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D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2005 1

Módulo 5. Resolución efectiva de problemas Presentación

Uno de los de los dilemas de la enseñanza de las matemáticas ha sido si un ejercicio matemático debe llamarse problema. A esta inquietud Pólya (1965) responde con el siguiente argumento:

Un problema es definido como tal cuando no tiene una solución inmediata, sin embargo, hay infinidad de ejercicios matemáticos que no tienen una solución inmediata y que requieren de más recursos metacognitivos para resolverse.

Por tanto, desde esta perspectiva, y para efectos del desarrollo de la serie de estrategias que se verán en el módulo se llamarán problemas a los ejercicios, que cotidianamente en la clase de matemáticas el alumno tiene que resolver

Antes de que el profesor seleccione los problemas que resolverán sus alumnos es fundamental que considere algunos de los puntos que se han estudiado en los módulos anteriores tales como:

Que los temas hayan sido abordados de manera significativa.

Que la enseñanza de los conceptos (aprendizaje declarativo) del tema haya sido clara, así como los algoritmos de los ejemplos resueltos por el profesor (aprendizaje procedimental).

Dosificar los problemas, tanto para la explicación de procedimientos como para aquéllos que resolverá el alumno.

Ofrecerle al alumno estrategias o tips para resolver problemas al momento que se explican los procedimientos.

Motivar al alumno constantemente por pequeños que sean sus logros o progresos.

La intención del docente al seleccionar un problema determinado supone un claro entendimiento de lo que se pretende obtener, ya que de esta manera, es posible determinar claramente si se ha logrado el objetivo.


A continuación se propone una clasificación y su jerarquía para la selección de problemas:

Antes de iniciar con el Tema 1 de este módulo es importante hacer énfasis en la información mencionada por Piaget (1989):

Es necesario:

• estudiar los errores de los alumnos y ver en ellos un medio de conocer su pensamientos matemático;

• impulsar a la práctica del control personal y a la autocorrección;

• dar el sentido de la aproximación…; • dar prioridad a la reflexión y el razonamiento…

* Fuente: Piaget (1989), Oficina Internacional de Educación y UNESCO, sesión 1956, artículo 22, recomendación 43, p. 59.

Ahora bien, una vez seleccionado el tipo de problema es importante que el alumno reconozca qué estrategias puede seguir para resolverlo. Este tema será tratado en el módulo que veremos a continuación.

Comment [p1]: Poner nuevo esquema


Tema 1. Pasos de Pólya Para entender la importancia que tiene George Pólya en la enseñanza de las matemáticas empecemos con una pequeña biografía.

George Pólya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fue maestro en el Instituto Tecnológico Federal en Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EUA y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento de

cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aun más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:

1. Entender el problema. 2. Configurar un plan. 3. Ejecutar el plan. 4. Mirar hacia atrás.

Las aportaciones de Pólya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas introduce su método de cuatro pasos, junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Pólya son: Descubrimiento Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible, Volúmenes I y II. Después de leer la biografía de Pólya, conozcamos el Método de los Cuatro Pasos de Pólya. El Método de Cuatro Pasos de Pólya Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello es importante señalar alguna distinción entre ejercicio y problema.


Esta característica de dar una especie de paso creativo a la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio.

Sin embargo, esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución.

Por ejemplo:

Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas ya que ayudan a aprender conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando se enfrenta la tarea de resolver problemas.

Veamos en qué consiste cada uno de los pasos del método de Pólya.

La más grande contribución de Pólya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. Paso 1. Entender el problema Responder estas preguntas es fundamental para corroborar que el problema ha sido comprendido.

1. ¿Entiendes todo lo que dice? 2. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? 3. ¿Distingues cuáles son los datos? 4. ¿Sabes a qué quieres llegar? 5. ¿Hay suficiente información? 6. ¿Hay información extraña? 7. ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?


Paso 2. Configurar un plan Puedes usar alguna de las siguientes estrategias para configurar un plan.

Paso 3. Ejecutar el plan Una vez configurado el plan es momento de llevarlo a cabo, como se muestra a continuación:

Paso 4. Mirar hacia atrás Una vez resuelto el problema es importante plantearse las siguientes preguntas para verificar que se haya llegado a la solución deseada:

1. ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? 2. ¿Adviertes una solución más sencilla? 3. ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema se trasladan las palabras a una forma equivalente del problema en la que usan símbolos matemáticos, se resuelve esta forma equivalente y luego se interpreta la respuesta. Este proceso es representado en el siguiente ejemplo donde ilustramos el Método de los Cuatro Pasos de Pólya.

Estrategia artificio ingenioso que conduce a un final.

1. Ensayo y error (Conjeturar y probar la conjetura). 2. Usar una variable. 3. Buscar un patrón. 4. Hacer una lista. 5. Resolver un problema similar más simple. 6. Hacer una figura. 7. Hacer un diagrama. 8. Usar razonamiento directo. 9. Usar razonamiento indirecto. 10. Usar las propiedades de los números.

11. Resolver un problema equivalente. 12. Trabajar hacia atrás. 13. Usar casos. 14. Resolver una ecuación. 15. Buscar una fórmula. 16. Usar un modelo. 17. Usar análisis dimensional. 18. Identificar sub-metas. 19. Usar coordenadas. 20. Usar simetría.

Implementar la o las estrategias que seleccionaste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.

Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito, solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento…¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!

No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

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En el siguiente ejemplo, el Método de los Cuatro Pasos de Pólya muestra un caso concreto para alumnos de sexto grado de primaria. El profesor además de proporcionarles la redacción del problema, pide a los alumnos en una clase anterior que lleven cartón, tijeras, pegamento, regla y compás.

La ilustración se realizará mediante un diálogo entre el alumno y el maestro.

Paso 1.- Comprender el problema Maestro: ¿Entiendes todo lo que dice el enunciado? Alumnos: “Mmmm…si…bueno, no me acuerdo que es un cilindro” Maestro: un cilindro es un prisma, por ejemplo, una lata. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? Alumnos: “Si, el señor quiere hacer latas de cartón y quiere saber cuánto necesita” Maestro: cilindros de cartón, ¿está bien? Alumnos: si, perdón,cilindros de cartón, jeje Maestro: ¿Cuáles son los datos? Alumnos: “Nos dan el radio y la altura del cilindro” Maestro: ¿Sabes a qué quieres llegar? Alumnos: “Nos piden el volumen”...”no, nos piden el área”,.”No, el volumen” Maestro: Mmm…díganme qué es un volumen y qué es un área. Alumnos: “El volumen es el líquido que le cabe al cilindro” “El área es la superficie de un objeto” Maestro: entonces, ¿qué le sirve al fabricante, un volumen o un área para construir los cilindros? Alumnos: “¡El área!” Maestro: entonces ya saben a dónde llegar.¿Hay suficiente información? Alumnos: “No sabemos la fórmula para calcular el área de un cilindro” Maestro: ¿Hay información extraña? Alumnos: “Si, nos dan los datos para calcular el volumen pero necesitamos calcular el área” Maestro: ¿Este problema es similar a algún otro que hayas resuelto antes? Alumnos: “Mmmm…se parece cuando calculábamos áreas de círculos, triángulos, rectángulos, cuadrados” Paso 2.- Configurar un plan Maestro: ¿Cuál estrategia puede ayudarte? Alumnos: “Mmm, hacer un dibujo” “Buscar fórmulas de áreas” Maestro: ¿Qué tal si construyen un cilindro con la cartulina que trajeron de su casa? Alumnos: “¡Si es buena idea!” Paso 3.- Ejecutar un plan Alumnos: “Ya hicimos el cilindro en dibujo, pero no tenemos fórmulas para calcular el área del cilindro” “Si, ya busqué en los apuntes y no tenemos esa fórmula” “No lo puedo resolver” Maestro: “Tranquilos, claro que sí pueden”, “Observen bien el dibujo que hicieron ahí está la respuesta” “Las fórmulas que ya conocen nos pueden servir” Alumnos: “Mmm…puedo tomar su lata” “Aquí hay dos círculos” Maestro: Muy bien, se acercan…


Alumnos: “lo demás es un…cuadrado?” “no…es un rectángulo” “ya se…si sumamos las áreas tenemos el área del cilindro” Maestro: Muy bien!! entonces, ¿qué figuras forman el cilindro? Alumnos: “Dos círculos y un rectángulo” Maestro: ¡¡Correcto!! Alumnos: “Yo calculo el área del círculo…es igual a 9 por pi...28.26 cm2” “Yo calculo el área del rectángulo, es base por altura…la base es…mmm…la altura es 20, la base es…no tenemos la base…mmm” Maestro: Observen muy bien la lata, ¿qué es la base? Alumnos: Mmmm…”ya sé ¡es la circunferencia!” Maestro: Claro que si, ¡muy bien! Alumnos. “Entonces ya puedo…la base es pi por diámetro…si el radio es 3 entonces el diámetro mide 6…6 por pi es 18. 84 cm…el área del rectángulo es 18.84 por 20, es igual a 376.8 cm2” “El área del cilindro es 28.26+28.26+376.8…es igual a 433.51 cm2

Paso 4.- Mirar hacia atrás Alumnos: ¡La respuesta es 433.51 cm2¡ Maestro: ¿Están seguros? Alumnos: “¿está mal?” Maestro: No del todo, lean el problema otra vez Alumnos: “Nos piden el material para 10 cilindros” “Entonces multiplicamos el resultado por 10! Maestro: ¡Claro que si! Alumnos: El fabricante necesita 4335.11 cm2 de cartón para construir 10 cilindros. Maestro: Aproximadamente 4335.11 cm2, tal vez necesite un poco más para pegar las piezas, sin embargo, esta aproximación le dará una idea clara de cuanto material necesita, ¿están de acuerdo? Entonces, ¿qué van a hacer cuando les pidan el área de cuerpos geométricos? Alumnos: “Mmm…calculamos el área de sus caras y luego las sumamos” Maestro: Excelente, muy bien. El método de Pólya, ya sea en su versión original de cuatro pasos o en cualquiera de las distintas versiones que aparecen en los libros de texto, ha demostrado ser una técnica pedagógica efectiva a la hora de favorecer el desempeño de los alumnos en la resolución de problemas (Pólya 1980). Se ha animado a los profesores a que utilicen este método en sus clases, para ello se han expuesto numerosas formas de hacerlo. Algunos investigadores han sugerido que los profesores…

Sea cual fuere la aplicación del método de Pólya en el salón de clases, es importante que el profesor domine a la perfección los pasos, para así orientar de

manera más efectiva al alumno en la resolución de problemas.


A continuación veamos los Diez Mandamientos para los Profesores de Matemáticas de Pólya. Pólya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. En suma, dejó los siguientes "Diez Mandamientos para los Profesores de Matemáticas": Antes de concluir el tema veamos algunas sugerencias más, hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas.

1. Demuestre interés por su materia. Si el profesor se aburre, toda la clase se aburrirá.

2. Domine su materia. Si un tema no le interesa personalmente, no lo enseñe, porque no será usted capaz de enseñarlo adecuadamente. El interés es una condición necesaria, pero no suficiente. Cualesquiera que sean los métodos pedagógicos utilizados, no conseguiréis explicar algo claramente a vuestros estudiantes si antes no lo habéis comprendido perfectamente. De ahí este segundo mandamiento. El interés es el primero, porque, con escasos conocimientos junto con una falta de interés, se puede uno convertir en un profesor excepcionalmente malo.

3. Sea instruido en las vías del conocimiento: el mejor medio para aprender algo es descubrirlo por sí mismo.

Se puede obtener gran provecho de la lectura de un buen libro o de la audición de una buena conferencia sobre la psicología del acto de aprender. Pero leer y escuchar no son absolutamente necesarios y en todo caso no son suficientes: hay que conocer las vías del conocimiento, estar familiarizados con el proceso que conduce de la experiencia al saber, gracias a la experiencia de vuestros propios estudios y a la observación de vuestros estudiantes.

4. Trate de leer en el rostro de sus estudiantes, intente adivinar sus esperanzas y sus dificultades; póngase en su lugar.

Aunque uno se interese por el tema, lo conozca bien, se comprendan los procesos de adquisición de los conocimientos, se puede ser un mal profesor. Es raro, pero muchos hemos conocido profesores que, siendo perfectamente competentes, no eran capaces de establecer contacto con su clase. Ya que la enseñanza del uno debe acompañarse por el aprendizaje del otro, tiene que existir un contacto entre el Profesor y el estudiante. La reacción del estudiante a vuestra enseñanza depende de su pasado, de sus perspectivas y de sus intereses. Por lo tanto, téngase en consideración lo que saben y lo que no saben; lo que les gustaría saber y lo que no les importa; lo que deben conocer y lo que no importa que no sepan.

5. No les deis únicamente "saber", sino "saber hacer", actitudes intelectuales, el hábito

de un trabajo metódico. El conocimiento consiste, parte en "información" y parte en "saber hacer". El saber hacer es el talento, es la habilidad para hacer uso de la información con un fin determinado; se puede describir como un conjunto de actitudes intelectuales; es la capacidad para trabajar metódicamente. En Matemáticas, el "saber hacer" se traduce en una aptitud para resolver problemas, construir demostraciones, examinar con espíritu crítico soluciones y pruebas. Por eso, en Matemáticas, la manera cómo se enseña es tan importante como lo que se enseña.


6. Enseñadles a conjeturar. Primero imaginar, después probar. Así es como procede el descubrimiento, en la mayor parte de los casos.

El profesor de Matemáticas tiene excelentes ocasiones para mostrar el papel de la conjetura en el campo del descubrimiento y hacer así que los estudiantes adquieran una actitud intelectual fundamental. La conjetura razonable debe estar fundada en la utilización juiciosa de la evidencia inductiva y de la analogía, y encierra todos los conocimientos plausibles que pueden intervenir en el método científico.

7. Enseñadles a demostrar. "Las matemáticas son una buena escuela de razonamiento demostrativo". De hecho, la verdad va más allá: las matemáticas pueden extenderse al razonamiento demostrativo, que se infiltra en todas las ciencias desde que alcanzan un nivel matemático y lógico suficientemente abstracto y definido.

8. En el problema que estéis tratando, distinguid lo que puede servir, más tarde, a

resolver otros problemas - intentad revelar el modelo general que subyace en el fondo de la situación concreta que afrontáis.

Cuando presentéis la solución de un problema, subrayad sus rasgos instructivos. Una particularidad de un problema es instructiva si merece ser imitada. Un aspecto bien señalado, en un problema, y vuestra solución puede transformarse en un modelo de resolución, en un esquema tal que, imitándole, el estudiante pueda resolver otros problemas.

9. No reveléis de pronto toda la solución; dejad que los estudiantes hagan

suposiciones, dejadles descubrir por sí mismos siempre que sea posible. He aquí una pequeña astucia fácil de aprender: cuando se empieza a discutir la solución de un problema, dejad que los estudiantes adivinen su solución. Quien tiene una idea o la ha formulado, se ha comprometido: debe seguir el desarrollo de la solución para ver si lo que ha conjeturado es exacto o no, con lo que no puede despistarse. Voltaire decía: "El secreto para ser aburrido es decirlo todo".

10. No inculquéis por la fuerza, sugerid. Se trata de dejar a los estudiantes tanta libertad e iniciativa como sea posible, teniendo en cuenta las condiciones existentes de la enseñanza. Dejad que los estudiantes hagan preguntas; o bien planteadles cuestiones que ellos mismos sean capaces de plantear. Dejad que los estudiantes den respuestas; o bien dad respuestas que ellos mismos sean capaces de dar.

A continuación presentamos algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas (Hernández y Villalba, 1994):

1. Acepta el reto de resolver el problema. 2. Rescribe el problema en tus propias palabras. 3. Toma tiempo para explorar, reflexionar, pensar... 4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. 5. Si es apropiado, trata el problema con números simples. 6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no

dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.

7. Analiza el problema desde varios ángulos. 8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9. Muchos problemas se pueden resolver de distintas formas: sólo se necesita encontrar una

para tener éxito. 10. No tengas miedo de hacer cambios en las estrategias.


11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.

12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.

13. Siempre, siempre mira hacia atrás: trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución.

14. Ten cuidado de dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.

15. Ayuda a que otros compañeros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: no les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.

16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.


Tema 2. Pensamiento crítico Empecemos este tema explicando por qué es importante el Pensamiento crítico.

Para ello, es imprescindible conocer y reflexionar sobre el fundamento del pensamiento crítico y creativo desde una perspectiva amplia, que va más allá de la

definición de términos y la descripción de habilidades y técnicas.

Se debe tomar el reto de explorar el origen del ser crítico y creativo en la actividad consciente e intencional, y tratar de descubrir algunas implicaciones personales, grupales y sociales del

desarrollo de estas potencialidades en los alumnos.

En resumen, este módulo pretende dar a conocer los preceptos esenciales que permiten al docente incluir una herramienta didáctica que les permita formar

personas críticas y creativas y –en consecuencia– posibilita una educación acorde con el avance que experimentan todas las áreas del desarrollo humano en la

actualidad.

El principal problema que se presenta al incluir el pensamiento crítico como herramienta de enseñanza es que todo mundo piensa:


… y no se toma en cuenta que, mucho de nuestro pensar, por sí solo, es:

•• arbitrario,

•• distorsionado,

•• parcializado,

•• desinformado o

•• prejuiciado.

Podemos definir pensamiento crítico de la siguiente manera:

Es decir, permite el desarrollo de estructuras de pensamiento que consideren no sólo el conocimiento en sí, sino lo amplían en los aspectos que lo rodean desde su generación hasta su evaluación. Una vez logrado, el resultado esperado es que un pensador crítico:

“es parte de nuestra naturaleza”

El pensamiento crítico es ese modo de pensar – sobre cualquier tema, contenido o problema – en el cual el pensante mejora la calidad de su pensamiento al apoderarse de las estructuras inherentes del acto de pensar y al someterlas a estándares intelectuales.


En resumen, el Pensamiento crítico:

•• Es auto-dirigido, auto-disciplinado, autorregulado y auto-corregido.

•• Supone someterse a rigurosos estándares de excelencia y dominio consciente de su uso.

•• Implica comunicación efectiva y habilidades de solución de problemas y;

•• Es un compromiso de superar el egocentrismo y socio centrismo natural del ser humano.

A continuación veamos cómo funciona el mecanismo de acción del Pensamiento crítico. Con la finalidad de ilustrar de una forma más sencilla el mecanismo de acción del Pensamiento crítico, utilizaremos una lista de cotejo para razonar: 1. Todo razonamiento tiene un PROPÓSITO: Dé oportunidad al alumno de:

•• Tomarse el tiempo necesario para expresar su propósito con claridad.

•• Distinguir su propósito de otros propósitos relacionados.

•• Verificar periódicamente que continúa enfocado.

•• Escoger propósitos realistas y significativos. 2. Todo razonamiento es un intento de solucionar un problema, resolver una pregunta o explicar

algo. Dé al alumno el tiempo necesario para:

•• Expresar la pregunta en cuestión.

•• Formular la pregunta de varias formas para clarificar su alcance.

•• Seccionar la pregunta en subpreguntas.

•• Identificar si la pregunta tiene sólo una respuesta correcta, si se trata de una opinión o si requiere que se razone desde diversos puntos de vista.

Acumula y evalúa información relevante, y utiliza ideas abstractas para interpretar esa información efectivamente.

2 Formula problemas y preguntas vitales, con claridad y precisión.

1 Llega a conclusiones y soluciones, probándolas con criterios y estándares relevantes.

3

Piensa con una mente abierta dentro de los sistemas alternos de pensamiento; reconoce y evalúa, según es necesario, los supuestos, implicaciones y consecuencias prácticas.

4 Al idear soluciones a problemas complejos se comunica efectivamente.

5


3. Todo razonamiento se fundamenta en SUPUESTOS.

•• Permita al alumno identificar claramente los supuestos y determine si son justificables.

•• Dé oportunidad para que considere cómo sus supuestos dan forma o determinan su punto de vista.

4. Todo razonamiento se hace desde una PERSPECTIVA.

•• Permita que el alumno identifique su punto de vista o perspectiva.

•• Propicie que busque otros puntos de vista e identifique sus fortalezas y sus debilidades.

•• Motívelo a esforzarse por ser parcial al evaluar todos los puntos de vista.

5. Todo razonamiento se fundamenta en DATOS, INFORMACIÓN y

EVIDENCIA.

•• Ayude al alumno a limitar sus afirmaciones a aquellas apoyadas por los datos que tenga.

•• Rételo a que recopile información contraria a su posición tanto como información que la apoye.

•• Asegúrese de que: aa)) Toda la información usada es clara, precisa y relevante a la pregunta en cuestión. bb)) El alumno ha recopilado suficiente información.

6. Todo razonamiento se expresa mediante CONCEPTOS e IDEAS que, simultáneamente le dan

forma.

•• Ayude al alumno a identificar los conceptos claves y rételo a que los explique con claridad.

•• Propicie la consideración de conceptos alternos o definiciones alternas de los conceptos.

•• Asegúrese de que el alumno usa los conceptos con cuidado y precisión. 7. Todo razonamiento contiene INFERENCIAS o INTERPRETACIONES a través de las cuales se

llega a CONCLUSIONES que dan significado a los datos.

•• Enseñe al alumno a inferir sólo aquello que se desprenda de la evidencia.

•• Verifique que las inferencias sean consistentes entre sí.

•• Identifique las suposiciones que lo llevan a formular sus inferencias. 8. Todo razonamiento tiene un fin o tiene IMPLICACIONES y CONSECUENCIAS.

•• Pida al alumno que esboce las implicaciones y consecuencias de su razonamiento.

•• Permítale identificar las implicaciones positivas y negativas.


•• Motívelo a que considere todas las consecuencias posibles. Una vez estudiado los elementos que componen el mecanismo del Pensamiento crítico, veamos qué preguntas responden a cada uno de ellos. En un trabajo, actividad, lectura asignada o resolución de un problema los elementos del pensamiento utilizan las siguientes preguntas: Elemento del pensamiento Preguntas que utiliza

Propósito ¿Qué trato de lograr?

¿Cuál es mi meta central?

¿Cuál es mi propósito?

Información ¿Qué información estoy usando para llegar a esa conclusión?

¿Qué experiencias he tenido para apoyar esta afirmación?

¿Qué información necesito para resolver esa pregunta?

Inferencias/Conclusiones

¿Cómo llegué a esta conclusión?

¿Habrá otra forma de interpretar esta información?

Conceptos ¿Cuál es la idea central?

¿Puedo explicar esta idea?

Supuestos ¿Qué estoy dando por sentado?

¿Qué suposiciones me llevan a esta conclusión?

Implicaciones/ Consecuencias

Si alguien aceptara mi posición,

¿Cuáles serían las implicaciones?

¿Qué estoy insinuando?

Puntos de vista

¿Desde qué punto de vista estoy acercándome a este asunto?

¿Habrá otro punto de vista que deba considerar?

Preguntas ¿Qué pregunta estoy formulando? Una vez visto esto, veamos qué papel juegan los Estándares intelectuales universales en el Pensamiento crítico.


2.1 Estándares intelectuales universales

Para ayudar a los estudiantes a aprenderlos, los profesores deben formular preguntas que:

•• Exploren su capacidad de pensar críticamente.

•• Provoquen que los estudiantes se responsabilicen por su pensamiento.

•• Al formularse con regularidad en el aula, se vuelvan parte de las preguntas que los estudiantes necesitan formular.

La meta final es que estas preguntas se fusionen en el proceso de pensar de los estudiantes hasta que se conviertan en parte de su voz interior, lo que los guiará a un mejor proceso de razonamiento.


Veamos cuáles son los Estándares intelectuales universales. Algunos Estándares intelectuales universales y las preguntas que se pueden usar para aplicarlos son:

La claridad es un estándar esencial. Si un planteamiento es confuso, no se puede saber si es exacto o relevante. De hecho, no se puede opinar sobre el mismo ya que no sabemos qué dice.

Preguntas para aplicarlo:

• ¿Podría ampliar sobre ese asunto?

• ¿Podría darme un ejemplo? • ¿Podría ilustrar lo que quiere

decir?

1. Claridad

Por ejemplo,

La pregunta ¿Qué puede hacerse con los números primos? no es clara

Para poder contestar la pregunta, tendríamos que clarificar lo que la persona que la hace considera que es “el problema”.

Una pregunta más clara sería:

¿Qué utilidad tienen los números primos en la resolución de problemas aritméticos?

Un enunciado puede ser claro pero inexacto.Preguntas para aplicarlo:

¿Es posible verificar eso? ¿Es posible saber con

certeza si eso es cierto? ¿Cómo se puede probar?

2. Exactitud

Por ejemplo,

“La mayoría de los perros pesan sobre 300 libras.”


No se sabe de cuánto estamos hablando, si una libra o 500.

Un planteamiento puede ser claro y exacto pero impreciso.

Preguntas para aplicarlo: ¿Puede ser más

específico? ¿Puede ofrecer más

detalles?

3. Precisión

Por ejemplo,

“José tiene sobrepeso.”

Un planteamiento puede ser claro, exacto y preciso pero irrelevante al asunto o a la pregunta.

Preguntas para aplicarlo: ¿Qué relación tiene con el

problema? ¿Cómo afecta eso al problema?

4. Relevancia

Por ejemplo,

A menudo los estudiantes piensan que se debe considerar, al calcular la calificación de un curso, la cantidad de esfuerzo que el estudiante puso en el mismo.

Muchas veces ese “esfuerzo” nada tiene que ver con la calidad del aprendizaje del estudiante…

Sin embargo,

el esfuerzo no es relevante como parte de la calificación.

en cuyo caso,


“Diga no a las drogas”

Un enunciado puede ser claro, exacto, preciso y relevante pero superficial, es decir, poco profundo.

Preguntas para aplicarlo: ¿Qué hace de esto un

problema particularmente difícil?

¿Cuáles son algunas de las dificultades de esta pregunta?

¿A qué complicaciones habría que enfrentarse?

¿En qué medida la respuesta contesta la pregunta en toda su complejidad?

¿Atiende la respuesta los aspectos más importantes y significativos?

5. Profundidad

Por ejemplo,

La frase, es clara, precisa, exacta y relevante.

No obstante, carece de profundidad

Trata un problema extremadamente complejo como lo es el uso de sustancias controladas entre los adolescentes, de forma superficial. No atiende las complejidades que implica.

porque

Una línea de razonamiento puede ser clara, exacta, precisa, relevante y profunda pero carecer de amplitud.

Preguntas para aplicarlo: ¿Habría que examinar esto desde

otra perspectiva? ¿Habría que considerar otro punto

de vista? ¿Habría que estudiar esto de otra

forma? ¿Qué habría que considerar desde

un punto de vista conservador o liberal?

6. Amplitud

Por ejemplo,

Un argumento desde un punto de vista conservador o liberal que profundice en un asunto pero se limite a sólo un lado.

Cuando pensamos ordenamos una serie de ideas.Preguntas para aplicarlo:

¿Tiene esto sentido?

¿Existe una relación entre el primer y el último párrafo?

Eso que dice ¿se desprende de la evidencia?

7. Lógica

Cuando las ideas combinadas se apoyan entre sí y tienen sentido,

Cuando las ideas combinadas no se apoyan entre sí, se contradicen o sencillamente “no tienen sentido”,

el pensamiento es lógico. es que no hay lógica.


Lograr integrar el Pensamiento crítico en el aula requiere de mucho trabajo, dominio del tema y sobre todo de mucha paciencia. Por lo que constantemente surge la siguiente pregunta:

A continuación veamos cuáles son los pasos hacia el desarrollo del Pensamiento crítico.

Preguntas para aplicarlo: ¿Es éste el problema más

importante que hay que considerar?

¿Es esta la idea central en la que hay que enfocarse?

¿Cuál de estos datos es el más importante?

8. Importancia El término importancia implica el valor de algo. En ese sentido, como estándar intelectual, el término se refiere a dimensionar equilibradamente la categoría y dimensión de un problema en comparación de otros

Por ejemplo: En la situación: “Alcanzar las metas económicas es más importante que lograr las metas sociales” debe darse importancia a las características de cada una de las metas para establecer y poder emitir un juicio.

Este rubro tiene que ver más con cuestiones de índole ética y moral; la justicia implica un serio compromiso con uno mismo para determinar el grado de parcialidad o imparcialidad que se tiene frente a un problema

Preguntas para aplicarlo: ¿Tengo un interés personal en

este asunto? ¿Represento los puntos de vista

de otros justamente?

9. Justicia

Comment [p2]: Cambiar esquema


2.2 Los pasos hacia el desarrollo del Pensamiento crítico Los expertos enumeran una serie de pasos que se debe seguir para llegar a ser un pensador maestro. Veamos el siguiente diagrama.

Lograr un nivel elevado de Pensamiento crítico requiere pensar críticamente en todos los aspectos de la vida, desde los humanísticos hasta los matemáticos.

El verdadero valor del Pensamiento crítico estriba en las posibilidades de ampliar la simple resolución de un problema a un horizonte de posibilidades en donde tiene cabida la reflexión sobre las consecuencias e implicaciones de los procesos. Esto es en sí mismo una gran ventaja que permite el desarrollo académico e intelectual de los estudiantes.


Tema 3. Pensamiento creativo

En todos los momentos de la vida se presentan situaciones y problemas, los cuales requieren ser solucionados, y para que esto se dé….

El desarrollo de la creatividad es fundamental para enfrentar las situaciones diarias con un Pensamiento creativo.

Con la finalidad de entender el papel que juega el cerebro en el desarrollo de la creatividad veamos cómo trabajan los hemisferios cerebrales.

Los hemisferios cerebrales tienden a dividirse las principales funciones intelectuales; en este sentido…

No obstante, investigaciones posteriores de otros científicos pudieron determinar que aunque cada lado del cerebro es dominante en actividades específicas, ambos están capacitados en todas las áreas hallándose distribuidas en toda la corteza cerebral.

A lo largo de este tema abordaremos los aspectos, las características, las etapas del Pensamiento creativo, así como algunas estrategias creativas para facilitar la interpretación y el análisis de problemas.


3.1 La creatividad y su estimulación

La creatividad supone por lo menos tres condiciones:

1) Una idea o respuesta nueva debe ser producida. 2) Esta idea o respuesta debe resolver un problema o alcanzar cierta meta, y 3) El conocimiento original debe ser mantenido y desarrollado al máximo.

También se considera la conducta creadora como la que es constituida por cualquier actividad en la que el hombre impone un nuevo orden sobre su medio ambiente, la cual puede o no suponer la creación de una estructura organizada.

¿Cuáles son las características de una persona creadora?

Veámoslas a continuación.

En la Universidad de California han trabajado algunos investigadores durante muchos años en la estimación de aquellas características, que juntas, constituyen a la persona creadora.

Los resultados de estos estudios indican que la persona creadora raramente satisface el estereotipo de ella hecho por el ego.

Otras características del individuo creativo son:

•• Conducta dominante.

•• Alto nivel de energía que aporta a su trabajo.

•• Inteligencia superior a la media, aunque la inteligencia sola no hace creatividad.

•• Alto aprecio de los valores estéticos y teóricos.

•• En los varones una falta de interés por representar el papel masculino.

•• Introversión, en vez de extroversión.

La creatividad se extiende en el tiempo en vez de limitarse en un breve episodio, y se caracteriza por su originalidad, adaptación y realización.


•• Independencia de pensamiento y acción.

•• Trabajo académico superior al medio.

Veamos algunas definiciones de Pensamiento creativo.

3.2 El pensamiento creativo

El Pensamiento creativo se puede definir de varias maneras.

Halpern (1984) afirma que "se puede pensar de la creatividad como la habilidad de formar nuevas combinaciones de ideas para llenar una necesidad", incorporando las nociones de pensamiento crítico y de pensamiento dialéctico.

Por su parte, Barron (1969) explica que:

Perkins (1984) destaca una característica importante del pensamiento creativo:

Perkins implica que para enseñar creatividad, el producto de los alumnos deber ser el criterio último. Sin embargo, sin importar lo divergente del pensamiento de diferentes alumnos, éste da pocos frutos si no se traduce en alguna forma de acción…


En este sentido, los aspectos del pensamiento creativo son:

1. La creatividad tiene lugar en conjunto con intenso deseo y preparación.

Una falacia común acerca de la creatividad es que ésta no requiere trabajo y pensamiento intenso. Harman y Rheingold (1984) notan que las precondiciones usuales de la creatividad son un aferramiento prolongado e intenso con el tema. Citan al gran compositor Strauss diciendo:

22.. La creatividad incluye trabajar en el límite y no en el centro de la propia capacidad.

Dejando de lado el esfuerzo y el tiempo, los individuos creativos están prestos a correr riesgos al perseguir sus objetivos y se mantienen rechazando alternativas obvias, porque están tratando de empujar los límites de su conocimiento y habilidades.

33.. La creatividad requiere un locus interno de evaluación en lugar de un locus externo.

Subyacente a la habilidad de la gente creativa para correr riesgos se encuentra una confianza en sus propios estándares de evaluación.

"Puedo decirte de mi propia experiencia que un deseo ardiente y un propósito fijo, combinado con una intensa resolución traen resultados. El pensamiento concentrado y determinado es una fuerza tremenda"

Los pensadores creativos no se satisfacen simplemente con "lo que salga". Más bien, tienen la necesidad siempre presente de "encontrar algo que funcione un poco mejor, que sea más eficiente, que ahorre un poco de tiempo."


•• Los individuos creativos buscan en sí mismos y no en otros la validación y el juicio de su trabajo.

•• La persona creativa tolera y con frecuencia conscientemente busca trabajar solo, creando una zona de tope que mantiene al individuo en cierta manera aislado de las normas, las prácticas y las acciones.

•• No es sorprendente entonces que mucha gente creativa no sea bien recibida de inicio por sus contemporáneos.

Relacionada estrechamente con el locus de evaluación, está la cuestión de la motivación.

44.. La creatividad incluye reformular ideas.

Este aspecto de la creatividad es el que más comúnmente se enfatiza, aunque diferentes teóricos lo describen en diferentes maneras.

Para comprender cómo se reformula una idea, deberíamos considerar cómo una idea se estructura.

La gente usa esquemas para encontrar sentido al mundo.

Los esquemas son:

Característicamente, la persona creativa tiene la habilidad de mirar el problema de un marco de referencia o esquema y luego de manera consciente cambiar a otro marco de referencia, dándole una perspectiva completamente nueva. Este proceso continúa hasta que la persona ha visto el problema desde muchas perspectivas diferentes.


Cuando las tácticas analíticas o inferenciales directas fallan en producir una solución creativa, la persona creativa con frecuencia forja lazos con diferentes estructuras. En la medida que estas estructuras son elaboradas pueden salir nuevas y poderosas soluciones. Por ejemplo:

•• Los científicos que trabajaban en la teoría de la electricidad lograron un gran avance cuando vieron similitudes en la estructura entre la electricidad y los fluidos.

•• La imaginería creativa de la poesía con frecuencia incluye el uso de la metáfora y la analogía.

55.. La creatividad algunas veces puede ser facilitada alejándose de la involucración intensa por un tiempo para permitir un pensamiento que fluya con libertad.

Algunos teóricos han señalado varias maneras en que la gente creativa bloquea distracciones, permitiendo que los insights lleguen a la conciencia. Por ejemplo:

•• Stein (1974) nota que bajaba las persianas durante el día para evitar la luz;

•• A Proust le gustaba trabajar en un cuarto aislado con corcho;

•• Ben Johnson escribió mejor mientras bebía té y disfrutaba el olor de las cáscaras de naranja.

El principio de trabajo subyacente a todos estos esfuerzos era crear una atmósfera en la cual el pensamiento inconsciente pudiera llegar a la superficie.

Los mayores descubrimientos científicos ocurrieron durante períodos de "pensamiento inconsciente".

La raíz de nuestro aprendizaje.

2 La base de toda nuestra percepción y comprensión del mundo.

1 La fuente de todas las esperanzas y temores, motivos y expectativas.

3

Enseñar pensamiento creativo requiere el uso de actividades que fomenten en los alumnos el ver las similitudes en eventos y entidades que comúnmente no están unidas.

Después de mucha preparación, intensidad considerable, y muchos intentos de tener un insight en varias maneras, en algún punto la gente creativa parece "abandonarse" de su enfoque racional y crítico a los problemas de la invención y la composición, y permiten que las ideas fluyan libremente, con poco control consciente.


Las explicaciones a estos fenómenos son diversas.

Harman y Rheingold (1984) afirman que la mente inconsciente procesa mucha más información que lo que nos damos cuenta; tiene acceso a información imposible de obtener a través del análisis racional.

Por implicación entonces, la mente inconsciente se enfrasca en una manera mucho más comprensiva y diferente de procesar que la mente consciente. Por lo tanto deberíamos de tratar activamente de desarrollar técnicas (como la meditación) para tener acceso al inconsciente, ya que éste es una fuente de información que de otra manera es inaccesible.

Sin importar si la mente consciente realmente procesa información o si la mente consciente lo hace tan rápido que no nos damos cuenta, mucha gente creativa encuentra que cuando dejan de trabajar en un problema por un tiempo, algunas veces obtienen nuevas y útiles perspectivas.

Una vez vistos los aspectos, veamos las características del Pensamiento creativo.

3.3 Características esenciales del pensamiento creativo

Es importante tomar en consideración que desarrollar la creatividad no es sólo emplear técnicas atractivas o ingeniosas por sí mismas; desarrollar la creatividad implica incidir sobre varios aspectos del pensamiento; las cuatro características más importantes del pensamiento creativo son:

1. Fluidez

Se refiere a la capacidad de generar una cantidad considerable de ideas o respuestas a planteamientos establecidos.

En este caso se busca que el alumno pueda utilizar el pensamiento divergente, con la intención de que tenga más de una opción a su problema; no siempre la primera respuesta es la mejor; estamos acostumbrados a quedarnos con la primera idea que se nos ocurre, sin ponernos a pensar si realmente será la mejor.

Por ejemplo: pensar en todas las formas posibles de hacer el festejo a Benito Juárez, no sólo las formas tradicionales de eventos que siempre hemos practicado.

2. Flexibilidad

Considera manejar nuestras alternativas en diferentes campos o categorías de respuesta; es voltear la cabeza para otro lado buscando una visión más amplia o diferente a la que siempre se ha visto.


Por ejemplo: pensar en 5 diferentes formas de combatir la contaminación sin requerir dinero; es posible que todas las anteriores respuestas sean soluciones que tengan como eje la compra de equipo o insumos para combatir la contaminación, y cuando se les hace esta pregunta los invitamos a ir a otra categoría de respuesta que nos da alternativas diferentes para seleccionar la más atractiva.

3. Originalidad

Es el aspecto más característico de la creatividad y que implica pensar en ideas que nunca a nadie se le han ocurrido o visualizar los problemas de manera diferente; esto trae como consecuencia poder encontrar respuestas innovadoras a los problemas.

Por ejemplo: encontrar la forma de resolver el problema de matemáticas como a nadie se le ha ocurrido.

Existen otras características del pensamiento creativo, sin embargo, las cuatro anteriores son las que más lo identifican.

Una producción creativa tiene en su historia de existencia momentos en los que se pueden identificar las características antes descritas, aunque físicamente en el producto sólo podamos identificar algunas de ellas.

Esto significa que la creatividad no es por generación espontánea, existe un camino en la producción creativa que podemos analizar a partir de revisar las etapas del proceso creativo.

3.4 Las etapas del proceso creativo

El proceso creativo ha sido revisado por varios autores, encontramos que los nombres y el número de las etapas pueden variar entre ellos, pero hacen referencia a la misma categorización del fenómeno.

En este apartado tomaremos las etapas del proceso creativo más comunes, aquéllas que en el trabajo con niños se han identificado plenamente.

1. Preparación

Se identifica como el momento en que se están revisando y explorando las características de los problemas existentes en su entorno, se emplea la atención para pensar sobre lo que quiere intervenir.

Algunos autores llaman a esta etapa de cognición, en la cual los pensadores creativos sondean los problemas.


2. Incubación

Se genera todo un movimiento cognoscitivo, donde se establecen relaciones de todo tipo entre los problemas seleccionados y las posibles vías y estrategias de solución; se juega con las ideas desde el momento en que la solución convencional no cubre con las expectativas del pensador creativo.

Existe una aparente inactividad, pero en realidad es una de las etapas más laboriosas, ya que se visualiza la solución desde puntos alternos a los convencionales.

La dinámica existente en esta etapa nos lleva a alcanzar un porcentaje elevado en la consecución del producto creativo y a ejercitar el Pensamiento creativo, ya que se utilizan:

•• analogías

•• metáforas

•• la misma imaginería

•• el empleo de imágenes y símbolos

…para encontrar la idea deseada.

Algunos autores denominan a esta etapa como de combustión de las ideas.

Perkins (1981), citado en Gellatly (1997) sugiere una visión alternativa de la incubación,

Considerar un tipo especial de

pensamiento inconsciente…

Deja abierta la posibilidad de…

…en esta etapa de la creatividad

…genera ideas nuevas a partir de

procesos cognoscitivos

comunes…

el olvido fructífero, el refresco físico y

psíquico, la observación de

nuevas pistas en experiencias no relacionadas,

el reconocimiento contrario,

que como

El objetivo fundamental de la combustión es aumentar las alternativas de solución que se tiene; las personas creativas se caracterizan por la habilidad que tienen de generar fácilmente ideas alternativas.


3. Iluminación

Es el momento crucial de la creatividad, es lo que algunos autores denominan la concepción.

Es lo que mucha gente cree que es la creatividad: ese insight que sorprende incluso al propio pensador al momento de aparecer en escena, pero que es resultado de las etapas anteriores.

Es cuando se "acomodan" las diferentes partes del rompecabezas y resulta una idea nueva y comprensible.

4. Verificación

Es importante mencionar que este proceso ayuda a visualizar las fases de producción de las ideas creativas, pero también nos permite pensar en las etapas que podemos trabajar en el aula para:

1. Identificar si se está gestando alguna idea que pueda llegar a ser creativa. 2. Saber en qué momento del proceso se encuentra cada uno de nuestros alumnos. 3. Reconocer las necesidades de apoyo requerido para enriquecer el proceso y lograr que el

Pensamiento creativo en el aula sea cada vez más cotidiano y efectivo.

Después de conocer las etapas del proceso creativo es importante tomar en cuenta los factores que influyen en el desarrollo del talento creador. Veámoslos a continuación.

Es el eureka de Arquímedes, en donde repentinamente se contempla la solución creativa más clara que el agua.

Es la estructuración final del proceso en donde se pretende poner en acción la idea, para ver si realmente cumple con el objetivo para el cual fue concebida; es el parámetro para confirmar si realmente la idea creativa es efectiva o sólo fue un ejercicio mental.


3.4 Desarrollo del talento creador

Cantidad considerable de pruebas de investigación sugieren que intervienen tanto factores genéticos como del medio ambiente en el desarrollo de la facultad creadora.

Por consiguiente, resulta de importancia comprender algo acerca del tipo del medio ambiente en que viven las personas que tienen capacidad creadora y en el que se han desarrollado sus facultades creadoras.

No es fácil para el ego apreciar la gran importancia que tienen los factores del medio ambiente en el desarrollo de las facultades creadoras.

Por ejemplo: cuando examinamos los antecedentes vitales de algunos de nuestros más grandes compositores, vemos que:

•• Mantel tocaba el clavecín cuando sólo era un niño y que componía a la edad de seis años.

•• Mozart tocaba el clavecín a la edad de 3 años, componía a los 4 y andaba ya en giras musicales a la edad de 6 años.

Otro de los factores que influyen en el desarrollo del talento creador es la cultura.

El ambiente cultural tiende a fomentar o retardar el desarrollo de determinadas clases de talento creador.

Para investigar la relación existente entre el grado de trabajo creador y el grado en que determinadas culturas honran el talento creador Torrance (1965) se valió de niños del primero hasta el sexto año en 11 diferentes culturas:

A los niños se les hizo pasar una prueba de pensamiento creador y su calificación fue comparada con dos medidas del grado en que esas culturas honran el talento creador.

Sin embargo, dos factores nos demuestran que, aunque indudablemente estos hombres tenían las características hereditarias requeridas para tal precocidad, sin la estimulación necesaria del medio ambiente habría sido dudoso que llegaran a desarrollar ese talento.

La conducta se puede alterar por medio de la modificación del medio ambiente en que vive el individuo.


De los datos de este estudio podemos ver que,

De esta manera, dice Torrance que "lo que es considerado como honorable en un país es también cultivado en ese mismo país".

El desarrollo de la capacidad creadora en los niños es uno de los objetivos primordiales en las escuelas, por el análisis del proceso creador, de la personalidad creadora y de los factores del medio ambiente esenciales para la capacidad creadora.

Gold ha formulado algunas directrices que pueden ser utilizadas por el personal de las escuelas para fomentar el esfuerzo creador, que son:

•• Se necesita un rico medio que estimule el pensamiento creador, cosa que parece ser esencial.

•• Es importante el sostenimiento de considerable espontaneidad.

•• Reconocer los esfuerzos creadores del niño y reforzar su capacidad creadora. Para que así el niño sienta satisfacción personal de tener un espíritu creador.

•• Deben estimularse las contribuciones de grupo a la capacidad creadora individual. El estímulo interpersonal del esfuerzo creador nos hace prever que pueden aparecer nuevas síntesis como resultado de las empresas de grupo.

•• La importancia de la comunidad entera como estímulo para el esfuerzo creador.

Una vez desarrollada la creatividad veamos El método creativo, como una estrategia para la solución de problemas.

Según Torrance "una de las formas en que una cultura honra el talento creador se refleja en los ideales de los maestros de esa cultura y la clase de conducta que estos favorecen o tratan de combatir entre los niños".


3.5 El método creativo

Una estrategia creativa es un conjunto de métodos o herramientas para facilitar la interpretación, el análisis o el estudio de problemas o temas determinados. El método creativo, que se explica a continuación, es una de estas estrategias.

El método creativo puede ser utilizado para enfrentar problemas tan diversos como lo son:

•• Las relaciones humanas,

•• la competencia entre productos,

•• las restricciones de espacio y presupuestales,

•• la percepción ciudadana,

•• y ¿por qué no? en la resolución de problemas matemáticos complejos.

El método creativo está fuertemente orientado al trabajo en grupo pero cuando se enfoca al trabajo individual también se conoce como Pensamiento horizontal.

Los pasos del Método creativo son:

Es importante señalar que el método creativo es una invaluable herramienta para las situaciones en las que se piense que no hay una solución posible o que no se tiene la capacidad para resolver el problema.


Veamos el siguiente ejemplo.

Un ejemplo de cómo el Pensamiento creativo se diferencia de otras formas de resolver problemas y en qué situaciones se puede aplicar es el desarrollo del teléfono celular.

Para crear el teléfono celular,


Ahora bien, ¿qué factores se deben tomar en cuenta en la solución de un problema?

Los siguientes factores son importantes para lograr una solución óptima del problema:

•• Saber relacionar el problema con otras situaciones que se hayan presentado.

•• Aprender todos los factores importantes que se relacionen con el problema. o Por ejemplo,

¿Cuándo se presenta el problema? ¿Por qué no se ha podido resolver? ¿Qué soluciones se han intentado? ¿Cuáles son los recursos disponibles?

•• Aplicar criterios claros, de ser posibles cuantitativos, para evaluar las diversas propuestas de solución.

Para finalizar es importante recordar que el Pensamiento creativo,

1. Es un don que tienen todas las personas, algunas más desarrolladas que otras debido a factores culturales y genéticos, entre otros.

2. Actúa en conjunto con el pensamiento crítico para encontrar soluciones nuevas a los diferentes problemas que se presenten.

3. En dicho pensamiento influye la creatividad, la cual se puede aprender y desarrollar, todo depende del nivel de importancia que le asigne cada quien a su ampliación de pensamientos.

4. No está en función de ninguna técnica en particular. 5. Para que las personas sean creativas deben…

•• estar motivadas,

•• contar con espacios abiertos donde puedan expresarse,

•• trabajar en equipo,

•• comentar ideas y

•• descansar.


Tema 4. Proposición de problemas para un currículum integrado 4.1 Por qué y cómo formular un problema Tal vez les ha pasado que estando frente a grupo explicando algún tema, por ejemplo, las divisiones con tres o cuatro dígitos en el divisor, se escuchan comentarios de los alumnos como: “y eso, ¿para que me va a servir?”, sobre todo en los adolescentes. Lo peor que se puede hacer es responder “para que pases la materia” porque el móvil para el “aprendizaje” será ese y no aprender significativamente. El abuso de la algoritmia en la enseñanza de las matemáticas suele desmotivar al alumno por que siente que lo que está aprendiendo no le va a servir; es cierto que existen temas que no tienen una aplicación directa en la vida cotidiana, por ejemplo, las factorizaciones algebraicas, aunque son herramientas que permiten simplificar procesos matemáticos más complejos y que se estudiarán en cursos superiores. Por otro lado, existen temas de matemáticas que sí pueden ser vinculados con la realidad o con otras áreas como la química, física, biología. En el informe “La educación encierra un tesoro” de la UNESCO se sugiere que la educación debe estar cimentada en cuatro pilares:

Este último se refiere a que se deben hacer esfuerzos para que el alumno aprenda a poner en práctica lo que se sabe. Uno de los axiomas que propone Prado (1996) en su trabajo “10 axiomas para aprender las matemáticas con imaginación y disfrutándolas”, afirma que las matemáticas deben ser aplicadas y útiles y que cuando cumplen con este requisito se incrementa la motivación intrínseca del alumno. Las matemáticas están presentes a nuestro alrededor, desde la matemática simple que utilizamos para realizar cuentas, hasta aquéllas que sustentan la estadística o la mecánica cuántica, desde la geometría antigua cuando el rectángulo de oro fue utilizado por los griegos en su arquitectura, hasta aquélla que fundamenta la arquitectura moderna. La idea es seleccionar o diseñar problemas para un currículum integrado, es decir, aquéllos que estén vinculados con otras áreas del conocimiento y/o con la vida cotidiana; de esta manera el aprendizaje tendrá sentido o significado para el alumno, y tal vez, con un poco de suerte, logremos que se enamore de las matemáticas. Murillo y Brenes (1994) han afirmado que la enseñanza de las matemáticas debe centrarse en la solución de problemas y que el papel del profesor se centre en buscar situaciones problemáticas y significativas para el alumno. Seleccionar y diseñar problemas para un currículum integrado no es una tarea fácil, la mayoría de los libros están más enfocados a la algoritmia y, en muchos casos, se desconoce de una metodología para diseñar problemas.


Por otro lado, diseñar problemas para un currículum integrado puede ser una labor creativa e interesante. Campistrous y Rizo (1996) ofrecen cuatro puntos básicos para formular un problema:

Para ser un problema para un currículum integrado debe contar también con las siguientes características.

Haga clic en cada punto para conocer su descripción

Por ejemplo, una vez abordados los contenidos sobre las funciones lineales y cómo construirlas a partir de un conjunto de puntos en el plano. Un problema para un currículum integrado puede ser el siguiente:

La búsqueda ¿Sobre qué vamos a hacer el problema? El planteo de la situación inicial ¿Qué voy a considerar conocido? La formulación de preguntas ¿Qué quiero saber de lo conocido? La resolución del problema ¿Cómo llego de lo conocido a lo desconocido?

1

2

3

4

Características de un problema

para un currículum integrado

Ser creativo

Tener un propósito

Desarrollar problemas en contextos en los que el alumno se sienta familiarizado y que esté relacionado a otras disciplinas y/o a la vida cotidiana.

Cumplir con un objetivo de aprendizaje donde el alumno pueda aplicar los contenidos aprendidos.

Proporcionar información suficiente

Para que el alumno pueda echar a andar sus recursos metacognitivos y que no se sienta frustrado.

Tener soluciones

congruentesTener una o varias soluciones congruentes al contexto del mismo problema.

Resolverse en equipo

Y que preferentemente puedan resolverse en forma colaborativa utilizando la técnica didáctica de aprendizaje basado en problemas.


Situación: La mala alimentación es un problema que determina el sano desarrollo de las personas jóvenes. Problema: Construyan un modelo matemático para determinar si tanto el grupo de mujeres como el grupo de hombres de la clase se encuentran dentro de los estándares normales en la relación de peso y estatura.

Al analizar el problema identificamos las siguientes características:

Característica del problema ejemplo Característica para

ser un problema para un currículum

integrado

El problema está vinculado a otra disciplina, como lo es la nutrición; está contextualizado en un tema de interés para los adolescentes.

El propósito del problema es que los alumnos apliquen el tema de funciones a una situación real.

Hay suficiente información para que el alumno pueda plantear un plan de acción.

La solución es única en el grupo pero diferentes entre grupos. Los alumnos deberán obtener información sobre la estatura y peso sobre ellos mismos, por una lado las mujeres y por otro los hombres, graficar los puntos en el plano cartesiano y elaborar el modelo o función lineal además deben investigar tablas sobre pesos y estaturas ideales avaladas por la medicina y que les sirva de referencia para compararse. La comparación puede realizarse por medio de la construcción de un modelo para los pesos y estaturas ideales para luego analizar las pendientes entre cada función que les permita llegar a una conclusión; otra manera puede ser, que sustituyan los valores de la tabla de datos ideales y revisar si la predicción coincide con lo dispuesto en esa tabla.

Si el grupo es muy grande se recomienda dividir tanto a las mujeres como a los hombres en equipos de 3 ó 4 personas para realizar esta actividad.

Es creativo

Tiene un propósito

Proporcionainformación

Tiene soluciones

congruentes

Se resuelveen equipo


Como puede observarse, este problema integra a las matemáticas con el área de la salud específicamente, la nutrición. Así como este problema podemos diseñar más, nuestra imaginación es el límite. 4.2 Apoyos par el diseño de actividades de aprendizaje Para poder desarrollar de mejor forma las actividades de aprendizaje, en forma de problema, explicaremos los aspectos generales que debe contener una actividad de aprendizaje y dos herramientas o técnicas didácticas que pueden ayudar a ello: el Aprendizaje basado en problemas y Aprender haciendo. Primeramente debemos decir que una actividad de aprendizaje es una tarea que el alumno realiza con el propósito de cubrir un objetivo de aprendizaje; Woolfolk la define como: “el trabajo que un estudiante realiza en el que se incluye el contenido que se cubre y las operaciones mentales que se requieren (1996, p. 368). Es decir, una actividad de aprendizaje es cualquiera que permita al alumno reforzar y comprender los temas que se abordaron; un profesor de secundaria decía: “las matemáticas no se aprenden viéndolas sino haciéndolas”. Para diseñar actividades de aprendizaje es necesaria la creatividad, el espíritu de investigación y los conocimientos sobre la materia que se imparte. Además, al momento de diseñar, deben considerarse los siguientes puntos:

¿Cuál es el objetivo de aprendizaje que se desea cubrir?

¿Qué habilidades, actitudes y valores se desea fomentar y/o desarrollar en el alumno?

Generar lluvia de ideas.

Definir la actividad.

¿Qué trabajo o actividades debe realizar el profesor antes y durante el desarrollo de la actividad?

¿Qué trabajo o actividades debe realizar el estudiante en el desarrollo de la actividad?

¿Cómo valorará que la actividad cumplió las expectativas pedagógicas predeterminadas?


Ejemplo del diseño de una actividad de aprendizaje Actividad. Calcular el área de un círculo

• ¿Cuál es el objetivo de aprendizaje que se desea cubrir? Que el alumno pueda aplicar a una situación real el concepto y cálculo del área de un círculo.

• ¿Qué habilidades, actitudes y valores se desea fomentar y/o desarrollar en el alumno? Habilidad para aplicar el tema del área a situaciones reales, dominar el proceso del cálculo del área, tener una actitud positiva en el desarrollo de la actividad y fomentar el valor del respeto a sus compañeros, a través del trabajo en equipo.

• Lluvia de ideas para aplicar el concepto o Utilizar:

- Platos - Cancha de basketbol o futbol - Sartenes - Pizzas - Engranes - Relojes

• Definición de la actividad

Determinar cuál marca de pizza es matemáticamente la más cara. ¿Cuál es la más cara?

• ¿Qué trabajo o actividades debe realizar el profesor antes y durante el desarrollo de

la actividad?

Antes de la actividad Durante el desarrollo de la actividad -Formar equipos de 3 o 4 personas -Por medio del azar asignar la marca de pizza a cada equipo -De manera democrática, es decir por mayoría, asignar los ingredientes de la pizza. ( no más de dos) -Solicitar a cada equipo que lleve una pizza grande con los ingredientes acordados y una cinta métrica muy limpia. Es muy importante que cada equipo cumpla con lo solicitado.

-Solicitar a los alumnos que se agrupen con su respectivo equipo. -Verificar que los alumnos hayan llevado el material solicitado. -Supervisar que todos se involucren con la actividad y que haya un ambiente de respeto. -Aclarar dudas. -Registrar los hallazgos en el pizarrón.

• ¿Qué trabajo o actividades debe realizar el estudiante en el desarrollo de la

actividad? - Comprender el objetivo de la actividad. - Medir el diámetro de la pizza con y sin orilla. - Calcular el área con y sin orilla. - Determinar el precio por cm. cuadrado con y sin orilla. - Comparar y concluir.


• ¿Cómo valorará que la actividad cumplió las expectativas pedagógicas predeterminadas? Al observar que: -El alumno pudo calcular el área de la pizza por sí solo. -El alumno pudo idear que calculando el área por cm. cuadrado se obtiene un parámetro de comparación entre las diferentes marcas. -El alumno pudo hacer conclusiones.

Veamos entonces cómo se pueden diseñar las actividades con el apoyo de dos herramientas/técnicas didácticas. Aprendizaje basado en problemas Descripción Uno de los nuevos enfoques para la enseñanza de las matemáticas es la enseñanza basada en problemas, o como se le conoce también: ABP o PBL (Problem based learning). El ABP es una técnica didáctica cuya estrategia de enseñanza–aprendizaje está centrada en la actividad del alumno y el papel del docente es ser facilitador del aprendizaje. El principio básico consiste en enfrentar a un grupo de alumnos a un escenario en el cual puedan definir la “situación problema”. La idea es que el alumno aprenda a identificar, definir y resolver problemas, tal como sucede en la vida real. Metodología La técnica de basa en el desarrollo de 7 pasos:

1. Conocer la situación o escenario. 2. Realizar hipótesis, ideas y/o teorías de lo que cree que sucede y se necesita (lluvia de

ideas) 3. Listar lo que conocen. 4. Listar lo que desconocen. 5. Desarrollar un enunciado del problema que se estudiará-resolverá. 6. Realizar un plan de acción. 7. Reunir y analizar información para llegar a un resultado.

El escenario debe representar un reto para los alumnos como fuente de aprendizaje, en el que van descubriendo, elaborando, reconstruyendo, reinventando y haciendo suyo el conocimiento, y para que el aprendizaje sea significativo. El punto de partida es un escenario o situación problemática que presente un desafío, para esto, es necesario que se apoye en el trabajo colaborativo formando grupos pequeños de 3 a 4 personas. La actividad gira en torno a la discusión sobre la solución del problema, pudiendo surgir una o más hipótesis sobre las causas probables, demandando la obtención de información para resolver, producir, probar o demostrar el problema o situación.


Base teórica La base teórica se encuentra en el constructivismo, el cual afirma que el conflicto cognitivo estimula el aprendizaje; además, el aprendizaje colaborativo es propicio para que surjan diferentes interpretaciones del mismo problema. Esta estrategia tiene muchas cualidades, pero requiere de condiciones, factores y medios necesarios para llevarlo a cabo de manera satisfactoria, además de propiciar el aprendizaje colaborativo. Habilidades y actitudes a desarrollar Las habilidades y actitudes que desarrollan los alumnos son, entre otros: el pensamiento crítico, razonamiento y habilidad para identificar, analizar problemas, y trabajar de manera colaborativa con una actitud cooperativa y dispuesta al intercambio. La aplicación de conocimientos permite mayor retención de información e integración del conocimiento, al relacionar los conocimientos con la vida real. Estas habilidades que se desarrollan son perdurables. Sugerencias para el diseño

1. El problema debe ser diseñado o seleccionado de acuerdo a los objetivos que se pretendan lograr.

2. Los problemas deben generar el interés de los estudiantes, para que sean capaces de tomar decisiones, con base en los conocimientos, los juicios y la información lógica y fundamentada.

3. Debe existir cooperación de todos los integrantes en un trabajo integrado y no dividido en partes; el APB o PBL inicia con la resistencia por desconfianza y dificultades para comprender el problema generando ansiedad, pero a medida que encuentran respuestas aumenta la seguridad, por eso es necesario que exista retroalimentación por parte del maestro y entre compañeros.

4. Es importante diseñar actividades donde se involucren los problemas, cuyo propósito es desarrollar destrezas y habilidades, pero además es importante que los problemas se deriven de su realidad o bien que se apliquen a su vida cotidiana. Una recomendación que señala el National Council of Teachers of mathematics, (NCTM,1983), es que:

“Las matemáticas son útiles cuando pueden aplicarse a una situación concreta que llamamos resolución de problemas o la habilidad para aplicar las matemáticas a una variedad de situaciones” ( Gorgorió et al.2000, p. 143).

Aprender haciendo o Learning by doing Descripción Esta es otra técnica o herramienta didáctica, donde se propone que el alumno ponga en práctica sus conocimientos a través de situaciones concretas, por ejemplo, cuando se realizan prácticas de laboratorio en clase de química o bien cuando un chef realiza un platillo especial cuyo proceso de elaboración se abordó en clase. Algunas de sus ventajas son:

• Favorece el desarrollo del pensamiento lógico. • Fomenta el interés y el desarrollo de actividades de investigación.


• Desarrolla la capacidad para utilizar modelos matemáticos en la interpretación y solución de problemas de la vida diaria, de la tecnología y de la ciencia.

• Incrementa la formación integral del alumno. • Fomenta el aprender por aprender. • Desarrolla el pensamiento crítico reflexivo en el proceso de aprendizaje.

Un ejemplo de una actividad del tipo aprender haciendo sería la siguiente: Nombre de la actividad: “La tiendita” Objetivo: que el alumno aplique las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en una situación real. Materiales: dinero y artículos de despensa de juguete. Desarrollo: los alumnos deben formar equipos de 3 ó 4 integrantes a los cuales se les repartirá cierta cantidad de dinero. Se simulará la venta de juguetes, cada uno de ellos deberá tener un precio. El objetivo es realizar la mejor compra, es decir, comprar el mayor número posible de artículos con el dinero que previamente se les dio. El profesor puede ser el tendero.


Conclusiones El diseño o selección de problemas para un currículum integrado puede ser una actividad que requiera de tiempo y creatividad, sin embargo, poco a poco podemos ir construyendo nuestro propio banco de problemas e intercambiarlos con otros compañeros y así concretizar nuestras acciones hacia una educación matemática más significativa.

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