1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

1

ECONOMETRIA

ESQUEMA

1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN.

2. EL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

3. EL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

2

1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN

• Sea la función de densidad conjunta normal bivariada

• Funciones de densidad de probabilidad marginal:

3

σ

µ−−σπ

=2

2

1exp

2

1)(

x

x

x

xxf

σ

µ−−

σπ=

2

2

1exp

2

1)(

y

y

y

yyf

σ

µ−+

σ

µ−

σ

µ−ρ−

σ

µ−ρ−

−ρ−σπσ

=22

222

)1(2

1exp

12

1),(

y

y

y

y

x

x

x

x

yx

yyxxyxf

1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN

• La función de densidad condicional de Y dado X:

• Media y Varianza Condicionales:

4

)(

),()|(

xf

yxfxyf =

µ−

σσ

ρ+µ−ρ−σ

−ρ−πσ

=2

2222)(

)1(21

exp)1(2

1)|( x

x

yy

yy

xyxyf

xxxxYE xyxyx

yx

x

yyx

x

yy ||)()|( β+α=

σσ

ρ+

µ

σσ

ρ−µ=µ−σσ

ρ+µ=

2|

22 )1()|( xYyxYVar σ≡σρ−=

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

• El Modelo de regresión simple:

– y=variable dependiente, regresando, explicada, variable del lado

izquierdo (left-hand-side variable).

– x = variable independiente, regresor, explicativa, variables del lado

derecho (right-hand-side variable).

• Término de perturbación: )|( xyEyu −≡

5

u)xy(Ey += |

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

•

A

B

C

•

6

( ) iii XXYE 21 ββ +=

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

7

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4

X

Y

Relación poblacional positiva entre Y y X

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4

X

Y

Relación poblacional negativa entre Y y X

• Las relaciones entre las variables x e y pueden ser: positivas o

negativas

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

CAUSALIDAD EN EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL

• Es importante tener en cuenta que un modelo de regresión no

implica la existencia de causalidad entre las variables.

• La causalidad - si existiera - estará determinada por la teoría

económica y reforzada por pruebas estadísticas adecuadas.

8

uxyEy += )|( uyxEx += )|(

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

• La teoría económica analiza las relaciones entre variables a través

de modelos. Las relaciones pueden ser uniecuacionales o

multiecuacionales, bivariadas o multivariadas.

• Además, las relaciones económicas pueden modelarse como

relaciones determinísticas o relaciones estocásticas.

donde g(Y) es la función esperanza condicional o regresión.

9

)( )1( YfC = YC 21 )2( ββ +=

uYC +β+β= 21 )4(uYgC += )( )3(

10

• Ejemplo: la relación lineal entre consumo e ingreso no es exacta.

Ello, explica que las relaciones entre variables económicas sea

estocástica (presencia de u).

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

Definición

• Denominado término estocástico.

• La palabra estocástico proviene del griego stokhos que

significa objetivo o blanco de una ruleta:

– Una relación estocástica es una relación que no siempre

da en el blanco.

– Así, el término de perturbación mide los errores o fallas de

la relación determinística:

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XYu 21 ββ −−=

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

• La presencia del término de perturbación se justifica por los

siguientes argumentos (no mutuamente excluyentes):

– Omisión de la influencia de eventos sistemáticos, muy

importantes y poco importantes para la relación.

– Omisión de la influencia de innumerables eventos no

sistemáticos, muy importantes y poco importantes para la

relación.

– Error de medida de las variables utilizadas.

– Aleatoriedad del comportamiento humano ante situaciones

similares.

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3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

– Omisión de variables explicativas: se excluyen variables que

no se pueden medir.

– Agregación de variables micro-económicas. Relaciones

individuales pueden tener distintos parámetros.

– Incorrecta especificación del modelo en términos de su

estructura: común en datos de series de tiempo, la variable

endógena puede depender de sus valores pasados.

– Incorrecta especificación funcional: relaciones lineales vs.

no lineales.

13

141

Y

Suponga que una variable Y es una función lineal de otra variable X, con parámetros desconocidos β1 y β2 que vamos a desear estimar.

XY 21 ββ +=

β1

XX1 X2 X3 X4

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

152

β1

Y

XX1 X2 X3 X4

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

XY 21 ββ +=

Suponga que se cuenta con una muestra de 4 observaciones para las variables X e Y.

16

Q1

Q2

Q3

Q4

3

β1

Y

XX1 X2 X3 X4

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

XY 21 ββ +=

Si la relación entre X e Y fuera exacta, las observaciones estarían en la línea recta y no habría problema de obtener los valores exactos de los parámetros poblacionales β1 y β2.

17

P4

P3P2

P1

Q1

Q2

Q3

Q4

4

β1

Y

XX1 X2 X3 X4

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

XY 21 ββ +=

En la práctica, muchas relaciones no son exactas y los valores observados de Y son distintas de los valores que tomaría se estuvieran en la línea recta (P vs. Q)

18

P4

P3P2

P1

Q1

Q2

Q3

Q4

5

β1

Y

XX1 X2 X3 X4

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

XY 21 ββ +=

Así, el término de perturbación permite justificar tal divergencia y por ello el modelo estadístico puede escribirse como Y = β 1 + β 2X + u, donde u es el término de perturbación.

19

P4

P3P2

P1

Q1

Q2

Q3

Q4u1

6

β1

Y

121 Xββ +

XX1 X2 X3 X4

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

XY 21 ββ +=

Cada valor de Y tiene un componente no estocástico, β 1 + β 2X, y un componente u. Por ejemplo, la primera observación tiene estos dos componentes.

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

• SC1:

– Linealidad de la esperanza condicional. ¿Término de perturbación

aditivo? Sí.

– Regresores Adecuados.

– Parámetros Constantes.

• SC2: Supuesto de Regresión

• SC3: Rango Completo por columnas (no multicolinealidad).

• SC4: Ausencia de relación estadística entre X y perturbaciones.

• SC5: Perturbaciones esféricas: Homocedasticidad y No Autocorrelación.

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4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

SC1: LINEALIDAD DE LA ESPERANZA CONDICIONAL

1. Lineal en parámetros y variables: en general para k

variables:

Notación matricial:

21

uXy += β

nnkknnnn

kk

kk

uxxxxy

uxxxxy

uxxxxy

+++++=

+++++=+++++=

ββββ

ββββββββ

332211

222332222112

111331221111

)1(

2

1

)1(

2

1

)(21

22221

11211

)1(

2

1

××××

+

=

nnkkknnknn

k

k

nn u

u

u

xxx

xxx

xxx

y

y

y

β

ββ

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

• Coeficientes de la Regresión y Efectos Marginales

• Interpretación de los parámetros

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Tabla 1: Interpretación de los coeficientes del modelo de regresión X Log(X)

Efecto Marginal

Y Cambio en el nivel de Y ante un cambio en una unidad de X

Cambio en el nivel de Y ante un cambio porcentual de X

(Modelo Semilog) Semi-elasticidad de Y ante X Elasticidad de Y ante X

Log(Y) Cambio porcentual de Y ante un cambio en una unidad de X

(Modelo Semilog)

Cambio porcentual de Y ante un cambio porcentual de X: ()

(Modelo Doble log)

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

2. Regresores adecuados: el modelo especificado es el “verdadero”

• No se omiten variables importantes.

• No se incluyen variables redundantes.

3. Los parámetros son constantes:

• Para la muestra analizada: individuos o tiempo.

• Al menos que fluctúen (poco) alrededor de un valor constante.

• No hay cambio estructural o de régimen (series de tiempo), cualidades

(corte transversal).

23

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

SC2: SUPUESTO DE REGRESIÓN:

• MEDIA INCONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN IGUAL

A CERO:

– Regresores son fijos en muestreo repetido.

– Regresores son variables aleatorias y con distribución totalmente

independiente del término de perturbación.

• MEDIA CONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN DADO X

ES IGUAL A CERO:

– Regresores son variables aleatorias y con distribución independiente en

media del término de perturbación.

24

n,,i,)u(E i 10 == 0=)u(E

n,,i,)Xu(E i 10 ==

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

SC3: RANGO COMPLETO POR COLUMNAS DE X

– No es posible que n<k

• El número de observaciones es mayor al número de

regresores: n > k (variación de los regresores).

– Columnas linealmente independientes

• No existen relaciones lineales exactas entre regresores:

Ausencia de Colinealidad o Multicolinealidad.

– Implicancias:

• X’X es positivo definida

• la inversa de (X’X) existe!

25

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

26

Y

X

•

• Y

X

•

Diversas relaciones posibles Una única relación posible

n<k n=k

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

SC4: AUSENCIA DE RELACIÓN ESTADÍSTICA ENTRE

REGRESORES Y PERTURBACIONES:

Se presentan dos casos:

– Regresores Fijos en muestras repetidas (no estocásticos).

– Regresores Estocásticos:

• Independencia total.

• Independencia en media.

• Ausencia de relación lineal contemporánea.

27

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

• Independencia Total de las perturbaciones y regresores.

• Independencia en media de las perturbaciones.

Si se cumple SC2 , entonces :

28

( ) ( )iiji uEX|uE =

Kj ,,1 =∀n,i 1=( ) ( ) ( )ijiiji XfufX,uf =

n,i 1= Kj ,,1 =∀

( ) 0=iuE ( ) 0=iji X|uE

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

• Ausencia de relación lineal contemporánea entre perturbaciones

y regresores.

Si , entonces :

29

n,,i 1= Kk ,,1 =∀0== )uX(E)u,X(Cov iikiik

0=)u,X(Cov ijiKj ,,1 =∀n,i 1=

( ) 0=iuE

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

SC5: PERTURBACIONES ESFÉRICAS

– Homocedasticidad:

• Supuesto sobre el segundo momento condicional.

• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en media):

30

22 σ=]X|u[E i n,,i 1=∀

22

2

σ==−=

]X|u[E

]X|])X|u[Eu[(E)X|u(Var

i

iii n,,i 1=∀

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

– No autocorrelación:

• Si se cumple SC2 y SC3:

• En series de tiempo: ausencia de correlación serial.

31

0=]X|uu[E ji ji ≠∀

0==

−−=

)X|uu(E]X|u,u[Cov

)X|)]u(Eu)][u(Eu[(EX|]u,u[Cov

jiji

jjiiji ji ≠∀

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

– Perturbaciones Esféricas: Notación matricial

• La matriz de segundos momentos es proporcional a la identidad.

• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en media):

32

nI]X|'uu[E 2σ=

nI]X|'uu[E)u(Var 2σ==

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

ui

uj

33

a b

a

b

ui

uj