modelli di sistemi - · • si prenderanno in esame alcuni esempi di modelli matematici dinamici...

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MODELLI DI SISTEMIMODELLI DI SISTEMI

Luigi Biagiotti ModSemp -- 2Controlli Automatici

ModelliModelli didi sistemisistemi dinamicidinamici

• Si prenderanno in esame alcuni esempi di modelli matematici dinamici per:• illustrare i procedimenti generali che usualmente si impiegano nella loro deduzione;• chiarire le analogie esistenti fra modelli di sistemi fisici di diversa natura.

• In particolare, verranno descritti sistemi:• elettrici• meccanici• elettro-meccanici• idraulici• termici

• Si dedurranno i modelli in forma di equazioni differenziali ordinarie del tipo:

• Il problema della soluzione di tali equazioni differenziali, cioè ricavare l'andamento di y(t) in funzione di u(t), verrà preso in esame successivamente:

Trasformate di Laplace


• Opeatore “D”: Per semplificare la scrittura delle equazioni differenziali si userà il simbolo (o operatore) D per indicare l'operazione di derivazione rispetto al tempo:

Ad esempio, se x1(t), x2(t) sono funzioni derivabili, e a1, a2 costanti, allora

• Si può dare un significato anche al simbolo 1/D (o D-1) ponendo

in cui K è un'opportuna costante.

ModelliModelli didi sistemisistemi dinamicidinamici –– OperatoreOperatore “D”“D”

L'operatore D si può trattare come se fosse una costante: gode infatti della proprietà distributiva rispetto alla somma e della proprietà commutativa con le costanti (non con le funzioni del tempo).


ModelliModelli didi sistemisistemi dinamicidinamici –– OperatoreOperatore “D”“D”

• Questa relazione costituisce una notazione convenzionale, in quanto in realtà l'operatore D non è invertibile, rappresentando una corrispondenza che non è uno a uno, ma molti a uno: tutte le funzioni che differiscono per una costante presentano la stessa derivata:

• Per tale ragione 1/D non si può applicare ai due membri di una relazione esprimente l'uguaglianza di due funzioni:

se è y(t) = x(t),

• D y(t) = D x(t)

• non è detto che sia D-1 y(t) = D-1 x(t)(solo per cond. iniziali nulle).


CircuitiCircuiti elettricielettrici

Q0 è la carica iniziale del condensatoreN1 e N2 sono i numeri di spire del circuito primario e secondario



• Altri componenti di circuiti elettrici:• Amplificatore operazionale• Transistor

• Trattando con segnali logici, si possono considerare anche operatorilogici quali:• AND• OR• NOT• NOR• …

che costituiscono gli elementi di base delle Reti Logiche.



Le unità di misura delle grandezze elettriche nel sistema SI sono:• Variabili:

• [v] = V, Volt;• [i] = A, Ampere;• [Q] = Coulomb;

• Parametri:• [R] = Ω, Ohm;• [L] = H, Henry;• [C] = F, Farad;

• In genere, i modelli matematici di circuiti elettrici (composizione di sistemielementari) si ricavano applicando le

leggi di Kirchhoff

che esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o dellecorrenti ai nodi:



• Le leggi di Kirchhoff esprimono il bilancio delle cadute dipotenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi: • La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla;• La somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla.

v1

v2

v3v4

v1= v2 + v3 + v4

i1

i2

i4

i3

i1 + i2 + i3 +i4 = 0


CircuitiCircuiti elettricielettrici -- EsempioEsempio

Volendo ricavare, anzichè la corrente i, la tensione d'uscita vu, si può operare la sostituzione i(t) = C D vu(t), mediante la quale si ottiene (vC(t) = vu(t)) l'equazione differenziale

che mette in evidenza la relazione tra causa vi ed effetto vu.


Circuiti elettrici Circuiti elettrici -- EsempioEsempio

equazione differenziale dt

tdvCtvR

ti )()(1)( +=

dttdvCi

tvR

i

C

R

)(

)(1

=

=Kirchoff al

nodo Ai = iR + iC

A

i(t)v(t)

iCiR

ingresso uscita

condizioni iniziali nulle

iR

v CDv= +1equazione algebricanell'operatore D

Sistema del 1° ordine

1 accumulatoredi energia



equazione differenziale

( ) ∫+=t

i idC

tRitv0

1)( τ

∫=

=t

c

R

idv

Riv

0τ

Kirchoff alla magliavi = vR + vC


v RiC

D i

Dv RDiC

i

i

i

= +

= +

−1

1

1equazione algebricanell'operatore D


vi(t) vc(t)vR

i(t)

Se interessa vc come uscita

cCDvi = ( ) ci vRCDv 1+=ricordando che



equazione integro-differenziale dt

tdvCtvR

dttvL

ti )()(1)(1)( ++∫=

dttdvCi

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)()(1)(1

=

=

∫=

equazione differenzialedel 2° ordine 2

211dt

vdCdtdv

Rv

Ldtdi ++=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita


derivando ambo i membri

equazione algebricanell'operatore D


2 accumulatoridi energia



Se come uscita interessa la corrente nell'induttanza, ricordando che

v LDi=

dttdvCi

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)()(1)(1

=

=

∫=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita


Consente di ricavare l'uscitav(t) a partire dall'ingresso i(t)



dttdvCi

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)()(1)(1

=

=

∫=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita



v RiR=Se come uscita interessa la corrente nella resistenza, ricordando che




A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita dttdvCi

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)()(1)(1

=

=

∫=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC


vC

D iC= −1 1Se come uscita interessa la corrente nei diversi componenti, ricordando che:


SistemiSistemi meccanicimeccanici

• In generale si cerca di adottare modelli a costanti concentrate, perchè di più facile impiego, anche se spesso alquanto approssimativi e meno aderenti alla realtà di quanto non lo siano nel caso dei circuiti elettrici: ad esempio, in un modello a costanti concentrate la massa di una molla, (distribuita) è supposta trascurabile o concentrata agli estremi della molla.

• Si cerca di adottare modelli lineari, anche se ciò implica la limitazione dello studio a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco.



• Nella deduzione dei modelli, per semplicità si farà riferimento a moti di traslazione lungo una sola direzione e di rotazione attorno ad un solo asse.

• Le equazioni differenziali che descrivono il moto dei sistemi meccanici si ricavano di regola esprimendo l'equilibrio delle forze e delle coppie applicate a ciascuna delle parti in movimento.

• Per ottenere il modello dinamico di un sistema meccanico in moto traslatorio è fondamentale la legge di Newton:

dove• m è la massa concentrata,• f è la risultante di tutte le forze applicate, • x lo spostamento risultante ( è quindi l'accelerazione).

f1

f2

f3

f4 f5

f



• Per un corpo in rotazione attorno ad un asse la legge di Newton si scrive

essendo:• J il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione,• c la risultante delle coppie, θ la rotazione del corpo.

θ

c



• I sistemi meccanici in moto traslatorio si possono considerare costituiti dai componenti elementari:

• la massa,in cui si concentrano le forze di inerzia,

• la molla, in cui si concentrano le forze di richiamo elastico,

(se per x1 = 0 e x2 = 0 la molla non è caricata)

• l'ammortizzatore, in cui si concentrano le forze di attrito viscoso.

• Si suppone che gli estremi di tali componenti meccanici siano sottoposti a moto traslatorio orizzontale.

mf2

xf1

f fx1 x2

K

f fx1 x2B



• Analogamente per sistemi in moto rotatorio:• Forze coppie• Masse inerzie

c(t), θ1(t) c(t), θ2(t)K

c(t), ω(t) J

Bc(t), ω1(t) c(t), ω2(t)



• Riduttore

In un riduttore ideale (senza perdite per attrito e con accoppiamento perfetto tra gli ingranaggi), la velocità viene ridotta del fattore kr

Poiché in questo meccanismo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente

la coppia risulta amplificata.

c1(t), ω1(t)

c2(t), ω2(t)



• Altri elementi:

Cinghia/puleggia Vite a ricircolazione di sfere

CammaBiella/manovella



Le unità di misura delle grandezzemeccaniche nel sistema SI sono:

• Variabili:• [f] = N, Newton;• [x] = m, metri;• = m/sec, velocità;• = m/sec2, accelerazione.

• Parametri:• [M] = kg, chilogrammi;• [K] = N/m, coefficiente di rigidezza;• [B] = N sec/m, coefficiente di attrito

viscoso.

Oppure (caso rotatorio)

Variabili:[c] = N m;[θ] = rad;

= rad/sec;= rad/sec^2.

Parametri:[J] = kg\,m^2;[K] = N\,m/rad, coefficiente di rigidezzatorsionale;[B] = N\,m\,sec/rad, coefficiente di attritotorsionale.


SistemiSistemi meccanicimeccanici -- EsempioEsempio

• Carrelli con attrito

• Applicando la legge di Newton a ciascuna massa si ottiene

u(t)m2

x2(t)

m1

x1(t)



• Carrelli con attrito

• La variabile osservata del sistema è la velocita di m2 e quindi

• Dalle due eq.ni differenziali, utilizzando l'operatore D, si ottiene:

u(t)m2

x2(t)

m1

x1(t)


• Da

Si ricava

• Se si considerano per esempio per i parametri i valori numerici:

si ottiene l'equazione differenziale

la cui soluzione y(t) descrive l'andamento dell'uscita in funzione dell'ingresso u(t) e delle condizioni iniziali y(t_0) =




• Le coppie applicate in questo caso sono:• coppia esterna c(t)• coppia dovuta alla molla torsionale ck(t) = k θ(t)• coppia dovuta all'attrito torsionale cb(t) = B

• Applicando la legge di Newton si ha


SistemiSistemi meccanicimeccanici –– EffettiEffetti non non linearilineari

• Nei sistemi meccanici esistono fenomeni nonlineari che, per la discontinuità delle caratteristiche, non sono suscettibili neppure di una linearizzazione locale: il più importante di questi è l'attrito.

• Per rimanere nel campo dei modelli lineari si dovrebbe considerare il solo attrito viscoso.

• In realtà è presente anche l'attrito secco o attrito al distacco, consistente in una forza che equilibra la forza applicata, impedendo l'inizio del moto, finché questa non supera una soglia F_d, oltre la quale inizia il movimento e la forza si annulla.

• Inoltre può essere presente l'attrito coulombiano, caratterizzato da una forza nulla quando il corpo è immobile, costante quando esso è in movimento e tale da opporsi al moto.

• L'attrito al distacco e l'attrito coulombiano sono fenomeni tipicamente nonlineari, per cui, finché l'approssimazione risulta accettabile, nei modelli matematici si considera il solo attrito viscoso.



• Altri effetti non lineari eventualmente presenti in un sistema meccanico.

• SaturazioneLa saturazione è un fenomeno comune a tutti i processi fisici: l'uscita y del sistema è proporzionale all'ingresso x solo in un certo range di valori, mentre rimane praticamente costante al di fuori di esso.



• Altri effetti non lineari eventualmente presenti in un sistema meccanico.

• ElasticitàSi fa, quando possibile, l'ipotesi che i corpi con cui si tratta siano rigidi. A causa della presenza di inevitabili elasticità strutturali, i modelli che si ricavano con le ipotesi di corpi rigidi sono validi solo in opportune bande di frequenze, che per definizione sono al di sotto delle frequenze naturali delle strutture definite da questi effetti.

• Se possibile, si deve prestare attenzione a non eccitare queste frequenze. Una regola di tipo empirico che si può adottare è quella di far sì che la pulsazione del sistema complessivo (con il controllo) sia inferiore di quella naturale

• non è semplice determinare ω0



• IsteresiIl sistema di attuazione (riduttore) introduce solitamente un qualche effetto diisteresi. Nel caso di riduttori, è dovuto al gioco d esistente tra gli ingranaggi.• x: spostamento in ingresso• y: spostamento in uscita

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−1

−0.5

0

0.5

1Ingresso − Uscita (dash)

−1 0 1−1

−0.5

0

0.5

1Isteresi (d = 0.6)

Il movimento dell'ingranaggio “pilota” non si trasmette all'altro fino a quando i denti delle due ruote non sono in contatto. Se la velocità di x cambia segno, allora y rimane costante per un certo tratto.

Non linearità a “due valori”: per ogni x vi sono 2 possibili valori di y, a seconda della “storia” dell'ingresso. Si possono avere instabilità o oscillazioni permanenti (cicli limite)



• Zona mortaL'uscita non risente di variazioni dell'ingresso contenute in una data banda.

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