modelo de red simple
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Modelo de Red SimplePlaneación Agregada de la Producción
Planeación AgregadaModelo de red simple con producción
lineal y costo de inventario. Bowman, desarrolló el siguiente modelo de
planeación de producción, el cuál utiliza la formulación del modelo de transporte, donde:
E.H. Bowman, “Production Scheduling by the transportation
Method of linear Programing”, Operations Research, Vol. 4, n. 1. Febrero 1956.
Modelo de red simple:ijkP Cantidad a producir con la fuente “i” en el periodo “j” para cubrir
requerimientos de demanda en el periodo “k”. Donde
TkyTjmi ,...,2,1,...,2,1,...,2,1
:ijkC Costo marginal de producción por unidad con la fuente “i” en el periodo “j”
para consumirse en el periodo “k”. Donde TkyTjmi ,...,2,1,...,2,1,...,2,1
:ijCd Capacidad de producción de la fuente (tiempo regular y tiempo extra ) “i” en el periodo “j”. Donde Tjymi ,...,2,1,...,2,1
Modelo de red simple:kD Requerimientos de demanda pronosticada para el producto en el periodo “k”.
Donde Tk ,...,2,1
:m Número de fuentes de producción.
:CRCosto por unidad de producción en tiempo regular “Regular time”
:CO Costo por unidad de producción en tiempo extra “Overtime”
:h Costo de mantener inventario por unidad por periodo
: Costo de penalización por unidad en escasez
T: Número de periodos para el horizonte de planeación
Z: Costo total de producción y de inventario para todo el periodo
Modelo de Red simpleEste problema es entonces formulado así:
m
i
T
j
T
k
ijkijkPCZMinimizar1 1 1
(1.22)
sujeto a :
TjymicadaparaCdP ij
T
kijk ,...,2,1,...,2,1
1
(1.23)
TkcadaparaDP k
m
i
T
jijk ,...,2,1
1 1
(1.24)
TkyTjmicadaparaPijk ,...,2,1,...,2,1,...,2,10
Diagrama 3. Representación de la red de asignación de un plan agregado como una red de transporte sin escasez
Nodos origen
.... ....
11
R E 21
E R j T E R E R
T1 T2 T3 Tk TT
La similitud de la red de planeación agregada como un modelo de transporte sin escasez se representa en un grafo bipartito en el diagrama 3.
Modelo de red simpleLa red representa con un conjunto de nodos el
número de periodos en donde es posible producir con varias fuentes ( en donde las fuentes son la producción en tiempo regular y producción en tiempo extra) la posibilidad de satisfacer un requerimiento de capacidad en los períodos de consumo los cuales están representado por conjunto de nodos destino, los arcos representan las variables de decisión que indican la producción en un período con una fuente para satisfacer la demanda en un periodo de consumo.
Modelo de red simpleEs posible representar el inventario inicial
disponible como un nodo origen y el inventario final deseado como un nodo destino.
La condición de tener más capacidad disponible que capacidad necesaria implica adicionalmente crear un nodo adicional que exprese el sobrante de capacidad. Es decir, es equivalente a crear un destino ficticio para cerrar el modelo de transporte, lo cual expresa la capacidad no utilizada.
La posibilidad de producir en periodos posteriores demandas insatisfechas implica la condición de escasez y se representa con arcos que se conectan de nodos origen de periodos posteriores a nodos destino de periodos anteriores en el grafo bipartito del diagrama 4.
Modelo de red simple
Diagrama 4. Representación de la red de asignación de un plan agregado como una red de transporte con escasez
Nodos origen
.... ....
Nodos destinos
11
R E 21
E R j T E R E R
T1 T2 T3 Tk TT
Modelo de red simpleLas variables de decisión son ijkP . La restricción (1.23) muestra que el número de
unidades producidas por la fuente “i”, en el periodo “j” no puede exceder la
capacidad de la fuente durante ese periodo. La restricción (1.24) indica que la
demanda tiene que ser cubierta a tiempo y no puede ser cubierta con órdenes
pendientes o elaboradas después de la fecha de entrega. Por costos en tiempo
regular y tiempo extra se encuentran agregados a los costos de mantener el
inventario en los pronósticos “Cijk " ”.
Modelo de red simpleA través de este modelo de producto único es
frecuentemente utilizado para restricciones que involucran múltiples productos, para lo cual es necesario expresar el problema en con común denominador, como puede ser horas - máquina por unidad, horas - hombre u horas - planta por unidad. Esto es conocido como el proceso de agregación por lo consiguiente es necesario expresar después de la determinación del plan agregado en unidades originales, siendo éste conocido como el proceso de desagregación.
Tabla 1. Modelo matricial de Bowman sin Escasez CALCULO DE
COSTOS EN LA MATRIZ DE
ASIGNACIÓN DE BOWMAN
PER
ÍOD
O 1
PER
ÍOD
O 2
PER
ÍOD
O 3
....
PER
ÍOD
O K
....
PER
ÍOD
O T
INVE
NTA
RIO
FIN
AL
CA
PAC
IDA
D
NO
UTI
LIZA
DA
CA
PAC
IDA
D
DIS
PON
IBLE
Inventario Inicial
0 h 2h ... (k-1)h ... (T-1)h Th 0 Cd0
Perio
do 1
Tiempo Normal
CR CR+h CR+2h ... CR+(k-1)h ... CR+(T-1)h CR+Th 0 Cd11
Tiempo Extra
CO CO+h CO+2h ... CO+(k-1)h ... CO+(T-1)h CO+Th 0 Cd21
Perio
do 2
Tiempo Normal
M CR CR+h ... CR+(k-2)h ... CR+(T-2)h CR+(T-1)h 0 Cd11
Tiempo Extra
M CO CO+h ... CO+(k-2)h ... CO+(T-2)h CO+(T-1)h 0 Cd21
Perio
do 3
Tiempo
Normal M M CR ... CR+(k-3)h ... CR+(T-3)h CR+(T-2)h 0 Cd12
Tiempo Extra
M M CO ... CO+(k-3)h ... CO+(T-3)h CO+(T-2)h 0 Cd22
......
.....
......
...
......
.
......
...
......
.
......
...
......
.
......
..
......
......
..
......
..
Perio
do j
Tiempo Normal
M M M ... CR+(k-j)h ... CR+(T-j)h CR+(T+1-j)h 0 Cd1j
Tiempo Extra
M M M ... CO+(k-j)h ... CO+(T-j)h CO+(T+1-j)h 0 Cd2j
......
..
.....
......
......
......
......
.
......
......
......
......
......
Perio
do T
Tiempo Normal
M M M ... M ... CR CR+h 0 Cd1T
Tiempo Extra
M M M ... M ... CO CO+h 0 Cd2T
Capacidad Necesaria
D1 D2 D3 ... Dj ...
Dm
In
vent
ario
des
eado
Dife
renc
ia e
ntre
ca
paci
dad
disp
onib
le y
ut
iliza
da
Sum
a de
cap
acid
ades
Tabla 2. Modelo matricial de Bowman con Escasez CALCULO DE
COSTOS EN LA MATRIZ DE
ASIGNACIÓN DE BOWMAN
PER
ÍOD
O 1
PER
ÍOD
O 2
PER
ÍODO
3
....
PER
ÍOD
O K
....
PER
ÍOD
O T
INVE
NTA
RIO
FI
NA
L
CA
PAC
IDA
D
NO
UTI
LIZA
DA
CA
PAC
IDA
D
DIS
PON
IBLE
Inventario Inicial
0 h 2h ... (k-1)h ... (T-1)h Th 0 Cd0
Perio
do 1
Tiempo Normal
CR CR+h CR+2h ... CR+(k-1)h ... CR+(T-1)h CR+Th 0 Cd11
Tiempo Extra
CO CO+h CO+2h ... CO+(k-1)h ... CO+(T-1)h CO+Th 0 Cd21
Perio
do 2
Tiempo Normal
CR+ CR CR+h ... CR+(k-2)h ... CR+(T-2)h CR+(T-1)h 0 Cd11
Tiempo Extra
Co+ CO CO+h ... CO+(k-2)h ... CO+(T-2)h CO+(T-1)h 0 Cd21
Perio
do 3
Tiempo
Normal CR+2 CR+ CR ... CR+(k-3)h ... CR+(T-3)h CR+(T-2)h 0 Cd12
Tiempo Extra
Co+2 Co+ CO ... CO+(k-3)h ... CO+(T-3)h CO+(T-2)h 0 Cd22
......
.....
......
...
......
.
......
...
......
.
......
...
......
.
......
..
......
......
..
......
..
Perio
do j
Tiempo Normal
CR+(j-1) CR+(j-2) CR+(j-3) ... CR+(k-j)h ... CR+(T-j)h CR+(T+1-j)h 0 Cd1j
Tiempo Extra
Co+(j-1) CO+(j-2) CO+(j-3) ... CO+(k-j)h ... CO+(T-j)h CO+(T+1-j)h 0 Cd2j
......
..
.....
......
......
......
...... . ......
......
......
......
......
Perio
do T
Tiempo Normal
CR+(T-1) CR+(T-2) CR+(T-3) CR+(T-j)h ... CR CR+h 0 Cd1T
Tiempo Extra
Co+(T-1) CO+(T-2) CO+(T-2) CO+(T-j)h ... CO CO+h 0 Cd2T
Capacidad Necesaria
D1 D2 D3 ... Dj ...
Dm
Inve
ntar
io
des
eado
Dife
renc
ia e
ntre
capa
cida
d di
spon
ible
y
utili
zada
Sum
a de
cap
acid
ades
Objetivo: Determinar el plan agregado de producción tendiente a minimizar el costo por la utilización de diferentes fuentes de producción y mantenimiento de niveles de inventario.
Función Objetivo : :
Función costo de planeación agregada con respecto a la utilización de diferentes fuentes de producción y el mantenimiento de niveles de inventario.
TtyMiIPfF tti ,3,2,1,,3,2,1,,,
Modelo de planeación agregada de red simple con varias fuentes de producción sin escasez
Variables de decisión:
:,tiP Nivel de producción de la fuente “i” en el período “t“TtyMi ,3,2,1,,3,2,1
:tI Nivel de inventario al finalizar el período t, Tt ,3,2,1
Parámetros:
:tD Demanda estimada en el periodo “t”, Tt ,3,2,1
:,tiCP Capacidad de producción disponible en el período t utilizando la fuente i; TtyMi ,3,2,1,,3,2,1
:,tiC Costo unitario de producción utilizando la fuente i en el período t; TtyMi ,3,2,1,,3,2,1
:tH Costo de mantener una unidad almacenada durante el periodo t ;
Tt ,3,2,1
Condiciones Iniciales
I0 = K1: Inventario inicial del horizonte de planeación. IT = K2: Inventario final programado del horizonte de planeación. T: Horizonte de planeación o número de periodos de producción. t : Número del período de planeación ; Tt ,3,2,1
Modelo de planeación agregada de red simple con varias fuentes de producción
sin escasez
Formulación
t
T
ttit
M
i
T
tit IhPCFMinimizar
11 1
Sujeto a: Restricciones de demanda
TtcadaparaDIIP ttt
M
iit ,...,2,11
1
Restricciones de capacidad TtyMicadaParaCPP itit ,...,2,1,...,2,1
Condiciones iniciales
10 KI
2KIT
Restricciones de no negatividad TtyMicadaparaIP tti ,...,2,1,...,2,10,,
Objetivo: Determinar el plan agregado de producción tendiente a minimizar el costo por la utilización de diferentes fuentes de producción y mantenimiento de niveles de inventario.
Función Objetivo : : Función costo de
planeación agregada con respecto a la utilización de diferentes fuentes de producción y el mantenimiento de niveles de inventario.
TtMiIIPfF ttit ,...,2,1;,...,2,1,,,
Modelo de planeación agregada de red simple con varias fuentes de producción con escasez
Modelo de planeación agregada de red simple con varias fuentes de producción con escasez
Variables de decisión
:itP Nivel de producción en el período “t”, TtMi ,...,2,1;,...,2,1
:tI Nivel de inventario al finalizar el período “t”, Tt ,...,2,1
:
tI Nivel de escasez “Backorder” al finalizar el período “t”, Tt ,...,2,1
Modelo de planeación agregada de red simple con varias fuentes de producción con escasez
Parámetros
:tD Demanda estimada en el periodo “t”, Tt ,...,2,1
:,tiCP Capacidad de producción disponible en el período “t” utilizando la fuente “i”; TtMi ,...,2,1;,...,2,1
:,tiC Costo unitario de producción utilizando la fuente “i” en el período “t” ;
TtMi ,...,2,1;,...,2,1
:tH Costo de mantener una unidad almacenada durante el periodo “t”,
Tt ,...,2,1 t : Costo de penalización por unidad pendiente al final del periodo “t”, Tt ,...,2,1
Modelo de planeación agregada de red simple con varias fuentes de producción con escasez
Condiciones Iniciales
:10 KI
Inventario agregado disponible al inicio del horizonte de planeación.
:2KIT : Inventario agregado programado al final del horizonte de planeación.
:00 I Inventario de pendientes agregado al inicio del horizonte de planeación.
:0
TI : Inventario agregado de pendientes al final del horizonte de planeación.
:T Horizonte de planeación o número de periodos de producción.
:t Número del período de planeación Tt ,...,2,1
Formulación
T
tttt
T
ttit
M
i
T
tit IIhPCFMinimizar
111 1
Sujeto a: Restricciones de demanda
TtcadaparaDIIIIP ttttt
M
iit ,...,2,111
1
Restricciones de capacidad TtyMicadaParaCPP itit ,...,2,1,...,2,1
Condiciones iniciales
10 KI
2KIT 00 I 0
TI
Restricciones de no negatividad TtyMicadaparaIIP ttti ,...,2,1,...,2,10,,,
La representación gráfica del modelo de red simple sin escasez se muestra en el diagrama 5
Diagrama 5 .Red simple sin escasez
0
1 3 2 T t
DT Di D3 D2 D1
La representación gráfica del modelo de red simple con escasez, donde los arcos horizontales describen el posible nivel de escasez al final de cada periodo a lo largo del horizonte de planeación se muestra en el diagrama 6
Diagrama 6.
0
1 3 2 M i
DT Di D3 D2 D1
Diagrama 6. Red simple con escasez
0
1 3 2 M i
DT Di D3 D2 D1