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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 8: ONDAS MECÁNICAS –CINEMÁTICA DE ONDAS ESTACIONARIAS (RESONANCIA)-

Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Introducción

Reflexión de ondas en las fronteras

Principio de superposición

Ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos

Obtención de ondas estacionarias por resonancia

Ondas estacionarias en tubos sonoros

Diferencias entre la cinemática de las ondas viajeras y la de las ondas estacionarias

Análisis de ondas estacionarias en otros sistemas

Modos en placas

Taller

Introducción

Es necesario diferenciar entre las

denominadas ondas viajeras y las

denominadas ondas estacionarias; su

comportamiento cinemático y la

distribución energética es diferente.

Por ejemplo, en las ondas

estacionarias, en el medio material se

presentan "puntos" que permanecen

quietos, lo que no sucede en las ondas

viajeras: las ondas estacionarias se

obtienen mediante la superposición de

una onda viajera incidente y su

reflexión en la frontera del medio.

Para el estudio del fenómeno de

resonancia, por ejemplo en la

vibración de una estructura o de una columna de aire, es necesario hacer un buen análisis de las ondas

estacionarias que se pueden presentar en esos sistemas con base en sus condiciones de frontera. Estas

serán las ideas fundamentales que serán debidamente tratadas en este módulo.

2

Reflexión de ondas en las fronteras

Frontera NODO

Si el extremo de una cuerda está atado, la onda que se propaga en ella al llegar a este extremo se desfasa

en π en la reflexión.

Ver simulación: Reflexión de la onda en extremo con NODO

Forntera VIENTRE

Si el extremo de una cuerda está libre, la onda que se propaga en ella al llegar a este extremo no se

desfasa en la reflexión.

Ver simulación: Reflexión de la onda en extremo con VIENTRE

Principio de superposición

La ecuación diferencial de onda es lineal. Por lo tanto, si se tienen dos soluciones de esta ecuación, la

combinación lineal de ellas también será solución. En física esta propiedad recibe el nombre de "principio

de superposición": si dos ondas se solapan, la elongación de la onda resultante será la suma vectorial de las

elongaciones de las ondas individuales. A continuación se exponen diferentes situaciones de interés.

Superposición de dos pulsos de igual amplitud que en la región de solapamiento están en fase

En la región de encuentro se refuerzan y da un pulso cuya amplitud es el doble; sin embargo una vez que la

abandonan siguen propagándose intactos.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Superposición de ondas (igual

dirección de vibración) > Pulsos en fase. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado

en la Figura 1. Se despliega la simulación de la Figura 2. En ésta hacer las variaciones permitidas y

observar detenidamente los resultados.

Figura 1

3

Figura 2

Superposición de dos pulsos de igual amplitud que en la región de solapamiento están en oposición

En la región de encuentro se anulan; sin embargo una vez que la abandonan siguen propagándose intactos.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Superposición de ondas (igual

dirección de vibración) > Pulsos en oposición. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem

señalado en la Figura 3. Se despliega la simulación de la Figura 4. En ésta hacer las variaciones permitidas

y observar detenidamente los resultados.

Figura 3

4

Figura 4

Superposición de dos ondas viajeras armónicas que se propagan en la misma dirección, el mismo

sentido y que además tienen igual frecuencia

La onda resultante es una onda viajera y armónica de igual frecuencia y cuya amplitud depende se la

diferencia de fase inicial entre ellas.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Superposición de ondas (igual

dirección de vibración) > Igual frecuencia y sentido de propagación. Para acceder a ella hacer clic con

el mouse en el ítem señalado en la Figura 5. Se despliega la simulación de la Figura 6. En ésta hacer las

variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 5

5

Figura 6

Superposición de dos ondas armónicas viajeras que se propagan en la misma dirección, el mismo

sentido y que tienen diferente frecuencia

El resultado es una onda viajera que no es armónica sino que tiene amplitud modulada: observar que cada

oscilador pulsa.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Superposición de ondas (igual

dirección de vibración) > Diferente frecuencia e igual sentido de propagación. Para acceder a ella

hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 7. Se despliega la simulación de la Figura 8. En ésta

hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 7

6

Figura 8

Superposición de dos ondas armónicas viajeras que se propagan en la misma dirección, sentidos

opuestos y que tienen igual frecuencia e igual amplitud

El resultado es una onda armónica estacionaria.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Superposición de ondas (igual

dirección de vibración) > Igual frecuencia y amplitud pero sentido de propagación opuesto

(formación de onda estacionaria). Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la

Figura 9. Se despliega la simulación de la Figura 10. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar

detenidamente los resultados.

Figura 9

7

Figura 10

Ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos

En la Figura 11 se ilustra una cuerda atada en sus extremos (como una cuerda de guitarra). En este caso se

dice que las fronteras de la cuerda son dos NODOS.

Cuando se perturba la cuerda, por ejemplo en su extremo izquierdo, se genera una onda que se denomina la

onda incidente, iy , la cual al reflejarse en el extremo derecho origina una segunda onda que se denomina

onda reflejada, ry , que tiene la misma frecuencia y longitud de onda,

Figura 11

i iy = A sen kx - ωt

r r oy = A sen kx + ωt + φ

8

por lo tanto, la cuerda oscilará con una superposición de estas dos ondas,

i r i r oy = y + y = A sen kx - ωt + A sen kx + ωt + φ (1)

Las condiciones de frontera son,

ty 0,t =0, (2) -PRIMERA CONDICIÓN DE FRONTERA-

ty L,t =0, (3) -SEGUNDA CONDICIÓN DE FRONTERA-

A continuación se aplicarán estas condiciones de frontera y los resultados serán:

Al aplicar la PRIMERA CONDICIÓN DE FRONTERA se concluirá que,

las amplitudes de la onda incidente y la onda reflejada son iguales, i rA = A = A ,

la elongación resultante es una función de VARIABLES SEPARADAS, y = 2A senkx cosωt ,

hay presencia de NODOS (puntos, o mejor, “pedazos de cuerda” que se mantienen fijos, no

vibran) y VIENTRES (puntos, o mejor, “pedazos de cuerda” que vibran con la mayor amplitud,

2A),

todos los osciladores (“pedazos de cuerda”) oscilan con MAS de igual frecuencia pero con

amplitudes diferentes entre NODO y VIENTRE consecutivo: en el NODO la amplitud es cero y

en el vientre la amplitud es 2A,

los osciladores (“pedazos de cuerda”’) entre NODO y NODO consecutivo están en FASE y los

que están a lado y lado de un NODO están en OPOSICIÓN,

no hay propagación, SOLO hay vibración: la ONDA ES ESTACIONARIA.

Al aplicar la SEGUNDA CONDICIÓN DE FRONTERA se concluirá que,

La FRECUENCIA está CUANTIZADA: la cuerda con condiciones de frontera, “adquiere” las

denominadas FRECUENCIAS PROPIAS nf que aunque son infinitas no tienen cualquier valor;

siguen una REGLA DE CUANTIZACIÓN la cual dependerá de las condiciones de frontera,

A cada FRECUENCIA PROPIA nf le corresponde un MODO NORMAL DE OSCILACIÓN n

(también denominado ARMÓNICO), en otras palabras, le corresponde una ONDA

ESTACIONARIA con una LONGITUD DE ONDA nλ , pero manteniendo constante la

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN de las ondas viajeras componentes que conforman la ONDA

ESTACIONARIA, es decir, n nλ f = V

9

Aplicación de la PRIMERA CONDICIÓN DE FRONTERA, ty 0,t =0,

En la ecuación (1) se hace x=0,

i r oA sen - ωt + A sen ωt + φ = 0

i r o r o-A sen ωt + A sen ωt cosφ + A cos ωt senφ = 0

i r o r o-A + A cosφ sen ωt + A senφ cos ωt = 0

Como esta ecuación se debe cumplir en todo t y adicionalmente sen ωt y cos ωt son linealmente

independientes se debe cumplir,

i r o

r o

-A + A cosφ = 0 (4)

A senφ = 0 (5)

De la ecuación (5) se obtiene,

oφ = 0, π o equivalentes

Si se reemplaza el valor de π en la ecuación (4) se obtiene,

i rA = -A

solución que no se puede aceptar ya que las amplitudes son siempre son positivas. Por lo tanto acepta el

valor oφ = 0 que reemplazando en (4) se obtiene,

i rA = A = A

Llevando esta solución a la ecuación (1) se obtiene,

y = A sen kx - ωt + Asen kx + ωt

y = 2A senkx cosωt [1]

que es una función de VARIABLES SEPARADAS. Esta es la elongación de la denominada ONDA

ESTACIONARIA, ya que como se irá observando a medida que se adelante su análisis, en ella NO HAY

PROPAGACIÓN, solo hay VIBRACIÓN.

Nota: Es importante anotar que 0φ = 0 corresponde a una diferencia de fase entre la onda incidente iy y

la reflejada ry en x=0 de π .

ry 0,t = Asen ωt

10

iy 0,t = -Asen ωt

y por lo tanto,

r iy 0,t = - y 0,t

que corresponde a una diferencia de fase de π .

En definitiva, la cuerda oscila con una superposición (en este caso será una interferencia) de dos ondas

viajeras que vibran en la misma dirección y que se propagan en sentidos opuestos pero con todos sus

parámetros iguales (amplitud, número de onda, longitud de onda, frecuencia, período).

Presencia de NODOS y VIENTRES:

En una onda estacionaria hay elementos del medio cuyos centros de masa se mantienen quietos en todo

instante y están ubicados en los denominados NODOS y hay elementos del mismo cuyo centro de masa

vibra en una posición denominada VIENTRE o ANTINODO en donde la pendiente es cero en todo instante.

Entre NODO y NODO o entre VIENTRE y VIENTRE consecutivos hay una separación de λ

2 por lo que la

separación entre VIENTRES y NODOS consecutivos es de λ

4 . Para mostrar lo dicho en el párrafo

anterior, se debe tener en cuenta que en los NODOS se deben cumplir que la velocidad de vibración en

todo instante es nula, y

= 0, tt

, y en los VIENTRES la pendiente de y = f x,t debe ser nula en todo

instante, y

= 0, tx

.

Posición de los NODOS:

Aplicando y

= 0, tt

a la ecuación [1],

-2ωA senkx senωt = 0

como esta ecuación debe ser válida para todo t, se debe cumplir que,

senkx = 0

es decir,

kx = nπ, n = 0,1,2,3,...

en donde se omitieron los valores negativos de n debido a que carecen de sentido ya que la cuerda inicia en

x=0. Por lo tanto la posición de los NODOS está en,

11

n

nπ nπ λx = = = n

2πk 2

λ

de donde se deduce que entre dos NODOS consecutivos hay una separación igual a λ

2,

n+1 n

λx - x =

2

Posición de los VIENTRES:

Aplicando y

= 0, tx

a la ecuación [1],

2kA coskx cosωt = 0

como esta ecuación debe ser válida para todo t, se debe cumplir que,

coskx = 0

es decir,

π

kx = 2n - 1 , n = 1,2,3,...2

en donde se omitieron los valores negativos de n y el valor de cero debido a que carecen de sentido ya que

la cuerda inicia en x=0. Por lo tanto la posición de los VIENTRES está en,

n

π π2n - 1 2n - 1

λ2 2x = = = 2n - 12πk 4

λ

de donde se deduce que entre dos VIENTRES consecutivos hay una separación igual a λ

2,

n+1 n

λx - x =

2

También es fácil deducir que la separación entre un VIENTRE y el NODO consecutivo ( o viceversa) es

igual a λ

4 .

En la Figura 12 se ilustra estos resultados para una de las ondas estacionarias que se generan en esta

cuerda.

12

Figura 12

Aplicación de la SEGUNDA CONDICIÓN DE FRONTERA, ty L,t =0,

En la ecuación [1] se hace x=L,

2A senkL cosωt = 0

como esta ecuación se debe cumplir en todo t,

senkL = 0

kL = nπ, n = 1,2,3,...

en donde se omitieron los valores negativos de n ya que implicaría valores negativos del número de onda (y

por ende de la longitud de onda); también se omitió el valor cero ya que implicaría una longitud de onda

infinita lo cual correspondería a la cuerda no vibrando y sería caso sería trivial. Continuando,

2πL = nπ, n = 1,2,3,...

λ

λL = n , n = 1,2,3,... [2]

2

y como ,

λf = V

se obtiene,

nVf = , n = 1,2,3,.. [3]

2L

Se acostumbra usar como notación nf en lugar de f para advertir que las frecuencias dependen de los

números naturales, es decir, la frecuencia está CUANTIZADA y en este caso la correspondiente REGLA

DE CUANTIZACIÓN es,

13

n

nVf = , n = 1,2,3,.. [3A]

2L

y estas n frecuencias se les denomina FRECUENCIAS PROPIAS o FRECUENCIAS NATURALES. La regla

dada por la ecuación [3A] es válida para cualquier sistema cuyas condiciones de frontera NODO-NODO: L

es la longitud del medio en el que se está propagando la onda, en este caso la longitud de la cuerda, y V la

velocidad de propagación de la onda en ese medio, en este caso la velocidad de propagación de la ondas

transversales en la cuerda. A la frecuencia correspondiente a n=1 se le denomina FRECUENCIA

FUNDAMENTAL o FRECUENCIA del PRIMER ARMÓNICO, a la frecuencia para n=2 FRECUENCIA del

SEGUNDO ARMÓNICO y así sucesivamente.

Con la notación de subíndice n también se pueden escribir las ecuaciones [1] y [2],

n n n ny = 2A senk x cosω t [1A]

nλL = n , n = 1,2,3,... [2A]

2

es decir, a cada armónico n (o también llamado modo u onda estacionaria n) de la cuerda con fronteras

NODOS en los extremos le corresponde una onda dada por la ecuación [1A], en donde en donde a la

expresión n n na x = 2A senk x se le denomina perfil del armónico n. Como n n ny = a x cosω t , se

concluye que cuando la cuerda con fronteras (en este caso NODOS en sus extremos) vibra como una onda

estacionaria (es decir, en un armónico), todos sus “pedacitos” exceptuando los NODOS vibran con

movimiento armónico simple pero con una amplitud que dependerá de la posición del elemento sobre la

cuerda, na x , y todos tienen igual frecuencia nf . Cada armónico tiene una longitud de onda nλ y una

frecuencia diferentes a los demás armónicos (que para el caso que se analiza donde se tienen NODOS en

los extremos, n

nVf =

2L y

n

2Lλ =

n). Sin embargo, el producto de estas dos magnitudes debe ser

constante para todos los armónicos,

n nλ f = V [4]

La ecuación [3A] se obtuvo a partir de un análisis matemático. Sin embargo se puede obtener mediante un

análisis más conceptual y tipo algoritmo como se describe a continuación: en la Figura 13 se analiza los

primeros armónicos (o modos u ondas estacionarias) de esta cuerda con NODOS en la frontera. En los

NODOS la cuerda no vibra y en los VIENTRES la cuerda vibra con máxima amplitud ( n2A ). En la figura la

relación de la columna 3 se obtiene observando las gráficas de la columna 2. La relación de frecuencia de la

columna 4 se obtiene a partir de la columna 3 sabiendo que n nλ f = V . Es decir, mediante observación de

los perfiles de los armónicos se puede concluir que,

n

nVf = , n = 1,2,3,..

2L

14

donde n son los números naturales, V la velocidad de propagación de las ondas viajeras transversales en la

cuerda (que componen la onda estacionaria) y L la longitud de la cuerda. Es decir se obtuvo la misma

ecuación [3A] mediante un análisis más intuitivo.

Figura 13

Se deben observar los siguientes detalles en el movimiento de los elementos de la cuerda cuando ésta vibra

como onda estacionaria:

15

Entre NODO y NODO consecutivo (o entre VIENTRE y VIENTRE consecutivo) la separación es igual a

nλ

2 siendo nλ la longitud de onda del modo (o armónico u onda estacionaria) respectivo.

Entre NODO y VIENTRE consecutivo la separación es igual a nλ

4, siendo nλ la longitud de onda del

modo respectivo.

Entre NODO y NODO consecutivo todos los elementos vibran en fase. En cambio a lados opuestos de

un mismo NODO los elementos vibran en oposición (es decir desfasados π ). Por lo tanto en una onda

estacionaria los elementos que vibran están en fase o están en oposición.

Los elementos que están en los VIENTRES se mueven con mayor rapidez promedio.

Hay instantes en que todos los “pedacitos” de la cuerda pasan simultáneamente por su posición de

equilibrio. Es decir, hay instantes en que la cuerda está alineada.

Todos los “pedacitos” de la cuerda (excepto las que están en los NODOS) vibran con la misma

frecuencia nf y el mismo período nP pero no con la misma amplitud.

Ejemplo 1:

Una cuerda con sus extremos fijos está vibrando en uno de sus armónicos, de tal forma que la ecuación de

la elongación en el SI es

ny = 0,02 sen8πx cos200πt

Calcular: (a) la frecuencia de angular de vibración, (b) la frecuencia de vibración en Hz, (c) el número de

onda, (d) la longitud de onda, (e) la velocidad de propagación de las ondas viajeras que la componen, (f) la

longitud de la cuerda si está vibrando en el armónico cinco, (g) escribir en el SI las ecuaciones de la

elongación de las ondas viajeras que la componen.

Solución:

Para resolver las preguntas se procede a comparar la ecuación dada con la ecuación [1] o [1A],

n n n ny = 2A senk x cosω t

(a) La frecuencia angular de la vibración es,

n

radω = 200π

s

(b) La frecuencia en Hz,

n nω = 2π f

16

nn

ωf =

2π

n

rad200π

sf = 100 Hz2π

(c) El número de onda,

radk = 8π

m

(d) La longitud de onda,

n

n

2πk =

λ

n

n

2πλ =

k

n

2πλ = 0,25 m

rad8π

m

(e) La velocidad de propagación de las ondas viajeras que componen la onda estacionaria (recordar que

la onda estacionaria NO se propaga),

n nλ f =V

1 mV=0,25 m × 100 = 25

s s

(f) Como la cuerda está atada en los extremos (fronteras NODO-NODO) y está vibrando en el quinto

armónico se debe cumplir,

5λL = 5

2

0,25 mL = 5 0,63 m

2

(g) Las ecuaciones en el SI de las ondas viajeras que componen la onda estacionaria son,

iy = 0,01 sen 8πx - 200πt

ry = 0,01 sen 8πx + 200πt

17

Obtención de ondas estacionarias por resonancia

¿Cómo oscila una cuerda cuando un agente externo la excita?

Si el agente externo sólo ejerce una excitación que no es permanente, la cuerda oscilará en una

combinación de armónicos, los cuales se distribuirán la energía de acuerdo a las condiciones iniciales (forma

como fue excitada). La amplitud de vibración no será muy grande.

Si el agente externo ejerce la excitación permanentemente, la cuerda vibrará a la frecuencia de este

agente y en caso de no coincidir con alguna de las frecuencias propias de la cuerda seguirá habiendo una

combinación de armónicos. De nuevo la amplitud de vibración no será apreciable. En caso de coincidir la

frecuencia excitadora con una de las frecuencias de alguno de los armónicos, entrará la cuerda en

RESONANCIA y sólo vibrará en este armónico y con amplitud apreciable. En esta situación se dice que la

cuerda está oscilando en una onda estacionaria.

¿Cómo lograr que una cuerda oscile en un armónico determinado?

La primera forma para lograr que la cuerda oscile en un armónico determinado, es dándole las condiciones

iniciales necesarias para favorecer sólo este armónico. Por ejemplo dándole a la cuerda la forma

geométrica del armónico deseado y luego soltándola. Como puede imaginarse, esto sería muy complicado.

La mejor forma de lograrlo es calculando la frecuencia del armónico deseado y mediante un agente externo

oscilante (fuerza externa oscilante, por ejemplo un diapasón), se forzaría la cuerda a esta frecuencia

(resonancia).

En la Figura 14A se ilustra la obtención mediante la resonancia, del modo 2 (segundo armónico) de una

cuerda atada en sus extremos. El agente externo excitador es un vibrador acoplado a la cuerda en su

extremo inferior. Se observa como la experimentadora puede ajustar la frecuencia del vibrador.

Figura 14: Fotos tomadas de PASCO (http://www.pasco.com/)

Las mismas preguntas que se plantearon en el caso de una cuerda, se pueden plantear para la vibración de

cualquier medio material. Por ejemplo, en la Figura 14B se ilustra la obtención de ondas estacionarias

longitudinales en un resorte mediante la resonancia con un agente excitador externo (en este este caso es

un vibrador acoplado en la parte inferior). Claramente se observa los nodos y los vientres. La separación

entre dos nodos o dos vientres consecutivos corresponde a media longitud de onda.

18

Ejemplo 2:

En el laboratorio del curso se generarán ondas estacionarias en una cuerda mediante el montaje de la

Figura 15.

Figura 15

El parlante se conecta a un generador de señales armónicas al cual se le puede cambiar la frecuencia. Si

cuando la frecuencia es igual a 30 Hz la cuerda resuena en el armónico 2, Figura 16, calcular: (a) la

velocidad de propagación de las ondas viajeras que conforman la onda estacionaria si L= 1,20 m, (b) la

frecuencia del armónico 5., (c) si se mantiene la frecuencia en 30 Hz cuánto habría que desplazar el

parlante para sintonizar el primer armónico, es decir, para que esta frecuencia pasara a ser la frecuencia

fundamental sin cambiar la tensión en la cuerda.

Figura 16

En la Figura 17 se ilustra el montaje del laboratorio.

Solución:

(a) Como la cuerda tiene como condiciones de frontera NODO (extremo fijo al parlante)-NODO

(extremo fijo en la polea) cumplirá la regla de cuantización [3A],

n

nVf = , con n = 1,2,3...

2L

19

Figura 17

Por lo tanto,

n2LfV=

n

Reemplazando para n=2, L=1,20 m y f=30 Hz se obtiene,

mV = 36

s

(b) Haciendo cuentas se observa que el armónico 1 o fundamental tiene la mitad de la frecuencia del

segundo armónico, es decir, 15 Hz. En lo que se refiere al quinto armónico tiene cinco veces la frecuencia

de la fundamental, es decir, 75 Hz.

(c) Para que 30 Hz sea la frecuencia fundamental de la oscilación de esta cuerda sin cambiar las

propiedades de este sistema como lo son su tensión y su densidad, es decir, manteniendo constante la

velocidad de propagación V, se deberá acortar a la mitad. Por lo tanto esto equivaldría a desplazar el

parlante 0,6 m hacia la derecha y de esa forma se sintonizaría el primer armónico mediante el cambio de la

longitud del sistema.

Ondas estacionarias en tubos sonoros

Se llaman tubos sonoros aquellos que contienen una columna gaseosa (usualmente es aire) capaz de producir

sonido al ser convenientemente excitada. El cuerpo sonoro es la columna gaseosa, y no el tubo que la

contiene; en efecto, éste tiene la importante función de definir la forma de aquella pero fuera de esto,

influye relativamente poco sobre los fenómenos sonoros. Los tubos sonoros pueden ser cerrados, es decir,

que poseen una sola abertura y tubos abiertos, que poseen dos o más (en éste módulo se analizarán de dos),

Figura 18 (en la figura se ilustran en estado de equilibrio, es decir el gas interno se encuentra a la presión

atmosférica, oP , y por lo tanto las partículas del gas están uniformemente distribuidas, es decir, la

densidad oρ del gas es igual en todas sus regiones). Un simple tubo como por ejemplo los ilustrados en la

20

Figura 19, puede hacer las veces de tubo abierto o cerrado: si se deja destapado por ambos extremos es

abierto y si se tapa en uno de sus extremos (podría ser con la mano) es cerrado.

Figura 18

Figura 19

Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros instrumentos musicales.

Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido en el tubo entraba en vibración emitiendo un

sonido. Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas y los

clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas notas dentro de una

amplia gama de frecuencias acústicas (frecuencias entre 16 Hz y 20 000 Hz).

Descripción del fenómeno ondulatorio en la columna de aire contenida en un tubo

Cuando se genera una perturbación que se propaga en una columna de gas, por ejemplo mediante el uso de

un pistón o un parlante, esta se propaga como una onda longitudinal: la perturbación genera variaciones de

la presión manométrica P , tomando ésta valores que oscilan alrededor de la presión de equilibrio (en el

21

caso que consideramos, es la presión atmosférica oP ). En éste curso se supondrá que la perturbación es

armónica. Como se verá en el módulo 9 y se profundizará en el módulo 11, la velocidad con que se propaga

esta onda longitudinal en el gas depende del módulo de compresibilidad B de éste y de su densidad en la

situación de equilibrio oρ . En el caso de que el gas sea el aire a temperatura de 20 oC es aproximadamente

340 m/s.

Es importante decir que las ondas de presión en un gas se conoce normalmente con el nombre de ONDA

SONORA, que en el rango entre 20 Hz y 20 000 Hz se denomina SONIDO. Sin embargo en el módulo 11 se

mostrará que el fenómeno sonoro es algo más amplio que esta concepción.

Ondas de presión vs ondas de elongación vs ondas de densidad: ondas viajeras

Supóngase que la columna de gas está inicialmente en equilibrio, es decir, todas sus regiones se encuentran

a la presión atmosférica oP y por lo tanto la presión manométrica P es cero. Al generar una perturbación

la presión del gas varía y se observa que también varía su densidad y obviamente las posiciones de las

partículas (las elongaciones): si hay aumento de presión, es decir si hay una compresión, la presión

manométrica se eleva por encima de la presión atmosférica, P>0 , las partículas del gas se juntan más, por

lo tanto disminuye la elongación de las partículas ( y ) y aumenta la densidad de éste (ρ ), Figura 20 (ver

zona de compresión) ; a su vez, si hay disminución de presión, es decir si hay dilatación (también

denominado enrarecimiento), la presión manométrica pasa a estar por debajo de la presión atmosférica,

P<0 , las partículas del gas se separan más, por lo tanto aumenta la elongación de las partículas ( y ) y

disminuye la densidad de éste ( ρ ), Figura 20 (ver zona de dilatación). Es decir, cuando el gas se perturba

se propagan simultáneamente tres ondas: una onda de presión, una onda de densidad y una onda de

elongación; la primera y la última están en fase y éstas tiene una diferencia de fase igual a π

2 (que es

equivalente a un cuarto en la longitud de onda, λ

4) respecto a la onda de elongación. Estas tres de onda se

propagan a la misma velocidad, con la misma frecuencia (que obviamente depende es del agente

perturbador) y por ende tienen la misma longitud de onda, Figura 18. Es decir si éstas ondas son armónicas

viajeras se podrían escribir así,

y = Asen kx ± ωt [5A] (Onda de elongación)

mP = P cos kx ± ωt [5B] (Onda de presión)

mρ = ρ cos kx ± ωt [5C] (Onda de densidad)

22

En la práctica se prefiere hablar solo de la onda de presión por obvia razón: es más fácil de medir la

presión en los gases.

Figura 20

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Ondas viajeras

longitudinales en gas. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 21. Se

despliega la simulación de la Figura 22. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente

los resultados.

23

Figura 21

Figura 22

Ondas de presión vs ondas de elongación vs ondas de densidad: ondas estacionarias –RESONANCIA-

Las columnas de aire contenidas en los tubos sonoros se comportan, desde ciertos puntos de vista, como

una cuerda. La onda que viaja en la columna de aire al llegar al final del tubo que la contiene se refleja y en

su regreso se superpone con la que incide generándose una interferencia que da como resultado una onda

estacionaria tal y como sucede en una cuerda: aparecen entonces NODOS y VIENTRES. Como la onda de

presión y la de elongación están desfasadas en un equivalente a λ

4 se concluye que en lo que respecta a las

ondas estacionarias de presión y de elongación, donde hay un NODO de una habrá un VIENTRE para la otra

y viceversa. Por ejemplo, en el extremo abierto habrá un NODO de presión (esa región del gas está a la

presión atmosférica) y un VIENTRE de elongación (aquí las partículas tienen su máxima elongación) ; en el

extremo cerrado habrá un VIENTRE de presión (máxima presión) y un NODO de elongación (las partículas

estarán aproximadamente en reposo).

Para mayor claridad de esta exposición es necesario tener en cuenta que el agente que perturba la columna,

es decir el parlante o pistón, se ubicará en un extremo abierto, Figura 23: en esta posición se considerará

siempre un VIENTRE elongación (Ve) o NODO de presión (Np) aunque en la práctica no necesariamente

quede exactamente allí, sin embargo es una buena estimación.

24

Figura 23

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas estacionarias > Onda

estacionaria longitudinal en columna de gas (tubo cerrado). Para acceder a ella hacer clic con el mouse

en el ítem señalado en la Figura 24. Se despliega la simulación de la Figura 25. En ésta hacer las

variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 24

25

Figura 25

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas estacionarias > Onda

estacionaria longitudinal en columna de gas (tubo abierto). Para acceder a ella hacer clic con el mouse

en el ítem señalado en la Figura 26. Se despliega la simulación de la Figura 27. En ésta hacer las

variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 26

26

Figura 27

Regla de cuantización de la frecuencia en tubos abiertos

Si un tubo es abierto el aire (o gas que contiene) vibra con su máxima amplitud en los extremos

(VIENTRES de deformación o NODOS de presión). Al observar la simulación de la Figuras 26 y 27 se

deduce que:

En el armónico 1 (modo 1) en la longitud L del tubo cabe media longitud de onda (tanto de la onda de

elongación como de la onda de presión):

1λL =

2

En el armónico 2 (modo 2) en la longitud L del tubo cabe una longitud de onda (tanto de la onda de

elongación como de la onda de presión):

2λL =2

2

En el armónico 3 (modo 3) en la longitud L del tubo caben 3/2 de longitudes de onda (tanto de la onda

de elongación como de la onda de presión):

3λL =3

2

En el armónico 4 (modo 4) en la longitud L del tubo caben 2 longitudes de onda (tanto de la onda de

elongación como de la onda de presión):

27

4λL =4

2

En general si se sigue aumentando de modo, se concluye que en la longitud L del tubo cabe un número

natural de semilongitudes de onda, es decir,

nλL =n , con n = 1,2,3,...

2

como ¸n nλ f = V , siendo

nλ la longitud de onda en el modo n y nf la frecuencia del mismo, se obtiene que,

n

nVf = , con n = 1,2,3,... [6]

2L

V corresponde a la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en la columna de gas (velocidad del

sonido). En caso de ser aire a temperatura de unos 20 oC y a la presión de 1 atm será aproximadamente de

340 m/s ( a este valor se le denomina Mach). Observar que es la misma regla de cuantización que para la

cuerda con NODO-NODO en sus extremos.

Una nota: Para los tubos abiertos se debe considerar que los vientres de deformación de la onda

estacionaria tienden a formarse fuera del tubo (irradiación de onda) y no exactamente en los extremos del

tubo, por lo que la longitud de la columna de aire vibrante es algo mayor que la del tubo. Este hecho es

tenido en cuenta en la construcción de instrumentos sonoros aplicando un factor de corrección para

determinar la longitud exacta del tubo en función del primer armónico que se pretende obtener. La medida

en que se prolonga la columna de aire al irradiarse en los extremos está en relación con las dimensiones del

tubo. Cuanto más largo y delgado es este, mayor irradiación se presenta. Sin embargo aunque las

expresiones obtenidas en este módulo no tienen en cuenta esta corrección sus resultados son muy

aceptables para hacer buenas estimaciones: esto se verificará en el laboratorio del curso.

Regla de cuantización de la frecuencia en tubos abiertos

Si un tubo es cerrado el aire (o gas que contiene) vibra con su máxima amplitud en el extremo donde está la

fuente de vibración (VIENTRE de deformación y NODO de presión) y en el extremo opuesto no vibrará

(NODO de deformación y VIENTRE de presión) Al observar la simulación de la Figuras 24 y 25 se deduce

que:

En el armónico 1 (modo 1) en la longitud L del tubo cabe un caurto longitud de onda (tanto de la onda de

elongación como de la onda de presión):

1λL =

4

En el armónico 2 (modo 2) en la longitud L del tubo cabe 3/4 de longitud de onda (tanto de la onda de

elongación como de la onda de presión):

28

2λL =3

4

En el armónico 3 (modo 3) en la longitud L del tubo caben 5/4 de longitudes de onda (tanto de la onda

de elongación como de la onda de presión):

3λL =5

4

En el armónico 4 (modo 4) en la longitud L del tubo caben 7/4 de longitudes de onda (tanto de la onda

de elongación como de la onda de presión):

4λL =7

4

En general si se sigue aumentando de modo, se concluye que en la longitud L del tubo cabe un número

natural impar de cuartos de longitudes de onda, es decir,

nλL = 2n - 1 , con n = 1,2,3,...

2

como ¸ n nλ f = V , siendo nλ la longitud de onda en el modo n y nf la frecuencia del mismo, se obtiene que,

n

2n - 1 Vf = , con n = 1,2,3,... [7]

4L

que corresponderá a la regla de cuantización de la frecuencia para fronteras NODO-VIENTRE o viceversa.

Sobre la RESONANCIA

Cuando los tubos están en resonancia con la fuente de vibración, se generan ondas estacionarias en él. La

fuente de vibración se encuentran en una extremidad del tubo: la boca de una flauta o el escarpado de un

saxofón accionado por una corriente de aire. Generalmente ésta fuente emite un sonido complejo en el cual

se encuentra la frecuencia conveniente para producir el sistema de ondas estacionarias en un tubo dado. El

tubo vibrante reacciona entonces sobre la fuente y las vibraciones que no corresponden a la resonancia son

amortiguadas rápidamente.

En el módulo 11 (Módulo del Sonido) se profundizará más sobre este apasionante tema.

29

Ejemplo 4:

Un tubo abierto tiene una longitud igual a 1,00 m. Encontrar las frecuencias de sus tres primeros

armónicos.

Solución:

Para calcular las frecuencias propias se emplea la expresión [6],

n

nVf = n = 1,2,3,...

2L

En donde V corresponde a la velocidad del sonido, V= 340 m/s. Por lo tanto, la frecuencia fundamental, n=1,

,

1

Vf =

2L

1

m340

sf = = 170 Hz 2×1,00 m

De la misma forma se puede calcular las frecuencias del segundo y tercer armónico reemplazando n por 2 y

3 respectivamente, obteniéndose los valores de 340 Hz y 510 Hz.

Ejemplo 5:

Un tubo cerrado tiene una longitud igual a 1,00 m. Encontrar las frecuencias de sus tres primeros

armónicos.

Solución:

Para calcular las frecuencias propias se emplea la expresión [7],

n

2n - 1 Vf = n = 1,2,3,...

4L

en donde V corresponde a la velocidad del sonido, V= 340 m/s. Por lo tanto, la frecuencia fundamental, n=1,

,

1

Vf =

4L

1

m340

sf = = 85,0 Hz 4×1,00 m

30

De la misma forma se puede calcular las frecuencias del segundo y tercer armónico reemplazando n por 2 y

3 respectivamente, obteniéndose los valores de 255 Hz y 425 Hz.

Ejemplo 6

Una columna de aire de 2.00 m de largo está abierta en sus dos extremos. La frecuencia de una armónica

es de 410 Hz y la frecuencia de la armónica siguiente es de 492 Hz. Determinar la rapidez del sonido en la

columna de aire.

Solución:

Para calcular las frecuencias propias se emplea la expresión [6],

n

nVf = n = 1,2,3,...

2L

En este ejercicio no se puede asumir conocida la velocidad del sonido ya que es la pregunta. Reemplazando

en esta ecuación para n y para n+1 se obtiene,

n

nVf =

2L

n+1

n + 1 Vf =

2L

en donde nf = 410 Hz , n+1f = 492 Hz , L=2,00 m por lo tanto,

nV410 = (1)

4

n + 1 V492 = (2)

4

Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene,

n = 5

mV = 328

s

Ejemplo 7

La frecuencia del tercer armónico en un tubo de órgano abierto en los dos extremos es igual a la

frecuencia del tercer armónico de otro tubo de órgano que está cerrado en un extremo. (a) Encontrar la

razón entre la longitud el tubo cerrado a la longitud del tubo abierto. (b) Si la frecuencia fundamental del

tubo abierto es 256 Hz, ¿cuál es la longitud de cada tubo?

31

Solución:

(a) Para calcular las frecuencias propias del tubo abierto se emplea la expresión [6] y para el tubo

cerrado la expresión [7]. Por lo tanto para el caso del tercer armónico se obtiene respectivamente,

3

1

3Vf =

2L

3

2

5Vf =

4L

en donde V corresponde a la velocidad del sonido, V= 340 m/s, L1 y L2 las respectivas longitudes de los

tubos. Como se dice que las frecuencias de estos armónico es igual se obtiene,

1 2

3V 5V =

2L 4L

2

1

L 10 =

L 12

2

1

L = 0,833

L

(b) Si la frecuencia fundamental del tubo abierto es igual a 256 Hz se obtiene que su longitud es,

1

1

Vf =

2L

1

1

VL =

2f

1 -1

m340

sL = = 0,664 m2×256 s

y como,

2

1

L = 0,833

L

se obtiene,

2L = 0,8333 0,664 m = 0,553 m

32

Ejemplo 8:

En la Figura 28 se ilustra un tubo al cual se le puede variar la longitud de la columna de aire mediante el

desplazamiento de un pistón. La columna de aire se excita mediante el sonido generado por un parlante al

cual se le puede controlar su frecuencia (el parlante se alimenta con un generador de señales armónicas a

las cuales se les puede controlar la frecuencia). Dada una frecuencia fija se dos longitudes consecutivas

de la columna de aire para las cuales haya resonancia. Si para una frecuencia de 2 200 Hz se obtiene

resonancia para las longitudes consecutivas L1=32,4 cm y L2=40,3 cm calcular: (a) la longitud de onda del

sonido correspondiente a esta frecuencia, (b) la velocidad del sonido en el aire y, (c) la temperatura a la

cual se encuentra el medio.

Nota: Experimentalmente se muestra que la velocidad del sonido V en el aire depende de la temperatura

mediante la siguiente expresión,

V = 331,5 + 06 t [8]

en donde se expresa en m/s y t es la temperatura en oC.

Figura 28

Solución:

(a) Como el tubo es cerrado las frecuencias propias se calculan con la expresión [7]. Por lo tanto si para

la longitud más pequeña de las dos, L1, para la frecuencia f del parlante corresponde a la resonancia en el

armónico n , para la longitud mayor, L2, para la misma frecuencia f corresponderá el armónico (n+1), esto es,

1

2n - 1 Vf=

4L

2

2 n+1 - 1 Vf =

4L

como λf = V

33

se obtiene de las dos ecuaciones anteriores que,

2 1

λL - L =

2

y por lo tanto,

λ = 2× 40,3cm - 32,4 cm = 15,8 cm

(b) Como λf = V se obtiene para la velocidad del sonido,

V = λf

1 mV = 15,8 cm × 2 200 = 347,6

s s

(c) Empleando la ecuación [8],

V = 331,5 + 06 t

oV - 331,5t = = 26,8 C

0,6

Se deja al lector calcular los armónicos correspondientes n y (n+1). Las respuestas son aproximadamente

los armónicos son el 5 y el 6 (se debe aproximara a números naturales). Si se analiza con mayor detalle

podría también aceptarse como resultado los armónicos 4 y 5. Debe recordarse que estos cálculos son

estimaciones que aunque son muy buenas, siguen siendo estimaciones.

Este experimento se realiza en el laboratorio del curso para medir la velocidad del sonido a través del

análisis de las ondas estacionarias en la columna de aire contenida en un tubo.

Ejemplo 9:

Un estudiante emplea un oscilador de audio de frecuencia ajustable para medir la profundidad de un pozo

de agua, Figura 29. Se escuchan dos resonancias sucesivas a 51,5 Hz y 60,0 Hz. ¿Cuál es la profundidad del

pozo? Decir cuáles son los armónicos correspondientes a esas dos frecuencias.

Solución:

El pozo se puede considerar como un tubo cerrado de longitud h y por lo tanto las frecuencias de

resonancia cumplen la expresión [7],

34

n

2n - 1 Vf =

4 h

Figura 29

en donde V es la velocidad del sonido que se asumirá igual a 340 m/s. Para dos resonancias consecutivas se

tienen las siguientes ecuaciones,

n

2n - 1 Vf =

4 h

n+1

2 n + 1 - 1 Vf =

4 h

Según los datos se transforman en,

2n - 1 V51,5 =

4 h

2 n + 1 - 1 V60,0 =

4 h

Obteniéndose como armónicos aproximados n = 7, n = 8 y como valor de la profundidad del pozo h = 21,5 m.

Ejercicio para el lector: La copa “cantante”

Observar el video del siguiente link: copa “cantante”

La copa se puede considerar como un tubo cerrado: contiene una columna de aire limitada por la cantidad

de agua que hay dentro de ella (sin agua también se le puede hacer “cantar”).

Con base en lo aprendido en este módulo dar una explicación de éste fenómeno.

35

Diferencias entre la cinemática de las ondas viajeras y la de las ondas estacionarias

Recordando de la cinemática de ondas viajeras que se trató en el módulo 7 que la velocidad V con que se

propaga una onda mecánica y por ende la energía que esta propaga a través de la vibración de la materia

cumple que,

x x

φ y

t t

φ y

x xt tV =

φ yt t

x x

yvV= - [9]

m

siendo yv la velocidad de vibración de un elemento del medio (centro de masa del mismo: "partícula") y m la

pendiente del perfil de la onda, y vs x , en la posición x del elemento (del centro de masa del mismo:

"partícula"). Esta ecuación se puede escribirse también como sigue,

y y- V = [10]

x t

Denominada ecuación de onda de orden [1]. La ecuación de onda de orden [2] la cual se analizará con el

debido detalle en el módulo 9 es,

2 22

2 2

y y V = [11]

x t

Ejercicio:

Se deja al lector verificar que las ondas viajeras cumplen las dos ecuaciones de onda pero las estacionarias

sólo cumplen la de orden 2. Para esto usar para las ondas viajeras oy x,t = Asen kx ± ωt + φ y para las

ondas estacionarias, y x,t = 2Asen kx cos ωt y reemplazarlas en las ecuaciones [10] y [11].

El hecho de que las ondas estacionarias no cumplan la ecuación de onda de orden 1 hace que el

comportamiento cinemático y energético de éstas sea diferente al de las ondas viajeras. En este módulo se

36

analizará las diferencias en lo que se refiere a la cinemática apoyándose en el análisis de las ondas

transversales en una cuerda. En el módulo 10 se analizará las diferencias en lo que respecta al

comportamiento energético.

Comportamiento cinemático de las ondas viajeras

Según la ecuación [9], la velocidad de propagación de la onda, V , es igual a la relación con signo cambiado,

entre la rapidez de vibración de un elemento y la pendiente m del perfil de onda en la posición del

elemento. En el caso de la cuerda esto es muy claro, Figura 30: en el primer tramo de la Figura 30A, la

velocidad de vibración yv es negativa (las partículas se mueven hacia abajo) y la pendiente m del perfil en

ese tramo es positiva, por lo que el cociente de ambas será negativo; al cambiarle el signo a este cociente

quedará positivo, indicando que la velocidad de propagación V debe ser positiva, lo cual es correcto ya que

la onda se propaga hacia valores crecientes de . Similarmente se puede hacer el análisis a cada tramo de la

cuerda en esta figura y a todos los tramos de la cuerda de la Figura 30B.

Figura 30

Todos los “pedacitos de cuerda” tienen la misma rapidez promedio ya que recorren la misma distancia en un

periodo: la amplitud es constante.

Comportamiento cinemático de las ondas estacionarias

En la onda estacionaria la velocidad de vibración yv tiene el mismo sentido en segmentos correspondientes

a pendientes m diferentes, Figura 31. No se presenta propagación y sólo hay vibración. Entre NODO y

NODO consecutivo todos los elementos vibran en fase. En cambio a lados opuestos de un mismo NODO los

elementos vibran en oposición (es decir desfasados π ). Por lo tanto en una onda estacionaria los elementos

que vibran están en fase o están en oposición. Los “pedacitos” de cuerda que están en los VIENTRES se

mueven con mayor rapidez promedio: recordar que deben recorrer en un periodo más distancia que los

“pedacitos” de cuerda que están más cerca de los NODOS (la amplitud es variable).

37

Figura 31: Modo 3 en una cuerda con extremos fijos

No olvidar que las ondas viajeras tienen CRESTAS y VALLES mientras que las ondas estacionarias tienen

NODOS y VIENRES.

Análisis de ondas estacionarias en otros sistemas

Frecuencias Naturales (Otros sistemas)

En las secciones precedentes se calcularon las frecuencias propias (o naturales) de una cuerda oscilante

con sus extremos fijos y de una columna de gas dentro de un tubo abierto y un tubo cerrado. En general,

todo sistema oscilante (cuerda, barra, columna de gas, resorte,...) que tenga condiciones de frontera (es

decir, todo sistema limitado), tiene su frecuencia cuantizada. En estos casos, para poder estudiar las

formas naturales en que pueden vibrar, es necesario hallar la fórmula que exprese esta regla de

cuantización.

Tres situaciones de frontera básicas son:

sistemas (medio de propagación) con extremos fijos (NODO-NODO),

sistemas con extremos libres (VIENTRE-VIENTRE),

sistemas con un extremo fijo y otro libre (NODO-VIENTRE).

Sistema NODO-NODO o VIENTRE-VIENTRE:

Para estas condiciones de frontera se cumple que,

nλL = n con n=1,2,3,...

2

En donde L corresponde a la longitud del medio entre ambas fronteras (por ejemplo, longitud de una barra,

longitud de columna de aire, longitud de la cuerda, altura del edificio, longitud de la viga, longitud del

puente,…) y nλ la longitud de onda del modo de resonancia correspondiente. Por lo tanto como n nλ f = V se

obtiene,

38

n

nVf = con n=1,2,3,... [3]

2L

En donde n corresponde al número del armónico. Para n=1 se le denomina armónico fundamental o primer

armónico. V corresponde a la velocidad de propagación de las ondas mecánicas viajeras que componen la

onda estacionaria y que depende de las propiedades mecánicas del medio como se demostrará en el módulo

9, Tabla 1. Observar que es la misma ecuación [3]

Tabla 1

Tipo de onda mecánica Velocidad de propagación

Ondas transversales en cuerdas:

La tensión en la cuerda y μ su densidad lineal que se mide en kg/m

FV = [12]

μ

Ondas longitudinales o transversales en slinky:

K es la constante de rigidez del slinky (a su longitud natural), Lo es la

longitud del slinky ya deformado pero en situación de equilibrio, m la

masa del slinky.

o

kV = L [13]

m

Ondas longitudinales en barras sólidas:

Y es el módulo de Young del material y se mide en Pa, ρ su densidad

volumétrica y se mide en kg/m3.

YV = [14]

ρ

Ondas trasnversales en barras sólidas:

G es el módulo de rigidez o cizalladura del material y se mide en Pa, ρ

su densidad volumétrica y se mide en kg/m3.

GV = [15]

ρ

Ondas longitudinales en fluidos:

B es el módulo de compresibiliadad del fluido y se mide en Pa, oρ su

densidad volumétrica en equilibrio y se mide en kg/m3.

o

BV = [16]

ρ

Sistema NODO-VIENTRE:

Para estas condiciones de frontera se cumple que,

39

nλL = 2n - 1 con n=1,2,3,...

4

En donde L corresponde a la longitud del medio entre ambas fronteras (por ejemplo, longitud de una barra,

longitud de columna de aire, longitud de la cuerda, altura del edificio, longitud de la viga, longitud del

puente,…) y nλ la longitud de onda del modo de resonancia correspondiente. Por lo tanto como n nλ f = V se

obtiene,

n

2n - 1 Vf = con n=1,2,3,... [7]

4L

En donde n corresponde al número del armónico. Para n=1 se le denomina armónico fundamental o primer

armónico. V corresponde a la velocidad de propagación de las ondas mecánicas viajeras que componen la

onda estacionaria y que depende de las propiedades mecánicas del medio como se demostrará en el módulo

9, Tabla 1. Observar que es la misma ecuación [7].

En la Figura 32 se ilustran tres modos de oscilación de un edificio con condiciones de frontera NODO-

VIENTRE. En la Figura 33 se ilustran las tres primeras ondas transversales estacionarias (tres primeros

modos) en una barra: a la izquierda con fronteras NODO-VIENTRE y a la derecha con fronteras

VIENTRE-VIENTRE. Un diapasón oscila esencialmente en su modo fundamental, Figura 34.

Figura 32: Imagen tomada de http://www.lis.ucr.ac.cr

Figura 33: Imagen tomada de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu

40

Figura 34: Imagen tomada de http://www.sapiensman.com

Ejemplo 10:

Se generan ondas longitudinales en una barra metálica de 60,0 cm de larga afianzada en un extremo,

cuando esta es golpeada con un martillo. Si la frecuencia mínima con la cual resonará la barra es igual a 1,88

kHz, ¿cuánto vale el módulo de Young de dicho metal si su densidad es igual a 7,20x103 kg/m3?

Solución:

Las condiciones de frontera corresponden a NODO-VIENTRE y por lo tanto las frecuencias propias cumple

la ecuación [7],

n

2n - 1 Vf = con n=1,2,3,...

4L

Para n=1 corresponde a la frecuencia mínima de resonancia y es la denominada frecuencia fundamental, por

lo tanto,

1

Vf =

4L

1V = f 4L

3 -1 mV = 1,88×10 s ×4×0,60 m = 4 512

s

Como las ondas son longitudinales en una barra sólida se cumple la ecuación [14],

YV = [14]

ρ

y por lo tanto,

41

2Y = V ρ

2

3

3

m kgY = 4 512 7,20 10

s m

Y = 146,6 GPa

Modos en placas

Ernest Florens Friedrich Chladni observó por primera vez las figuras geométricas que produce la arena

esparcida sobre una placa plana al frotar el arco de un violín sobre el borde, conocidas con el nombre

de “figuras nodales o de Chladni”. Esta técnica se utiliza para el diseño y construcción de instrumentos

acústicos como violines, guitarras y cellos. Es considerado el padre de la acústica moderna.

Ver video: Ondas estacionarias en placa circular

Ver video: Ondas estacionarias en placa rectangular

En la Figura 35 se ilustra uno de los modos de vibración de la tapa de la caja de resonancia de una guitarra.

Figura 35: Imagen tomada de http://guitarra.artepulsado.com

Taller

1. Una cuerda que está atada en sus extremos oscila transversalmente en el armónico 3, Figura 36. La

ecuación que representa este modo de oscilación en el SI es,

ny = 0,02 sen5πx cos90πt

Calcular: (a) la frecuencia de angular de vibración, (b) la frecuencia de vibración en Hz, (c) el número de

onda, (d) la longitud de onda, (e) la velocidad de propagación de las ondas viajeras que la componen, (f)

la longitud de la cuerda, (g) escribir en el SI las ecuaciones de la elongación de las ondas viajeras que la

componen,(h) la tensión de la cuerda expresada en N y en kgf si la densidad lineal de la cuerda es 3,20

g/m.

42

Figura 36

2. Una cuerda de violín de L = 31,6 cm de longitud y µ = 0,0650 g/m de densidad lineal, se coloca próxima a

un altavoz alimentado por un oscilador de frecuencia variable. Observamos que cuando la frecuencia del

oscilador se hace variar continuamente entre 500 y 1 500 Hz, la cuerda sólo oscila apreciablemente a

las frecuencias de 880 y 1 320 Hz. Determinar la tensión a la que está sometida la cuerda y el número

de los armónicos respectivos.

Rp. 50,3 N, n=2 y n=3.

3. Un hilo metálico “1” de L1 = 28,28 cm de longitud y µ1 = 0,050 kg/m de densidad lineal está soldado a

otro hilo “2” de densidad lineal mitad que la del anterior. Un extremo de estos dos hilos está fijo a un

parlante en F y en el otro se cuelga un cuerpo de 100 N pasando por una polea como muestra la Figura

37. La longitud del segundo hilo, entre la soldadura S y la polea P, es L2 = 100 cm. Si se quiere que a lo

largo de los dos hilos entre F y P se formen ondas estacionarias de forma que en S se tenga un nodo,

¿cuál es la frecuencia más baja a la que deba oscilar el parlante? y, en este caso, ¿cuál será el número

de vientres que habrá en total a lo largo del segmento FSP? Hacer una representación tipo Figura 26

para este ejercicio.

Rp. 158,1 Hz y corresponde al armónico 2 en L1 y al armónico 5 en L2. El número de vientres es 7.

Figura 37

4. Considerar dos tubos de la misma longitud, L = 0,68 m, el primero con sus dos extremos abiertos a la

atmósfera y el segundo con uno abierto y el otro cerrado: (a) calcular, para cada tubo, la menor

frecuencia de excitación sonora para la que se formen ondas estacionarias en su interior, (b) calcular

la longitud de onda correspondiente en cada caso, (c) representar la onda estacionaria de elongación

43

que se forma dentro de cada tubo, indicando la posición de nodos y vientres, (d) representar la onda

estacionaria de presión que se forma dentro de cada tubo, indicando la posición de nodos y vientres.

Tomar como velocidad de propagación del sonido en el aire es v = 340 m/s.

Rp. (a) Para el tubo abierto 250 Hz y para el tubo cerrado 125 Hz (b) Para el tubo abierto 1,36 m y

para el tubo cerrado 2,72 m.

5. Un tubo de 1,0 m de longitud está cerrado en uno de sus extremos. Cerca del extremo abierto se coloca

un alambre estirado; este alambre tiene 0,30 m de larga y una masa de 0,010 kg. Se le mantiene fijo

por sus dos extremos y se le hace vibrar en su modo fundamental. De esta manera la columna de aire

del tubo se pone en vibración por resonancia, a su frecuencia fundamental. Encontrar: (a) la frecuencia

de oscilación de la columna de aire, (b) la tensión en el alambre.

Rp. (a) 86 Hz (b) 89 N

6. Un diapasón de frecuencia 512 Hz se mantiene sobre el extremo de un tubo vertical cuyo extremo

inferior penetra en el agua. El tubo se va desplazando verticalmente y se obtiene una primera

resonancia cuando el tubo sobresale de la superficie del agua 16,4 cm y una segunda resonancia cuando

sobresales 50,3 cm. Calcular la velocidad del sonido en el aire. Hacer una representación de estos dos

armónicos tanto para la onda de elongación como para la onda de presión.

Rp. 347 m/s.

7. Antenas resonantes.

Las oscilaciones electromagnéticas en una antena son análogas a las vibraciones en una cuerda o varilla. En

resonancia se aparecen igualmente ondas estacionarias con presencia de NODOS y VIENTRES tal cual las

ondas estacionarias en una cuerda. En este caso a cada NODO de intensidad (corriente eléctrica i) le

corresponde un VIENTRE en la tensión eléctrica (voltaje V) y a cada VIENTRE de intensidad le

corresponde un NODO en la tensión eléctrica.

En las antenas con un polo a tierra (antenas Marconi), se produce un sólo

nodo de intensidad (vientre de tensión) en el extremo de antena. Y

viceversa en el plano de referencia de la puesta a tierra, Figura 38: se

denominan antenas resonantes de un cuarto de longitud de onda.

Figura 38

En antenas verticales u horizontales no unidas a tierra, la oscilación

fundamental se establece para el semiperíodo, por lo que se llaman

antenas de media longitud de onda, Figura 39.

Con esto se ve, que una antena sólo puede entrar en resonancia a ciertas

frecuencias bien determinadas (a la fundamental o a ciertos armónicos de

ésta).

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La longitud exacta de las antenas es un 5 % menor, debido a asilamientos defectuosos.

Con base en esta información estimar el tamaño de estas antenas resonantes para las siguientes ondas

electromagnéticas usadas en telecomunicaciones:

(a) La banda ISM (Banda Industrial, Científica y Médica) se 2,4 GHz (aquí se encuentran Bluetooth, WiFi

y ZigBee).

(b) La banda VHF de 300 MHz

(c) Banda UHF de 3 GHz

FIN