modelagem computacional de problemas de difusão de nêutrons
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MODELAGEM COMPUTACIONAL DE PROBLEMAS DE DIFUSÃO DE
NÊUTRONS EM MEIOS MULTIPLICATIVOS EM GEOMETRIA RETANGULAR
CARTESIANA BIDIMENSIONAL
Nozimar do Couto
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS
EM ENGENHARIA NUCLEAR.
Aprovada por:
________________________________________________Prof. Fernando Carvalho da Silva, D.Sc.
________________________________________________Prof. Ricardo Carvalho de Barros, Ph.D.
________________________________________________Prof. Antonio Carlos Marques Alvim, Ph.D.
________________________________________________Prof. Aquilino Senra Martinez, D.Sc.
________________________________________________Dr. Marco Antonio Bayout Alvarenga, D.Sc.
________________________________________________Prof. Ruben Panta Pazos, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
MARÇO DE 2003
ii
COUTO, NOZIMAR DO
Modelagem Computacional de Problemas
de Difusão de Nêutrons em Meios Multiplica -
tivos em Geometria Retangular Cartesiana Bi -
dimensional [Rio de Janeiro] 2003
VIII, 118 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc.,
Engenharia Nuclear, 2003)
Tese - Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1. Difusão de Nêutrons Multigrupo
2. Modelagem Computacional
3. Malha Grossa Bidimensional
I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )
iii
DEDICATÓRIA
A minha linda Mãe Ednéa,A minha bela Beatriz Sigaud,
A todas as crianças do Mundo,
Que tenham uma vida prospera e cheia de alegrias.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos que de alguma maneira sempre contribuíram para minha
felicidade, contribuíram para a minha formação profissional, social e moral. Pessoas que
sempre me deram muito prazer em estar ao lado delas, fosse nos momentos felizes ou
tristes, fosse durante o amor, os estudos ou o lazer.
Contra as injustiças sociais, raciais e econômicas; agradeço em especial:
A minha família; irmãos, irmã e sobrinhos e sobrinhas que me apoiaram sempre e
sonham chegar tão longe quanto possível.
Aos meus orientadores Ricardo Carvalho de Barros e Fernando Carvalho da Silva,
pela dedicação, valiosas discussões, boa orientação e apoio sincero.
A Historiadora e vencedora Giovana Xavier C. Cortes pela atenção, colaboração,
compreensão e apoio nos momentos difíceis que davam vontade de desistir.
Aos amigos Hermes Alves Filho, Alexandre Santos Francisco e Jean Marie Desir
que conhecendo as dificuldades pelas quais já passaram sempre me apoiaram.
Aos meus amigos da Eletronuclear S.A. , Marcio Dornellas Machado, Jorge Luiz
Chapot e Enio Vanni, com os quais aprendi o valor de uma boa convivência.
Também, a Sidinei Freire, Vanderlei Borba Fernandez, Teresinha Ipojuca, Claudio
Freire, Regina Coeli, Angelo Salermo, por vários bons anos de convívio profissional
e pessoal.
Aos amigos de longa data, Jorge Ricardo Diniz, Amilton Machado, Carla Varella,
Carla Kildes, etc..., que sempre me convidaram para uma boa prosa e bons
momentos de distração e relaxamento em apoio a confecção desta Tese.
v
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
MODELAGEM COMPUTACIONAL DE PROBLEMAS DE DIFUSÃO DE
NÊUTRONS EM MEIOS MULTIPLICATIVOS EM GEOMETRIA RETANGULAR
CARTESIANA BIDIMENSIONAL
Nozimar do Couto
Março / 2003
Orientadores: Fernando Carvalho da Silva
Ricardo Carvalho de Barros
Programa: Engenharia Nuclear
É fato conhecido que a teoria da difusão é tradicionalmente aplicada a cálculos
globais de reatores nucleares térmicos. Com base nas aplicações bem sucedidas do
método espectro-nodal de difusão (END) a problemas unidimensionais, propomos um
método espectro-nodal de difusão bidimensional em geometria xy para cálculos globais
de reatores nucleares. Neste método a equação da continuidade e a lei de Fick são
integradas transversalmente em cada direção espacial de um dado nodo arbitrário,
obtendo-se assim um sistema de equações “unidimensionais” acopladas pelos termos de
fuga transversal. A estas equações “unidimensionais” com aproximações constantes
para os termos de fuga transversal aplicamos uma extensão do método END. Usamos
equações auxiliares especiais, que apresentam parâmetros que são determinados de
forma a preservarem as soluções gerais analíticas das equações “unidimensionais” e que
são determinadas através de uma análise espectral. Portanto, com as condições de
continuidade nas interfaces dos nodos e com o uso das condições de contorno, obtemos
um sistema determinado de equações discretizadas para os fluxos médios nas faces dos
nodos a cada estimativa do autovalor dominante nas iterações externas de potência.
Ainda que o método END bidimensional não seja livre de erro de truncamento espacial,
ele gerou bons resultados para os problemas-modelo que simulamos.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of therequirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
COMPUTATIONAL MODELLING FOR DIFUSION OF NEUTRONS PROBLEMS
INSIDE NUCLEAR MULTIPLYING MEDIUM ON BIDIMENSIONAL
CARTESIAN RECTANGULAR GEOMETRY
Nozimar do Couto
March / 2003
Advisors: Fernando Carvalho da Silva
Ricardo Carvalho de Barros
Department: Nuclear Engineering
Diffusion theory is traditionally applied to nuclear reactor global calculations.
Based on the good results generated by the one-dimensional spectral nodal diffusion
(SND) method for benchmark problems, we offer the SND method for nuclear reactor
global calculations in X,Y geometry. In this method, the continuity equation and Fick’s
law are transverse integrated in each spatial direction leading to a system of two
“one-dimensional” equations coupled by the transverse leakage terms. We then apply
the SND method to numerically solve this system with constant approximations for the
transverse leakage terms. We perform a spectral analysis to determine the local general
solution of each “one-dimensional” nodal equation with flat approximation for the
transverse leakages. We used special auxiliary equations with parameters that are to be
determined in order to preserve the analytical general solutions in the numerical
algorithm. By considering continuity conditions at the node interfaces and appropriate
boundary conditions, we obtain a solvable system of discretized equations involving the
node-edge average scalar fluxes at each estimate of the dominant eigenvalue (keff) in the
outer power iterations. As we considered approximations to the transverse leakages, the
SND method is not free of spatial truncation errors. Nevertheless, it generated good
results for the typical model problems that we considered.
vii
ÍNDICE DO TEXTO
Pág.
DEDICATÓRIA iii
AGRADECIMENTOS iv
RESUMO v
ABSTRACT vi
ÍNDICE DO TEXTO vii
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO
I-1 Histórico do Tema 1
I-2 Motivações e Objetivos da Tese 5
I-3 Resumo do Conteúdo da Tese 6
CAPÍTULO II - MODELAGEM MATEMÁTICA
II-1 Equação da Difusão na formulação geral e no estado estacionário a partir
da equação de transporte de nêutrons 7
II-2 Caso Unidimensional 15
II-3 Caso Bidimensional 15
CAPÍTULO III - MÉTODO NUMÉRICO ESPECTRO-NODAL PARA
PROBLEMAS DE DIFUSÃO A UMA VELOCIDADE E UMA DIMENSÃO
III-1 Equações Discretizadas 17
III-2 Algoritmos de Solução 21
III-3 Resultados Numéricos 23
CAPÍTULO IV - MÉTODO NUMÉRICO ESPECTRO-NODAL CONSTANTE
PARA PROBLEMAS DE DIFUSÃO A UMA VELOCIDADE E DUAS
DIMENSÕES
IV-1 Equações de Diferença 27
IV-2 Esquemas Iterativos 41
viii
IV-3 Resultados Numéricos 48
CAPÍTULO V - CONDIÇÕES DE CONTORNO TIPO ALBEDO E BUCKLING
AXIAL GEOMÉTRICO APLICADO AO MÉTODO NUMÉRICO ESPECTRO-
NODAL CONSTANTE PARA PROBLEMAS DE DIFUSÃO A UMA
VELOCIDADE E DUAS DIMENSÕES
V-1 Condição de Contorno Tipo Albedo 69
V-2 Buckling Axial Geométrico para Simulação de Resultados
em Três Dimensões 77
CAPÍTULO VI - MÉTODO NUMÉRICO ESPECTRO-NODAL PARA
PROBLEMAS DE DIFUSÃO MULTIGRUPO E UMA DIMENSÃO
VI-1 Equações Discretizadas 81
VI-2 Algoritmos de Solução 89
VI-3 Resultados Numéricos e Fundamentos do Método Numérico
Espectro-Nodal Constante para Problemas de Difusão Multigrupo
e Duas Dimensões 90
CAPÍTULO VII - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS
FUTUROS
VII-1 Conclusões 98
VII-2 Sugestões para Trabalhos Futuros 105
APÊNDICE A – CÁLCULO DA DENSIDADE DE POTÊNCIA 106
APÊNDICE B - DETERMINAÇÃO DO PARÂMETRO DA CONDIÇÃO DE
CONTORNO TIPO ALBEDO
B-1 Determinação do Parâmetro Albedo: Uma Região 110
B-2 Determinação do Parâmetro Albedo: Duas Regiões 112
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 116
1
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
I-1 Histórico do Tema
Na operação de reatores nucleares de potência é de fundamental importância
conhecer e monitorar a distribuição da população de nêutrons no interior de elementos
combustíveis nucleares, com o intuito de sustentar e controlar de maneira segura
reações de fissão em cadeia, que são a base do processo de geração de calor visando à
geração de energia elétrica. Com a modelagem da distribuição neutrônica, portanto,
podemos mensurar o fluxo de nêutrons e a distribuição de potência do reator, que deve
ser uniformemente distribuída para assegurar condições normais de operação de um
reator nuclear.
A interação nêutron-nuclear pode se dar por vários processos que, em geral,
caracterizam-se pela formação do composto nêutron-núcleo em estados excitados de
energia e pelos diferentes mecanismos de decaimentos para estados com níveis de
energia mais baixos. Esses processos são resultados das interações de absorção e
espalhamento. Os eventos de absorção de nêutrons caracterizam-se pela desexcitação
do composto nêutron-núcleo através da emissão de radiação ou partículas, que não
sejam os nêutrons, processo denominado captura radiativa ou ainda através da
fragmentação do composto, processo denominado fissão nuclear, que libera energia em
forma de energia cinética dos dois ou mais fragmentos nucleares e de outros nêutrons.
Outras reações menos prováveis podem ocorrer, e.g., reações com emissão de partículas
carregadas: (n,p), (n,2p), (n,alfa), etc...Os eventos de espalhamento de nêutrons
caracterizam-se pela desexcitação parcial ou total do composto nêutron-núcleo após a
emissão de um nêutron pelo núcleo composto. O espalhamento pode ser inelástico ou
elástico. A probabilidade com que essas interações nêutron-nucleares ocorrem no
interior do domínio de um meio material é medida por quantidades definidas como
seções de choque nucleares e são avaliadas teórica ou experimentalmente.
Em análise de reatores nucleares térmicos de potência várias técnicas são
utilizadas para modelar a distribuição de nêutrons e é fato conhecido que aproximações
de baixa ordem são normalmente empregadas para a modelagem do fenômeno de
transporte de nêutrons. A aproximação classicamente utilizada é a teoria da difusão
2
multigrupo. O modelo matemático de transporte de nêutrons é descrito por uma
equação integro-diferencial parcial linear, que considera que os nêutrons interagem com
o meio sem alterar sua estrutura e não interagem entre si [13]. A equação de transporte
representa, portanto, um balanço entre produção e perda de nêutrons, sendo que, em sua
generalidade, ela é uma equação dependente de sete variáveis: três espaciais, duas
angulares, uma de energia e uma temporal. Por outro lado, na aproximação da difusão,
a equação apresenta uma redução do número de variáveis independentes de sete para
cinco: três espaciais, uma de energia e uma temporal. Classicamente, a variável de
energia, que é uma variável contínua, é tratada de forma discretizada em G intervalos
contíguos denominados grupos de energia (g = 1:G), sendo convencional considerar g
crescente para energia decrescente. Este método de discretização é conhecido como
método multigrupo [13,14] e transforma a equação da difusão de nêutrons em um
sistema de G equações acopladas pelos termos de fonte de fissão e espalhamento. Do
ponto de vista computacional, a aproximação da difusão é menos robusta que o modelo
de transporte. Matematicamente, esta aproximação gera restrições na dependência
angular da densidade de nêutrons. Fisicamente estas restrições podem ser sintetizadas
em duas premissas fundamentais: (a) os processos de espalhamento devem ser
dominantes nas interações dos nêutrons com o meio, isto é, o meio material tem que se
apresentar fracamente absorvedor de nêutrons; (b) a fluência dos nêutrons deve ocorrer
longe de fontes localizadas e de descontinuidades materiais, pois nestas regiões do
domínio espera-se maior anisotropia no processo de transporte. Contudo, a teoria da
difusão tem sido amplamente usada em análises de reatores nucleares e, em geral,
considerada mais satisfatória do que se poderia esperar teoricamente. Em algumas
situações, em reatores nucleares de potência, onde ocorrem grandes gradientes, a
aproximação da difusão pode falhar, como por exemplo, em regiões dos reatores
térmicos onde barras de controle estão inseridas.
Portanto, é fato conhecido que um extensivo conhecimento da distribuição
espacial de potência é necessário em projeto e análise de reatores nucleares. Para tanto,
a alternativa de se adotarem limites operacionais mais restritos e técnicas conservativas
de projeto, leva a uma pobre utilização e degradação da eficiência da planta. Uma boa
resposta a essas questões passa a ser o desenvolvimento de métodos teóricos mais
sofisticados e potencialmente capazes de gerar as informações necessárias. O aumento
da precisão das predições teóricas contribuem economicamente para projetos menos
conservativos e com margem de operação mais relaxada.
3
Ademais, em razão da complexidade ou até da impossibilidade do tratamento
analítico completo da equação da difusão utilizada para modelar a distribuição de
nêutrons em reatores nucleares, métodos numéricos são desenvolvidos e aplicados à
equação da difusão em dada geometria. Esses métodos numéricos discretizam as
variáveis espaciais e usam vários esquemas diretos e iterativos para resolver o sistema
de equações algébricas resultantes. A variável energia é tratada pela aproximação
multigrupo. A variável espacial pode ser discretizada por métodos de malha fina, e.g.,
métodos de diferenças finitas (DF) [15]; métodos de malha média, e.g., métodos de
elementos finitos [21,5] ou os métodos de malha grossa, e.g., os métodos nodais [3].
Em esquemas de diferenças finitas, aproximações de baixa ordem são usadas
para representar os termos de fuga. Estes métodos possuem várias vantagens sobre
muitos outros tipos de esquemas, e.g., eles são conceitualmente simples e as equações
algébricas resultantes apresentam uma regularidade com fraco acoplamento entre
pontos. Outra propriedade muito importante é que eles convergem para a solução exata
das equações da difusão multigrupo no limite do espaçamento de malha inifinitamente
fino. A única desvantagem real dos esquemas de diferenças finitas é que malhas
espaciais muito finas são sempre necessárias para atingir uma boa precisão , e essa
necessidade de malha muito fina leva a um número muito grande de incógnitas, e assim,
a um excessivo esforço computacional para problemas multidimensionais. Entretanto,
as soluções geradas pelos métodos de diferenças finitas, em grade espacial fina, podem
ser tomadas como soluções de referência a serem comparadas aos resultados gerados
por outros métodos mais avançados.
Técnicas de elementos finitos têm sido aplicadas para resolução das equações da
difusão multigrupo. Nos métodos de elementos finitos, a forma espacial dos fluxos
multigrupo são representadas por polinômios sobre grandes regiões homogêneas.
Princípios variacionais são geralmente usados para determinar as equações que
especificam os coeficientes dos polinômios. É possível se atingir uma substancial
redução no número de incógnitas espaciais, para um dado grau de precisão, em relação
aos métodos de diferenças finitas. Os esquemas de elementos finitos também
convergem para a solução exata das equações da difusão multigrupo no limite de
espaçamento de malha inifinitamente fino. A maior desvantagem é que os
acoplamentos das equações de elementos finitos são muito mais extensivos do que nas
equações de diferenças finitas. Então, em geral a vantagem de se reduzir o número de
incógnitas é reduzida pela desvantagem do grande esforço computacional exigido para
4
resolver as equações dicretizadas resultantes. Técnicas de geração de malhas podem ser
usadas para aliviar esta desvantagem.
Uma classe de métodos numéricos bastante utilizada, desde os anos 70, para se
resolverem numericamente as equações da difusão multigrupo é a classe dos métodos
nodais, que partem do pressuposto que o núcleo de um reator possa ser decomposto em
sub-regiões, relativamente grandes, denominadas nodos, e eles estão calcados na
hipótese de que os parâmetros nucleares são considerados uniformes no interior do
nodo. As quantidades envolvidas em grande parte dos métodos nodais são os fluxos
médios de nêutrons em dado grupo de energia no interior de grandes regiões espaciais
(nodos) e as correntes médias nas faces dos nodos. A dificuldade que se encontra nos
métodos nodais é a obtenção de boas relações entre os fluxos médios no nodo e as
correntes médias nas faces. Vários esquemas que propõem diferentes relações têm sido
propostos ao longo desses 30 anos [2]. Uma vez estabelecidas essas relações entre os
fluxos médios no nodo e as correntes médias nas faces desses nodos, equações com
estruturas similares às equações dos métodos de diferenças finitas podem ser
construídas. Deste modo, os métodos nodais possuem muito da arquitetura simples dos
métodos de diferenças finitas, enquanto oferecem uma substancial redução do número
de incógnitas por razão de precisão. Assim, sistemáticos esquemas para se
determinarem os acoplamentos espaciais fluxo-corrente podem ser desenvolvidos e os
métodos nodais surgem como eficientes técnicas de resolução numérica das equações da
difusão multigrupo em cálculos de malha grossa.
Duas classes convencionais de métodos nodais têm tido boa aplicabilidade na
resolução numérica das equações da difusão multigrupo. A classe dos métodos que
usam expansões polinomiais dos fluxos e correntes tem produzido soluções precisas,
e.g., o método de expansão nodal (Nodal Expansion Method– NEM) [10], que utiliza
correntes de interface e fluxos médios no nodo, e o método de expansão de fluxo (Flux-
Expansion Method – FEM) [9], que utiliza fluxos pontuais determinados nos pontos
médios dos lados e no centro do nodo. As expansões polinomiais podem ser
quadráticas, cúbicas, etc...e é esperado, conforme se aumentam os graus dos polinômios
de expansão, que se aumente a precisão dos resultados. Em contrapartida aumenta-se
também o esforço computacional. A classe dos métodos nodais analíticos (Analytic
Nodal Method – ANM) [18], que emprega soluções analíticas das equações da difusão
multigrupo integradas transversalmente para se determinarem os acoplamentos
espaciais, considerando conhecidos os termos de fuga, e.g, o método QUANDRY [19],
5
que expande os termos de fuga transversal em polinômios quadráticos, e os métodos
espectro-nodais, tema de contribuição deste trabalho de tese.
I-2 Motivações e Objetivos da Tese
Diante do histórico apresentado verificamos que, com o avanço da tecnologia
mundial e uma crescente preocupação com a segurança industrial e porteção do meio
ambiente, a área nuclear vem desenvolvendo mecanismos teóricos e práticos que em
conjunto visam a garantir segurança de suas instalações. No que diz respeito aos
reatores nucleares, ao longo do tempo, vários métodos numéricos vêm sendo
desenvolvidos, contribuindo com os seus refinamentos e sofisticação, para um bom
controle da operação das unidades geradoras de potência nuclear e conseqüentemente
contribuindo para a segurança do indivíduo e do planeta. Seguindo esta linha diretora,
introduzimos nesta tese uma nova família de métodos numéricos contida na classe dos
métodos nodais analíticos para, em paralelo com o grande avanço e facilidades
computacionais atuais, oferecermos uma ferramenta alternativa para cálculos globais de
reatores nucleares térmicos segundo o modelo de difusão de nêutrons. Esta nova
família de métodos é a família dos métodos espectro-nodais de difusão. Portanto, o
nosso objetivo é apresentarmos mais uma possibilidade para modelar a distribuição dos
nêutrons no interior de um meio multiplicativo, de maneira supostamente precisa e
eficiente, contribuindo assim para uma operação segura de uma unidade nuclear.
O método que nós propomos é um método que tem sua essência em trabalhos
anteriores desenvolvidos por Barros e Larsen [6,7], onde uma análise espectral é feita
nas equações de transporte de ordenadas discretas (SN) integradas transversalmente no
interior de cada nodo para aplicação em problemas de penetração profunda. Em
seguida, a aplicação deste método espectro-nodal para problemas de autovalor
unidimensionais de difusão foi proposto por Barros [4] para os casos a uma velocidade e
com dois grupos de energia. O enfoque diretor deste trabalho de tese é a extensão de
métodos espectro-nodais para problemas multidimensionais de difusão de nêutrons, e
este enfoque constitui a originalidade deste trabalho.
6
I.3 Resumo do Conteúdo da Tese
Nesta seção apresentamos um breve resumo do conteúdo do trabalho contido nos
próximos capítulos. No Capítulo II apresentamos a modelagem matemática e uma
discussão sucinta sobre as bases do desenvolvimento e aplicabilidade da teoria da
difusão de nêutrons em cálculos globais de reatores nucleares, que nos motivou e nos
levou ao desenvolvimento de um método numérico espectro-nodal de difusão (método
END). No Capítulo III apresentamos o desenvolvimento e aplicação do método
espectro-nodal para solução numérica da equação da difusão aplicada a problemas
unidimensionais de autovalor a uma velocidade (denominamos o método para este caso
método END1D1G). No Capítulo IV apresentamos o desenvolvimento matemático e os
resultados da aplicação do método espectro-nodal a problemas de difusão a uma
velocidade e duas dimensões, com aproximações constantes nos termos de fuga
transversal (denominamos o método para este caso método END2D1G-CN). No
Capítulo V descrevemos as condições de contorno tipo albedo aplicadas, de forma não
convencional, a problemas de difusão a uma velocidade e duas dimensões. Os
Capítulos IV e V sintetizam o clímax da contribuição desta tese. No Capítulo VI
apresentamos o desenvolvimento e aplicação do método espectro-nodal para solução
numérica de problemas de autovalor unidimensionais aplicado à equação da difusão de
nêutrons multigrupo (denominamos o método para este caso método END1D2G).
Também apresentamos o desenvolvimento dos fundamentos do método espectro-nodal
para solução numérica de problemas de autovalor bidimensionais aplicando a equação
da difusão de nêutrons multigrupo bidimensional com aproximações constantes nos
termos de fuga transversal (denominamos para o caso de dois grupos de energia método
END2D2G-CN). Encerramos no Capítulo VII, com as nossas conclusões e sugestões
para trabalhos futuros.
7
CAPÍTULO II
MODELAGEM MATEMÁTICA
II-1 Equação da Difusão na formulação geral e no estado estacionário a partir
da equação de transporte de nêutrons
Neste capítulo apresentaremos uma discussão sucinta sobre as bases do
desenvolvimento e aplicabilidade da teoria da difusão de nêutrons em cálculos globais
de reatores nucleares, que nos motivou e nos levou ao desenvolvimento de um método
numérico espectro-nodal de difusão.
A teoria da difusão, sendo uma teoria aproximada da teoria de transporte, tem
uma validade restrita para a descrição do fluxo de nêutrons devido a várias suposições
que se assumem em sua derivação, tais como [13,20]: i) absorção muito menor do que o
espalhamento; ii) espalhamento fracamente anisotrópico; iii) a taxa temporal da
densidade de corrente de nêutrons é muito mais lenta que a freqüência de colisão ,i.e.,
muda suavemente no tempo, entre outras. Em um reator nuclear a primeira suposição é
satisfeita para a maioria dos moderadores, refrigerantes e materiais estruturais, mas
falha na região de combustível e elementos de controle; a segunda condição é satisfeita
para espalhamento de núcleo de massa atômica muito alta. A terceira condição é
satisfeita numa escala de tempo comparável ao tempo médio de colisão, cuja freqüência
é tipicamente da ordem de 10-5 s-1 ou mais, apenas uma variação temporal muito rápida
da corrente invalidaria esta condição. Estas suposições nos fazem perguntar como pode
a teoria da difusão ser usada em física de reatores uma vez que um reator nuclear é
constituído de milhares de diferentes pequenos componentes, muitos deles altamente
absorvedores, com dimensões da ordem de poucos livres caminhos médios ou menos de
um livre caminho médio. O segredo é que uma teoria de transporte mais precisa é usada
para fazer funcionar a teoria da difusão, onde se esperaria que ela falhasse. Em uma
grande região, muitos desses pequenos componentes são substituídos por uma mistura
homogeneizada com seções de choque médias e coeficientes de difusão efetivos, e
assim criando um modelo computacional para o qual a teoria da difusão seja válida.
Elementos de controle altamente absorvedores são representados por seções de choque
efetivas da teoria da difusão que reproduzem as taxas de absorção da teoria de
transporte.
8
A teoria de transporte modela de forma supostamente precisa a distribuição dos
nêutrons no domínio de um reator nuclear, i.e., fornece-nos uma descrição do
movimento dos nêutrons no interior do núcleo do reator. Este movimento também pode
ser visto como um processo de difusão, onde assume-se que os nêutrons tendem a se
difundir de regiões de alta densidade neutrônica para regiões de baixa densidade. Como
já mencionado, este processo de difusão tem sua validade limitada.
Através da equação de balanço, podemos quantificar a variação temporal da
densidade n de nêutrons, com energia E, num volume arbitrário V na posição dada pelo
vetor rr, viajando na direção Ω , pelo balanço entre os processos de produção,
(espalhamento, fissão ou fonte externa), e os processos de perda dos nêutrons (fuga
líquida do domínio e absorção pelos núcleos). Isto é
( ) perdaproduçãotErnt
−=Ω∂∂
,ˆ,,r . (II.1.1)
Classificando e escrevendo expressões matemáticas para os processos de ganho e de
perda em termos da densidade angular ( )tErn ,ˆ,, Ωr
, ou equivalentemente, em termos do
fluxo angular ( ) ( )tErvntEr ,ˆ,,,ˆ,, Ω=Ωrr
ϕ , onde v é a velocidade dos nêutrons, nós
chegamos à familiar equação de transporte de nêutrons [13],
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tErStErtEEdEdtErtErtv st ,ˆ,,,ˆ,, ,ˆˆ, ˆ,ˆ,, ,,. ˆ1 ''
0
'''
4
' Ω+ΩΩ→Ω→ΣΩ=ΩΣ+∇Ω+∂∂
∫∫∞
rrrrrϕϕϕϕ
π
, (II.1.2)
onde
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) extf StErtEdEdE
tErS +ΩΣΩ=Ω ∫∫∞
,ˆ,, ,E ˆ4
,ˆ,, ''
0
''
4
' rr ϕυπ
χ
π
. (II.1.3)
Observamos que a equação de transporte (II.1.2) tem sete variáveis independentes: três
espaciais; duas angulares; uma energética e uma temporal e, também notamos que as
seções de choque macroscópicas podem depender da posição rr
, da energia E e do tempo
t. Estas características tornam complexa a resolução desta equação quando aplicada a
um sistema realístico como núcleos de reatores nucleares cujas estruturas são em geral
não-uniformes, incluindo estruturas ressonantes, que complicam a dependência
energética das seções de choque [13,20].
Condições iniciais e de contorno apropriadas devem ser levadas em conta na
resolução da equação (II.1.2) e, estas dependerão do problema de interesse, tais como
por exemplo: para a condição inicial é conveniente fazermos
9
( )
Ω=Ω ˆ,', 0,ˆ,, 0 ErErrr ϕϕ para todo r
r, E e Ω , (II.1.4)
onde ϕ0 é o valor do fluxo angular de nêutrons no instante inicial t = 0. Para a condição
de contorno podemos supor
( ) 0 0,ˆ,, =ΩErsrϕ , (II.1.5)
para todo ponto srr
na superfície convexa S, para evitar que nêutrons que saiam do
domínio não entrem em outro ponto pela superfície S. Outras condições iniciais e de
contornos podem ser convenientemente aplicadas, como discutiremos a posteriori .
Diante da difícil tarefa de resolvermos analiticamente a equação de transporte de
nêutrons (II.1.2), algumas considerações adequadas são introduzidas para se obter uma
teoria aproximada capaz de representar de forma bem realística a análise neutrônica de
um reator nuclear. Uma teoria aproximada e tradicionalmente bastante adequada, é a
teoria da difusão.
Em geral, nas análises de reatores nucleares térmicos, não se leva em conta a
explícita dependência angular. Em outras palavras, considerando que o fluxo angular
depende fracamente da direção Ω de movimento dos nêutrons, e efetuando integrações
angulares na equação de transporte, obtemos a equação da continuidade de nêutrons,
que aparece como
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tErStErtEEEdtErtErtErJtv st ,,,, , ,, ,,,, .
1
0
rrrrrrr+′→′Σ′=Σ+∇+
∂∂
∫∞
φφφ. (II.1.6)
Aqui, diferentemente da equação de transporte (II.1.2), temos duas incógnitas: o fluxo
escalar e a corrente, a serem determinadas. Ao eliminarmos duas variáveis,
acrescentamos uma nova incógnita e, quando multiplicamos a equação de transporte
por Ω e fazemos integrações angulares, mais uma vez chegamos à equação
correspondente para a densidade de corrente, que carrega mais uma incógnita (se
seguirmos este processo sucessivas vezes, surgirão outras incógnitas). Assim obtemos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tErStErJtEEEdtErJtErtErdt
J
v st
ð
,,,, , ,,,,,ˆ,,ˆˆˆ .1
1
04
rrrrrrrrr
+′→′Σ′=Σ+ΩΩΩΩ∇+∂∂
∫∫∞
ϕ , (II.1.7)
onde
( ) ( )trSdtrSð
,ˆ,ˆˆ,4
1 ΩΩΩ≡ ∫rr
. (II.1.8)
Expandindo o fluxo angular de forma linearmente anisotrópica, escrevemos o segundo
termo da equação (II.1.7) da seguinte maneira
10
( ) ( )tErtErdð
,ˆ,,3
1,ˆ,,ˆˆˆ .
4
Ω∇≅ΩΩΩΩ∇ ∫rrrr
φϕ . (II.1.9)
A equação da densidade de corrente (II.1.7), com o segundo termo substituído pela
aproximação (II.1.9), juntamente com a equação da continuidade (II.1.6), formam as
equações da aproximação P1 dependentes da energia. E se assumirmos que o termo de
fonte é isotrópico de modo que o termo S1 possa ser desprezado, e também que a
derivada temporal da corrente é muito pequena em comparação aos demais termos da
equação da densidade de corrente (II.1.7), chegamos à seguinte relação conhecida como
lei de Fick
( ) ( ) ( )tErErDtErJ ,,,,,rrrrr
φ∇−= . (II.1.10)
Substituíndo da lei de Fick na equação da continuidade (II.1.6), chegamos à equação da
difusão dependente da energia
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tErStErEEEdtErErErDtv st ,,,, ,, ,, .
1
0
rrrrrrr+′→′Σ′=Σ+∇∇−
∂∂ ∫
∞
φφφφ , (II.1.11)
que representa uma aproximação da equação de transporte de nêutrons, e é comumente
utilizada nos códigos computacionais para cálculos globais de reatores nucleares
térmicos. O fato de os nêutrons poderem ser gerados no processo de fissão e povoarem
o núcleo do reator num amplo espectro contínuo de energia da ordem de 107 a 10-2 eV,
difículta a resolução desta equação, e normalmente faz-se um tratamento discretizado da
energia, i.e., dividindo seu domínio em grupos contíguos de largura finita. Essa
discretização é a base da derivação das equações da difusão multigrupo, e é bastante
conhecido que cálculos de reatores nucleares térmicos com poucos grupos de energia
podem modelar com boa precisão o transporte dos nêutrons.
A partir da integração em um dado grupo de energia (Eg<E<Eg-1) da equação da
difusão explicitamente dependente da energia (II.1.11), obtemos as equações de difusão
multigrupo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trStrrtrrtrrtrrDt
tr
v gggfgggggsgRggg
g
g
G
g
g
g
,,,, , .,1
1
1
1
rrrrrrrrrrrr
+Σ+Σ=Σ+∇∇−∂
∂∑∑=′
−
=′′′′′′ φυχφφφ
φ, (II.1.12)
para g = 1:G. Na equação (II.1.12), consideramos o termo de fonte de forma explícita,
fonte de fissão mais fonte externa, onde
11
( ) ( ) ( )rrr sggtgRgrrr
Σ−Σ≡Σ (II.1.13)
é definida como a seção de choque de remoção, que caracteriza a probabilidade de o
nêutron ser removido do grupo g por uma colisão, e
( ) ( )∫−
≡
1
,,,
g
g
g
E
E
tErdEtrrr
φφ (II.1.14)
é o fluxo de nêutrons no grupo g e os demais parâmetros são as constantes de grupo.
Uma vez que a equação da difusão multigrupo (II.1.12) tem derivadas no espaço
e tempo, fica evidente que ela precisará de condições iniciais e de contorno adequadas
para completar as especificações de um problema particular de interesse. Analogamente
ao caso geral da teoria de transporte, consideramos certas condições de contorno e
iniciais, tais como:
(i) a condição inicial da difusão pode ser obtida a partir da condição inicial da
teoria de transporte, fazendo uma integração no ângulo Ω . Isto nos leva a
( ) ( )rr ggrr 00, φφ = , para todo r
r pertencente ao domínio; (II.1.15)
(ii) as condições de contorno podem ser separadas em condições de contorno
externo e de interface. As condições de interface surgem nas interfaces entre duas
regiões adjacentes, e garantem a conservação de nêutrons através das interfaces e mais
uma vez, partindo da teoria de transporte, estas condições corresponderão à
continuidade de fluxo e de corrente, isto é
( ) ( )trtr igig ,, 21 rrφφ = , (II.1.16)
( ) ( )trJtrJ igig ,, 21 rrrr= , (II.1.17)
onde os índices numéricos correspondem às regiões adjacentes 1 e 2 respectivamente, e
irr um ponto na interface.
As condições de contorno externo são convencionalmente tratadas de três
diferentes maneiras: (i) condição tipo vácuo – aqui admitimos que nenhum nêutron que
saia através da superfície do contorno retorne ao domínio, uma vez que no exterior da
superfície exista vácuo; (ii) condição tipo fluxo nulo – neste caso admitimos que o fluxo
escalar seja nulo exatamente no contorno e (iii) condição tipo albedo – numa situação
prática, os meios multiplicativos dos reatores são normalmente circundados por
materiais refletores usados para reduzir a fuga de nêutrons. No intuito de retirar a região
12
refletora dos cálculos globais dos reatores, introduz-se um coeficiente de reflexão ou o
parâmetro albedo que é definido como a razão entre a corrente parcial de saída e a de
entrada do refletor [13].
No método numérico que oferecemos nesta tese, essas condições de contorno
são utilizadas de maneira não convencional, como por exemplo, a determinação do
parâmetro da condição de contorno tipo albedo não é feita através da razão entre
correntes parciais, uma vez que nós trabalhamos diretamente com os fluxos escalares
determinados nas faces bidimensionais dos nodos da grade espacial estabelecida no
domínio. Maiores detalhes sobre as condições de contorno de albedo não convencional
são encontradas no Capítulo V desta tese. Outro exemplo, é na condição de contorno
tipo fluxo nulo, onde nós não impomos que o fluxo no contorno seja igual a zero, mas
atribuímos ao parâmetro associado a esta condição de contorno valores tão grandes
quanto possíveis, que de maneira inversamente proporcional force o fluxo tender a zero.
Doravante neste trabalho de tese, a condição de fluxo de valor muito baixo no contorno
é denominada condição de contorno tipo “fluxo nulo”.
Para bem modelar os fenômenos físicos que ocorrem dentro do núcleo de um
reator nuclear, por sua vez, o fluxo escalar de nêutrons a partir da teoria da difusão,
conforme concebida, deve exibir certas propriedades matemáticas. Ele deve ser uma
quantidade obviamente real e não-negativa.
Em geral a aplicação da teoria da difusão em cálculos práticos de reatores
nucleares nos fornece o comportamento da distribuição dos nêutrons no núcleo a partir
dos parâmetros materiais do meio e, é de interesse da análise, que o processo de fissão
em cadeia seja sustentado na ausência de fonte externa, isto é, que o reator mantenha-se
crítico no sentido em que, exista um balanço equilibrado entre a multiplicação de
nêutrons e a perda por absorção que não induza fissão e fuga do núcleo. Diante da
dificuldade de se determinar a composição material perfeita que, em conjunto às
dimensões e geometria do núcleo, possa conseguir a criticalidade, introduz-se em geral
um parâmetro arbitrário k, de modo que para certos valores deste parâmetro a equação
da difusão multigrupo no estado estacionário
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑=′
Σ+
−
=′
Σ=Σ+∇∇− ′′′′′
G
g
rrk
g
g
rrrrrD ggfgggggsgRggg
1
11
1
.rrrrrrrrr
φυχφφφ , (II.1.18)
terá solução positiva. Essa busca de criticalidade nos leva a típicos problemas de
autovalor que geram uma seqüência infinita de autovalores de criticalidade k(n). Desse
13
conjunto de autovalores, em termos práticos, apenas é considerado o dominante, que
corresponderá à configuração crítica do reator se k
g′υ , (g’=1:G), nêutrons prontos com
energia no grupo g, (g = 1:G), forem gerados a partir da fissão induzida por nêutrons do
grupo g’. o valor k é definido como fator de multiplicação efetivo de nêutrons e é
denotado por keff .
No caso de uma situação realística de cálculo global de um reator nuclear,
pesquisas de criticalidade são feitas através de métodos numéricos usados para resolver
a equação da difusão, que na forma de uma equação matricial de autovalor, aparece
como
gggg Fk
M φφ 1= . (II.1.19)
Aqui o operador Mg carrega os processos de perda dos nêutrons mais os de
espalhamento, enquanto que o operador Fg representa a fonte de fissão.
Algoritmicamente o fator de multiplicação efetivo, após uma dada estimativa e a
determinação das autofunções, é atualizado aplicando-se o convencional método de
potência [15], para convergência da autofunção fundamental que é definida como o
fluxo escalar φg(r) de nêutrons e o autovalor dominante k(1) que é definido como o fator
de multiplicação efetivo keff. O esquema iterativo utilizado nas estimativas do fluxo
escalar, considerando conhecido o lado direito da equação da difusão caracteriza as
iterações internas, enquanto que o utilizado na estimativa do fator de multiplicação
caracteriza as iterações externas. O número n de iterações para que a convergência seja
atingida pode ser limitado por critérios pré-estabelecidos a partir do desvio relativo
entre os valores gerados nas iterações de ordem n e n-1, para resolver o problema de
difusão
)(
)(
)1( 1 n
n
ngg S
kM =+φ
, (II.1.20)
isto é
ε<− −
)(
)1()(
n
nn
k
kk . (II.1.21)
A partir da equação da difusão multigrupo (II.1.18), assumindo que os nêutrons
possam ser caracterizados por uma única energia ou velocidade, isto é, fazendo G = 1
14
chegamos à conhecida equação da difusão de nêutrons a uma velocidade independente
do tempo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrk
rrrD feff
a
rrrrrrrφυφφ Σ=Σ+∇∇−
1 . (II.1.22)
onde verificamos que,
( ) ( ) ( )rrr sta
rrrΣ−Σ=Σ (II.1.23)
e, o coeficiente de difusão é definido como
( ) ( )rrD
t
rr
Σ−≡
3
1 . (II.1.24)
A equação (II.1.22) desempenha um importante papel na teoria de reatores, e devido a
sua forma simples, ela nos permite estudar muitos conceitos importantes na análise de
reatores nucleares. Ainda que a equação da difusão a uma velocidade carregue
limitações devido à suposição de que todos os nêutrons deslocam-se com uma mesma
energia, contrariando à realidade conhecida de eles poderem ser gerados no processo de
fissão em um largo e contínuo espectro energético, as estimativas quantitativas do
autovalor dominante e das autofunções podem ser boas.
Em nosso trabalho, motivados pelos bons resultados da aplicação do método a
problemas unidimensionais, propomos um novo método numérico analítico espectro-
nodal para a equação da difusão em geometria bidimensional Cartesiana. Consideramos
os nodos homogêneos, i.e., os coeficientes de difusão e as seções de choque são
considerados constantes, como também consideramos a ausência de fonte externa.
Assim, baseados na teoria da difusão apresentada acima, as equações da difusão
multigrupo aparecem como
( ) ( ) ( ) ( )∑∑=′
−
=′′′′′′ Σ+Σ=Σ+∇−
G
g
g
g
rk
rrrD ggfgggggsgRggg
1
1
1
2 1
rrrr φυχφφφ , (II.1.25)
e assumem as diferentes formas para casos particulares como apresentamos nas seções
seguintes
15
II-2 Caso Unidimensional
No caso monoenergético (G = 1), temos a seguinte equação da difusão
( ) ( ) ( )xk
xxdx
dD fa φυφφ Σ=Σ+−
1
2
2
. (II.2.1)
No caso de multigrupo, a equação é do tipo
( ) ( ) ( ) ( )∑∑=′
−
=′′′′′′ Σ+Σ=Σ+−
G
g
g
g
xk
xxxdx
dD ggfgggggsgRggg
1
1
12
2 1 φυχφφφ , (II.2.2)
onde g = 1:G .
II-3 Caso Bidimensional
A um grupo de energia, a equação da difusão assume a forma
( ) ( ) ( ) ( )yxk
yxyxy
Dyxx
D fa ,1
, , , 2
2
2
2
φυφφφ Σ=Σ+∂∂
−∂∂
− , (II.3.1)
e no caso multigrupo, a equação aparece como
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑=′
−
=′′′′′′ Σ+Σ=Σ+
∂∂
−∂∂
−G
g
g
g
yxk
yxyxyxy
Dyxx
D ggfgggggsgRggggg
1
1
12
2
2
2
,1
,, , , φυχφφφφ . (II.3.2)
As condições de contorno serão aplicadas a essas equações com base nos
conceitos apresentados acima.
No caso unidimensional o método espectro-nodal não apresenta erro de
truncamento, pois não é feita aproximação em sua derivação tanto a um grupo quanto
no caso multigrupo de energia. Neste último caso, nós apresentaremos resultados para
dois grupos de energia. Já no caso bidimensional o método apresenta uma e única
aproximação que é feita nos termos de fugas transversais e, nós apresentaremos
resultados para casos monoenergéticos.
16
CAPÍTULO III
MÉTODO NUMÉRICO ESPECTRO-NODAL PARA PROBLEMAS DE
DIFUSÃO A UMA VELOCIDADE E UMA DIMENSÃO
Com o objetivo de apresentarmos a essência do desenvolvimento do método
END2D1G-CN, oferecido nesta tese, apresentamos neste capítulo o desenvolvimento e
aplicação do método espectro-nodal para solução numérica da equação da difusão
aplicada a problemas unidimensionais de autovalor a uma velocidade (END1D1G). Para
a derivação das equações constitutivas do método, nós faremos integrações ao longo da
direção espacial na equação da continuidade e na equação da lei de Fick no interior de
cada nodo com o objetivo de chegarmos a expressões cujas incógnitas sejam as
autofunções nos cantos dos nodos de uma grade espacial arbitrária localizada no
domínio do problema. Resumindo, a descrição do método é a seguinte: 1) faremos
integrações, no interior de um nodo espacial arbitrário, na equação da continuidade e na
equação da lei de Fick, o que nos fornecerá duas equações discretizadas de balanço de
nêutrons contendo seis incógnitas, correntes e fluxos nos cantos dos nodo e correntes
médias e fluxos médios no interior do nodo; 2) lançamos mão de uma equação auxiliar
que relaciona fluxo médio a fluxos nos cantos do nodo e, de outra que relaciona corrente
média com correntes nos cantos do nodo; 3) completando o sistema, utilizamos duas
outras equações que relacionam corrente aos fluxos nos cantos dos nodos de contorno:
as equações de contorno; 4) resolvemos o sistema encontrando expressões para as
correntes nos cantos de todos os nodos em função dos fluxos nos cantos dos nodos; 5)
usaremos a propriedade da continuidade de corrente nas interfaces de nodos adjacentes
para obtermos as equações espectro-nodais de difusão (END).
17
III-1 Equações Discretizadas
Consideramos uma grade unidimensional arbitrária Ωx no interior de um
domínio de altura H, como representado na Figura III.1.1
ΩIΩ i
hi0 H
x1/2 x3/2 xi-1/2 xi+1/2 xI-1/2 xI+1/2Ω1
Figura III.1.1 - Grade unidimensional Ωx no interior de um domínio de altura H.
Assumindo como constantes os parâmetros materiais no interior de um dado
nodo Ωi, i =1:I, de espessura hi , nós escrevemos as seguintes equações da continuidade
e da lei de Fick
)(1
)()( xk
xxJdx
dfiai φνφ Σ=Σ+ , (III.1.1)
)()( xdx
dDxJ i φ−= , para xi-1/2 ≤ x ≤ xi+1/2 , (III.1.2)
e, conseqüentemente a equação da difusão
)(1
)()(2
2
xk
xxdx
dD fii ai φνφφ Σ=Σ+− . (III.1.3)
Aplicando o operador
∫+
−
⋅2/1
2/1
1i
i
x
xh dx
i (III.1.4)
às equações (III.1.1) e (III.1.2), obtemos as seguintes equações discretizadas
ifiiaii kh
JJ ii ΦΣ=ΦΣ+− −= ν12/12/1
, (III.1.5)
iii h
DJ ii 2/12/1 −= −−=
φφ , (III.1.6)
onde definimos as seguintes quantidades médias:
∫+
−
≡Φ2/1
2/1
)(1i
i
x
xh dxx
ii φ ; (III.1.7)
como o fluxo médio no interior do nodo e
18
∫+
−
≡
2/1
2/1
)(1i
i
x
xh dxxJJ
ii , (III.1.8)
como a corrente média no interior do nodo.
Para cada nodo espacial, as equações (III.1.5) e (III.1.6) formam um conjunto de
duas equações e seis incógnitas envolvendo quantidades nos cantos do nodo e
quantidades médias no interior do nodo. E com o objetivo de assegurar a unicidade da
solução, utilizamos duas equações auxiliares: uma para o fluxo médio e a outra para a
corrente média no interior do nodo. Portanto, escrevemos
( )φφγ
2/12/12
)(
−++≡Φ ii
ii
k , (III.1.9)
( )JJJ iii
i
k
2/12/12
)(
−+ +≡γ
, (III.1.10)
onde o parâmetro γi(k), que é função do autovalor k, é colocado na equação de maneira
a preservar a solução geral analítica [4] da equação da difusão (III.1.3). Este parâmetro
é determinado a partir da definição (III.1.7) e, considerando a seguinte expressão para
uma solução elementar
)/exp()()( ξξφ xax = (III.1.11)
onde ξ são os autovalores locais que são obtidos substituindo a equação (III.1.11) na
equação da difusão (3). Isto é,
fiai
il
l
k
D
Σ−Σ−= +
νξ 1
)1( 1 , l = 1:2, (III.1.12)
que podem ter valores reais ou imaginários puros conforme o denominador da raiz seja
maior ou menor que zero. Então, o parâmetro γi(k) assume as seguintes expressões
Σ>Σ
Σ−Σ
Σ−Σ
Σ<Σ
Σ−Σ
Σ−Σ
=
. 1
,
1
2
12
1,
1
2
12
)(
fiaii
fiaii
fiai
i
i
fiaii
aifii
aifi
i
i
i
kDkh
tgh
k
D
h
kDkh
tg
k
D
h
k
νν
ν
νν
ν
γ (III.1.13)
Determinados os parâmetros γi(k), o que dá consistência às equações auxiliares (III.1.9)
e (III.1.10), e que são substituídas nas equações obtidas a partir da integração no interior
19
de um nodo das equações (III.1.1) e (III.1.2), nós chegamos a um conjunto de duas
equações que relacionam as correntes e os fluxos nos cantos do nodo arbitrário. Essas,
juntamente com as equações de contorno, formarão um sistema de equações lineares
cuja solução será livre de erro de truncamento espacial, isto é
( ) ( )φφγν
φφγ
2/12/12/12/12/12/1 2
)(
2
)(−+−+−+ +=+
ΣΣ+−
ii
ifii
ii
iaiiii
khkhJJ , (III.1.14)
( )φφγ 2/12/12/12/1 )(
2−+−+ −
−=+
iiii
iii kh
DJJ , (III.1.15)
2/12/1 φαTJ −= , (III.1.16)
2/12/1 ++ = IBIJ φα , (III.1.17)
onde os parâmetros αT (topo) e αB (base) são obtidos conforme o tipo de condição de
contorno adequada ao problema.
Usando a continuidade de corrente nas interfaces dos nodos, chegamos às
expressões
Σ
+
Σ+
Σ+
Σ
=
Σ−
−
Σ++
Σ+
+
Σ−−
++++
++++
−
++++
++
+
++++
++
+
−
2/3111
2/1111
2/1
2/3111
11
1
2/1111
11
1
2/1
4
)(
4
)(
4
)(
4
)(
1
4
)(
)(
4
)(
)(4
)(
)(
4
)(
)(
iiifi
iiifiiifi
iiifi
iiiai
ii
i
iiiai
ii
iiiai
ii
i
iiiai
ii
i
kh
khkhkh
k
kh
kh
D
kh
kh
Dkh
kh
D
kh
kh
D
φγν
φγνγν
φγν
φγ
γ
φγ
γγ
γ
φγ
γ
, (III.1.18)
com i = 1 : (I-1). Nos contornos fazemos i = 1 na expressão que obtemos para a
corrente Ji-1/2 quando subtraímos a equação (III.1.14) da equação (III.1.15) e usamos
(III.1.16). Portanto, obtemos
( ) . 4
)(1
4
)(
)(
4
)(
)(
2/32/1
111
2/3111
11
12/1
111
11
1
+
Σ
=
Σ−−
+
Σ+
φφγν
φγ
γφα
γγ
kh
k
kh
kh
Dkh
kh
D
f
aT
a
(III.1.19)
20
Fazendo i = I na expressão que obtemos para a corrente Ji+1/2 quando somamos a
equação (III.1.14) com a equação (III.1.15) e usamos (III.1.17), podemos escrever
( ) . 4
)(1
4
)(
)(
4
)(
)(
2/12/1
2/12/1
+
Σ
=
+
Σ++
Σ−−
−+
+−
II
IIfI
IBIIaI
II
II
IIaI
II
I
kh
k
kh
kh
Dkh
kh
D
φφγν
φαγ
γφ
γγ
(III.1.20)
Esse conjunto de equações de diferença (III.1.18), (III.1.19) e (III.1.20) formam
um sistema tridiagonal de I+1 equações lineares com I+1 incógnitas, que são os fluxos
escalares de nêutrons nos cantos dos nodos, tendo estimativas para o autovalor
dominante k conhecidas e, são referidas como as equações espectro-nodais de difusão
(END). Na seção seguinte descreveremos os métodos de solução das equações END e
de obtenção das estimativas do autovalor fundamental k pelo método convencional de
potência.
21
III-2 Algoritmos de Solução
Para solução das equações END, nós utilizaremos algoritmos clássicos. Para a
determinação das autofunções nós utilizamos o método de Eliminação de Gauss com
substituição recuada, adequado para sistemas simétricos e tridiagonais, e para a
convergência do autovalor dominante k , que para o caso de pesquisa de criticalidade
em problemas de difusão, define-se como o fator de multiplicação efetivo de nêutrons,
keff, utilizamos o método iterativo de potência. Assim escrevemos:
i) método de eliminação de Gauss [15]
Seja o sistema yAx = com a matriz A tridiagonal
=
NN ba
cba
cb
A
.....
222
11
. (III.2.1)
Dividindo a primeira equação por b1
=
MMOO
3
2
11
3
2
1
333
222
11 /
/ 1
y
y
by
x
x
x
cba
cba
bc
. (III.2.2)
Agora, multiplicamos a primeira equação por a2 e subtraímos da segunda. Depois,
dividimos esta segunda equação pelo segundo elemento da diagonal principal e, assim
sucessivamente, repetindo este processo, a equação matricial será reduzida a
=
−−−
N
N
N
NN
p
p
p
p
p
x
x
x
x
x
h
h
h
h
1
3
2
1
1
3
2
1
1
3
2
1
1
1
1
1
MM
O
OO , (III.2.3)
onde hi e pi satisfazem as seguintes fórmulas de recorrência
11
11 ,
−−==
jjj
jj hab
ch
b
ch , para j = 2:N-1, (III.2.4)
1
1
1
11 ,
−
−
−
−==
jjj
jjjj hab
payp
b
yp , para j = 2:N . (III.2.5)
22
Desta forma, utilizando a substituição recuada chegamos à solução para a variável xj,
NN px = e 1+−= jjjj xhpx , para j = N-1:1 , (III.2.6)
que aqui representa a autofunção procurada φi ;
ii) Iterações externas: método de potência
Consiste em se determinarem estimativas para o autovalor em uma iteração
(n+1) a partir do autovalor estimado em uma iteração anterior n. Assumindo que
conheçamos o termo de fonte e o autovalor na iteração anterior n = n0, isto é, membro
direito da equação da difusão, podemos determinar o fluxo de nêutrons no membro
esquerdo das equações END e, com eles, calcular o novo termo de fonte, e assim
sucessivamente até que se consiga convergência. Este esquema, em termos da equação
do problema de autovalor, como exposto no Capítulo II, implica
)()1(
)(
1 nn Sk
Mn
=+φ , (III.2.7)
onde, )()( nn FS φ= é o termo de fonte que assumimos ser conhecido na iteração n-
ésima e assim podemos computar o fluxo φ(n+1) e, em conseqüência, atualizar o termo de
fonte para a iteração de ordem (n+1) de modo que )1()1( ++ = nn FS φ .
Quando n torna-se grande o suficiente para que o fluxo φ(n+1) convirja para a
autofunção fundamental do problema de difusão, podemos dizer que
)1(
)1(
)1( 1 +
+
+ ≅ n
n
n Sk
Mφ (III.2.8)
e utilizando a expressão (III.1.27) na (III.1.28), e integrando sobre todo o espaço,
obtemos a nova estimativa do autovalor k
)( 1
)(
)(3
)(
)1(3
)1(
rSrdk
rSrdk
n
n
n
n
r
r
∫∫
+
+ ≅ ; (III.2.9)
esta relação caracteriza a base do método de potência [15].
23
III-3 Resultados Numéricos
Para a verificação da aplicação do método, vamos considerar como problema-
modelo, conforme referência [4], um domínio heterogêneo com 150 cm de altura
dividido em três diferentes zonas materiais de 50 cm cada uma, conforme Figura III.3.1
e, seus respectivos parâmetros materiais são apresentados na Tabela III.3.1 abaixo. As
condições de contorno utilizadas são: i) do tipo vácuo, em x = 150 cm e; ii) do tipo
reflexiva, em x = 0. A potência gerada é de 100 MWT.
R1
R2
R3
0
50
100
150 cm vácuo
reflexiva
Figura III.3.1 – Domínio unidimensional para o problema-modelo a uma velocidade.
Tabela III.3.1 – Parâmetros materiais para cada região do domínio da Figura III.3.1
Região Ria D (cm) b Σa (cm-1) c νΣf (cm-1)
R1 1,333333 0,200000 0,220000
R2 1,333333 0,240000 0,250000
R3 2,777777 0,110000 0,080000a Coeficiente de difusão.b Seção de choque macroscópica de absorção.c Seção de choque macroscópica de fissão multiplicada pelo número médio de nêutrons produzido.
Para resolvermos este problema-modelo, nós utilizamos como critério de convergência
para o fator de multiplicação efetivo, keff, o valor de 10-7 no desvio relativo gerado entre
duas iterações consecutivas, enquanto que para o fluxo escalar o critério de
24
convergência foi de 10-6 na norma máxima do desvio relativo gerado entre duas
iterações consecutivas. A Tabela III.3.2 [4] mostra o resultado comparativo entre a
solução do método END1D1G e o método de diferenças finitas (DF) para diversas
grades espaciais, g1 + g2 + g3, onde gi representa o número de nodos contidos em cada
região i = 1:3.
Tabela III.3.2 – Resultados comparativos gerados pelos métodos END1D1G e DF para
o problema-modelo da Figura III.3.1 .
IteraçõesGrade
Espacial
Pos
ição
Fluxos
Escalares
END
Fluxos
Escalares
DF END DF
b keff
END
keff
DF
c EF
(%)
800+800+800
0
50
100
150
a 0,35279E+18
0,94341E+17
0,48907E+15
0,11961E+13
0,35279E+18
0,94341E+17
0,48907E+15
0,11961E+13
303 381 1,09506 1,09506 ____
16+16+16
0
50
100
150
0,35279E+18
0,94341E+17
0,48907E+15
0,11961E+13
0,35332E+18
0,94340E+17
0,49192E+15
0,12528E+13
311 381 1,09506 1,09505
0,15
0,74
0,58
4,74
4+4+4
0
50
100
150
0,35279E+18
0,94341E+17
0,48907E+15
0,11961E+13
0,36089E+18
0,84785E+17
0,53386E+15
0,22234E+13
308 383 1,09506 1,09585
2,30
10,1
9,16
85,9
1+1+1
0
50
100
150
0,35279E+18
0,94341E+17
0,48907E+15
0,11961E+13
0,48096E+18
0,40237E+17
0,82955E+15
0,31171E+14
168 427 1,09506 1,09465
36,3
57,4
69,6
2506
a Leia como 0,35279 x 10+18
.b Leia como fator de multiplicação efetivo.c Erros relativos nos fluxos escalares gerados pelo método de diferenças finitas
A tabela acima representa os resultados gerados pela simulação que fizemos para este
problema-modelo conforme referência [4], que nos servirá como motivação para o
desenvolvimento do método END bidimensional apresentado no próximo capítulo. A
última coluna da tabela mostra o desvio relativo percentual entre os valores dos fluxos
escalares nos cantos das regiões, normalizados pela potência, obtidos pelo método
END1D1G e DF. Verificamos também, que os valores do keff e dos fluxos gerados pelo
25
método END1D1G não sofrem alterações à medida que engrossamos a grade espacial,
enquanto que para o método DF à medida que engrossamos a malha, estes valores
sofrem distorções devido aos efeitos dos erros de truncamento espacial. Os valores do
keff que é uma quantidade global sofrem menos distorções do que os valores dos fluxos,
que são grandezas localizadas.
Ainda que os procedimentos descritos neste capítulo não se apliquem
diretamente ao caso multidimensional, podemos usá-los para desenvolver métodos
nodais de difusão multidimensional baseados em integrações transversais, pois estes
métodos transformam um problema multidimensional em outros “unidimensionais”
acoplados pelos termos de fuga transversal. Se considerarmos aproximações
conhecidas, e.g., polinomiais, para os termos de fuga transversal somadas a condições
de continuidade entre os nodos espaciais e as condições de contorno apropriadas a teoria
da difusão, podemos aplicar a essência do método END1D1G a problemas
multidimensionais.
No próximo capítulo descrevemos o método END2D1G-CN, onde nós
consideramos aproximações constantes (polinomial de ordem zero) para os termos de
fuga transversal que causarão erros de truncamento espacial e induzirão distorções nos
valores do keff e dos fluxos de nêutrons. Esperamos que estas distorções não sejam
significativas para aplicação do método a cálculos globais de reatores nucleares.
Diferentes exemplos são analisados utilizando diferentes esquemas iterativos e
esquemas de varreduras do domínio bidimensional, como também a aplicação de
diferentes condições de contorno.
26
CAPÍTULO IV
MÉTODO NUMÉRICO ESPECTRO-NODAL CONSTANTE PARA
PROBLEMAS DE DIFUSÃO A UMA VELOCIDADE E DUAS DIMENSÕES
Neste capítulo apresentamos uma extensão do método END1D1G para o
desenvolvimento do método END2D1G-CN. Baseados nas aplicações bem sucedidas do
método END1D1G a problemas-modelos unidimensionais, conforme Capítulo III,
desenvolvemos o método END2D1G-CN para cálculos globais bidimensionais de
reatores nucleares. Neste método, fizemos integrações transversais na equação da
continuidade bidimensional e lei de Fick e aproximações constantes para os termos de
fuga transversal (únicas aproximações do método). Utilizamos equações auxiliares que
preservam as soluções analíticas nodais que determinamos a partir de uma análise
espectral. Obtivemos um conjunto de equações espectro nodais de difusão que nos
permite determinar os fluxos escalares médios nos lados x e y dos nodos de uma dada
grade espacial através de iterações internas, e também nos permite estimar o autovalor
dominante keff, empregando o método de potência nas iterações externas [8].
27
IV-1 Equações de Diferença
Considerando uma grade espacial bidimensional, conforme a Figura IV.1.1,
X
Y
hi
kj
xi-1/2 xi+1/2
yJ+1/2
yj-1/2
Ω i,j Ω i+1,j
Ω i,j+1
Ω i-1,j
Ω i,j-1
Figura IV.1.1 - Grade espacial bidimensional.
teremos a seguinte equação bidimensional da continuidade
),().(1
),(),(),(),( yxyxk
yxyxyxJy
yxJx f
effayx ϕνϕ Σ=Σ+
∂∂
+∂∂
, (IV.1.1)
e da lei de Fick
),(),(),( yxx
yxDyxJ x ϕ∂∂
−= , (IV.1.2)
),(),(),( yxy
yxDyxJ y ϕ∂∂
−= . (IV.1.3)
Aplicando o operador transversal
∫+
−
2/1
2/1
.1i
i
i
x
x
dxh , (IV.1.4)
nas equações (IV.1.1) e (IV.1.3), teremos, assumindo como constante os parâmetros
materiais no interior do nodo arbitrário Ωij , a equação da continuidade discretizada na
direção y com a fuga transversal na direção x,
[ ] )( )()(2/1)(2/1)( ˆ1ˆ1ˆ yyyyy iijf
effi
ija
xi
xi
i
yi JJ
hJ
dy
dΦΣ=ΦΣ++ −−+ ν
κ , (IV.1.5)
28
onde,
)(ˆ)(ˆ yy iijy
i dy
dDJ Φ−= , (IV.1.6)
é a corrente média na direção x, como função de y.
Aplicando o seguinte operador transversal
∫+
−
2/1
2/1
.1j
jj
y
y
dyk , (IV.1.7)
nas equações (IV.1.1) e (IV.1.2), teremos, a equação da continuidade discretizada na
direção x com fuga transversal na direção y
[ ] )( )()(2/1)(2/1)(~1~1~
xxxxx jijf
effj
ija
yj
yj
j
xj JJ
kJ
dx
dΦΣ=ΦΣ++ −−+ ν
κ , (IV.1.8)
onde
)(~
)(~
xdx
dDxJ j
ijxj Φ−= , (IV.1.9)
é a corrente média na direção y, como função de x.
Verificamos que o sistema das equações (IV.1.5) e (IV.1.6) e o sistema das
equações (IV.1.8) e (IV.1.9) nas direções y e x, respectivamente, não têm solução única.
Temos 2 equações e 4 incógnitas em cada sistema, onde os termos entre colchetes
representam as fugas transversais às referidas direções. Portanto, consideramos
aproximações constantes para essas fugas transversais, de modo que elas sejam iguais
ao valor médio das correntes nos lados dos nodos, isto é
JJy
jiyj
x ˆ2/1,2/1
)(±± ≅ , (IV.1.10)
JJ x
jixi
y ~,2/12/1
)(±± ≅ . (IV.1.11)
Substituindo as aproximações (IV.1.10) e (IV.1.11) nas equações de continuidade
(IV.1.5) e (IV.1.8), obtemos as seguintes equações diferenciais ordinárias não-
homogêneas que correspondem às equações nodais da difusão acopladas através dos
termos de fugas transversais constantes nas direções x e y
[ ] )()( 2/1,2/1,)(2
2
ˆˆ1~1~~ yji
yji
jj
ijf
effj
ijaj
ij JJkdx
dD xxx −−+−ΦΣ=ΦΣ+Φ− ν
κ, (IV.1.12)
[ ]xji
xji
ii
ijf
effi
ijai
ij JJhdy
dD yyy ,2/1,2/1)()(
2
2 ~~1ˆ1ˆˆ )( −−+−ΦΣ=ΦΣ+Φ− νκ
. (IV.1.13)
29
As expressões (IV.1.12) e (IV.1.13) têm como solução geral uma parcela
correspondente à solução homogênea e outra à solução particular do tipo,
)( )()( part hom ~~~ xxx jjj ΦΦΦ += , (IV.1.14)
)( )()( part hom ˆˆˆ yyy iii ΦΦΦ += . (IV.1.15)
Tratando inicialmente da solução homogênea, teremos
)exp(~
/)( hom
, ξξ xxj =Φ , (IV.1.16)
))( exp(ˆ hom, y/îyi =Φ ξ (IV.1.17)
e, substituindo-as nas equações homogêneas correspondentes às equações (IV.1.12) e
(IV.1.13) respectivamente, encontramos o autovalor local, que dependerá apenas dos
parâmetros materiais do nodo,
)1(1
1
ijf
eff
ija
ijll
k
D
Σ−Σ−= +
νξ . (IV.1.18)
Aqui, temos
ijf
eff
ijal
ijf
eff
ijal
k
k
Σ<ΣΙ∈
Σ>Σℜ∈
νξ
νξ
1
1
se
se
, para l = 1:2.
Em seguida tratando da solução particular, admitindo que ela seja constante do tipo,
Pcxpartj
ˆ~ onstante)( ==Φ , (IV.1.19)
~ˆ onstante)( Pcypart
i ==Φ (IV.1.20)
e, substituindo-as nas equações (IV.1.12) e (IV.1.13) respectivamente, encontramos a
solução particular, que dependerá do termo de fuga transversal e os parâmetros
materiais do nodo,
Σ−Σ
−= −+
ija
ijf
eff
yji
yji
j
k
JJ
kP
ν1
ˆˆ1ˆ 2/1,2/1, , (IV.1.21)
Σ−Σ
−= −+
ija
ijf
eff
xji
xji
i
k
JJ
hP
ν1
~~1~ ,2/1,2/1
. (IV.1.22)
30
Portanto, as soluções gerais analíticas (IV.1.14) e (IV.1.15) assumem as seguintes
formas
Σ−Σ
−=Φ −+
+
=∑
ija
ijf
eff
xji
xji
illi
k
JJ
hy
l
y
ν
ξη1
~~1
)/exp(ˆ ,2/1,2/1
2
1
)( , (IV.1.23)
e
Σ−Σ
−=Φ −+
+
=∑
ija
ijf
eff
yji
yji
jllj
k
JJ
kx
l
x
ν
ξβ1
ˆˆ1)/exp(
~ 2/1,2/1,
2
1
)( , (IV.1.24)
onde, βl e ηl são constantes arbitrárias que podem ser determinadas pelas condições de
interface dos nodos. Substituindo essa soluções gerais nas expressões das correntes
médias (IV.1.6) e (IV.1.9) nas direções y e x respectivamente, teremos
∑=
−=
2
1
)/()( expˆ
l
ll
lijyi yy DJ ξξ
η , (IV.1.25)
∑=
−=
2
1
)/()( exp~
l
ll
lijxj xx DJ ξξ
β . (IV.1.26)
Analogamente no caso unidimensional, propomos um método numérico
convergente para solução dessas equações da difusão de modo que:
1) as soluções gerais analíticas sejam preservadas incondicionalmente para
todo valor de βl e ηl, onde l = 1:2;
2) as soluções sejam contínuas nas interfaces de cada nodo espacial Ωij ,
para i= 1:I e j =1:J ;
3) as soluções satisfaçam as condições de contorno do problema.
Levando em conta estas considerações, vamos derivar o método integrando
transversalmente em ambas as direções x e y, ou seja, aplicando simultaneamente os
operadores (IV.1.4) e (IV.1.7) na equação (IV.1.1) da continuidade e nas equações
(IV.1.2) e (IV.1.3) da lei de Fick bidimensional; obtemos o seguinte conjunto de
equações: i) equação de balanço de nêutrons no nodo discretizada na corrente; ii)
corrente média no interior do nodo como função do fluxo médio nos lados x e iii)
corrente média no interior do nodo como função do fluxo médio nos lados y.
31
( ) ( ) 1ˆˆ1~~1
21212121 ijijf
effij
ija
y/i,j
y/i,j
j
x,j/i
x,j/i
i kJJ
kJJ
hΦΣ=ΦΣ+
−+−+−+− ν , (IV.1.27)
( )jijii
ijxij h
DJ ,2/1,2/1
~~−+ Φ−Φ−= , (IV.1.28)
( )2/1,2/1,ˆˆ
−+ Φ−Φ−= jijij
ijyij k
DJ . (IV.1.29)
E por definição, nós temos que o fluxo médio no interior do nodo e as correntes médias
nas direções x e y no interior do nodo, são expressas como
∫ ∫+
−
+
−
≡Φ2/1
2/1
2/1
2/1
11 )(
i
i
j
jji
ij
x
x
y
y
x,y dxdykh
ϕ , (IV.1.30)
∫ ∫+
−
+
−
≡
2/1
2/1
2/1
2/1
11 )(
i
i
j
j
x
ji
x
ij
x
x
y
y
x,y dxdyJkhJ , (IV.1.31)
∫ ∫+
−
+
−
≡
2/1
2/1
2/1
2/1
11 )(
j
j
i
i
y
ij
y
ij
y
y
x
x
x,y dydxJhkJ . (IV.1.32)
As equações (IV.1.27), (IV.1.28) e (IV.1.29) junto às equações de condições de
contorno para as 4 faces do nodo arbitrário, formam um sistema de 7 equações e 11
incógnitas por nodo. Logo, lançamos mão de 4 equações auxiliares, as quais
caracterizam o método conforme abaixo, para garantir a unicidade do sistema de
equações,
ijjij/iij
ij χγ+
+= −+ ΦΦΦ ,2/1,21
~~2
, (IV.1.33)
jijijij
j ii ΥΦΦΦ +
+= −+ ,2/1,2/1
ˆˆ2
α, (IV.1.34)
+= −+
xji
xji
ixij JJJ j
,2/1,2/1
~~2
γ, (IV.1.35)
+= −+
yij
yij
ijyij JJJ ,2/1,2/1
ˆˆ2
α. (IV.1.36)
Aqui, os parâmetros ϒij e χij preservam as soluções homogênea e particular da solução
geral na direção x, da mesma maneira os parâmetros αij e Υij devem preservar as
soluções homogênea e particular da solução geral na direção y.
32
Então, substituindo as soluções gerais para os fluxos médios nos lados do nodo,
equações (IV.1.23), (IV.1.24) e as correntes médias nos lados do nodo, equações
(IV.1.25), (IV.1.26), nas definições de fluxo médio e de correntes médias no interior do
nodo, obteremos equações que podem ser igualadas às equações auxiliares de (IV.1.33)
a (IV.1.36) e assim, determinarmos os parâmetros que preservam as soluções gerais,
como se segue
2
2
= ξ
ξγ i
iij
htghh
, para ℜ∈ξ (IV.1.37)
2
2
= λ
λγ i
iij
htgh
, para Ι∈ξ ; iλξ = (IV.1.38)
( )
−
−−=
ΣΣ−+
ija
ijf
eff
yji
yji
j
ijij
k
JJk νγχ
11 2/1,2/1,
ˆˆ , (IV.1.39)
2
2
= ξ
ξα jij
ktgh
k j, para ℜ∈ξ (IV.1.40)
2
2
= λ
λα j
jij
ktg
k, para Ι∈ξ ; iλξ = (IV.1.41)
( )
−
−−=
ΣΣΥ −+
ija
ijf
eff
jix
jiijij
k
JJh
x
i να
11 ,2/1,2/1
~~
. (IV.1.42)
Uma vez determinados esses parâmetros, poderemos manipular algumas equações para
chegarmos a expressões para as correntes individualizadas médias nos lados do nodo
arbitrário em função dos fluxos médios nas faces do mesmo e livre das quantidades
médias no seu interior, a partir de expressões que envolvam soma e diferença dessas
correntes. Assim sendo, vamos igualar as expressões (IV.1.28) e (IV.1.29) das correntes
médias no nodo obtidas a partir das integrações transversais, com as equações auxiliares
para essas mesmas correntes, equações (IV.1.35) e (IV.1.36), e chegarmos às seguintes
expressões para a soma das correntes:
−−=+ −+−+ ΦΦ jiji
iji
ijxji
xji h
DJJ ,2/1,2/1,2/1,2/1
~~2~~γ , (IV.1.43)
−−=+ −+−+ ΦΦ 2/1,2/1,2/1,2/1,
ˆˆ2ˆˆjiji
ijj
ijyji
yji k
DJJ α , (IV.1.44)
e para a diferença entre as correntes, nós substituímos as equações auxiliares (IV.1.33) e
(IV.1.34) para o fluxo médio no interior do nodo apenas na parcela de absorção da
33
equação de balanço de nêutrons discretizada (IV.1.27) preservando o termo de fissão,
obtendo as seguintes expressões
( )
2
~~2
11ˆˆ1~~1
,2/1,2/1
21212121
j
ijij
ija
i
JJk
JJh
eff
ijfij
jiji
ijaij
y/i,j
y/i,j
j
x,j/i
x,j/i
i
ΦΣ
ΦΦΣ
ΣΣ
=
+
+
−
+
−+
−
−+
−+−+
κνγγ
γ
, (IV.1.45)
( )
2/1,2/1,2/1,
21212121
ˆ2
ˆˆ2
ˆˆ111
~~1
+=
+
+
−+
−
+
−
−−+
−+−+
ΦΦΣ
ΦΦΣ
ΣΣ
jiijeff
ijfij
jiji
ijaij
y/i,j
y/i,j
j
x,j/i
x,j/i
iJJ
kJJ
h ijij
ija
κναα
α
. (IV.1.46)
Arranjando as equações (IV.1.45) e (IV.1.46) na forma matricial, aplicando as regras de
Cramer e associando com as equações (IV.1.43) e (IV.1.44), obtemos expressões para
as correntes individualizadas xjiJ ,2/1
~± e y
jiJ 2/1,ˆ
± como seguem:
+
+
−=
−+−+
−++
ΦΦΣ
−ΦΦ
Σ−
Σ−
−ΦΣ
Σ−
Σ−
+ΦΦ−
2/1,2/1,1
,2/1,2/1
2
2
1
,2/1,2/1,2/1
ˆˆ~~
)(14
1
)(12
1~~~
jijiij
j
jijiij
j
aiji
jfij
eff
ij
j
i
jijiiji
ijxji
i
c
i
c
h
ikc
i
ch
hDJ
αγ
νγ
, (IV.1.47)
+
+
−=
−+−+
−+−
ΦΦΣ
−ΦΦ
Σ−
Σ+
+ΦΣ
Σ−
Σ−
−ΦΦ−
2/1,2/1,1
,2/1,2/1
2
2
1
,2/1,2/1,2/1
ˆˆ~~
)(14
1
)(12
1~~~
jijiij
j
jijiij
j
aiji
jfij
eff
ij
j
i
jijiiji
ijxji
i
c
i
c
h
ikc
i
ch
hD
J
αγ
νγ
, (IV.1.48)
34
+−
+
−
+
−−=
−+−+
−++
ΦΦΣ
ΦΦ
Σ−
Σ
−ΦΣ
Σ−
Σ−
ΦΦ
jijii
j
jijiij
j
aijj
jfij
eff
ij
j
j
jijiijj
ijyji
j
i
c
i
c
k
ikc
i
ck
kD
J
,2/1,2/12
2/1,2/1,
2
2
2
2/1,2/1,2/1,
~~ˆˆ
)(14
1
)(12
1ˆˆˆ
γα
να
, (IV.1.49)
+−
+
−
−−=
−+−+
−+−
ΦΦΣ
ΦΦ
Σ−
Σ+
+ΦΣ
Σ−
Σ−
ΦΦ
jijii
j
jijiij
j
aijj
jfij
eff
ij
jjiji
ijj
ijyji
j
j
i
c
i
c
k
ikc
i
ck
kD
J
,2/1,2/12
2/1,2/1,
2
2
2
2/1,2/1,2/1,
~~ˆˆ
)(14
1
)(12
1ˆˆˆ
γα
να
, (IV.1.50)
onde,
ijf
eff
ijaij k
ΣΣΣ −= ν1 , (IV.1.51)
ijf
eff
ijaj kic ΣΣ= − νγ 1
1 , (IV.1.52)
ijf
eff
ijaj kic ΣΣ= − να 1
2 , (IV.1.53)
e c = c1 .c2 . (IV.1.54)
Para as condições de contorno nas quatro faces do nodo, temos as seguintes relações
entre as correntes e os fluxos no contorno
xje
xjJ ,2/1,2/1
~~Φ−= δ , (IV.1.55)
xjId
xjIJ ,2/1,2/1
~~++ Φ=δ , (IV.1.56)
yib
yiJ 2/1,2/1,
ˆˆ Φ−= δ , (IV.1.57)
yJit
yJiJ 2/1,2/1,
ˆˆ++ Φ=δ . (IV.1.58)
35
Os parâmetros δ assumem diferentes valores de acordo com o tipo de condições de
contorno considerado, como descrevemos no Capítulo II, i.e.:
• tipo reflexiva
0=δ ; (IV.1.59)
• tipo vácuo
5,0=δ ; (IV.1.60)
• tipo fluxo nulo
∞→δ ; (IV.1.61)
e tipo albedo [4] em um meio refletor, assume os valores determinados pelas
expressões (B-130 e (B-32) apresentados no Apêndice B.
Utilizando-se do fato que nas interfaces dos nodos em ambas as direções x e y
existe continuidade de corrente, vide Figura IV.1.2,
X
Y
xi+1/2xi-1/2
Ωi,jyi-1/2
yi+1/2
Ωi+1,j
Ωi,j+1
xji
xji JJ ,2/1)1(,2/1
~~−++ =
Figura IV.1.2 – Continuidade de corrente nas interfaces de nodos adjacentes.
podemos fazer
xji
xji JJ ,2/1)1(,2/1
~~−++ = , (IV.1.62)
yji
yji JJ 2/1)1(,2/1,
ˆˆ−++ = . (IV.1.63)
Para utilizarmos as igualdades (IV.1.62) e (IV.1.63) afim de chegarmos às equações de
diferença, que dependam apenas dos autovetores nos lados dos nodos, vamos eliminar
os fluxos médios no interior dos nodos que aparecem nas equações das correntes
(IV.1.47) - (IV.1.50). Para este propósito, substituímos as expressões (IV.1.39) ou
(IV.1.42) nas equações auxiliares (IV.1.33) ou (IV.1.34), respectivamente, e utilizamos
expressões para as diferenças entre as correntes médias nas faces x ou y obtidas pela
36
regra de Cramer aplicada as equações (IV.1.45) e (IV.1.46). Então, chegamos à
expressão para o fluxo médio no interior do nodo
( ) ( )( ) ( )( )[ ]jijiijijjijiijijijij
ij ,2/1,2/12/1,2/1,
~~ 1ˆˆ 1
12
1−+−+ Φ+Φ−+Φ+Φ−
−=Φ αγγα
γα , (IV.1.64)
que depende apenas dos fluxos médios nas faces x e y do nodo e dos parâmetros α e γ
que preservam as soluções homogêneas das soluções gerais x e y, respectivamente. Este
será agora substituído nos termos de fonte de fissão das equações das correntes
(IV.1.47) – (IV.1.50).
Utilizando a continuidade de corrente e arranjando as expressões resultantes em
termos dos autovetores nos lados dos nodos chegamos às seguintes “Equações de
Diferença”:
i) para a direção x, temos i = 1: I-1 equações
( ) ( )
( ) ( )
Φ+Φ+Φ+Φ+
+Φ+Φ+Φ
+
+Φ+Φ+Φ+Φ=
=Φ+Φ+Φ
−+++−+
++−
−+++−+
++−
2/1,12/1,152/1,2/1,4
,2/33,2/12,2/11
2/1,12/1,152/1,2/1,4
,2/33,2/12,2/11
ˆˆˆˆ
~~~
1
ˆˆˆˆ
~~~
jijijijix
jix
jix
jix
eff
jijijiji
jijiji
xSS
SSS
k
XX
XXX
, (IV.1.65)
onde, os parâmetros de difusão e absorção do lado esquerdo da equação (IV.1.65) são
definidos como
( ) ij
ijaji
ii
ij
C
ihhD
Xj 3
1 4Σ
+−=γ
γ , (IV.1.66)
onde 23
)(1)(
ij
ij
ij
cc
Σ−= , (IV.1.67)
( ) ( ) ji
jiajii
jii
ji
ij
ijaiji
iji
ij
CC
hh
DhhD
X13
111
11
1
32 44 +
+++
++
+ Σ++Σ+= γγ
γγ , (IV.1.68)
( ) ji
jiajii
jii
ji
C
hh
DX
13
111
11
13 4 +
+++
++
+ Σ+−= γγ , (IV.1.69)
37
4)( 1
4
ijaijiijx ha
XΣ= α
, (IV.1.70)
onde ij
ij
ij
ijx
c
c
a)(
)(3
1
1Σ
= , (IV.1.71)
4)( !
11115
jiajiijix ha
X+
+++ Σ= α, (IV.1.72)
e, os parâmetros de fissão do lado direito da equação (IV.1.65) aparecem como
ijx
ij
fiijx
x ahaS )()(21
Σ= ν , (IV.1.73)
onde ( )
( )ijij
ijijijxa
αγαγ
−
−=
14
1)( , (IV.1.74)
e ij
ij
ij
ijx
c
c
a)(
1
)(3
1
2
Σ−
= , (IV.1.75)
jix
ji
fijixijx
ij
fiijx
x ahaahaS1
111222
)()()()(+
+++
Σ+Σ= νν , (IV.1.76)
jix
ji
fijix
x ahaS1
11
123)()(
+
+++
Σ= ν , (IV.1.77)
ijyij
fiijx
x ahaS )()(24
Σ= ν , (IV.1.78)
onde ( )
( )ijij
ijijijya
αγγα
−
−=
14
1)( , (IV.1.79)
jiy
ji
fijix
x ahaS1
11
125)()(
+
+++
Σ= ν ; (IV.1.80)
38
ii) para a direção y, teremos j = 1: J-1 equações
( ) ( )
( ) ( )
Φ+Φ+Φ+Φ+
+Φ+Φ+Φ
+
+Φ+Φ+Φ+Φ=
=Φ+Φ+Φ
++++−+
++−
++++−+
++−
1,2/11,2/15,2/1,2/14
2/3,32/1,22/1,1
1,2/11,2/15,2/1,2/14
2/3,32/1,22/1,1
~~~~
ˆˆˆ1
~~~~
ˆˆˆ
jijiy
jijiy
jiy
jiy
jiy
eff
jijijiji
jijiji
SS
SSS
k
YY
YYY
, (IV.1.81)
onde, os parâmetros de difusão e absorção do lado esquerdo da equação (IV.1.81) são
definidos como
( )ij
ij
aijj
ij
ij
c
k
k
DY
j 31 4
Σ+−=
α
α, (IV.1.82)
( ) ( )13
111
11
1
32 44
+
+++
++
+Σ
++Σ
+=ij
ij
aijj
ijj
ij
ij
ij
aijj
ijj
ij
c
k
k
D
c
k
k
DY
γ
γ
γ
γ , (IV.1.83)
( )13
111
11
13 4
+
+++
++
+Σ
+−=ij
ij
aijj
ijj
ij
c
k
k
DY
γ
γ, (IV.1.84)
4
)( 1
4
ij
aijijijy kaY
Σ=
γ, (IV.1.85)
onde ij
ij
ij
ijy
c
c
a)(
)(3
2
1Σ
= , (IV.1.86)
4
)( 11111
5
++++ Σ
=
ij
aijijijy kaY
γ , (IV.1.87)
e, os parâmetros de fissão do lado direito da equação (IV.1.81) aprecem como
ijyij
fjijyy akaS )()(
21Σ= ν , (IV.1.88)
39
onde ( )
( )ijij
ijijijya
αγγα
−
−=
14
1)( , (IV.1.89)
e ij
ij
ij
ijy
c
c
a)(
1
)(3
2
2Σ
−
= , (IV.1.90)
1
11
1222)()()()(
+
+++
Σ+Σ=ijy
ij
fjijyijy
ij
fjijy
y akaakaS νν , (IV.1.91)
1
11
123)()(
+
+++
Σ=ijy
ij
fjijy
y akaS ν , (IV.1.92)
ijxij
fjijyy akaS )()(
24Σ= ν , (IV.1.93)
onde ( )
( )ijij
ijijijxa
αγαγ
−
−=
14
1)( , (IV.1.94)
jix
ij
fjijy
y akaS1
11
125)()(
+
+++
Σ= ν , (IV.1.95)
e pelas condições de contorno nas quatro faces do nodo, vide Figura IV.1.3,
Esquerda
X
Y
xi+1/2xi-1/2
Ωi,j
yi-1/2
yi+1/2
Ωi+1,j
Ωi,j+1 Ωi+1,j+1
Base
Topo
Direita
Figura IV.1.3 – Condições de contorno nas faces dos nodos.
obtemos as seguintes equações de diferença que completam e tornam possível e
determinado o sistema de equações de balanço de nêutrons num dado domínio:
40
• Equação para condição de contorno na face esquerda
( ) ( )
( ) ( ) 2/1,12/1,12,2/3,2/11
2/1,12/1,13,2/32,2/11
ˆˆ~~1
ˆˆ~~
−+
−+
Φ+Φ−Φ+Φ+
+Φ+Φ=Φ+Φ+
jjxljj
xl
eff
jjljljll
SSk
XXX δ
, (IV.1.96)
• Equação para condição de contorno na face direita
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2/1,2/1,2,2/1,2/11
2/1,2/1,3,2/12,2/11
ˆˆ~~1
ˆˆ~~
−++−
−++−
Φ+Φ−Φ+Φ+
+Φ+Φ=Φ++Φ
jIjIxrjIjI
xr
eff
jIjIrjIrrjIr
SSk
XXX δ
, (IV.1.97)
• Equação para condição de contorno na face da base
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1,2/11,2/122/3,2/1,1
1,2/11,2/132/3,22/1,1
~~ˆˆ1
~~ˆˆ
+−
−+
Φ+Φ−Φ+Φ+
+Φ+Φ=Φ+Φ+
iiybii
yb
eff
iibibibb
SSk
YYY δ
, (IV.1.98)
• Equação para condição de contorno na face do topo
( ) ( ) ( )
( ) ( ) JiJiytJiJi
yt
eff
JiJitJittJit
SSk
YYY
,2/1,2/122/1,2/1,1
,2/1,2/132/1,22/1,1
~~ˆˆ1
~~ˆˆ
+−−+
−++−
Φ+Φ−Φ+Φ+
+Φ+Φ=Φ++Φ δ
. (IV.1.99)
Onde, os coeficientes associados às autofunções têm suas formas apresentadas nas
equações (IV.1.65) e (IV.1.81). Os parâmetros δ´s representam os contornos esquerdo
(l), direito (r), base (b) e topo (t) e assumem valores de acordo com o tipo de condição
de contorno aplicada ao problema, conforme mencionamos no Capítulo II.
41
IV-2 Esquemas Iterativos
Utilizamos dois diferentes esquemas iterativos internos, para a obtenção dos
fluxos nos cantos dos nodos, uma vez que temos um acoplamento entre as direções que
serão levadas em conta por estes esquemas, a saber:
i) esquema FADIS – “Full Alternating Direction Iterative Scheme” com
Eliminação de Gauss;
Neste esquema nós manipulamos as equações END, Eqs. (IV.1.65), (IV.1.96)
e (IV.1.97) para a direção x de maneira que ficamos com uma equação matricial, onde
no membro esquerdo temos uma matriz tridiagonal de coeficientes que carrega numa
parcela o parâmetro de difusão e noutra o parâmetro de absorção multiplicada por um
vetor de autofunções, ji ,2/1
~−Φ com i = 1:I+1 e j = 1:J, das faces x dos nodos a serem
determinadas. No membro direito, temos um somatório composto de: - uma matriz de
coeficientes carregando apenas parâmetro de absorção multiplicada por um vetor de
autofunções, 2/1,ˆ
+Φ ji com i = 1:I e j.= 1:J; - uma matriz tridiagonal de coeficientes que
carrega apenas o parâmetro de fissão multiplicada por um vetor de autofunções, ji ,2/1
~−Φ
com i = 1:I+1 e j = 1:J, que neste caso são conhecidas de uma iteração anterior e; - uma
matriz espaçada de coeficientes carregando também o parâmetro de fissão multiplicada
por um vetor de autofunções, 2/1,ˆ
+Φ ji com i = 1:I e j.= 1:J. Estas duas últimas têm em
evidência o autovalor identificado como o fator de multiplicação efetivo, keff.
Analogamente, nós arranjamos as equações END, Eqs. (IV.1.81), (IV.1.98) e
(IV.1.99) para a direção y na forma matricial, onde as autofunções a serem determinadas
do lado direito da equação resultante são: 2/1,ˆ
−Φ ji com i = 1:I e j.= 1:J+1.
Uma vez tendo sido colocadas as equações END na forma adequada
conforme descrito acima, nós tornamos conhecido o lado direito da equação matricial
inicializando os valores das autofunções e do keff, iguais à unidade. Em seguida,
resolvemos o sistema na direção x através do método de “Eliminação de Gauss com
substituição recuada” e; determinamos os fluxos ji ,2/1
~−Φ . Estes fluxos são agora
utilizados como inicialização do lado direito do sistema na direção y que é também
resolvido pelo método de “Eliminação de Gauss com substituição recuada”,
determinando os fluxos 2/1,ˆ
−Φ ji , ainda dentro da mesma iteração. Estes fluxos recém-
42
determinados da direção y passam a fazer parte do lado direito do sistema na direção x
numa iteração posterior, permitindo a determinação dos fluxos x do lado esquerdo e,
estes por sua vez passam a fazer parte do lado direito do sistema na direção y permitindo
a determinação de novos fluxos y do lado esquerdo; e assim sucessivamente,
caracterizando o “esquema iterativo de direções alternadas xy”. O número dessas
iterações “internas” dependerá da necessidade prática de se atingir um dado critério de
convergência previamente estabelecido. A cada iteração ou a cada número n de
iterações internas nós calculamos o fluxo escalar médio no interior de cada nodo que
depende dos fluxos escalares médios nas faces x e y de acordo com a expressão
(IV.1.64). Com estes fluxos médios no interior dos nodos nós podemos fazer através do
“método de potência” uma nova estimativa para o autovalor, keff .
ii) esquema CDI S – “Coupled Directions Iterative Scheme” com Eliminação
de Gauss.
Da mesma maneira como fizemos no esquema anterior, manipulamos as
equações END para as direções x e y adequadamente de modo que possamos determinar
as autofunções.
Aqui nós manteremos o arranjo matricial descrito no esquema anterior para
ambas as direções x e y , onde do lado esquerdo sejam mantidas matrizes tridiagonais
que nos facilite a aplicação do método de eliminação de Gauss, considerando o lado
direito conhecido. A diferença é que neste esquema agruparemos as equações matriciais
para as direções x e y preservando a tridiagonalidade do arranjo, onde do lado esquerdo
existirá uma única matriz de coeficientes composta dos elementos de ambas as matrizes
x e y, ela será multiplicada por um vetor das autofunções x e y a serem determinadas,
considerando conhecido o lado direito que neste caso tem suas matrizes x e y também
acopladas.
Então, uma vez estando as equações matriciais x e y acopladas, procedemos
da mesma maneira que no caso FADIS, inicializamos o lado direito e executamos uma
iteração interna determinando simultaneamente as autofunções nas direções x e y,
calculamos os fluxos médios no interior dos nodos, estimamos um novo keff pelo
método de potência e, numa iteração posterior utilizamos estas autofunções como
atualização do lado direito e repetimos o procedimento sucessivamente até atingir a
convergência; caracterizando assim o “esquema iterativo de direções acopladas”.
43
Utilizaremos duas formas diferentes de varreduras no domínio xy da grade
espacial: a primeira denominada tipo segmentar (TS) e uma segunda denominada tipo
continuada (TC):
i) varredura TS - aqui, o domínio xy é desmembrado em seções horizontais
e seções verticais, onde os fluxos médios nas faces dos nodos são
determinados por seção, primeiro em uma direção e depois em outra;
ii) varredura TC - aqui, o domínio xy é retificado em blocos horizontais e
acoplados lado a lado em uma única linha, ao longo da qual são
determinados os fluxos médios nas faces x, depois em blocos verticais e
acoplados lado a lado em uma outra linha, ao longo da qual são
determinados os fluxos médios nas faces y.
Observamos que a diferença existente entre esses tipos de varreduras é que na
varredura TS teremos n equações conforme a dimensão n da direção, enquanto que na
varredura TC temos 1 equação que contém todos os fluxos a serem determinados
naquela direção. No primeiro tipo teremos menor quantidade de informação do lado
direito das equações, considerado conhecido, para subsidiar a obtenção das autofunções
no lado esquerdo, enquanto que no segundo tipo, teremos maior quantidade de
informação. Esperamos que o segundo tipo convirja mais rapidamente que o primeiro
tipo de varredura. A seguir, nós apresentamos uma ilustração de um domínio
bidimensional simples para melhor esclarecer os dois esquemas iterativos propostos,
como os dois tipos de varreduras e os formatos que assumem as respectivas equações
matriciais.
44
Consideremos como exemplo um domínio bidimensional 3x2, conforme mostra aFigura IV.2.1 abaixo
X
Y
Dir
eita
Esq
uer
da
Base
Topo
Ω1,1 Ω2,1
Ω1,2 Ω2,2
3,2/5~Φ
2,2/5~Φ
1,2/5~Φ
3,2/1~Φ
2,2/1~Φ
1,2/1~Φ
3,2/3~Φ
2,2/3~Φ
1,2/3~Φ
2/7,1Φ
2/3,1Φ
2/1,1Φ
2/5,1Φ
Ω2,3Ω1,3
2/7,2Φ
2/3,2Φ
2/1,2Φ
2/5,2Φ
Figura IV.2.1 - Domínio de uma grade genérica 3x2.
e verificamos como fica a forma das equações matriciais para o esquema iterativo
FADIS, onde
−
+
+
=
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
2/3,2
2/1,2
2/3,1
2/1,1
a13R a1
3R 0 0
xa15M xa1
5M xa14M xa1
4M
0 0 a13L a1
3L
2/3,2
2/1,2
2/3,1
2/1,1
f13R f1
3R 0 0
xf15M xf1
5M xf14M xf1
4M
0 0 f13L f1
3L
1
1,2/5
1,2/3
1,2/1
f12R f1
1R 0
xf13M xf1
2M xf11M
0 f12L f1
1L
1
1,2/5
1,2/3
1,2/1
d12R d1
1R 0
xd13M xd1
2M xd11M
0 d12L d1
1L
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
~
~
~
~
~
~
eff
eff
k
k
, (IV.2.1)
a equação (IV.2.1) representa a primeira linha da direção x, da esquerda para a direita,
−
+
+
=
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
2/5,2
2/3,2
2/5,1
2/3,1
a23R a2
3R 0 0
xa25M xa2
5M xa24M xa2
4M
0 0 a23L a2
3L
2/5,2
2/3,2
2/5,1
2/3,1
f23R f2
3R 0 0
xf25M xf2
5M xf24M xf2
4M
0 0 f23L f2
3L
1
2,2/5
2,2/3
2,2/1
f22R f2
1R 0
xf23M xf2
2M xf21M
0 f22L f2
1L
1
2,2/5
2,2/3
2,2/1
d22R d2
1R 0
xd23M xd2
2M xd21M
0 d22L d2
1L
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
~
~
~
~
~
~
eff
eff
k
k
, (IV.2.2)
45
a equação (IV.2.2) representa a segunda linha da direção x, da esquerda para a direita,
−
+
+
=
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
2/7,2
2/5,2
2/7,1
2/5,1
a33R a3
3R 0 0
xa35M xa3
5M xa34M xa3
4M
0 0 a33L a3
3L
2/7,2
2/5,2
2/7,1
2/5,1
f33R f3
3R 0 0
xf35M xf3
5M xf34M xf3
4M
0 0 f33L f3
3L
1
3,2/5
3,2/3
3,2/1
f32R f3
1R 0
xf33M xf3
2M xf31M
0 f32L f3
1L
1
3,2/5
3,2/3
3,2/1
d32R d3
1R 0
xd33M xd3
2M xd31M
0 d32L d3
1L
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
~
~
~
~
~
~
eff
eff
k
k
, (IV.2.3)
a equação (IV.2.3) representa a terceira linha da direção x, da esquerda para a direita,
−
+
+
=
′′
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
3,2/3
3,2/1
2,2/3
2,2/1
1,2/3
1,2/1
a13 a1
3 0 0 0 0
ya15M ya1
5M ya14M ya1
4M 0 0
0 0 ya15M ya1
5M ya14M ya1
4M
0 0 0 0 a13 a1
3
3,2/3
3,2/1
2,2/3
2,2/1
1,2/3
1,2/1
f13 f1
3 0 0 0 0
yf15M yf1
5M yf14M yf1
4M 0 0
0 0 yf15M yf1
5M yf14M yf1
4M
0 0 0 0 f13 f1
3
1
2/7,1
2/5,1
2/3,1
2/1,1
f12 f1
1 0 0
yf13M yf1
2M yf11M 0
0 yf13M yf1
2M yf11M
0 0 f12 f1
1
1
2/7,1
2/5,1
2/3,1
2/1,1
d12 d1
1 0 0
yd13M yd1
2M yd11M 0
0 yd13M yd1
2M yd11M
0 0 d12 d1
1
~
~
~
~
~
~
TT
B B
~
~
~
~
~
~
TT
B B
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
TT
BB
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
TT
BB
eff
eff
k
k
, (IV.2.4)
a equação (IV.2.4) representa a primeira coluna da direção y, da base para o topo,
−
+
+
=
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
3,2/5
3,2/3
2,2/5
2,2/3
1,2/5
1,2/3
a23 a2
3 0 0 0 0
ya25M ya2
5M ya24M ya2
4M 0 0
ya25M ya2
5M ya24M ya2
4M
0 0 a23 a2
3
3,2/5
3,2/3
2,2/5
2,2/3
1,2/5
1,2/3
f23 f2
3 0 0 0 0
yf25M yf2
5M yf24M yf2
4M 0 0
yf25M yf2
5M yf24M yf2
4M
0 0 f23 f2
3
1
2/7,2
2/5,2
2/3,2
2/1,2
f22 f2
1 0 0
yf23M yf2
2M yf21M 0
yf23M yf2
2M yf21M
0 f22 f2
1
1
2/7,2
2/5,2
2/3,2
2/1,2
d22 d2
1 0 0
yd23M yd2
2M yd21M 0
yd23M yd2
2M yd21M
0 d22 d2
1
~
~
~
~
~
~
TT
BB
~
~
~
~
~
~
TT
BB
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
TT
BB
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
TT
BB
eff
eff
k
k
, (IV.2.5)
e a equação (IV.2.5) representa a segunda coluna da direção y, da base para o topo.
Aqui, os índices sobrescritos, (d), (f) e (a) simbolizam os termos que carregam
os parâmetros materiais de difusão, fissão e absorção. As quantidades L, R, B, T e M
representam elementos das equações de contorno nas faces esquerda, direita, base, topo
e elementos das equações (de meio) fora dos contornos do referido domínio,
respectivamente.
46
Para o esquema iterativo CDIS a equação matricial toma a seguinte forma
=
′′
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
2/7,2
2/5,2
2/3,2
2/1,2
2/7,1
2/5,1
2/3,1
2/1,1
3,2/5
3,2/3
3,2/1
2,2/5
2,2/3
2,2/1
1,2/5
1,2/3
1,2/1
.
d22 d2
1 0 0
yd23M yd2
2M yd21M 0
yd23M yd2
2M yd21M
0 d22 d2
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
d12 d1
1 0 0
yd13M yd1
2M yd11M 0
0 yd13M yd1
2M yd11M
0 0 d12 d1
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
d32R d3
1R 0
xd33M xd3
2M xd31M
0 d32L d3
1L
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
d22R d2
1R 0
xd23M xd2
2M xd21M
0 d22L d2
1L
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
d12R d1
1R 0
xd13M xd1
2M xd11M
0 d12L d1
1L
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
~
~
~
~
~
~
~
~
~
TT
BB
TT
BB
...
2/7,2
2/5,2
2/3,2
2/1,2
2/7,1
2/5,1
2/3,1
2/1,1
3,2/5
3,2/3
3,2/1
2,2/5
2,2/3
2,2/1
1,2/5
1,2/3
1,2/1
.
f22 f2
1 0 0
yf23M yf2
2M yf21M 0
yf23M yf2
2M yf21M
0 f22 f2
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
f12 f1
1 0 0
yf13M yf1
2M yf11M 0
0 yf13M yf1
2M yf11M
0 0 f12 f1
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
f32R f3
1R 0
xf33M xf3
2M xf31M
0 f32L f3
1L
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
f22R f2
1R 0
xf23M xf2
2M xf21M
0 f22L f2
1L
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
f12R f1
1R 0
xf13M xf1
2M xf11M
0 f12L f1
1L
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
~
~
~
~
~
~
~
~
~
TT
BB
TT
BB
1 +=
′′
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
effk
(IV.2.6)
a equação matricial (IV.2.6) não mostra todas as parcelas, conforme mostram as
equações do esquema iterativo FADIS, por questão de simplicidade e comodidade na
explanação.
47
Expondo graficamente os tipos de varreduras para o caso exemplo da grade
espacial bidimensional 3x2 representada na Fig.IV.2.1, teremos as representações
indicadas nas Figuras IV.2.2 e IV.2.3 .
3,2/5~Φ3,2/1
~Φ
2,2/1~Φ
X
Y
2,2/5~Φ
1,2/1~Φ 1,2/5
~Φ
3,2/3~Φ
2,2/3~Φ
1,2/3~Φ
Figura IV.2.2 –Varredura TS no domínio de grade genérica 3x2, com fluxos nas faces x.
3,2/5~Φ
3,2/1~Φ2,2/1
~Φ
X
Y
2,2/5~Φ
1,2/1~Φ
1,2/5~Φ
3,2/3~Φ2,2/3
~Φ1,2/3
~Φ
Figura IV.2.3 –Varredura TC no domínio de grade genérica 3x2, com fluxos nas faces x.
Analogamente, esta exposição gráfica é válida para a direção y, que não será
ilustrada aqui. As equações matriciais de (IV.2.1) a (IV.2.5) correspondem à varredura
TS representada na Figura IV.2.2 , enquanto que a equação (IV.2.6) corresponde à
varredura TC representada na Figura IV.2.3.
48
IV-3 Resultados Numéricos
Nesta seção apresentamos alguns resultados numéricos da aplicação do método
END bidimensional utilizando os esquemas iterativos e os tipos de varreduras, como
descritos nas seções anteriores.
Caso 1: Inicialmente apresentamos um problema–modelo homogêneo de uma
região multiplicativa com domínio retangular cujos parâmetros da zona material e
dimensões [12] estão relacionados na Figura IV.3.1 e Tabela IV.3.1
X (cm)
Y (cm)
180
180
Figura IV.3.1 – Domínio bidimensional multiplicativo homogêneo.
Tabela IV.3.1 – Parâmetros materiais e dimensão referentes a Fig. IV.3.1.a D (cm) b Σa (cm)-1 c νΣf (cm)-1
1,000 0,021 0,022 a Coeficiente de difusão. b Seção de choque macroscópica de absorção. c Seção de choque macroscópica de fissão multiplicada pelo número médio de nêutrons gerados.
Este problema nos serviu como problema-teste no qual aplicamos o método
END2D1G-CN utilizando o esquema iterativo FADIS nas versões de varreduras TS e
TC, também utilizamos o esquema iterativo CDIS com varredura TC; a varredura TS
para este esquema tornou-se inviável em situações de domínios geometricamente
assimétricos, e então fizemos comparações de performance entre as diversas aplicações,
conforme verificaremos a seguir. Também fizemos testes de variação do número de
49
iterações internas afixadas para o alcance dos critérios de convergência estipulados.
Para o keff, utilizamos como critério de convergência um desvio relativo percentual entre
duas estimativas consecutivas inferior a 10-7 e para os fluxos escalares médios nas faces
dos nodos, utilizamos um critério de convergência dado pela norma máxima discreta do
vetor desvio relativo percentual entre duas estimativas consecutivas inferior a 10-6 .
O valor analítico do keff, para condições reflexivas nos quatro contornos do
domínio (problema 0-dimensional) é de 1,04761905 que é obtido pela seguinte
expressão
∞=Σ
Σ= kk
a
feff
ν . (IV.3.1)
Os resultados livres de erros de truncamento espaciais gerados pelo método END para
esta aplicação estão listados nas Tabelas IV.3.2 e IV.3.3.
Tabela IV.3.2 – Resultados comparativos entre os esquemas iterativos FADIS com
varreduras TS e TC, e o esquema iterativo CDIS com varredura TC para condições de
contorno do tipo reflexiva (domínio infinito).
FADIS c/varredura a TS FADIS c/varredura b TC CDIS c/varredura b TCGrade
Espacial keff = k∞ Iterações keff = k∞ Iterações keff = k∞ Iterações
6 x 6 1,04761904 27 1,04761859 62 1,04761887 32
8 x 8 1,04761898 13 1,04761888 33 1,04761899 20
10 x 10 1,04761900 14 1,04761882 34 1,04761894 25a Leia-se varredura tipo segmentar.b Leia-se varredura tipo continuada.
Tabela IV.3.3 – Desvio relativo percentual em relação ao valor de referência
(keff = 1,04761905).
FADIS c/varredura TS FADIS c/varredura TC CDIS c/varredura TCGrade
Espacial keff = k∞ Desvio
(%)
keff = k∞ Desvio
(%)
keff = k∞ Desvio
(%)
6 x 6 1,04761904 4,7E-7* 1,04761859 4,4E-5 1,04761887 1,7E-5
8 x 8 1,04761898 6,2E-6 1,04761888 1,6E-5 1,04761899 5,7E-6
10 x 10 1,04761900 4,4E-6 1,04761882 2,2E-5 1,04761894 9,8E-6
* Leia-se 4,7x10-7.
50
Neste ponto, fazemos um outro teste, no qual aplicamos na direção x condições
de contorno tipo reflexiva enquanto que na direção y aplicamos condições de contorno
tipo “fluxo nulo” (problema unidimensional), e em seguida invertemos as direções.
Consideramos os mesmos critérios de convergência para o keff e para os fluxos escalares
médios nas faces dos nodos. Para as condições de contorno consideradas, o valor
analítico de keff é de 1,03263999 que pode ser obtido pela expressão
a
feff
aD
kΣ+
Σ=
2
2πν
, onde a = 180 cm, (IV.3.2)
neste caso o domínio bidimensional é modelado como um domínio unidimensional. Nas
Tabelas IV.3.4 e IV.3.5 apresentamos os resultados gerados pelo método END2D1G-
CN para estas aplicações.
Tabela IV.3.4 – Resultados comparativos entre os esquemas iterativos FADIS com
varreduras TS e TC, e o esquema iterativo CDIG com varredura TC para condições de
contorno do tipo reflexiva em uma direção e tipo “fluxo nulo” em outra direção
(domínio tipo 1D).
FADIS c/varredura TS FADIS c/varredura TC CDIS c/varredura TCGrade
Espacial keff Iterações keff Iterações keff Iterações
6 x 6 a 1,03263985b 1,03263986
33
33
1,03263953
1,03263952
62
61
1,03263980
1,03263980
36
36
8 x 8 1,03263998
1,03263996
16
16
1,03263986
1,03263983
30
29
1,03263992
1,03263992
22
22
10 x 10 1,03263990
1,03263993
17
18
1,03263982
1,03263984
32
32
1,03263985
1,03263985
27
27a valor obtido para condição de contorno tipo reflexiva na direção x e tipo “fluxo nulo” na direção y.b valor obtido para condição de contorno tipo reflexiva na direção y e tipo “fluxo nulo” na direção x.
51
Tabela IV.3.5 – Desvio relativo percentual em relação ao valor de referência
(keff=1,03263999).
FADIS c/varredura TS FADIS c/varredura TC CDIS c/varredura TCGrade
Espacial keff Desvio
(%)
keff Desvio
(%)
keff Desvio
(%)
6 x 6 a1,03263985b1,03263986
1,36E-5*
1,26E-5
1,03263953
1,03263952
4,45E-5
4,55E-5
1,03263980
1,03263980
1,84E-5
8 x 8 1,03263998
1,03263996
9,68E-7
2,91E-6
1,03263986
1,03263983
1,26E-5
1,55E-5
1,03263992
1,03263992
6,78E-6
10 x 10 1,03263990
1,03263993
8,71E-6
5,81E-6
1,03263982
1,03263984
1,64E-5
1,45E-5
1,03263985
1,03263985
1,36E-5
a valor obtido para condição de contorno tipo reflexiva na direção x e tipo “fluxo nulo” na direção y.b valor obtido para condição de contorno tipo reflexiva na direção y e tipo “fluxo nulo” na direção x.
* Leia-se 1,36x10-5.
Agora, aplicamos a este problema o método END1D1G, descrito no Capítulo III,
considerando as condições de contorno conforme os dois testes anteriores
(0-dimensional e unidimensional). Na Tabela IV.3.6 mostramos os resultados gerados
dessas aplicações, onde consideramos o domínio da Figura IV.3.1 em uma única
direção.
Tabela IV.3.6 – Resultados gerados pelo método END1D1G para o problema
homogêneo representado na Figura IV.3.1
c.c. tipo reflexiva c.c tipo “fluxo nulo”N0 de
nodos keff Iteração a Desvio (%) keff Iteração b Desvio (%)
6 1,04761905 1 0,00 1,03263999 10 0,00
8 1,04761905 2 0,00 1,03263999 12 0,00
10 1,04761905 2 0,00 1,03263999 14 0,00a Desvio relativo percentual em relação ao valor de referência do keff = 1,04761905.b Desvio relativo percentual em relação ao valor de referência do keff = 1,03263999.
Verificamos na Tabela IV.3.6 que o método END1D1G é livre de erro de
truncamento espacial, como verificamos no Capítulo III. Também verificamos o bom
comportamento do método END2D1G-CN, quando comparamos os resultados
apresentados nas Tabelas IV.3.3, IV.3.5 e IV.3.6, que apesar de apresentarem ligeiras
52
flutuações, provavelmente devidas a erros de arredondamento da aritmética finita
computacional, os desvios percentuais relativos aos valores analíticos de keff foram
extremamente baixos.
Utilizando os mesmos critérios de convergência, como acima, para as condições
de contorno do tipo “fluxo nulo”, nas quais o valor analítico de keff é de 1,0180832 que
pode ser obtido pela expressão
a
f
eff
baD
k
Σ+
+
Σ=
2
2
2
2 ππ
ν , onde a = b = 180 cm, (IV.3.3)
nós chegamos aos resultados que listamos nas Tabelas IV.3.7 e IV.3.8.
Tabela IV.3.7 – Resultados comparativos entre os esquemas iterativos FADIS com
varreduras TS e TC, e o esquema iterativo CDIG com varredura TC para condições de
contorno do tipo “fluxo nulo” (domínio finito).
FADIS c/varredura TS FADIS c/varredura TC CDIS c/varredura TCGrade
Espacial keff Iterações keff Iterações keff Iterações
6 x 6 1,0187219 38 1,0187219 79 1,0187219 47
8 x 8 1,0184466 16 1,0184459 25 1,0184466 23
10 x 10 1,0183170 18 1,0183169 31 1,0181415 28
Tabela IV.3.8 – Desvio relativo percentual em relação ao valor de referência
(keff=1,0180832).
FADIS c/varredura TS FADIS c/varredura TC CDIS c/varredura TCGrade
Espacial keff = k∞ Desvio
(%)
keff = k∞ Desvio
(%)
keff = k∞ Desvio
(%)
6 x 6 1,0187219 6,27E-2* 1,0187219 6,27E-2 1,0187219 6,27E-2
8 x 8 1,0184466 3,57E-2 1,0184459 3,56E-2 1,0184466 3,57E-2
10 x 10 1,0183170 2,30E-2 1,0183169 2,29E-2 1,0181415 2,29E-2
* Leia-se 6,27x10-2.
53
A partir das Tabelas IV.3.2 a IV.3.8, verificamos alguns pontos interessantes que
valem serem ressaltados, tais como: - quando tratamos do teste do meio infinito, i.e.,
considerando condições do tipo reflexiva nos contornos, verificamos que o desempenho
do método foi muito bom, principalmente para o esquema iterativo FADIS com
varredura TS, o qual apresentou menor número de iterações e menor desvio relativo
percentual em relação ao valor analítico do keff, ainda que todos gerem soluções
numéricas absolutamente livres de erros de truncamento espacial. Similarmente, o
esquema iterativo FADIS com varredura TS apresentou melhor desempenho para o teste
em que consideramos meio infinito em uma dada direção espacial, simulando um
domínio unidimensional na outra direção, apesar de o esquema iterativo CDIS não
apresentar flutuações nos resultados quando invertemos as direções. Enfatizamos neste
ponto que o método END2D1G-CN também gera soluções numéricas completamente
livres de erros de truncamento espacial para estes casos unidimensionais modelados em
domínios retangulares. Quando tratamos do teste do meio finito, considerando “fluxo
nulo” em todos os contornos do problema, sabendo que a teoria da difusão tem sua
validade restrita nos contornos do meio como mencionado no Capítulo II, o
desempenho do método também foi bom com o desvio relativo percentual em relação
ao valor analítico do keff ficando da ordem de 10-2 % apesar de nos testes anteriores os
desvios ficarem nos limites de 10-7 a 10-5 %. O aumento no devido relativo dos
resultados gerados para este problema-modelo bidimensional é devido à aproximação
que se considera nos termos de fuga transversal nas equações nodais da difusão
integradas transversalmente, que introduz erros de truncamento espacial no método.
Novamente no que diz respeito ao par desvio/iteração o esquema iterativo FADIS com
varredura TS teve o melhor desempenho. Ademais, o valor gerado para o keff pelo
método END2D1G-CN com grade espacial de 60 x 60 nodos (3 x 3 cm) foi de
1,0180858 que apresenta um desvio relativo percentual do valor analítico do keff =
1,0180832 de aproximadamente 2,6x10-4 %. Isto ilustra a convergência dos resultados
gerados pelo método END2D1G-CN à medida que a grade espacial torna-se mais fina.
Ressaltamos neste ponto que de acordo com os resultados que listamos na
Tabela IV.3.9 para os valores de keff gerados pelo convencional método de expansão
nodal NEM-2D1G [10], observamos que este método gera resultados mais precisos em
cálculos de malha grossa, além de induzir menores desvios relativos à medida que a
grade espacial engrossa. Isto muito provavelmente ocorre para este problema-modelo
em razão de a aproximação considerada nos termos de fuga transversal no método
54
NEM-2D1G ser superior ( 2a ordem) à aproximação considerada no método END2D1G-
CN (constante). Em contraste a isso, enfatizamos que a classe de métodos de expansão
nodal não está incluída na classe dos métodos nodais analíticos por conta que, se
desconsiderarmos os termos de fuga transversal, i.e., problema unidimensional, ainda
assim os métodos de expansão nodal não geram soluções numéricas livres de erros de
truncamento espacial, o que não ocorre com os métodos nodais analíticos, e.g., o
método QUANDRY [19] e o método END.
Tabela IV.3.9 – Resultados para o keff gerados pelo método END2D1G-CN com
esquema iterativo FADIS com varreduras TS e pelo método NEM para condições de
contorno do tipo “fluxo nulo” (domínio finito).
FADIS c/varredura TS NEMGrade
Espacial keff Iterações a Desvio (%) keff Iterações a Desvio(%)
12 x 12 1,018246 22 1,60E-2 1,018085 110 1,77E-4
20 x 20 1,018142 49 5,77E-3 1,018083 160 1,96E-5
60 x 60 1,018086 334 2,75E-4 1,018083 383 1,96E-5a Desvio relativo percentual em relação ao valor de referência do keff = 1,0180832.
Diante dos resultados apresentados, decidimos então optar por um único
esquema iterativo para darmos continuidade às aplicações do método END2D1G-CN
aos problemas que apresentamos a seguir e, para os quais consideramos outras
condições de contorno e domínios espaciais mais amplos com regiões multiplicativas
heterogêneas. Antes, porém, vamos verificar um outro ponto relativo à eficiência dos
códigos END2D1G-CN com o esquema FADIS com varredura TS e o esquema CDIS,
uma vez que os números de iterações para a convergência apresentaram a mesma ordem
no terceiro teste. Este ponto é o tempo de execução computacional (tempo de CPU) para
a estimativa do valor do keff quando variamos o número de iterações internas que
estimam valores para os fluxos escalares médios nas faces x e y dos nodos. Na Tabela
IV.3.10 apresentamos os resultados dessa comparação.
55
Tabela IV.3.10 – Resultado comparativo dos números de iterações externas e tempo de
CPU entre o esquema FADIS com varredura TS e o esquema CDIS com varredura TC
numa grade fixa.
Problema – teste Homogêneo ; Grade 6 x 6 ; condições de contorno: “fluxo nulo”
CDIS FADIS
keffa I E b I I c Tempo CPU
d (cs)
keff I E I I Tempo CPU
(cs)
1,0187217 321 1 88 1,0187216 287 1 59
1,0187219 73 5 38 1,0187214 56 5 32
1,0187219 47 10 39 1,0187219 38 10 32
1,0187219 43 15 50 1,0187218 34 15 33
1,0187219 42 20 66 1,0187217 32 20 38
1,0187219 40 100 280 1,0187217 29 100 76a Iterações Externas.b Iterações Internas.c Tempo de processamento em CPU de um Microcomputador Pentium III – 750MHz – 128Mb.d Leia-se centésimos de segundo.
Baseados nestes resultados adicionais, onde o esquema iterativo FADIS com
varredura TS apresentou menor tempo de CPU para atingir os critérios de convergência
estabelecidos, optamos por eleger o esquema iterativo FADIS com varredura TS como
o mais eficiente para fazermos a modelagem computacional dos problemas que
apresentamos a seguir.
56
Caso 2: Aqui apresentamos o problema–benchmark heterogêneo da Agência
Internacional de Energia Atômica - IAEA que é um reator modelo de duas dimensões a
um grupo de energia imerso numa piscina com água leve, como descrito na Figura
IV.3.2, e cujos parâmetros das diferentes zonas materiais das regiões são apresentados
na Tabela IV.3.11
18
43
68
86
18 48 78 96
1 2
4 3
5
0 X (cm)
Y (cm)
Figura IV.3.2 – Domínio bidimensional 4 x 4 heterogêneo multiplicativo e absorvedor
com refletor.
Tabela IV.3.11 – Parâmetros materiais referentes a Figura IV.3.2.
Zona Material Descrição D (cm) Σa (cm-1) νΣf (cm-1)
1 Combustível 0,65360 0,07 0,079
2 Absorvedor 0,70420 0,28 0,0
3 Combustível 0,55556 0,04 0,043
4 Absorvedor 0,55556 0,15 0,0
5 Água Leve 0,43478 0,01 0,0
Este núcleo contém 4 regiões retangulares, onde a primeira e a terceira contêm
material fissionável, e a segunda e a quarta contêm fortes absorvedores mas nenhum
material fissionável. Este problema é muito diferente de qualquer reator comercial e foi
desenhado para modelagem com um método de transporte. Porém, conforme referência
[19], foi feita uma modelagem computacional deste problema usando um método nodal
57
analítico de difusão: o método QUANDRY com aproximação polinomial quadrática nas
fugas transversais. Segundo a referência [19], a solução numérica gerada pelo método
QUANDRY revela que os fluxos escalares médios gerados no interior das regiões têm
as razões aproximadamente de 1:10:500:4 e essas grandes diferenças tornam este
problema de difícil simulação, dado ao forte gradiente da solução que ocorre.
Os resultados gerados pelo método QUANDRY indicam que as soluções de
malha grossa, 12 x 12 por região (a mais grossa da referência [19]) são muito precisas
exceto para os fluxos na região 1. De fato, a solução de malha muito grossa apresenta
fluxos negativos em alguns nodos da região 1. Isto implica que a aproximação da fuga
transversal pode não estar adequada em alguns nodos, induzindo a fluxos negativos.
Testamos o nosso método END2D1G-CN com o esquema iterativo FADIS com
varredura TS neste problema de difícil solução numérica e comparamos com os
resultados gerados pelo método QUANDRY.
Na Tabela IV.3.12 apresentamos os resultados da aplicação do nosso método a
este benchmark, para o qual utilizamos nos contornos do refletor a condição tipo “fluxo
nulo”. Utilizamos como critério de convergência um desvio relativo percentual inferior
a 10-5 para o keff e a norma máxima do desvio relativo percentual inferior a 10-4 para os
fluxos escalares médios nas faces dos nodos. Também apresentamos os resultados da
aplicação do método QUANDRY, que gerou o valor de referência para o autovalor
keff = 0,99222 para uma grade espacial fina de 30 x 26 nodos por região.
Tabela IV.3.12 – Resultados comparativos de keff entre o método END e QUANDRY.
Grade
Espacial
Método keff Iterações a Desvio (%) b Tempo CPU
(segundo)
3 x 3 END 0,99577 18 0,358 2
8 x 8 END 0,99273 84 0,051 12
12 x 12 END
QUANDRY
0,99244
0,99276
174 0.022
0,054
45
16 x 16 END
QUANDRY
0,99234
0,99236
294 0,012
0,014
129
20 x 20 END
QUANDRY
0,99229
0,99222
441 0,007
___
304
a Desvio relativo percentual em relação ao valor de referência keff = 0,99222.b Tempo de processamento na CPU de um Microcomputador Pentium III – 550MHz – 64Mb.
58
Tabela IV.3.13 – Resultados comparativos de fluxos escalares médios no interior das
regiões gerados pelos métodos END2D1G-CN e QUANDRY.
Fluxo médio no interior da região
Grade
Espacial Método
1 2 3 4
a Razão entre
os Fluxos
3 x 3 END 0,0071860 0,025930 1,31100 0,010850 1:4:182:2
8 x 8 END 0,0037940 0,028260 1,39600 0,012020 1:7:368:3
12 x 12 END
QUANDRY
0,0034050
-0,0000025
0,028880
0,000342
1,42300
0,01688
0,012300
0,000144
1:8:418:4
___
16 x 16 END
QUANDRY
0,003258
0,000015
0,029070
0,000343
1,43100
0,01687
0,012380
0,000146
1:9:439:4
1:23:1125:10
20 x 20 END
QUANDRY
0,003185
0,000031
0,029120
0,000343
1,43200
0,01686
0,012400
0,000146
1:9:450:4
1:11:544:5a Razão entre os fluxos escalares médios no interior das regiões, conforme a referência [11] é de
aproximadamente 1:10:500:4.
Verificamos nas Tabelas IV.3.11 e IV.3.12 que o nosso método END nos
permitiu obter resultados satisfatórios para este problema de difícil solução numérica,
utilizando uma grade espacial grossa de 3 x 3 nodos por região, com todos os fluxos
escalares médios positivos, correspondendo a uma ordem de 1/16 do número de nodos
da malha de 12 x 12, a mais grossa utilizada pelo método QUANDRY com fluxo médio
no interior da região 1 negativo. Ademais, observamos que a razão entre estes fluxos
médios foi convergindo para a razão de referência à medida que a malha foi se tornando
mais fina, mantendo um padrão regular desde a malha mais grossa considerada até a
malha mais fina. Claramente, como trata-se de um problema de autovalor, as soluções
numéricas geradas pelos códigos QUANDRY e END2D1G-CN podem ser distintas a
menos de fatores de normalização. Neste sentido, as razões entre os fluxos escalares
médios não normalizados gerados pelo código END2D1G-CN para cada grade espacial
e os fluxos escalares médios não normalizados da referência, devem permanecer
aproximadamente constantes. Portanto, elegendo a grade espacial 8 x 8 nodos por região
em relação à grade espacial 20 x 20 nodos por região, e observamos que essas razões
permaneceram na ordem de 82 unidades, exceto na região 1, onde esta razão foi igual a
122 unidades. Esta diferença se reduz à medida que a grade espacial se torna mais fina,
e ela terá ocorrido com maior evidência na região 1 possivelmente em razão do elevado
59
valor da sua seção de choque macroscópica de absorção, em relação às demais regiões
vizinhas.
Listamos também na Tabela IV.3.11 o tempo de execução computacional
(tempo de CPU) estimado por uma subrotina oferecida pela Microsoft Fortran.
Observamos que tão simplesmente à medida que a grade espacial engrossa o tempo de
CPU reduz-se significativamente. No caso do código QUANDRY, os tempos de CPU
não foram apresentados porque eles não estão fornecidos na referência [19].
60
Caso 3: apresentamos o problema do reator PWR ZION1 com baffle
explicitamente modelado conforme mostra a Figura IV.3.3
18,7505
2,857521,60810,804
X (cm)
Y (cm)
5
3
2
4
1
Figura IV.3.3 – Domínio bidimensional heterogêneo de um quarto de núcleo do reator
PWR ZION1 com camada de baffle-refletor.
Este problema originalmente foi modelado como um reator bidimensional a dois grupos
de energia com baffle explícito, cujo núcleo contém uma zona externa de alto
enriquecimento e uma zona interna carregada com dois tipos de elementos de baixo
enriquecimento, o núcleo é rodeado com baffle e água leve como refletor e moderador,
respectivamente. Fizemos a adaptação deste problema para o caso de um grupo de
energia, e para tanto, modificamos as seções de choque macroscópicas de fissão do
problema original, dividindo-as pelo valor de keff = 0,645152 gerado pelo método NEM-
2D1G em grade espacial constituída de 64 x 64 nodos por região. Portanto, o reator
representado na Figura IV.3.3 constitui um sistema crítico. Os parâmetros modificados
das zonas materiais são apresentados na Tabela IV.3.14.
61
Tabela IV.3.14 - Parâmetros materiais referentes à Figura IV.3.3.
Zona Material Descrição D (cm) Σa (cm-1) νΣf (cm-1)
1 Combustível 1,42650 9,02000E-3 1,01300E-2
2 Combustível 1,41760 8,55000E-3 8,32000E-3
3 Combustível 1,41920 8,82000E-3 9,33000E-3
4 Baffle Refletor 1,02130 3,22000E-3 0,0
5 Moderador 1,45540 4,70000E-4 0,0
Simulamos este problema usando o método END2D1G-CN que gerou valores para o
keff, conforme exibimos na Tabela IV.3.15 . Como valor de referência, nós utilizamos o
keff = 1,000000 uma vez que passamos a ter um reator crítico. Utilizamos como critério
de convergência um desvio relativo percentual inferior a 10-6 para o keff e a norma
máxima do desvio relativo percentual inferior a 10-5 para os fluxos escalares médios nas
faces dos nodos.
Tabela IV.3.15 – Resultados comparativos para os valores de keff gerados pelos métodos
END2D1G-CN e NEM-2D1G .
Grade
Espacial
Método keff Iterações a Desvio
(%)
b Tempo CPU
(segundo)
1 x 1 END
NEM
1,000795
1,000031
248
366
0,0795
0,0031
1
2
2 x 2 END
NEM
1,000637
1,000031
864
366
0,0637
0,0031
5
2
4 x 4 END
NEM
1,000497
1,000020
2191
664
0,0497
0,0020
43
14
8 x 8 END
NEM
1,000169
1,000016
6134
1210
0,0169
0,0016
460
106
16 x 16 END
NEM
0,999597
1,000003
15645
1456
0,0403
0,0003
72020
220
64 x 64 NEM 1,000000* 1842 ___ ___
* Valor de referência (reator crítico).a Desvio relativo percentual em relação ao valor de referência.b Tempo de processamento na CPU de um Microcomputador Pentium III – 750 MHz – 128 Mb.
62
Ressaltamos também que obtivemos os fluxos escalares médios no interior dos
nodos usando as equações auxiliares (IV.1.33) e (IV.1.34) a partir dos valores
convergidos para os fluxos escalares médios nas faces x e y dos nodos. Desta forma,
determinamos os fluxos escalares médios no interior de cada região do núcleo
representado na Figura IV.3.3. Também, determinamos a distribuição da densidade de
potência em cada região por unidade de comprimento de altura do núcleo, conforme a
teoria exposta no Apêndice A.
Observamos na Tabela IV.3.15 que os tempos de CPU para a convergência do
método END em cálculos de malha grossa são bastantes inferiores aos tempos de CPU
para a convergência do método NEM, com desvios relativos percentuais inferiores
apesar da aproximação superior usada no método NEM. Isto ocorreu em contraste aos
cálculos de malha fina, onde o código NEM convergiu muito mais rapidamente. Razões
para isto serão discutidas no Capítulo VII de conclusões.
Na Tabela IV.3.16 apresentamos uma saída completa do método END2D1G-CN
com grade espacial constituída de 16 x 16 nodos por região, onde aparecem listados: (i)
a distribuição da densidade de potência por unidade de comprimento de altura do reator
gerada por cada região multiplicativa; (ii) a distribuição do fluxo escalar médio no
interior de cada região normalizado pela potência nominal do reator, conforme
descrevemos no Apêndice A. Apenas apresentamos as regiões multiplicativas, onde a
densidade de potência é não nula.
63
Tabela IV.3.16 – Saída completa do resultado gerado pelo método END2D1G-CN
numa grade espacial de 16 x 16 nodos por região.
8,037E-01 1,814E+00 1,591E+00 1,774E+00 1,536E+00 1,693E+00 1,431E+00 1,511E+00
4,138E+09 4,164E+09 4,095E+09 4,072E+09 3,954E+09 3,887E+09 3,684E+09 3,195E+09
1,814E+00 3,199E+00 3,591E+00 3,128E+00 3,463E+00 2,979E+00 3,521E+00 2,987E+00
4,165E+09 4,118E+09 4,121E+09 4,026E+09 3,974E+09 3,834E+09 3,722E+09 3,158E+09
1,591E+00 3,591E+00 3,150E+00 3,516E+00 3,034E+00 3,298E+00 2,714E+00 2,788E+00
4,095E+09 4,121E+09 4,055E+09 4,036E+09 3,905E+09 3,785E+09 3,493E+09 2,948E+09
1,774E+00 3,128E+00 3,516E+00 3,081E+00 3,418E+00 2,859E+00 3,166E+00 2,399E+00
4,072E+09 4,027E+09 4,036E+09 3,966E+09 3,923E+09 3,680E+09 3,347E+09 2,536E+09
1,536E+00 3,463E+00 3,034E+00 3,418E+00 3,377E+00 3,148E+00 2,883E+00
3,954E+09 3,974E+09 3,905E+09 3,923E+09 3,876E+09 3,613E+09 3,048E+09
1,693E+00 2,979E+00 3,298E+00 2,859E+00 3,148E+00 3,107E+00 2,398E+00
3,887E+09 3,834E+09 3,785E+09 3,680E+09 3,613E+09 3,285E+09 2,535E+09
1,431E+00 3,521E+00 2,714E+00 3,166E+00 2,883E+00 2,398E+00
3,684E+09 3,723E+09 3,493E+09 3,347E+09 3,048E+09 2,535E+09
1,511E+00 2,987E+00 2,789E+00 2,399E+00
3,195E+09 3,158E+09 2,948E+09 2,536E+09
a Distribuição de potência.b Fluxo escalar médio normalizado.
Verificamos na Tabela IV.3.16 que o somatório dos valores listados na parte
superior é igual a 150, pois supomos uma potência nominal de 600 MW/cm gerada no
núcleo inteiro.
64
Caso 4: Nesta seção apresentamos o problema–modelo representado na Figura
IV.3.4, que descreve um quarto de núcleo de um reator retangular não refletido, com
simetria de 1/4, composto de nove regiões com três diferentes zonas materiais
multiplicativas [19], cujos parâmetros materiais são apresentados na Tabela IV.3.17.
0
80
56
24
805624
3
1
3
X (cm)
Y (cm)
2
Figura IV.3.4 – Domínio bidimensional heterogêneo de um quarto de núcleo do reator
não refletido apresentado na referência.
Tabela IV.3.17 - Parâmetros materiais referente a Figura IV.3.4.
Zona Material Descrição D (cm) Σa (cm-1) νΣf (cm-1)
1 Combustível 1,400 0,01 0,007
2 Combustível 1,400 0,1 0,007
3 Combustível 1,300 0,008 0,003
Este problema considerado na referência [19] foi modelado originalmente
usando um modelo cinético de difusão bidimensional a dois grupos de energia e um
grupo de nêutrons retardados. Foi utilizado como problema-teste para gerar resultados
de transientes pelo método nodal analítico QUANDRY. Fizemos uma adaptação para o
caso de um grupo de energia, onde tornamos o reator crítico apenas com nêutrons
prontos a partir da aplicação do método END2D1G-CN em uma malha de 64 x 64
65
nodos por região. Para tanto, utilizamos os valores dos parâmetros materiais listados na
Tabela IV.3.17, que geraram um valor para keff = 0,332968, pelo qual dividimos as
seções de choque macroscópicas de fissão listadas na Tabela IV.3.17. Aplicamos o
método END2D1G-CN a este problema crítico para gerar resultados de keff e
distribuição de potência. Analisamos o desempenho do método à medida que
engrossamos a grade espacial. Utilizamos condições de contorno do tipo reflexiva nos
eixos de simetria do domínio e do tipo “fluxo nulo” nos contornos externos. Como valor
de referência utilizamos, o keff = 1,000000 uma vez que tornamos o reator crítico.
Similarmente, adaptamos o reator original [19] para um reator crítico a um grupo
de energia a partir da modificação das seções de choque macroscópicas de fissão,
dividindo-as pelo valor do keff = 0,332231 gerado pelo método NEM-2D1G em uma
grade espacial de 64 x 64 nodos por região. Em um segundo momento, aplicamos o
método NEM-2D1G a este problema crítico para também gerar resultados de keff e
distribuição de potência, e analisarmos o desempenho do método à medida que
engrossamos a grade espacial. Ressaltamos que temos aqui dois problemas críticos
diferentes: um gerado pela aplicação do método END e o outro gerado pela aplicação do
método NEM, ambos a partir do mesmo problema original. Então, fazemos uma
comparação desvinculada entre os desempenhos dos métodos aplicados aos seus
respectivos problemas críticos.
Na Tabela IV.3.18, apresentamos os resultados para o autovalor dominante keff
gerado pelo método END2D1G-CN em comparação aos resultados gerados pelo método
NEM-2D1G.
66
Tabela IV.3.18 – Resultados comparativos de keff entre o método END2D1G-CN e
NEM-2D1G.
Grade
Espacial
Método keff Iterações a Desvio
(%)
b Tempo CPU
(segundo)
2 x 2 END
NEM
1,021775
1,010015
65
63
2,177
1,001
1
0,06
4 x 4 END
NEM
1,005757
1,000809
210
101
0,575
0,081
4
0,2
8 x 8 END
NEM
1,001354
1,000039
664
173
0,135
0,004
18
0,9
16 x 16 END
NEM
0,999904
0,9999961
2014
312
0,0096
0,0004
123
6
32 x 32 END
NEM
0,9985118
0,9999970
5943
576
0,1488
0,0003
1176
42a Desvio relativo percentual em relação ao valor de referência (reator crítico, keff = 1,000000).b Tempo de processamento na CPU de um Microcomputador Pentium III – 900MHz – 128Mb.
Utilizamos como critério de convergência um desvio relativo percentual entre duas
estimativas consecutivas inferior a 10-6 para o keff e para os fluxos médios nas faces dos
nodos, utilizamos um critério de convergência dado pela norma máxima discreta do
vetor desvio relativo percentual entre duas estimativas consecutivas inferior a 10-5. Para
este experimento, ambos os métodos não atingiram convergência na grade espacial mais
grossa de 1 x 1 nodo por região.
67
Caso 5: Apresentamos agora mais um experimento numérico que corresponde a
uma versão diferente do caso anterior. Nesta versão, é introduzida como região externa
de refletor, uma camada fina de material não multiplicativo e de baixa seção de choque
macroscópica de absorção que simulará uma região de baffle radial. A Figura IV.3.5
descreve a nova configuração do problema após a adição do baffle e a Tabela IV.3.19
apresenta os valores dos parâmetros materiais que são os mesmos do caso anterior
acrescidos da nova zona material.
0
8380
56
24
80 835624
3
1
3
X (cm)
Y (cm)
2
4
Figura IV.3.5 – Domínio bidimensional heterogêneo de um quarto de núcleo do reator
não refletido como apresentado na referência [19] com camada de baffle explícito.
Tabela IV.3.19 - Parâmetros materiais referente a Figura IV.3.5.
Zona Material Descrição D (cm) Σa (cm-1) a νΣf (cm-1)
1 Combustível 1,4000 0,01 0,007
2 Combustível 1,4000 0,1 0,007
3 Combustível 1,3000 0,008 0,003
4 Baffle 1,0213 0,00322 0,0a seção de choque macroscópica de fissão original (Tabela IV.3.).
68
Neste problema, com baffle explícito, utilizamos os mesmos critérios de
convergência e as mesmas condições de contorno que no caso 4. Exibimos na Tabela
IV.3.20 os resultados gerados pelos métodos END2D1G-CN e NEM-2D1G para o keff.
Tabela IV.3.20 – Resultados comparativos para os valores de keff gerados pelos métodos
END2D1G-CN e NEM-2D1G .
Grade
Espacial
Método
END
keff
Iterações a Desvio
(%)
Método
NEM
keff
Iterações a Desvio
(%)
2 x 2 1,036128 74 1,998 1.025552 62 0,958
4 x 4 1,021205 235 0,529 1.016613 99 0,077
8 x 8 1,017139 771 0,129 1.015870 171 0,004
16 x 16 1,015916 2487 0,008 1.015830 308 0,0002
32 x 32 1,014902 7545 0,091 1.015831 568 0,0003a Desvio relativo percentual em relação ao valor de referência de keff = 1,015828 na grade de 64 x 64 dométodo NEM-2D1G.
Vemos na Tabela IV.3.20 que o sistema tornou-se supercrítico pela inclusão da região
extra de baffle radial, quando comparamos com os resultados listados na Tabela IV.3.18
referente ao problema crítico. Isto é devido ao fato de as dimensões do domínio ter
aumentado com conseqüente redução da fuga de partículas do domínio para o meio
externo. Ambos os métodos não atingiram convergência, para este problema, na grade
espacial mais grossa de 1 x 1 nodo por região.
69
CAPÍTULO V
CONDIÇÕES DE CONTORNO TIPO ALBEDO E BUCKLING AXIAL
GEOMÉTRICO APLICADO AO MÉTODO NUMÉRICO ESPECTRO-NODAL
CONSTANTE PARA PROBLEMAS DE DIFUSÃO A UMA VELOCIDADE E
DUAS DIMENSÕES
V-1 Condição de Contorno Tipo Albedo
Neste capítulo descrevemos a aplicação de uma condição de contorno tipo
albedo de forma não convencional aos problemas-modelo heterogêneos apresentados no
Capítulo IV, casos 2, 3 e 5.
O termo albedo, que tem origem no latim, significa alvura ou brancura, e foi
primeiro usado pelo astrônomo francês J. H. Lambert (1760) para definir a fração da luz
incidente que é refletida difusamente por uma superfície [16]. Neste capítulo,
estendemos o conceito original de albedo para a reflexão difusa de nêutrons, seguindo a
teoria da difusão e com a motivação matemática das equações discretizadas da difusão
de nêutrons, onde é simplificador relacionar fluxo escalar com corrente total no
contorno. Nesta tese definimos este parâmetro de relação como albedo.
A condição de contorno tipo albedo, neste sentido, é usada para aproximar os
efeitos de materiais externos, no interior dos quais um cálculo neutrônico detalhado é
dispensável; como por exemplo, o caso de sistemas baffle-refletor em reatores térmicos
do tipo a água leve pressurizada (PWR).
Como mencionamos no Capítulo II, a condição de contorno tipo albedo é
representada pelo parâmetro albedo ou coeficiente de reflexão. Aqui, nós determinamos
este parâmetro para o caso de a região externa ao núcleo ser composta por uma única
região refletora, e para o caso de ser composta por duas regiões refletoras, baffle e
moderador no caso de reatores PWR. Portanto,
mamm D ,Σ=α (V.1.1)
é o parâmetro de albedo para uma única região refletora m e,
70
ΣΣ+
ΣΣ
ΣΣ+
ΣΣ
Σ=
DpD
DpD
DpD
DpD
Dmaba
maba
maba
maba
bamb,,
,,
senhcosh
coshsenh
,,
,,
,,α (V.1.2)
é o parâmetro de albedo para duas regiões refletoras. Este último tende para o primeiro
quando a largura p do baffle tende para zero, ou quando igualamos a região de baffle,
simbolizada por b, à região de moderador, simbolizada por m. A obtenção das
expressões (V.1.1) e (V.1.2) são apresentadas no Apêndice B.
É esperado que, com a aplicação deste tipo não convencional de condição de
contorno, o fator de multiplicação efetivo, keff, aumente muito pouco seu valor, uma vez
que, consideramos a região de refletor, e. g., a água, como um domínio unidimensional
infinito, desprezando a fuga transversal. Portanto, vamos verificar o comportamento
deste efeito nos problemas simulados no Capítulo IV, conservando os mesmos critérios
de convergência e parâmetros das zonas materiais.
Caso 1: apresentamos o problema do reator benchmark da IAEA simulado pelo
método nodal analítico QUANDRY, cujas dimensões e parâmetros das zonas materiais
estão apresentados na Figura IV.3.2 e Tabela IV.3.7 (caso 2 do Capítulo IV). Aqui,
aplicamos o método END2D1G-CN com condições de contorno tipo albedo.
Consideramos, então, o seguinte domínio representado na Figura V.1.1.
18
43
68
86
18 48 78 96
1 2
4 3
0 X (cm)
Y (cm)
Figura V.1.1 - Reator benchmark da IAEA sem a região refletora externa.
71
Apresentamos na Tabela V.1.1 os resultados gerados pelo método END2D1G-CN com
condições de contorno tipo albedo aplicadas em todos os lados do domínio do reator
com a região refletora externa implícita, em comparação aos resultados gerados para o
problema original apresentado no caso 2 do Capítulo IV com refletor explícito.
Ressaltamos que o método QUANDRY não fez estudo dessa natureza e, portanto não
temos valores de referência. Como neste caso temos apenas uma região compondo a
parte refletora, usamos o parâmetro albedo dado pela expressão (V.1.1).
Tabela V.1.1 – Resultados gerados pelo método END2D1G-CN com aplicação de
condições de contorno tipo albedo em comparação aos resultados apresentados na
Tabela IV.3.8.
Grade
Espacial
Núcleo keff Iterações a Desvio
(%)
b Tempo CPU
(segundos)
3 x 3 Refletor explícito
Refletor implícito
0,99577
1,00032
18
16
___
0,457
2,0
1,0
8 x 8 Refletor explícito
Refletor implícito
0,99273
0,99763
84
69
___
0,493
26,0
4,1
12 x 12 Refletor explícito
Refletor implícito
0,99244
0,99737
174
142
___
0,497
74,3
13,5
16 x 16 Refletor explícito
Refletor implícito
0,99234
0,99728
294
237
___
0,498
232,1
35,4
20 x 20 Refletor explícito
Refletor implícito
0,99229
0,99724
441
353
___
0,499
406,5
72,3
a Desvio relativo percentual em relação ao valor de keff com refletor explícito. b Tempo de processamento na CPU de um Microcomputador Pentium III – 900 MHz – 128 Mb.
Na Tabela V.1.1 verificamos que a aplicação das condições de contorno tipo albedo
gerou resultados em consonância com o esperado: (i) houve ligeiro aumento do valor do
keff numa proporção quase constante à medida que afinamos a grade espacial; (ii)
ocorreu redução do número de iterações, pois a dimensão do domínio não multiplicativo
de penetração profunda diminuiu; e (iii) houve redução do tempo de CPU pela
justaposição da redução do número de pontos e da redução do número de iterações
externas.
72
Caso 2: Aqui apresentamos o problema do reator PWR ZION-1 (caso 3, Figura
IV.3.3 do Capítulo IV), onde realizamos dois experimentos numéricos: (i) apenas a
região de baffle explícita, com representação aproximada da região refletora (água leve)
pelas condições de contorno tipo albedo de uma região; e (ii) o sistema baffle-refletor
implícito, com representação aproximada do sistema pelas condições de contorno tipo
albedo de duas regiões. Os parâmetros das zonas materiais são os mesmos que os
listados na Tabela IV.3.14. Os domínios dos dois experimentos são os representados nas
Figuras V.1.4a e V.1.4b, respectivamente.
4
10,804
21,608
18,7505
18,7505
2,857521,60810,804
X (cm)
Y (cm)
3
2 1
Figura V.1.2a - Reator ZION-1 com baffle explícito e região refletora mais externa
implícita.
73
10,804
21,608
18,7505
18,7505
2,857521,60810,804
X (cm)
Y (cm)
3
2 1
Figura V.1.2b - Reator ZION-1 com o sistema baffle-refletor implícito.
Na Tabela V.1.2 apresentamos os resultados gerados pelo método END2D1G-CN para
os experimentos 2.(i) e 2.(ii), para o reator ZION-1, com aplicação das condições de
contorno tipo albedo em comparação com os resultados gerados no caso do domínio
completo apresentados na Tabela IV.3.15, caso 3 do Capítulo IV.
74
Tabela V.1.2 – Resultados gerados pelo método END2D1G-CN com aplicação da
condição de contorno tipo albedo em comparação aos resultados apresentados na Tabela
IV.3.15.
Grade
Espacial
Núcleo keff Iterações Desvio
(%)
c Tempo CPU
(segundo)
1 x 1
baffle-refletor explícitosd baffle exp./refletor imp.
baffle-refletor implícitos
1,000795
1,010104
1,012344
248
215
195
____
a 0,930b 1,154
1,4
1,2
1,1
2 x 2
baffle-refletor explícitos
baffle exp./refletor imp.
baffle-refletor implícitos
1,000637
1,009934
1,012160
864
585
516
___
0,929
1,152
5,5
4,1
3,5
4 x 4
baffle-refletor explícitos
baffle exp./refletor imp.
baffle-refletor implícitos
1,000497
1,009777
1,012003
2191
1576
1331
___
0,928
1,150
43,2
25,5
18,5
8 x 8
baffle-refletor explícitos
baffle exp./refletor imp.
baffle-refletor implícitos
1,000169
1,009391
1,011617
6134
3666
2769
___
0,922
1,145
460,0
204,3
130,1
16 x 16
baffle-refletor explícitos
baffle exp./refletor imp.
baffle-refletor implícitos
0,999597
1,009283
1,010604
15645
11404
4739
___
0,969
1,101
72020,3
2620,2
867,7a
Desvio relativo percentual de keff com baffle explícito e refletor implícito relativo ao keff com baffle-
refletor explícitos. b Desvio relativo percentual de keff com baffle-refletor implícitos relativo ao keff com
baffle-refletor explícitos. c Tempo de processamento na CPU de um Microcomputador Pentium III –
750MHz – 128 Mb. d Leia-se baffle explícito e refletor implícito.
Nestes experimentos numéricos verificamos que, de acordo com a Tabela V.1.2,
o comportamento da aplicação das condições de contorno tipo albedo, tanto para uma
região quanto para duas regiões não multiplicativas, seguiu o esperado. Ressaltamos a
distorção nos desvios relativos percentuais para o caso da malha fina, 16 x 16, em
relação aos demais desvios que se mantiveram quase constantes. Isto deve-se ao fato da
difícil convergência no caso do sistema baffle-refletor explícito, onde a região de baffle
também foi dividida em 16 x 16 nodos que levou ao elevado número de iterações
necessárias para atingir a convergência. Apesar deste fato, os valores do keff
aumentaram ligeiramente e os tempos de processamento diminuíram, como esperado.
75
Caso 3: apresentamos o problema do reator descrito no caso 5, Figura IV.3.5 do
Capítulo IV. Novamente mantivemos os mesmos parâmetros das zonas materiais do
núcleo, como apresentados na Tabela IV.3.19, e retiramos a região não multiplicativa de
baffle radial, a qual representamos aproximadamente pela aplicação das condições de
contorno tipo albedo, que neste caso, serão no lado direito e no topo do domínio,
enquanto que no lado esquerdo e na base são mantidas as condições de contorno tipo
reflexiva (albedo = zero). O novo domínio de cálculo passa a ser o representado na
Figura V.1.4.
0
8380
56
24
80 835624
3
1
3
X (cm)
Y (cm)
2
Figura V.1.3 - Reator descrito no caso 5 do Capítulo IV com a região não multiplicativa
externa implícita.
Na Tabela V.1.3 apresentamos os resultados gerados pelo método END2D1G-CN com
a aplicação das condições de contorno tipo albedo em comparação com os resultados
gerados para o caso5 do Capítulo IV, onde o domínio apresentava a região refletora
externa explícita.
76
Tabela V.1.3 – Resultados gerados pelo método END2D1G-CN com aplicação de
condições de contorno tipo albedo em comparação aos resultados apresentados na
Tabela IV.3.20.
Grade
Espacial
Núcleo keff Iterações a Desvio
(%)
b Tempo CPU
(segundo)
2 x 2 Refletor explícito
Refletor implícito
1,036128
1,079303
74
77
___
4,167
1,8
1,4
4 x 4 Refletor explícito
Refletor implícito
1,021205
1,067117
235
254
___
4,496
6,3
4,1
8 x 8 Refletor explícito
Refletor implícito
1,017139
1,063781
771
834
___
4,586
32,1
19,9
16 x 16 Refletor explícito
Refletor implícito
1,015916
1,062670
2487
2666
___
4,602
270,9
152,0
32 x 32 Refletor explícito
Refletor implícito
1,014902
1,061334
7545
7967
___
4,575
3343,5
1940,8a Desvio percentual relativo ao valor de keff com refletor explícito. b Tempo de processamento na CPU de um Microcomputador Pentium III – 900 MHz – 128 Mb.
Na Tabela V.1.3 verificamos que a aplicação das condições de contorno tipo
albedo manteve comportamento semelhante aos casos anteriores, onde percebemos: (i)
um ligeiro aumento do valor de keff numa proporção quase constante à medida que
afinamos a malha; (ii) redução do número de iterações; e (iii) redução do tempo de
CPU.
77
V.2 - Buckling Axial Geométrico para Simulação de Problemas em Três Dimensões
Consideramos um sistema Cartesiano tridimensional no qual o fluxo escalar de
nêutrons no domínio adquira a forma senoidal na direção axial homogênea z, onde H é
a altura axial do domínio e A é a amplitude do fluxo escalar de nêutrons.
A
0
H
X
Z
Y
Figura V.2.1 – Perfil Axial do Fluxo Neutrônico de Reatores Nucleares
Consideramos a equação da difusão a uma velocidade e três dimensões, com os
parâmetros materiais constantes no interior de um nodo arbitrário Ωij, analogamente ao
descrito no Capítulo IV, isto é
),,(1
),,(
),,(),,(),,(2
2
2
2
2
2
zyxk
zyx
zyxz
Dzyxy
Dzyxx
D
fij
effaij
ijijij
φνφ
φφφ
Σ=Σ+
+∂∂
−∂∂
−∂∂
−
. (V.2.1)
Aqui, assumimos uma separação de variáveis para o fluxo de nêutrons da forma
)().,(),,( zyxzyx ψϕφ = , (V.2.2)
e admitimos que a parte axial do fluxo escalar é da forma senoidal, pois em Ωij, a região
0 ≤ z ≤ H é homogênea. Portanto, escrevemos
78
zH
Azπψ sen)( = . (V.2.3)
Agora substituímos a equação (V.2.3) na equação (V.2.1) e o resultado é
)(),(1
)(),(
)(),(),()(),()(2
2
2
2
2
2
zyxk
zyx
zdz
dyxDyx
yzDyx
xzD
fij
eff
aij
ijijij
ψϕνψϕ
ψϕϕψϕψ
Σ=Σ+
+−∂∂
−∂∂
−
, (V.2.4)
desenvolvendo a derivada segunda em z da equação (V.2.4) e utilizando a definição
(V.2.3), chegamos à seguinte relação
)(),()(),(),,(2
2
2
2
2
zyxH
Dzdz
dyxDzyx
zD ijijij ψϕπψϕφ
=−=
∂∂
− . (V.2.5)
Aplicando a relação (V.2.5) na equação (V.2.4) obtemos
),(1
),()(),(),( 2
2
2
2
2
yxk
yxDByxy
Dyxx
D fij
eff
ija
ijij ϕνϕϕϕ Σ=++Σ−∂∂
−∂∂
− , (V.2.6)
onde
22
=
HB
π (V.2.7)
é definido como o Buckling axial geométrico, que depende apenas da altura H do núcleo
do reator. Ele nos permite modelar problemas de difusão em três dimensões, usando
uma configuração a duas dimensões, desde que a direção axial seja homogênea.
Verificamos que a equação da difusão (V.2.6) obtida a três dimensões tem a
mesma forma da equação da difusão que obtemos quando substituímos as equações da
lei de Fick (IV.1.2) e (IV.1.3) na equação da continuidade (IV.1.1) a duas dimensões,
onde a diferença está no termo de absorção, que agora aparece somado à quantidade
(DB2). Este procedimento é tradicional em cálculos globais de reatores nucleares e
bastante usado em códigos de difusão. O nosso objetivo é investigar como este tipo de
procedimento se comporta quando implementado no nosso código END2D1G-CN.
Na Tabela V.2.1 apresentamos os resultados gerados pelo método END para o
keff e para os fluxos escalares médios de nêutrons no interior de cada região
tridimensional utilizando o buckling axial geométrico, em comparação aos resultados
gerados a duas dimensões, e.g., para o problema do reator descrito no caso 4 do
Capítulo IV, com grade espacial de 4 x 4 nodos por região, conservando os mesmos
79
critérios de convergência e condições de contorno. Supomos uma altura H de 250 cm a
partir da posição 0 cm, que corresponde ao plano inferior xy ao longo de eixo z. Os
resultados gerados pela introdução do termo DB2 no cálculo bidimensional
correspondem à solução no plano central, i.e, z = 125 cm. Supomos uma potência de
150 MW para o domínio do núcleo representado pela Figura IV.3.4.
Tabela V.2.1 – Resultados gerados pelo método END2D1G-CN a três dimensões
usando o buckling em comparação aos resultados a duas dimensões
Problema do caso 4 – Capítulo IV:
sem baffle e sem albedo
Problema do caso 4 – Capítulo IV:
sem baffle, sem albedo e com
buckling
2D - Keff = 1,005757 3D - Keff = 0,990745
a7,1250E-01 4,6790E+00 2,3270E+00 c
7,0930E-01 4,6910E+00 2,3110E+00
b6,8640E+08 1,4500E+09 2,2420E+09 d
4,2940E+06 9,1320E+06 1,3990E+07
4,6790E+00 1,0130E+02 1,4350E+01 4,6910E+00 1,0150E+02 1,4280E+01
1,4500E+09 2,3540E+10 1,0370E+10 9,1320E+06 1,4820E+08 6,4840E+07
2,3270E+00 1,4350E+01 5,2820E+00 2,3110E+00 1,4280E+01 5,2350E+00
2,2420E+09 1,0370E+10 5,0890E+09 1,3990E+07 6,4840E+07 3,1690E+07
a Distribuição da densidade de potência por unidade de altura do núcleo (MW/cm).b Fluxo escalar médio normalizado.
c Distribuição de potência.
d Fluxo escalar médio normalizado no volume.
Com os resultados listados na Tabela V.2.1 verificamos que os valores dos fluxos
escalares médios normalizados no interior de cada região do domínio do problema
gerados pelo método, têm a razão igual a 2H / π, como era esperado de acordo com a
teoria demonstrada no Apêndice A. Também, verificamos que diminuiu o valor do keff,
uma vez que aumentamos o termo de absorção com a adição do buckling geométrico,
que matematicamente quantifica a fuga axial.
80
CAPÍTULO VI
MÉTODO NUMÉRICO ESPECTRO-NODAL PARA PROBLEMAS DE
DIFUSÃO MULTIGRUPO E UMA DIMENSÃO
Similarmente ao caso a uma velocidade, apesar de o método END1D2G não se
aplicar diretamente a cálculos bidimensionais, os seus fundamentos poderão ser usados
para arquitetura de algoritmos para cálculos bidimensionais multigrupo. Portanto,
apresentamos neste capítulo o desenvolvimento e aplicação de um método espectro-
nodal para solução numérica de problemas de autovalor unidimensionais aplicando a
equação da difusão de nêutrons multigrupo. Apresentamos também os fundamentos
para extensão do método END1D2G para o caso bidimensional a dois grupos de
energia, ainda que nesta tese não tenhamos gerado resultados a partir de um método
END para cálculos bidimensionais multigrupo. Tal como descrevemos no Capítulo III,
para o desenvolvimento do método END1D1G, seguiremos os mesmos procedimentos
para obtenção das equações constitutivas do método END1D2G. Também neste caso, o
método gera soluções fundamentais completamente livres de erro de truncamento
espacial que normalmente aparecem nos métodos numéricos convencionais aplicados à
teoria da difusão, e.g., diferenças finitas e elementos finitos.
Através das equações de balanço espacial definidas em cada nodo espacial e para
cada grupo de energia e, das equações auxiliares exatas definidas também em cada nodo
espacial, e que contêm parâmetros que preservam a solução geral analítica da equação
da difusão no interior destes nodos; chegamos às equações espectro-nodais de difusão
(END) multigrupo. Estas equações END juntamente com as equações de condições de
contorno apropriadas à teoria da difusão carregam como incógnitas os fluxos escalares
nos cantos dos nodos para cada grupo de energia; os fluxos escalares médios no interior
dos nodos para cada grupo de energia; e o fator de multiplicação efetivo, keff, definido
como o autovalor dominante.
Nas seções subseqüentes fazemos uma análise espectral das equações de difusão
multigrupo no intuito de determinar uma expressão para a solução geral destas equações
no interior de um nodo arbitrário; fazemos a descrição do método END multigrupo,
propriamente dito, e apresentamos resultados numéricos da aplicação deste método a
problemas-modelo em meios heterogêneos.
81
VI-1 Equações Discretizadas
Consideremos um domínio unidimensional de altura H como representado na
Figura III.1.1, Capítulo III, onde é mostrada uma grade espacial Ωz formada por I nodos
contíguos Ωi de altura hi .
Como mencionado e apresentado no Capítulo II, a partir da formulação da
aproximação P1, consideramos as equações unidimensionais da continuidade e a lei de
Fick multigrupo com G grupos de energia
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑=′
′′′
−
=′′′ Σ+Σ=Σ+
G
gggfgg
g
ggggsgrgg zzzzzzz
dz
d
kJ
1
1
1
1 φυχφφ , (VI.1.1)
( ) ( ) ( )zdzdzz ggg DJ φ −= , (VI.1.2)
onde, 0 ≤ z ≤ H e g = 1:G.
Sendo o objetivo da análise espectral encontrar uma expressão para a solução
geral das equações (VI.1.1) e (VI.1.2) no interior de um nodo espacial arbitrário Ωi ,
onde consideramos os parâmetros materiais constantes, substituímos a equação (VI.1.1)
na equação (VI.1.2) e chegamos a
( ) ( ) ( ) ( )∑∑=′
′′
′
−
=′′′
Σ+Σ=Σ+−G
ggigf
gg
g
gg
iggsg
rgig
gizzzz
dz
d
kD
1
1
12
1
2
φυχφφφ , (VI.1.3)
que é equação da difusão multigrupo unidimensional para g = 1:G . Admitimos,
analogamente ao caso unidimensional a uma velocidade, como solução elementar a
seguinte expressão
)( .)( exp, ξξξφ z(z) gg a ≡ , (VI.1.4)
que substituída na equação (VI.1.3) leva a
( ) ( ) ( ) ( )∑∑=′
′′
′
−
=′′′
− Σ+Σ=ΣG
gg
igfgg
g
gg
iggsgigirg
ak
aaD1
1
1
21 ξυχξξξ . (VI.1.5)
A equação (VI.1.5), para g = 1:G, forma um sistema homogêneo com G equações
lineares e G incógnitas ag (ξ). Admitindo, para este sistema, soluções não triviais,
classicamente impomos determinante da matriz de coeficientes igual a zero, o que nos
leva a uma equação polinomial de grau 2G com potências pares, cujas raízes são os 2G
autovalores locais ξ que aparecem aos pares ±ξ . Uma vez determinados esses
82
autovalores, voltamos à equação (VI.1.5) e determinamos o conjunto de 2G autovetores
ag (ξ). Deste modo, e considerando o autovalor dominante k conhecido, obtemos o
espectro ξl , ag (ξl) | l = 1:2G , g = 1:G da equação (VI.1.3) no nodo Ωi , com i = 1:I.
Então, a expressão da solução geral da equação da difusão multigrupo (VI.1.3)
pode ser escrita como
∑=
=G
l
gl ) g ll z(z a2
1
)( .)( exp ξξβφ , (VI.1.6)
que representa o fluxo escalar de nêutrons com energia no grupo g na posição z do
domínio, e a corrente total de nêutrons com energia no grupo g na posição z do domínio
dada pela equação (VI.1.2) assume a forma
( ) ∑=
−=G
l
gll llgg zz aDJ2
1
)( .)( exp ξξξβ , (VI.1.7)
para z ∈ Ωi e g = 1:G. Sendo βl constantes arbitrárias a serem determinadas.
Analogamente ao caso de duas dimensões e uma velocidade, como descrevemos
no Capítulo IV, após chegarmos à solução geral analítica da equação da difusão no
interior de um nodo arbitrário da grade espacial, nós propomos um método numérico
convergente para as equações (VI.1.1) e (VI.1.2), de modo que, levando em conta as
considerações mencionadas anteriormente, podemos derivar equações discretizadas no
espaço e resolvê-las por um método iterativo como descrevemos na próxima seção.
Assim, inicialmente aplicamos o operador
∫+
−
⋅
2/1
2/1
1i
i
z
z
dzh i
(VI.1.8)
às equações (VI.1.1) e (VI.1.2), considerando os parâmetros materiais constantes no
interior de cada nodo arbitrário, obtemos as seguintes equações discretizadas
( ) ( ) ( )∑∑=′
′′
′
−
=′′′
−−+ ΦΣ+ΦΣ=ΦΣ+G
gg
igfgg
g
gg
iggsg
irgi
igigzzz
kh
JJ
1
1
1
2/1,2/1, 1 υχ , (VI.1.9)
ihDJ igig
igig2/1,2/1,
,, −+ −
−= φφ , (VI.1.10)
para g = 1:G e i = 1:I.
83
Aqui, definimos como quantidades médias, no interior do nodo Ωi com energia no
grupo g, a seguinte relação
∫+
−
⋅≡ ΨΨ2/1
2/1
)(1,
i
i
z
z
dzh
zgi
ig , onde φ ouJ=Ψ . (VI.1.11)
As equações discretizadas (VI.1.9) e (VI.1.10) são as equações de balanço espacial que
juntamente com as equações das condições de contorno apropriadas à teoria da difusão,
formam um sistema de 2G(I+1) equações e 2G(2I+1) incógnitas. E portanto, para que o
sistema tenha solução devemos obter 2GI equações auxiliares, que analogamente ao
caso monoenergético, escrevemos
−++=
= ∑Φ 2/1,'2/1,'
1'
', 21
igig
G
g
gigig φφγ , (VI.1.12)
−++=
∑= 2/1,'2/1,'
1' '
', 2 igig
G
g ig
giggiig JJ
D
DJ
γ , (VI.1.13)
onde os parâmetros γg’gi preservam incondicionalmente a solução geral dada pela
equação (VI.1.6). As equações de balanço espacial (VI.1.9) e (VI.1.10) em conjunto
com as equações auxiliares (VI.1.12) e (VI.1.13) formam as equações espectro-nodais
de difusão (END) multigrupo.
Analogamente aos casos anteriores a uma velocidade, utilizamos o procedimento
seguinte: (1) - substituímos a solução geral analítica na definição (VI.1.11) e na equação
auxiliar (VI.1.12), que resulta em
)(2
)(2
1'
' ξξ γξ
ξ g
G
g
gigi
i
g ah
tghh
a′
=
=
∑ , (VI.1.14)
para g = 1:G e i = 1:I , com a qual podemos determinar os G2 valores de γg’gi ; (2) -
substituímos as equações auxiliares (VI.1.12) e (VI.1.13) nas equações de balanço
discretizadas (VI.1.9) e (VI.1.10), e eliminamos as quantidades médias no interior do
nodo arbitrário; (3) - obtemos expressões que envolvem soma, Jg,i+1/2 + Jg,i-1/2, e
subtração, Jg,i+1/2 - Jg,i-1/2, das correntes nos cantos do nodo em função dos fluxos nos
cantos do nodo, φg’,i±1/2 para g’ = 1:G; (4) - impomos a continuidade de corrente nas
interfaces dos nodos e usamos as condições de contorno apropriadas à teoria da difusão;
84
e (5) - encontramos um sistema de equações para os fluxos escalares nos cantos dos
nodos, o qual resolvemos por um método convencional.
O método, como apresentado acima, é valido no segmento de 1 a G grupos de
energia. Sem perdermos a generalidade do método, vamos supor um caso simples,
fazendo G = 2 na equação (VI.1.5), o que na maioria dos casos realísticos é suficiente,
e verificar a prática do procedimento. Isso implica que, após fazermos nulo o
determinante da matriz de coeficientes associada aos autovetores ag (ξ), obtemos uma
expressão polinomial biquadrada para os autovalores ξ, que é escrita como
( )[ ]
( ) ( )[ ] 0..
..
,12,22,21,2,11,1
2,2,1,211,1
4,2,1
11
1
=ΣΣ+Σ−ΣΣ−Σ+
+Σ+Σ−Σ−
isifisirifir
iriifirii
kk
k DDDD
νν
ξνξ
, (VI.1.15)
uma vez que os espectros de fissão do grupo rápido e grupo térmico são
respectivamente, χ1 = 1 e χ2 = 0.
Portanto, determinados os quatro valores de ξ para um nodo arbitrário Ωi na
grade espacial Ωz , retornamos a equação (VI.1.5) e para g = 2 tiramos a seguinte
relação entre os autovetores
)()( 1,2
2,2
,122 l
ilir
isl a
Da ξ
ξξ ±
−Σ
Σ=± , para l = 1:2 . (VI.1.16)
Se escolhermos
lla ξξ ±=± )(1 , (VI.1.17)
e que não seja possível upscattering, isto é, que os nêutrons apenas diminuem sua
energia durante o espalhamento, i.e., a seção de choque de remoção do grupo 2 coincide
com a seção de choque de absorção, Σr2,i = Σa2,i , e a seção de choque de espalhamento
do grupo térmico (g = 2) para o grupo rápido (g = 1) é nula, Σs21,i = 0. Podemos, então,
determinar os G2 parâmetros γg’gi ; fazendo g = 1 na equação (VI.1.14) encontramos
uma equação para γ11,i e γ21,i ; e fazendo g = 2 encontramos as equações para γ12,i e
γ22,i . Isto é
2111
111 2
2 γρξ
ξγ −
= i
i
htgh
h , (VI.1.18)
85
21
2
2
1
121
2
1
2
12
ρρ
ξξ
ξξ
γ−
−
=
ii
i
htgh
htgh
h , (VI.1.19)
2211
1
112 2
2γρ
ξξ
ργ −
= i
i
htgh
h , (VI.1.20)
21
2
2
21
1
1
22
22
2
ρρ
ξξρξ
ξρ
γ−
−
=
ii
i
htgh
htgh
h , (VI.1.21)
onde
( ) iir
is
D ,22
1,2
,121 ξ
ρ−Σ
Σ= , (VI.1.22)
( ) iir
is
D ,22
2,2
,122 ξ
ρ−Σ
Σ= . (VI.1.23)
Aqui, os parâmetros γg’gi são números reais sejam ξ1 e ξ2 números reais ou complexos.
E as equações (VI.1.18) - (VI.1.21) são invariantes em relação à variação de sinal de ξl ,
uma vez que a tangente hiperbólica é uma função ímpar.
Seguindo, então, o procedimento geral mencionado acima, de posse dos valores
dos parâmetros γg’gi, substituímos as equações auxiliares nas equações de balanço
eliminando as grandezas médias nos nodos e, daí determinamos as expressões para a
soma, Jg,i+1/2 + Jg,i-1/2, e para a diferença, Jg,i+1/2 - Jg,i-1/2, entre as correntes em função
dos fluxos escalares nos cantos dos nodos φg’,i±1/2 para g’ = 1:2. Somando-se, e em
seguida, subtraindo-se essas expressões, obtemos as correntes individualizadas nos
cantos dos nodos Jg,i+1/2 e Jg,i-1/2, para g = 1:2. Impondo continuidade de corrente
através das interfaces dos nodos ou usando condições de contorno apropriadas, obtemos
um sistema de equações cujas incógnitas são os fluxos escalares nos cantos dos nodos
para os grupos 1 e 2 de energia. Isto é, para o caso particular de G = 2, usamos como
condição de contorno superior (esquerda da Figura III.1.1) a seguinte forma geral:
−−=
2/1,2
2/1,1
2221
11
2/1,2
2/1,1
0
φ
φ
αα
αtt
t
J
J , (VI.1.24)
86
e para a condição de contorno inferior (direita da Figura III.1.1), escrevemos
−=
+
+
+
+
2/1,2
2/1,1
2221
11
2/1,2
2/1,1
0
I
I
bb
b
I
I
J
J
φ
φ
αα
α . (VI.1.25)
Estes parâmetros assumem diferentes valores de acordo com o tipo de condições de
contorno considerado, como descrevemos no Capítulo II:
• tipo reflexiva
0222111 === ααα ; (VI.1.26)
• tipo vácuo
021 =α e 5,02211 == αα ; (VI.1.27)
• tipo fluxo nulo
021 =α e ∞→= 2211 αα ; (VI.1.28)
e tipo albedo [4] em um meio refletor, como por exemplo: água (simbolizado por w)
wwr D1111 Σ=α ,
wwa D2222 Σ=α e
w
wa
w
wr
ws
DD 2
2
1
1
1221
Σ+
Σ
Σ=α . (VI.1.29)
O elemento α12 aparece nulo porque consideramos a não existência de upscattering no
refletor. Se o meio não-multiplicativo presente no contorno é formado por duas regiões,
por exemplo, baffle e água, as expressões para os parâmetros albedo se apresentam mais
complicadas, como podemos ver no apêndice B para o caso de apenas um grupo de
energia.
Diante do exposto, o sistema de equações pode ser escrito levando-se em conta:
- a aplicação da continuidade de corrente, para g = 1
[ ]2/3,262/1,252/1,242/3,132/1,122/1,11
2/3,2162/1,2152/1,2142/3,1132/1,1122/1,111
1++−++−
++−++−
+++++
=+++++
iMiMiMiMiMiMeff
iiiiii
SSSSSSk
MMMMMM
φφφφφφ
φφφφφφ
, (VI.1.24)
e para g = 2
2/3,2262/1,2252/1,2242/3,1232/1,1222/1,121 ++−++− ++=++ iiiiii MMMMMM φφφφφφ ; (VI.1.25)
87
- a aplicação das condições de contorno em z = 0, para g = 1
( )[ ]2/3,242/1,232/3,122/1,11
2/3,2142/1,2132/3,1122/1,11111
1
2
φφφφ
φφφφα
LLLLeff
t
SSSSk
LLLL
+++
=++++
, (VI.1.26)
e para g = 2
( ) ( ) 2/3,2242/1,222232/3,1222/1,12121 2 φφαφφα LLLL tt +−=++ ; (VI.1.27)
- a aplicação das condições de contorno à direita, para g = 1
( )[ ]2/1,242/1,232/1,122/1,11
2/1,2142/1,2132/1,111122/1,111
1
2
+−+−
+−+−
+++
=++−+
IRIRIRIReff
IIIb
I
SSSSk
RRRR
φφφφ
φφφαφ
, (VI.1.28)
e para g = 2
( ) ( ) 2/1,222242/1,2232/1,121222/1,121 2 +−+− ++=++ Ib
IIb
I RRRR φαφφαφ . (VI.1.29)
Aqui, os coeficientes dos fluxos escalares nos membros à esquerda das equações
(VI.1.24 - 29) carregam os parâmetros materiais de difusão, absorção e espalhamento.
Os coeficientes SL, SR, e SM, nos membros à direita carregam os parâmetros de fissão.
As equações (VI.1.24 - 29) são definidas como as equações espectro-nodais de
difusão (END) que podem ser escritas na seguinte forma matricial:
[ ]22112211
1
öBöBöCöA +=−k
, (VI.1.30)
1122öCöA = . (VI.1.31)
as matrizes ggg
CBA e, , para g = 1:2, são matrizes quadradas simétricas e
tridiagonais, tal qual nos casos anteriores. A solução dominante das equações (VI.1.30)
e (VI.1.31), representada pelo vetorg
ö de dimensão I+1, para g = 1:2, e pelo autovalor
88
keff é completamente livre de erro de truncamento espacial e, conseqüentemente,
independente da espessura dos nodos espaciais Ωi de Ωz , uma vez que elas foram
obtidas sem qualquer tipo de aproximação.
Na seção seguinte descreveremos os métodos de solução das equações de
diferença e de obtenção das estimativas do autovalor fundamental k.
89
VI-2 Algoritmos de Solução
Obtidas as equações END, que constituem um sistema tridiagonal e simétrico,
analogamente aos casos a uma velocidade, tanto unidimensional quanto bidimensional,
e que descrevemos nos Capítulos III e IV, respectivamente, utilizamos como método de
solução para a obtenção da solução dominante de cada sistema tridiagonal o método
direto de eliminação de Gauss com substituição recuada, que conjugamos com o
método iterativo de potência para convergência do problema de autovalor. A
convergência método de potência depende da razão de dominância no espectro de
autovalores k e se torna muito lenta quando esta razão se aproxima da unidade.
Também, no método END1D2G, em cada iteração, temos que calcular os números ξ1 e
ξ2, em seguida os valores γg’gi , e por conseguinte, a reconstrução das matrizes
21 e AA , que não são constantes no processo iterativo. Portanto, o método END1D2G
apresenta maior número de operações aritméticas por iteração que os métodos
convencionais, por exemplo o método de Diferenças Finitas (DF), porém esperamos que
ele seja mais eficiente, uma vez que é livre de erro de truncamento espacial.
Para verificarmos o comportamento do método END1D2G, como apresentado
na seção anterior, apresentamos na seção seguinte um problema-modelo heterogêneo.
90
VI-3 Resultados Numéricos e Fundamentos do Método Numérico Espectro-Nodal
Constante para Problemas de Difusão Multigrupo e Duas Dimensões
Para a verificação da aplicação do método, consideramos o problema-modelo,
descrito na referência [4], que se trata de metade de um slab heterogêneo com 140 cm
de comprimento dividido em sete regiões com diferentes dimensões e com três
diferentes zonas materiais, conforme Figura VI.3.1 e, seus respectivos parâmetros
materiais são apresentados na Tabela VI.3.1. As condições de contorno utilizadas são: i)
do tipo fluxo nulo, em x = 0 cm e; ii) do tipo reflexiva, em x = 140 cm. A potência
gerada é de 20 MWT.
cm
1 2 3 2 3 2 3
0 30 40 50 65 85 100 140
fluxo nulo corrente nula
Figura VI.3.1 – Metade do slab heterogêneo a dois grupos de energia
Tabela VI.3.1 – Parâmetros das zonas materiais do slab da Figura VI.3.1
Zona D1 D2 Σr1 Σr2 Σs12 Σs21 ν1Σf1 ν2Σf2
1
refletor
(água)
1,87142 0,28341 0,03541 0,03158 0,03434 0,0 0,0 0,0
2a comb. 1,43800 0,29760 0,02935 0,20290 0,01563 0,00425 0,01810 0,21170
3a comb. 1,12400 0,24560 0,03562 0,24321 0,02050 0,0 0,01380 0,22430
a Leia como combustível.
Para resolvermos este problema-modelo, nós utilizamos como critério de convergência
para o fator de multiplicação efetivo, keff, o valor de 10-7 no desvio relativo gerado entre
duas iterações consecutivas, enquanto que para o fluxo escalar o critério de
convergência foi de 10-6 na norma máxima do desvio relativo gerado entre duas
iterações consecutivas. A Tabela VI.3.2 [4] mostra o resultado comparativo entre a
91
solução do método END e o método de diferenças finitas (DF) para diversas grades
espaciais, Ωn ≡ 2n, onde 2n representa o número de nodos contidos em cada região.
Tabela VI.3.2 – Resultados gerados para o problema-modelo, slab da Figura VI.3.1
Grade
EspacialaΩn
Método b keff
Potência
(MWT)
30 ≤ z ≤ 40
Potência
(MWT)
110 ≤ z ≤ 140
Iterações
Ω8 END
DF
1,039253
1,039253
0,29957
0,29957
2,01115
2,07053
141
153
Ω3 END
DF
1,039253
1,039019
0,29957
0,32457
2,01115
4,12166
146
154
Ω2 END
DF
1,039253
1,038134
0,29957
0,35651
2,01115
3,85487
147
154
Ω1 END
DF
1,039253
1,034210
0,29957
0,38766
2,01115
2,25466
143
159a Ωn ≡ 2
n nodos espaciais por região.
b Leia como fator de multiplicação efetivo.
A Tabela VI.3.2 apresenta os valores gerados pelo método END e pelo método DF para
keff e para a potência nas primeira e última regiões de combustível do problema-modelo
representado pela Figura VI.3.1. Observando os resultados constatamos que o método
END unidimensional é realmente livre de erro de truncamento espacial, uma vez que,
nenhuma aproximação foi considerada na derivação das equações que regem o método.
Desta verificação, juntamente com a verificação apresentada no Capítulo III,
concluímos que o método END unidimensional a um grupo de energia e o método END
multigrupo são “exatos”, no sentido em que geram resultados para os fluxos escalares e
para o keff que coincidem com os resultados obtidos a partir da solução analítica
fundamental, salvo os erros de arredondamento. Eles se mostraram mais eficientes em
cálculos de malha grossa do que o método convencional de diferenças finitas.
Baseados no exposto anteriormente, apresentamos a seguir o desenvolvimento
das equações para o método END bidimensional mutligrupo e indicamos os algoritmos
de resolução das equações discretizadas do método END2D2G-CN. Conforme
descrevemos no caso do método END2D1G-CN, ressaltamos que fazemos também uma
aproximação constante para os termos de fuga transversal no caso do método
92
END2D2G-CN. Apesar de ser a única aproximação feita, ela torna os métodos END
bidimensionais não “exatos” na sua concepção. Ainda que não tenhamos desenvolvido
um algoritmo convergente que implemente o método END2D2G-CN, esperamos que o
caso bidimensional multigrupo também apresente resultados satisfatórios em cálculos
de malha grossa como ilustramos com os problemas-modelo simulados pelo método
END2D1G-CN nos Capítulos IV e V.
Analogamente aos métodos END apresentados anteriormente, vemos que,
através das equações de balanço espacial, nas direções x e y, definidas em cada nodo
espacial e para cada grupo de energia e, das equações auxiliares exatas definidas
também em cada nodo espacial, que contêm parâmetros que preservam as componentes
homogênea e particular da solução geral analítica da equação da difusão integrada
transversalmente no interior destes nodos; chegamos, fazendo uma análise espectral, às
equações espectro-nodais de difusão (END) bidimensionais multigrupo. Estas equações
END juntamente com as equações de condições de contorno apropriadas à teoria da
difusão carregam como incógnitas: os fluxos escalares médios nas faces dos nodos para
cada grupo de energia; os fluxos escalares médios no interior dos nodos para cada grupo
de energia; e o fator de multiplicação efetivo, keff, definido como o autovalor
dominante.
Ressaltamos que no caso bidimensional, quando fazemos integrações
transversais na equação da continuidade mutligrupo, consideramos aproximações
constantes para os termos de fuga transversal (única aproximação do método), seguindo
o mesmo procedimento que usamos no caso do método END2D1G-CN.
Consideramos uma grade espacial bidimensional, como apresentada na Figura
IV.1.1. Para um dado nodo arbitrário Ωij temos a seguinte equação da continuidade
bidimensional multigrupo
∑∑=′
′′′
≠′=′
′′ Σ+Σ=
=Σ+∂∂
+∂∂
G
gggfg
eff
gG
ggg
gggs
ggrgygx
yxyxk
yxyx
yxyxyxJy
yxJx
1,
1,
,,,
),().(),().(
),(),(),(),(
ϕνχ
ϕ
ϕ
, (VI.3.1)
e a relação entre as componentes x e y da corrente e o fluxo escalar, dadas pelas
seguintes equações da lei de Fick
),(),(),(, yxx
yxDyxJ gggx ϕ∂∂
−= , (VI.3.2)
93
),(),(),(, yxy
yxDyxJ gggy ϕ∂∂
−= , g = 1:G. (VI.3.3)
Partindo desse conjunto de equações e seguindo os procedimentos utilizados no
Capítulo IV, consideramos constantes os parâmetros materiais no interior de um nodo
arbitrário Ωij, e aproximamos por constantes os termos de fuga transversal. Portanto,
chegamos às equações da difusão multigrupo acopladas através desses termos de fuga
transversal
[ ]
)()(
,2/1,,2/1,1
)(,,1
)(,,
,,,2
2
,
ˆˆ1~~
~~
gjigjij
G
ggjgfijg
eff
gG
ggg
gjggs
gjgrijgjgij
JJkk
dx
dD
xx
xx
−−+=′
′′′
≠′=′
′′ −ΦΣ+ΦΣ=
=ΦΣ+Φ−
∑∑ νχ , (VI.3.4)
[ ]gjigjii
G
ggigfijg
eff
gG
ggg
giggs
gigrijgigij
JJhk
dy
dD
yy
yy
,,2/1,,2/11
,,1
,,
,,)(,2
2
,
~~1ˆˆ
ˆˆ
)()(
)(
−−+=′
′′
≠′=′
′ −ΦΣ+ΦΣ=
=ΦΣ+Φ−
∑∑ νχ . (VI.3.5)
As equações (VI.3.4) e (VI.3.5) têm como soluções gerais analíticas as seguintes
expressões
gjllglgj Pxa
G
l
x ,,~
)/exp()(~~ 2
1
)( +=∑=Φ ξξβ , (VI.3.6)
gillglgi PyaG
l
y ,,ˆ)/exp()(ˆˆ
2
1
)( +=∑=Φ ξξη , (VI.3.7)
para g = 1:G e l = 1:2G. As primeiras parcelas das equações (VI.3.6) e (VI.3.7), dadas
pelos somatórios, representam as soluções homogêneas elementares, enquanto os
segundos membros representam a soluções particulares. Essas últimas são dadas por
∑=′
′′=G
gggggj LP
1,
ˆ~ λ , (VI.3.8)
onde os coeficientes λgg’ carregam os parâmetros materiais considerados constantes, e
[ ]jigjigj
g JJk
L ,2/1,,2/1,
~~1ˆ−+ −−≡ (VI.3.9)
são os termos de fuga transversal na direção y. Similarmente, temos
∑=′
′′=G
gggggi LP
1,
~ˆ λ , (VI.3.10)
94
com
[ ]2/1,,2/1,,ˆˆ1~
−+ −−≡ jigjigi
g JJh
L (VI.3.11)
sendo os termos de fuga transversal na direção x. Substituindo as soluções gerais
(VI.3.6) e (VI.3.7) nas expressões das correntes dadas pela lei de Fick nas direções x e y
respectivamente, obtemos
∑=
−=G
lllglgijgj xaDJ x
2
1
)/exp()(~~,, )( ξξβ (VI.3.12)
e
∑=
−=G
lllglgijgi yaDJ y
2
1
)/exp()(ˆˆ,, )( ξξη , (VI.3.13)
onde os parâmetros, βl e ηl , são constantes arbitrárias que podem ser determinadas
pelas condições de contorno no nodo espacial, e.g., condição de continuidade.
Analogamente ao procedimento utilizado no Capítulo IV, propomos um método
numérico convergente para a solução das equações da difusão multigrupo (VI.3.4) e
(VI.3.5) de modo que atenda as mesmas condições mencionadas no caso do método
END2D1G-CN. Então, fazemos integrações nas equações (VI.3.1), (VI.3.2) e (VI.3.3)
para obtermos as equações de balanço espacial de nêutrons que contêm as quantidades
médias definidas no Capítulo IV, equações (IV.1.32), (IV.1.33) e (IV.1.34), para cada
grupo de energia, g = 1:G.
( ) ( ) ,
1,
1,,
,,,21,21,21,21ˆˆ~~ 11
gij
G
ggfijg
eff
gG
ggg
gijggs
gijgrijg/i,jg/i,jj
g,j/ig,j/ii
k
JJJJkh
ΦΣΦΣ
=ΦΣ+
∑∑=′
′′
≠′=′
+′
−+−+−+−
νχ , (VI.3.14)
( )gjigjii
gijxgij h
DJ ,,2/1,,2/1
,,
~~−+ Φ−Φ−= , (VI.3.15)
( )gjigjij
gijygij k
DJ ,2/1,,2/1,
,,
ˆˆ−+ Φ−Φ−= . (VI.3.16)
As equações de balanço espacial juntamente com as equações de condições de contorno
apropriadas à teoria da difusão, formam um sistema de 7G equações com 11G
incógnitas. E portanto, para que o sistema tenha unicidade de solução devemos obter 4G
equações auxiliares, que podem ser escritas como
95
( ) gijgjigj/i
G
gggijgij ,,,2/1,,21
1,,
~~
2
1 χγ +Φ+Φ=Φ ′−′+=′
′∑ , (VI.3.17)
( ) gijgijgij
G
gggijgij ,,,2/1,,2/1
1,,
ˆˆ2
1Υ+Φ+Φ=Φ ′−′+
=′′∑α , (VI.3.18)
( )gjigji
G
g gij
ggij
gijx
gij JJD
DJ ′−′+=′ ′
′+= ∑ ,,2/1,,2/1
1 ,
,
,,
~~
2
1γ
, (VI.3.19)
( )gijgij
G
g gij
ggij
gijy
gij JJD
DJ ′−′+=′ ′
′+= ∑ ,,2/1,,2/1
1 ,
,
,,ˆˆ
2
1α
. (VI.3.20)
Aqui, analogamente ao caso do método END2D1G-CN, os parâmetros ϒij,g e χij,g são
determinados de forma a preservarem incondicionalmente as componentes homogênea e
particular das soluções gerais na direção x. Analogamente, os parâmetros αij e Υij
preservam as componentes homogênea e particular da soluções gerais na direção y.
Estes parâmetros podem ser determinados quando usamos a definição de fluxo médio,
equação (IV.1.32) e as equações auxiliares (VI.3.17) e (VI.3.18). este procedimento
resulta em
∑=′
′′−=ΧG
ggjggijgjgij PP
1,,,,
~~ γ , (VI.3.21)
∑=′
′′−=ΥG
ggigijggigij PP
1,,,
ˆˆ α , (VI.3.22)
e
=′∑
= 2
~2
~
)()(
1'
',
il
l
l
l
G
g
ggij
htgh
aa
i
g
g h
ξ
ξ
ξξγ , (VI.3.23)
=′∑
= 2
ˆ2ˆ
)()(
1'
',
jl
jl
l
l
G
g
ggij
ktgh
aa
k
g
g
ξ
ξ
ξξα , (VI.3.24)
para g = 1:G, i = 1:I e j = 1:J. Com as duas últimas expressões podemos determinar os
G2 valores de γij,g’g e αij,g’g que são números reais, independentemente de os valores de
ξl serem reais ou complexos, e são invariantes em relação à variação de sinal de ξl, já
que a tangente hiperbólica é função ímpar.
96
Uma vez determinados os parâmetros que preservam as soluções gerais
analíticas, substituímos as equações auxiliares (VI.3.17), (VI.3.18), (VI.3.19) e
(VI.3.20) nas equações de balanço espacial discretizadas, e eliminamos as quantidades
médias no interior do nodo arbitrário Ωij. Com isso, obtemos expressões que envolvem
somas e subtrações, jigjig JJ ,2/1,,2/1,
~~−+ ± , gijgij JJ ,,2/1,,2/1
ˆˆ−±+ , das correntes médias nos
lados do nodo em função dos fluxos escalares médios nos lados do nodo, gj/i ,,21
~±Φ e
gij ,,2/1ˆ
±Φ para g = 1:G. Em um passo posterior, impomos a continuidade de corrente
nas interfaces dos nodos e usamos condições de contorno apropriadas à teoria da
difusão, para encontrarmos um sistema de equações para os fluxos escalares médios nos
lados dos nodos para cada grupo g de energia.
Para ilustrarmos a arquitetura do método como apresentado, que é válida no
alcance de g = 1:G grupos de energia, sem no entanto perdermos generalidade, vamos
supor um caso simples, fazendo G = 2 a partir da equação (VI.1.14). Isto implica
obtermos os seguintes valores para os parâmetros γij,g’g e αij,g’g
−=
−
2
2
(
2 2
2
21
1
1
21,11 )
)(ii
i
ij
htgh
htgh
h
ξ
ξ
ωξ
ξ
ωξ
ωωγ , (VI.3.25)
= −
ij
i
ij
htgh
ih ,11
1
11,21 2
2)( γωγ
ξ
ξξ , (VI.3.26)
−=
−
2
1
2
1
(
2 2
2
1
121,12 )
)(ii
i
ij
htgh
htgh
h
ξ
ξ
ξ
ξξ
ωωγ , (VI.3.27)
= −
ij
i
ij
htgh
ih ,111
1
1,22 2
2)( γγ ω
ξ
ξξ . (VI.3.28)
As expressões para os parâmetros αij,g’g têm as mesmas formas das expressões para os
parâmetros γij,g’g , mudando apenas o tamanho hi por kj. Para um domínio quadrado, eles
têm valores iguais. Uma vez determinados esses parâmetros, impomos continuidade de
corrente através das interfaces dos nodos e usando condições de contorno apropriadas,
para obtermos um sistema de equações cujas incógnitas são os fluxos escalares médios
nos lados dos nodos para os dois grupos de energia. Neste o caso, usamos as seguintes
97
expressões para as correntes nos contornos esquerdo, direito, inferior e superior do
domínio:
Φ
Φ
−−=
2,,2/1
1,,2/1
2221
11
2,,2/1
1,,2/1
~
~
0 ~
~
j
j
LL
L
j
j
J
J
αα
α , (VI.3.29)
Φ
Φ
−=
+
+
+
+
2,,2/1
1,,2/1
2221
11
2,,2/1
1,,2/1
~
~
0 ~
~
jI
jI
RR
R
jI
jI
J
J
αα
α , (VI.3.30)
Φ
Φ
−−=
2,2/1,
1,2/1,
2221
11
2,2/1,
1,2/1,
ˆ
ˆ
0
ˆ
ˆ
i
i
BB
B
i
i
J
J
αα
α , (VI.3.31)
Φ
Φ
−=
+
+
+
+
2,2/1J,
1,2/1J,
2221
11
2,2/1J,
1,2/1J,
~
~
0
ˆ
ˆ
i
i
TT
T
i
i
J
J
αα
α . (VI.3.32)
Estes parâmetros assumem diferentes valores de acordo com o tipo de condições de
contorno considerado.
O uso das condições de contorno juntamente, com o uso da continuidade de
corrente nas interfaces entre nodos adjacentes chegamos a um sistema de 3G(I+1)
equações na direção x com 3G(I+1) incógnitas, e 3G(J+1) equações na direção y com
3G(J+1) incógnitas. Essas constituirão as equações END bidimensionais a dois grupos
de energia (END2D2G-CN). Os coeficientes associados aos fluxos, tais quais os
coeficientes obtidos no Capítulo IV, carregam os parâmetros materiais de difusão,
remoção, espalhamento e fissão. As soluções dominantes das equações END2D2G-CN
representadas pelos vetores gg ΦΦ ˆ e ~
de dimensões I+1 e J+1, para g = 1:2, e pelo
autovalor dominante keff., podem ser estimadas por um esquema iterativo interno de
direções alternadas, com aplicação do método direto de eliminação de Gauss com
substituição recuada, uma vez que temos matrizes quadradas tridiagonais em cada
direção. Nas iterações externas, propomos usar o convencional método de potência para
a convergência do problema de autovalor, de maneira similar como aplicamos ao
método END2D1G-CN descrito no Capítulo IV. No caso do método END2D2G-CN,
propomos, além do esquema iterativo explícito de direções alternadas implementado nas
interações internas, também propomos resolver as equações de grupo alternadamente,
ainda que o acoplamento de poucos grupos seja possivelmente uma alternativa viável.
No próximo capítulo apresentamos uma breve discussão do conteúdo desta tese,
as nossas conclusões e sugestões para trabalhos futuros.
98
CAPÍTULO VII
CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
VII-1 Conclusões
Neste capítulo apresentamos as nossas conclusões do trabalho desenvolvido a
partir dos resultados gerados pela aplicação do método END, nas variadas versões
apresentadas ao longo dos Capítulos III, IV, V e VI.
Em uma breve sinopse descrevemos este trabalho de tese. Mostramos no
Capítulo III o método END1D1G [4] que nos motivou e nos inspirou, através dos
resultados de sua aplicação, a desenvolvermos o método numérico END2D1G-CN,
como descrevemos no Capítulo IV. Para chegarmos às equações constitutivas do
método, partimos das equações da continuidade em duas dimensões e das equações da
lei de Fick bidimensional nas direções x e y, fizemos integrações transversais e
obtivemos equações da difusão “unidimensionais” acopladas pelos termos de fuga
transversal. A essência do método END2D1G-CN como apresentado, está calcada nas
seguintes proposições: (i) a utilização de equações auxiliares para as componentes nas
direções x e y das correntes médias no interior do nodo e para o fluxo médio no interior
do nodo, que contêm parâmetros que preservam incondicionalmente as soluções gerais
analíticas em ambas as direções; (ii) a aproximação por constantes dos termos de fuga
transversal; (iii) as equações constituintes do método, equações END, são independentes
de quantidades médias no interior dos nodos espaciais, pois as colocamos na forma que
é dependente apenas das autofunções mediadas nos lados dos nodos e dos parâmetros
materiais considerados constantes no interior dos nodos; e (iv) o sistema de equações
END formam matrizes tridiagonais e simétricas. As equações da difusão discretizadas
constituem um problema convencional de autovalor, cuja solução fundamental é obtida
computacionalmente com o uso do método numérico END2D1G-CN. Usamos o
esquema iterativo interno de direções alternadas FADIS acoplado ao método direto de
eliminação de Gauss com substituição recuada para a estimativa das autofunções médias
nos lados dos nodos em cada direção espacial. Para a convergência da solução
dominante usamos o convencional método de potência nas iterações externas.
99
Na seção IV.3 de resultados do Capítulo IV, mostramos várias aplicações do
método END2D1G-CN a diferentes problemas-modelo. O problema do caso 1
apresenta uma única região homogênea multiplicativa [12] e foi utilizado para
diferentes testes. Dividimos a região em grades espaciais grossas e aplicamos o método
utilizando os diferentes esquemas iterativos: FADIS com varredura TS, FADIS com
varredura TC, e CDIS com varredura TC como exibimos nas Tabelas IV.3.1 a IV.3.10.
Os resultados listados nestas tabelas serviram para elegermos o esquema iterativo de
melhor desempenho relativamente ao par desvio/iteração, para nas aplicações
subseqüentes do método END2D1G-CN ser o único utilizado. Elegemos o esquema
iterativo FADIS com varredura TS que apresentou melhor desempenho, e do ponto de
vista computacional, é menos robusto, pois, devido ao fato de se segmentar o domínio,
suas matrizes apresentam menor dimensão, principalmente quando utilizamos uma
grade espacial fina. Entretanto, nenhum impedimento existe para que não possamos vir
a utilizar um outro esquema iterativo diferente do eleito, pois todos os demais propostos
são convergentes. Também verificamos a partir destas tabelas, a possibilidade de
simularmos a aplicação do método END2D1G-CN a problemas unidimensionais, que
comparada com a aplicação do método END1D1G, que é livre de erros de truncamento
espacial, teve um desempenho muito bom a menos de erros de arredondamento da
aritmética finita computacional, como percebemos nos resultados listados nas Tabelas
IV.3.2 e IV.3.3 para a simulação do problema 0-dimensional, e Tabelas IV.3.4 e IV.3.5
para a simulação dos problemas unidimensionais. Já no experimento bidimensional, de
acordo com os resultados apresentados nas Tabelas IV.3.7, IV.3.8 e IV.3.10 o método
END2D1G-CN teve bom desempenho, gerando resultados cada vez mais precisos à
medida que afinamos a grade espacial, pois neste teste temos um experimento de
domínio bidimensional, onde os termos de fuga transversal foram considerados
constantes (aproximação polinomial de ordem zero). Na Tabela IV.3.9 comparamos o
desempenho do método END2D1G-CN com o do método NEM-2D1G [10], para o
experimento de domínio bidimensional. Aqui o método NEM-2D1G mostrou melhor
desempenho, e isto atribuímos ao fato de o método NEM utilizar uma aproximação
polinomial de ordem superior para os termos de fuga transversal.
No problema do caso 2, representado pelo problema-benchmark modelado pelo
método analítico nodal QUANDRY [19] a aplicação do método END2D1G-CN revelou
um desempenho muito bom relativamente ao método QUANDRY para este problema,
que também como o método NEM-2D1G utilizou uma aproximação polinomial de
100
ordem superior para os termos de fuga transversal (polinomial do 2o. grau), enquanto
que nós utilizamos uma aproximação apenas constante. Ressaltamos, como podemos
verificar nas Tabelas IV.3.12 e IV.3.13, que modelamos este experimento com o nosso
método END2D1G-CN com grade espacial bastante grossa em relação à referência, que
gerou fluxo escalar médio negativo no interior da região 1 do domínio representado na
Figura IV.3.2, para uma grade de 12 x 12 nodos por região, a mais grossa considerada.
Isto pode ser devido ao fato de os polinômios quadráticos que aproximam as fugas
transversais não constituírem boas aproximações para este problema. Na aplicação do
método END2D1G-CN todos os fluxos escalares médios gerados no interior das regiões
foram positivos, inclusive para a grade constituída de 3 x 3 nodos por região. Ademais,
verificamos um outro ponto que contribui para considerarmos o bom desempenho do
nosso método: a razão entre os fluxos escalares médios no interior das regiões
descreveu um comportamento similar à razão apresentada na referência [19], e à medida
que afinamos a grade espacial, a proximidade da razão obtida pelo método END2D1G-
CN com a da referência ficou evidenciada. Os desvios relativos percentuais obtidos
para os valores do autovalor keff em relação ao valor de referência ficaram bastante
baixos, e nas malhas grossas, melhores do que os valores obtidos pelo método
QUANDRY.
Para o problema do caso 3, problema do reator PWR ZION1 [19], fizemos uma
modelagem computacional para o reator em uma configuração crítica a partir do método
NEM-2D1G. Consideramos de bom êxito a aplicação do método END2D1G-CN para
este experimento, a julgar pelos resultados exibidos na Tabela IV.3.15. Este problema
tem algumas particularidades que não tínhamos tratado nos problemas anteriores dos
casos 1 e 2, que é o fato da presença da camada de baffle explícito e o domínio do
núcleo reentrante, desconsiderando as regiões refletoras de água leve. Mesmo diante
desses tipos de contorno, a nossa aproximação constante para os termos de fuga
transversal usada no método END2D1G-CN pode ser considerada boa, para este
problema, comparada com a de ordem superior usada no método NEM-2D1G. Porém,
verificamos que em cálculos de malha muito fina, o nosso método apresentou uma
distorção no número de iterações para a convergência. Isto pode ser devido ao fato de
termos implementado uma nodalização única para as regiões do domínio, que em
conseqüência tornou o tamanho dos nodos na região de baffle muito pequeno,
dificultando, portanto, a convergência a partir da grade espacial constituída de 16 x 16
nodos por região. Ademais, ressaltamos que o método END2D1G-CN foi desenvolvido
101
para cálculos globais de reatores nucleares em grades espaciais grossas. Este fato se
evidencia pelos tempos de CPU listados na última coluna da Tabela IV.3.15, que
aumenta significativamente conforme afinamos a grade. Para ilustrarmos este ponto, o
exemplo de uma grade espacial de 32 x 32 nodos para todas as regiões do domínio da
Figura IV.3.3 corresponderá a 102720 pontos de cálculo para cada direção, pois, no
método END2D1G-CN estimamos numericamente os fluxos escalares médios nas faces
dos nodos. Este fato endossa a nossa escolha pelo esquema iterativo FADIS com
varredura TS, o qual segmenta o domínio em blocos verticais e horizontais como
descrito na seção IV.2 do Capítulo IV. Este esquema calcularia 321 pontos por bloco
horizontal e depois 321 pontos por bloco vertical enquanto que o esquema iterativo
CDIS calcularia os 205440 pontos de uma única vez. Um esquema de nodalização mais
apurado será considerado no futuro, com o qual reduziremos o número de pontos de
cálculo desnecessários em regiões menores. Neste contexto acrescentamos que neste
trabalho de tese aplicamos a condição de contorno tipo albedo, que contribui para a
eliminação do número de pontos de cálculo nas regiões de baffle e refletor, onde estas
regiões são representadas aproximadamente pelo parâmetro albedo determinado
conforme descrevemos no Apêndice B; conseqüentemente o uso desta condição de
contorno deverá reduzir o tempo de CPU, mas não necessariamente o número de
iterações para a convergência do método. Retornamos a esta discussão mais adiante.
O problema, que consideramos no caso 4, descreve o reator nu TWIGL [19] e
realizamos dois experimentos numéricos desvinculados com configuração crítica, um a
partir do método NEM-2D1G e o outro a partir do método END2D1G-CN, como
exposto no Capítulo IV. Baseados na Tabela IV.3.18, onde listamos os resultados das
aplicações dos métodos numéricos NEM-2D1G e END2D1G-CN a seus respectivos
experimentos, concluímos que o método NEM-2D1G apresentou melhor desempenho
no que se refere ao afastamento do valor de referência do keff = 1,000000 (reator com
configuração crítica) à medida que engrossamos a grade espacial do domínio. Quanto
aos valores obtidos para a distribuição da densidade de potência em cada região não
coube comparação direta; contudo, verificamos que a razão entre eles permaneceu
constante.
Na aplicação do método END2D1G-CN ao experimento do caso 5, modelamos
os reatores de configuração crítica do caso 4, adicionando uma camada fina de baffle em
toda a região multiplicativa mais externa. Este procedimento tornou o sistema
supercrítico. A Tabela IV.3.20 lista valores para comparação entre os resultados
102
obtidos para o keff na configuração crítica e supercrítica gerados pelos métodos
END2D1G-CN e NEM-2D1G. Também neste caso 5, o método NEM-2D1G gerou
resultados mais precisos, situação que se traduz pela boa aproximação do fluxo escalar
com polinômios do quarto grau.
Enfatizamos que em todos os casos analisados foram consideradas as mesmas
condições de contorno e critérios de convergência para as aplicações dos diferentes
métodos numéricos utilizados na modelagem de cada problema. Lembramos que no
método END2D1G-CN a condição de contorno do tipo fluxo nulo foi usada de maneira
não convencional onde atribuímos um valor muito grande ao parâmetro de
proporcionalidade entre a corrente e o fluxo escalar médio no contorno, forçando o
fluxo no contorno tender a zero. Portanto, as comparações expostas acima, ainda que
suas derivações e implementações tenham sido concebidas de maneira distinta e
independentes, são absolutamente válidas, no nosso entendimento.
No Capítulo V realizamos a aplicação das condições de contorno do tipo albedo
aos experimentos apresentados nos casos 2, 3 e 5 do Capítulo IV. Em nosso método
não aplicamos esse tipo condição de contorno de maneira convencional. Como
mencionamos no Capítulo II, ao parâmetro albedo atribuímos valores que são
determinados pelos valores dos parâmetros nucleares das regiões materiais que
matematicamente serão substituídas. No Apêndice B apresentamos as expressões para o
parâmetro da condição de contorno tipo albedo. Portanto, a partir da observação das
Tabelas V.1.1, V.1.2 e V.1.3 que mostram resultados da aplicação desse tipo de
condição de contorno, respectivamente para os casos 2, 3 e 5 do Capítulo IV,
concluímos que o método END2D1G-CN mostrou-se adequado à implementação dessas
condições de contorno em suas aplicações, uma vez que, observamos um
comportamento dos resultados que estão em grande consonância com o previsto
teoricamente para todos os experimentos que apresentamos: (i) houve ligeiro aumento
do valor do keff numa proporção quase constante à medida que afinamos a grade
espacial; (ii) ocorreu redução do número de iterações, pois a dimensão do domínio não
multiplicativo de penetração profunda diminuiu; e (iii) houve redução do tempo de CPU
pela justaposição da redução do número de pontos e da redução do número de iterações
externas. Vale ressaltar que no caso do reator ZION1, quando aplicamos a condição de
contorno tipo albedo, o seu domínio, com as regiões do sistema baffle-refletor
implícitas, tornou-se um domínio reentrante, e o processo de varredura se deu
obrigatoriamente de maneira controlada, o que foi grandemente facilitado pela escolha
103
do esquema de iterativo FADIS com varredura TS. Sumarizando concluímos que o
método END2D1G-CN mostrou-se eficiente e gerou resultados precisos na aplicação da
condição de contorno tipo albedo. Esta característica nos estimula a prosseguir na
pesquisa nesta linha diretora, visando à melhoria da precisão em cálculos de malha
grossa, mediante representações dos termos de fuga transversal superiores.
Também no Capítulo V realizamos a aplicação de buckling axial geométrico
para gerarmos resultados em duas dimensões simulando resultados tridimensionais. Na
Tabela V.2.1 listamos os resultados gerados pelo método END2D1G-CN com o uso do
artifício matemático de buckling axial geométrico ao experimento do caso 4 apresentado
no Capítulo IV. Naquela tabela são exibidos os valores da distribuição da densidade de
potência por unidade de altura do núcleo e valores dos fluxos escalares médios
normalizados no interior das regiões gerados para o problema modelado a duas
dimensões, no plano xy com z = 0. Também listamos os valores da distribuição de
potência e dos fluxos escalares médios normalizados no volume do núcleo simulado a
partir do uso do artifício matemático de buckling axial geométrico com a altura do
núcleo H = 250 cm representando uma modelagem do problema em três dimensões com
direção axial homogênea. Verificamos que as razões entre os valores da densidade de
potência por unidade de altura do núcleo e da distribuição de potência, como também,
entre os valores dos fluxos escalares médios gerados nas modelagens a duas e a “três”
dimensões é da ordem de 2H / π, como mostramos no Apêndice A. Concluímos com
estes resultados que as aplicações do método END2D1G-CN, com implementação das
condições de contorno tipo albedo não convencionais e do buckling axial geométrico,
revelou um excelente desempenho.
De acordo com os resultados gerados, verificamos que o método END2D1G-CN
apresenta boa precisão para cálculos globais de reatores nucleares em grades espaciais
grossas. Enfatizamos, no entanto, que a aproximação constante considerada para os
termos de fuga transversal foi o ingrediente limitador da precisão do método que se
mostrou num balanço geral menos preciso que o convencional método NEM, que
considera expansões do fluxo de ordem superior. Isto, entretanto, também pode ser
implementado na família de métodos espectro-nodais. Propomos dois caminhos para
implementarmos esta melhoria nas aproximações: um caminho analítico e um caminho
heurístico. Seguindo o caminho analítico, devemos determinar outros momentos
espaciais do fluxo escalar e da corrente em relação a uma dada base, e.g., os polinômios
de Legendre. Este caminho analítico tem embasamento teórico mais forte, porém
104
aumenta o número de equações discretizadas, considerando que momentos espaciais de
ordem superior aparecerão nas aproximações para os termos de fuga transversal. Por
outro lado, seguindo o caminho heurístico, conforme foi considerado no método nodal
analítico QUANDRY, podemos considerar aproximações polinomiais para os termos de
fuga transversal com formas heurísticas de se determinarem os seus coeficientes. Em
geral, usam-se conhecimentos físicos norteadores para a determinação dos coeficientes,
que, quando implementados nos métodos, podem gerar resultados cuja precisão muito
dependa do problema modelado. Como exemplo desta possibilidade, citamos o
problema-modelo considerado no caso 2 do Capítulo IV, cujos resultados gerados pelo
método QUANDRY foram bem menos precisos que os resultados gerados pelo nosso
método END2D1G-CN, apesar de as fugas transversais serem aproximadas por
polinômios quadráticos no método QUANDRY - ao ponto de este gerar resultados
absurdos do ponto de vista físico para grades espaciais grossas.
Estes bons resultados apresentados para as aplicações do método END2D1G-CN
aos problemas-modelo descritos ao longo dos Capítulos IV e V, conjugados com os
resultados livres de erros de truncamento gerados pelo método END1D2G aplicado ao
problema-modelo exibido na Tabela VI.3.2 do Capítulo VI, nos motivaram a apresentar
os fundamentos do método END2D2G-CN, que propomos no final da seção VI.3 do
Capítulo VI. Similarmente, seguimos os procedimentos utilizados nos Capítulos IV e
VI, nos quais mostramos os desenvolvimentos para chegarmos às equações END
constitutivas dos métodos END2D1G-CN e END1D2G respectivamente, para obtermos
as equações END constitutivas do método END2D2G-CN. Apontamos também um
caminho diretor para a arquitetura de um algoritmo convergente para o método
END2D2G-CN. Esperamos, em continuidade ao trabalho descrito nesta tese,
implementarmos o algoritmo proposto e publicarmos os seus resultados quando os
mesmos estiverem completamente testados.
105
VII-2 Sugestões para Trabalhos Futuros
Nesta seção sugerimos alguns trabalhos que temos a intenção de concretizar a
partir dos resultados apresentados nesta tese:
aproximações quadráticas, cúbicas, ou de ordem polinomial maiores para os termos
de fuga transversal, primeiramente seguindo um caminho heurístico como
descrevemos na seção anterior;
reconstrução intra-nodal do fluxo escalar médio nas faces dos nodos;
implementação de algoritmos de aceleração das iterações externas, e.g., método de
aceleração de Chebyshev, método de aceleração de Wielandt, etc...
arquitetura de um algoritmo convergente para solução numérica nodal de problemas
de difusão multigrupo, i.e., um algoritmo convergente para o método END2D2G;
aplicação das condições de contorno tipo albedo a problemas bidimensionais
multigrupo;
aplicação do mecanismo de buckling axial para simulação de problemas à três
dimensões a partir de problemas bidimensionais multigrupo;
extensão de todo o trabalho desenvolvido para geometria tridimensional.
106
APÊNDICE A
CÁLCULO DA DENSIDADE DE POTÊNCIA
Nós podemos determinar a potência como a taxa de energia liberada por fissão
no núcleo de um reator, multiplicando a densidade da taxa de reação de fissão para cada
região multiplicativa pela energia liberada por cada evento de fissão, i.e.,
∫∑ ΦΣ=Vi
dVP Vifi ,ε , (A.1)
onde, εi é a energia liberada por cada evento de fissão i, Σf,i é a seção de choque
macroscópica de fissão i e V é o fluxo escalar de nêutrons no volume V.
No caso de cálculo nodal, determinamos a potência, a partir da equação (A.1),
para um dado nodo arbitrário Ωijk, onde consideramos os parâmetros materiais
constantes, da seguinte maneira
ijkfijk zyx hhhP ΦΣ= ε , (A.2)
onde ijkΦ é o fluxo escalar médio no interior do nodo, que é dado por
∫∫∫=ΦV
dxdydzzyxhhh zyx
ijk ),,(1 φ . (A.3)
Relacionando a equação (A.2) com a equação (A.3), temos
∫∫∫Σ=ΦΣV
zyxzyx dxdydzzyxhhh
hhhhhhzyx
fijkf ),,(1 φεε , (A.4)
e conseqüentemente
ijkfzyxf hhhdxdydzzyx
V
ΦΣ=Σ ∫∫∫ εφε ),,( . (A.5)
Portanto,
ijkfzyxn hhhP ΦΣ= ε , (A.6)
que representa a potência gerada pelas reações de fissão no interior do volume do nodo
arbitrário Ωijk.
107
Para uma dada região R do núcleo, que é subdividida em n nodos, teremos
ll
l
ΦΣ= ∑=
n
zyxfR hhhP1
)(ε , (A.7)
a potência gerada pelas reações de fissão no volume desta região, onde hxhyhz é volume
do nodo e os parâmetros materiais na região são constantes.
Para todo o núcleo, composto de NR regiões, teremos
ll
l
ΦΣ= ∑∑==
nNR
m
zyxmfNU hhhP11
)()(ε , (A.8)
que é a potência gerada pelas reações de fissão no volume do núcleo.
Para quantificar as potências geradas pelas reações de fissão, como apresentadas
nas equações (A.6), (A.7) e (A.8), vamos verificar mais detalhadamente alguns
parâmetros e suas unidades de medida nas equações. A energia liberada por evento de
fissão é conhecida em torno de aproximadamente 200 MeV, i.e,
ε ≅ 200 MeV =2.108 . 1,6.10-19 J = 3,2.10-11 J , (A.9)
a unidade de medida de Σf é (cm-1), a unidade de medida do fluxo escalar de nêutrons é
(nêutrons / cm2.s) e a unidade de medida do volume é (cm3). Portanto, a unidade da
potência é dada em J/s (Joules por segundo) que é igual a Watts.
Aqui, definimos um fator que denominamos de Fator de Potência ou Fator de
Normalização, o qual corresponde à razão entre a potência nominal (PN) do reator e a
potência gerada pelas reações de fissão no volume do núcleo (PNU) como apresentada na
equação (A.8), i.e.
NUPPNFP = , (A.10)
Este cálculo da potência gerada pelas reações de fissão e o cálculo do fator de
potência são utilizados em nosso método END bidimensional, no qual fizemos os
cálculos na área hxhy de um dado nodo arbitrário Ωij. As equações (A.6), (A.7) e (A.8)
tomam as seguintes formas
ijfyxn hhP ΦΣ⋅= −× 11102,3 . (A.11)
108
A equação (A.11) representa a potência gerada pelas reações de fissão no interior do
nodo arbitrário Ωij , por unidade de comprimento de altura do núcleo. Portanto
escrevemos,
ll
l
ΦΣ⋅= ∑=
−×
n
yxfR hhP1
11 )(102,3 . (A.12)
A equação (A.12) representa a potência gerada pelas reações de fissão na região R do
núcleo subdividida em n nodos, por unidade de comprimento de altura do núcleo.
ll
l
ΦΣ⋅= ∑∑==
−×
nNR
m
yxmfNU hhP11
11 )()(102,3 . (A.13)
A equação (A.13) representa a potência gerada pelas reações de fissão no núcleo. Aonde
o fluxo escalar médio no interior da área A é dado por
∫∫=ΦA
dxdyyxhh yx
),(1 φl . (A.14)
O fator de potência aparece como apresentado na equação (A.10), com o denominador
na forma da equação (A.13).
Então, normalizamos pelo fator de potência, equação (A.10) bidimensional, os
fluxos escalares médios e a potência gerada pelas reações de fissão, equação (A.12), no
interior das regiões do domínio dos problemas apresentados. A potência gerada pelas
reações de fissão no interior das regiões denominamos de Fração de Potência.
Para o caso em que utilizamos o Buckling axial para simular problemas em três
dimensões, onde a altura axial do domínio é fixada, i.e., temos hz igual para todos as
regiões, as equações de potência tomam as seguintes formas
ijfyxz
n hhh
P ΦΣ⋅×= −
π2
102,3 11 . (A.15)
A equação (A.15) representa a potência gerada pelas reações de fissão no interior do
volume do nodo arbitrário Ωij com altura hz no buckling axial.
ll
l
ΦΣ⋅×= ∑=
−n
yxfz
R hhh
P1
11 )(2
102,3π
. (A.16)
A equação (A.16) representa a potência gerada pelas reações de fissão no volume da
região R do núcleo subdividida em n nodos, com altura hz no buckling axial, e
109
ll
l
ΦΣ⋅×= ∑∑==
−nNR
m
yxmfz
NU hhh
P11
11 )()(2
102,3π
. (A.17)
A equação (A.17) representa a potência gerada pelas reações de fissão no volume do
núcleo, com altura hz. Aqui, o fluxo escalar médio é o mesmo apresentado na equação
(A.14), que surge do fato de fazermos
∫∫∫=Φz
zyx
ijk
h
A
dzzdxdyyxhhh
0
)( ),(1 ψφ , (A.18)
e
zH
Azπψ sen)( = , (A.19)
onde H = hz e A é a amplitude do fluxo que é determinada pela potência nominal do
reator. O fator de potência, nesse caso, aparece como apresentado na equação (A.10),
agora, com o denominador na forma da equação (A.17).
110
APÊNDICE B
DETERMINAÇÃO DO PARÂMETRO DA CONDIÇÃO DE CONTORNO TIPOALBEDO PARA O CASO DE DIFUSÃO A UMA VELOCIDADE E DUAS
DIMENSÕES
B-1 Determinação do Parâmetro Albedo: Uma Região
Consideramos a equação da difusão integrada transversalmente na direção y com
aproximação constante para o termo de fuga transversal
[ ] 2/1,2/1,
)()(
ˆˆ1~1
~~
)(
2
2
yji
yjij
ijf
ija
j
JJkk
dx
dD
jeff
jji
x
xx
−+ −−ΦΣ=
ΦΣ+Φ−
ν . (B-1)
Supomos um meio não-multiplicativo, logo fazemos o termo de fonte de fissão igual a
zero e ademais desprezamos o termo de fuga, considerando os parâmetros materiais
constantes, isto é, a equação B-1 aparece como
)()( 0~~
2
2
=ΦΣ+Φ− xx jamjmdx
dD . (B-2)
Dividindo pelo coeficiente de difusão, obtemos
)()( 0~1~
22
2
=Φ−Φ xx jj Ldx
d , (B-3)
onde
am
mDL
Σ= , e o índice m representa o moderador ou refletor. (B-4)
A equação diferencial homogênea (B-2), admite solução do tipo
)(~ xx
j BeAex ΚΚ− +=Φ , (B-5)
onde
1
L=Κ . (B-6)
111
Consideramos que a região não-multiplicativa (moderadora ou refletora) externa ao
núcleo seja muito grande ao longo da direção x, a qual desejamos substituir
aproximadamente pela condição de contorno tipo albedo, vide Figura B.1,
x
0 ∞
combustível refletor ou moderador
Figura B.1 – Domínio unidimensional de uma região de combustível e uma região
refletora infinita.
Considerando que, se x → ∞ implica em )(~
xjΦ → 0, conseqüentemente a constante
B = 0. Portanto a equação (B-5), nesse limite assume a forma
xj Aex Κ−=Φ )(
~ , (B-7)
e a derivada em relação à variável x aparece como
)()(~~
xx jx
j Aedx
dΦΚ−=Κ−=Φ Κ−
. (B-8)
Considerando a corrente como proporcional ao fluxo no contorno, então, no contorno
entre o combustível e o moderador a corrente pode ser escrita como
)()( 00~~
jxJ Φ= α . (B-9)
Utilizando a Lei de Fick na equação (B-7), temos que
)()()(~~~
xxx jmx
mjm DAeDdx
dDJ ΦΚ=Κ=Φ−= Κ−
, (B-10)
e fazendo x = 0 em (B-10), obtemos
)()( 00~~
jmDJ ΦΚ= . (B-11)
Comparando (B-9) com (B-11), concluímos que
( )ammmx D Σ=,α , (B-12)
onde o índice x representa a direção x, e m representa a região de moderador ou refletor.
Verificamos na expressão (B-12) que o parâmetro albedo é independente da
direção e dependente apenas dos parâmetros neutrônicos da zona material refletora,
portanto o índice x pode ser suprimido, e o parâmetro albedo aparece como
( )ammm D Σ=α . (B-13)
112
B-2 Determinação do parâmetro da condição de contorno Albedo: Duas regiões
Mantendo algumas das considerações e suposições feitas no caso anterior de
uma região, e considerando, neste caso, um domínio de duas regiões, baffle e moderador
(ou refletor), na direção x, como representado na Figura B.2,
0 p ∞
combustível baffle refletor ou moderador x
Figura B.2 – Domínio unidimensional de uma região de combustível, uma região de
baffle e uma região refletora infinita
teremos duas equações diferenciais homogêneas, semelhantes à equação (B-3); uma
para a região do baffle e outra para a região do moderador. Estas equações admitem as
seguinte soluções:
)(.
2
.
1,
~ bxbx
bj eCeCxΚΚ− +=Φ (B-14)
e
)(.
4.
3,
~ mxmxmj eCeCx
ΚΚ− +=Φ (B-15)
onde,
1
b
bL
=Κ e
ba
bb
DL
Σ= , (B-16)
Lb é definido como o comprimento de difusão do nêutron na região do baffle b, e
1
mm L=Κ e
am
mm
DL
Σ= (B-17)
Lm é definido como o comprimento de difusão do nêutron na região do moderador ou
refletor m.
Utilizando a Lei de Fick para o fluxo na região do baffle, equação (B-14),
obtemos
( )[ ]bxbx
bbbjbb eCeCDdx
dDJ xx
ΚΚ− −Κ=Φ−= .
2
.
1, )()(~~
. (B-18)
No contorno da região do baffle, isto é, em x = 0 temos
113
( )[ ]21)( 0~
CCDJ bbb −Κ= , (B-19)
e
)( 21, 0~
CCbj +=Φ , (B-20)
e no contorno da região do moderador, isto é, em x = p temos
( )[ ]bpbp
bbb eCeCDJ pΚΚ− −Κ= .
2
.
1)(~
, (B-21)
e
)(.
2
.
1,
~ bpbp
bj eCeCpΚΚ− +=Φ . (B-22)
Para o fluxo na região do moderador, quando x → ∞ implicará em )(,~
xmjΦ → 0,
conseqüentemente a constante C4 = 0. Analogamente, seguindo os passos do caso de
uma região, chegamos à corrente e ao fluxo no ponto x = p para o moderador
( ) mpmmm eCDJ p
Κ−Κ= .3)(
~ , (B-23)
e
mxmj eCx
Κ−=Φ .3, )(
~ . (B-24)
Agora, utilizando condições de contorno e de continuidade apropriadas podemos
determinar uma relação entre as constantes C1 , C2 e C3 afim de encontrarmos a
expressão para o parâmetro da condição de contorno tipo albedo de duas regiões.
Pela continuidade de corrente em x = p, temos a seguinte expressão
)()(~~
pp mb JJ = , (B-25)
isto é, igualando as equações (B-21) e (B-23) chegamos a
( )[ ] ( )[ ]mpmm
bpbp
bb eCDeCeCD Κ−ΚΚ− Κ=−Κ .3
.
2
.
1 . (B-26)
Pela continuidade de fluxo em x = p, temos que
)()(~~
pp mb Φ=Φ , (B-27)
isto é, igualando a equação (B-22) com a equação (B-24) chegamos a
mpbpbpeCeCeC Κ−ΚΚ− =+ .
3
.
2
.
1 , (B-28)
Pela condição de contorno em x = 0, temos que
)()( 00~~
bb xJ Φ= α , (B-29)
isto é, relacionando a equação (B-18) com a equação (B-20) para x = 0 obtemos
114
( )[ ] [ ]2121 CCCCD xbb +=−Κ α . (B-30)
A partir do sistema de equações (B-26), (B-28) e (B-30), chegamos à seguinte
expressão para o parâmetro albedo para duas regiões refletoras
( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )11
1122
22
, −Κ++Κ
+Κ+−ΚΚ= ΚΚ
ΚΚ
bb
bb
pmm
pbb
pmm
pbb
bbbmx eDeD
eDeDDα . (B-31)
Rearranjando (B-31) podemos expressar o parâmetro da condição de contorno tipo
albedo de duas regiões, baffle (b) e moderador (m), em termos de funções hiperbólicas
e, como vimos anteriormente a expressão será a mesma para ambas as direções x e y,
podendo suprimir o índice como segue:
ΣΣ+
ΣΣ
ΣΣ+
ΣΣ
Σ=
m
ma
mamb
ba
bab
m
ma
mamb
ba
bab
babbm
DpD
DpD
DpD
DpD
D
senhcosh
coshsenh
α . (B-32)
Analisando a expressão (B-32) nos seguintes casos assintóticos:
quando a região do baffle for preenchida com moderador, isto é,
mambabDD Σ=Σ , (B-33)
conseqüentemente a equação (B-32) assume a seguinte forma
Σ+
ΣΣ
Σ+
ΣΣ
Σ=
m
ma
m
ma
mam
m
ma
m
ma
mam
mambm
Dp
DpD
Dp
DpD
D
senhcosh
coshsenh
α , (B-34)
que é equivalente a
mambmD Σ=α . (B-35)
115
quando a espessura da região do baffle for muito fina, isto é, quando p → 0, a
equação (B-32) toma a forma
( ) ( ) ( )( ) ( )
bab
mam
babmambab
mambab
babbm D
DD
DD
DDD
Σ
ΣΣ=
Σ+Σ
Σ+ΣΣ=
0senh0cosh
0cosh0senhα , (B-36)
e chegamos a
( )mambmD Σ=α . (B-37)
Verificamos que nos limites acima, o parâmetro da condição de contorno tipo albedo de
duas regiões, expressão (B-32), tende para o mesmo valor do parâmetro de uma região,
expressão (B-13).