Hoofstuk 2Finansiële wiskunde

RENTE IS:

geld wat betaal word om geld te leen,

OF

geld wat verdien word op ‘n belegging.

Getalvaardighede en sakeberekeninge

Vanuit die oogpunt van:

LenerDie bedrag wat betaal word aan die uitlener, sodat die lener dit as KAPITAAL kan gebruik.

UitlenerDie bedrag wat die uitlener ontvang omdat hy die risiko loop om geld te voorsien aan die lener.

Getalvaardighede en sakeberekeninge

Hoeveelheid rente hang af van:

1) Die bedrag wat geleen/belê word. [K of P ]

2) Die tydperk [n ] waarvoor geld

geleen/belê word.

3) Die rentekoers [i ] waarteen

geld geleen/belê word.Getalvaardighede en sakeberekeninge

ENKELVOUDIGE RENTE

• Word uitgewerk op die oorspronklike

bedrag.

• Nie so gereeld gebruik.

• Gebruik in huur-koop ooreenkomste.

• Verdien dieselfde hoeveelheid rente elke

jaar.

Getalvaardighede en sakeberekeninge

Formule (s)

100=

KrtI

niPI ××=

)ni(PA +1=

Waar:I = Enkelvoudige renteK, P = bedrag belêi /r = rentekoersn / t = tydperk

Waar:A = EindbedragP = bedrag belêi = rentekoersn = tydperk

1)

2)

3)

Oef. 1 Bl. 12: Verreiking, doen in klas Oef. 2 Bl. 16: Nr. 1a en d, 2, 3c en d

5, 6, 9, 10

I+P=Eindbedrag

P -A=Rente

Oefening 2

)ni(PA +1=1a)

)12,0×5+1(00,5000= RA00,8000= RA

R3000,00=

5000,00-00,8000=Re RRnte

1d i)

niPI ××=

10×06,0×00,00015= RI

00,0009= RI

1d ii)

niPI ××=10×12,0×00,00015= RI

00,00018= RI

1d iii) 6 : 12 = 1 : 2

1d iv) Ja

2a) )ni(PA +1=)10×08,0+1(=00,00012 PR

( ) PR

=10×08,0+1

00,00012

PR =666667,6666PR ≈67,6666

2b) )ni(PA +1=)8×12,0+1(=00,0008 PR

( ) PR

=8×12,0+1

00,0008

P...632,4081R

P,R ≈634081

3c) )ni(PA +1=

)5+1(00,00010=00,00018 iRR

iR

R5+1=

00,00010

00,00018

iR

R5=1-

00,00010

00,00018

i5=8,0

i=5

8,0

i, =160Die rentekoers is 16% per jaar.

3d) )ni(PA +1=

)10+1(00,00010=00,00014 iRR

iR

R10+1=

00,00010

00,00014

iR

R10=1-

00,00010

00,00014

i10=4,0

i=10÷4,0

i, =040

Die rentekoers is 4% per jaar.

5a) )ni(PA +1=)×14,0+1(00,00010=00,00016 nRR

nR

R14,0+1=

00,00010

00,00016

nR

R14,0=1-

00,00010

00,00016

n14,0=6,0njaar =2857,4

njaar ≈29,4

5b) )ni(PA +1=)×16,0+1(00,00010=00,00018 nRR

nR

R16,0+1=

00,00010

00,00018

nR

R16,0=1-

00,00010

00,00018

n16,0=8,0

njaar =5

6a) )ni(PA +1=)5×05,0+1(00,800= RA

00,1000= RA

b) )ni(PA +1=)50,0×5+1(=00,800 PR

( )25,1=00,800 PRPR =00,640

)25,1(00,800= RA

9. )ni(PA +1=)3×10,0+1(00,5000= RA

)3(00,6500= jaareerstenaRA

Na 3 jaar belê jy R6500,00.

)ni(PA +1=)2×15,0+1(00,6500= RA

00,8450= RA

)3,1(00,5000= RA

)3,1(00,6500= RA

10. Eerste belegging:

)ni(PA +1=)05,0+1(00,5000= nRA

Tweede belegging:

)ni(PA +1=)04,0+1(00,6000= nRA

Om te bepaal wanneer die 2 beleggings dieselfde toekomstige waarde gaan hê, word die 2 vergelykings aan mekaar gelyk gestel.

)04,0+1(00,6000=)05,0+1(00,5000 nRnR

nRnR 240+00,6000=250+00,5000Distributiewe vermenigvuldiging!!!!

5000,00-00,6000=240n-250 RRn000,001=0n1 R

jaar001=n

SAAMGESTELDE RENTE

Rente word uitgewerk op die

beginbedrag, by die beginbedrag getel,

en dan word rente weer op die

NUWE bedrag bereken.

Kan: * JAARLIKS * KWARTAALLIKS

* HALFJAARLIKS of * MAANDELIKS * of oor die tydperk in die kontrak ooreengekom, betaal word,

(* Soms DAAGLIKS/WEEKLIKS!!!!)

Tydperke

4×nen4

i

2×nmaar2

i

12×nen12

i

366 ×n OF365×nen366

iOF

365

i52×nen

52

i

Formule

( )nrPA 100+1=

( ) ni+1P=A

of

Oef. 3 Bl. 19Nr. 1, 2, 4, 5, 8

Waar:A = EindbedragP = bedrag belêi/r = rentekoersn = tydperk

Oefening 31) ( ) ni+1P=A

( )505,0+100,500= RA

...,RA 140638=2) ( ) ni+1P=A

( )505,0+100,1000= RA

...,RA 2811276=

( )....276,100,500= RA

( )....276,100,1000= RA

14638≈ ,RA

281276≈ ,RA

4) ( ) ni+1P=A( )510,0+1=00,00025 PR

P...,R =03352315

PR 61051,1=00,00025

PR

=61051,100,00025

P,R ≈0352315

5) ( ) ni+1P=A( )505,0+1=00,00010 PR

P,R ≈267835

( )...276,1=00,00010 PR

PR =....261,7835( ) PR

=...276,100,00010

8a)( ) ni+1P=A

( )307,0+100,500= RA

5215612= ,RA

8b)( ) ni+1P=A ( )608,0+100,500= RA

...,RA 437793=

Na 3 jaar:

( ) ni+1P=A( )310,0+15215,612= RA

...,RA 266815=

8c) Opsie A is die beter keuse, want dit verdien meer rente.

44,79327,815= RRrenteEkstra -

8321= ,R

Oefening 4Nr. 1,3,4a, 5,6, 8

( )....225,100,500= RA

( )331,15215,612= RA

27815≈ ,RA

( )...586,100,500= RA

44793≈ ,RA

Oefening 41)

018750=4

0750=

,

,i

20=

4×5=n

( ) ni+1P=A

( )2001875,0+100,800= RA

...,RA 9581159=

( )...449,100,800= RA

961159≈ ,RA

P = R800,00

3)

( ) ni+1P=A( )30

12+100,2000=00,2800 iRR

12= ii30=

12×5,2=n 2800= RA 2000= RP

( )3012+1=4,1 i

1230 +1=4,1 i

12+1=0111 i...,

12=1-0111 i...,

12=0110 i...,i=...13534,0

Die rentekoers 13,53%r≈%53,13

4a)

( ) ni+1P=A

[ ]( )102+1=2 xPP

2= ii 2×5=n PA 2= PP =

x=...14354,0

Die rentekoers 14,35%[ ]( )10

2+1=2 x

( )210 +1=2 x

2+1=0711 x...,

2=0710 x...,

5)

0375,0=2

075,0=i

5=

2×5,2=

2×30=

jaar

maanden ?=A 1000=P

( ) ni+1P=A( )50375,0+100,1000= RA

...,RA 0991202=

( )...202,100,1000= RA R202,10≈

.R202,099..=

R1000,00-...R1202,099.=

P-A=Rente

6) Van 20 Jan. tot 20 Feb. is 31 dae.

jaarn

daen

365

31=∴

31=

Maar omdat die rente daagliks saamgestel is:

dae

jaarn

31=1

365×

365

31=

......0003287,0=365

12,0=i

?=A1000=P

( ) niPA +1=

...,RA 2421010=

( )31

36512,0+100,1000= RA

( )...010,100,1000= RA

241010≈ ,RA

8) 24=

4×6=n

025625,0=4

1025,0=i 000100=A ?=P

( ) ni+1P=A( )24025625,0+1=00,000100 PR( )...835,1=00,000100 PR

P...,R =58348455

PR

=...835,1

00,000100

P,R ≈5848455

ANNUÏTEITE

Dis ‘n reeks gelyke betalings wat op ‘n gereelde basis (bv. maandeliks), betaal word.

2 GEBRUIKE VIR ANNUÏTEITE:

a) Jy kan geld spaar daarmee,

OF

b) Jy kan geld leen daarmee.

SPAAR Bereken die toekomstige waarde (Fv) van ‘n annuïteit (belegging) dadelik nadat die laaste paaiement betaal is.

Gebruik dié formule om die Fv –waarde te bereken.

i

ixF

n

v]1)1[( -

Waar: Fv = Toekomstige waarde

x = die gereelde bedrag wat betaal word (paaiement)

i = rentekoers per betalingsperiode

n = aantal betalings gemaak

Gebruik dié formule om die x –waarde te bereken.

1)+1(=

-nV

i

iFx

Betalingsperiodes wissel: * JAARLIKS

* KWARTAALLIKS * HALFJAARLIKS of

* MAANDELIKS * of oor die tydperk in die kontrak ooreengekom, betaal word,

(* Soms DAAGLIKS/WEEKLIKS!!!!)

Bv. R2000 word jaarliks in ‘n rekening inbetaal teen 8% per jaar. Wat is die belegging werd na 5 jaar? (Bl. 23)

i

])i[(xF

n

v

1-+1=

08,0

]1-)08,0+1[(00,0002=

5RFv

Die belegging is na 5 jaar R11 733,20 werd.

Vb)1

( )08,0

....469,000,0002=R

Fv

...,RFv 20111733=

2011733≈ ,RFv

x = 2000i = 0,08 n = 5

Berekening van Fv- waarde

Bv. R2000 word maandeliks in ‘n rekening inbetaal teen 6% per jaar. Wat is die belegging werd na 5 jaar? (Bl. 23)Vb)2

Beleggingstydperk: maandeliks

i =

12

06,0

005,0=

EN n = 12 x 5

= 60

i

])i[(xF

n

v

1-+1=

12060

6012060 1-+10002

= ,

,

v

])[(F

061,540913= RFv

( )3-10×5ook

12060

34800002= ,v

....],[F

06,540913≈ RFv

x = R2000,00

Berekening van x-waarde as jy weet wat

die Fv-waarde is.

‘n Onderwyser wil oor 13 jaar aftree. Hy sal R1 000 000,00 addisionele kapitaal benodig. Hoeveel moet hy nou maandeliks in ‘n aftree annuïteits fonds belê as verwag word dat die fonds teen 18% rente, maandeliks saamgestel, sal groei? (Bl. 24)Vb) 3

Beleggingstydperk: maandeliks

i =

12

18,0

015,0=

n = 12 x 13

= 156

Hy moet

R1630,01 per

maand

investeer.

Oefening 5Nr. 1, 2, 3, 4

Fv = R1 000 000,00

1)+1(=

-nV

i

iFx

1)015,01(

015,000,0000001156 -

R

x

.......2024,9

015,000,0000001

Rx

.....008,6301Rx 01,6301≈ Rx

Oefening 51a)

60=

12×5=n

005,0=12

06,0=i 00,300= Rx

i

])i[(xF

n

v

1-+1=

005,0

]1-)005,0+1[(300=

60

vF

?=vF

...,RFv 00993120=

( )3-10×5ook

0050

3480300=

,

....],[Fv

00,93120≈ RFv

1b)60=

12×5=n12

0520=

,i 00,300= Rx

i

])i[(xF

n

v

1-+1=

120520

60120520 1-+1300

= ,

,

v

])[(F

?=vF

...,RFv 27750620=

120520

2960300= ,v

...],[F

00,50620≈ RFv

1c)60=

12×5=n

12

030=

,i 00,300= Rx

i

])i[(xF

n

v

1-+1=

12030

6012030 1-+1300

= ,

,

v

])[(F

?=vF

....,RFv 01339419=12030

1610300= ,v

....],[F

00,39419≈ RFv

1d) 6 : 3 = 2 : 1

1e) Nee, omdat die bedrag waarop rente gehef/gegee word

elke jaar verander. (Nie vir elke jaar dieselfde is nie.)

2) 5=n1,0=i ?=x 00,00010= RFv

1)+1(=

-nV

i

iFx

1)1,0+1(

1,0×00,00010= 5 -

Rx

61051,0

1,000,00010

Rx

.....974,6371= Rx

00,6381≈ Rx

OF

3)60=

12×5=n12

080=

,i ?=x 00,00010= RFv

1)+1(=

-nv

i

iFx

1)+1(

×00,00010=

601208,0

1208,0

-

Rx

......4898,0

×00,00010= 12

08,0Rx

.....097,136= Rx

00,136≈ Rx

OF

4)20=

4×5=n

0125,0=4

05,0=i ?=x 00,00010= RFv

1)+1(=

-nv

i

iFx

1)+1(

×00,00010=

20405,0

405,0

-

Rx

......2820,0

×00,00010= 4

05,0Rx

.....203,443= Rx

00,443≈ Rx

OF

LEEN * Bereken die huidige waarde (Pv) van ‘n annuïteit (lening) wanneer

gereelde betalings gemaak is.

i

][xPv

n-i) + (1-1=

Gebruik dié formule om die Pv –waarde te bereken.

Waar: Pv = Huidige waarde

x = die gereelde bedrag wat betaal word (paaiement)

i = rentekoers per betalingsperiode

n = aantal betalings gemaak

Gebruik dié formule om die x –waarde te bereken.

n-i) (1- +1=

iPx v

Betalingsperiodes wissel: * JAARLIKS

* KWARTAALLIKS * HALFJAARLIKS of

* MAANDELIKS * of oor die tydperk in die kontrak ooreengekom, betaal word,

(* Soms DAAGLIKS/WEEKLIKS!!!!)

Berekening van Pv- waarde Voorbeelde bl. 27 - 28

Jy kan ‘n lening in 10 jaarlikse paaiemente van R1500,00 elk afbetaal. Bereken die leningsbedrag as rente van 15% per jaar bereken word. (bl. 27)

Beleggingstydperk: jaarliks

i 15,0= n = 10

150

0,15) + (1-15001=

10-

,

][Pv

i

][xPv

n-i) + (1-1=

155287≈

1525287=

,RP

....,RP

v

v

Die

leningsbedrag is

R7528,15

Vb) 1

x = R1500,00

150

75205001=

,

...],[Pv

Jy betaal ‘n lening terug in 10 maandelikse paaiemente van R1 500,00 elk. Bereken die leningsbedrag as rente van 15% per jaar, maandeliks saamgestel, bereken word. (Bl.27)Vb) 2

Beleggingstydperk: maandeliks

i

0125,0=12

15,0= n = 10

i

][xPv

n-i) + (1-1=

01250

0,0125) + (1-11500=

10-

,

][Pv

2901814≈

28801814=

,R

...,RPv

Die

leningsbedrag is

R14 018,29

x = R1500 ,00

01250

11601500=

,

....],[Pv

Jy gaan ‘n lening aan vir 2 jaar. Jou maandelikse paaiement is R200,00. Rente word gehef op 18% per jaar, maandeliks saamgestel. Wat was die oorspronklike waarde van die lening? (Bl.28)

Vb) 3

Beleggingstydperk: maandeliks

i

015,0=12

18,0=

n = 12 x 2 = 24

i

xPv

]+1[=

-ni) (1-

0150

0,015) + (1-1200=

24-

,

][Pv

084006≈

0814006=

,R

...,RPv

Die

oorspronklike

waarde van die

lening was

R4006,08

x = R200,00

0150

3000200=

,

...],[Pv

Berekening van x-waarde as jy weet wat die Pv-waarde is.

Voorbeelde bl. 28 - 29

Jy gaan ‘n persoonlike lening van R15 000,00 aan. Die rente op die lening

word gehef teen 18% per jaar, maandeliks saamgestel.

a) Wat is die maandelikse paaiement as jy die lening oor 12 maande vat?

(Bl. 28)Vb) 4

a)

Beleggingstydperk: maandeliks

i = 12

18,0

015,0=

n = 12

Maandelikse

terugbetaling is

R1375,20

Pv = R15000,00

n-i) (1- +1=

iPx v

12-) (1- 1218,0

1218,0

+1

×00,15000=R

x

.....1998,1375= Rx

20,1375≈ Rx

Oefening 6Nr. 1, 2, 3, 5 [saamg. rente by b)], 7

Oefening 61)

20=n

0125,0=12

15,0=i 300= Rx ?=vP

i

][xPv

n-i) + (1-1=

0125,0

]0,0125) + (1-1[300=

-20

vP

00,5280≈

...794,5279=

RP

RP

v

v

01250

2190300=

,

...],[Pv

2)20=n

03,0=4

12,0=i 300= Rx ?=vP

i

][xPv

n-i) + (1-1=

03,0

]0,03) + (1-1[300=

-20

vP

00,4463≈

....242,4463=

RP

RP

v

v

030

,446....0(-1300=

,

][Pv

3)24=n

015,0=12

18,0=i 500= Rx ?=vP

i

][xPv

n-i) + (1-1=

015,0

]0,015) + (1-1[500=

-24

vP

00,01510≈

...202,01510=

RP

RP

v

v

0150

,300...0(-1500=

,

][Pv

5a) 60=n

12

1550=

,i

?=x

00,1443≈

...191,1443=

Rx

Rx

n-i) (1- +1=

iPx v

60-) (1- 12155,0

12155,0

1

00,00060

Rx

.....537,0

775x

00,00060RPv

Die huidige waarde van R60 000 sal na ‘n jaar die Fv

word. Gebruik die formule vir saamgestelde rente. Hulle

“hou” die bedrag vir jou vir ‘n jaar, dus hoef jy nie dadelik

die Pv-formule te gebruik om die x-waarde te bereken nie.

(Bepaal dus die waarde van die lening na 1 jaar.)

5b)

( ) ni+1P=A

( )12

121550+100060=A ,

....,97798969R=A( )...,166100060=A

Die A-waarde (R69 989,977...) sal na ‘n jaar die Pv van die lening word.

60=n12

1550=

,i ?=x ....,97798969R=Pv

00,1683≈

....482,1683

Rx

Rx

n-i) (1- +1=

iPx v

60-) (1- 12155,0

12155,0

1

....977,98969

Rx

.....537,0

.....0372,904x

5c) Afbetaling uitgestel: verhoog d maandelikse

paaiement m R240,00/maand .

(R1683,00 – R1443,00)

Oor 60 maande: ‘n bedrag van ± R14 400,00.

[Vergelyk 5a) en 5b) se waardes.]

7 ai)240=

12×20=n12

10,0=i 1650=x ?=vP

i

][xPv

n-i) + (1-1=

00,981170≈

..620,980170=

RP

RP

v

v

( )12100

-240

120,10+1-11650

= ,v

][P

12100

86301650= ,v

....],[P

7 aii)240=

12×20=n12

10,0=i 1850=x ?=vP

i

][xPv

n-i) + (1-1=

1210,0

-24012

0,10]) + (1-1[1850

=vP

00,706191≈

...544,705191=

RP

RP

v

v

12100

86301850= ,v

....],[P

7 b)240=

12×20=n12

085,0=i 1850=x ?=vP

i

][xPv

n-i) + (1-1=

120,085

-24012

0,085]) + (1-1[1850

=vP

00,177213≈

0537,177213=

RP

RP

v

v

120,085

81601850=

....],[Pv