modulo de matematicas clei 3 a junio

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SEGOVIANAS Decreto de creación 1524 de 2002

Reconocimiento oficial según decreto 3589 DE 2019. Nit. No. 813.011.475-1.

DANE No. 241396000048 La Plata Huila.

MODULO DE MATEMATICAS CLEI 3 – 6o A JUNIO MATEMATICAS - INGENIERO JAEL TRUJILLO

TEMAS AL MODULO GENERAL DEL AREA DE MATEMATICAS

GRADO SEXTO BACHILLERATO…

SISTEMA DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que Permiten construir todos los números validos en el sistema. Un sistema de numeración puede representarse como N = S + R donde:

N es el sistema de numeración considerado S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9, A, B, C, D, E, F}

R son las reglas de generación que nos indican que números son válidos y cuales son no-validos en el sistema. Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números validos en un sistema de Numeración determinado solo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de Numeración utilizado se añade como subíndice al número). Ejemplos: El número 125(10 es un número valido en el sistema decimal, pero el número 12A (10 no lo es, ya que utiliza un símbolo (A) no valido en el sistema. El número 35(8 es un número valido en el sistema octal, pero el número 39(8 no lo es, ya que el 9 no es un símbolo valido en ese sistema. Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas. SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES Los sistemas de Numeración usados en la actualidad son posicionales. En estos sistemas de Numeración el valor de un digito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ese símbolo ocupa en el número. En este sistema desempeña un papel fundamental el 0 inventado por el pueblo maya. Un sistema de Numeración de base n significa que tenemos n cifras para escribir los Números (desde 0 hasta n-1) y que n unidades forman una unidad de orden superior. Así en el sistema decimal los dígitos para escribir van desde el 0 hasta el 9 y cuando tenemos 9 unidades y añadimos 1 tendremos una unidad de segundo orden o decena y pondremos las unidades a cero. Pero estamos demasiado acostumbrados a que después del 9 sigue el 10 y luego el




11, que no entendemos bien su significado profundo. Esto es debido a que desde hace generaciones (desde que fue desarrollado e inculcado por los árabes) hemos venido contando en un Sistema de Base 10 o sistema decimal el cual, es también conocido como Sistema Arábigo. Asimismo al 99 le sigue el 100 porque si añadimos una unidad a las nueve que tenemos formamos una decena que unida a las nueve que tenemos formamos una Centena.

Tal es la costumbre de la comunidad civil el calcular en decimal que la gran mayoria ni siquiera se imagina que pueden existir otros tipos de Numeración que no son precisamente de Base 10, tales como el Hexadecimal , el Octal, o el Binario. EL SISTEMA DECIMAL El sistema decimal es un sistema de Numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes, o también se les llaman dígitos. Es el sistema de Numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de Numeración. Sin embargo contextos, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de Numeración de propósito mas especifico como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de Numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos números (en francés, por ejemplo, el número 80 se expresa como "cuatro veintenas"). Según los antropólogos, el origen del sistema decimal esta en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. El sistema decimal es un sistema de Numeración posicional, por lo que el valor del digito depende de su posición dentro del número.

9a Posición

8 a Posición

7a Posición

6a Posición

5a Posición

4a Posición

3a Posición

2a Posición

1a Posición

Centenas de millón

decenas de millón

unidades de millón

centenas de mil

decenas de mil

unidades de mil

Centenas decenas Unidades

CMi

DMi UMi CM DM UM C D U

Así por ejemplo, el número

El valor relativo de una cifra depende del lugar que ocupe dentro de un número.

Diez unidades forman una decena.




Diez decenas forman una centena. Diez centenas forman una unidad de mil. Diez unidades de mil forman una decena de mil. Diez decenas de mil forman una centena de mil. Diez centenas de mil forman una unidad de millón. Diez unidades de millón forman una decena de millón. Diez decenas de millón forman una centena de millón. En el numeral 222 el mismo digito tiene distintos valores de acuerdo con cada posición que ocupa en el numeral 222.

2 2 2

2 Centenas 2 decenas 2 unidades

Como 1 decena = 10 unidades 1 centena = 100 unidades Entonces, los valores del digito 2, según su posición en el numeral son los siguientes:

2 2 2

2 x 100 unidades = 200 unidades

2 x 10 unidades = 20 unidades

2 unidades

EL SISTEMA BINARIO Estamos habituados al sistema de Numeración decimal y nos parece lógico usarlo en todo momento. Pero hay ocasiones en donde no es el más apropiado. Uno de esos mundos, en los que existen sistemas más descriptivos de los fenómenos que el decimal, es el de los procesadores. Las computadoras trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de Numeración natural es el sistema binario (encendido „1‟, apagado „0‟). Por su naturaleza digital, las computadoras son máquinas esencialmente binarias. Utilizan el sistema de Numeración llamado binario, en el que solo se disponen dos signos: 0 y 1. Contando correlativamente de manera binaria, diríamos: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111,... Tanto el sistema binario, como el decimal y el hexadecimal, son sistemas en los que la posición de cada digito representa información de mucha importancia. Veamos un ejemplo de cómo se descompone posicionalmente un número decimal:

El número 7.935 = 1000 * 7 + 100 * 9 + 10 * 3 + 1 * 5

Como hay diez símbolos (del 0 al 9), una decena representa 10 unidades, una centena representa 10 decenas, etc. Diez unidades de una posición, valen una unidad en la posición contigua a la izquierda. En el sistema binario, con dos símbolos solamente, cada posición a la izquierda vale el doble de la que le sigue a la derecha. O lo que es lo mismo decir, la relación entre las sucesivas posiciones se da según la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536..... La que a su vez puede expresarse como potencias crecientes de 2:

20

, 21 , 22

, 23 , 24

, 25 , 26

, 27 , 28

, 29 , 210

, 211 , 212

, 213 , 214 , 215 , 216

.....




o Para el sistema de Numeración binaria, valen las dos reglas practicas siguientes: Un número de

n bits puede representar a un decimal de un valor de hasta 2n

- 1 o El multiplicador del bit de posición n, vale 2n

Ejemplos: Un número de 8 bits cuenta desde 0 hasta 255. El multiplicador del bit 7 es 128. (El bit número 7 tiene un “peso” de 128) Notar que siempre se

comienza a contar desde cero. En un número binario, al igual que en un decimal, el bit menos significativo (correspondiente al multiplicador 20, o sea 1) es el que se escribe más a la derecha:

bit# 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0

mult 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Veamos como ejemplo práctico un número de 7 bits cualquiera como 1001101 (notar que los bits se ordenan 6...0). 1001101 = 64 * 1 + 32 * 0 + 16 * 0 + 8 * 1 + 4 * 1 + 2 * 0 + 1 * 1 Esto nos proporciona una forma de traducir (cambiar de base) un número binario a Decimal. Basta sumar aquellos multiplicadores cuyos bits estén en 1 e ignorar aquellos cuyo bit es 0. En nuestro anterior ejemplo es: 1001101 = 64 + 8 + 4 + 1 = 77 decimal Los números binarios son los que efectivamente fluyen dentro del procesador en na PC, se guardan en memoria o disco, o se transmiten (modulados) por MODEM. Pero un humano no puede manipular con facilidad números como: 1101 0011 0101 0110 1010 0101 1100 0011 Que es de 32 bits (hay 32 símbolos en el número, desde el bit 31 a la izquierda hasta el bit 0, a la derecha) y se ha ordenado ex-profeso en grupos de a cuatro por cuestiones de comodidad que serán evidentes algo más adelante. Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es posible hacer la conversión entre decimal y binario, no es precisamente una tarea cómoda.

TALLER EN CLASE EN TU CUADERNO

TALLER EN CASA NÚMEROS NATURALES El conjunto de los números naturales está formado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:




5 > 3; 5 es mayor que 3. 3 < 5; 3 es menor que 5. Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. Representación de los números naturales Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

SUMA DE NÚMEROS NATURALES a + b = c Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma. Propiedades de la suma de números naturales El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural. a + b 2. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8 10 = 10

3. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a 2 + 5 = 5 + 2

7 = 7 4. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con el da el mismo número.

a + 0 = a 3 + 0 = 3




TALLER EN CLASE ENTREGAR LOS EJERCICIO RESUELTOS En Tu Cuaderno O En Hojas Cuadriculadas

1. Realiza las siguientes sumas a) 5 + 11 = b) 10 + 14 + 27 = c) 45 + 18 + 32 + 43 = d) 37 + 45 + 63 + 21 = e) 62 + 38 + 45 + 72 = f) 124 + 234 + 237 + 678 = g) 57 + 963 + 1235 + 67 = h) 89 + 723 + 1234 + 765 + 8976 =

2. Completa, en la línea, con lo que falta para que se cumpla la igualdad:

a) 2 + ___ = 18

b) 3 + ___ = 27

c) 3 + 7 = ___

d) ___ + 8 = 24

e) ___ + ___ = 21

f) 4 + ___ = 207

g) ___+ 7 = 28

h) ___ + 9 = ___

i) 5 + 7 = ___

j) ___ + 9 = 45

k) 5 + ___ = 40

l) ___ + 3 = 15

m) 6 + 7 = ___

n) 7 + ___ = 56

o) 7 + ___ = 70

p) ___ + 7 = 49

q) 8 + ___ = 24

r) 8 + ___ = 32

s) ___ + 7 = 56

t) ___ + ___ = 64

u) ___ + 9 = 72

v) 9 + 6 = ___

w) ___ + 7 = 63

x) ___ + ___ = 81

y) 12 + 4 = ___

z) 12 + 6 = ___

TALLER EN CASA

1. Completa la siguiente tabla:

+ 15 27 234 567 1234

2354

876




9876

98765

345687

RESTA DE NÚMEROS NATURALES a - b = c Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia. Propiedades de la resta de números naturales

1. No es una operación interna: El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural.

2 – 5 E N 2. No es Conmutativa:

5 − 2 ≠ 2 – 5





1. Realiza las siguientes restas a) 123 − 11 = b) 114 − 27 = c) 4518 − 3243 = d) 13745 − 63 21 = e) 6238 − 4572 = f) 1212234 − 237678 = g) 579632 − 123567 = h) 897231234 − 7658976 =

2. Completa, en la línea, con lo que falta para que se cumpla la igualdad:

a) 22 - ___ = 18

b) 36 - ___ = 27

c) 13 - 7 = ___

d) ___ - 8 = 24

e) ___ - ___ = 21

f) 402 - ___ = 20 7

g) ___- 7 = 28

h) ___ - 9 = ___

i) 15 - 7 = ___

j) ___ - 9 = 45

k) 125 - ___ = 40

l) ___ - 3 = 15

m) 16 - 7 = ___

n) 127 - ___ = 56

o) 70 - ___ = 70

p) ___ - 7 = 49

q) 82 - ___ = 24

r) 83 - ___ = 32

s) ___ - 7 = 56

t) ___ - ___ = 64

u) ___ - 9 = 72

v) 9 - 6 = ___

w) ___ - 7 = 63

x) ___ - ___ = 81

y) 12 - 4 = ___

z) 12 - 6 = ___

MULTIPLICACION DE NÚMEROS NATURALES Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces

como indica el otro factor. El punto, la X o el * significan multiplicador. Entonces.

a ・ b = c




Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto. Propiedades de la multiplicación de números naturales 1. Interna: El resultado de multiplicar dos números naturales es otro número natural.

a ・ b E N

2. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

(a ・ b) ・ c = a ・ (b ・ c)

(2 ・ 3) ・ 5 = 2・ (3 ・ 5)

6 ・ 5 = 2 ・ 15

30 = 30 3. Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.

a ・ b = b ・ a

2 ・ 5 = 5 ・ 2

10 = 10 4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales, porque todo número multiplicado por el da el mismo número.

a ・ 1 = a

3 ・ 1 = 3

5. Distributiva: La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de los multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.

a ・ (b + c) = a ・ b + a ・ c

2 ・ (3 + 5) = 2 ・ 3 + 2 ・ 5

2 ・ 8 = 6 + 10

16 = 16 6. Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a ・ b + a ・ c = a ・ (b + c)

2 ・ 3 + 2 ・ 5 = 2 ・ (3 + 5)

6 + 10 = 2 ・ 8

16 = 16 TALLER EN CLASE EN TU CUADERNO I.- Completa, en la línea, con lo que falta para que se cumpla la igualdad: 1) 2 x ___ = 18




2) 3 x ___ = 27 3) 3 x 7 = ___ 4) ___ x 8 = 24 5) ___ x ___ = 21 6) 4 x ___ = 20 7) ___ x 7 = 28 8) ___ x 9 = ___ 9) ___ x 9 = 45 10) 5 x ___ = 40 11) ___ x 3 = 15 12) 6 x 7 = ___ 13) 7 x ___ = 56 14) 7 x ___ = 70 15) ___ x 7 = 49 TALLER EN CASA 1. 8 x ___ = 24 2. 8 x ___ = 32 3. ___ x 7 = 56 4. ___ x ___ = 64 5. ___ x 9 = 72 6. 9 x 6 = ___ 7. ___ x 7 = 63 8. ___ x ___ = 81 9. 12 x 4 = ___ 10. 12 x 6 = ___ 11. ___ x 8 = 96 12. ___ x ___ = 144 DIVISION DE NÚMEROS NATURALES D : d = c Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y, d, divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente. Tipos de divisiones 1. División exacta: Una división es exacta cuando el resto es cero.

D = d ・ c

15 = 5 ・ 3

2. División entera: Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.

D = d ・ c + r




17 = 5 ・ 3 + 2

Propiedades de la división de números naturales 1. No es una operación interna: El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural.

2 : 6 E N 2. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a 6 : 2 ≠ 2 : 6

3. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0 4. No se puede dividir por 0. TALLER EN CLASE EN TU CUADERNO

1. Efectuar las siguientes divisiones




TALLER EN CASA Efectuar las siguientes divisiones

1. Calcula las siguientes divisiones de números enteros: 1) 4 ÷ 2 = 2) 20÷ 4 = 3) 45 ÷ 3 = 4) 15÷5 = 5)20 ÷ 2 = 6) 21 ÷ 7 = 7)27 ÷ 9 = 8) 42 ÷ 21 = 9) 8 ÷ 2 = 10) 100 ÷ 10 = POTENCIA DE NÚMEROS NATURALES Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios Factores iguales.

5 ・ 5 ・ 5 ・ 5 = 54

Base La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5. Exponente El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la




base, en el ejemplo es el 4. Propiedades de la potencias de números naturales

1. a0 = 1 2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

am ・ a

n = a

m+n

25 ・ 2

2 = 2

5+2 = 27

4. División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am :

an = am - n

25 : 22

= 25 - 2

= 23

5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(am)n = am ・ n

(25)3 = 215

6. Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

an ・ b n = (a ・ b) n

23 ・ 43 = 83

7. Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

an : bn

= (a : b)n

63 : 33 = 23

Descomposición polifónica de un número Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10. El número 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo:

3.658 = 3 ・103 + 6 ・102 + 5 ・101

+ 8

TALLER EN CLASE EN TU CUADERNO A. Escribe en forma de una sola potencia:

1. 33 ・ 34

・ 3 =

2. 57 : 53

= 3. (53)4

=

4. (5 ・ 2 ・ 3)4 =

5. (34)4 =

6. [(53)4 ]2 =

7. (82)3




8. (93)2

9. 25 ・ 24

・ 2 =

10. 27 : 26 =

11. (22)4 =

12. (4 ・ 2 ・ 3)4 =

13. (25)4 = 14. [(23

)4]0= 15. (272)5= 16. (43)2

= RAIZ CUADRADA

Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera. Radicando = (Raíz entera)2 + Resto




Algoritmo de la raíz cuadrada Calculo de la raíz cuadrada

6. El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.

7. Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.




Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz.

8. Prueba de la raiz cuadrada. Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir: Radicando = (Raiz entera)2

+ Resto 89 225 = 2982 + 421




Taller en clase EN TU CUADERNO

1. Calcula




Operaciones combinadas con números naturales Prioridad de las operaciones 1. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2. Calcular las potencias y raíces. 3. Efectuar los productos y cocientes. 4o.Realizar las sumas y restas. Tipos de operaciones combinadas 1. Operaciones combinadas sin paréntesis 1.1 Combinación de sumas y diferencias.

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7 1.2 Combinación de sumas, restas y productos.

3 ・ 2 − 5 + 4 ・ 3 − 8 + 5 ・ 2 =

Realizamos primero la multiplicación por tener mayor prioridad.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = Efectuamos las sumas y restas.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15 1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.

10: 2 + 5 ・ 3 + 4 − 5 ・ 2 − 8 + 4 ・ 2 – 16:4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10 1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.

23 + 10 X 2 + 5 X 3 + 4 − 5 x 2 − 8 + 4 x 22

− 16 x 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

= 8 + 10 x 2 + 5 x 3 + 4 − 5 x 2 − 8 + 4 x 4 – 16 x 4 =

Seguimos con los productos y cocientes. = 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

Efectuamos las sumas y restas. = 26 2. Operaciones combinadas con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 ・ 2) + (5 + 16 x 4) −5 + (10 − 23) =

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos. = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8)=

Quitamos paréntesis realizando las operaciones. = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18




3. Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 − (23 − 10 x 2 )] x [5 + (3 x 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 x 3 ) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 − (8 − 5 )] x [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 − 3] ・ [5 + 2 ] − 3 + 2 =

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:

= (15 − 3) x (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los paréntesis.

= 12 x 7 − 3 + 2

Multiplicamos. = 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos. = 83

TALLER EN Casa

EN TU CUADERNO 1. 3 x 5 + 7 - 2 = 2. 25 ÷ 5 + 3 x 7 = 3. 70 ÷ 2 + 3 x 2 = 4. 3 x (4 + 8) = 5. [7-(4-2)] ÷5+(12-2) ÷ (6-4)-9÷ (5-2) = 6. [4÷2+3(7-6)-8÷ (6-2)] x (11-9)= 7. [9-3(7-5+1)+2] ÷ [3 x 4-5 x (8-6)]= 8. {2 x [7-5(9-8)]+3}÷7-1=

9. (23-9・4÷2) x 4-[26-(11-5) ÷3] ÷4+42÷ (13-9+2)=




TALLER EN CASA

NÚMEROS FRACCIONARIOS LAS FRACCIONES CONCEPTO DE FRACCION. Una fracción se puede interpretar como: * Parte de una unidad * El cociente de dos Números




3 / 4 = 0,75




TALLER EN CASA

1. Escribe en forma de fracción.

8 / 5 = 5 7 / 8 = 7 / 20 = 3 / 10 =

8

12 / 10 = 15 / 4= 9 / 2 = 7 / 5 =




2. Rodea la fracción que corresponda a la parte coloreada. Cuando dos fracciones son equivalentes, sus productos cruzados son iguales. Ordenación de fracciones: Para ordenar dos fracciones, si tienen el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador. Ejemplo: 3/7 < 5/7 pero 6/7> 5/7 Si tienen distinto denominador, se busca su decimal correspondiente. Ejemplo: Para ordenar 3/5 y 2/4, se busca el decimal que corresponde a cada fracción: 3/5 = 0‟6 2/4 = 0‟5 por lo tanto, como 0‟5 < 0‟6 ------- 2/4 < 3/5

ACTIVIDAD EN CLASE EN TU CUADERNO

2. b) Los 2 CUARTOS .Cuantos minutos hay en un cuarto de hora? .Y en tres cuartos?

3. .Cuantos metros son los 43 de 52 kilómetros.

4. Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones, calculando el valor decimal de cada una: a) 3/8 y 4/9 b) 7/10 y 3/5 c) 4/9 y 12/27 d) 3/5 y 15/20 5. Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones - Calculando su valor decimal. - Calculando sus productos cruzados a) 5/9 y 10/27 b) 3/7 y 12/28 c) 3/5 y 15/25 d) 4/7 y 16/21 6. ORDENE LAS SIGUIENTE FRACCIONES DE MENOR A MAYOR, Y REPRESENTELAS EN LA RECTA NUMERICA. 3/5 2/10 1/3 5/6 3/3 4/5 6. Ordena las siguientes fracciones, de menor a mayor, y represéntalas en la recta numérica: 3/5 2/10 1/3 5/6 3/3 4/5 ACTIVIDAD EN CASA 1. Calcula.

a) Los (6/5) DE 1.000 g. SE TOMAN (1000/5) X 4 = _____________ b) Los (8/8) DE 2.000 m. SE TOMAN _________________________ c) Los (12/6) DE 60 Minutos Se toman _________________________ 2. .Cuantos minutos hay en dos cuarto de hora? .Y en tres cuartos?

3. .Cuantos metros son los (7/4) de 56 kilómetros.

4. Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones, calculando el valor decimal de cada una:




a) 2/18 y 4/9 b) 6/10 y 3/5 c) 4/9 y 2/27 d) 9/5 y 15/60 5. Ordena las siguientes fracciones, de menor a mayor, y represéntalas en la recta numérica: 2/5 4/10 1/13 12/16 4/3 4/7

OPERACIONES CON FRACCIONES

Suma y resta: Para sumar o restar fracciones de distinto denominador se transforman en otras equivalentes con el mismo denominador. Después, se suman o restan los numeradores, dejando de denominador el que hayamos obtenido al transformarlas. Para sumar o restar fracciones de distinto denominador se transforman en otras equivalentes con el mismo denominador. Después, se suman o restan los numeradores, dejando de denominador el que hayamos obtenido al transformarlas.

a) se calcula el m.c.m. de los denominadores

(3/5)+(4/10)+(2/15) = m.c.m (5, 10, 15) = 30 este será el nuevo denominador común.

Para hallar los nuevos numeradores dividiremos el nuevo denominador común entre el denominador antiguo y el resultado lo multiplicaremos por el numerador antiguo: 3/5 +4/10+2/15 = 18/30+12/30+4/30 = 18+12+4 se coloca el valor del 30 como simplificador 30 = 34/30 = 34:2= 17 30:2= 15


1. Calcula: a) 3/4 + 1/6 = b) 2/3 – 3/5 = c) 2/5 – 1/3 = d) 1/5 + 2/3 + 4/15 = e) 3/10 + 2/3 – 1/4 = g) 4/5 – 1/4 + 1/2 = h) 2/3 + 3/5 + 1/9 + 2/15 = i) 3/8 + 2/5 – 2/3 + 7/10 = j) 13/45 – 2/15 = k) 9/10 – 15/40 = l) 6/15 + 8/9 – 4/10 =

TALLER EN CASA 1. Calcula: a) 3/4 + 2/16 = b) 2/6 – 3/15 = c) 2/15 – 1/13 = d) 1/5 + 2/3 + 4/15 = e) 4/10 + 6/3 – 2/4 =




f) 5/5 – 2/4 + 3/2 = g) 2/3 + 3/5 + 1/9 + 2/15 =

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: a) Multiplicación: El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el

producto de sus numeradores y cuyo denominador es el 3/5 X 2/3 X 4/7 = 3*2*4 = 24 SIMPLIFICANDO 24 = 24: 3 = 8 5*3*7 105

105 105:3 35 Producto de sus denominadores. b) División: El cociente de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto del

numerador de la primera por el denominador de la segunda y cuyo denominador es el producto del numerador de la segunda por el denominador de la primera.

EJEMPLO: A. 3/5: 2/7 = 3*7/2*5 = 21/10

B. 5/9 : 2 = 5*1 / 2*9 = 5/18

Actividades: * Calcula: a) 3/5 : 7/8 b) 6/7 : 3/4 c) 2/3 : 6 d) 8 : 3/5 * Calcula: a) 3/7 * 2/5 = b) 4/9*8 = c) 2/3 * 3/8 * 5/6 d) 12/15 * 10/13 * 9/12 =

LOS NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son valores que denotan números racionales e irracionales, es decir que los números decimales son la expresión de números no enteros, que a diferencia de los números fraccionarios, no se escriben como el cociente de dos números enteros sino como una aproximación de tal valor. Que son números decimales? Un número decimal, por definición, es la expresión de un número no entero, que tiene una parte decimal. Es decir, que cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma, y son una manera particular de escribir las fracciones como resultado de un cociente inexacto. La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y en la recta numérica, esta parte estaría ubicada entre el cero y el uno, mientras que la parte entera se la escribe en la parte derecha. En el caso de que un número decimal no posea una parte entera, se procede a escribir un cero al lado izquierdo o delante de la coma. Aquí varios ejemplos para ilustrar estos casos: 7,653 En este valor podemos ver que el número entero se encuentra primero es siete o 7, delante de la coma o a su izquierda, mientras que la parte decimal, que en es te caso contra de tres cifras es 653 y se encuentra a la derecha de la cifra. 0,23




En este otro ejemplo, vemos que la parte decimal tiene solo dos cifras, pero la parte entera se reduce a cero, por lo tanto se deduce que la parte entera es nula y debe ser expresada de esa manera. 4 + 0,23 = 4,23 Este ejercicio nos demuestra como la parte entera se une con la parte decimal a través de una suma que indica que la parte entera es 4 mientras que la parte decimal se reduce a un número menor que uno pero mayor que cero, en este caso 0,23. Clasificación de los números decimales Existen varias formas de separar los números decimales; puede ser con una coma, con un punto o con un apostrofe segun se acostumbre y se desee, pero también existen varias formas de números decimales, entre los que tenemos: Números decimales exactos.- estos son valores cuya parte decimal posee un número limitado de cifras decimales y se pueden escribir sin un excesivo esfuerzo, como estos: 0,75; 2,6563; 6,32889 Números decimales periódicos.- son aquellos que tienen un número ilimitado o infinito de cifras decimales, pero que se repiten en un patron o periodo determinado que es visible dentro de un número de cifras variable en cada caso. Para denotar que se trata de un número infinito, que no puede ser escrito indefinidamente por un ser humano, se utilizan tres puntos seguidos que significa infinidad, por ejemplo. 1,333333333…; 6,0505050505…; 5,325483254832548… Números decimales periódicos puros.-donde los números decimales son parte del mismo grupo como: 3,63636363… Números decimales periódicos mixtos.- donde existen cifras que están fuera del periodo o patrón de cifras decimales, como en: 9,36666666… Números decimales no periódicos.- estos números tienen cifras decimales infinitos que no pueden ser definidas como un patrón, un buen ejemplo de números decimales no periódicos, son los números irracionales, como: El número Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De el se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589… Composición de un número decimal Los números decimales se componen de cifras que son separadas de la parte entera con una como, un punto o un apostrofe, como se señalaba en la parte anterior. Pero estas cifras también tienen una característica que las diferencia según la posición de su denominador. Las decimas se ubican un lugar después de la coma o separador; las centésimas están dos lugares después del separador; las milésimas en el tercer lugar y así podríamos seguir con las diez milésimas, las cien milésimas, etc. Por ejemplo en el número 7,951 notamos que 7 es la parte entera, 9 es la décima, 5 es la centésima y 1 es la milésima




TRABAJO EN CLASE EN TU CUADERNO

1.- Escribe el número decimal que corresponda: 3/10 = 0,3 9/10 = ________ 35/10 = ______ 618/10 = ______ 7/100 = ________ 24/100 = _____ 346/10 = ____ 514/1000 = ______ 75/1.00 = ______ 2.- Completa:

NÚMERO SE LEE

0,7 Siete decimas

0,8

6,2

Setenta y cinco centésimas

1,46

0,09

3,125

Dieciséis milésimas

3.- .Cuantas centésimas hay en tres unidades? ........................................................... .Y en siete décimas?..................................................




4.- Completa: 5 unidades =......................... centésimas 16 unidades =............................ decimas 3 décimas =......................... centésimas 7 décimas =............................... milésimas 6 centésimas =..................... milésimas 12 centésimas =......................... milésimas 5.- Completa como en el ejemplo:

TRABAJO EN CASA:

FRACCION DECIMAL NÚMERO DECIMAL SE LEE

10

2

0,2 Dos decimas

37

10

Cinco unidades doce centésimas.

86 100

3,05

4,428




COMPARACION DE DECIMALES. APROXIMACION

TRABAJO EN CLASE EN TU CUADERNO

1. Escribe estos números decimales en el cuadro correspondiente.

2. Cuáles son los números enteros más próximos a 3,75?............................................. 3. Escribe tres números decimales comprendidos entre cero y uno, utilizando en cada uno las cifras 0, 3, 4 y 2 y la coma decimal una sola vez.




TRABAJO EN CASA

1. Completa:

NUMERO DECIMA MAS PROXIMA UNIDAD MAS PROXIMA 7,46

0,108

1,209

3,16

0,988

SUMA DE NÚMEROS DECIMALES




TALLER EN CASA 1. REALIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

76 + 19,24 + 0,087 = 57,15 + 34,8 + 0,483 = 7,625 + 38,76 + 96,45 =

36 + 4,5 + 18,92 = 38,42 + 0,761 + 125 + 47,502 = 28,73 + 64,5 + 8,9 + 25 =

73,145 + 124 + 48,07 + 7,005 = 48,3 + 5,76 + 16,05 + 34 = 234 + 45,789 =

2.- Una lata de tomate triturado pesa 0,58 kg, y otra 0,65 kg. .Cuanto pesan las dos latas? 3.- Que longitud pueden alcanzar tres varillas que se pueden acoplar una a otra y miden 1,75 m; 0,95 m y 0,6 m?

RESTA DE NÚMEROS DECIMALES




5.- Marta mide 1,62 m. y Silvia, 1,56 m. .Cual es la diferencia de sus alturas? 6.- De una cuerda que media 100 m, Ana corto 17,75 m. y Paula, 24,35 m. Que longitud de cuerda queda? 7.- .Cuanto le falta a 3,75 para llegar a 6? 8.- .Cuanto le sobra a 10 para obtener 6,8? 9.- Una moneda se ha fabricado con 2,85 gramos de oro y 2,3 gramos de cobre. Cuánto pesa la moneda? 10.- Un atleta ha obtenido en un triple saltos estas marcas: 5,66 m. en el primer salto, 4,08 m en el segundo y 4,12 en el tercero. Calcula la longitud total del triple salto. 11.- Observa el croquis y contesta.

12.- Calcula “de cabeza”

1,75+ 1,5 = __________ + 0,75 - 1,25 = _____________ - 1,5 - 3,5 = _______




9,4 x 100 =....................... 9,4 x 10 =..................... 9,4 x 1.000 =.................

0,17 x 10 =....................... 0,17 x 1.000 =.............. 0,17 x 100 =..................

2,5 x 30 =........................ 2,5 x 300 =.................... 2,5 x 3.000 =................. 2.- Alejandro avanza en cada paso 0,65 m. .Cuantos metros recorre si da diez Pasos? .Y si da 100 pasos? 3.- La milla marina, utilizada en el trasporte marítimo, es una unidad de longitud Igual a 1,852 km. Dos barcos se encuentran a 24 millas el uno del otro. .Cual es la distancia en km.? 4.- Calcula. 3,16 x 47 =.................. 26,8 x 104 =................. 0,92 x 30,6 =............................. 26,3 x 5,06 =................... 2,67 x 30,8 =................... 28,3 x 5,06 =............................. 30,24 x 2,9 =.................... 12,6 x 5,003 = 456 x 0,004 =............................




DIVISION DE NUMEROS DECIMALES

6.- Un coche ha dado 40 vueltas a un circuito y ha recorrido 738 km. .Cual es la longitud del circuito? 7.- Un rail de la via del ferrocarril mide 12,5 metros. .Cuantos railes hay en 10 km de via? 8.- Calcula: 2815, 2: 48 =_____________ 180,072: 24,6 =____________ 1.493,5: 72,5 =_______ 466,95: 16,5 =____________ 13.442 : 28,6 =_____________ 25.552,8 : 36,4 =______

modulo de matematicas clei 3 a junio

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