cálculo
automático deste parâmetro, sendo a opção mais recomendada por Flow Science, Inc. (2015).
As simulações numéricas foram realizadas num computador com processador Intel Core i7-2600
com 3,40GHz e memória RAM de 8,00 GB. Os resultados apresentados neste capítulo e no
capítulo 7 foram obtidos através das simulações apresentadas na Tabela 6.1. As simulações
representadas a sombreado dizem respeito a simulações que modelam todo o domínio
computacional.
Tabela 6.1 - Resumo das simulações realizadas no presente estudo.
Q (l/s) Configuração Paramento Tipo de malha Tempo computacional
35
A
hd=5,0 cm
1 1dia:6h:47min:17s
12h:26min:16s*
2 2dias:7h:37min:39s
15h:47min:4s*
3 5h:40min:49s
3h:11min:42s*
4 11h:39min:24s
5h:18min:4s*
hd=2,5 cm
1 15h:3min:30s*
2 1dia:13h:17min:1s*
3 8h:42min:7s*
4 15h:0min:35s
8h:43min:19s*
liso 4 1dia:1h:43min:10s
10h:19min:39s*
B hd=5,0 cm 4 2dias:21h:23min:17s
10h:14min:14s*
42
A
hd=5,0 cm 4 15h:36min:56s
9h:16min:42s*
hd=2,5 cm
2 1dia:20h:40min:53s*
4 3dias:13h:32min:8s
12h:40min:49s*
B hd=5,0 cm 4 2dias:5h:40min:22s
20h:33min:55s*
38
Tabela 6.1 - Resumo das simulações realizadas no presente estudo (continuação).
Q (l/s) Configuração Paramento Tipo de malha Tempo computacional
49
A
hd=5,0 cm 4
14h:37min:47s
11h:13min:43s*
2dias:2h:30min:8s
20h:58min:14s*
hd=2,5 cm
2 21h:9min:45s*
4 17h:51min:59s
8h:36min:23s*
B hd=5,0 cm 4 2dias:0h:12min:33s
14h:3min:19s*
56
A
hd=5,0 cm 4 1dia:0h:23min:21s
11h:43min:41s*
hd=2,5 cm
2 3dias:11h:25min:53s
22h:11min:7s*
4 19h:53min:40s
1dia:10h:52min:59s*
liso 4 1dia:8h:6min:23s
1dia:0h:56min:37s*
B hd=5,0 cm 4 2dias:22h:7min:32s
14h:1min:25s*
* Simulação Restart com aproximação de 2ª ordem com preservação de monotonicidade
6.1 Convergência
O valor EPSI (no FLOW-3D® é designado por Constant pressure iteration convergence criterion)
representa o critério de convergência para o cálculo iterativo das pressões, enquanto que o Max
Residual representa a divergência da equação de continuidade na iteração final do cálculo
iterativo das pressões. Se este valor for inferior ao valor de EPSI então a simulação terá
convergido (Flow Science, Inc., 2015), como verificado na Figura 6.1. Esta condição foi verificada
em todas as simulações, concluindo-se que todas convergiram.
Figura 6.1 - Monitorização do critério de convergência no decorrer de uma das simulações efetuadas (configuração A; hd= 5,0cm, Q=35 l/s, malha 2).
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 20 40 60 80 100
t (s)
EPSI
Max Residual
39
6.2 Soleira descarregadora
Neste subcapítulo procedeu-se à caraterização do escoamento na soleira descarregadora.
Afigura-se de interesse uma breve análise dos valores das alturas de escoamento e perfis de
velocidade ao longo da soleira descarregadora, de modo a avaliar o ajustamento dos resultados
numéricos obtidos com os resultados apresentados nos estudos de Cabrita (2007) e Lúcio
(2015). É possível estabelecer uma comparação com Lúcio (2015) dado que, embora a
configuração do descarregador seja diferente, o escoamento sobre a soleira descarregadora não
é afetado pelas condições de jusante.
As alturas do escoamento e perfis de velocidade foram obtidos para 4 secções da soleira:
secções 1, 2, 3 e 4, respetivamente a 12,5, 25,0, 37,5 e 46,4 cm do início da soleira
descarregadora.
6.2.1 Alturas do escoamento
Na Figura 6.2 apresentam-se as alturas de escoamento ao longo da soleira descarregadora
obtidas numericamente em simulações realizadas com a malha mais refinada (malha 2) para um
descarregador com duas paredes convergentes e altura dos degraus igual a 5,0 cm, bem como
as alturas experimentais obtidas em Cabrita (2007). As alturas do escoamento obtidas para as 4
secções da soleira encontram-se apresentadas na Tabela 6.2. É possível verificar na Figura 6.2
que as alturas de escoamento em cada secção aumentam com o caudal. Para um mesmo caudal
observa-se ainda que as alturas de escoamento diminuem à medida que se aproximam da
secção de jusante da soleira, registando-se uma diminuição acentuada da altura de escoamento
na secção 4. Esta diminuição acentuada no final da soleira é atribuída à aceleração do
escoamento na aproximação do canal descarregador (Felder e Chanson, 2012).
Figura 6.2 - Evolução das alturas de escoamento na soleira: comparação entre os resultados experimentais de Cabrita (2007) e numéricos (malha 2).
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
h (
m)
x (m)
35 l/s
35 l/s, Cabrita (2007)
42 l/s
42 l/s, Cabrita (2007)
49 l/s
49 l/s, Cabrita (2007)
56 l/s
56 l/s, Cabrita (2007)
40
Tabela 6.2 - Alturas de escoamento numéricas (hnum) e experimentais (hexp) na soleira descarregadora.
hnum (m) hexp (m)
Q Secção 1 Secção 2 Secção 3 Secção 4 Secção 1 Secção 2 Secção 3 Secção 4
l/s 0,125 0,250 0,375 0,464 0,125 0,250 0,375 0,464
56 0,0883 0,0802 0,0755 0,0670 0,0926 0,0841 0,0800 0,0712
49 0,0819 0,0752 0,0696 0,0622 0,0841 0,0770 0,0743 0,0675
42 0,0744 0,0688 0,0651 0,0571 0,0729 0,0685 0,0671 0,0602
35 0,0627 0,0595 0,0573 0,0502 0,0620 0,0595 0,0600 0,0505
A Tabela 6.3 apresenta as diferenças relativas entre os resultados experimentais (hexp) e os
resultados numéricos (hnum), 𝛿 = 100 ∙ (ℎ𝑛𝑢𝑚 − ℎ𝑒𝑥𝑝) ℎ𝑒𝑥𝑝⁄ , anteriormente apresentados na
Tabela 6.2. As maiores diferenças ocorrem para a secção 4 (à exceção do caudal de 35 l/s), o
que se poderá atribuir à estimativa imprecisa da altura do escoamento a partir da utilização do
tubo de carga total, devido à oscilação da superfície livre e pelo facto de o tubo não estar, nesta
secção, alinhado com a direção do escoamento (já sob o efeito da curvatura do escoamento).
Tabela 6.3 - Diferenças relativas entre alturas de escoamento numéricas e experimentais na soleira.
Q δ (%)
l/s Secção 1 Secção 2 Secção 3 Secção 4
56 -4,7 -4,6 -5,7 -5,9
49 -2,6 -2,4 -6,3 -7,9
42 2,1 0,4 -2,9 -5,2
35 1,2 -0,1 -4,5 -0,6
Na Figura 6.3 apresentam-se alturas de escoamento na soleira obtidas numericamente no
presente estudo e em Lúcio (2015). Relativamente à dimensão das células da malha de cálculo,
dado que o modelo tridimensional implica um esforço de cálculo significativo quando comparado
com o modelo 2D de Lúcio (2015), houve a necessidade de estabelecer um compromisso entre
qualidade dos resultados e tempo de cálculo. Assim sendo, compararam-se os valores obtidos
para a malha 2 do presente estudo (Bloco 1: 0,0125x 0,0125 m; Bloco 2: 0,00625 x 0,00625 m)
com os valores obtidos na malha 4 de Lúcio (2015) (Bloco 1: 0,00625 x 0,00625 m; Bloco 2:
0,003125 x 0,003125 m) para todos os caudais. A Tabela 6.4 contém as diferenças relativas, δ,
entre as alturas de escoamento obtidas nos dois estudos para o caudal de 56 l/s, concluindo-se
que os resultados apresentam uma boa concordância entre si.
Figura 6.3 - Alturas de escoamento na soleira: comparação entre os resultados numéricos obtidos no
presente estudo e os obtidos por Lúcio (2015).
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
h (
m)
x (m)
Presente estudo
Lúcio (2015)
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
41
Tabela 6.4 - Diferenças relativas entre alturas de escoamento obtidas numericamente no presente estudo (hpres. estudo) e em Lúcio (2015) (hLúcio (2015)) na soleira descarregadora para Q=56 l/s.
hpres. estudo (m) hLúcio (2015) (m) δ (%)
Secção 1 0,0883 0,0879 0,4
Secção 2 0,0802 0,0793 1,2
Secção 3 0,0755 0,0741 1,8
Secção 4 0,0670 0,0657 2,0
6.2.2 Perfis de velocidade do escoamento
Nesta análise dos perfis de velocidade ao longo da soleira descarregadora procedeu-se à
comparação com os estudos de Cabrita (2007) e de Lúcio (2015). Para além disso, são
apresentadas duas situações do presente estudo: perfis de velocidade para uma simulação em
que se adotou o método de aproximação numérica da conservação da quantidade de movimento
de 1ª ordem (designada por 1ª ordem) e valores para uma simulação Restart desta que adota
um modelo de 2ª ordem com preservação da monotonicidade (designada por 1ª+2ª ordem). A
título de exemplo, são apresentados na Figura 6.4 os perfis correspondentes ao caudal de 56 l/s.
(c) (d)
Figura 6.4 - Perfis de velocidade do escoamento na soleira para Q=56 l/s obtidos no presente estudo (malha 2) e nos estudos de Cabrita (2007) e Lúcio (2015) (malha 4 definida em Lúcio, 2015): (a) secção 1;
(b) secção 2; (c) secção 3; (d) secção 4.
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
y (
m)
V (m/s)1ª ordem 1ª+2ª ordem
Cabrita (2007) Lúcio (2015)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem 1ª+2ª ordem
Cabrita (2007) Lúcio (2015)
(a) (b)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
y (
m)
V (m/s)1ª ordem 1ª+2ª ordem
Cabrita (2007) Lúcio (2015)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem 1ª+2ª ordem
Cabrita (2007) Lúcio (2015)
42
Os valores experimentais de Cabrita (2007) utilizados nesta análise foram obtidos pelo cálculo
da velocidade a partir da medição da carga total num tubo de Pitot e admitindo a distribuição
hidrostática de pressões (designado por “método B” nos estudos de Cabrita, 2007).
Compararam-se os perfis de velocidade obtidos numericamente e os medidos
experimentalmente, tendo sido calculadas as diferenças relativas médias entre esses perfis. Os
resultados da simulação Restart apresentam menores diferenças relativas médias em relação
aos resultados da simulação que adota o modelo de 1ª ordem para a aproximação numérica da
conservação da quantidade de movimento, sendo a maior diferença relativa registada entre
ambas de 6,1% para a secção 1 e caudal de 56 l/s. Para Q=35 l/s, a diferença relativa média
entre os valores respeitantes à simulação Restart e os valores experimentais é de 8,7% na
secção 1, na secção 2 é 6,0%, na secção 3 é 1,6% e na secção 4 é 15,7%. Para Q=42 l/s, a
diferença relativa média na secção 1 é 9,5%, na secção 2 é 6,1%, na secção 3 é 1,9% e na
secção 4 é 5,2%. Para Q=49 l/s, a diferença relativa média na secção 1 é 8,1%, na secção 2 é
2,3%, na secção 3 é 0,9% e na secção 4 é 6,7%. Para Q=56 l/s, a diferença relativa média na
secção 1 é 4,3%, na secção 2 é 3,4%, na secção 3 é 1,3% e na secção 4 é 6,7%. As maiores
diferenças registadas, analogamente ao concluído para as alturas de escoamento, ocorrem na
secção 4. Os perfis experimentais da secção 4 não reproduzem a acentuada curvatura dos perfis
numéricos, dado a hipótese da distribuição hidrostática de pressões, em que se baseou o cálculo
das velocidades, não é válida nesta secção, onde se verifica um escoamento rapidamente
variado.
Na comparação com os resultados numéricos obtidos no estudo de Lúcio (2015) foram também
determinadas as diferenças relativas médias, considerando como valor de referência o valor
correspondente à malha mais refinada, i.e. a malha definida para o estudo de Lúcio (2015).
Também neste caso a simulação Restart apresentou um melhor ajustamento aos valores obtidos
em Lúcio (2015). Para Q=35 l/s, obteve-se uma diferença relativa média (em valor absoluto) entre
os valores obtidos na simulação Restart e os valores de Lúcio (2015) de 0,7% para a secção 1,
na secção 2 de 1,0%, na secção 3 de 2,0% e na secção 4 de 0,5%. Para Q=42 l/s, na secção 1
a diferença relativa média é de 0,4%, na secção 2 é 1,1%, na secção 3 é 1,9% e na secção 4 é
de 0,5%. Para Q=49 l/s, a diferença relativa média na secção 1 é 0,7%, na secção 2 é 0,8%, na
secção 3 é de 1,4% e na secção 4 é 0,5%. Para Q=56 l/s, a diferença relativa média é 0,4% para
a secção 1, 0,6% na secção 2, 1,1% na secção 3 e 0,6% na secção 4.
Após análise dos resultados conclui-se que os valores obtidos no presente estudo para a soleira
descarregadora são próximos dos resultados numéricos obtidos em Lúcio (2015) e que ambos
apresentam um bom ajustamento em relação aos valores obtidos experimentalmente em Cabrita
(2007).
43
6.3 Independência da malha
Realizou-se um estudo de independência da malha para o caudal de 35 l/s, no qual se analisaram
as quatro malhas descritas na Tabela 5.2 para duas tipologias do descarregador em degraus.
Neste subcapítulo pretende-se analisar a influência da malha nos resultados obtidos para as
simulações efetuadas e quantificar o tipo de erros em que se incorre ao adotar uma dada malha.
Neste estudo são apresentadas as diferenças relativas entre diferentes malhas, dado por
𝛿 (%) =𝑉−𝑉𝑟𝑒𝑓
𝑉𝑟𝑒𝑓∙ 100, em que se considera o valor de referência (Vref) correspondente à malha
mais refinada.
6.3.1 Tipologia A - Configuração A e degraus com hd=2,5 cm
O descarregador em degraus é composto por duas regiões: região não arejada e região arejada.
A secção de transição entre estas duas regiões é designada por secção de afloramento da
camada limite, a jusante da qual o escoamento apresenta uma superfície bastante irregular
devido à entrada de ar. Na Figura 6.5 é possível observar que, para as malhas mais refinadas
(malhas 2 e 4), as alturas do escoamento no eixo apresentam pequenas diferenças na região
inicial do descarregador, o que já não acontece na fase final do descarregador, embora estes
valores continuem próximos entre si, com diferenças relativas inferiores a 10%.
Admite-se que o degrau 0 corresponde à vertical L=0 m, o degrau 1 a L=0,06 m, e assim
sucessivamente. A diferença relativa média (em relação à malha mais refinada) no eixo do canal
descarregador entre as malhas 2 e 4 até L=0,56 m é de 2,9% e para L>0,56 m é de 6,4%, sendo
que nesta região a maior diferença registada entre malhas é de 9,8% e para a região não-arejada
é de -8,4%. Para este último caso (L>0,56 m), não se registou independência da malha dado se
tratar das verticais com escoamento arejado, situação em que a modelação do escoamento ar-
água é muito mais exigente. Observa-se que o degrau em que se verifica entrada de ar na Figura
6.5 – registado como o aumento de altura no eixo do descarregador no 10º degrau (L=0,56 m) –
coincide com a entrada de ar no 10º degrau observado nos ensaios de Cabrita (2007).
Figura 6.5 - Alturas do escoamento no eixo do canal descarregador para duas paredes convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm).
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
1ª+2ª ordem, malha 11ª+2ª ordem, malha 21ª+2ª ordem, malha 31ª+2ª ordem, malha 4
44
Na Figura 6.6 é apresentada a evolução das alturas do escoamento na parede direita do
descarregador para o caudal de 35 l/s. Analogamente ao verificado na Figura 6.5, para todas as
malhas é observada uma diminuição acentuada das alturas até meio do descarregador (L=0,56
m), aumentando na fase final do descarregador. Neste caso a diferença relativa média (em valor
absoluto) entre as malhas 2 e 4 é de 3,9% até L=0,56 m e 4,8% para L>0,56 m. Outra conclusão
a retirar do desenvolvimento das alturas de escoamento na parede direita é a diferença menos
acentuada entre as diferentes malhas, comparativamente com os valores registados no eixo.
Figura 6.6 - Alturas do escoamento na parede direita do canal descarregador para duas paredes
convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm).
Na Figura 6.7 são apresentados os perfis de velocidade registados para 35 l/s nas verticais 2, 4,
6 e 8 do descarregador, para as diferentes malhas. Nas verticais 2 e 4, para diferentes malhas,
existe um afastamento dos perfis junto da soleira fictícia, embora estes convirjam para o mesmo
valor. Na vertical 2 regista-se uma diferença relativa média (em valor absoluto) entre as malhas
2 e 4 igual a 0,9% (com maior diferença registada na proximidade da soleira fictícia igual a 2,3%)
e na vertical 4 este valor é de 1,9%. Para as verticais 6 e 8 já se denota um afastamento mais
considerável entre malhas, sendo para a vertical 6, a diferença relativa média entre as malhas 2
e 4 de 3,3% (sendo a maior diferença registada nos dois pontos mais próximos da soleira fictícia
de 6,8% e 3,0%). No caso da vertical 8, a diferença relativa média é igual a 5,1% (com diferenças
relativas de 12,4% e 7,8% registadas nos dois pontos mais próximos da soleira fictícia). Como é
expectável, até à região arejada do descarregador, denota-se um progressivo afastamento entre
os perfis de velocidade ao longo do trecho a montante da SACL. Tendo em conta as diferenças
relativas médias calculadas, conclui-se que as soluções correspondentes às malhas 2 e 4 não
apresentam diferenças significativas entre si, com valores até 10%.
Nesta análise conclui-se que as malhas 2 e 4 convergem no caso da região não-arejada. Devido
à elevada exigência computacional da malha mais refinada (malha 2), optou-se por prosseguir
este estudo recorrendo à malha 4 (estando ciente do erro em que se incorre).
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
1ª+2ª ordem, malha 11ª+2ª ordem, malha 21ª+2ª ordem, malha 31ª+2ª ordem, malha 4
45
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
y (
m)
V (m/s)
malha 1 malha 2
malha 3 malha 4
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
y (
m)
V (m/s)
malha 1 malha 2
malha 3 malha 4(a) (b)
(c) (d) Figura 6.7 - Perfis de velocidade no canal descarregador para 2 paredes convergentes com ângulo de
9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=2,5 cm): (a) vertical 2, L=0,11 m; (b) vertical 4, L=0,22 m; (c) vertical 6, L=0,34 m; (d) vertical 8, L=0,45 m.
6.3.2 Tipologia B - Configuração A e degraus com hd=5,0 cm
Para esta tipologia Cabrita (2007) regista entradas de ar no seio do escoamento, de forma
intermitente ou permanente, a partir da quarta vertical (L=0,45 m), sensivelmente a partir da qual
se começam a registar maiores diferenças relativas entre as malhas mais refinadas (2 e 4) na
Figura 6.8.
No caso do descarregador com degraus de 5,0 cm, possivelmente devido à sua maior rugosidade
de superfície, obtiveram-se diferentes conclusões para o teste de independência realizado para
as malhas da Tabela 5.2. Relativamente às alturas do escoamento no eixo do descarregador
para Q=35 l/s (Figura 6.8) obteve-se uma diferença relativa média (em valor absoluto) entre as
malhas mais refinadas – malhas 2 e 4 – de 3,7% até L=0,45 m (com maior diferença registada
igual a 6,1%) e de 5,3% para as verticais com escoamento arejado (L>0,45 m), registando-se
12,1% como a maior diferença relativa obtida. À semelhança do concluído no subcapítulo 6.3.1,
verifica-se que as alturas do escoamento diminuem para jusante até sensivelmente L=0,56 m, a
partir do qual começam a aumentar até uma altura próxima da inicial. No entanto, para o caso
da altura de degraus de 5,0 cm, o decréscimo inicial da altura do escoamento é mais ténue.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
y (
m)
V (m/s)
malha 1 malha 2
malha 3 malha 4
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
y (
m)
V (m/s)
malha 1 malha 2
malha 3 malha 4
46
Figura 6.8 - Alturas do escoamento no eixo do canal descarregador para duas paredes convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm).
A Figura 6.9 mostra os valores obtidos para a parede direita do descarregador. Neste caso é
possível notar uma diferença significativa entre perfis, sendo registadas diferenças relativas
médias (em valor absoluto) entre as malhas 2 e 4 de 4,0% até L=0,45 m (com maior valor igual
a 10,5% em L=0,11m) e para L>0,45 m de 5,0%, sendo o maior valor registado nesta região igual
a 10,9% em L=0,78m.
Figura 6.9 - Alturas do escoamento na parede direita do canal descarregador para duas paredes convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm).
Na Figura 6.10 são apresentados os perfis de velocidade do escoamento nas verticais 1 a 6 para
o caudal de 35 l/s. O efeito da macro-rugosidade dos degraus de 5,0 cm está bem patente nestas
figuras, visto que à medida que se aproxima da superfície livre a velocidade nos degraus tem
tendência a convergir para as diferentes malhas, no entanto, próximo da soleira fictícia os
degraus provocam um significativo abrandamento na velocidade do escoamento (com exceção
da vertical 1, em que se verifica um comportamento dos perfis de velocidade das diferentes
malhas próximo ao do escoamento potencial). De uma forma geral, é possível observar que
quanto mais refinada for a malha mais demarcado é esse abrandamento, com exceção das
malhas grosseiras em que este fenómeno não é registado. Para as malhas mais refinadas, a
diferença relativa média em valor absoluto para a vertical 1 é de 1,6%. Na vertical 2 esta diferença
é de 5,4% (sendo o maior valor registado de 22,5%). Na vertical 3 a diferença relativa média é
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª+2ª ordem, malha 11ª+2ª ordem, malha 21ª+2ª ordem, malha 31ª+2ª ordem, malha 4
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª+2ª ordem, malha 1
1ª+2ª ordem, malha 2
1ª+2ª ordem, malha 3
1ª+2ª ordem, malha 4
47
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
y (
m)
V (m/s)malha 1 malha 2malha 3 malha 4
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
y (
m)
V (m/s)malha 1 malha 2malha 3 malha 4
de 8,8% (com o maior valor observado de 22,7%). Para a vertical 4 a diferença relativa média
entre malhas toma o valor de 6,7% (com o máximo valor registado igual a 24,6%). No caso da
vertical 5 a diferença relativa média é de 7,4% (valor máximo registado igual a 12,0%) e para a
vertical 6 toma o valor de 8,6%, sendo a maior diferença entre as malhas 2 e 4 igual a 15,3%.
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f) Figura 6.10 - Perfis de velocidade no canal descarregador para duas paredes convergentes com ângulo de 9,9⁰ (Q=35 l/s e hd=5,0 cm): (a) vertical 1, L=0,11 m; (b) vertical 2, L=0,22 m; (c) vertical 3, L=0,34 m;
(d) vertical 4, L=0,45 m; (e) vertical 5, L=0,56 m; (f) vertical 6, L=0,67 m.
Para o caso do descarregador em degraus com hd=5,0 cm e duas paredes convergentes
(θ=9,9⁰), conclui-se que as malhas 2 e 4 convergem para valores na proximidade da superfície
livre do escoamento. Comparando este caso com a Tipologia A, apresentada no subcapítulo
6.3.1, verifica-se que a sensibilidade da zona junto da soleira fictícia é mais demarcada para o
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
y (
m)
V (m/s)malha 1 malha 2malha 3 malha 4
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
y (
m)
V (m/s)malha 1 malha 2malha 3 malha 4
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
y (
m)
V (m/s)malha 1 malha 2malha 3 malha 4
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
y (
m)
V (m/s)malha 1 malha 2
malha 3 malha 4
48
caso dos degraus de 5,0 cm devido à maior rugosidade do descarregador. Também neste caso
se optou por adotar a malha 4 devido à redução significativa dos tempos de cálculo.
6.4 Aplicação da condição de fronteira de simetria
As malhas de cálculo mais refinadas (malhas 2 e 4) apresentadas na Tabela 5.2 estão
associadas a um esforço de cálculo significativo pelo que se recorreu a uma simplificação do
modelo numérico para a configuração A por imposição de uma condição de fronteira de simetria
em 𝑦 = 0. Esta condição permite que se modele apenas metade do escoamento, estabelecendo
as mesmas condições de fluido imediatamente fora da fronteira, reduzindo significativamente os
tempos de cálculo. No entanto, a condição de simetria impõe certas caraterísticas que não
ocorrem num caso que modela todo o domínio computacional, como por exemplo a condição de
velocidade zero na direção normal à condição de fronteira. Assim sendo, procedeu-se a uma
análise de sensibilidade para o caudal de 49 l/s e para a configuração A com altura de degraus
de 5,0 cm e malha 4, comparando a modelação de todo o domínio computacional com a
modelação de metade do domínio por imposição da condição de fronteira de simetria em 𝑦 = 0.
Neste teste de sensibilidade são apresentados os valores dos modelos de 1ª ordem de iteração
da ECQM e dos modelos de 2ª ordem com preservação de monotonicidade. Para esta tipologia
de descarregador e para o caudal de 49 l/s, Cabrita (2007) verifica presença de ar no seio do
escoamento na vertical 6 (L=0,67 m).
As simulações numéricas realizadas para os dois modelos de iteração da ECQM pretendem
concluir sobre as diferenças em que se incorre ao adotar o modelo numérico com condição de
fronteira no eixo do descarregador, comparativamente à modelação de todo o domínio
computacional.
Na Figura 6.11 representam-se, para as duas situações em estudo, as alturas de escoamento
obtidas para modelos de 1ª ordem e 2ª ordem com preservação de monotonicidade de
aproximação numérica da conservação de quantidade de movimento. Observa-se que até
L=0,22m as diferenças relativas são reduzidas, sendo que a partir deste ponto as alturas do
escoamento começam a apresentar valores distintos. No entanto, para modelos de aproximação
da ECQM do mesmo tipo, as diferenças relativas são reduzidas com os resultados de
aproximações de 1ª ordem a apresentar um considerável empolamento da veia líquida, em
comparação com as aproximações de 2ª ordem com preservação de monotonicidade. Para as
aproximações de 2ª ordem com preservação de monotonicidade, a diferença relativa média (em
valor absoluto) é de 1,7%, enquanto para aproximações de 1ª ordem este valor é 0,5%.
Para as alturas do escoamento na parede direita do descarregador, representadas na Figura
6.12, observam-se valores próximos para todos os casos com diferença relativa média em valor
absoluto entre as aproximações de 2ª ordem com preservação de monotonicidade igual a 2,3%.
A proximidade de valores das alturas do escoamento registados entre aproximações de 1ª ordem
49
e 2ª ordem com preservação de monotonicidade poderá ser justificada pelo facto que nenhum
destes modelos reproduza corretamente o escoamento na proximidade da parede.
Figura 6.11 - Comparação das alturas do escoamento no eixo do descarregador para domínio total do modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (duas paredes
convergentes e malha 4; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm).
Figura 6.12 - Comparação das alturas do escoamento na parede direita do descarregador para domínio total do modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (duas
paredes convergentes e malha 4; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm).
Na Figura 6.13 encontram-se apresentados os perfis de velocidade para as verticais 1 a 6 do
eixo do descarregador. Os diferentes símbolos dizem respeito aos dois modelos em comparação
neste teste de sensibilidade: os triângulos referem-se ao modelo em que se considera todo o
domínio computacional e os quadrados ao modelo que modela metade do domínio por imposição
da condição de fronteira de simetria. No caso dos modelos que recorrem apenas aos modelos
de aproximação da ECQM de 1ª ordem pode-se concluir que a simplificação do modelo não
altera os resultados obtidos, possivelmente porque este tipo de aproximação ser incapaz de
reproduzir adequadamente efeitos de 2ª ordem (caraterísticos de escoamentos mais complexos).
No caso dos modelos que resultam da simulação Restart com aproximação de 2ª ordem da
ECQM com preservação de monotonicidade registam-se diferenças, em especial para as
verticais 2 e 4 (Figura 6.13 (b) e (d)). No caso da vertical 2 a diferença relativa média é de 3,3%
(nesta região, a maior diferença é de 11,1%) e para a vertical 4 as diferenças estão na ordem
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.065
0.07
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem, domínio total
1ª+2ª ordem, domínio total
1ª ordem, cond. simetria
1ª+2ª ordem, cond. simetria
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.065
0.07
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem, domínio total
1ª+2ª ordem, domínio total
1ª ordem, cond. simetria
1ª+2ª ordem, cond. simetria
50
dos 19,3% (sendo a maior diferença de 28,2%). Para a vertical 5 tem-se uma diferença relativa
média de 15,2%, com maior valor registado igual 19,9%. Para a vertical 6 a diferença relativa
média é 11,7% (com maior valor registado igual a 28,0%).
Dada a limitação de tempo e memória, não se conseguiu simular este caso para malhas mais
refinadas, o que conduziu a que só se tenha obtido convergência para as primeiras verticais,
pelo que os resultados nas restantes verticais devem ser olhados com muita reserva. Devido à
elevada exigência computacional de uma modelação de todo o domínio computacional, optou-
se por prosseguir este estudo recorrendo à simplificação do modelo.
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f) Figura 6.13 - Comparação dos perfis de velocidade no eixo do descarregador para domínio total do
modelo numérico versus modelo com imposição de condição de fronteira de simetria (2 paredes convergentes; θ=9,9⁰; Q=49 l/s e hd=5,0 cm): (a) vertical 1, L=0,11 m; (b) vertical 2, L=0,22 m; (c) vertical
3, L=0,34 m; (d) vertical 4, L=0,45 m; (e) vertical 5, L=0,56 m; (f) vertical 6, L=0,67 m.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 0.5 1 1.5 2 2.5
y (m
)
V (m/s)
1ª ordem, domínio total1ª+2ª ordem, domínio total1ª ordem, cond. simetria1ª+2ª ordem, cond. simetria
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 0.5 1 1.5 2 2.5
y (
m)
V (m/s)1ª ordem, domínio total1ª+2ª ordem, domínio total1ª ordem, cond. simetria1ª+2ª ordem, cond. simetria
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 0.5 1 1.5 2 2.5
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem, domínio total1ª+2ª ordem, domínio total1ª ordem, cond. simetria1ª+2ª ordem, cond. simetria
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 0.5 1 1.5 2 2.5
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem, domínio total1ª+2ª ordem, domínio total1ª ordem, cond. simetria1ª+2ª ordem, cond. simetria
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 0.5 1 1.5 2 2.5
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem, domínio total1ª+2ª ordem, domínio total1ª ordem, cond. simetria1ª+2ª ordem, cond. simetria
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 0.5 1 1.5 2 2.5
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem, domínio total1ª+2ª ordem, domínio total1ª ordem, cond. simetria1ª+2ª ordem, cond. simetria
51
7 Resultados
7.1 Caudal
À semelhança de Lúcio (2015), não se impôs o caudal no modelo numérico, tendo sido apenas
definida a altura de água no reservatório recorrendo à imposição deste valor como condição
inicial e como condição de fronteira a montante (em Xmin). Assim sendo, é necessário verificar se
o caudal obtido na simulação numérica corresponde ao caudal que se pretende simular. Na
Tabela 7.1 são apresentados os valores obtidos no decorrer da primeira simulação (t=100s) de
um descarregador de configuração A e degraus com altura de 5,0 cm, e que adota um modelo
de 1ª ordem de aproximação numérica da conservação da quantidade de movimento. Dado se
tratar de um descarregador de configuração A que impõe uma condição de fronteira de simetria,
regista valores do caudal para metade do domínio computacional. A diferença relativa 𝛿1 refere-
se à diferença entre o caudal obtido experimentalmente por Cabrita (2007) e o caudal obtido
numericamente na fronteira de montante para a simulação inicial. A diferença 𝛿2 é a diferença
entre os caudais experimental e numérico na fronteira de jusante para a simulação de 100s.
Tabela 7.1 - Diferenças relativas entre os caudais obtidos experimental e numericamente nas fronteiras de montante e jusante para a configuração A (malha 4).
Qexp Qexp/2 Qnum/2 (Xmin) Qnum/2 (Xmax) δ1 (%) δ2 (%)
(l/s) (l/s) (l/s) (l/s)
35 17,5 16,96 16,88 -3,1 -3,5
42 21,0 21,02 21,39 0,1 1,8
49 24,5 23,97 24,13 -2,2 -1,5
56 28,0 26,82 26,74 -4,2 -4,5
Da Tabela 7.1 conclui-se que as diferenças δ2 são superiores às δ1, o que pode ser explicado
pelo facto de não ter sido imposto o caudal em nenhum dos modelos numéricos. Na Figura 7.1
é possível observar a evolução temporal do caudal nas fronteiras de montante e jusante para a
totalidade dos caudais e malha 4.
Figura 7.1 - Evolução temporal do caudal nas fronteiras de montante e jusante para a configuração A.
0
5
10
15
20
25
30
0 20 40 60 80 100
Q (
l/s)
t (s)
17,5 l/s Xmin
17,5 l/s Xmáx
21 l/s Xmin
21 l/s Xmáx
24,5 l/s Xmin
24,5 l/s Xmáx
28 l/s Xmin
28 l/s Xmáx
52
7.2 Alturas do escoamento no canal descarregador
7.2.1 Considerações gerais
À semelhança de outros autores (e.g. André e Ramos, 2003; Hunt et al., 2008, 2012; Woolbright,
2008; Wadhai et al., 2014), Cabrita (2007) faz uma análise do perfil da superfície livre do
escoamento ao longo do descarregador.
Para o modelo numérico, a determinação das alturas de escoamento no eixo foi feita recorrendo
ao código MATLAB desenvolvido em Lúcio (2015) – ver subcapítulo 5.7. A determinação das
alturas na parede direita é feita através da definição de planos a passar por cada degrau do canal
descarregador e normais à soleira fictícia, recorrendo ao ParaView, obtendo a definição da
secção transversal para cada vertical do degrau. Tendo em conta que a configuração com duas
paredes convergentes é uma estrutura simétrica e ao facto de se ter aplicado a condição de
fronteira de simetria em 𝑦 = 0, admite-se que as alturas do escoamento nas duas paredes
laterais são iguais.
Nos gráficos apresentados ao longo deste subcapítulo, as linhas de grelha verticais
apresentadas correspondem às verticais dos degraus na direção normal à soleira fictícia para o
caso dos descarregadores em degraus com hd=5,0 cm. O vértice de jusante da soleira
descarregadora corresponde a L=0; o primeiro degrau corresponde ao vértice formado no final
da soleira do degrau zero (L=0,11 m), e assim sucessivamente.
As Figuras 7.2 a 7.5 dizem respeito a alturas obtidas numericamente ao longo do descarregador,
segunda a direção normal à soleira fictícia, para simulações Restart que adotam aproximações
de 2ª ordem com preservação de monotonicidade. É de salientar que as secções de medição do
descarregador liso correspondem às do descarregador em degraus com hd=5,0 cm, sendo
apresentados os perfis de velocidade apenas para os caudais extremos (35 l/s e 56 l/s).
As Figuras 7.2 (a) e (b) permitem verificar que as alturas do escoamento no eixo dos
descarregadores em degraus diminuem para jusante até sensivelmente meio do canal, a partir
do qual aumentam até uma altura próxima da inicial. É também possível concluir que as alturas
do escoamento aumentam com o caudal, verificando-se em geral o mesmo para as alturas
registadas na parede convergente (ver Figuras 7.4 (a) e (b)).
Relativamente ao descarregador com paramento liso, no eixo do descarregador (Figura 7.2 (c))
verifica-se que a altura do escoamento diminui para jusante, registando-se para o caudal de 56l/s
um ligeiro empolamento da veia líquida perto do final do canal descarregador, possivelmente
devido à intensificação da ação do escoamento junto ao pé do descarregador, pelas suas
caraterísticas enquanto escoamento rapidamente variado. No caso das alturas junto da parede
(Figura 7.4 (c)), observa-se também uma diminuição da altura do escoamento para jusante,
mantendo-se aproximadamente constante nas últimas seis secções de medição. Estas alturas
53
são inferiores às dos descarregadores em degraus, com exceção do trecho próximo da soleira
em que a altura é aproximadamente igual.
À semelhança do concluído em André e Ramos (2003) e Cabrita (2007), no convergente θ=19,3⁰
com degraus de 5,0 cm de altura (Figura 7.3), e comparando os resultados numéricos
apresentados no Anexo C.4 para este descarregador, conclui-se que as alturas do escoamento
na parede direita são sempre superiores às registadas na parede esquerda, i.e. as alturas do
escoamento na parede convergente são superiores às alturas na parede com a direção do
escoamento. Outra conclusão possível de retirar deste descarregador é a tendência para um
aumento da altura do escoamento ao longo do descarregador na proximidade da parede
convergente (Figura 7.5), registando-se para os dois menores caudais (35 e 42 l/s) uma redução
desses valores nas últimas secções de medição do canal descarregador.
Comparando os descarregadores em degraus com hd=5,0 cm, verificou-se que para as alturas
do escoamento relativas à parede convergente (parede direita), Figuras 7.4 (a) e 7.5, o
descarregador com ângulo de convergência de 19,3⁰ regista valores em média 1,1 a 1,5 vezes
superiores às do convergente θ=9,9⁰. Observando as Figuras 7.2 (a) e 7.3, é também possível
concluir que, para o descarregador com maior ângulo de convergência, se regista empolamento
da veia líquida a partir da vertical 3, enquanto no caso do descarregador com θ=9,9⁰ se regista
a partir das verticais 4/5. Esta conclusão é à de estudos já realizados (e.g. Talbot et al., 1997;
André e Ramos, 2003; Cabrita, 2007; Zindovic et al., 2016) que indicam que um aumento do
ângulo de convergência provoca o aumento da altura do escoamento junto da parede e entrada
de ar no seio do escoamento mais a montante.
(a)
Figura 7.2 - Alturas do escoamento no eixo do descarregador obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso.
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
54
(b)
(c)
Figura 7.2 - Alturas do escoamento no eixo do descarregador obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso (continuação).
Figura 7.3 - Alturas do escoamento na parede esquerda do descarregador (parede com a direção do
escoamento) obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração B e hd=5,0 cm.
(a)
Figura 7.4 - Alturas do escoamento na parede direita do descarregador obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso.
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
35 l/s
56 l/s
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
55
(b)
(c)
Figura 7.4 - Alturas do escoamento na parede direita do descarregador obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração A: (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5 cm; (c) liso (continuação).
Figura 7.5 - Alturas do escoamento na parede direita do descarregador (parede convergente) obtidas numericamente para os caudais em estudo e para a configuração B e hd=5,0 cm.
7.2.2 Comparação entre resultados numéricos e experimentais
Nas Figuras 7.6 a 7.9 representam-se, para cada caudal estudado, as alturas do escoamento
obtidas experimental e numericamente para as verticais dos degraus (perpendiculares à soleira
do descarregador). As diferenças relativas referentes aos descarregadores em estudo podem
ser consultadas no Anexo C, encontrando-se representado a sombreado a vertical onde se
verifica a presença de ar no seio do escoamento nos ensaios de Cabrita (2007).
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
35 l/s
56 l/s
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
56
Tanto para as alturas do escoamento no eixo do descarregador como para as alturas obtidas na
parede direita, é possível observar que as maiores diferenças relativas, entre os valores
observados experimentalmente e os obtidos numericamente, são registadas nas primeiras três
medições (seis primeiras medições no caso do descarregador em degraus com 2,5 cm de altura)
tendo-se obtido valores entre 5% e 24% (valor máximo registado no descarregador em degraus
hd=5,0 cm), para a configuração A. Em virtude de se terem obtido diferenças relativas reduzidas
na proximidade da crista do descarregador (maior valor registado de 9%, como indicado no
subcapítulo 6.4.1), julga-se que as maiores diferenças no trecho inicial do descarregador se
devem à elevada sobrestimação da altura do escoamento por meio de observação visual.
Quanto às diferenças relativas entre os valores experimentais e os valores numéricos obtidos
para modelos de aproximação da ECQM de 1ª ordem e de 2ª ordem com preservação de
monotonicidade, conclui-se que para a região inicial do descarregador (não-arejada) ambos os
resultados numéricos apresentam um bom ajustamento em relação aos observados
experimentalmente. No entanto, ao longo do canal descarregador, os valores obtidos para a
simulação Restart apresentam, em geral, menores diferenças relativas. Um facto importante a
salientar nesta análise é a diferença do desenvolvimento do escoamento entre os modelos de 1ª
ordem e de 1ª+2ª ordem com preservação de monotonicidade para o eixo do descarregador e
para a parede convergente para o caso dos descarregadores em degraus com duas paredes
convergentes (Figuras 7.6 e 7.7). A proximidade de resultados dos diferentes modelos de
aproximações finitas no caso das alturas do escoamento registadas na parede direita poderá
estar no facto que nenhum destes modelos reproduza corretamente a zona da parede.
Observando as Figuras 7.6 (a1) e (a2), relativas ao descarregador com duas paredes
convergentes e degraus com 5,0 cm de altura para um caudal de 35 l/s, registam-se diferenças
relativas médias (em valor absoluto e relativas aos valores obtidos para a simulação Restart) –
e ao longo de todo o descarregador – entre os dois modelos de 16,8% (com maior valor registado
de 32,0%) para o eixo do descarregador, enquanto na parede direita esta diferença é de apenas
3,5% (maior valor registado igual a 3,8%). No caso do caudal de 56 l/s, estas diferenças são de
11,2% no eixo do descarregador (maior diferença relativa igual a 21,2%) e 2,7% para a parede
direita (e 13,7% como a maior diferença relativa registada).
Observando a Figura 7.7 – descarregador com hd=2,5 cm – relativamente às alturas do
escoamento na parede direita do descarregador conclui-se que o modelo de 1ª ordem de iteração
da ECQM apresenta um melhor ajustamento aos resultados experimentais. Refira-se contudo
que as alturas do escoamento estimadas por observação visual junto da parede sobrestimam
em geral as que se obteriam com recurso a instrumentação mais precisa, como ilustrado em
Matos (1999).
57
(a1) (a2)
(b1) (b2)
(c1) (c2)
(d1) (d2) Figura 7.6 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os
resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 5,0 cm e configuração A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 42 l/s, eixo; (b2) 42 l/s, parede direita; (c1) 49 l/s, eixo;
(c2) 49 l/s, parede direita; (d1) 56 l/s, eixo; (d2) 56 l/s, parede direita.
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
58
(a1) (a2)
(b1) (b2)
(c1) (c2)
(d1) (d2)
Figura 7.7 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 2,5 cm e para a
configuração A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 42 l/s, eixo; (b2) 42 l/s, parede direita; (c1) 49 l/s, eixo; (c2) 49 l/s, parede direita; (d1) 56 l/s, eixo; (d2) 56 l/s, parede direita.
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
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0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
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0.09
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
59
Como esperado, para a situação do descarregador com paramento convencional (Figura 7.8), é
obtido o melhor ajustamento entre valores experimentais e numéricos, o que pode ser explicado
pela menor complexidade do escoamento, face ao escoamento num descarregador em degraus.
Neste caso os resultados numéricos são próximos entre si com diferença relativa média – entre
os dois métodos de aproximação numérica da conservação da quantidade de movimento – no
eixo do descarregador igual a 0,4% e para a parede direita na ordem dos 1,4% para o caudal de
35 l/s. Relativamente à diferença relativa entre resultados numéricos (simulação Restart) e
experimentais, as diferenças relativas médias para o caudal de 35 l/s são de 4,0% para o eixo e
para a parede direita encontram-se na ordem dos 8,0% (ou 7,7% se se desprezarem as primeiras
três medições).
(a1) (a2)
(b1) (b2)
Figura 7.8 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador com paramento liso e para a
configuração A: (a1) 35 l/s, eixo; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 56 l/s, eixo; (b2) 56 l/s, parede direita.
Já no caso do descarregador com ângulo de convergência de 19,3⁰ obtiveram-se as maiores
diferenças relativas entre resultados numéricos e experimentais. Ao analisar resultados
experimentais para descarregadores com largura constante obtidos para a mesma instalação
experimental no âmbito da investigação de André e Ramos (2003), verificou-se que existe uma
sobrestimação dos valores junto das paredes, relativamente aos valores obtidos no eixo. Esta
situação é comprovada para o caso do descarregador com uma parede convergente, em especial
nas alturas do escoamento junto da parede esquerda (que na realidade corresponde ao eixo do
descarregador). A comparação de alturas medidas junto das paredes do canal com recurso a
fitas métricas (Cabrita, 2007) e de alturas no eixo do descarregador, para o caso do estudo
numérico, origina diferenças relativas médias superiores a 20%.
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
60
(a1) (a2)
(b1) (b2)
(c1) (c2)
(d1) (d2)
Figura 7.9 - Comparação das alturas do escoamento no descarregador obtidas numericamente e os resultados experimentais de Cabrita (2007) para o descarregador em degraus de 5,0 cm e configuração B (parede convergente ≡ parede direita): (a1) 35 l/s, parede esquerda; (a2) 35 l/s, parede direita; (b1) 42 l/s, parede esquerda; (b2) 42 l/s, parede direita; (c1) 49 l/s, parede esquerda; (c2) 49 l/s, parede direita; (d1)
56 l/s, parede esquerda; (d2) 56 l/s, parede direita.
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
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0.1
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
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0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.02
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0.1
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
h (
m)
L (m)
1ª ordem1ª+2ª ordemCabrita (2007)
61
7.3 Perfis de velocidade do escoamento no canal descarregador
7.3.1 Considerações gerais
Nas Figuras 7.10 a 7.12 apresentam-se os perfis de velocidade obtidos no eixo dos
descarregadores de duas paredes convergentes, em degraus e paramento liso, para cada caudal
estudado e para uma aproximação da ECQM de 2ª ordem com preservação da monotonicidade
(com condições iniciais que adotam um modelo de 1ª ordem). A extremidade de jusante da
soleira descarregadora corresponde à vertical zero, segundo a direção normal ao canal; a vertical
1 corresponde à extremidade de jusante do primeiro degrau, e assim sucessivamente.
Verifica-se que a velocidade aumenta com o caudal e ao longo do perfil longitudinal do
descarregador, o que seria de esperar, em virtude de o escoamento ser neste trecho rápida ou
gradualmente variado. Constata-se igualmente que a velocidade ao longo do descarregador não
atinge um valor constante, para idêntico caudal, ou seja, o escoamento uniforme não é atingido.
No entanto, para os descarregadores em degraus, os perfis de velocidade no trecho de jusante
são próximos, típico de um escoamento gradualmente variado.
A acentuada curvatura do perfil de velocidades da vertical zero deve-se à aceleração do
escoamento no início do canal descarregador. É de salientar que não se apresenta a vertical
correspondente ao último degrau do descarregador em degraus com hd=5,0 cm (vertical 9) e as
duas últimas verticais do descarregador com degraus de menor altura (verticais 18 e 19), uma
vez que estas registam valores de velocidade menores que as verticais que lhes ficam a
montante, possivelmente devido ao efeito da curvatura do escoamento provocado pelo início da
bacia de dissipação de energia.
(a)
Figura 7.10 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 5,0 cm de altura e configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
y (
m)
V (m/s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
62
(b)
(c)
(d)
Figura 7.10 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 5,0 cm de altura e configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s (continuação).
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
y (
m)
V (m/s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
y (
m)
V (m/s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
y (
m)
V (m/s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
63
(a)
(b)
(c)
Figura 7.11 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 2,5 cm de altura e configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
y (
m)
V (m/s)
01234567891011121314151617
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
y (
m)
V (m/s)
01234567891011121314151617
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
y (
m)
V (m/s)
01234567891011121314151617
64
(d)
Figura 7.11 - Perfis de velocidade no canal descarregador com degraus de 2,5 cm de altura e configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 42 l/s; (c) 49 l/s; (d) 56 l/s (continuação).
(a)
(b)
Figura 7.12 - Perfis de velocidade no canal descarregador com paramento convencional e configuração A, para os caudais de: (a) 35 l/s; (b) 56 l/s.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
y (
m)
V (m/s)
01234567891011121314151617
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
y (
m)
V (m/s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
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0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
y (
m)
V (m/s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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0
0.01
0.02
0.03
0.04
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
0
0.01
0.02
0.03
0.04
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
A comparação dos perfis de velocidade obtidos em cada vertical de cada descarregador para a
configuração A e para os caudais extremos (35 l/s e 56 l/s), está representada nas Figuras 7.13
e 7.14. É de salientar que, para realizar uma comparação entre perfis de velocidade para uma
mesma distância à soleira descarregadora (em relação à normal à soleira fictícia), deve-se
considerar que a vertical de medição 1 dos descarregadores com degraus de altura de 5,0 cm e
de paramento liso corresponde à vertical 2 do descarregador com degraus de altura de 2,5 cm
(designada por vertical 1/2); a vertical 2 desses descarregadores corresponde à vertical 4 do
descarregador de 2,5 cm (vertical 2/4), e assim sucessivamente.
Observa-se que as velocidades no descarregador liso são, em geral, superiores às obtidas para
os descarregadores em degraus, diminuindo essa diferença, para idêntico perfil, com a distância
à soleira. Novamente se pode concluir que a macro-rugosidade originada pelos degraus provoca
uma significativa redução próximo da soleira fictícia, tanto maior quanto maior a macro-
rugosidade do paramento.
Analogamente ao concluído em Cabrita (2007), verifica-se que o descarregador em degraus com
menor macro-rugosidade (hd=2,5 cm) apresenta velocidades superiores às do descarregador
com hd=5,0 cm.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 7.13 - Comparação entre perfis de velocidade do escoamento para a configuração A e para cada tipo de paramento (Q=35 l/s): (a) vertical 1/2; (b) vertical 2/4; (c) vertical 3/6; (d) vertical 4/8; (e) vertical
5/10; (f) vertical 6/12.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
0
0.01
0.02
0.03
0.04
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
66
0
0.01
0.02
0.03
0.04
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
(e) (f)
Figura 7.13 - Comparação entre perfis de velocidade do escoamento para a configuração A e para cada tipo de paramento (Q=35 l/s): (a) vertical 1/2; (b) vertical 2/4; (c) vertical 3/6; (d) vertical 4/8; (e) vertical
5/10; (f) vertical 6/12 (continuação).
(a) (b)
(c) (d) Figura 7.14 - Comparação entre perfis de velocidade do escoamento para a configuração A e para cada tipo de paramento (Q=56 l/s): (a) vertical 1/2; (b) vertical 2/4; (c) vertical 3/6; (d) vertical 4/8; (e) vertical
5/10; (f) vertical 6/12; (g) vertical 7/14; (h) vertical 8/16.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
0
0.01
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0.04
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1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
67
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
(e) (f)
(g) (h)
Figura 7.14 - Comparação entre perfis de velocidade do escoamento para a configuração A e para cada tipo de paramento (Q=56 l/s): (a) vertical 1/2; (b) vertical 2/4; (c) vertical 3/6; (d) vertical 4/8; (e) vertical
5/10; (f) vertical 6/12; (g) vertical 7/14; (h) vertical 8/16 (continuação).
A partir das Figuras 7.13 e 7.14 é também possível concluir que para o menor caudal (35 l/s) se
regista uma maior influência da rugosidade do paramento sobre o perfil de velocidades ao longo
do escoamento.
Na Figura 7.15, retirada do FLOW-3D®, é possível observar o campo de velocidades para o
descarregador em degraus de 2,5 cm e para o descarregador liso, no caso da configuração com
duas paredes convergentes. O efeito da rugosidade está bem patente verificando-se que a
presença de degraus na soleira do descarregador atenua o aumento da velocidade. A Figura
7.15 (b) ilustra a soleira fictícia, bem como o escoamento recirculatório nas cavidades formadas
pelos degraus.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
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0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
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1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
y (
m)
V (m/s)
hd=2,5 cm
hd=5,0 cm
liso
68
(a)
(b)
Figura 7.15 - Campo de velocidades (m/s) ao longo do eixo do descarregador de duas paredes convergentes para 35 l/s: (a) descarregador com paramento convencional; (b) descarregador em degraus
com hd=2,5 cm.
Na Figura 7.16 é apresentada a distribuição transversal do campo de velocidades para os dois
casos de descarregadores em degraus com altura de 5,0 cm. No canal descarregador com menor
ângulo de convergência (Figura 7.16 (a)) ocorre menor perturbação do escoamento, resultando
em menor dissipação de energia e velocidades mais elevadas. Em geral, com um maior ângulo
de convergência ocorre maior dissipação de energia o que implica maiores alturas do
escoamento, podendo originar custos acrescidos nestas construções associados com o
dimensionamento de paredes laterais com maior altura (Toledo et al., 2015).
69
(a) (b) Figura 7.16 - Distribuição transversal do campo de velocidades (m/s) para t=120s e caudal de 49 l/s: (a) descarregador com duas paredes convergentes em degraus (θ=9,9⁰; hd=5,0 cm); (b) descarregador com
uma parede convergente em degraus (θ=19,3⁰; hd=5,0 cm).
7.3.2 Comparação entre resultados numéricos e experimentais
Para o caso dos descarregadores com duas paredes convergentes e altura dos degraus igual a
5,0 cm verificou-se no subcapítulo 7.3.1 que a velocidade aumenta ao longo do perfil longitudinal
do descarregador, sendo possível observar o efeito da macro-rugosidade no paramento que
provoca uma redução da velocidade junto da soleira fictícia. Na Figura 7.17 apresentam-se os
perfis de velocidade para o caudal de 56 l/s, e em que a presença de entrada de ar no seio de
escoamento para os ensaios experimentais se registou na vertical 7. Nesta figura é possível
verificar que os degraus pares registam velocidades junto da soleira inferiores às obtidas para
degraus ímpares no caso dos valores registados para a simulação Restart, diminuindo essa
diferença com a distância à soleira. Comparando os resultados numéricos e experimentais
observa-se também uma disparidade entre perfis de velocidade de degraus pares e ímpares.
Para os degraus ímpares – verticais 1, 3 e 5 – as diferenças relativas médias entre resultados
experimentais e numéricos da simulação Restart são de 4,5%, 6,0% e 12,2%, respetivamente.
Para as verticais 2, 4 e 6 as diferenças relativas são consideráveis, nomeadamente 10,6%,
14,3% e 15,0%. A diferença de comportamento entre verticais pares e ímpares já tinha sido
documentada em Cabrita (2007) mencionando “perfis pouco coerentes com os padrões habituais
da evolução dos perfis de velocidade que seriam de esperar”. Este fenómeno foi também
investigado por Lopes et al. (2015) e, mais recentemente por Lopes et al. (2016), identificando-o
como uma alternância entre dois dos subtipos do escoamento deslizante sobre turbilhões: os
escoamentos com recirculação instável e com interferência esteira-degrau ou interferência
esteira-esteira (descritos no subcapítulo 2.2), em que o escoamento do degrau anterior interfere
no escoamento do degrau seguinte alternadamente.
No caso do descarregador em degraus com 2,5 cm (ver Figura 7.18), devido ao defeito de
construção já anteriormente mencionado, as diferenças relativas aumentam com o caudal em
estudo, em virtude do facto de os efeitos da entrada de ar serem amplificados para caudais mais
70
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
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0.05
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0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
elevados. De acordo com Cabrita (2007), para o caudal de 56 l/s regista-se presença permanente
de ar emulsionado a partir do 12º degrau para a configuração de duas paredes convergentes e
degraus de 2,5 cm. Observando os perfis de velocidade apresentados na Figura 7.18 para o
caudal de 56 l/s, verifica-se que entre as verticais 11 e 13 a diferença relativa entre resultados
numéricos e experimentais aumenta nos pontos próximos da soleira fictícia e esse efeito vai
aumentando nas verticais seguintes. As diferenças relativas médias (em valor absoluto) entre a
simulação Restart e os valores experimentais são de 1,3%, 12,1%, 3,6%, 12,2%, 13,6%, 16,0%,
16,7%, 16,7% e 15,1% nas verticais 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 e 17, respetivamente. No anexo C.5
encontram-se também os perfis de velocidade obtidos numérica e experimentalmente relativos
ao caudal de 42 l/s e as respetivas diferenças relativas.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figura 7.17 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 5,0 cm de altura para Q=56 l/s: (a) vertical 1; (b) vertical
2; (c) vertical 3; (d) vertical 4; (e) vertical 5; (f) vertical 6.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (m
)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
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0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
71
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
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0.045
0.05
0.055
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0.065
0.07
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
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0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.065
0.07
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.065
0.07
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h) (i)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
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0.055
0.06
0.065
0.07
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
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0.06
0.065
0.07
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.065
0.07
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.065
0.07
0.5 1 1.5 2 2.5 3y
(m
)
V (m/s)1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.065
0.07
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
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0.055
0.06
0.065
0.07
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
Figura 7.18 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 2,5 cm de altura para Q=56 l/s: (a) vertical 1; (b) vertical 3; (c) vertical 5; (d) vertical 7; (e) vertical 9; (f) vertical 11; (g) vertical 13; (h)
vertical 15; (i) vertical 17.
72
Na Figura 7.19 apesentam-se os perfis de velocidade experimentais e numéricos em algumas
verticais do canal descarregador liso. Os diferentes símbolos referem-se a perfis obtidos em
diferentes verticais: os quadrados referem-se à vertical 2, os triângulos à vertical 4, os círculos à
vertical 6 e os losangos à vertical 8. Como expectável, os perfis de velocidade para simulações
em que se adotam aproximações da ECQM de 1ª ordem e para as simulações Restart que
recorrem a aproximações de 2ª ordem com preservação de monotonicidade apresentam
menores diferenças para este descarregador pela menor complexidade do escoamento
comparativamente aos restantes.
A diferença relativa média (em valor absoluto) entre os resultados numéricos obtidos para a
simulação Restart para um caudal de 35 l/s e os resultados experimentais de Cabrita (2007) é
de 3,5% na vertical 2 (diferença relativa máxima igual a 5,4%), para a vertical 4 é 2,3% (diferença
relativa máxima de 2,8%), para a vertical 6 é 1,2% (com maior valor registado igual a 1,4%) e
para a vertical 8 é 0,8% (diferença relativa máxima de 1,1%). Para o caudal de 56 l/s a diferença
relativa médias registada na vertical 2 é de 5,0% (diferença máxima registada de 6,7%), na
vertical 4 é de 2,9% (valor máximo toma o valor de 4,5%), na vertical 6 é de 1,4% (máxima
diferença relativa igual a 2,3%) e na vertical 8 é de 0,5% (diferença relativa máxima de 1,1%).
(a)
(b)
Figura 7.19 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos em quatro verticais do canal descarregador liso para a configuração A: (a) Q=35 l/s; (b) Q=56 l/s.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3 3.3
y (
m)
V (m/s)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3 3.3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
73
7.4 Largura da onda estacionária oblíqua
Neste subcapítulo pretende-se caraterizar a largura da onda ao longo do descarregador, para as
diferentes configurações. A determinação da largura da onda nos ensaios experimentais de
Cabrita (2007) foi feita recorrendo a dois métodos distintos: observação visual e utilizando um
molinete. Para o modelo numérico houve a necessidade de definir parâmetros que facilitassem
a definição desta largura. Estabeleceu-se uma diferença (percentual) das alturas do escoamento
– ao longo da secção transversal da vertical de um dado degrau – em relação a uma média de
valores da altura de escoamento em torno do eixo do descarregador, encontrando-se esta gama
de valores centrais assinalada para as configurações A e B na Figura 7.20. Admitiram-se esses
valores numa zona definida a partir do eixo do descarregador em que a altura do escoamento
não é influenciada pelos efeitos de parede, tendo-se estabelecido como valores centrais a gama
entre 𝑦 = 0 e 𝑦 = −0,1 𝑚, para a configuração A. No caso da configuração B esta gama de
valores encontra-se entre 𝑦 = 0,25 𝑚 e 𝑦 = 0,35 𝑚.
No Anexo D é possível consultar uma explicação mais aprofundada relativa à aplicação deste
critério. No entanto, ao lidar com reduzidas alturas do escoamento houve alguma dificuldade em
aplicar objetivamente os critérios definidos para a configuração de duas paredes convergentes,
em particular nas últimas verticais do descarregador, quer pelas variações de altura na secção
transversal serem reduzidas (por vezes inferiores a 1%), quer pelo efeito da curvatura do
escoamento provocado pelo início da bacia de dissipação de energia. Já no caso do
descarregador com maior ângulo de convergência, o desenvolvimento da largura de onda é mais
percetível devido a uma diminuição mais acentuada das alturas de escoamento ao longo da
secção transversal, o que se traduz em maiores diferenças relativas, sendo mais fácil definir a
largura de onda ao longo de todo o canal descarregador.
As Figuras 7.21 e 7.22 apresentam a evolução da largura das ondas nos diferentes
descarregadores (designada por L’), para os vários caudais estudados, e a sua comparação com
os valores obtidos por observação visual3 em Cabrita (2007), visto que a forte oscilação da
superfície do escoamento impossibilitou em muitos dos casos a utilização do molinete. Em todos
os descarregadores, verifica-se que para as primeiras secções de medição a largura da onda
estacionária oblíqua praticamente não varia com o caudal (à exceção do menor caudal),
verificando-se, em geral, que a largura da onda ao longo do canal aumenta com o caudal.
Saliente-se que, na comparação entre os resultados numéricos e experimentais, se recorreu aos
valores da largura da onda estacionária oblíqua obtidos experimentalmente junto da parede
esquerda do descarregador, uma vez que esta é a situação mais conservadora em relação à
altura do escoamento. Consultando o Anexo D é possível analisar esta opção com maior detalhe.
3 Para o efeito foi colocada uma escala graduada na soleira dos degraus junto da parede convergente.
74
(a)
(b)
Figura 7.20 - Alturas do escoamento ao longo da secção transversal da segunda vertical do descarregador (Q=35 l/s): (a) descarregador com duas paredes convergentes (θ=9,9°; hd=5,0 cm); (b)
descarregador com uma parede convergente (θ=19,3°; hd=5,0 cm).
Na Figura 7.21 (a) é apresentada a evolução da largura da onda no caso do descarregador com
5,0 cm de altura dos degraus, observando-se que a onda atinge um máximo de desenvolvimento,
reduzindo em seguida de largura. Já para o descarregador com 2,5 cm de altura, exibido na
Figura 7.21 (b), a largura da onda nas últimas secções de medição tende para um valor
sensivelmente constante. Verifica-se igualmente que o ângulo inicial que a onda faz com a
parede convergente é inferior para o descarregador com degraus de maior altura. No caso do
descarregador com paramento convencional, Figura 7.21 (c), dado o pequeno ângulo de
convergência e alturas de escoamento reduzidas, houve dificuldade na aplicação do critério
acima definido, embora se tenha concluído que a tendência é no sentido do aumento da largura
da onda. Analisando os três paramentos apresentados na Figura 7.21 para o descarregador com
duas paredes convergentes, conclui-se que um aumento da rugosidade do paramento tende a
atenuar o efeito das ondas estacionárias oblíquas.
Comparando a largura de onda obtida no presente estudo com os valores registados na
instalação experimental é possível observar, à semelhança do concluído no subcapítulo 7.2.2,
que as maiores diferenças relativas são registadas nas três primeiras secções de medição, pelo
facto de se ter um escoamento acelerado e a direção do escoamento principal não se encontrar
alinhada com a soleira fictícia para as primeiras medições, conduzindo a uma estimativa
imprecisa da largura da onda.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0
h (
m)
y (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-0.35 -0.25 -0.15 -0.05 0.05 0.15 0.25 0.35
h (m)
y (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
75
Para todos os gráficos de obtenção da largura de onda, conclui-se que o aumento do caudal não
influencia significativamente o valor da largura de onda obtida experimentalmente para as
medições iniciais (que apresentam menor grau de incerteza na leitura), contrariamente ao
registado para os valores obtidos numericamente.
Para o caso das Figuras 7.21 (a) e (b) é visível que as ondas fazem uma concavidade ao longo
do descarregador, sendo este efeito tanto mais acentuado quanto maior a rugosidade do
paramento, e próximo do pé do descarregador tendem para um valor constante. Observa-se que
as maiores diferenças relativas entre resultados numéricos e experimentais ocorrem na zona da
concavidade, aumentando com o caudal, enquanto que no pé do descarregador as diferenças
são reduzidas. Para o descarregador de 5,0 cm as diferenças relativas médias com os valores
obtidos experimentalmente são de 6,5%, 13,7%, 22,6% e 15,2%, respetivamente para os caudais
de 35, 42, 49 e 56 l/s. Para o descarregador com degraus de 2,5 cm de alturas estas diferenças
tomam valores de 23,7%, 60,3%, 54,0% e 41,7%, para os mesmos caudais. Para ambos os
descarregadores em degraus, observa-se que os valores numéricos sobrestimam os obtidos
experimentalmente (à exceção do caudal de 35 l/s). De acordo com Cabrita (2007), este
contabiliza um ligeiro defeito de assimetria no modelo (originando valores divergentes entre
paredes nos modelos de descarregador simétrico) – ver Figura 7.20 – para além de que a
determinação da largura da onda por observação visual é mais subjetiva do que com o molinete,
dependendo fortemente do operador e dos critérios de leitura definidos e podendo estar na
origem das diferenças consideráveis registadas. Acrescenta-se a dificuldade de leitura nos
descarregadores em degraus devida à turbulência induzida pelos degraus, em especial a jusante
da secção de afloramento da camada limite. Para além disso, a adoção de diferentes critérios
para a definição da largura de onda experimental ou numérica também para essa diferença.
Comparando os descarregadores em degraus com altura de 5,0 cm, Figuras 7.21 (a) e 7.22,
conclui-se que a largura da onda aumenta com o aumento do ângulo de convergência: para o
descarregador com θ=19,3⁰ registam-se larguras até 2,2 vezes superiores às observadas no
descarregador com θ=9,9⁰.
(a)
Figura 7.21 - Largura da onda estacionária oblíqua ao longo do descarregador que adota a configuração A para valores numéricos (parede direita) e experimentais (parede esquerda): (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5
cm; (c) liso.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
L' (m
)
L (m)
Presente estudo
Cabrita (2007)
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
76
(b)
(c)
Figura 7.21 - Largura da onda estacionária oblíqua ao longo do descarregador que adota a configuração A para valores numéricos (parede direita) e experimentais (parede esquerda): (a) hd=5,0 cm; (b) hd=2,5
cm; (c) liso (continuação).
Figura 7.22 - Largura da onda estacionária oblíqua ao longo do descarregador que adota a configuração B para valores numéricos (parede direita) e experimentais (parede esquerda) e altura dos degraus igual a
hd=5,0cm.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
L' (m
)
L (m)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
L' (m
)
L (m)
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01 1.12
L' (m
)
L (m)
Presente estudo
Cabrita (2007)
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
Presente estudo
Cabrita (2007)
35 l/s
56 l/s
35 l/s
56 l/s
Presente estudo
Cabrita (2007)
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
35 l/s
42 l/s
49 l/s
56 l/s
77
8 Conclusões e desenvolvimentos futuros
8.1 Conclusões
Na presente dissertação apresenta-se um estudo numérico centrado na região a montante da
secção de afloramento da camada limite do escoamento deslizante sobre turbilhões, num
descarregador com declive 1:2 (V:H), com paredes laterais convergentes, típico do paramento
de jusante de uma pequena barragem de aterro.
Embora vantajosa do ponto de vista económico, esta solução apresenta o inconveniente
surgimento de ondas estacionárias oblíquas junto das paredes laterais convergentes,
conduzindo ao aumento da altura do escoamento, sendo para tal necessário prever uma folga
adequada no dimensionamento deste tipo de paredes. Verifica-se que a presença de degraus
na soleira descarregadora atenua este efeito, observando-se que, para o mesmo ângulo de
convergência, a altura do escoamento junto da parede convergente aumenta até 1,3 vezes para
o descarregador com paramento liso. Constata-se que não só a altura do escoamento junto da
parede convergente aumenta, como também a largura da onda estacionária oblíqua (até 2,3
vezes superior para o caso do descarregador com paramento liso em relação ao descarregador
com degraus de 5,0 cm de altura).
Conclui-se ainda que a sobrelevação da superfície livre junto das paredes convergentes aumenta
com o aumento do ângulo de convergência; em média, a relação entre a altura do escoamento
na parede com ângulo de convergência de 19,3⁰ e na parede com ângulo de convergência igual
a 9,9⁰ é cerca de 1,1 a 1,5.
Em relação à velocidade do escoamento, verifica-se que, de uma maneira geral, aumenta com
a distância à crista do descarregador, para igual distância à soleira. O efeito da rugosidade é
patente nos perfis de velocidade, verificando-se que a presença de degraus no canal
descarregador provoca um significativo abrandamento na velocidade do escoamento próximo da
soleira fictícia, tanto maior quanto maior a macro-rugosidade do paramento.
Os resultados analisados na presente dissertação relativos às simulações Restart com modelo
de aproximação da equação de conservação da quantidade de movimento de 2ª ordem com
preservação de monotonicidade (com condições iniciais que adotam um modelo de 1ª ordem)
evidenciam que o software FLOW-3D® reproduz adequadamente as principais grandezas
caraterísticas do escoamento na região não-arejada do escoamento. No caso do método de
aproximação numérica de 1ª ordem da ECQM conclui-se que este é incapaz de reproduzir
corretamente os efeitos de 2ª ordem, quer a nível da velocidade e alturas do escoamento ao
longo do descarregador, quer na representação da não-uniformidade do escoamento na secção
78
transversal. Os resultados numéricos relativos à altura do escoamento, perfis de velocidade,
largura da onda estacionária oblíqua e caudais foram comparados com os resultados
experimentais apresentados em Cabrita (2007).
No caso do descarregador em degraus com duas paredes convergentes e altura dos degraus
igual a 5,0 cm, as diferenças relativas (em valor absoluto) entre os valores numéricos e
experimentais relativos à altura do escoamento no eixo para a região não-arejada foram
inferiores a 17,8% (com valor médio de 6,9%). No caso das alturas junto da parede convergente,
as diferenças relativas têm um valor médio de 10,7% e atingem 24,3%, sendo as maiores
diferenças registadas nas três primeiras secções de medição, o que resultará da maior
sobrestimação da altura do escoamento por meio de observação visual. Relativamente às
velocidades do escoamento, observou-se uma discrepância entre perfis de velocidade de
degraus pares e ímpares. Para um caudal de 56 l/s, os degraus ímpares – verticais 1, 3 e 5 –
registam diferenças relativas médias entre resultados experimentais e numéricos iguais a 4,5%,
6,0% e 12,2%, respetivamente. Para as verticais 2, 4 e 6 as diferenças relativas são
consideráveis e iguais a 10,6%, 14,3% e 15,0%, respetivamente. Em Cabrita (2007) já tinha sido
mencionada a discrepância entre perfis de velocidade de degraus pares e ímpares.
Para o descarregador com degraus de 2,5 cm de altura e ângulo de convergência igual a 9,9⁰,
as diferenças relativas entre os resultados experimentais e os resultados numéricos para as
simulações Restart são, em geral, ligeiramente superiores às registadas no descarregador com
degraus de 5,0 cm. As diferenças relativas (em valor absoluto) associadas à altura no eixo são
inferiores a 27,3% e apresentam valor médio de 9,8%. Junto à parede convergente, obtiveram-
se diferenças relativas com valor máximo igual a 22,1% e valor médio igual a 14,3%. Novamente
se depreende que se não forem contabilizadas as primeiras seis secções do canal descarregador
as diferenças relativas junto da parede decrescem, tendo-se obtido um valor médio de 10,6% e
atingindo um valor máximo de 11,4% para o caudal de 49 l/s. Relativamente aos perfis de
velocidade ao longo do canal descarregador, observa-se que as diferenças relativas aumentam
com o caudal, tendo especial influência nos valores obtidos na proximidade da soleira fictícia.
Tal como expectável, o descarregador com paramento convencional é aquele que apresenta um
melhor ajustamento entre resultados experimentais e numéricos, devido à menor complexidade
do escoamento e consequente facilidade de modelação, comparativamente aos restantes
descarregadores.
Registam-se, para o caso do descarregador com uma parede convergente e ângulo de
convergência de 19,3⁰, as maiores diferenças relativas, verificando-se uma subestimação
generalizada das alturas de escoamento obtidas no presente estudo comparativamente aos
valores obtidos na instalação experimental. Ao analisar resultados experimentais para
descarregadores com largura constante obtidos do estudo de André e Ramos (2003), verificou-
se que existe uma sobrestimação dos valores junto das paredes, relativamente aos valores
obtidos no eixo. A medição das alturas do escoamento junto das paredes com recurso a fitas
métricas, comparativamente à obtenção das alturas no eixo do descarregador com o tubo de
79
Pitot, leva a erros de medição sistemáticos. Esta situação é comprovada para o caso do
descarregador com maior ângulo de convergência, em especial nas alturas do escoamento junto
da parede esquerda, com diferenças relativas médias superiores a 20%.
Relativamente ao estudo do desenvolvimento da onda estacionária oblíqua ao longo do canal
descarregador, concluiu-se que a existência de degraus atenua o seu efeito. Por outro lado, o
aumento do ângulo de convergência das paredes laterais leva a um aumento da largura da onda.
Dos resultados obtidos ao longo dos Capítulos 6 e 7, realça-se a particular importância em
assumir um compromisso entre a qualidade dos resultados e o tempo de cálculo. Esta limitação,
embora necessária, levou a que não se realizassem simulações para malhas mais refinadas.
Esta opção conduziu a situações em que só se obteve convergência da malha para as primeiras
verticais e, em geral, para a região não-arejada dos descarregadores. Embora os resultados
respeitantes às restantes verticais sejam documentados ao longo deste documento, estes devem
ser encarados com muita reserva, pelo facto de não ter sido verificada a independência da malha.
Assim sendo, as análises de sensibilidade tomam um papel essencial na compreensão da
influência de certas opções numéricas sobre os resultados obtidos e na garantia da fiabilidade
desses mesmos resultados. É também importante mencionar que o FLOW-3D® se baseia nas
equações médias de Reynolds, que sendo suficientes para caraterizar as variáveis em estudo,
constituem uma aproximação da realidade.
Num âmbito mais generalizado, os resultados obtidos indicam que o estudo desenvolvido pode
ser considerado como mais um caso de adequabilidade da utilização de modelos CFD para a
simulação de escoamentos em descarregadores de cheias em degraus, em particular na região
não-arejada. De facto, ao longo do processo de calibração e validação, os resultados numéricos
aproximaram-se em geral dos resultados verificados em modelo físico.
80
8.2 Desenvolvimentos futuros
Em termos de recomendações futuras relativas à modelação CFD desenvolvida no âmbito do
estudo do escoamento deslizante sobre turbilhões em descarregadores de cheias com paredes
convergentes, seria interessante proceder ao mesmo tipo de análise para malhas de cálculo com
dimensões mais reduzidas, de modo a simular o escoamento na proximidade da soleira fictícia,
em especial no que respeita à velocidade do escoamento para o paramento com maior
rugosidade. Além disso, existem ainda alguns tópicos de potencial interesse a serem objeto de
estudo:
Aprofundamento do estudo numérico para um conjunto mais alargado de ângulos de
convergência das paredes laterais.
Estudo da dissipação de energia ao longo do canal descarregador.
Desenvolvimento de critérios que permitam uma quantificação mais precisa da largura
da onda estacionária oblíqua.
81
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I
Anexo A Modelos de resolução numérica de turbulência
A.1 Equações médias de Reynolds
As equações de continuidade e de Navier-Stokes para escoamentos variáveis de um fluido
incompressível são definidas pelas Eqs. A.1 e A.2, respetivamente.
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑖
= 0 (A.1)
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑡+ 𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗
= −1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖+ 𝜈 (
𝜕2𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗
2 ) + 𝑔𝑖 (A.2)
onde 𝑢𝑖 e 𝑢𝑗 são as componentes da velocidade nas direções 𝑥𝑖 e 𝑥𝑗; 𝑔𝑖 é a aceleração da
gravidade na direção 𝑖; 𝑝 é a pressão; 𝜈 é a viscosidade cinemática; 𝑡 é a coordenada temporal
e 𝜌 é a massa volúmica.
Para se obterem as equações para valores médios do escoamento aplica-se uma decomposição
de Reynolds às Eqs. A.1 e A.2, segundo a qual as variáveis instantâneas do escoamento são
definidas como a soma de um valor médio (𝑢i̅) e uma componente de flutuação em torno do valor
médio (𝑢𝑖′), de acordo com as Eqs. A.3 e A.4.
𝑢𝑖 = 𝑢i̅ + 𝑢𝑖′ (A.3)
𝑝 = �̅� + 𝑝′ (A.4)
As equações RANS são obtidas substituindo os valores instantâneos das variáveis pela
decomposição de Reynolds, sendo dadas pelas Eqs. A.5 e A.6.
𝜕𝑢i̅𝜕𝑥𝑖
= 0 (A.5)
𝜕𝑢i̅𝜕𝑡+ 𝑢j̅
𝜕𝑢i̅𝜕𝑥𝑗
= −1
𝜌
𝜕�̅�
𝜕𝑥𝑖+𝜕
𝜕𝑥𝑗(𝜈𝜕𝑢i̅𝜕𝑥𝑗
− 𝑢i′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ ) + 𝑔𝑖 (A.6)
Comparando as Eqs. A.1 e A.2 com as equações RANS, Eqs. A.5 e A.6, observa-se o
aparecimento do termo não-linear −𝑢i′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ , conhecido como termo das tensões de Reynolds ou
tensor das tensões turbulentas. Com este novo termo e como não existem equações adicionais
ao sistema, tem-se um sistema de equações indeterminado, gerando o problema de fecho
matemático da turbulência. Para solucionar este problema introduz-se a hipótese de Boussinesq
II
para modelar as tensões de Reynolds. Boussinesq propõe que a formulação do termo de
transporte das tensões turbulentas médias assume analogia às tensões viscosas desenvolvidas
num campo médio (Jiyuan et al., 2008; Meireles, 2011; Eça, 2015b), expresso pela Eq. A.7.
−𝜌𝑢i′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝜇𝑇 (
𝜕𝑢i̅𝜕𝑥𝑗
+𝜕𝑢j̅
𝜕𝑥𝑖) −
2
3𝜌𝑘𝛿𝑖𝑗 (A.7)
em que:
𝜇𝑇 - viscosidade turbulenta (eddy dynamic viscosity);
𝑘 - energia cinética turbulenta (turbulent kinetic energy, TKE);
𝛿𝑖𝑗 - delta de Kronecker (𝛿𝑖𝑗 = 1 para 𝑖 = 𝑗 e 𝛿𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 ≠ 𝑗).
A hipótese de Boussinesq simplifica significativamente o problema de fecho da turbulência,
formulando uma equação para a viscosidade turbulenta. Os modelos de turbulência assentes
nesta hipótese consideram 𝜇𝑇 isotrópico, i.e., que possui as mesmas propriedades
independentemente da direção, dado que a anisotropia da turbulência é difícil de modelar (Eça,
2015b).
A.2 Modelos de turbulência
Os modelos de turbulência consistem em modelos de viscosidade turbulenta e de comprimentos
de mistura que permitem fechar o sistema dado pelas Eqs. A.5 e A.6 (Brederode, 2014). Em
1925, Prandlt sugere que 𝜇𝑇 vem dado por:
𝜇𝑇 = 𝜌𝜐𝑡𝑙𝑚 (A.8)
em que 𝜐𝑡 e 𝑙𝑚 são escalas de velocidade e de comprimento (também designado por
comprimento de mistura) caraterísticas do campo turbulento. Os principais tipos de modelos de
viscosidade turbulenta são os modelos algébricos (ou de zero equações), modelos de uma
equação e modelos de duas equações (Figura A.1).
III
Figura A.1 - Modelos de turbulência (adaptado de Meireles, 2011 in Lúcio, 2015).
Prandlt desenvolveu a primeira formulação de viscosidade turbulenta com a hipótese do
comprimento de mistura, 𝑙𝑚, sendo o modelo algébrico mais conhecido. Este autor sugere que a
escala de velocidade está relacionada com a escala de comprimento, Eq. A.8, sendo
determinados para os valores médios de propriedades do escoamento (Brederode, 2014). Para
alguns escoamentos simples, é possível estabelecer as relações algébricas que definem o
comprimento de mistura e viscosidade turbulenta, expressos pelas Eqs. A.9 e A.10,
respetivamente (Versteeg e Malalasekera, 1995; Brederode, 2014).
𝜐𝑡 = 𝑙𝑚 |𝜕�̅�
𝜕𝑦| (A.9)
𝜇𝑇 = 𝜌𝑙𝑚2 |𝜕�̅�
𝜕𝑦| (A.10)
Trata-se de um modelo simples e de fácil implementação mas com muitas limitações, entre elas
o facto de negligenciar os transportes difusivo e convectivo da turbulência, bem como a taxa de
variação temporal da energia cinética turbulenta (Burnham, 2011b).
Os modelos de uma equação surgem como uma tentativa para minorar os inconvenientes dos
modelos algébricos, resolvendo uma equação diferencial parcial que descreve o transporte de
uma única escala turbulenta, 𝜐𝑡 (Eq. A.11), recorrendo à solução da equação de transporte de
energia cinética turbulenta, 𝑘, usando relações algébricas, Eq. A.12.
IV
A B C D
E
𝜐𝑡 = √𝑘 onde 𝑘 =1
2(𝑢′𝑢′̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑣′𝑣′̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑤′𝑤′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) (A.11)
𝜌 [ 𝜕𝑘
𝜕𝑡⏟+ 𝑢j̅
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗⏟ ] =
𝜕
𝜕𝑥𝑗[(𝜇 +
𝜇𝑇
𝜎𝑘)𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗]
⏟ + [−𝜌𝑢i
′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝜕𝑢i̅
𝜕𝑥𝑗]
⏟ − 𝜌휀⏟ (A.12)
onde 휀 representa a taxa de dissipação energia cinética turbulenta e 𝜎𝑘 é uma constante ajustável
ao modelo. O significado dos termos da equação de transporte de 𝑘 é definido por Versteeg e
Malalasekera (1995) e encontra-se no Tabela A.1.
Tabela A.1 - Termos da equação de transporte de energia cinética turbulenta, 𝑘.
A Taxa de variação de 𝑘
B Transporte de 𝑘 por convecção
C Transporte de 𝑘 por difusão
D Taxa de produção de 𝑘
E Taxa de destruição de 𝑘
A taxa de dissipação de energia cinética turbulenta, 휀, é dada pela Eq. A.13 e, através da Eq.
A.11, é possível relacionar as tensões de Reynolds com 𝜇𝑇 recorrendo à Eq. A.14.
휀 = 𝐶𝐷𝑘3 2⁄
𝑙𝑚 (A.13)
𝜇𝑇 = 𝜌𝑙𝑚√𝑘 (A.14)
em que 𝐶𝐷 é uma constante ajustável ao modelo e que pode tomar valores compreendidos entre
0,07 e 0,09.
O modelo de uma equação é mais robusto e rigoroso que o modelo de comprimento de mistura
de Prandlt, incluindo efeitos de transporte por convecção e difusão, bem como a produção de
energia cinética turbulenta. Como limitações deste modelo a necessidade de o utilizador definir
o comprimento de mistura, sendo o modelo bastante sensível a esta escolha, e, para além disso,
não é o modelo ideal quando se tem escoamentos em torno de geometrias complexas (Burnham,
2011b).
Os modelos de duas equações requerem, para além da resolução da equação de 𝑘, a resolução
de mais uma equação de transporte para a taxa de dissipação, podendo ser a taxa de dissipação
de energia cinética turbulenta, 휀 (constituindo o modelo 𝑘 − 휀), ou a taxa de dissipação de energia
𝜔 (i.e. taxa a que a dissipação de energia ocorre), que constitui o modelo 𝑘 − 𝜔.
Modelo standard 𝒌 − 𝜺
Este é o modelo de turbulência mais utilizado, sendo considerado o modelo padrão industrial,
sendo frequentemente utilizado no cálculo de jatos e escoamentos com transmissão de calor. A
variação “standard 𝑘 − 휀” foi proposta por Launder e Spalding (1974), assumindo que o
V
A B C D E
escoamento é totalmente turbulento e que os efeitos de viscosidade molecular são desprezáveis
em relação à difusão turbulenta. Como escala de velocidades continuam a optar por √𝑘 – tal
como no modelo de uma equação – e a escala de comprimentos é expressa segundo a Eq. A.15.
𝑙𝑚 =𝑘3 2⁄
휀 (A.15)
Neste modelo a viscosidade turbulenta, 𝜇𝑇, pode ser obtida com base nas escalas de velocidade
e comprimento através da seguinte expressão:
𝜇𝑇 = 𝜌𝐶𝜇𝑘2
휀 (A.16)
A energia cinética turbulenta, 𝑘, e a taxa de dissipação 휀, para um escoamento incompressível
são calculadas recorrendo às equações de transporte A.12 e A.17, respetivamente.
𝜌 [ 𝜕𝜀
𝜕𝑡⏟+ 𝑢j̅
𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑗⏟ ] =
𝜕
𝜕𝑥𝑗[(𝜇 +
𝜇𝑇
𝜎𝜀)𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑗]
⏟ + 𝐶1𝜀
𝜀
𝑘[−𝜌𝑢i
′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝜕𝑢i̅
𝜕𝑥𝑗]
⏟ − 𝐶2𝜀𝜌
𝜀2
𝑘⏟ (A.17)
À semelhança da equação de transporte do modelo de uma equação, o significado dos termos
assinalados nas Eqs. A.12 e A.17 de acordo com a definição de Versteeg e Malalasekera (1995)
encontra-se na Tabela A.2. Os valores das constantes para o modelo 𝑘 − 휀 são apresentados no
Tabela A.3.
Como inconvenientes, o modelo standard 𝑘 − 휀 é desaconselhado na simulação de escoamentos
rotacionais, com linhas de correntes curvas e escoamentos com elevada taxa de deformação
(Burnham, 2011b). Para além disso, trata-se de um modelo mais exigente computacionalmente
que os modelos de zero e uma equações.
Modelo RNG 𝒌 − 𝜺
O modelo de turbulência RNG 𝑘 − 휀 proposto por Yakhot et al. (1992) é derivado do modelo 𝑘 −
휀 através de um método de análise estatística denominado de “Renormalized Group” (RNG) do
qual se obtêm as constantes do modelo (Burnham, 2011b; Flow Science, Inc., 2015). Os dois
modelos são similares, no entanto o modelo RNG 𝑘 − 휀 apresenta as seguintes vantagens
(Burnham, 2011b):
A Taxa de variação de 𝑘/휀
B Transporte de 𝑘/휀 por convecção
C Transporte de 𝑘/휀 por difusão
D Taxa de produção de 𝑘/휀
E Taxa de destruição de 𝑘/휀
Constantes standard 𝒌 − 𝜺
𝑪𝝁 0,09
𝝈𝒌 1,0
𝝈𝜺 1,3
𝑪𝟏𝜺 1,44
𝑪𝟐𝜺 1,92
Tabela A.2 - Termos das equações de transporte 𝑘 e 휀. Tabela A.3 - Valores das constantes do modelo
standard 𝑘 − 휀 (Isfahani e Brethour, 2009).
VI
A B C D E
Termo adicional na equação de transporte da taxa de dissipação 휀 que melhora a
precisão dos resultados para fluidos submetidos a variações repentinas de tensão.
Tem em conta os efeitos de viscosidade para escoamentos de turbulência pouco intensa
(baixo número de Reynolds), sendo necessário tratamento apropriado junto das paredes.
Considera o efeito de diferentes escalas de movimento para a difusão da turbulência.
Introduz o efeito do turbilhão (efeito recirculatório) em escoamentos turbulentos,
melhorando a precisão no cálculo de escoamentos turbilhonares.
Mais preciso e fiável para uma maior gama de escoamentos.
As equações de transporte para a energia cinética turbulenta, 𝑘, e para a taxa de dissipação da
energia cinética turbulenta, 휀, definidas para o modelo standard 𝑘 − 휀 sofrem alterações que
conduzem à introdução de termos adicionais e de novos valores das constantes (Tabela A.5)
anteriormente definidas, sendo as expressões dadas pelas Eqs. A.12 e A.18. De salientar que a
única diferença entre as expressões A.17 e A.18 é o termo 𝐶2𝜀∗ , dependente de 𝑘, 휀 e do tensor
das tensões.
𝜌 [ 𝜕𝜀
𝜕𝑡⏟+ 𝑢j̅
𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑗⏟ ] =
𝜕
𝜕𝑥𝑗[(𝜇 +
𝜇𝑇
𝜎𝜀)𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑗]
⏟ + 𝐶1𝜀
𝜀
𝑘[−𝜌𝑢i
′𝑢j′̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝜕𝑢i̅
𝜕𝑥𝑗]
⏟ − 𝐶2𝜀
∗ 𝜌𝜀2
𝑘⏟ (A.18)
A Taxa de variação de 𝑘/휀
B Transporte de 𝑘/휀 por convecção
C Transporte de 𝑘/휀 por difusão
D Taxa de produção de 𝑘/휀
E Taxa de destruição de 𝑘/휀
Constantes RNG 𝒌 − 𝜺
𝑪𝝁 0,085
𝝈𝒌 0,72
𝝈𝜺 0,72
𝑪𝟏𝜺 1,42
𝑪𝟐𝜺∗
função de 𝑘, 휀 e tensor das tensões
Tabela A.4 - Termos das equações de transporte 𝑘
e 휀. Tabela A.5 - Valores das constantes do modelo
RNG 𝑘 − 휀 (Isfahani e Brethour, 2009).
VII
Anexo B Regime permanente
As Figuras A.1 (a) a (d) mostram a evolução de algumas variáveis usualmente definidas na
avaliação da estacionaridade de escoamentos, obtidas diretamente da interface gráfica do
FLOW-3D® (GUI – Graphical User Interface). Os gráficos correspondem a simulações para um
descarregador de paredes com ângulo de convergência de 9,9° e com altura do degrau igual a
5 cm (Q=35 l/s e malha 2). A avaliação da estacionaridade do escoamento é feita para os
primeiros 100 segundos da simulação com modelo de 1ª ordem de iteração da ECQM.
(a) (b)
(c) (d)
Figura B.1 - Monitorização de variáveis de avaliação da estacionaridade do escoamento: (a) energia cinética média do escoamento (J/kg); (b) energia cinética turbulenta média (J/kg); (c) dissipação média da
energia cinética turbulenta (J/kg/s); (d) massa de fluido total (kg).
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0 20 40 60 80 100
En
erg
ia c
iné
tic
a
turb
ule
nta
mé
dia
(J
/kg
)
t (s)
200
250
300
350
400
0 20 40 60 80 100
Massa d
e f
luid
o t
ota
l (k
g)
t (s)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0 20 40 60 80 100
En
erg
ia c
inéti
ca
mé
dia
do
esco
am
en
to (
J/k
g)
t (s)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0 20 40 60 80 100
Dis
sip
ação
méd
ia d
a
en
erg
ia c
inéti
ca t
urb
ule
nta
(J
/kg
/s)
t (s)
VIII
Anexo C Alturas e perfis de velocidade do escoamento no
canal descarregador
Em C.1 a C.4 apresentam-se os valores das alturas de escoamento obtidas experimentalmente
em Cabrita (2007) e obtidas numericamente no presente estudo – ilustradas nas Figuras 7.6 e
7.9 do subcapítulo 7.2.2 – e as respetivas diferenças relativas para o eixo e parede direita do
descarregador, para além da identificação a sombreado das verticais onde se verifica a presença
de ar no seio do escoamento nos ensaios de Cabrita (2007). A diferença 𝛿1 refere-se à diferença
relativa entre a altura do escoamento medida nos ensaios experimentais de Cabrita (2007), hexp,
e a altura obtida numericamente para uma simulação em que se adota o método de aproximação
numérica da equação de conservação da quantidade de movimento de 1ª ordem (designada por
1ª ordem). A diferença 𝛿2 diz respeito à diferença relativa entre a altura do escoamento medida
nos ensaios experimentais e a altura obtida numericamente para uma simulação Restart que
adota aproximações de 2ª ordem com preservação da monotonicidade (designada por 1ª+2ª
ordem).
Em C.4 são apresentados alguns dos perfis de velocidade no canal descarregador em degraus
com hd=2,5 cm e duas paredes convergentes, como complemento aos resultados apresentados
no subcapítulo 7.3.2.
C.1 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o
descarregador em degraus com hd=5,0 cm e duas paredes
convergentes de 9,9⁰
Tabela C.1 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s;
(c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s. (a)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 - 0,0393 0,0414 - - 0,054 0,0400 0,0416 -25,9 -23,0
1 0,11 0,037 0,0331 0,0313 -10,6 -15,4 0,050 0,0381 0,0375 -23,0 -24,3
2 0,22 0,03 0,0319 0,0314 6,4 4,5 0,045 0,0379 0,0398 -15,7 -11,5
3 0,34 0,031 0,0321 0,0278 3,4 -10,3 0,040 0,0377 0,0387 -5,7 -3,2
4 0,45 0,027 0,0324 0,0283 20,1 4,7 0,041 0,0381 0,0383 -5,9 -5,3
5 0,56 0,028 0,0349 0,0274 24,7 -2,2 0,040 0,0387 0,0375 -3,3 -6,2
6 0,67 - 0,0375 0,0304 - - 0,043 0,0386 0,0405 -9,1 -4,8
7 0,78 - 0,0392 0,0311 - - 0,044 0,0402 0,0433 -7,7 -0,4
8 0,89 - 0,0445 0,0338 - - 0,045 0,0448 0,0433 -0,5 -3,7
9 1,01 - - - - - 0,048 - - - -
IX
Tabela C.1 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s;
(c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s (continuação). (b)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 - 0,0468 0,0471 - - 0,061 0,0477 0,0479 -21,8 -21,5
1 0,11 0,043 0,0403 0,0391 -6,3 -9,1 0,060 0,0480 0,0474 -20,0 -21,0
2 0,22 0,0355 0,0379 0,0351 6,7 -1,2 0,053 0,0461 0,0453 -12,2 -13,7
3 0,34 0,036 0,0385 0,0321 7,1 -10,8 0,045 0,0452 0,0449 0,5 -0,2
4 0,45 0,031 0,0386 0,0335 24,6 7,9 0,046 0,0446 0,0475 -3,1 3,2
5 0,56 0,032 0,0401 0,0329 25,4 2,8 0,047 0,0455 0,0443 -2,2 -4,8
6 0,67 0,029 0,0431 0,0359 48,7 23,6 0,048 0,0461 0,0460 -3,9 -4,2
7 0,78 - 0,0458 0,0385 - - 0,050 0,0470 0,0471 -5,9 -5,7
8 0,89 - 0,0517 0,0440 - - 0,053 0,0522 0,0497 -0,5 -5,4
9 1,01 - - - - - 0,057 - - - -
(c)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 - 0,0518 0,0532 - - 0,067 0,0548 0,0567 -18,2 -15,5
1 0,11 0,045 0,0464 0,0460 3,1 2,1 0,068 0,0556 0,0555 -18,2 -18,4
2 0,22 0,039 0,0416 0,0394 6,6 1,1 0,058 0,0514 0,0516 -11,5 -11,1
3 0,34 0,035 0,0419 0,0365 19,7 4,2 0,052 0,0504 0,0476 -3,1 -8,5
4 0,45 0,036 0,0428 0,0371 18,8 3,1 0,052 0,0489 0,0486 -6,0 -6,5
5 0,56 0,035 0,0441 0,0385 26,0 9,9 0,051 0,0486 0,0471 -3,7 -6,7
6 0,67 0,038 0,0470 0,0402 23,6 5,8 0,053 0,0534 0,0505 1,8 -3,8
7 0,78 0,036 0,0507 0,0424 40,9 17,8 0,056 0,0519 0,0531 -6,5 -4,3
8 0,89 0,039 0,0562 0,0472 44,1 21,1 0,059 0,0568 0,0549 -3,0 -6,2
9 1,01 - - - - - 0,063 - - - -
(d)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 - 0,0563 0,0574 - - 0,073 0,0579 0,0591 -20,7 -19,1
1 0,11 0,055 0,0505 0,0503 -8,2 -8,5 0,074 0,0608 0,0606 -17,9 -18,1
2 0,22 0,0435 0,0462 0,0435 6,2 0,0 0,065 0,0566 0,0560 -12,3 -13,2
3 0,34 0,0435 0,0458 0,0416 5,2 -4,3 0,058 0,0547 0,0545 -4,8 -5,2
4 0,45 0,039 0,0463 0,0414 18,6 6,0 0,057 0,0531 0,0537 -6,1 -5,0
5 0,56 0,041 0,0490 0,0432 19,5 5,4 0,055 0,0542 0,0522 -1,5 -5,1
6 0,67 0,04 0,0510 0,0435 27,4 8,7 0,057 0,0548 0,0551 -2,9 -2,5
7 0,78 0,042 0,0550 0,0462 30,7 9,9 0,059 0,0560 0,0552 -5,2 -6,4
8 0,89 0,042 0,0621 0,0512 47,8 21,9 0,061 0,0632 0,0556 4,4 -8,1
9 1,01 0,044 - - - - 0,068 - - - -
X
C.2 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o
descarregador em degraus com hd=2,5 cm de altura e duas
paredes convergentes de 9,9⁰
Tabela C.2 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o
descarregador em degraus de 2,5 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s;
(c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s.
(a)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem
hnum,1ª+2ª
ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 0,049 0,0394 0,0402 -19,6 -18,0 0,055 0,0457 0,0448 -16,2 -17,8
1 0,06 0,044 0,0378 0,0390 -14,0 -11,4 0,060 0,0465 0,0463 -21,9 -22,2
2 0,11 0,033 0,0345 0,0332 4,6 0,7 0,049 0,0421 0,0390 -14,0 -20,4
3 0,17 0,032 0,0325 0,0302 1,4 -5,6 0,048 0,0413 0,0372 -13,0 -21,7
4 0,22 0,029 0,0317 0,0302 9,3 4,2 0,045 0,0401 0,0388 -9,8 -12,9
5 0,28 0,031 0,0309 0,0283 -0,3 -8,7 0,045 0,0411 0,0357 -8,7 -20,6
6 0,34 0,026 0,0315 0,0280 21,3 7,3 0,040 0,0387 0,0371 -3,4 -7,1
7 0,39 0,029 0,0318 0,0280 9,5 -3,4 0,040 0,0381 0,0366 -4,8 -8,4
8 0,45 0,026 0,0325 0,0280 25,0 7,6 0,038 0,0386 0,0356 1,5 -6,2
9 0,50 0,029 0,0338 0,0279 16,4 -3,8 0,041 0,0379 0,0350 -6,3 -13,6
10 0,56 0,026 0,0355 0,0285 36,4 9,7 0,039 0,0381 0,0334 -2,2 -14,4
11 0,61 0,028 0,0366 0,0305 30,8 8,9 0,040 0,0384 0,0342 -4,0 -14,4
12 0,67 0,027 0,0384 0,0301 42,2 11,6 0,039 0,0393 0,0331 0,7 -15,1
13 0,73 0,033 0,0412 0,0319 24,7 -3,3 0,043 0,0392 0,0333 -7,8 -21,8
14 0,78 0,031 0,0429 0,0325 38,5 4,7 0,041 0,0404 0,0328 -1,4 -20,1
15 0,84 0,026 0,0440 0,0344 69,4 32,2 0,044 0,0418 0,0355 -3,9 -18,5
16 0,89 0,025 0,0465 0,0358 86,1 43,2 0,042 0,0433 0,0362 3,2 -13,8
17 0,95 0,028 0,0494 0,0381 76,2 36,1 0,047 0,0441 0,0381 -5,3 -18,0
18 1,01 - 0,0554 0,0410 - - 0,046 0,0503 0,0410 10,4 -9,8
19 1,06 - - - - - 0,053 - - - -
(b)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 0,055 0,0466 0,0469 -15,3 -14,8 0,064 0,0537 0,0531 -16,1 -17,0
1 0,06 0,050 0,0453 0,0445 -9,3 -11,0 0,069 0,0550 0,0539 -19,7 -21,4
2 0,11 0,042 0,0417 0,0396 -0,7 -5,8 0,060 0,0517 0,0490 -13,2 -17,7
3 0,17 0,039 0,0392 0,0372 0,5 -4,7 0,059 0,0496 0,0470 -15,1 -19,7
4 0,22 0,035 0,0385 0,0357 10,0 2,1 0,052 0,0488 0,0457 -6,1 -12,0
5 0,28 0,038 0,0374 0,0352 -1,6 -7,4 0,051 0,0472 0,0451 -7,4 -11,6
6 0,34 0,030 0,0379 0,0347 26,3 15,7 0,049 0,0464 0,0443 -4,3 -8,7
XI
Tabela C.2 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador em degraus de 2,5 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s
(continuação).
(b)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
7 0,39 0,035 0,0382 0,0347 9,1 -0,8 0,048 0,0460 0,0424 -4,2 -11,7
8 0,45 0,033 0,0383 0,0351 16,2 6,2 0,046 0,0455 0,0418 0,0 -8,1
9 0,50 0,033 0,0393 0,0352 19,1 6,8 0,047 0,0450 0,0411 -3,3 -11,5
10 0,56 0,030 0,0413 0,0358 37,6 19,2 0,045 0,0454 0,0410 0,8 -8,8
11 0,61 0,034 0,0427 0,0363 25,5 6,7 0,049 0,0448 0,0410 -8,6 -16,4
12 0,67 0,033 0,0459 0,0371 39,0 12,5 0,047 0,0469 0,0413 0,8 -11,2
13 0,73 0,033 0,0468 0,0390 41,8 18,1 0,048 0,0465 0,0424 -3,2 -11,7
14 0,78 0,031 0,0499 0,0396 60,8 27,6 0,047 0,0479 0,0420 3,1 -9,6
15 0,84 0,034 0,0508 0,0414 49,5 21,9 0,049 0,0484 0,0427 -1,3 -12,8
16 0,89 0,030 0,0541 0,0428 80,3 42,6 0,048 0,0502 0,0432 5,6 -9,0
17 0,95 0,035 0,0572 0,0446 63,4 27,4 0,052 0,0528 0,0440 1,6 -15,5
18 1,01 0,033 0,0635 0,0489 92,6 48,3 0,051 0,0616 0,0471 20,9 -7,7
19 1,06 - - - - - 0,061 - - - -
(c)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 0,063 0,0509 0,0513 -19,2 -18,5 0,069 0,0621 0,0613 -9,4 -10,5
1 0,06 0,057 0,0502 0,0500 -11,9 -12,3 0,079 0,0627 0,0604 -20,2 -23,0
2 0,11 0,049 0,0466 0,0460 -5,0 -6,1 0,071 0,0571 0,0567 -19,0 -19,7
3 0,17 0,049 0,0433 0,0425 -11,7 -13,3 0,068 0,0545 0,0541 -19,9 -20,4
4 0,22 0,049 0,0423 0,0395 -13,7 -19,3 0,061 0,0528 0,0514 -12,7 -15,0
5 0,28 0,043 0,0422 0,0389 -1,8 -9,5 0,060 0,0532 0,0500 -10,6 -16,0
6 0,34 0,036 0,0420 0,0387 16,5 7,5 0,055 0,0531 0,0496 -3,4 -9,8
7 0,39 0,038 0,0420 0,0388 10,4 2,1 0,056 0,0500 0,0482 -9,9 -13,1
8 0,45 0,035 0,0428 0,0389 22,2 11,2 0,051 0,0497 0,0474 -2,6 -7,1
9 0,50 0,038 0,0436 0,0395 14,6 3,9 0,055 0,0491 0,0468 -9,9 -14,1
10 0,56 0,033 0,0456 0,0403 38,3 22,1 0,051 0,0500 0,0464 -2,0 -9,0
11 0,61 0,040 0,0470 0,0416 17,4 3,9 0,054 0,0501 0,0460 -6,4 -13,9
12 0,67 0,036 0,0502 0,0432 39,3 20,0 0,052 0,0515 0,0463 -1,0 -11,0
13 0,73 0,038 0,0510 0,0440 34,3 15,7 0,055 0,0508 0,0460 -7,6 -16,4
14 0,78 0,036 0,0536 0,0458 49,0 27,2 0,052 0,0508 0,0466 -2,2 -10,4
15 0,84 0,038 0,0567 0,0471 49,2 24,0 0,056 0,0542 0,0472 -3,2 -15,8
16 0,89 0,034 0,0582 0,0500 71,2 47,1 0,054 0,0552 0,0498 2,3 -7,7
17 0,95 0,041 0,0615 0,0507 50,1 23,6 0,058 0,0570 0,0500 -0,8 -13,1
18 1,01 0,037 0,0667 0,0564 80,4 52,4 0,060 0,0627 0,0545 5,4 -8,3
19 1,06 - - - - - 0,069 - - - -
XII
Tabela C.2 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o
descarregador em degraus de 2,5 cm de altura e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=42 l/s;
(c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s (continuação).
(d)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 0,070 0,0547 0,0553 -21,2 -20,4 0,076 0,0629 0,06204 -16,7 -17,8
1 0,06 0,062 0,0542 0,0544 -12,5 -12,3 0,085 0,0670 0,06682 -20,7 -20,9
2 0,11 0,054 0,0507 0,0500 -6,1 -7,5 0,077 0,0641 0,06130 -16,7 -20,4
3 0,17 0,050 0,0488 0,0469 -2,3 -6,3 0,076 0,0627 0,05772 -17,5 -24,1
4 0,22 0,045 0,0463 0,0437 2,9 -3,0 0,068 0,0600 0,05556 -11,1 -17,7
5 0,28 0,046 0,0456 0,0428 -0,9 -6,9 0,067 0,0578 0,05441 -13,0 -18,2
6 0,34 0,038 0,0455 0,0426 21,2 13,6 0,059 0,0567 0,05372 -3,9 -9,0
7 0,39 0,043 0,0460 0,0427 7,1 -0,6 0,060 0,0560 0,05281 -6,7 -12,0
8 0,45 0,041 0,0460 0,0431 12,1 5,1 0,057 0,0549 0,05235 -3,7 -8,2
9 0,50 0,042 0,0470 0,0435 11,9 3,7 0,059 0,0542 0,05106 -8,2 -13,5
10 0,56 0,037 0,0500 0,0452 35,0 22,1 0,056 0,0556 0,05059 0,1 -8,8
11 0,61 0,044 0,0506 0,0461 15,1 4,8 0,058 0,0547 0,05041 -4,8 -12,3
12 0,67 0,037 0,0529 0,0471 42,9 27,3 0,055 0,0546 0,05039 -0,8 -8,4
13 0,73 0,044 0,0549 0,0497 24,8 12,9 0,059 0,0548 0,05190 -6,3 -11,3
14 0,78 0,038 0,0583 0,0503 53,4 32,3 0,057 0,0569 0,05200 -0,2 -8,8
15 0,84 0,043 0,0612 0,0515 42,4 19,9 0,061 0,0574 0,05238 -6,0 -14,1
16 0,89 0,038 0,06371 0,0536 67,7 41,0 0,059 0,0586 0,05343 -0,7 -9,4
17 0,95 0,046 0,0667 0,0568 44,9 23,5 0,064 0,0622 0,05813 -2,1 -8,5
18 1,01 0,044 0,0721 0,0628 63,7 42,7 0,065 0,0655 0,06028 0,8 -7,3
19 1,06 - - - - - 0,075 - - - -
XIII
C.3 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o
descarregador com paramento liso e duas paredes
convergentes de 9,9⁰
Tabela C.3 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador liso e duas paredes convergentes: (a) Q=35 l/s; (b) Q=56 l/s.
(a)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 0,042 0,0390 0,0401 -7,1 -4,5 0,050 0,0469 0,0471 -5,2 -4,8
1 0,11 0,034 0,0337 0,0337 -1,0 -0,9 0,053 0,0453 0,0465 -13,7 -11,4
2 0,22 0,027 0,0277 0,0277 2,6 2,6 0,046 0,0409 0,0417 -11,2 -9,5
3 0,34 0,023 0,0225 0,0229 -2,0 -0,5 0,042 0,0366 0,0368 -13,0 -12,5
4 0,45 0,023 0,0205 0,0207 -11,0 -10,1 0,039 0,0359 0,0366 -6,6 -5,0
5 0,56 0,020 0,0191 0,0193 -4,5 -3,6 0,039 0,0356 0,0362 -8,8 -7,2
6 0,67 0,017 0,0184 0,0185 8,0 8,7 0,038 0,0355 0,0361 -5,5 -3,8
7 0,78 0,017 0,0168 0,0166 -1,3 -2,3 0,039 0,0348 0,0347 -9,6 -9,9
8 0,89 0,017 0,0167 0,0164 -1,7 -3,7 0,038 0,0343 0,0351 -9,9 -7,7
9 1,01 0,017 - - - - 0,039 - - - -
(b)
Eixo Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 0,057 0,0538 0,0541 -5,7 -5,0 0,075 0,0664 0,0638 -11,5 -15,0
1 0,11 0,048 0,0467 0,0468 -2,7 -2,5 0,078 0,0620 0,0656 -20,0 -15,4
2 0,22 0,041 0,0395 0,0406 -3,6 -0,9 0,069 0,0591 0,0593 -13,7 -13,4
3 0,34 0,037 0,0355 0,0354 -4,2 -4,4 0,059 0,0537 0,0535 -9,0 -9,4
4 0,45 0,033 0,0321 0,0320 -2,6 -3,0 0,055 0,0517 0,0524 -6,0 -4,7
5 0,56 0,032 0,0305 0,0306 -4,9 -4,4 0,054 0,0495 0,0512 -7,5 -4,3
6 0,67 0,030 0,0294 0,0302 -1,9 0,7 0,053 0,0477 0,0507 -9,1 -3,5
7 0,78 0,030 0,0302 0,0303 0,8 1,1 0,054 0,0478 0,0516 -11,6 -4,5
8 0,89 0,030 0,0317 0,0310 5,8 3,5 0,055 0,0481 0,0490 -11,7 -10,0
9 1,01 0,034 - - - - 0,058 - - - -
XIV
C.4 Diferenças relativas referentes às alturas do escoamento para o
descarregador em degraus com hd=5,0 cm de altura e uma
parede convergente com θ=19,3⁰
Tabela C.4 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e com uma parede convergente (parede direita): (a) Q=35
l/s; (b) Q=42 l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s.
(a)
Parede esquerda Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 0,049 0,0370 0,0370 -24,4 -24,4 - 0,0467 0,0442 - -
1 0,11 0,043 0,0281 0,0276 -34,8 -35,9 0,065 0,0420 0,0408 -35,3 -37,2
2 0,22 0,038 0,0269 0,0276 -29,3 -27,5 0,062 0,0446 0,0486 -28,1 -21,6
3 0,34 0,036 0,0276 0,0271 -23,5 -24,7 0,060 0,0476 0,0530 -20,7 -11,6
4 0,45 0,035 0,0276 0,0276 -21,3 -21,3 0,060 0,0474 0,0535 -21,1 -10,9
5 0,56 0,035 0,0276 0,0271 -21,3 -22,6 0,062 0,0472 0,0544 -23,9 -12,2
6 0,67 - 0,0281 0,0276 - - 0,065 0,0459 0,0551 -29,5 -15,2
7 0,78 0,038 0,0370 0,0276 -2,5 -27,5 0,065 0,0518 0,0585 -20,4 -10,1
8 0,89 0,038 0,0370 0,0279 -2,5 -26,5 0,068 0,0504 0,0558 -25,9 -18,0
9 1,01 0,04 0,0375 0,0339 -6,3 -15,3 0,070 0,0425 0,0541 -39,3 -22,7
(b)
Parede esquerda Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 0,055 0,0463 0,0461 -15,8 -16,2 - 0,0605 0,0637 - -
1 0,11 0,049 0,0373 0,0366 -23,9 -25,3 0,075 0,0564 0,0538 -24,8 -28,3
2 0,22 0,045 0,0370 0,0325 -17,7 -27,7 0,073 0,0596 0,0552 -18,3 -24,4
3 0,34 0,042 0,0370 0,0276 -11,8 -34,4 0,070 0,0613 0,0596 -12,4 -14,9
4 0,45 0,041 0,0370 0,0280 -9,7 -31,7 0,065 0,0606 0,0591 -6,8 -9,1
5 0,56 0,041 0,0370 0,0280 -9,7 -31,7 0,070 0,0594 0,0604 -15,2 -13,7
6 0,67 - 0,0370 0,0370 - - 0,075 0,0600 0,0691 -20,0 -7,9
7 0,78 0,04 0,0375 0,0370 -6,3 -7,4 0,075 0,0558 0,0687 -25,6 -8,4
8 0,89 0,038 0,0373 0,0370 -1,9 -2,5 0,075 0,0532 0,0741 -29,0 -1,1
9 1,01 0,045 0,0557 0,0375 23,7 -16,7 0,078 0,0644 0,0659 -17,4 -15,5
XV
Tabela C.4 - Diferenças relativas entre as alturas do escoamento experimentais e numéricas para o descarregador em degraus de 5,0 cm de altura e com uma parede convergente (parede direita): (a) Q=35
l/s; (b) Q=42 l/s; (c) Q=49 l/s; (d) Q=56 l/s (continuação).
(c)
Parede esquerda Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 0,059 0,0552 0,0558 -6,4 -5,4 - 0,0687 0,0677 - -
1 0,11 0,056 0,0469 0,0463 -16,3 -17,3 0,090 0,0671 0,0661 -25,4 -26,5
2 0,22 0,05 0,0463 0,0462 -7,4 -7,6 0,080 0,0715 0,0744 -10,7 -7,0
3 0,34 0,047 0,0463 0,0373 -1,5 -20,7 0,075 0,0729 0,0687 -2,8 -8,5
4 0,45 0,045 0,0375 0,0373 -16,7 -17,2 0,072 0,0649 0,0720 -9,9 -0,1
5 0,56 0,043 0,0375 0,0373 -12,8 -13,3 0,078 0,0642 0,0707 -17,7 -9,4
6 0,67 - 0,0462 0,0373 - - 0,080 0,0707 0,0711 -11,7 -11,2
7 0,78 0,042 0,0468 0,0467 11,3 11,2 0,080 0,0677 0,0812 -15,4 1,4
8 0,89 0,043 0,0555 0,0468 29,1 8,7 0,080 0,0739 0,0808 -7,7 1,0
9 1,01 0,047 0,0563 0,0557 19,8 18,4 0,085 0,0668 0,0873 -21,4 2,8
(d)
Parede esquerda Parede direita
Vertical L hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2 hexp hnum,1ª ordem hnum,1ª+2ª ordem δ1 δ2
(m) (m) (m) (m) (%) (%) (m) (m) (m) (%) (%)
0 0,00 0,065 0,0558 0,0558 -14,2 -14,2 0,0711 0,0719 - -
1 0,11 0,061 0,0463 0,0469 -24,1 -23,2 0,100 0,0708 0,0706 -29,2 -29,4
2 0,22 0,055 0,0463 0,0463 -15,8 -15,8 0,090 0,0734 0,0748 -18,4 -16,9
3 0,34 0,052 0,0462 0,0462 -11,1 -11,1 0,085 0,0748 0,0803 -12,0 -5,5
4 0,45 0,049 0,0462 0,0375 -5,6 -23,5 0,080 0,0742 0,0720 -7,3 -10,0
5 0,56 0,048 0,0374 0,0372 -22,1 -22,5 0,085 0,0635 0,0710 -25,3 -16,5
6 0,67 0,048 0,0462 0,0375 -3,7 -21,9 0,085 0,0723 0,0722 -15,0 -15,0
7 0,78 0,049 0,0468 0,0383 -4,6 -21,9 0,090 0,0682 0,0735 -24,2 -18,3
8 0,89 0,056 0,0555 0,0469 -0,9 -16,3 0,090 0,0746 0,0796 -17,1 -11,5
9 1,01 - 0,0563 0,0557 - - 0,095 0,0706 0,0900 -25,7 -5,2
XVI
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
C.5 Perfis de velocidade no canal descarregador com paramento em
degraus com hd=2,5 cm e duas paredes convergentes para
Q=42 l/s
As diferenças relativas médias (em valor absoluto) entre a simulação Restart e os valores
experimentais são de 6,9%, 9,8%, 6,7%, 5,1%, 1,9%, 1,2%, 3,2%, 4,3% e 5,4% nas verticais 1,
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 e 17, respetivamente.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figura C.1 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 2,5 cm de altura para Q=42 l/s: (a) vertical 1; (b) vertical
3; (c) vertical 5; (d) vertical 7; (e) vertical 9; (f) vertical 11; (g) vertical 13; (h) vertical 15; (i) vertical 17.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (m
)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3y
(m
)V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
XVII
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
(g) (h) (i)
Figura C.1 - Comparação entre perfis de velocidade experimentais e numéricos no canal descarregador com duas paredes convergentes e degraus com 2,5 cm de altura para Q=42 l/s: (a) vertical 1; (b) vertical
3; (c) vertical 5; (d) vertical 7; (e) vertical 9; (f) vertical 11; (g) vertical 13; (h) vertical 15; (i) vertical 17 (continuação).
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.5 1 1.5 2 2.5 3
y (
m)
V (m/s)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
Cabrita (2007)
XVIII
Anexo D Ondas estacionárias oblíquas no descarregador
com paredes convergentes
Apresenta-se em seguida a metodologia utilizada para a definição da largura das ondas
estacionárias oblíquas apresentadas no subcapítulo 7.2.3 para o caso do descarregador em
degraus com 5,0 cm de altura com duas paredes convergentes, modelação de todo o domínio
computacional e para um caudal de 49 l/s. O processo descrito é análogo para todos os degraus
e será apresentado a título de exemplo a obtenção da largura de onda no degrau 4.
Introduzindo um ficheiro .case da simulação efetuada no FLOW-3D® no programa ParaView e
definindo uma secção (slice) para a vertical 4 com direção ortogonal à soleira fictícia (ver Figura
D.1), o ParaView cria um ficheiro de coordenadas .csv com a definição das alturas de
escoamento dessa secção.
Figura D.1 - Esquema da secção transversal do escoamento na vertical 4 do descarregador em degraus com duas paredes convergentes (hd=5,0 cm; Q=49 l/s).
Processando os valores obtidos do ParaView é possível obter a secção transversal para a vertical
desejada, apresentada na Figura D.2. Uma vez que este descarregador tem duas paredes
convergentes com o mesmo ângulo relativamente ao vértice da soleira, o canal descarregador é
simétrico, pelo que y=0 corresponde ao eixo de simetria da secção transversal. Atendendo a que
não ocorre intersecção das ondas, analisou-se apenas a da parede direita (gama de valores
negativos de y).
Figura D.2 - Alturas de escoamento ao longo da secção transversal da vertical do descarregador em degraus com duas paredes convergentes (hd=5,0 cm; Q=49 l/s).
00.005
0.010.015
0.020.025
0.030.035
0.040.045
0.05
-0.35 -0.25 -0.15 -0.05 0.05 0.15 0.25 0.35
h (m)
y (m)
1ª ordem
1ª+2ª ordem
XIX
Na Figura D.3 é apresentada a diferença das alturas do escoamento na vertical em estudo para
a simulação Restart, admitindo-se como valores centrais uma zona definida a partir do eixo do
descarregador até 𝑦 igual a −0,1 𝑚. Os valores das diferenças relativas encontram-se
apresentados na Tabela D.1, encontrando-se a sombreado a gama de valores centrais em
relação à qual se calcularam as diferenças percentuais.
Figura D.3 - Diferença das alturas do escoamento na vertical 4 em relação ao valor médio da secção transversal (-0,1m < y < 0).
Tabela D.1 - Alturas do escoamento na secção transversal da vertical 4 e respetivas diferenças percentuais em relação ao valor médio.
y (m) h (m) δmédia (%) y (m) h (m) δmédia (%) y (m) h (m) δmédia (%)
-0,25012 0,04849 32,7 -0,17168 0,03751 2,6 -0,08312 0,03669 0,4
-0,25367 0,04843 32,5 -0,15834 0,03688 0,9 -0,06667 0,03677 0,6
-0,24144 0,04840 32,4 -0,16660 0,03717 1,7 -0,07479 0,03674 0,5
-0,24524 0,04840 32,4 -0,14999 0,03691 1,0 -0,05834 0,03673 0,5
-0,23303 0,04722 29,2 -0,15815 0,03688 0,9 -0,06646 0,03677 0,6
-0,23724 0,04755 30,1 -0,14165 0,03711 1,5 -0,05005 0,03646 -0,2
-0,22498 0,04584 25,4 -0,14982 0,03692 1,0 -0,05813 0,03672 0,5
-0,22912 0,04639 26,9 -0,13333 0,03735 2,2 -0,04174 0,03600 -1,5
-0,21693 0,04442 21,5 -0,14155 0,03712 1,6 -0,04981 0,03645 -0,3
-0,22077 0,04521 23,7 -0,12740 0,03748 2,5 -0,03345 0,03551 -2,8
-0,20834 0,04285 17,2 -0,13330 0,03735 2,2 -0,04145 0,03599 -1,5
-0,20926 0,04289 17,3 -0,12500 0,03753 2,7 -0,02496 0,03531 -3,4
-0,20662 0,04267 16,7 -0,12501 0,03753 2,7 -0,03319 0,03550 -2,9
-0,21256 0,04386 20,0 -0,11667 0,03762 2,9 -0,01649 0,03607 -1,3
-0,19927 0,04182 14,4 -0,11670 0,03762 2,9 -0,02472 0,03533 -3,3
-0,20012 0,04194 14,8 -0,10833 0,03764 3,0 -0,00828 0,03701 1,3
-0,19133 0,03991 9,2 -0,10837 0,03764 3,0 -0,01623 0,03611 -1,2
-0,19113 0,03986 9,1 -0,10000 0,03754 2,7 -0,00079 0,03747 2,5
-0,19114 0,03986 9,1 -0,10001 0,03754 2,7
-0,18322 0,03847 5,3 -0,09171 0,03705 1,4
-0,18332 0,03848 5,3 -0,09905 0,03748 2,5
-0,17498 0,03773 3,2 -0,08333 0,03669 0,4
-0,17504 0,03774 3,3 -0,09161 0,03704 1,3
-0,16669 0,03718 1,7 -0,07500 0,03674 0,5
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
-0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0
δ(%
)
y (m)
XX
Atendendo ao critério estabelecido em 7.2.3 (valor sombreado a rosa na Tabela D.1) e sabendo
a largura do canal na vertical 4, é facilmente determinável o valor da largura de onda nesta
vertical, dado por:
𝐿 = 𝑙𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙,4 − 𝑦 ⇔ 𝐿 = [0,35 − tan 9,9×0,4] − |−0,15834| = 0,1218 𝑚 (E.1)
em que:
𝐿 - largura da onda estacionária oblíqua;
𝑙𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙,4 - largura de metade do canal descarregador para a vertical 4.
Da Figura D.2 é também possível concluir que a simulação em que se adotam aproximações da
ECQM de 1ª ordem (designada por 1ª ordem) não é capaz de reproduzir o escoamento esperado
numa secção transversal de um descarregador com paredes convergentes, dado não
desenvolver uma onda estacionária oblíqua e, por conseguinte, sobrestimar o valor da altura do
escoamento no eixo. Como já mencionado anteriormente, este método de aproximação numérica
da equação de conservação da quantidade de movimento é incapaz de reproduzir corretamente
os efeitos de 2ª ordem, caraterísticos de escoamentos mais complexos.
Nos estudos de Cabrita (2007) conclui-se que, para o caso dos descarregadores com duas
paredes convergentes, a parede esquerda apresenta sempre (excetuando o caudal de 49 l/s no
descarregador com paramento convencional) valores de largura de onda superiores aos obtidos
na parede direita. Na Figura D.4 são apresentados os valores experimentais para ambas as
paredes do descarregador com θ=9,9⁰ e para o caudal de 35 l/s, conjuntamente com os obtidos
numericamente para a parede direita (que se admitem ser iguais aos da parede esquerda devido
à condição de simetria imposta nesta configuração do canal descarregador). Verifica-se que os
resultados numéricos se encontram mais próximos dos obtidos experimentalmente na parede
esquerda. Na comparação entre os resultados numéricos e os obtidos experimentalmente
(apresentada no capítulo 7.4) serão usados os valores experimentais obtidos na parede
esquerda, parede essa que apresenta a situação mais conservadora em relação à altura do
escoamento.
Figura D.4 - Comparação das larguras da onda estacionária oblíqua obtidas experimental e
numericamente ao longo do descarregador que adota a configuração A (Q=35 l/s; hd=5,0cm).
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.00 0.11 0.22 0.34 0.45 0.56 0.67 0.78 0.89 1.01
L' (m
)
L (m)
Presente estudo
Cabrita (2007), parede esq.
Cabrita (2007), parede dir.