modelos bayesianos para valores extremosghuerta/extremos.pdf3ra semana de probabilidad y...

Modelos Bayesianos para Valores Extremos

Gabriel Huerta

Department of Mathematics and StatisticsUniversity of New Mexico

Albuquerque, NM.

www.stat.unm.edu/∼ghuerta UNM

3ra Semana de Probabilidad y Estadística, BUAP, Junio 14-18

Máximos mensuales de precipitación en Venezuela

Mediciones en la estación Maiquetía cerca del aeropuerto de Caracas.Cómo se puede caracterizar estos extremos?

Time

Rainf

all

1960 1970 1980 1990 2000

020

4060

8010

012

014

0



Algunos aspectos en Valores Extremos

X1,X2,X3 . . ., son una secuencia de mediciones.Máximo sobre bloques de tamaño n,

Mn = max{X1, . . . ,Xn}.

La distribución Generalizada para Valores Extremos (GEV)

H(z) = exp

{−[1 + ξ

(z − µσ

)]−1/ξ+

}

∞ < µ 0 (escala) y −∞ < ξ

Dominios de Atracción:ξ > 0 Fréchet:. ’Cola’ de la dist. sigue función potencia.ξ < 0 Weibull: Familia con ’cola’ acotada.ξ → 0 Gumbel: Familia con ’cola’ exponencialmentedecreciente.

Fisher-Tippet: Si an y bn son tales que n→∞

P[

Mn − anbn

≤ z]→ H(z)

entonces H(z) es una GEV (Coles 2002).Alternativa, Métodos de Umbral o Procesos Poisson.



Cuántiles y log-verosimilitud

El cuántil (1− p) de la distribución:µ− σξ

[1− {−log(1− p)}−ξ

]; (ξ 6= 0)

µ− σ log {−log(1− p)} (ξ = 0).If y1 = M1, . . . , ym = Mm; yi ∼ GEV (α); α = (µ, σ, ξ), lalog-verosimilitud es:

l(α) = −n logσ − (1 + 1/ξ)n∑

i=1

log{1 + ξ(yi − µ)/σ}

−n∑

i=1

{1 + ξ(yi − µ)/σ}−1/ξ

Se pueda optimizar numericamente.



Inferencia Bayesiana en la GEV

Distribución inicial en α = (µ, σ, ξ)p(α) = p(µ)p(σ)p(ξ)p(µ) = N(mµ, vµ) p(log(σ)) = N(mσ, vσ)p(ξ) = N(mξ, vξ)

Usar pasos Metropolis-Hastings para muestrar α,

log(σ∗) = log(σ(i)) + 0.01�1µ∗ = µ(i) + 10�2ξ∗ = ξ(i) + 0.01�3

�j ∼ N(0,1); j = 1,2,3.Se rechazan o aceptan los valores propuestos.



Máximos mensuales de lluvia en Venezuela

Distribución final para los 3 parámetros.

Distribución final del cuántil GEV 95%.

µµ

7 8 9 10 11

0.00.2

0.40.6

σσ

8 9 10 11

0.00.2

0.40.6

ξξ

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

01

23

45

6

Q0.95

50 60 70 80 90

0.00

0.02

0.04

0.06



Un aspecto interesante

El enfoque Bayesiano ofrece una distribución predictiva

p(y f |y) =∫

f (y f |θ)p(θ|y)dθ

donde y f representa una observación futura.Un cuántil empírico approxima, el valor y∗ tal queP[Y f ≤ y∗|y ] = 1− pPara los datos de lluvia en Venezuela p = 0.01 (cuántil99%).

Por EMV, el cuántil GEV es 152.3.Media aposteriori del cuántil GEV, 157.35.Approximación con la predictiva 162.87.



Artículo Coles y Powell (1996)

Uno de los primeros artículos en el tema.Distribuciones iniciales con conocimiento experto.

Uso de una Gamma sobre q1, q2 − q1 y q3 − q2.Estimadores Bayesianos más estables que los de MV amedida que el tamaño de los datos incrementa.Estimación de µ ’bien calibrada’. Mas difícil estimar σ y ξ.Tambien se mencionan modelos de umbral.Libreria en R evdbayes (Stephenson y Ribatet).



Extremos para casos no-estacionarios

y1, y2, . . . , ym son ind., yt ∼ GEV (µt , σ, ξ).Función determinista (regresión en t):

µt = β0 + β1t ;µt = β0 + β1 + β2t + β3t2;µt = β0 + β1Xt .

Se puede modelar σt y ξt en términos de t .Tratar µ1, µ2, . . . , µm como una serie de tiempo.Modelos Espacio-Estado o Modelos Dinámicos Lineales.



Distribución GEV con Modelos Dinámicos

y1, y2, . . . , ym, yt ∼ GEV (µt , σ, ξ), t = 1, . . . ,m.

Ht(yt) = exp{−[1 + ξ(yt − µt)/σ]−1/ξ+

}µt = θt + �t ;

θt = θt−1 + ωt ;

Forma general: µt = F′t θt + �t ; θt = Gtθt−1 + ωt .

Iniciales: p(σ) ∼ LN(mσ, sσ) ; p(ξ) ∼ N(mξ, sξ);θ0 ∼ N(m0,C0).



Algunos resultados para los datos de lluvia

Media ’a-posteriori’ de µt and θt .Intervalos al 95 % de ‘credibilidad’ para µt .Ajuste por MV µt = β0 + β1t .

Time

1960 1970 1980 1990 2000

05

1015

20 µµθθa ++ bt



Estimación de Cuántiles

Son variantes en el tiempo.

Considera no-linealidades y sesgos.

Time

Rai

nfal

l

1960 1970 1980 1990 2000

020

4060

8010

012

014

0

95%75%50%5%



MCMC para el modelo GEV-Dinámico

Y = (y1, y2, . . . , ym), µ = (µ1, µ2, . . . , µm) yθ = (θ1, θ2, . . . , θm).p(µt |yt , σ, θt ,V ); t = 1, . . . ,m se simula con pasosMetropolis-Hastings.p(σ|Y , µ, ξ) and p(ξ|Y , µ, σ) tambien con pasos M-H.V se muestra con una Inversa Gamma.W se modela con Factores de Descuento.θt , con métodos para modelos espacio-estadocondicionalmente Gausianos.



Diagnóstico del Modelo

La gráfica esta basada en Z̃t = 1ξ̂ logn

1 + ξ̂“

yt−µ̂tσ̂

”oLa gráfica consta de los pares {i/(m + 1), exp(−exp(−z̃(i)))}

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Residual Probability Plot

Empirical

Mod

el



Modelos espaciales para extremos

Casson y Coles (1999) modelaron velociades de viento enhuracanes.Cooley, Nychka y Naveau (2007) mapa de riesgo para unevento de precipitación extrema.Huerta y Sansó (2007) modelo espacio temporal paramáximos de ozono en el D.F.Sang y Gelfand (2008) modelo espacial para precipitaciónen Sudafrica.Cooley y Sain (2008) precipatación extrema generada porun RCM.Trabajo con estudiante de doctorado en UNM (GlennStark).



Salida numérica para un modelo regional de clima

Modelo “mesoscala” Penn State/NCAR (MM5).20 años de precipitación extrema de una corrida control (“Invierno”).El dominio espacial es 56× 44 = 2464.

−125 −120 −115 −110 −105

35

40

45

50

50

100

150

200

Precipitation Data (t = 1)

−125 −120 −115 −110 −105

35

40

45

50

50

100

150

200

Precipitation Data (t = 2)



Campo Aleatorio Gaussiano

Modelo con estructura Markoviana (vecinos).Se usan Matrices de Precisión no covarianza.

column

row

5 10 15 20 25 30

3025

2015

105

Biharmonic Difference Operator Matrix 2nd−order, 5 Rows, 6 Columns



Campo Gaussiano de Markov

Vector aleatorio X (dim. n) con parámetros η y Q.Gráfica G = (V ,E) con nodos y vertices tales que

Qij 6= 0 ⇐⇒ i ∼ j .

La densidad de X es

f (x) = (2π)−n−k

2 (|Q|∗)12 exp

(−1

2(x − η)′Q(x − η)

)Caso impropio: |Q|∗ es el producto de los n − keigenvalores de Q distintos de cero.



Definición de la matriz Q

La matriz define estructura en una retícula con r filas y c columnas.

Matriz simétrica y semi-positiva definida con rango r × c − 3.

E x i∣x−i =120

8 −2 1

Prec xi∣x−i=20kx i



Un modelo jerárquico

Primer nivel:Yi,j,t ∼ GEV (µ∗i,j,t , σ, ξ); i = 1, . . . ,56; j = 1, . . . ,44; t =1, . . . ,20.µ∗i,j,t = µi,j + φt tiene una componente espacial y otratemporal.

Segundo nivel:µ ∼ GMRF (0, θQ) donde Q es una matriz de precisión desegundo orden.φ1 = 0, φi ∼ N(µφ, τφ); i = 1, . . . ,20.

Distribuciones iniciales:µφ ∼ N(0,10−6) y τφ ∼ Gamma(1,1),θ ∼ LN(mθ, sθ),σ ∼ LN(mσ, sσ),ξ ∼ N(mξ, sξ).



Resultados del modelo ’Espacial-Temporal’

MCMC con 20000 iteraciones, 10000 iniciales.Media de la distribución final de µ.

−125 −120 −115 −110 −105

3540

4550

20

40

60

80

100

Posterior Mean of µµ



Diagramas de caja para φi

Basados en las muestras MCMC.Miden la variabilidad temporal.

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φφ1 φφ2 φφ3 φφ4 φφ5 φφ6 φφ7 φφ8 φφ9 φφ10 φφ11 φφ12 φφ13 φφ14 φφ15 φφ16 φφ17 φφ18 φφ19 φφ20

−8

−6

−4

−2

02

4



Distribuciones finales para σ, ξ y θ

Distribuciones bien comportadas.Tenemos un caso Fréchet.

σσ

De

nsity

10.20 10.30 10.40 10.50

02

46

8

ξξ

De

nsity

0.140 0.150 0.160 0.170

02

04

06

08

01

00

θθD

en

sity

0.0065 0.0070 0.0075 0.0080 0.0085

05

00

10

00

15

00



Estimación de cuántiles

Basados en la distribución predictiva.Conceptualmente simple pero intensivo.

−125 −120 −115 −110 −105

3540

4550

0

50

100

150

Median

−125 −120 −115 −110 −105

3540

4550

0

50

100

150

75th Percentile

−125 −120 −115 −110 −105

3540

4550

0

50

100

150

95th Percentile

−125 −120 −115 −110 −105

3540

4550

0

50

100

150

99th Percentile



Distribución Predictiva en Albuquerque,NM

y

Dens

ity

0 50 100 150

0.000

0.010

0.020

0.030

Posterior Predictive Density (Albuquerque)

50th %tile28.8

95th %tile63.6

99th %tile92.9



Variabilidad espacial en σ y ξ

Ajustes puntuales de la GEV.Mapas de los parámetros de escala y forma.

−125 −120 −115 −110 −105

35

40

45

50

σσ

longitude

latit

ud

e

5

10

15

20

25

30

35

−125 −120 −115 −110 −105

35

40

45

50

ξξ

longitude

latit

ud

e

−0.5

0.0

0.5



Red de monitoreo atmosférico en el D.F.

Estaciones que miden ozono.

ωj es un nudo para centrar kernel.

−99.3 −99.2 −99.1 −99.0 −98.9

19.2

519

.30

19.3

519

.40

19.4

519

.50

19.5

5

longitude

latit

ude

ω1 ω2 ω3 ω4

ω5 ω6 ω7 ω8

ω9 ω10 ω11 ω12

ω13 ω14 ω15 ω16

LAGTAC

EAC

SAG

AZC

TLA XAL

MER

PEDCES

PLA

HAN

UIZBJU

TAH

CUA

TPN

CHA

TAX



Artículo Huerta y Sansó (2007)

Máximos diarios de ozono (sin covariables).Suponiendo independencia condicional, modelar losparámetros de la distribucion GEV como:

El parámetro de localización através de un modeloDinámico lineal.Los parámetros de escala y forma no varian en el tiempo (oespacialmente).

Extensión a un modelo espacio temporal via kernel deconvolución.



Análisis de tendencias en una Estación

Estación Merced.Estimación de µt , θt del modelo Dinámico.

Time

ozon

e

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

0.0

0.1

0.2

0.3

θtµt



Modelo jerárquico

ys,t ∼ GEV (µs,t , σ, ξ); s = 1, . . . ,19, t = 1, . . . ,365

Hs,t(ys,t |µs,t , ξ, σ) = exp

{−[1 + ξ

(ys,t − µs,t

σ

)]−1/ξ+

}

Para cada t , µt = (µ1,t , µ2,t , . . . , µS,t)′.(σ, ξ) constantes a tiempo-espacio.Proceso de convolución for µt :

µt = K θt + �t ;θt = θt−1 + νt



K se define con un kernel Gaussiano

Kij = k(si − ωj);k(si − ωj) ∝ exp(−d ||si − ωj ||2/2)

si representa la estación i .ωj es un nudo del kernel j .d es un paramétro de rango; d = cφ; 1/2 < c < 2;φ es la distancia entre nudos.



Ajuste en cuatro estaciones

AZC

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3−2

−10

12

3

XAL


Sam

ple

Qua

ntile

s

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2−1

01

2

TPN


Sam

ple

Qua

ntile

s

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3−2

−10

12

TAH


Sam

ple

Qua

ntile

s

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4−3

−2−1

01

2



Mapas retrospectivos de la mediana

−99.3 −99.2 −99.1 −99.0 −98.9

19.2

519

.35

19.4

519

.55

day 47

LAGTAC

EAC

SAG

AZC

TLA XAL

MER

PEDCES

PLA

HAN

UIZBJU

TAX

CUA

TPN

CHA

TAH

−99.3 −99.2 −99.1 −99.0 −98.9

19.2

519

.35

19.4

519

.55

day 61

LAGTAC

EAC

SAG

AZC

TLA XAL

MER

PEDCES

PLA

HAN

UIZBJU

TAX

CUA

TPN

CHA

TAH

−99.3 −99.2 −99.1 −99.0 −98.9

19.2

519

.35

19.4

519

.55

day 63

LAGTAC

EAC

SAG

AZC

TLA XAL

MER

PEDCES

PLA

HAN

UIZBJU

TAX

CUA

TPN

CHA

TAH

−99.3 −99.2 −99.1 −99.0 −98.9

19.2

519

.35

19.4

519

.55

day 69

LAGTAC

EAC

SAG

AZC

TLA XAL

MER

PEDCES

PLA

HAN

UIZBJU

TAX

CUA

TPN

CHA

TAH

−99.3 −99.2 −99.1 −99.0 −98.9

19.2

519

.35

19.4

519

.55

day 127

LAGTAC

EAC

SAG

AZC

TLA XAL

MER

PEDCES

PLA

HAN

UIZBJU

TAX

CUA

TPN

CHA

TAH

−99.3 −99.2 −99.1 −99.0 −98.9

19.2

519

.35

19.4

519

.55

day 191

LAGTAC

EAC

SAG

AZC

TLA XAL

MER

PEDCES

PLA

HAN

UIZBJU

TAX

CUA

TPN

CHA

TAH

−99.3 −99.2 −99.1 −99.0 −98.9

19.2

519

.35

19.4

519

.55

day 258

LAGTAC

EAC

SAG

AZC

TLA XAL

MER

PEDCES

PLA

HAN

UIZBJU

TAX

CUA

TPN

CHA

TAH

−99.3 −99.2 −99.1 −99.0 −98.9

19.2

519

.35

19.4

519

.55

day 263

LAGTAC

EAC

SAG

AZC

TLA XAL

MER

PEDCES

PLA

HAN

UIZBJU

TAX

CUA

TPN

CHA

TAH

−99.3 −99.2 −99.1 −99.0 −98.9

19.2

519

.35

19.4

519

.55

day 270

LAGTAC

EAC

SAG

AZC

TLA XAL

MER

PEDCES

PLA

HAN

UIZBJU

TAX

CUA

TPN

CHA

TAH



Medida de Dependencia Asintótica

Para las estaciones s y s∗: χ(u) = Pr(Ut,s > u|Ut,s∗ > u).Curvas en relación a la estación AZC.

u

χ(u)

TACXALTPNTAH

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



Algunos comentarios

Modelos Bayesianos jerárquicos basados en ladistribución GEV.Flexibles para estimación de cuantiles a tiempo/espacio.Ejemplo Precipitación. Enfasis en el aspecto espacial.Ejemplo ozono. Enfasis en el aspecto temporal.Basados en Campos aleatorios Gaussianos.Cálculos con MCMC. Convergencia?



Comentarios y Extensiones

Hipótesis de independencia condicional.Comunmente se utiliza para modelos espacialesno-gaussianos.No permite modelar efectos locales en las observaciones.

Modelos con Cópulas (Sang y Gelfand (2008)).Dist. conjunta se expresa através de marginales.Es dificil decidir que cópula usar (Gaussiana?)



Extensiones

Modelos multivariados para Valores Extremos

La busqueda del cáliz de oro.Modelos para bloque en máximos y umbrales.Modelos existentes para dimensiones ≤ 5.No hay análogo a la Distribución Normal Multivariada.

Procesos Max EstablesJustificados por la teoría de Valores Extremos.Libreria en R SpatialExtremes.Métodos Bayesianos con verosimilitudes compuestas(Ribatet, et. al. (2009))



Referencias

Casson, E. and Coles, S. (1999) Spatial Regression Models forExtremes. Extremes, 4, 449-468.Coles, S. (2001) An Introduction to Statistical Modeling of ExtremeValues. Springer Verlag.Coles, S. and E. Powell (1996). Bayesian methods in extreme valuemodelling: A review and new developments. International StatisticalReview 64, 119.Cooley, D., D. Nychka, and P. Naveau (2007). Bayesian spatialmodeling of extreme precipitation return levels. Journal of the AmericanStatistical Association 102, 824-840.Cooley, D. and Sain, S. R. (2008). Spatial hierarchical modeling ofprecipiation extremes from a regional climate model. Accepted byJABES.Fuentes, M., J. Henry, and B. Reich (2009). Nonparametric spatialmodels for extremes: Application to extreme temperature data.Technical report.



Referencias

Huerta, G. and B. Sanso (2007). Time-varying models for extremevalues. Environmental and Ecological Statistics 14, 285-299.

Ribatet, M., Cooley, D., and Davison, A. C. (2009). Bayesian inferencefor composite likelihood models and an application to spatial extremes.Submitted.

Sang, H. and Gelfand, A. E. (2008). Continuous spatial process modelsfor spatial extreme values. To appear, JABES.

Sang, H. and Gelfand, A. E. (2009). Hierarchical modeling for extremevalues observed over space and time. Environmental and EcologicalStatistics, 16:407-426.

Schliep, E., D. Cooley, S. Sain, and J. Hoeting. A comparison study ofextreme precipitation from six different regional climate via spatialhierarchical modeling. Extremes (to appear).

Stephenson, A. and J. Tawn (2004). Bayesian inference for extremes:accounting for the three extremal types. Extremes 7, 291-307.



modelos bayesianos para valores extremosghuerta/extremos.pdf3ra semana de probabilidad y...

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