ETVS LORND TUDOMNYEGYETEM TERMSZETTUDOMNYI KAR

SZAKDOLGOZAT

BASA ISTVN

MODELLALKOTS A MATEMATIKBAN

A blumi fordulat

TMAVEZET: VANCS DN Matematikatantsi s Mdszertani Kzpont

Budapest, 2009.

KSZNETNYILVNTS Dolgozatom elkszlthez s kutatsaimhoz igen sok segtsget kaptam tanraimtl, tanr-kollgimtl, tantvnyaimtl s bartaimtl. Ezton is szeretnm nekik hlmat kifejezni:

Elszr is ksznm tmavezetmnek, Vancs dnnek, hogy egsz munkm sorn folyamatos visszajelzseivel btortott, tancsaival s szrevteleivel segtett munkm ltrejttben. Ksznm neki, hogy kinyitotta felm ezt a vilgot s szemlletet, ami tanri plymra mindig hatssal lesz majd.

Kollgmnak s mentoromnak, Marosvri Pternek, hogy atyai j tancsaival segtett, hogy dolgozatom s plyakezd vem nehzsgein rr legyek. Ksznet illeti t az inspiratv tletekrt is, amik segtettek a dolgozat msodik felben tallhat feladatok kivlasztsban s kidolgozsban. Lelkesedse a matematika s a tants szpsgei irnt remlem, mg sokig ad nekem is ert a tants sorn.

Kollgmnak, Kocsis Mrtnak, hogy segtett a modellezsi feladatok kiprblsban s rtkelsben, s ksznm neki llhatatos helyettestsi kszsgt htf reggelenknt.

A Kzgazdasgi Politechnikum NEON s Poligon osztlyainak a modellalkotsi feladatok lelkes elvgzsrt.

Tanromnak, Gmes Margit tanrnnek, a Maple program hasznlatban nyjtott segtsgrt s mindazrt a pedaggiai szemlletmdrt, tanri hivatstudatrt, amit egyetemi veim alatt tanulhattam tle.

Vicsek Tams professzor rnak, hogy trelmesen segtsgemre volt a baktriumszaporods-modellek rtelmezsben s kirtkelsben.

Varsnyi Katnak s Konkoly Csengnek, hogy segtsgemre voltak az idegen nyelv (angol s olasz) idzetek pontos lefordtsban.

Tantvnyomnak, Katona Viktrinak, a CD-mellklet fedkpnek elksztsrt.

s Harcsa Veroniknak, akinek nhny szzszor meghallgatott dalai megteremtettk azt az alkot atmoszfrt, ami nlkl szakdolgozatom minden bizonnyal soha nem kszlt volna el.

1

TARTALOMJEGYZK

1. BEVEZET 4

1.1. SZEMLYES NYITNY 4 1.2. NHNY SZ A FELHASZNLT IRODALOMRL 6 1.3. MATH WARS A BEVEHETETLEN ERD 8 1.3.1. Hooray for new math, new-hoo-hoo math 8 1.3.2. It wont do you a bit of good to review math 10 1.3.3. Az erd oltalmban Elkpzelni a matematikt 12

2. A MODELLALKOTS ELMLETE 15

2.1. J MODELL SZLETIK 15 2.2. ALAPFOGALMAK S ELKPZELSEK TISZTZSA 16 2.2.1. A trgeometritl a rabszolgasgig 20 2.3. TECHNOKRATA IDK 22

3. MODELLEK S MEGKZELTSEIK 26

3.1. TVOLSGOK S MAGASSGOK 27 3.1.1. Milyen messze van a Kzgazdasgi Politechnikumtl a Klinikk metrmegll? 29 3.1.2. Milyen hossz a Vendel utca? 29 3.1.3. Milyen magas egy lmpaoszlop? 30 3.1.4. Milyen magas a Kzgazdasgi Politechnikum plete? 31 3.2. BETK A PAPRLAPON 32 3.2.1. Az id-modell 32 3.2.1. A mret-modell 34 3.3. EGY SPANYOL PETCI MDIAVISSZHANGJA 35 3.4. SZMOGRIAD 37 3.5. ABSZOLT VAKCI 39 3.5.1. gi 39 3.5.2. gi ktszer 41 3.5.3. gi s Judit 42 3.6. KZLEKEDSBIZTONSG 43 3.6.1 Els kzelts Villmgyors reflexek 44 3.6.2 Msodik kzelts Relis reflexek 46 3.6.3 Harmadik kzelts Csszs utak 48 3.7. PTSNK GMESKUTAT! 49 3.7.1. A vdr plyja 52 3.7.2. Amikor a vdr a bal szlre rkezik 52 3.7.3. A kt aljn 53 3.7.4. Amikor a vdr a jobb szlre rkezik 53 3.8. MESE A BAKTRIUMTENYSZETRL 55 3.8.1. Els modell: Baktrium-invzi 55 3.8.2. Msodik modell: hez baktriumok 56 3.8.3. Harmadik modell: hez, haldokl baktriumok 61 3.8.4. Negyedik modell: Fraktl baktriumtelepek mozg baktriumok (Vicsek-modell) 63 3.8.5. tdik modell: Fraktl baktriumtelepek mozg tpllk (Sander-modell) 67 3.8.6. Hatodik modell: Valszn domborulatok Az Eden-modell 69 3.9. S MI A HELYZET A LILLIPUTIAKKAL? 71 3.8.1 A problmakr lnyege s a matematizci 72

2

3.8.2 Mess magassgok 73 3.8.3 A liliputiakkal s az risokkal nehz szt rteni 74 3.8.4 Az risok csontjai tlterheltek 75 3.8.5. A liliputi slyemelk verhetetlenek Nem a hangya a legersebb llat a vilgon 79 3.8.6. A liliputiak heznek, Guliver tvgya nagy 80 3.8.7. A liliputiak szve gyorsabban dobog A vilgon mindenkinek mgis ugyanannyi id adatott 83 3.8.8. A problma a tantsi rkon 86

4. A BLUMI FORDULAT 87

IRODALOMJEGYZK 91

FELHASZNLT IRODALOM 91 AJNLOTT IRODALOM 92

MELLKLETEK 93

M1. TVOLSGOK S MAGASSGOK MRSE 93 M1.1. Oszlop magassgnak mrse 93 M1.2. Utca hossznak meghatrozsa 94 M1.3. Az iskola s a Klinikk megtrmegll tvolsgnak meghatrozsa 95 M1.4. Iskolaplet magassgnak meghatrozsa 96 M1.5. Iskolaplet magassgnak meghatrozsa 97 M2. 10 BET FELRSA EGY PAPRLAPRA (IDALAP MODELL)10 98 M3. SPANYOLORSZGI PETCI 99 M4. A CD-MELLKLET TARTALMA S HASZNLATA 103 M4.1. Baktriumszaporods-modell Maple szimulci 103 M4.2. GeoGebra-szimulcik ltalban 104 M4.3. Baktriumszaporods-modell GeoGebra szimulci 105 M4.4. Fktvolsgok 105 M4.5. Gmeskt-szimulci 106

3

1. BEVEZET

The difficulty lies not so much in developing new ideas as in escaping from old ones.

John Maynard Keynes1

1.1. SZEMLYES NYITNY

Nehz gy megfogalmazni a matematika legalbbis szmunkra nyjtott rtelmt s

jelentsgt, hogy ne tkzznk mrfldes kzhelyekbe. Szemlyes tapasztalatom, de taln

jl ismert jelensg, hogy a matematikban jratlan laikusok szeretik a matematikt

leegyszersteni a bolti bevsrlsok visszajrinak kiszmtsra, a legalapvetbb

mrtkegysgek kzti tvltsra, esetleg autvezets kzben a megclzott kilomterek s az

aktulis sebessg ismeretben az t vrhat idtartamra. Termszetesen az adzsnak is

kze van a matematikhoz, ksz szerencse, hogy akad, aki egy tisztes sszegrt gyflkaput

nyit s elvgzi a bevallsokat.

Termszetesen egy kzelebbi vizsglds mr rmutatna arra, hogy a konkrt

matematikai szmtsok ennl sokkal nagyobb arnyban vannak jelen a mindennapjainkban,

de mg gy is nehz kitrnnk abbl a keretbl, amit az ltalnos iskola msodik osztlyban

vsrolt ngy-alapmveletes szmolgpek biztostanak neknk.

Egy tanulsgos, szemlyes lmnyem is rvilgtott arra, hogy a matematiknak (mint

tantrgynak) a szerepe az iskolai diksg krben is meglepen tisztzatlan. Egy

tantvnyommal kerlt szba a jl ismert problma (mire j a matematika?), ami azonban

klnlegess tette ezt a beszlgetst, hogy a szerepek ezttal felcserldtek:

Tanr: Nem gondolom, hogy a matematika trgynak tl sok konkrt anyagrszt hasznlni

fogja az lete sorn.

Dik: (felhborodottan) Mr hogyne hasznlnm?! Pldul a Pitagorasz-ttelt...

Tanr: Fura, mindig ezt mondjk. Na, mondjon egy pldt, amikor az lete sorn szksge

lesz a Pitagorasz-ttelre.

Dik: (kis gondolkods utn): Pldul, ha ki kell szmolnom egy hromszg tfogjt.

Tanr: Mert ezzel a problmval az letben gyakran tallkozik, mi?

1 Nem az a nehz, hogy az j tleteket kifejlesszk, hanem az, hogy a rgiektl megszabaduljunk. http://thinkexist.com/quotation/the_difficulty_lies_not_so_much_in_developing_new/148129.html

4

Dik: Mondjuk dolgozatban kell kiszmolnom.

Tanr: Szakadjunk ki az iskolbl. gyis azt mondjk, az az letre kszt fel, akkor az mg

nem lehet az let.

Dik: J, akkor van egy ltra, amit valahny mter magasra akarok feltmasztani, s ha

tudom a ltra hosszt, akkor ki tudom szmolni, hogy hny mterre kell helyeznem a

ltrt a fldn.

Tanr: Igen, ez biztos dolgozatplda is volt. Csak tudja, amg maga ezt szmolgatja, addig n

odamegyek, veszem a ltrt s szemre odatmasztom, majd a kreatv megoldsrt

jr prmiumot is n veszem fel maga helyett.

Dik: J, akkor van egy szmedence, ami derkszg hromszg alak. Ahhoz, hogy ki

tudjam szmolni, hogy mennyi legyen az tfogja, kell a Pitagorasz-ttel.

Tanr: Ez mr jobb, de ezt meg ktelekkel csinljk. Vagy ha mr maga szmolja ki, akkor

maga egy ptsz, egy ptsznek meg szksge van geometrira, ez igaz. De itt akkor

mgsem a mindennapi let egy problmjrl van sz, hanem arrl, hogy az

ptszek egy feladathoz felhasznlhat a Pitagorasz-ttel. Na de mi van a kltkkel,

a villamosvezetkkel s a pincrekkel?

Dik: Ezek szerint akkor nem r semmit, amit itt az iskolban tanulunk?

Tanr: ...

Termszetesen ez az a pont, ahol a krdst minden matematikatanrnak ktelessge

megvlaszolni. S ha mr tllptnk azon a problmn, hogy a matematika tanulsnak (s

tantsnak) mi nem a clja (legalbbis nem ltalnosan), akkor el kell llnunk egy pozitv

megfogalmazssal is. Ha elfogadjuk a fenti okfejtst akkor azt kell mondanunk: a

matematika rtelme (mr amennyiben ltezik ilyesmi) semmikppen sem a konkrt

matematikai rszterletek trgyi ismeretben (vagyis a formalizmusban) rejlik, de mg nem

is csupn ezen ismeretek feladatok sorn val alkalmazsban; hanem abban a folyamatban,

ami a konkrt trgyi ismeretek elsajttsa, illetve a konkrt feladatok elvgzse kzben

trtnik: a gondolkodsmdban, a hozzllsban, az letben tapasztalt problmk sorn

ignyelt megoldsi modellek megalkotsban.

Dolgozatom clja egyrszrl megksrelni egy lehetsges vlaszt adni erre a

didaktikaontolgiai krdsre, msrszt bemutatni egy olyan fajta matematika-didaktikai

irnyzatot, mely kzppontjban a modellezsi folyamatok llnak, s mely irnyzatnak

Magyarorszgon ez idig nem sikerlt megvetnie a lbt az ltalnos s kzpiskolai

matematikaoktatsban.

5

Holott napjainkban a matematikaoktats ugyangy kihvsokkal nz szembe, mint a 60-

as vek j matematika-irnyzatnak megjelensekor, igaz, ezek a kihvsok nmikpp

klnbznek azoktl. Egyrszt bels (motivcis), msrszt kls (nemzetkzi trendek s az

rettsgi kvetelmnyrendszer) kvetelmnyek knyszertik ki az j vlaszokat. Tzisem,

hogy ezekre a kihvsokra vlaszt adhat a matematikaoktats alkalmazs- s

modellezskzpont2 irnyzatnak, illetve a realizl matematiknak3 adaptlsa a tantsi

rkba.

Ebben a dolgozatban elszr a vonatkoz s felhasznlt irodalom rvid ttekintse utn

sszefoglalst kvnok adni a matematikaoktats kzelmltbeli s jelenlegi nemzetkzi

helyzetrl, ismertetve a fbb irnyzatokat. Ezutn, felhasznlva egy ltalam preferlt

modellalkotsi metdust nhny pldn keresztl be kvnom mutatni a modellezsi

feladatok jellemzit, illetve felhasznlhatsukat az iskolai tanrkon. Sajt s kollgim

gyakorlati eredmnyeit felhasznlva vgl rtkelst kvnok adni ezen mdszerek

felhasznlhatsgrl.

1.2. NHNY SZ A FELHASZNLT IRODALOMRL

Szmtalan klfldi cikk foglalkozott az elmlt 30 vben a tmval. Mivel az jfajta

didaktikai irnyzat Eurpbl indult, ezrt tbbnyire az eurpai vonatkozs cikkeket

kvnom dolgozatomban felhasznlni. A legjelentsebb cikkeket kt irnyzat szerint

csoportosthatjuk4. Az egyik irnyzat az j matematika ellenpontjaknt les kritikval

megfogalmazott realizl matematika. (A tovbbiakban RME Realistic Mathematics

Education.) Dolgozatomban a hangslyt ugyanakkor n a msik, elssorban Werner Blum

ltal kpviselt alkalmazs- s modellezskzpont matematikai irnyzatra kvnom helyezni,

de vallom, hogy a kt irnyzat egymst tmogatja, kiegszti. Az RME irnyzatrl,

trtnetrl s alapelveirl rszletes s ignyes sszefoglalst adott 2005-s

szakdolgozatban Frank Ildik.5 Rszben az ltala megszerzett kutatsi anyagra

tmaszkodtam n is, az irodalomjegyzkben tallhat, RME-vel foglalkoz, az rdekld

2 Applications and Modelling in Mathematics Teaching and Mathematics Education. Ezzel a cmmel hatrozta meg az irnyzat nevt Werner Blum, a nmetorszgi Kassel University tanra. A dolgozatban az A&M rvidtst hasznlva fogok hivatkozni r. (BLUM, 2007, p.1.) 3 Realistic Mathematics Education. Ezt a nevet adta didaktikjnak a holland matematikus, Hans Freudenthal. A dolgozatomban az RME rvidtst hasznlva fogok hivatkozni r. 4 Ld. rszletesebben a kvetkez alfejezetet! 5 FRANK, I. A realisztikus matematikaoktats konkretizlsa Az egyenltlensgek tantsa. ELTE, Bp. 2005.

6

olvasnak sznt ajnlott irodalmat pedig az ltala kivlasztott irodalomjegyzkbl

klcsnztem.

A msik nagy irnyzat, amely mentn elhelyezhetk a tmban fellelhet tanulmnyok,

az elssorban Werner Blum nevvel fmjelzett, Nmetorszgbl indult alkalmazs- s

modellezskzpont matematikaoktats. (A tovbbiakban A&M Applications and

Modelling in Mathematics Education.)

Olyan, a realizl matematikaoktatsi irnyzatot sszefoglal mvel, amely a fbb

trendeket s az eddigi eredmnyeket ksreln meg sszefoglalni, kutatsaim sorn nem

tallkoztam. Ez persze nem zrja ki az ilyen gyjtemnyek ltezst, de az ilyen gyjtemny

ltezse ellen szl az is, hogy az RME irnyzat Hollandin bell is rengeteg gazatbl ll, a

kutatsi eredmnyekrl, a tzisekrl sszefoglal mvet alkotni gy emberprbl feladat

lenne.

Az RME-vel szemben azonban az A&M kt olyan sszegz tanulmnyrl is

beszlhetnk, melyek a modellalkotsi irnyzatot kvet fontosan cikkeket tartalmazzk.

Magyarorszgon egyelre egyik se lelhet fel, mindkett ktet elssorban Werner Blum

nevhez kthet. Dolgozatomban elssorban erre a kt ktetre (s a bennk tallhat mintegy

50 cikkre) tmaszkodtam. Az els, 1995-ben megjelent, Advances and perspectives in the

teaching of mathematical modelling and applications cm ktetre BLUM, 1995, a msodik,

2007-ben kiadott Modelling and applications in mathematics edutation ktetre BLUM, 2007

rvidtssel fogok hivatkozni. Werner Blum s Mogens Niss 1991-es, kzsen rt cikkre,

mely az A&M irnyzat kiltvnynak is tekinthet BLUM, 1991 rvidtssel hivatkozom

majd.

Ezt a jellsi rendszert megtartva az ltalam felhasznlt irodalomra is a szerz (tbb

szerz esetn az els szerz) vezetknevnek megjellsvel, valamint (tbb m esetn) a

kiads dtumval fogok utalni. A teljes felhasznlt (s ajnlott) irodalomjegyzk dolgozatom

vgn tallhat.

A klfldi irodalom esetn jelezni fogom az adott ktet hazai hozzfrhetsgt is. Mint

az azonban ezekbl a jelzsekbl is lthat lesz, Magyarorszgon a legtbb tanulmny akr

az RME, akr az M&A irnyzatban nem elrhet. Remlhetleg ezt az rt az

elkvetkezend vekben a matematikus-matematikatanr trsadalom igyekszik betmni.

Azok a cikkek, melyeket dolgozatom sorn felhasznltam, tbbnyire sszefoglal, a

matematikatantsi trendekkel (tbbnyire az RME-vel) foglalkoz tfog tanulmnyok.

Kutatsaim sorn a magyar szerzk kzl Ambrus Andrs, Ambrus Gabriella, Kosztolnyi

Jzsef, Somfai Zsuzsa, Vancs dn s Vsrhelyi va tanulmnyaira tmaszkodtam.

7

A tmval foglalkoz eladsok s tovbbkpzsek kzl kettt emelnk ki:

Kosztolnyi Jzsef 2004-ben a Konferencia a Korszer Oktatsrt konferencin tartott

eladst Matematikai Modellalkots cmen, ennek vzlata az internetrl is hozzfrhet6.

Vancs dn s Ambrus Gabriella pedig 2008-ban egy 40 rs tovbbkpzst tartott

Matematikai modellezs az oktatsban cmmel tanrok rszre.

Dolgozatomban az ezen eladsokon elhangzott pldkat, szempontokat is felhasznltam.

1.3. MATH WARS A BEVEHETETLEN ERD

Mieltt valdi tmakrnkre, az alkalmazs- s modellezskzpont matematikaoktatsra

trnnk, fontos, hogy betekintst nyerjnk a XX. szzad msodik felnek

matematikadidaktikai vltozsaiba. Termszetesen a matematikaoktats trtnetnek

behatbb vizsglathoz nem lehet elgsges csupn 50 v ersen szelektlt s nagy

vonalakban felvzolt irnyzatainak ismertetse, azonban dolgozatom terjedelmi korltai miatt

s mivel az ltalam trgyalt irnyzatra elssorban ez az 50 v hatott n csupn ennek a

korszaknak a vzlatos bemutatsra szortkozom.

Ebben a fejezetben kt fontos irnyzattal ismerkednk meg. Az egyik a korbbi

matematikaoktats antitziseknt ltrejtt j matematika mozgalom, a msik pedig az erre

megalkotott szintzisknt indul realizl matematikaoktats irnyzata. Ez utbbi ismerete

nlklzhetetlen az A&M megrtshez (s fleg begyazshoz a vals oktatsi

folyamatokba), ez elbbi ismerete pedig nlklzhetetlen ez utbbi ismerethez.

1.3.1. Hooray for new math, new-hoo-hoo math7

Az 1960-as vekben indult el az j matematika irnyzat, mely nhny v alatt

vgigsprt az egsz vilgon. Az irnyzat szlhazja az Egyeslt llamok, s

valsznsthet, hogy szletsnek politikai indtkai is voltak. Az 1957-es Szputnyik-

vlsg utn Ameriknak ugyanis szembe kellett nznie a tnnyel: nem tekintheti magt tbb

egyeduralkodnak a tudomnyos vilgban.8 A tudomnyos kpzst teht ersteni kellett s

6 http://www.mozaik.info.hu/homepage/konferencia/Kosz04_1.pdf7 Rszlet a hres New math songbl. 8 A matematikai reformok mgtt ll okokrl s feszltsgekrl egy rszletes, ignyes tanulmnyt rt 2004-ben Alan H. Schoenfield, The Math Wars cmmel. (Innen a fejezet cme is.) A cikk az Educational Policy folyirat 18. vfolyamnak 1. szmban jelent meg. Elrhet az interneten is: http://gse.berkeley.edu/faculty/ahschoenfeld/schoenfeld_mathwars.pdf

8

vgtre is ez vezethetett el az ltalnos- s kzpiskolai tantervek radiklis

megvltoztatshoz.

Valban radiklis vltozsokrl volt sz: az addigi egyszer, tbbnyire a pontos

szmolsi kszsget kzppontba helyez metodikt (gondoljunk csak a fggvnytblzatunk

fggvnytblzataira) felvltotta az absztrakt, rendszerez, formalista, axiomatikus

szemllet. Az addig a tananyagbl valban mostohn mellztt halmazelmlet itt kzponti

szerepet kapott, st, elfordult, hogy az axiomatikus halmazelmletet egszen fiatal korban

tantottk. Ezen kvl a fggvnyek s a differencilszmts, a matematikai logika, a Boole-

algebra, a komplex algebra, a mtrixszmts, illetve az addig mellztt egyenltlensgek is

jelents szerepet kaptak a tananyagban. Ksbb az Egyeslt llamokban ezek az

anyagrszek (az egyenltlensgek kivtelvel) httrbe szorultak, illetve teljesen mellztk

ket.

Az irnyzat tlzsaira j plda az az 1977-es matematika tanknyvben szerepl definci,

mely a relcit a kvetkezkppen hatrozza meg:

A direkt szorzat rszhalmaza egy relcit hatroz meg. A rszhalmaz elemei rendezett prok, amelyeknek

van egy olyan tulajdonsguk, ami a direkt szorzat ms rendezett prjainak nincs meg. Ha megadjuk a

direkt szorzatot s egyrtelmen megadjuk az egyes rendezett prjait jellemz tulajdonsgot, ezzel

meghatrozunk egy relcit. (Matematika ideiglenes tanknyv 8. osztly Tanknyvkiad

Budapest 1977. Idzi: AMBRUS O, p.6.)

Mieltt azonban knnyed llekkel tlkeznnk az j matematika fltt, ltnunk kell

annak rdemeit. A matematika olyan terleteit helyezte ugyanis eltrbe, melyekkel a

tantervek addig valban mostohn bntak. A mozgalom clja a tudomnyos gondolkods

fejlesztse, versenyben tartsa volt, s br biztosan soha sem llthatjuk, hogy az elmlt fl

vszzad technolgiai fejldse ennek a mozgalomnak a gymlcse volt (br az sszefggs

valsznsthet), a matematikai logika szablyait stlusosan kvetve annyit biztosan

llthatunk, hogy az j matematika legalbbis nem gtolhatja a tudomnyos fejldst.

Egy 1960-ban rt levelben Jerome Bruner, a Harvardi Egyetem egyik pszicholgusa gy

fogalmazott:

I am struck by the fact that certain ideas in teaching mathematics that take a student away from the banal

manipulation of natural numbers have the effect of freshening his eye to the possibility of discovery. I interpret

9

such trends as the use of set theory in the early grades partly in this light--so too the Cuisenaire rods, the use of

modular arithmetic, and other comparable devices.9 (Idzi: KLEIN.)

1.3.2. It wont do you a bit of good to review math10

Az j matematika mr a feltnsekor komoly ellenrzseket vltott ki a pedaggus

trsadalom egyes kpviselitl. A fentebb emltett tlzsok srelmezsrl volt

termszetesen sz, valamint arrl az egyszer tnyrl, ami minden paradigmavltst

jellemez: brli egyszeren nem ebben a paradigmban nttek fel.11

A brlatok jrsze azonban jogos volt. A mozgalom leginkbb kifogsolt pontjait

Ambrus Andrs tanulmnyban a kvetkezkppen foglalta ssze:

1. A formalizmus, az elvontsg, az absztrakt matematika tlzott mrtk

kihangslyozsa.

2. Az intuci, a tartalmi okoskodsok httrbe szortsa.

3. A matematika gyakorlati alkalmazsainak negliglsa.

4. ltalnos pedaggiai, rzelmi, szocilis clok elhanyagolsa.

5. Tants-mdszertani krdsek negliglsa.

6. A szaknyelv, a szimbolika szerepnek tlhangslyozsa nem knnyti, hanem nehezti

a hatkony tanulst. Ha a tanul nem rzi, nem tapasztalja a szaknyelv, a szimbolika

elnyt, akkor csak felesleges tehernek rzi azokat.

7. Egysges tapasztalat az egsz vilgon, hogy az axiomatikus felptsnek nincs

realitsa a kzpiskolai matematikaoktatsban. Csak az n. loklis logikai

rendezsnek van ltjogosultsga. (AMBRUS O, P.5.)

A mozgalom igen csps kritikkat is kapott emellett. Morris Kline matematikus

professzor lesen brlta 1973-ban megjelent Why Johnny Cant Add: the Failure of the New

Math12 cm knyvben, a neves humorista, Tom Lehrer pedig egy ironikus hangvtel

9 gy tnik, hogy a matematikatants bizonyos eszkzei, amelyek elterelik a tanult a termszetes szmokkal val egyszer mveletektl, a felfedezs lehetsgre nyitjk r a szemt. Rszben ennek fnyben rtelmezem az olyan ramlatokat, mint pldul a halmazelmlet hasznlatra val trekvseket als tagozatban, illetve a sznes rudakat, a maradkosztlyok hasznlatt s ms sszehasonlt eszkzket. 10 Nem rtana, ha fellvizsglnnk a matematikt. Rszlet a hrs New math songbl. 11 Ennek a jelensgnek taln az egyik leghresebb, legszemlletesebb pldja az a trtnet, mely szerint amikor Frchlich Izidort megkrdeztk a kvantumfizika j elmletrl, azt felelte, hogy szerinte Maxwellnek nincs igaza. 12 Mirt nem tud Johnny sszeadni: az j matematika kudarca. KLINE, M. (1973). Why Johnny Can't Add: The Failure of the New Math. New York, St. Martin's Press (a kiadvny fellelhet a Debreceni Egyetem Egyetemi s Nemzeti knyvtrban.)

10

dalban nekelte meg, hogyan kell 342-bl 173-at kivonni 8-as szmrendszerben13. A

mozgalom kritikja jval ksbb is megjelent a popkultrban: a Simpson csald 3. vadnak

19. rszben Skinner igazgat gy rja le, hogy milyen tanknyveket szeretne vsrolni:

History books that know how the Korean War came out math books that don't have that base six crap

in them 14

Az Egyeslt llamokban tiltakozk egy memorandumot adtak ki, amit tbbek kztt kt

magyar szrmazs matematikus, Erdlyi Artr s Plya Gyrgy is alrt.15 Egy szmunkra

nagyon fontos s tanulsgos rszlet ebbl a memorandumbl:

j fogalom bevezetsre elegend konkrt tapasztalati httr nlkl, konkrt alkalmazsok nlkl tbb

mint haszontalan. A korai absztrakci bevezetse, alkalmazsa a kritikus sz ellenllsba tkzik, mely

tudni akarja mirt relevns az absztrakci s hogyan lehetne azt hasznlni. (Idzi: AMBRUS O, P.6.)

Ugyanakkor a mozgalom elnyeit felismer tmogatkkal is tallkozhatunk. Mg az

Egyeslt llamokban a 70-es vekre az j matematika lnyegben megbukott16,

Magyarorszgon a 80-as vek elejn vette vdelmbe Pogny Jnos piarista szerzetes

matematikatanr:

De ht mirt is kell foglalkozni a halmazokkal az iskolkban? [] A halmaz fogalom pldul az

egyenletek megoldsnak elmlett sokkal vilgosabb, ttekinthetbb s knnyebben rthetv tette. Az

eddigi szemllet a matematikt olyan plettmbhz hasonlnak tekintette, amelynek ptmnyei szinte

fggetlenek voltak egymstl: algebra, geometria, fggvnytan stb. A halmazelmlet mutatta meg, hogy a

matematika nem klnll, egymstl fggetlen tudomnyok mozaikszer sszessge, hanem egysges

tudomny, amelynek gai a legszorosabb, mondhatni szerves sszefggsben vannak egymssal.

13 Elszr a 10-es szmrendszerben, majd a 8-asban lltsa szerint azrt, mert egy tanknyvben valban ezzel a pldval tallkozott. A tnyleg humoros dal ltvnyos, illusztrlt feldolgozsa a YouTube-on megtekinthet. (Tom Lehrer hangjn, de nem az szereplsvel az eredeti dalrl egyelre nem tallhat felvtel az interneten.) http://www.youtube.com/watch?v=tx5KDyvlG3Q 14 Trtnelemknyvek, amik lerjk, hogyan trt ki a koreai hbor matematikaknyvek anlkl a hatos-szmrendszer-marhasg nlkl. Az epizd forgatknyve megtallhat itt: http://www.snpp.com/episodes/8F17.html 15 A memorandumrl rszletesen: KLINE, M. (1973). Why Johnny Can't Add: The Failure of the New Math. New York, St. Martin's Press. ch.9. 16 By the early 1970s New Math was dead (Klein, 2003), idzi: SCHOENFELD, p.5.

11

Hangslyoznunk kell, hogy az ltalnos s a kzpiskolkban nem halmazelmletet tantunk, hanem

ennek az j tudomnygnak fogalmait hasznljuk fel, amikor bizonytunk, definilunk, vagy j fogalmakat

alaktunk ki. Ezen az ton ttekinthetbb, s gy rthetbb tehetjk tantvnyaink szmra a

matematikt. Mindig az volt a matematika tantsnak s tanulsnak legnagyabb veszedelme, hogy

verbalizmuss fajult: az ismeretek megszerzsnek a magols volt a mdszere, nem pedig a fogalmak s

ttelek megrtse. Most, amikor olyan eszkzt kaptunk a keznkbe, amellyel knnyebben rthetv.

vilgosabb, szebb, egysgesebb, vonzbb tehetjk a matematikt, mirt dobnnk el ezt a lehetsget? A

tlzsoktl termszetesen vakodnunk kell. Az j matematika s az j mdszer megkvnja, hogy a

matematikt tantk is tanuljanak. 17

Az j matematika mozgalom a 60-as vekben minden ellenlls ellenre futtzknt

terjedt a vilgban, kivve egy helytt. Az RME irnyzat atyja, Hans Freudenthal holland

matematikus, erlyes fellpsvel egymaga megakadlyozta, hogy a vilgszerte teret nyer

j matematika megvethesse lbt Hollandiban. Olyan erdt ptett, mely hazjban a mai

napig bevehetetlen a didaktikai hborkban.

1.3.3. Az erd oltalmban Elkpzelni a matematikt

A Freudenthal ltal kpviselt s Hollandiban a mai napig nagy teret kap RME irnyzat

nevt sokszor flrertik, holott ppen ez a kulcs ahhoz a klnbsgttelhez, amit ezen

irnyzat, valamint az A&M kztt tennnk kell. Freudenthal szmra a realizl

matematika nem ugyanaz, mint a realisztikus matematika18, vagyis nem azt jelenti, hogy

kizrlag valsgos problmkkal foglalkozhatunk az iskolai matematikai vizsgldsok

sorn. Az RME mdszere sokkal inkbb az, hogy a dikoknak olyan problmkat tlal,

amiket el tudnak kpzelni19. Erre utal, hogy a holland nyelvben az elkpzelni ige gy

hangzik: zich realiseren.

Freudenthal 1968-ban szervezett egy konferencit Hogyan tantsunk matematikt gy,

hogy az hasznos legyen? cmmel, mely eladst az RME-mozgalom kezdetnek jellhetnk

meg. (BLUM 2007, p. 42.) Nyiteladsnak cme ennl jval provokatvabb

megfogalmazssal brt: Mirt tantsunk matematikt gy, hogy az hasznos legyen?. 17 http://www.szepi.hu/irodalom/vallas/sulypontok/sp_06b.html18 Noha nyers fordtsban valban gy kne fordtanunk, n ppen ezen flrerts elkerlse vgett preferlom a realizl matematika elnevezst. Ezzel nem kvnok szembemenni a hazai gyakorlattal, amely valban realisztikus matematika elnevezssel illeti meg ezt az irnyzatot, s nem is gondolom, hogy a realizl sz valamifle pejoratv rtelmet kapna ezzel az igei alakkal. 19 Errl rszletesebben: Marja van den Heuvel-Panhuizen eladssorozata, Kristiansand, Norvgia, 1998. jnius 5-9. Az eladssorozat kivonata itt olvashat: http://www.fi.uu.nl/en/rme

12

Helyezd a tanulkat olyan szitucikba, hogy rintkezsbe kerljenek olyan vals jelensgekkel, melyeknek

bizonyos matematikai struktra a rendez elve; a tanulk lehetleg maguk talljk meg, fedezzk fel e

matematikai struktrt; tanuljk meg ezen matematikai struktrk hasznlatt s hasznljk fel a

matematikai rendez eszkzket a matematikai elmlet megalkotsba. (Idzi: AMBRUS, 2004, p.157.)

Freudenthal ezen szavai nem csak a realizl matematikai didaktika mdszereit szabjk

meg, de egyttal krdknt fogalmazza meg benne az RME cljt is.

Az oktatsi folyamatban ez elssorban gy jelenik meg, hogy a fogalmak bevezetse

mindig a konkrt, kpi szintrl indul. Ahogy Ambrus Andrs fogalmaz, ezek a szitucik,

szemlltetsi mdok, rsmdok vlnak az oktatsi folyamat sorn modellekk. (AMBRUS O,

p.8.) Az ebben az rtelemben vett modelleket n a tovbbiakban nknyesen realizl

eszkzknt kvnom megnevezni, megklnbztetend a Blum ltal hasznlt, ettl

nmikpp eltr modell-fogalomtl.

A realizl matematika alkalmazsra kt kivl pldt tallhatunk Ambrus Andrs

cikkben20. Az egyik a trtfogalom bevezetsvel foglalkozik, realizl eszkzknt egy tbla

csokold igazsgos elosztst hasznlva fel. (AMBRUS O, p.9. illetve AMBRUS, 2004, p.159.) Ez

a fajta kpzettrsts a konkrt problmtl nhny lpsen keresztl elvezethet a

szmegyenes absztrakt kialakulshoz is.

A logaritmus fogalmnak bevezetshez a jl ismert tavirzss pldt alkalmazhatjuk.

(AMBRUS, 2004, p.162.) Egy tavirzsa ltal befedett tfellet egy ht alatt megduplzdik. A

befedett felletet az id fggvnyben brzolva rvezethetk a dikok a fordtott (valjban

az exponencilis fggvny inverzre vonatkoz) gondolkodsmdra. Ezt a problmt szem

eltt tartva egszen a logaritmusazonossgok trgyalsig eljuthatunk.

Harmadik pldnk a periodikussg bevezetsre adhat egy sztnz, kitekintsre serkent

tletet:

20 A pldkat a dolgozat keretei kztt nincs mdom, csak vzlatosan kifejteni, rszletes trgyalsuk megtallhat a vonatkoz tanulmnyban.

13

A vdk szerint amikor Mahavisnu megpihen, s kifjja magt, az az univerzum megszletst s

folyamatos tgulst jelenti, a belgzs pedig az univerzum sszeszklst s egyeslst Mahavisnuval. Az

univerzum letnek hossza teht Mahavisnu egy llegzetvtele, ami megegyezik Brahm letnek hosszval.

Nzzk, mennyi ez fldi idvel mrve:

A fldi vilgban ngy korszakot klnbztetnk meg: arany-, ezst-, bronz- s vaskorszakot. Ezek

idtartama rendre 1728000 v, 1296000 v, 864000 v s 432000 v. Ezek a korszakok egytt

kpeznek egy csatr-jgt. 1000 csatr-jga alkotja Brahm egy napjt s ugyanennyi alkotja Brahm egy

jszakjt, ez a kett pedig kiteszi Brahm 24 rjt. Brahm egy ve 360 napbl ll, Brahm pedig 100

vet l.

a. sszesen hny fldi vig ltezik az univerzum?

b. Ha az univerzum Mahavisnu minden llegzetvtelekor ugyangy formldik meg, akkor hny ves lesz

a Fld 311030 millird v mlva? (Fldnk a legutbbi kutatsok alapjn ~5 millird ves.)

c. A csatr-jga ngy korszaka folyamatos erklcsi romlst mutat. Ha egy fggvnyen brzolnnk

egyfajta erklcsi mutatt (persze, nem pontos szmrtkekkel) az eltelt id fggvnyben, hogyan

nzhetne ki ez a fggvny?

A realizl matematikai oktats hamar npszerv vlt Hollandiban, majd meghdtotta

az Egyeslt llamokat, Ausztrlit, Argentnt s Dl-Afrikt is. Bevezetsvel jelenleg

ksrleteznek Angliban. Ami Eurpa tbbi orszgt, kztk Magyarorszgot illeti, az RME

tbbnyire csupn alkalmanknt elkapott mdszerknt s nem didaktikai modellknt

szerepel.

Vallom, hogy a magyarorszgi matematika-didaktika egyik betegsge ppen ennek a

knnyelmsgnek ksznhet. Hiszen amg az rettsgi-kvetelmnyek egyre inkbb a

konkrt, realizlt problmk megoldsa fel toldnak el, addig a jelenleg hasznlt

tanknyveink nagy rsze tovbbra sem fogadja el az RME-t, mint ltalnos didaktikai

alapelvet (noha bztat, hogy egyre tbb anyagrszben alkalmazzk, mint mdszert). Eme

paradoxon feloldshoz szksges lenne az a fajta, ltalam is hajtott paradigmavlts, ami a

dolgozatomban ezutn trgyalt A&M irnyzat adaptlst is magba foglaln. Az RME-rl,

pszicholgiai vonatkozsairl s kiterjesztsrl e dolgozat keretein bell nem ll mdomban

rni21, de ez a tma, gy rzem, a kzeljvben kirdemelne egy komoly, alapos vizsgldst.

21 Ugyanakkor itt is megragadom az alkalmat Frank Ildik szakdolgozatnak a kedves olvas figyelmbe ajnlsra.

14

2. A MODELLALKOTS ELMLETE

It is better to be roughly right than precisely wrong John Maynard Keynes22

2.1. J MODELL SZLETIK

Mg az j matematika s az RME mozgalom meglehetsen jl krlhatrolhat

trtnetileg, addig az alkalmazs- s modellezskpont matematikaoktats sokkal

nehezebben ragadhat meg trtneti szempontbl. Rszben azrt van ez, mert az A&M nem

egy konkrt szemly kr csoportosul (radsul egy nemzethez tartoz) didaktikai irnyzat

(mint az RME) s nem is egy adott trsadalmi rteg konkrtan megfogalmazott

paradigmjhoz kthet (mint az j matematika). Az A&M valjban az RME folytatsa,

mginkbb kvetkezmnye, mintegy msfl vtizednyi tovbbgondolsa 1975 s 1990

kztt, de tgabb rtelemben napjainkig folyamatosan alakul s vltozik, sokkal

dinamikusabban, mint ms irnyzatok esetben. Eszerint az A&M-et nem is nevezhetnnk

irnyzatnak23, hiszen nem egy programot nyjt s nem is fogalmaz meg ltalnos didaktikai

elveket. Egyetlen clja, hogy a matematikt s a valsgot sszekapcsolja, a lehet legtbb

ponton, de nem a realizl matematikra jellemz didaktikai szempontbl (s ezltal a

matematika felli irnybl megkzeltve), hanem ppen ellenkezleg, a valsgos,

matematikn kvli vilg fell megkzeltve, azt vallva, hogy a matematika, mint struktra,

sok esetben adhat elgsges vlaszt ezen vilg problminak trgyalsra.

Az RME-mozgalombl kiindul trendekkel foglalkozott elssorban a Nemzetkzi

Matematikaoktatsi Konferencia (ICME International Congress on Mathematical

Education) harmadik, 1976-os karlsruhei lsn. Ezt a konferencit mg legfeljebb az A&M

irnyzat fogantatsnak tekinthetjk. Mint irnyzat, vagyis egy szles krben kpviselt,

ltalnos elveket megfogalmaz nzet csak 1983-ban szletett meg, amikor a Matematikai

Modellezs s Alkalmazs Oktatsnak Nemzetkzi Konferencija (ICTMA International

22 Jobb nagyjbl igazat mondani mint preczen tvedni. http://thinkexist.com/quotation/it_is_better_to_be_roughly_right_than_precisely/165844.html 23 Ebben az esetben n mgis ragaszkodnk ehhez a kifejezshez, amennyiben az alkalmazs- s modellezskzpont problmamegoldsrl, mint egy egyre szlesed rteg ltal hasznlt s preferlt mdszerrl beszlek. Ilyen mdon irnyzatrl a 80-as vek els feltl, az A&M szlesebb kr elterjedstl lehet beszlnnk, mg konkrtabban 1983-tl, az els ICMA konferencitl.

15

Conferences on the Teaching of Mathematical Modelling and Application24) megtartotta els

lst az angliai Exeterben. A konferencit azta ktvente hirdetik meg a vilg klnbz

pontjain.25

Ezt kveten kt olyan tanulmnyt kell megemltennk, melyek az A&M alapjait

kpezik, s a ksbbi, ehhez az irnyzathoz kapcsolt tanulmnyok egytl egyig hivatkozsi

alapnak tekintik. Az els Gabriele Kaiser26 trtneti alapokon nyugv tanulmnya, melyet

1986-ban jelentetett meg Anwendungen im Mathenatikunterricht cmmel. Emellett az

elmleti kutatsok tern kiemelked munkt vgz Werner Blum s Mogens Niss 1991-ben

jelentettk meg Applied Mathematical Problem Solving, Modelling, Applications,and Links

to Other Subjects cmmel kzs tanulmnyukat az Educational Studies in Mathematics

folyirat februri szmban.27

Ez utbbi cikk egyttal meg is hatrozza azt az elmleti modellezsi folyamatot, melyet

az A&M ksbbi kveti is, nhol vltoztatsokkal lve ugyan, de fbb elveiben

megtartottak.

2.2. ALAPFOGALMAK S ELKPZELSEK TISZTZSA

Blum s Niss 1991-es cikkk elejn rviden kitrnek az alapfogalmak tisztzsra. Noha

minden bizonnyal ltezik ezen fogalmaknak ms, relevns rtelmezse is az A&M keretein

bell, n a tovbbiakban az fogalomhasznlatukkal kvnok lni. Ezen keretek kztt

lssuk, hogy mit rtnk a problma, problmamegolds, modell, modellezs,

alkalmazs, alkalmazott matematika kifejezsek alatt. (BLUM 1991, p.37-42.)

A modellezsi folyamat fbb llomsai:

Problma (problem)28 alatt olyan szitucit rtnk, mely bizonyos krdseket nyitva

hagy, s ezltal egyfajta intellektulis kihvst nyjt annak szmra, aki nem rendelkezik

direkt eljrssal, illetve algoritmussal a krdsek megfelel megvlaszolsra. Ez a definci

nmikpp eltr a htkznapi, sokkal tgabb jelentskrnyezet kifejezstl, ami voltakppen

24 A konferencikrl, clkitzseikrl rszletesen az ICTMA honlapjrl tjkozdhat a kedves olvas: http://www.ictma.net25 A 14. konferencit idn jlius 27. s 31. kztt tartjk Hamburgban, kt v mlva pedig a Melbourne-i Egyetem ad neki otthont. A konferencik helyszneirl: http://www.ictma.net/conferences.html 26 Ksbbi cikkek G. Kaiser-Messmerknt hivatkoznak r, miutn frjhez ment. 27 A cikk megtekinthet (a megfelel dj ellenben): http://www.springerlink.com/content/rwt523w7x38712x5. Magyarorszgon egyelre nem elrhet. 28 A zrjelbe tett angol kifejezsek a Blum s Niss ltal hasznlt eredeti fogalomelnevezseket jellik.

16

minden krdst problmnak ttelez fel. Emellett a definci ersen fgg a problmval

szembesl szemlytl: ami valaki szmra problma, azok szmra, akik mr tallkoztak

korbban hasonl tpusokkal, mindssze gyakorlat29.

Matematikai problmk (mathematical problems) alatt ktfle tpust klnbztetnk

meg. Az alkalmazott matematika (applied mathematics) problmakrre jellemz, hogy az

adott szituci s krds, ami lerja, a vals vilg30 valamely szegmenshez ktdik s

bizonyos matematikai mveletsor elvgzse rvn adhat matematikailag is kirtkelhet

vlaszt. Az alkalmazott matematika mellett beszlnk a tisztn matematikai problmkrl

(purely mathematical problems), melyek egszben a matematikai vilgon bell

helyezkednek el. Termszetesen a kett kztt legalbb egyirny kapcsolatot feltteleznnk

kell: az alkalmazott matematika brmely problmja a problmamegoldsi folyamat sorn

lecsupaszthat tisztn matematikai problmra.

Problmamegolds (problem solving) alatt azt az egsz folyamatot rtjk, mely a

problma rtelmezstl a nyitott krdsek megvlaszolsig vezet. A fenti kt tpus alapjn

ktfle problmamegoldsrl beszlnk, az alkalmazott matematikai problmamegoldsrl

(applied mathematical problem solving process) s a tisztn matematikai

problmamegoldsrl. Mi ezek kzl ez elbbit fejtjk ki rszletesebben.31

Kiindulsi pontunk egy vals problma (real problem situation), amit mindenekeltt

egyszersteni, idealizlni, strukturlni kell, bizonyos vltozknak, feltteleknek alvetni s

ezltal a problmamegold szemly rdekldsi krnek megfelelen preczebb kell tenni.

Ez a folyamat elvezet egy vals modellhez (real model), ami az eredeti problma lnyegt

tovbbra is magban hordozza ugyan, de mr oly mrtkben sematizlt, hogy (amennyiben

lehetsges) matematikai eszkzkkel is trgyalhatv vlt.

Ezt a vals modellt ezutn matematizlni (mathematize) kell, adatait, sszefggseit,

feltteleit matematikai adatokk, sszefggsekk s felttelekk transzformlni, vgtre is

egy matematikai modellt (mathematical model) ltrehozva ezzel. Itt felttlenl szksges

tennnk egy rvid kitrt: a matematizci fogalmval mr az RME keretein bell is

29 Br Blum s Niss nem tr ki ennek a kifejezsnek (exercise) a magyarzatra, nyilvnvalan a nem problmaknt rtelmezett feladatokat/krdsfeltevseket hvja ennek. 30 Vals vilg alatt Blum s Niss a matematikn kvli vilgot rti, idertve a matematikn kvli iskolai tantrgyakat is. 31 A tisztn matematikai problmamegolds esszencijrl olvashatunk igen rszletesen Plya Gyrgy sznvonalas A gondolkods iskolja cm tanulmnyban: (PLYA, Gy. A gondolkods iskolja, Akkord, Bp. 2000)

17

tallkozhattunk. Adri Treffers a matematizcinak kt tpust klnbzteti meg32: a

horizontlis matematizci egy mindennapi letbl vett problma tszervezst jelenti

matematikai problmv. Ez teht az a fajta matematizci, amit mi a sajt fogalmaink

szerint is annak neveznk. A vertiklis matematizci mr egy matematikai rendszeren bell

vgrehajtott jjszervezst jelent: ide tartozik a matematikai relcik kplett tltetse, a

ttelek bizonytsa, ltalnostsa, a matematikai diszkusszi, a modellek finomtsa; olyan

matematikai lpsek, amiket mi a matematikai problma megoldsa kzben, illetve a

modellek diszkusszijakor vgznk majd.

A kapott tisztn matematikai problma ezutn matematikai eszkzkkel megoldhat s

matematikai eredmnyekhez (mathematical results) vezet.

A matematikai modell eredmnyeit ezutn vissza kell fordtani a vals vilgban feltett

krdsek vlaszaiv. Ezen folyamat sorn a problmamegold rtkeli is a modell

rvnyessgt, lerkpessgt. Ennek eredmnyekpp tovbbi finomtsokat vagy

egyszerstseket vgezhet, s az egsz modellalkotsi folyamaton akr tbbszr is

keresztlmehet jabb tapasztalatokat szerezve. Sajt szhasznlattal rvnyesnek

tekinthetnk egy olyan modellt, mely megalkotsakor valban lerja a vals problmnak egy

szelett33. A modellez ezutn az ltala rvnyesnek tlt modell alapjn von le

kvetkeztetseket, elrejelzseket, tesz vlaszlpseket.34

A modellek trgyalsnl clszer egy jabb megklnbztetst tenni. Gazdasgi

folyamatok modellezsnl a modellez ltal bevezetett sajt vltozkat figyelembe vve

tbbfle rvnyes modell is kszthet, ezek klnbz vlaszlpseket kvetelhetnek meg a

modellalkottl. Az ilyen modelleket nevezzk normatv modelleknek (normative models).

Msrszrl a fizikai vilg jelensgeit (pldul bolygmozgst, radioaktivitst) trgyal

modelleket ler modelleknek (descriptive models) nevezzk. Ezen modellek esetn a

matematizls a folyamatok lerst s magyarzatt szolglja.

Ugyan az egsz folyamat meghatrozhat lenne gy is, mint alkalmazott matematika

(applied mathematics), Blum s Niss (gy mi is) inkbb az A&M kifejezst hasznljuk,

jelezve, hogy az alkalmazs szerves rszt kpezi a modellezsi folyamat.

32 TREFFERS, A. Three Dimensions. A model of Goal and Theory Desctiption in Mathematics Instruction The Wiskobas Project. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1987. 33 Termszetesen itt is meglehetsen szubjektv defincirl van sz, melyet Blum s Niss nem is hasznl (br beszlnek a modell rvnyestsrl (validation). n csupn azrt emltem meg, mivel htkznapi szhasznlatunkban gyakran tallkozunk vele s az iskolai tanrkon elvgzett modellezsi feladatot lezr diszkusszi is gyakorlatilag az rvnyessg eldntst jelenti. 34 Tisztn pragmatista szempontbl: egy modell akkor rvnyes, ha a hatsra tett elrejelzsek pontosak, dntsek pedig sikeresek.

18

Sajt hasznlatra emellett szeretnm elklnteni magnak a modellalkotsnak is kt

vltozatt, melyeknek jelentsge elssorban az oktatsi folyamatban megjelen

modellalkotsban van. A tovbbiakban spirlis modellalkotsnak fogom hvni azt a

modellalkotsi folyamatot, amikor egy vals problmt olyan modell-sorozattal kzeltnk,

mely modellek egyms finomtsai (j vltozk bevezetsvel, a vltozk szerepnek

pontostsval, stb.), lnyegkben teht nem, csupn sszetettsgkben klnbznek, ezltal

egyre rvnyesebb modellt adva, egyre pontosabb kpet nyjtva az eredeti problmrl. A

fent emltett termszeti jelensgeket ler modelleket tulajdonkppen egy ilyen

modellalkotsi folyamat eredmnyeinek tekinthetjk. Az ilyen modellalkotsi folyamatot

didaktikai szempontbl clszer a lehet legegyszerbb modellel kezdeni, mely vizsglata s

kirtkelse utn kvethet lpsenknt haladhatunk a pontosabb, rvnyesebb modellek

fel.

Azt a folyamatot, amikor egy vals problmt tbb, egymstl akr teljesen eltr

modellel is megkzelthetnk, a tovbbiakban sztellris modellalkotsnak fogom hvni. A

normatv modellek megalkotsakor legtbbszr egy ilyen folyamattal dolgozunk.

Mindkt fogalom elssorban a modellalkots iskolai bevezetse miatt kell, hogy szba

kerljn. Egszen ms jelleg ratervezst ignyel egy spirlis modellalkotsi folyamat, ahol

a kezdmodellt akr a tanr is megadhatja, s az ra menete tulajdonkppen ennek a

modellnek a folyamatos finomtsrl szl (elssorban tanri irnytssal), mint egy sztellris

modellalkotsi folyamat, ahol a tanr szerepe sokkal nagyobb mrtkben kontroll-szerep:

voltakppen a problma ismertetsre s a gyerekek ltal felvetett modellek rvnyessgnek

vizsglatra (illetve a gyerekek ltal vgzett vizsglat felgyeletre) korltozdik.

Azokban az esetekben, amikor a problma vizsglatban csupn egyetlen modellt ptnk

fel s nem vizsglunk meg sszetettebb, finomtott vagy ms alapokon nyugv vltozatokat,

egyszer modellalkotsrl beszlnk.

A fentiek rtelmben vilgoss vlik a klnbsg a korbban trgyalt RME s az A&M

kztt. Az RME ugyanis egy tisztn matematikai problmt ltet t a valsghoz hasonl

krnyezetbe, s nem elvitatva ennek didaktikai rdemeit, vigyznunk kell arra, hogy ez a

folyamat ne adjon egy torz kpet a valsgrl vagy akr a matematikrl. Ezzel szemben az

A&M vals problmkbl indul ki, melyeknek modellezhetsge radsul nem is mindig

egyrtelm, de legalbbis nehezen megragadhat. (Akr piacgazdasgi modelleket tekintve.)

19

2.2.1. A trgeometritl a rabszolgasgig

Egy egyszer pldval szemlltetnm az eddigieket. Egy szablyos ngyoldal gla

trfogatnak kiszmtsa a tizenkettedik vfolyam egyik jellegzetes feladata. A problma

szraz vltozata gy hangzik:

Egy szablyos ngyoldal gla alaple 40 cm, magassga 21 cm. Mekkora a gla trfogata s felszne?

Mekkork az oldallei? (sszefoglal feladatgyjtemny matematikbl, 270. oldal, 2276.

feladat.)

A feladat megoldsa nem mutat tl a tanult kpletek alkalmazsn, a megolds egyetlen

explicit mdon trtnik: A gla alapterlete T = 1600 cm2, magassga m = 21 cm. A

trfogata teht: .1120031 3cmmTV ==

Ugyanezen feladattpus realizlt vltozata gy hangozhat:

Br tbbfle piramisszer ptmnyt ismernk (kztk lpcsseket is), kzlk a legismertebbek szablyos

ngyoldal gla alakak (vagy azok voltak). A megadott rtkek birtokban hatrozza meg a piramisok

tbbi jellemz mrett!

piramis alapl hossza [m] magassg

[m] trfogat [m3] oldall hossza [m]

oldallapok hajlsszge a vzszinteshez

Amenemhet 105 55 Sznofru 189 54,3 Kheopsz 147 2 590 000 Iszeszi 81 52

(Matematika 12. osztlyosok szmra, 99. oldal 138.feladat)

Ez a feladat szintn az ismert, explicit megoldsi lpseket vrja el, ernye abban ll,

hogy nem egy szraz, absztrakt tmaknt, hanem a valsghoz kzeli problmaknt trgyalja

a trgeometriai szmtsokat.

Egy, a feladattpuson s az emltett explicit megoldsokon tlmutat modellezsi

problma gy hangozhat:

20

Az si egyiptomi piramisok a rgszet rk talnyai. A legnagyobbat, a gizai piramist Kheopsz fra

pttette Kr. e. 2500 krl. Eredeti magassga 147 mter volt, slya tbb mint 7 milli tonna. Sok elmlet

szletett a piramisokrl, klnsen az ptsi technikjukrl. Ktezer vvel az ptsk utn az kori grg

trtnetr, Hrodotosz szzezer olyan embert emlt, aki dolgozott a gln. Vajon relisak-e Hrodotosz

tudstsai?

A feladat teht teljesen nylt, nem adhat meg egyetlen olyan explicit mdszer, amivel

megoldhat lenne, hiszen nyilvn nem fogjuk tudni llekszmra pontosan megmondani az

pt emberek szmt35. Radsul minden megoldshoz bizonyos mrtk egyszersts is

szksges. A problma egy lehetsges megoldst Stuart Kirkland Wier amatr egyiptolgus

gy adta meg36:

A piramis ptse legfeljebb 23 vig tarthatott, hiszen Kheopsz fra ennyi ideig

uralkodott. A tnyleges munkra fordtott idt becsljk ennek felvel, kb. 4200

munkanappal. Egy ember egy nap alatt 240 ezer Joule munkt tud elvgezni. Kiszmtva a

piramis ptse sorn vgzend munkt (a piramis ltal kpviselt sszes potencilis

energibl s az pts sorn hasznlt egyszer gpek ltal vgzett munkbl), azt

sszehasonltva az egy ember ltal vgzett munkval megbecslhet a munksok szma.

A piramis magassga 147 mter, alaplapjnak egy oldala nagyjbl 230 mter, teht a

trfogata 2,6 milli m3. A mszk srsge 2,7 tonna kbmterenknt, vagyis a teljes

ptmny tmege tbb, mint 7 milli tonna. A teljes tmeget a piramis tmegkzppontjba

(a magassg tdbe) egyestve a teljes potencilis energira 2,52 billi Joule eredmnyt

kapunk.

A modell tovbbi finomtshoz Wier figyelembe vette a cssztats sorn vgzett

srldsi munkt, a kvek kibnyszst s helykre vitelt is. Mindezeket figyelembe vve

Wier eredmnye szerint 12 800 embernl tbbre nem lehetett szksg az ptkezs sorn37.

A feladat teht jval tlmutatott az eredeti tmakrn: az alapvet geometriai ismeretek

felhasznlsa mellett (gla trfogata, slypontja) szksg volt alapvet fizikai s trtnelmi

35 Leszmtva persze azt a kzkelet modellt, miszerint a piramisokat nem emberek ptettk. 36

SZAB, GERG: A gzai nagy piramis. http://konyv-e.hu/pdf/AGizaiNagyPiramis.pdf37 Az amerikai rgszprofesszor, dr. Mark Lehner konkrt ksrletek elvgzsvel az emberi munkabrst figyelembe vve ennl is szernyebb eredmnyre jutott: szerinte legfeljebb 1212 kfejt, 1360 kszllt s 680 krak, vagyis mindssze 3252 f elg volt az ptkezshez. Egyiptom teljes lakossghoz kpest (nagyjbl 1 milli f) teht bven volt elg humn forrs a munklatokhoz.

21

ismeretekre is. Lthat tovbb, hogy a modellezsi folyamat sorn tbb helytt is komoly

egyszerstseket s becslseket tettnk, de ezzel is kpesek voltunk kvalitatv tletet

mondani a hrodotoszi hradsrl. A modellalkotsi feladat lnyege s clja ppen az, hogy

kpesek legynk becslsekkel s egyszerstsekkel vals problmkra relevns vlaszokat

adni, majd ezen vlaszokat kirtkelni. Ehhez hasonl problmk ennl jval rszletesebb

kifejtst talljuk majd a 3. fejezetben.

2.3. TECHNOKRATA IDK

Szzadunk terjed technokrcija egyszerre hordoz kincseket, pldtlan lehetsgek

egsz trhzt s komoly veszlyforrsokat az A&M-re nzve. Blum s Niss a 91-es

cikkkben a szmtstechnika szerepre egy kln fejezetben trnek ki (Blum 1991, p. 57.).

Ebben ngy szempontot is kiemelnek a szmtgpek hasznlatnak elnyt igazoland:

1. A szmtgpek segtsgvel mr a modellezs elsajttsnak kezdetn sokkal

komplexebb problmk mutathatk be.

2. Mivel a szmtsi lpsek lnyegesen gyorsabban elvgezhetk, nagyobb figyelmet

szentelhetnk magnak a modellezsi folyamatnak.

3. A problmk vizsglata sokkal rthetbb, ha egyes vltozk megvltoztatsval

tudjuk figyelni az eredmnyek numerikus, illetve grafikus vltozst. (Vlaszt adva

az gynevezett operatv alapelvre: Mi lett volna, ha?)

4. Azon problmk, melyek bizonyos szempontbl eddig kezelhetetlenek voltak

(pldul tl komplexek vagy az adott korcsoport szmra tl nagy nehzsget

okoznnak), numerikusan vagy grafikusan knnyedn szimullhatak.

A szmtstechnika hasznt teht nem elvetve, de Blum s Niss ugyanitt megfogalmazzk

alkalmazsuk veszlyeit is:

1. Az ltalnos aritmetikai s geometriai kszsgek (szmols, szerkeszts)

visszafejldhetnek, mrpedig ezekre a kszsgekre a matematikai vilgon kvl is

szksg van.38

2. Paradox mdon a tanuls s tants most mg tvolabb kerlhet az lettl azltal,

hogy az let ezentl csak szmtgpen keresztl jelenik meg a tanrkon, a

38 Szemlyes tapasztalatom a szmolgpek tlzott hasznlata a ktjegy szmok sszeadsa s kivonsa tern.

22

szimulcik pedig helyettestik a vals tapasztalatokat, a grafikk a valdi trgyakat

s jelensgeket.39

3. Az elre elksztett szoftverek hasznlata tlhangslyozhatja a recept-szer

modellezst, figyelmen kvl hagyva olyan esszencilis krdseket, mint az egyes

modellek kritikja, a klnbz modellek sszehasonltsa.

4. A kompjter-matematika40 tlhangslyozsa.

5. A dikok s tanrok rdekldse a szmtgpek, s nem a modellezs fel fordul,

elvonva a figyelmet a szintn izgalmas kihvsokat jelent (akr tiszta, akr

alkalmazott) matematikai problmkrl.

Az 1995-s Advances and Perspectives-ben lnyegben megerstik a ngy vvel azeltt

felvetett szempontokat, hozztve, hogy az akkori kor szmtstechnikai eszkztra, br

szakmai szempontbl igen hasznos s rtkes programokat vonultat fel (elssorban az 1988-

as DERIVE programot emelik ki), didaktikai szempontokbl egyelre egyikk se megfelel az

ltalnos, iskolai hasznlatra. (Blum 1995, p.12.)

Ez az llts ma mr nem felttlenl llja meg a helyt: mikzben a mai diksg szmra

egyre termszetesebb vlik a klnfle programnyelvek hasznlata, nagyon sok olyan, a

dikok szmra is knnyen hasznlhat interaktv program lt napvilgot, amiket elssorban

iskolai felhasznlsra ksztettek. Kt, ltalam is hasznlt s kedvelt ilyen program a 3-

dimenzis szemlltetsre is kivlan alkalmazhat CABRI (s CABRI 3D)41, valamint a szintn

ltvnyos GEOGEBRA42.

Jere Confrey s Alan Maloney A theory of mathematical modelling in technological

settings cm cikkkben ngy alapelvet fogalmaznak meg a szmtgpek hasznlatrl,

melyben a Blumk ltal felvetett problmkat s veszlyforrsokat is megvlaszoljk. (Blum

2007, p.70.)

39 A valsznsg s a relatv gyakorisg fogalmnak szemlltetshez egy kivl, ltalam a dikok krben is sikeresen alkalmazott szimulcit tallhatunk ezen az oldalon: http://nces.ed.gov/nceskids/chances/, ugyanakkor azt gondolom, mg a szimulci bemutatsa eltt mindenkppen rdemes s hasznos a dikokkal is vgigcsinlni fejenknt 20-30 dobst, majd azokat sszegezni s grafikonon kirajzoltatni. 40 A matematiknak a szmtgpek segtsgvel knnyen elrhetv vlt terletei elssorban a diszkrt matematika s a numerikus analzis. 41 A program hasznlatrl rszletesen rt szakdolgozatban a Debreceni Egyetem hallgatja, Varga gnes (A Cabri geometriai szerkesztprogram hasznlata, 2004). Szakdolgozata elrhet itt: http://ganymedes.lib.unideb.hu:8080/dea/handle/2437/860 42 A program hasznlatrl, matematika- s fizikarkon val alkalmazhatsgukrl rszletesen rtak szakdolgozatukban az ELTE hallgati: Horvthn Orojn Gabriella (A GeoGebra program hasznlata a kzpiskolai matematikaoktatsban, 2008), valamint Szilgyi Ptern (GeoGebra a fizikaoktatsban, 2008). Szakdolgazataik elrhetk itt: http://vzsuzsa.dyn.elte.hu/index.php?page=geogebra

23

1. A modellezs elmlett s gyakorlatt a szmtgpek alkalmazsa nlkl kell

megtantani.43 Csak ennek elsajttsa utn alkalmazandk a szmtgpek, mint

egybknt hasznos segdeszkzk.

2. Alkalmazzuk ezen eszkzket arra, hogy az brkat sokkal gyorsabban s

pontosabban mutathassuk meg, ezltal szemlltetve a matematikai tartalmakat.

3. Tantsunk olyan tartalmakat, amik fontosak egy technolgiailag fejlett krnyezetben

(becslsek, ellenrzsek, itercik).

4. Koncentrljunk az alkalmazsra, problmamegoldsra s modellezsre: a technolgia

egy eszkz legyen csupn ezen folyamatokban.

Ennek (fleg az els pontnak) nmikpp ellentmondva fejtik ki tziseik Daniel Pead, Bill

Ralph s Eric Muller Uses of technologies in learning mathematics through modelling cm

cikkkben (Blum 2007. p. 322.):

Technologies challenge the hierarchical views of student access to mathematics as they allow students to work

with mathematical concepts which are traditionally seen as too difficult for them. Technologies also challenge

the view that applications and modelling can only be introduced after the student has developed all the

required mathematical knowledge.44

Mindezeket a szempontokat s sajt tantsi tapasztalataimat is figyelembe vetve n a

kvetkez ngy, egymsra pl alapelvet fogalmaznm meg a szmtgpek elssorban

iskolai modellezs cljra val alkalmazhatsgrl:

1. A szmtgp eszkz. A figyelem kzppontjban maga a modellezsi folyamat lljon,

az egyes modellek rvnyessgnek vizsglata, a modellek sszehasonltsa, ms

modellek keresse s azok vizsglata.

2. A szmtgp szemlltet eszkz. Segtsgvel ahol csak tehetjk minl

interaktvabb formban szemlltessk modelleinket a vltozk dinamikus

megvltoztatsval, eredmnyeink numerikus s grafikus brzolsval.

43 Ez nmikpp ellene szl Blum s Niss pozitvumknt felhozott els tzisnek. 44 A technolgiai eszkzk jjrtelmezik a dikok matematikhoz val hozzfrsnek hierarchikus kpt, mivel olyan matematikai fogalmakkal engedik dolgozni ket, amelyeket hagyomnyosan tlsgosan nehznek gondolnak szmukra. Ezen eszkzk hasznlatval az a nzet is megkrdjelezdik, miszerint az alkalmazs- s modellezscentrikus oktatst csak azutn lehet bevezetni, hogy a dikok mr megszereztk a szksges matematikai tudst.

24

3. A szmtgp msodlagos szemlltet eszkz. A szemlyes tapasztalat, a mveltets,

ha lehet, mindig elzze meg a szmtgpes demonstrcit. (Valdi kockadobsok,

grafikonok rajzolsa, valban elvgzett ksrletek.)

4. A szmtgp a dikok szmra is elrhet msodlagos szemlltet eszkz. Ahol csak

lehet, vonjuk be a dikokat a szmtgpes modellezs folyamatba. Egyeztetve

informatika-szakos kollginkkal, sajtttassuk el velk a fontosabb demonstrcis

programok kezelst s hagyjuk, hogy k maguk keressenek, illetve alkossanak

brkat, szimulcikat, programokat egyes problmk kezelsre. Ezen programok

elksztst rtkeljk is.

A kvetkez fejezetben jabb problmkat tallunk, melyekre egy-egy lehetsges

(kzpiskolban is elvezethet) megolds-modellt is adunk. Az els nhny problma

knnyen kezelhet, egyszer krdseket vet fel, melyeket 7-8. osztlyban, a modellezsi

folyamatok bevezetsekor rdemes trgyalni. Ezutn az idsebb korosztlynak sznt egyre

sszetettebb problmkkal s lehetsges modelleikkel tallkozhatunk.

25

3. MODELLEK S MEGKZELTSEIK

Education is the inculcation of the incomprehensible into the indifferent by the incompetent

- John Maynard Keynes

Egy fizikuskrkben terjed rgi anekdota szerint a koppenhgai egyetem vizsgzinak feltett egyik krds

gy hangzott: rja le, hogy egy baromter segtsgvel miknt mrhet meg egy felhkarcol magassga! Az

egyik hallgat a kvetkezt vlaszolta: Fogok egy hossz zsinrt, rktm a baromter tetejre, majd a

baromtert a felhkarcol tetejrl lelgatom a fldig. A zsinr hossznak s a baromter magassgnak

sszege megegyezik a felhkarcol magassgval.

Ez a megolds a vizsgztatt meglehetsen feldhtette, ezrt a hallgatt megbuktatta. m a hallgat nem

hagyta magt, mivel szerinte a vlasz abszolt helyes volt. Az egyetem vezetsge vgl kijellt egy prtatlan

brt, aki megllaptotta, hogy a vlasz br valban helyes nem tkrz semmifle fizikai ismeretet. A

problma megoldsra behvatta maghoz a hallgatt, s hat percet adott neki arra, hogy szban

bebizonytsa, birtokban van a kell fizikai ismereteknek. A hallgat t percig nemn lt, rncolta a

homlokt, gondolkodott. Mikor a vizsgabiztos figyelmeztette, hogy vszesen fogy az id, a dik azt

vlaszolta, annyi megolds jutott az eszbe, hogy nem is tudja, melyikkel kezdje. Vgl aztn belekezdett:

Nos, az els tletem az, hogy fogom a baromtert, felmegyek a felhkarcol tetejre s ledobom onnan.

Megmrem, mennyi id alatt r fldet, majd a krdses magassgot kiszmtom a nehzsgi gyorsulst

ismerve. Megjegyzend, hogy ez a mdszer nem tl szerencss a baromter szempontjbl.

Egy msik lehetsg akkor jn szba, ha st a Nap. Megmrve a baromter magassgt s az rnykt,

valamint a felhkarcol rnykt, arnyprok alapjn kiszmthat a magassga is. De ha nagyon

tudomnyos akarok lenni, akkor egy rvid zsinrt ktve a baromterre, ingaknt hasznlhatom azt. A

fldn s a tetn megmrve a gravitcis ert szintn kiszmthat magassg. Ha esetleg a felhkarcoln van

tzltra, akkor megmrhetem, hogy a baromter hnyszor hosszabb, majd a baromtert is megmrve egyszer

szorzssal megkapom az eredmnyt.

Ha azonban n az unalmas, bevett mdszerre kvncsi, akkor a baromtert a lgnyoms mrsre

hasznlva, a fldn s a tetn mrhet lgnyoms klnbsgbl is megllapthat a felhkarcol magassga.

Egy millibar lgnyoms klnbsg egy lb magassgnak felel meg.

Mivel itt az egyetemen mindig arra buzdtanak bennnket, hogy prbljunk eredeti mdszereket kidolgozni,

ezrt ktsgtelenl legeredetibb megolds a felhkarcol magassgnak megllaptsra az, ha fogjuk a

baromtert, bekopogunk az plet portshoz s azt mondjuk neki: Kedves uram, ha megmondja nekem,

milyen magas az plet, mag ez a szp baromter

26

Az elbbi anekdota45 igen plasztikusan szemllteti azokat a helyzet-lehetsgeket,

melyekkel akr mi is szembeslhetnk, ha modellezsi feladatokat adunk fel

tantvnyainknak. Ha gy tetszik, a modellalkots aranyszablya az, hogy nincs egyetlen j

megolds, de mg csak megoldsi mdszer sem. Ez a folyamat ppgy szl a kreativitsrl

s invencizussgrl mint a dikok matematikai tudsrl.

Ebben a fejezetben olyan modellek olvashatk, melyek az iskolai oktatsi folyamatban

elhelyezhetk, elhelyezsk pedig a korbban megfogalmazottak tkrben mindenkppen

indokolt is. Egyes feladatokat n magam is elvezettem tantsi tevkenysgem alatt, a

szemlyes tapasztalataimat, illetve ahol kszlt ilyen a dikok munkit ezekhez a

feladatokhoz csatolni is fogom.

A problmkat a matematika-tananyagban val elhelyezhetsgk mellett egy-egy

lehetsges modell-megolds rszletes kidolgozsval ismertetem, felvetve egyb modellek,

finomtsi mdszerek lehetsgt. Elsknt nhny egyszer modellezsi feladatot mutatok

be, ami szmomra elssorban a modellalkotsi kszsgek feltrkpezst szolglta. Ezek a

feladatok kevs (1-2) paramterrel dolgoznak, gy hangsly elssorban a matematizcin

van. Ezutn kvetkezik majd nhny sszetettebb, nagyobb kihvst jelent problma

bemutatsa, ezek kzl utolsknt egy olyan problmval (gmeskt ptse), ahol igen sok

paramter megadsval trkpezhetk fel kifejezetten ltvnyosan a lehetsges megoldsok.

Zrsknt vgl szemlyes kedvenc pldmmal tallkozhatunk a modellalkots

sszekapcsolsra egy irodalmi mvel, Jonathan Swift Gulliver kalandos utazsai cm

regnyvel.

3.1. TVOLSGOK S MAGASSGOK

Vonatkoz tmakrk: mrtkek, egyenes arnyossg, tvolsgmrs, hasonlsg

Ajnlott korosztly: 7-8.

Modellalkotsi folyamat: sztellris

Elsknt egy viszonylag egyszer feladat elemzsvel kezdjk. A feladat valjban a

modellalkotsi folyamatra s a modell kirtkelsre tantja a gyerekeket, bonyolultabb

matematikai sszefggsek tbbnyire nem szksgesek hozz.

45 br minden bizonnyal soha nem trtnt meg. Kivltkppen Niels Bohrral nem.

27

Tantsi gyakorlataim sorn ezt a feladatot csoportokra sztosztva adtam ki a

gyerekeknek. A 2-3 fs csoportoknak az albbi problmk egyikt kellett megoldaniuk:

1. Milyen messze van a Kzgazdasgi Politechnikumtl a Klinikk metrmegll?

2. Milyen hossz a Vendel utca?

4. Milyen magas egy lmpaoszlop?

3. Milyen magas a Kzgazdasgi Politechnikum plete?

A feladat megoldst egy elre elksztett tevkenysgi naplba kellett regisztrlnia a

gyerekeknek, ezzel elsegtend a modellalkotsi folyamat rgzlst. Eszkzknt minden

csapat kapott egy vonalzt s szksg esetn krhettek hossz lceket is. A tevkenysgi

napl az albbi krdseket tartalmazta:

1. Mit kellett megmrnem?

2. Milyen mdszerrel dolgoztam?

3. Mik lettek a mrsem eredmnyei?

4. Mit gondolok ezekrl az eredmnyekrl?

Ezen krdseknl tudatosan kerltem egyelre a modellalkotsi folyamattal

kapcsolatos szakszavakat, melyeknek bevezetsre (modell, diszkusszi, rvnyessg) csak a

feladatok kirtkelst kveten kerl majd sor.

A feladat j szolglatot tett annak rdekben is, hogy feltrkpezzem, milyen rszei

alakultak mr ki a modellalkotsnak, mint kompetencinak s melyek azok a terletek,

melyeket a modellalkotsi feladatok sorn a jvben nagyobb odafigyelssel kell, hogy

fejlessznk. A gyerekek tbbnyire szkszavan fogalmaztak (de erre is volt ellenplda) s

elfordult, hogy br a megolds sorn elmondtk, milyen trkkkkel ltek az egyes

problms szitucikban (pldul az lli t szlessgnek meghatrozsa), a

dokumentcibl ezek a lpsek egyszeren kimaradtak. Arra a krdsre, hogy mit

gondolnak az eredmnyekrl, tbbnyire azt a vlaszt adtk, hogy nem teljesen pontosak,

s szban megfogalmaztk ugyan ennek indoklst is, de a dokumentci ltalban ezt sem

tartalmazta.

ltalnos tapasztalatom az volt teht, hogy a gyerekek a feladatokkal knnyen

megbirkztak, elsdleges nehzsgeik a precz, ttekinthet, a gondolatmeneteket

sszefoglal napl rgztsvel s az rtkelssel voltak. Ennek oka rszben az volt, hogy

28

kevs konkrt modellezsi feladattal tallkoztak korbban, rszben pedig az, hogy a gyerekek

szmra szokatlan volt a fogalmazs, mint matematikarai tevkenysg.

Nhny ilyen feladatlap szkennelt vltozatt tartalmazza a dolgozatomhoz csatolt 1.

mellklet.

A feladatokra a gyerekek a kvetkez megoldsokat alkottk:

3.1.1. Milyen messze van a Kzgazdasgi Politechnikumtl a Klinikk metrmegll?

A krdst kap egyik csoport a tvolsgot lelpte, majd egyetlen lps hosszt megmrve

hatrozta meg a tvolsgot. Eredmnyeik bemutatsa utn javaslatomra tbb lps egyttes

tvolsgbl hatroztak meg egy tlagos lpstvolsgot, majd ennek segtsgvel kaptak

egy pontosabb eredmnyt.

Egy msik csapat a jrda padkakveit szmolta meg a megllig. Ez a csapat rgtn 10

k egyttes hosszbl hatrozott meg egy tlagos khosszt, amivel a ksbbiekben szmolt.

Azokon a viszonylag rvid rszeken, ahol a kvek hinyoztak (kocsifelhajtk) a hossz

vonalz ktszeri lefektetsvel mrtek, a gyalogtkelhely esetben pedig az egyik csk

szlessgt mrtk meg, felttelezve, hogy a fests elg pontos.

3.1.2. Milyen hossz a Vendel utca?

Az elzhz hasonl mdon ezt a feladatot az egyik csapat szintn kilpte. rdekes s

figyelemremlt azonban, hogy a mrst kveten a csapat egyik tagja kerkprral is

vgigment az utcn, majd a kerkpr kilomter-szmlljrl leolvasta a pontos tvolsgot s

azt hasznltk fel referenciaknt az eredmnykhz. Ezutn a msik feladatot kap

csapatoknak segtend lemrtk az iskola s a Klinikk lloms tvolsgt is ugyanezzel a

mdszerrel. Sajnos ezt az informcit a naplban mr nem tntettk fel.

A msik csapat a korbbi tanulmnyaikra tmaszkodva, Thalsz mdszert hasznlta fel

az utcahossz meghatrozsra. A mdszer hasonl hromszgekre pl s Thalsz eredetileg

a partvonalon tl feltn ellensges hajk meghatrozsra hasznlta:

29

1. bra. Thalsz mdszere nagy tvolsgok meghatrozsra.

Az brn lthat hasonl hromszgek megfelel oldalaira felrva az arnyukat:

CDBA

CD

BA == . A modell adaptlsa az utcahossz meghatrozsra:

A gyerekek kt rszletben mrtk meg az utct az iskola melll. Az brn A jel szakasz

az utca egyik rsznek hosszsgt jelzi. Az utcavgen egy jellegzetes pontot kijellve (kt

plet tallkozsnak vonalt) keletkezett a nagy hromszg fels cscsa. Ezutn az utca

hosszra merlegesen viszonylag nagy tvolsgra megjelltk a B s C szakasz

tallkozsnak pontjt, ezt egy hossz lccel jellte ki a csapat egyik tagja. Innen a B-hez

kpest kis C tvolsgot vettek fel, majd erre merlegesen mrtk ki a D tvolsgot egszen

addig, amg a D szakasz vgpontjbl a lc s a kt hz tallkozsnak vonala egy vonalban

nem ltszott. A derkszgek berajzolst a nagymret derkszg vonalz s az utca vonala

segtette. A mrst ezutn elvgeztk az utcahossz msik rszre is.

Az gy kapott eredmny a vals utcahossznl ugyan ktszer nagyobb volt, a mrs

menete (aszfaltkrtval rajzoltk fel a segdvonalakat) s az tlet azonban mindenkppen

kiemelend.

3.1.3. Milyen magas egy lmpaoszlop?

Szerencsre egyik csapat sem gondolt arra, hogy a lmpaoszlopra felmszva, egy

madzagot lelgatva hatrozza meg a magassgot. Mindketten (lnyegben sszedolgozva)

szintn Thalsz korbbrl mr ismert mdszert hasznltk fel a lmpaoszlop rnyknak,

30

valamint sajt magassguk s rnykuk hossznak ismeretben, szintn a hasonlsgra

ptkezve:

2. bra: Thalsz mdszere a magassg mrsre

forrs: WIKIPEDIA46

Az brn lthat sszelltsban az oszlop D magassga meghatrozhat, hiszen a

hasonl hromszgek miatt: BACD

CD

BA == , amely kifejezsbl A, B s C is

lemrhetk. rdekes, hogy a gyerekek sajt mrtkknek sajt rnykuk hosszt vlasztottk

egysgknt. Br az oszlop rnyknak meghatrozsa gy nehzsgekbe tkzhetett volna,

szerencsjkre azonban megllaptottk, hogy a sajt rnykuk ppen tszr fr bele az

oszlop rnykba, vagyis az oszlop magassga is tszrse a sajt magassguknak.

3.1.4. Milyen magas a Kzgazdasgi Politechnikum plete?

Az a csoport, amelyik ezt a feladatot kapta, az iskola falnak tglit szmolta ssze,

figyelembevve a kiszgellseket is. Els prblkozsukra nem vettk figyelembe az

egybknt igen nagy hzagot kpez maltert a tglk kztt, ami gy igen nagy hibt

jelentett. A tetzettel nem tudtak mit kezdeni, gy ezt szemre prbltk megbecslni.

46 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/Thales_theorem_7.png

31

3.2. BETK A PAPRLAPON

Vonatkoz tmakrk: terletszmts, hatvnyozs, egyenes arnyossg

Ajnlott korosztly: 7-8.

Modellalkotsi folyamat: sztellris

Msodik pldnk inkbb szrakoztat jellege s meglep eredmnyei, mint

valsgtartalma miatt rdekes a gyerekek szmra. A feladat segtsgvel knnyen

szemlltethet s rzkeltethet a hatvnyozs ereje, a magas hatvnyok, illetve

(kimondatlanul) az exponencilis folyamatok nagysga. A feladatot a gyerekeknek a

szmtgp-laborban kellett megoldaniuk, prban. Munkjukhoz az internetrl gyjthettek

segdanyagot, ez fleg az rtkelsnl volt szksges. A krds gy hangzott:

Felrhat-e egy paprlapra egy 1010 betbl ll szveg? s egy 10100 betbl ll?

A feladat megoldsra a gyerekek ktfle modellt is alkottak, ezek egszen eltr

megkzeltsbl trgyaljk a problmt. Az egyik ilyen modell a betk lersnak idejt

vizsglta meg (id-modell egy ilyen megoldst tartalmaz a 2. mellklet), mg a msik azzal

a krdskrrel foglalkozott, hogy felfrnek-e a betk a paprlapra (mret-modell). A feladatot

mindenki gy rtelmezte, hogy a szvegnek koherensnek kell lennie, teht nem elgsges

egyetlen bet folyamatos lenyomva tartsa vagy rtelmetlen szveg begpelse.

3.2.1. Az id-modell

Ehhez a modellhez egyetlen paramterre van szksgnk, mghozz az rs sebessgnek

kiszmtsra. A gyerekek rendelkezsre llt az iskolban egy (a gprs-rkon hasznlt)

program, ami sajt gpr-sebessgket meg tudta hatrozni, az els szmts sorn sokan

ezzel szmoltak. Feltehet azonban, hogy akad a vilgon olyan ember, aki ennl gyorsabban

gpel.

Az Interneten kutatva kiderthet, hogy az 1985-s gprs-rekordot47 Barbara Blackburn

rte el, 212 wpm48 (word-per-minute: sz/perc) cscssebessggel. Termszetesen nem rt

47 Minden bizonnyal kiderthet frissebb rekord is a gyerekek erre talltak r. 48 http://web.syr.edu/~rcranger/blackburn.htm

32

vgig ilyen gyorsan, de a modellt egyszerstsk gy, mintha vgig ezt a sebessget tartotta

volna.49

Ezutn meg kell hatrozni, hogy a 212 wpm sebessg hny karaktert jelent percenknt,

aminek meghatrozshoz tudni kellene, hogy egy tlagos (termszetesen angol Mrs.

Blackburn bizonyosan ezen a nyelven rte el a rekordot) sz hny karakterbl ll. A krds

megvlaszolsra a gyerekek egy hosszabb angol nyelv regnyt50 letltve a Microsoft Word

sz-szmllja ltal megadott szavak s betk arnybl szmoltk ki ezt az tlagos rtket.

Erre nagyjbl 5,1 rtk addott.

Modellnk lnyege teht a kvetkez volt:

1. A lerand betk szmt jellje N. megoldshoz elegend ismernnk a vilg-rekorder

v gprsi sebessgt (sz/perc egysgben) s egy tlagos angol sz karakterhosszt

(a) (matematizci).

2. Modellnk sorn felttelezzk, hogy a gpr lland sebessggel, mindenfle ms

tevkenysget mellzve gpel (egyszersts).

3. Ezekkel a meggondolsokkal szveg lershoz av

Nt = perc szksges (matematikai eredmny).

rtkeljk a kapott eredmnyeket! Az adatokat behelyettestve a gprsi sebessg teht:

percbetwpmv 2,1081212 ==

, ami 1010 bet esetn 9248983 percet, vagyis kzel 68 vet jelentene, feltve, hogy a

gpr minden v minden perct gprssal tlti, alvs s tkezs51 nlkl.

10100 bet esetn ez pontosan 1090-szer tbb id lenne, teht , ami

figyelemremlt, tekintve, hogy a vilgegyetem a legmerszebb becslsek szerint is

ves

91108,6

151046,7 52.

49 Ezzel kikszblhet a rekord idejnek krdse is: a jelenlegi rekorder brki legyen is az nyilvn nem kpes ezt a tempt vgig tartani. 50 Igen kifejez mdon a Hbor s Bke angol nyelv fordtst vlasztottk. 51 Az egyik gyerek tall megfogalmazsa szerint: s nhvelygyullads 52 Termszetesen a legmerszebb tudomnyos becslsek 1,4109 vet emlegetnek. Mi legmerszebb becslsnek az 1.3.3. fejezetben emltett, Vdk ltal lert letkort tekintettk, feltve, ha Brahm ppen 100 ves.

33

3.2.1. A mret-modell

Egy egszen ms jelleg megkzelts azt a krdst veti fel, hogy egyltaln rfr-e 1010,

illetve 10100 bet egy paprlapra. Mindenekeltt tisztzni kell, hogy mekkora paprlaprl van

sz: ezt a gyerekek egysgesen A/4-es mretnek (29,7 cm 21 cm = 623,7 cm2) tekintettk.

A sejts (nem fr fel) megvlaszolsa tulajdonkppen egy indirekt bizonytssal trtnik.

Feltesszk, hogy felfr ennyi bet, majd megnzzk, ellentmondsra jutunk-e, ha ezek utn

megvizsgljuk egy bet mrett.

A betket az egyszersg kedvrt a gyerekek megoldsaiban gy kpzeltk el, mintha

berhat lennnek egy x oldal ngyzetbe s nincs kztk szkz. A modell finomtshoz

hasznlhatnnk klnfle bet-alakokat, de erre nem lesz szksg, hiszen vgtre is a

megoldsok sorn a betk terlete alapjn rtelmeztek. Figyelembe vehetnnk a szkzket

vagy a hzagokat is, de erre sincsen szksg, hiszen eredmnyknt fels becslst kapunk

majd s ha ez is abszurdnak tnik, akkor rvnyes modellt kapunk.

Modellnk lnyege teht a kvetkez volt:

1. A lerand betk szmt jellje N, a paprlap terlett T, a betket tartalmaz

kpzeletbeli ngyzetek oldalhosszt x (matematizci).

2. Feltettk, hogy minden bet egyforma alakzatba rhat s szorosan egyms mellett

helyezkednek el, szkz nlkl. Mivel fels becslst akarunk, ez a feltevs a

megolds szempontjbl vllalhat (egyszersts).

3. A betk terlete teht: NTx =2 , oldalhosszuk

NTx = .

rtkeljk az eredmnynket! Egy bett tartalmaz ngyzet terlete ,

oldalhossza teht 2,49 m. Ezek a mretek nagyjbl megfelelnek egy tlagos fehrvrsejt mreteinek, teht a kzzel val rs eleve kizrt, legfeljebb lzertechnikval gravrozhatk

gy betk a paprlapra.

281024,6 cm

53

Egszen ms a helyzet az ennl 1090-szer kisebb terlet betkkel. Ha csak a betk

szlessgt nzzk, valamely kiterjedse egszen biztosan 1050 m alatt van, ami az atomi

mreteknl jval kisebb. De mr az a meggondols is eleve abszurdd teszi a problmt,

53 Ez mr lehetsgesnek tnik, 1985-ben mr kpesek voltak 35 atom felhasznlsval lerni az IBM nevet: http://epa.oszk.hu/00800/00892/00007/pdf/200412_5-12.pdf

34

hogy egyes becslsek szerint a vilgegyetemben tallhat sszes rszecske szma is 10100

alatt van.

3.3. EGY SPANYOL PETCI MDIAVISSZHANGJA

Vonatkoz tmakrk: terletszmts- s trfogatszmts, egyenes arnyossg

Ajnlott korosztly: 7-8.

Modellalkotsi folyamat: egyszer

Harmadik pldnk ugyan jrszt csak egyetlen modellel trgyalhat (br lteznek ms

igaz, kevsb ltvnyos eredmnyre vezet megkzeltsek is, kivlan alkalmazhat arra,

hogy bizonyos paramterek hatsait figyelhessk meg a gyerekekkel. Szpsge a feladatnak,

hogy a vgeredmny rtkelse tbb irnybl is megkzelthet, ami gyakorlatilag az

egyenletrendezs intuitv alapjait jelenti meg a gondolkodsban. Az alapproblma a

kvetkez:

2006. prilis 25-n az egyik spanyol ellenzki prt 4.000.000 sszegyjttt alrst nyjtott be az

orszggylsnek a kormny egy j trvnyjavaslata ellen. Minden spanyol jsg lehozta a fotkat a hatalmas

ldkrl s a tz teherautrl, amely az alrsokkal teli paprlapokat szlltotta a parlamentbe. Vajon

politikai clra hasznltk a hatalmas felhajtst, vagy a sok doboz s teheraut valban szksges volt a

4.000.000 alrs elszlltshoz?

A 3. mellkletben egy rszletesen kidolgozott megolds tallhat erre a problmra.

Figyelemre mlt, hogy a feladatot megold gyerek kt modellel is kszlt, de az els modell

szmra nem adott elg ltvnyos megoldst: ebben a modellben az alrsokhoz

szksges paprmennyisg tmegt szmolta ki, majd ezt hasonltotta ssze egy teheraut

teherbrsval. Termszetesen ez a modell is helytll (hiszen a papr srsge elg nagy

ahhoz, hogy ez a tmeg ne jelentsen nagy mreteket sem), ennl sokkal szemlletesebbnek

tnik, ha a paprmennyisg trfogatt szmoljuk ki.

Modellnk lnyege a kvetkez:

35

1. Jellje az alrsok szmt N, jellje a azt az alrsmennyisget, amit egy paprra

rrhatunk, s jelljk T-vel a teheraut trfogatt. Ezek a paramterek vltoztathatk.

500 papr egyttes trfogatt jelljk v0-lal. (matematizci).

2. Ugyan a paprok csomagolstl eltekintettnk, de modellnk lnyegben tovbb

nem bonyolthat, hiszen joggal felttelezhetjk, hogy az alr-vek szabvny

formtumak, rjuk ugyanannyi alrs fr (egyszersts).

3. Egy paprra rrhat alrsok szmbl (a) s N-bl kiszmthat a szksges

paprmennyisg. A paprmennyisg trfogatt 500 papr egyttes trfogatbl

kiszmolva: 500

0vaNV = . Ezt sszevetve a teheraut trfogatval megkaphat a

valban szksges teherautk szma. (matematikai eredmny).

Vizsgljuk meg a kapott eredmnyt! v0 kimrhet egy 500-as paprkteg leit megmrve

ezek 21, 29,6 s 6 cm hossznak addnak, a paprkteg trfogata teht 0,0037 m3.

Vgeredmnyben a fggvnynk: a

V 6,29= , ami egy hiperbolikus fggvny. Egy teheraut raktere nagyjbl 15 m3, ami azt jelenti, hogy mg akkor is elfrt volna egyetlen teherautban

a referendum, ha egy lapra mindssze kt alrst helyeznk el, ami nyilvnvalan

abszurdum.

A mellkletben tallhat megoldsban a modellez elszr 50 alrst felttelezett

laponknt, majd 25-t, amit relisabb rtknek tekinthetnk. Eredmnyl azt kapta, hogy egy

teherautnl jval kisebb aut is el tudta volna szlltani a legfeljebb 1,2 m3 trfogat

csomagot. rdemesebb a megoldst minl tbb szempontbl megvizsglni gy, hogy a fenti

kpletben ms rtkeket hagyunk meg vltoznak.

Amennyiben valban szksg volt 10 teherautra, ez azt jelenti, hogy a paprktegeknek

legalbb 135 m3-nyinek kellett lennik54, ami az elz kplet alapjn a = 0,2 alrst jelent

laponknt: teht minden egyes alr adatainak rgztshez t paprlapra volt szksg, ami

legalbbis adatvdelmi szempontbl komoly agglyokat vet fel. Ha relisnak tekintjk a

laponknti 25 alrst s ragaszkodunk a rakterek kihasznlshoz, akkor ez 0,12 m3-es

raktereket jelent, ami egy mretesebb, de mg mindig jtkbolti szint dmper mreteit idzi.

Egy nagyvonalbb becslssel lve, laponknt 10 alrssal szmolva, ha csakugyan lesz

olyan referendum, amit 10 teheraut fog elszlltani, akkor az feltehetleg mintegy 203 54 Felttelezve azt a knos helyzetet, hogy a legutols lap mr nem frt be a kilencedik teherautba s ezrt volt szksg a tizedik indtsra.

36

milli ember alrst fogja tartalmazni. Figyelembe vve, hogy ez a szm Eurpa

lakossgnak negyednl is tbb, ez a referendum nyilvnvalan ltfontossg krdsrl szl

majd.

3.4. SZMOGRIAD

Vonatkoz tmakrk: statisztika, szzalkszmts

Ajnlott korosztly: 7-8.

Modellalkotsi folyamat: sztellris (diszkusszi)

Az albbi feladat abbl a szempontbl is realisztikus, hogy egy haznkban a

kzelmltban megtrtnt esetet dolgoz fel. Ebben a pldban a gyerekek elsdleges feladata,

hogy a meglv problmra adott ktfle vlasz mgtt megtalljk a vlaszadk modelljeit,

majd rtkeljk ezen modellek helyessgt:

2009. janur 12-n Budapest fpolgrmestere elrendelte a szmogriad riasztsi fokozatt. Eszerint pros

napokon csak a pros, pratlan napokon csak a pratlan rendszm autk kzlekedhetnek. Mivel a

korltozs megszegse semmilyen szankcival nem jrt, vrhat volt, hogy a fvrosiak csak egy rsze fogja

nkntes alapon betartani a rendeletet. Ennek felmrsre az egyik internetes hrportl sszeszmolta, hogy

egy forgalmas tszakaszon megadott id alatt hny pros s hny pratlan rendszm aut halad el. A

hrportl egy cikket s egy videriportot is megjelentetett a tmban. A cikkben rt mrsi eredmnyek s ezek

kirtkelse:

A Dzsa Gyrgy ton egy ra alatt 2000 szemlyaut kzlekedett, ebbl 1300 pros, 700

pratlan rendszmmal. Az Alkots ton ugyanezen id alatt 1400 aut haladt, kzlk 900

pros, 500 pedig pratlan rendszmmal. A budapestiek teht kzel fele betartotta a

szablyozst.

A videriport mrsi eredmnyei s ezek kirtkelse:

100-bl 26 autnak pratlan a rendszma ezen a pros napon, ami azt jelenti, hogy a pratlan

rendszm autk fele otthon maradt.

Vajon milyen modellt hasznlhatott a kt riporter az eredmnyek kirtkelsre? Helyesek-e a szmtsaik

Melyik modellt tekinthetjk rvnyesebbnek?

Nzznk egy lehetsges modellt, ami a cikkr gondolkodsmdjt tkrzheti:

37

1. Kt mrsi adatunk van: az eltelt id alatt sszeszmolt pros rendszm autk

szmt jellje S, a pratlanokt jellje T. (matematizci)

2. Felttelezzk, hogy egy tlagos napon nagyjbl ugyanannyi pratlan rendszm aut

kzlekedik, mint pros. Tovbbi felttelezsnk, hogy minden csaldnak egyetlen

vagy tbb, de ugyanolyan paritssal br autja van, teht nem fordulhat el, hogy

pros napokon a pros, pratlan napokon pedig a pratlan autjukkal kzlekednek.

Felttelezzk tovbb, hogy a pratlan rendszm autk tulajdonosainak

viselkedsvel az egsz fvros szablykvetsi morlja reprezentlhat.

(egyszersts)

3. Korltozs nlkl S pratlan autt kellene sszeszmolnunk, korltozs esetn pedig

0-t. Eszerint S T a korltozst betartk szma, teht a fvrosiak S

TS rsze tartotta be a szablyozst. (matematikai eredmny)

Vizsgljuk meg az eredmnyeinket! A fenti adatokkal szmolva (S = 2200, T = 1200) ez

54,5%-os szablybetartst jelent, a kzel 50% helyett teht inkbb a valamivel tbb mint

50% lenne helytll. Ha ugyanezt a modellt a videriport mrsi eredmnyeire hznnk r,

akkor (S = 75, T = 26) ennl sokkal biztatbb kpet, nagyjbl 65%-os rendeletbetartsi

arnyt kapunk, vagyis ebben az esetben a riporter eredmnye nem lesz helyes.

Vajon hogyan gondolkodhatott ? Erre egy lehetsges vlasz, hogy a riporter gy

gondolta, hogy a 100 autbl 50 pros s 50 pratlan rendszm autt kellett volna

sszeszmolnia. Mivel csak 26 pratlant szmolt, ezrt 24-en nem hasznltk a pratlan

rendszm autjukat, teht kzel felk tartotta be a szablyozst. A problma ezzel a

modellel az, hogy az elz modellben felvetett egyik posztultumunkat (ugyanannyi pros

autnak kell kzlekednie, mint pratlannak) ebben a modellben a modellalkot nem gondolta

kvetkezetesen vgig. A modell gyakorlatilag azt sugallja, hogy mindenki, aki eddig pratlan

rendszm autt vezetett, gy tartotta be a rendeletet, hogy tlt egy pros rendszm autba,

ami ltal a 100 autbl vrhat pros rendszm autk szma megntt. Ez alapjn az 50%-os

eredmny mr helytll, de nem a rendeletet betartk, hanem a rendeletet kijtszk arnyra.

A msodik modellt teht semmikppen nem tekinthetjk rvnyesnek egy elvi hibja

miatt.

38

3.5. ABSZOLT VAKCI

Vonatkoz tmakrk: tvolsgmrs, fggvnyelemzs, abszoltrtk-fggvny,

abszoltrtk-fggvnyek sszeadsa

Ajnlott korosztly: 9.

Modellalkotsi folyamat: spirlis

Soron kvetkez pldnkban megfigyelhet, hogy hogyan kap egy, a kzoktatsban

ltalban absztrakt formban marad matematikai fogalom s mvelet az abszoltrtk-

fggvny sszeadsa rtelmet a valdi problmk kezelsben. A feladat forrsa egy olasz

feladatlap. Br megfogalmazsban inkbb a realizl matematikai irnyzathoz ll kzel, a

feladat megoldsa lnyegben egy olyan modellalkots, amit ksbb ennl ltalnosabb

problmknl is alkalmazhatunk.

3.5.1. gi

gi szleivel vakcira utazik az olaszorszgi Senigallia vrosba. Megegyezik a szlkkel, akik a Ritz

Hotelben szlltak meg, hogy egy kln szllst brel nem messze tlk. gi mr meg is tervezte napirendjt:

A dlelttket a Ritz Hotel frdjben tlti szleivel, majd dlutn a bartaival tallkozik a turisztikai

kzpontban, ahol kzsen brelnek egy hajt a kiktben, majd a program vgeztvel a turisztikai

kzpontnl elbcsznak. Estnknt a Rotonda nev tengerparti szrakozhelyre megy tncolni vagy

megnzni egy eladst az ottani szabadtri sznpadon. Az albbi trkprszlet Senigallia vrosnak ezt a

krzett brzolja. A trkpen a Ritz Hotel a 8-as szmmal jellt hely.

Mit tancsolnl ginak, hol keressen szllst?

A feladat megoldshoz hasznlt modellnk vzlata:

1. Helyezzk a mellkelt trkpet egy koordinta-rendszerbe. Ez lthat az albbi brn:

39

A koordinta-rendszer origjt helyezzk a trkp (5) pontjval elltott rszre. Ez az

a hely, ahonnan a Rotonda megkzelthet. Mivel a tengerpartra vezet tszakaszt

mindenkppen meg kell tenni a Rotondhoz, ettl a kirtkels szempontjbl

eltekinthetnk. A Rotonda teht az origban van: R(0; 0). A valdi tvolsgok

ismeretre nincs szksg, a feladat megoldst az ltalunk felvett egysgekben adjuk

majd meg. A Hotel Ritz (8) koordinti: H(6,3; 0), a turisztikai kzpont (i)

koordinti pedig I(1,8; 0). Jellje az gi szmra idelis albrlet helyt X(x1; x2).

(matematizci)

2. Feltesszk, hogy gi minden napja pontosan ezen napirend szerint trtnik, teht

minden tvolsgot oda-vissza megtesz. Felttelezzk azt is, hogy a szllsvlaszts

egyetlen szempontja a naponta lestland thossz minimalizlsa. (egyszersts)

3. X helytl fggetlenl ginak minden nap meg kell tennie a hrom tvolsgot oda-

vissza. Mivel mindegyik szban forg helyszn az x-tengelyen tallhat, a

tvolsgokat egyszeren felrhatjuk az x koordintk tvolsgaknt. Feltehet, hogy a

szlls a H s I szls pontok kztt helyezkedik el, teht az ezektl val tvolsgok

rendre 6,3 x s x + 1,8 alakban rhatk fel, a Rotondtl val tvolsg pedig x . Az

gi ltal megtett t teht: ( ) 2,1628,13,62 +=+++= xxxxd . (matematikai eredmny)

40

Vizsgljuk meg az gy kapott eredmnyt! A kapott tvolsg x egyrtelm fggvnyeknt

adhat meg, aminek minimlis rtke (mivel x 0) az x = 0 esetben ll el. Ennek szemlltetsre felrajzolhat az emltett d1(x) fggvny a [-1,8; 6,3] intervallumon:

3. bra. Az gi ltal megtett t a szlls pozcijnak fggvnyben

Termszetesen a feladat matematikai vgeredmnye mr a paramterezst kveten

egyrtelm lehet. Azt felismerve, hogy a kt vgponthoz sszesen megtett t nem fgg az

albrlet pozcijtl, vilgoss vlik, hogy csak a Rotondtl val tvolsg szmt, gy

tulajdonkppen nincs is szksg az abszoltrtk-fggvny felrajzolsra. Ez a lps

leginkbb azrt szksges, hogy a gyerekek szmra a matematiknak ezen terlete is

megfoghat legyen s rtelmet nyerjen. Illetve azrt, hogy a tovbbi, ennl sszetettebb

esetekben knnyebben megtalljk a megoldshoz szksges modelleket.

Amennyiben egy ltalnos stratgit szeretnnk az idelis szllsok megtallsra, az egy

dimenzis esetet ktflekppen is tovbb bonyolthatjuk:

3.5.2. gi ktszer

Az elz feladat egyszersge tulajdonkppen abban a felismersben rejlett, hogy a kt

szls ponthoz megtett tvolsgok sszege fggetlen az albrlet konkrt helytl. Ez

korntsem lesz igaz, ha trtnetesen gi ktszer is meg akarja ltogatni valamelyik helysznt.

Feltehet pldul, hogy a vacsorkat kzsen kltik el szleivel a Hotel Ritz-ben s gi csak

ezutn indul az esti szrakozsra a Rotondhoz.

Vizsgljuk meg, milyen tvolsgok megttelre van most szksg: gi ktszer teszi meg

a szlls-kikt tvolsgot, hromszor teszi meg a szlls-hotel tvolsgot, egyszer megteszi

a Hotel-Rotonda tvolsgot (6,3m), vgl egyszer megteszi a Rotonda-szlls tvolsgot. Ily

mdon a tvolsg-fggvnynk gy mdosul:

41

( ) ( ) 8,283,63,638,12)(2 ++=++++= xxxxxxd . Ez teht negatv x rtkekre 2x + 28, pozitv x rtkekre pedig fixen 28,8 rtket vesz fel.

Vagyis ha gi ktszer akarja megltogatni a szleit, akkor gyakorlatilag mindegy, hogy hol

szll meg a Rotonda s a Hotel Ritz kztt!

A kapott fggvnyt brzolva a koordinta-rendszerben ez jl ltszik:

4. bra. Az gi ltal megtett t a szlls pozcijnak fggvnyben 3.5.2 felttelek mellett

3.5.3. gi s Judit

A feladat tovbb bonyolthat, ha egy