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Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles
I1.1 SI2
MODELISATION ET COMPORTEMENT
CINEMATIQUE DES SYSTEMES
EXERCICES
CINEMATIQUE SPATIALE
Exercice 1 : Camion benne
Exercice 2 : Centrifugeuse
Exercice 3 : Etude du mouvement d’un tricycle
Exercice 4 : Moteur Wankel
Exercice 5 : Mouvement d’un manège
LOI ENTREE-SORTIE
Exercice 6 : Scie de marqueterie
Exercice 7 : Porte de garage
Exercice 8 : Réducteur épicycloïdal
Exercice 9 : Scie sauteuse
Exercice 10 : Volet arrière de Kangoo
CINEMATIQUE – I1.1 SI2
Exercice Camion benne
1/1
Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles
Mise en situation
Soit ��(�, �������, ������, �) un repère lié au châssis 0 d’un camion benne.
Soient ��(�, �������, ������, �) et � (�, � �����, �����, �) deux repères liés respectivement aux corps 1 et à la tige 2 d’un
des deux vérins hydrauliques.
On suppose que le vérin étudié {corps 1 + tige 2} se déplace dans le plan (�������, ������). Le corps 1 a un mouvement de rotation d’axe (�, �) par rapport au bâti 0. On pose � = (�������, �������). La tige 2 a un mouvement de translation rectiligne de direction ������� par rapport au corps 1. On pose
�������� = �. �������, avec λ variant.
Questions :
1. Réaliser une figure plane illustrant le paramètre d’orientation.
2. En déduire sous la figure, le vecteur rotation.
3. Que dire des bases 1 et 2 ? En déduire Ω /����������.
4. Déterminer les trajectoires �� /�, ���/� et �� /�.
5. Déterminer les vecteurs vitesses �� /������������, ���/������������ et �� /������������.
6. Déterminer le vecteur accélération Γ� /������������.
CINEMATIQUE – I1.1 SI2
Exercice Centrifugeuse
1/1
Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles
Mise en situation
Considérons une centrifugeuse de laboratoire composée :
Sous l’effet centrifuge dû à la rotation du rotor ��, les containers �� s’inclinent et les liquides contenus
dans les éprouvettes sont ainsi séparés en fonction de leur masse volumique respective.
Soit �(�, �, , �) un repère lié au solide � .
Le solide �� est animé d’un mouvement de rotation autour de l’axe (�, �) par rapport à � .
Soit ��(�, ������, �����, �����) un repère lié au solide ��. Posons � = (, �����) avec � = �. � (� constante positive
en radians par seconde).
Le solide �� est animé d’un mouvement de rotation autour de l’axe (�, �����) par rapport à ��. On donne :
������� = �. ����� (� constante positive exprimée en mètres).
Soit ��(�, ������, �����, �����) un repère lié au solide ��. Posons � = (�, ������) avec � une fonction du temps
inconnue.
Soit � le centre d’inertie de ��, tel que : ������� = �. ������ (� constante positive exprimée en mètre).
Questions :
1. Réaliser le schéma cinématique spatial paramétré, limité à un seul container à éprouvettes.
2. Déterminer ���/ ���������� en utilisant les torseurs cinématiques uniquement.
3. Retrouver cette vitesse par dérivation vectorielle.
4. Déterminer Γ��/ ���������� par dérivation vectorielle.
CINEMATIQUE – I1.1 SI2
Exercice Etude du mouvement d’un tricycle
1/2
Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles
Mise en situation
Le système étudié est constitué par un tricycle en contact avec le sol horizontal et ayant les
particularités suivantes :
- Les deux roues arrières sont montées sur l’essieu horizontal indéformable �� de centre �, de
longueur �� = 2�.
- L’essieu horizontal de la roue avant est monté sur une fourche qui ne peut que tourner autour
d’un axe vertical ��. - Les trois roues roulent sans glisser sur le sol aux points de contact respectifs A’, B’ et C’.
On introduit :
- Le référentiel �� lié au sol, supposé galiléen, rapporté au repère orthonormé direct
(��, ��, ��, ��). Les axes (��, ��) et (��, ��) sont tracés sur le sol horizontal.
- Le référentiel �� lié à l’ensemble (châssis, essieux) rapporté au repère orthonormé direct
(�, ��, ��, ��). - Le référentiel �� lié à la fourche et rapporté au repère orthonormé direct (�, ��, ��, ��).
On notera :
����, la vitesse angulaire de la roue 2 par rapport au châssis 1, et ���� celle de la roue 3.
����, la vitesse angulaire de la roue avant 5 par rapport à la fourche 5.
���, l’angle de braquage de la roue avant.
Le châssis qui a un mouvement plan est repéré à l’aide de la position de son centre de gravité dans �� :
��(�) et ��(�), et à l’aide du paramètre ���.
� = ��; 2� = ��; � = �� = ��; !�"#$�% "&�% = !
Questions :
1. Exprimer Ω�/)*, Ω�/)*
, Ω�/)*¸Ω�/)*
, Ω�/)*, vecteurs instantanés de rotations du châssis, deux 2
roues arrières, de la fourche, et de la roue avant par rapport à ��.
2. Donner les relations vectorielles qui lient V-�/)* à V��/)*
, V.�/)* à V��/)*
, V/�/)* à V��/)*
. Exprimer ces relations dans la base ��.
3. Ecrire les conditions de roulement sans glissement sur le sol des 3 roues.
Expliciter la condition de roulement sans glissement pour la roue 2, et montrer que l’on en
déduit deux relations :
0�1��� , ��� , ����, ���, �2 = 0
0�1��� , ��� , ����, ���, !, �, ����2 = 0
Expliciter la condition de roulement pour les 2 autres roues. Montrer que l’on obtient un
système de 5 équations indépendantes.
CINEMATIQUE – I1.1 SI2
Exercice Etude du mouvement d’un tricycle
2/2
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CINEMATIQUE – I1.1 SI2
Exercice Moteur Wankel
1/3
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Mise en situation
L’invention de Félix Wankel reste liée au principe de la combustion. Le moteur à piston rotatif Wankel
réalise sous une forme particulière les quatre opérations fondamentales classiques :
1. Admission
2. Compression
3. Explosion – Détente
4. Echappement
Le mélange air-essence pénètre par le conduit d’aspiration, c’est le 1er
temps.
Le rotor obture l’orifice d’aspiration et amorce la compression des gaz carburés, c’est le 2ème
temps.
L’étincelle produite par la bougie provoque l’explosion du mélange air-essence au moment où la
compression est maximum. La détente provoque la rotation du rotor et fournit l’énergie motrice grâce
aux forces de pression exercées sur la face du rotor, c’est le 3ème
temps.
Le rotor démasque l’orifice d’échappement qui permet aux gaz brûlés de s’évacuer, c’est le 4ème
temps.
L’intérêt de ce type de motorisation est que les quatre phases du moteur 4 temps ont lieu en même
temps, sans les déperditions énergétiques dues au mouvement alternatif du piston.
Le piston rotatif, ayant la forme d’un triangle équilatéral curviligne, déplace ses sommets dans un stator
suivant une courbe spéciale nommée « épitrochoïde ».
CINEMATIQUE – I1.1 SI2
Exercice Moteur Wankel
2/3
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Modélisation et paramétrage :
L’analyse du fonctionnement met en évidence la
présence de trois solides :
� La carter moteur, repéré S0, auquel on associe
un repère (�, �0���������, ������, ����) ; � Le vilebrequin, repéré S1, auquel on associe un
repère (�, � �����, � �����, ����) ; � Le piston, repéré S2, auquel on associe un
repère (�, �������, �������, ����).
Le piston de forme triangulaire est en liaison pivot avec le
vilebrequin lui-même en liaison pivot avec le carter moteur.
D’autre part, le piston comporte une roue dentée intérieure qui
engrène avec un pignon denté fixe par rapport au carter
moteur. Ainsi la roue dentée roule sans glisser sur le pignon.
�������� = �. � ����� ; �������� = −�. � ����� + �. ���� ; �������� = �. �������
� = 10 �� ; � = 20 �� ; � = 100 ��
CINEMATIQUE – I1.1 SI2
Exercice Moteur Wankel
3/3
Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles
Questions :
1. Tracer les figures de calculs.
2. Exprimer les vecteurs instantanés de rotation Ω /��������� et Ω�/
���������.
3. Déterminer le vecteur vitesse V!�/�����������.
4. A partir des résultats précédents, déterminer le vecteur vitesse V"�/�����������.
5. Exprimer la condition de roulement sans glissement au point B.
6. En traduisant cette condition, déterminer la relation #$ = %(&$ , �, �).
7. Les positions angulaires & et # de l’arbre et du rotor à l’instant ' = 0( sont choisies telles que
& = 0° et # = 0°. Déterminer la relation # = *(&, �, �).
8. Exprimer le vecteur vitesse V+�/�����������, en fonction des paramètres géométriques �, �, � et du seul
paramètre cinématique &$ .
9. Exprimer cette vitesse dans le repère , en fonction des paramètres géométriques �, �, �, &(')
et du seul paramètre cinématique &$ .
10. Soient �+ et �+ les coordonnées du point E dans le repère ,. Exprimer ces coordonnées en
fonction de �, �, �, &(').
CINEMATIQUE – I1.1 SI2
Exercice Mouvement d’un manège
1/1
Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles
Mise en situation
Considérons le mécanisme de manège suivant. On se propose de calculer la vitesse du point D.
Paramétrage :
Quatre repères : �� = (�, ������, �����, �����) lié au bâti 0.
� = (�, � ����, ����, � ���) lié à la potence 1.
�� = (�, ������, �����, �����) lié au balancier 2.
�� = (�, ������, �����, �����) lié à la nacelle 3.
Quatre variables :
�(�) : position du point A par rapport à �� avec ������� = �(�). �����. � : angle de précession qui positionne la base 1 par rapport à la base 0.
� : angle de nutation qui positionne la base 2 par rapport à la base 1.
� : angle de rotation propre qui positionne la base 3 par rapport à la base 2.
Trois constantes :
� : porte à faux de la potence 1 avec ������� = �. ����.
� : longueur du balancier 2 avec ������� = −�. �����.
� : longueur de la nacelle 3 avec ������� = �. ������.
Questions :
1. Placer les figures de calcul.
2. Exprimer ٠/���������, �/��������� et �/���������.
3. Calculer la vitesse V!�/"#������������ de trois manières différentes :
a. En dérivant le vecteur position.
b. En utilisant la relation de transport liant les vitesses d’un solide indéformable. Calculer à
l’aide de cette relation, successivement V$ /"#������������, V% /"#
������������, V&�/"#������������, V!�/"#
������������.
c. En utilisant la composition des vitesses.
LOI ENTREE-SORTIE – I1.1 SI2
Exercice Scie de marqueterie
1/1
Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles
Mise en situation
Nous allons étudier une scie de marqueterie.
La marqueterie est un décor réalisé avec des placages
de bois découpés suivant un dessin, et collés sur un
support (un meuble, en général).
Cette technique nécessite des découpes de bois
précises ; le mécanisme étudié ici est une scie de
marqueterie électrique.
Le plan A3 fourni représente le plan de cette scie de
marqueterie.
Fonctionnement :
La poulie 11 entraîne l’arbre 4. Un excentrique 23 est
monté serré sur l’arbre 4. Cet excentrique est en liaison avec la pièce 18 par l’intermédiaire de la pièce
22. Cette liaison autorise une rotation selon �� et 2 translations selon �� et �� (voir la coupe C-C). Le
mouvement de l’excentrique entraîne la pièce 18, elle-même en liaison complète avec la scie 5. La scie
est en liaison pivot glissant avec le bâti.
On prendra comme modélisation de ce système le schéma équivalent de la figure ci-dessous.
Questions
1. Donner le nom complet des pièces suivantes : pièce 7, pièce 14, pièce 16, pièce 10.
2. Faire le graphe de liaison de ce système. Ajouter des points sur le schéma cinématique de la
figure 1 pour définir complètement les liaisons.
3. Faire le schéma cinématique de ce système dans le plan (��, ��) (plan du document A3 fourni).
Utiliser une couleur par solide.
4. Effectuer le paramétrage du système sur le schéma cinématique de la figure 1. Indiquer
clairement les paramètres fixes et les paramètres variables.
5. Exprimer les conditions de fermeture angulaire et géométrique. En déduire la loi entrée-sortie
de ce système.
LOI ENTREE-SORTIE – I1.1 SI2
Exercice Porte de garage
1/1
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Mise en situation
Le portail ci-contre est articulé par rapport au mur
grâce à 2 bras.
Ces 2 bras pivotent par rapport au mur en �� et ��′ et
par rapport au panneau en A en A’.
Le panneau coulisse sur 2 rails fixés au plafond en B et
B’ grâce à 2 galets.
Le repère �� est lié au mur, �� au panneau 2 et �� au
bras 3.
���������� = −�. ����������� = 1�
������� = 2. �. ������; ���������� = �. ������; ����������. ������ = �
�������, ������� = �������, ������� = �, � varie de 0 à -180° pendant la phase d’ouverture.
�������, ������� = �������, ������� = �
Questions
1. Etablir le graphe des liaisons de ce système.
2. Tracer les 2 figures planes définissant, dans les bases concernées, les 2 paramètres angulaires
variables associés aux mouvements des solides 2 et 3 par rapport à 1.
3. Ecrire l’équation vectorielle issue d’une fermeture géométrique de ce système en exprimant
chaque vecteur dans la base du solide auquel il appartient.
4. Exprimer cette équation vectorielle dans ��.
5. En déduire : � = ��� ; � = ��� ; �! = "�, �!#
6. Nommer la trajectoire de A du solide 3 par rapport au solide 1.
7. Soit G le centre d’inertie du panneau 2 avec �$����� = �. %����. Déterminer &'�/����������� en fonction de � et de
�.
LOI ENTREE-SORTIE – I1.1 SI2
Exercice Réducteur épicycloidal
1/1
Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles
Mise en situation
Le schéma ci-dessous représente un train épicycloïdal comprenant :
→ Un planétaire ��, de rayon �� = ��, de vitesse angulaire par rapport au bâti : ��.
→ Un satellite ��, de rayon � = = ��, de vitesse angulaire par rapport à �� : ���.
→ Une couronne fixe ��, de rayon � = ��.
→ Un porte-satellite ��, de vitesse angulaire par rapport au bâti : ��.
Questions
1. En utilisant le roulement sans glissement en I de �� sur ��, en J de �� sur ��, déterminer la loi
entrée-sortie �� ��⁄ .
2. En utilisant une autre méthode, vérifier cette loi entrée-sortie.
1
2
3
3
4
J
C
I
O Rotor
Moteur
LOI ENTREE-SORTIE – I1.1 SI2
Exercice Scie sauteuse
1/1
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Mise en situation
Questions
1. Etablir le graphe des liaisons de ce système. Préciser les mobilités dans les liaisons.
2. Faire le schéma cinématique dans le plan (��, ��). 3. Définir un repère par solide sur le schéma cinématique.
4. Préciser sur le schéma cinématique les paramètres variables et constants.
5. Ecrire les équations de fermeture géométrique et angulaire.
6. Déterminer la loi entrée-sortie.
LOI ENTREE-SORTIE – I1.1 SI2
Exercice
Mécanisme d’ouverture du volet
arrière de la Kangoo
1/2
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Mise en situation
La Kangoo est un modèle du constructeur automobile français Renault.
La Kangoo est une fourgonnette compacte monovolume (la caisse arrière n’est pas rapportée sur un
avant de berline).
A l’origine, la Kangoo apparaît pour remplacer des fourgonnettes obsolètes, dont la conception remonte
aux années quatre-vingt.
Nous allons nous intéresser au système d’ouverture-fermeture du volet arrière, voir schéma
cinématique suivant.
Questions
1. Faire le graphe de liaison.
2. Faire le paramétrage du système. Préciser les paramètres fixes et les paramètres variables,
choisis de manière à être orientés positivement.
3. En déduire les 3 équations de fermeture angulaire et géométrique.
4. En déduire la loi entrée-sortie du mécanisme.
5. On veut un débattement ��� de 90°. En déduire la course nécessaire du vérin, sachant que
�� = 70� et �� = 20�.