momen peubah ganda.docx
TRANSCRIPT
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
1/21
Momen Peubah Ganda
Di pasal 5.1 dibahas momen untuk peubah acak X yang tunggal (yakni, bermatra 1);
di pasal ini dibahas momen dari beberapa peubah acak (pada umumnya, tidak bebas-jadi,
mereka saling mempengaruhi).
Bila ( X 1 , , X n) suatu peubah acak bermatra n, maka g ( X 1 , , X n) juga suatu peubah
acak yang mempunyai fungsi distribusi, jadi harapannya terdefinisi (definsi 5.1.1) dan
berbagai teorema yang berkaitan dengan itu telah dikemukakan di pasal 5.1. Sebagai contoh,
akibat 5.1.3 dan akibat 5.1.6.
Teorema 5.3.1
Bila ( X 1, , X n) suatu peubah acak bermatra n dan bila Eg ( X 1 , , X n) ada, maka
nn x xnn dxdx x x f x x g X X Eg n ,...,,...,,...,...,..., 11,...11 1 Jika ( X 1 , , X n) kontinu mutlak, dan
n x xnn x x p x x g X X Eg n ,...,,...,...,..., 1,...11 1
Jika ( X 1 , , X n) diskret
Bukti :
Berdasarkan definisi 5.1.1
dx x xf EX x bila X kontinu mutlak dengan fungsi padat f x(x)
i xi x p x EX bila X diskrit dengan fungsi peluang p x(x)
Maka
nn x xn
x x xn
dxdx x x f x x g
dxdx x x f x x g dx x f x g X X Eg
n
,....,,....,,...,.. .
....,,,,...,
11,....,1
2121,211111
1
211
nn x xn dxdx x x f x x g n ,....,,....,,...,... 11,....,1 1 n x xn x x xn x x p x x g x x p x x g x p x g X X Eg n ,...,,...,...,,,..., 1,...,121,21111 1211
n x xn x x p x x g n ,...,,..., 1,...,1 1
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
2/21
Teorema 5.3.2
Bila ( X 1 , X 2) suatu peubah acak dwipeubah dan bila rataannya ada, maka E ( X 1 + X 2) = E ( X 1)
+ E ( X 2)
Bukti :
Karena Y = X 1 + X 2 suatu peubah acak dan fungsi padat peluangnya dapat dihitung dari
fungsi padat peluang gabungan ( X 1 , X 2) seperti di teorema 4.6.15.
dy y yf Y E y
21
2221
2121,2111
1221,211
1221,2221,1
1221,2221,1
1221,21
12111,
2
211
211
2121
2121
21
21
21
,
,
,,
,,
,
)(dengan,
X E X E
dx x f x X E
dxdx x x f xdx x f x
dxdx x x f x x f x
dxdx x x f xdx x x f x
dxdx x x f xdx x x f x
dxdx x x f x x
x y xdydx x y x f y
dy y yf
x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
Karena Y = X 1 + X 2 , maka terbukti E ( X 1 + X 2) = E ( X 1) + E ( X 2)
Kendati bukti yang ingin diberikan untuk teorema 5.3.2 ialah untuk kasus yang mempunyai fungsi padat peluang gabungan, hasil itu juga benar untuk peubah acak
lainnya (ataukah diskret, kontinu, campuran dan umum). Hal ini dapat dengan mudah
dirampat menjadi harapan dari setiap jumlah berhingga dari peubah acak. [sebagai contoh
untuk menunjukkan bahwa E ( ) = E ( ) + E ( ) + E ( ). Pertama-tamagunakan teorema 5.3.2 untuk menunjukkan bahwa E ( ) = E ( ) + E ( ) +
E ( ), dan kemudian gunakan untuk kedua kalinya pada E ( ) untuk membuktikanseluruhnya.] yakni
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
3/21
Akibat 5.3.3
Bila peubah acak bermatra n dan bila rataannya ada, maka E = E ( )++ E ( ).Contoh 5.3.4
Dalam contoh rulet ini (contoh 5.1.8 hal. 249) perhatikan bahwa secara intuisi jelas bahwa
rataan jumlah keuntungan dalam 100 kali main putaran sama dengan jumlah putaran. Bila
dimisalkan pada putaran ke- i perjudian tersebut dan biladiingat bahwa keuntungan dalam 100 putaran pertama ialah , maka akibat 5.3.3
diperoleh
E(Y) = -0,7632
Karena E (Y ) untuk satu kali putaran, maka untuk 100 kali putaran menjadi
=
= (-0 ,7632) + + ( -0,7632)
= -76,32
Seperti dinyatakan dalam contoh 5.1.8 [ catatan : ini benar-benar terlepas dari bentuk
fungsi padat peluang gabungan dari keuntungan, sepanjang distribusi marginalnya tidak
diubah, karena hanya fungsi padat peluang marginal yang digunakan dalam menghitung
]
Definisi 5.3.5
Misalkan (bilangan bulat yangtak negatif) definisikanlah ( )(bila harapan ini ada). Ini disebut momengabungan orde dari
Contoh 5.3.6
Misalkan suatu peubah acak bermatra 2, maka
E
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
4/21
Perhatikan bahwa disebut momen perkalian.
Definisi 5.3.7
Misalkan suatu peubah acak bermatra 2. Untuk setiap (bilangan bulat taknegatif) didefinisikan * +(bila harapan ini ada). Inidisebut momen pusat gabungan ordo dari Contoh 5.3.8
Misalkan suatu peubah acak bermatra 2 maka* + * +* +var * +var * + .
Lemma 5.3.9
Kov .Bukti :Kov * +
= Lemma 5.3.10Var Var ( ) Var ( ) Kov .Bukti:Berdasarkan definisi 5.1.14 yang menyatakan bahwa Var( X ) ialah 2 (momen pusat kedua
dari X ) dengan n = E ( X EX )n
, maka
Var ( X ) = E ( X EX )2
Var ( ) = ( )
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
5/21
= ( ) ( ) ( ) Jadi variansi dari jumlah peubah acak adalah jumlah kedua variansi ditambah dua kali
besaran yang diseb ut kovariansi (suatu ukuran hubungan antar keduanya). Bila kedua
peubah acak tidak ada hubungannya dalam arti kovariansinya nol (atau korelasi), apakah
keduanya bebas? Pertanyaan ini akan dibahas berikut ini, dan hasil akhirnya diberikan pada
teorema 5.3.19; pertanyaan yang berkaitan dengan itu juga akan dibahas. Pertama-tama,
sebelum itu akan diberikan perluasan yang berguna dari lemma 5.3.10 kejumlah n peubah
acak dan beberapa contoh.
Lemma 5.3.11
Var ( ) Bukti lemma 5.3.11 dengan mudah dapat diturunkan dari lemma 5.3.10 dengan
menggunakan induksi matematika (sebagai permulaan, perhatikan bahwa suatu jumlah dua peubah acak, padanya lemma 5.3.10 dapatdigunakan). Suatu hasil yang berguna diperoleh dengan menggabungkan akibat 5.3.3 dengan
lemma 5.3.11 sebagai berikut:
Akibat 5.3.12
Misalkan , jika peubah acak dengan Var dan Kov ( ) maka ,dan
Var Bukti : =
=
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
6/21
( ) Berdasarkan Lemma 5.3.10, maka
(dengan )
= Contoh 5.3.13
Misalkan suatu peubah acak bermatra 2 dengan fungsi padat peluang gabungan
Untuk mencari momen sampai ordo kedua dan menghitung korelasinya (definisi 5.3.21-
korelasi ialah kovariansi Kov
, dibagi dengan perkalian simpangan baku
. Dikerjakan sebagai berikut.Umumnya,( )
Jadi, untuk mencari momen masing-masing,
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
7/21
dan
( )
Jadi,
= . /
() |
Sehingga , dan = ( Var ( ()-
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
8/21
Begitu pula
=
| |
}
=
| |
}
Var ./
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
9/21
|
|
Dan korelasinya (dibahas di definisi 5.3.21)
Kor ./
Contoh 5.3.14
Misalkan peubah acak bermatra 2 dengan fungsi padat peluang gabungan Untuk mencari semua momen sampai ordo ke 2 dan korelasi antara
dan
, kita kerjakan
sebagai berikut
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
10/21
Sekarang
() , Var = () , Var = Kov ././ Dan korelasinya (definisi 5.3.21) adalah
Contoh 5.3.15
Perhitungan momen peubah ganda dalam kasus diskrit. Misalkan peubah acak bermatra 2 dengan fungsi peluang dicontoh 3.5.5. Cari semua momen sampai ordo ke 2
(lihat contoh 3.5.5)
{
{
Dengan pada semua lainnya, dan pada semua lainnya, jadi ;
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
11/21
E ( ) Jadi
Var ./ Var ./ Kov
Dan (lihat definisi 5.3.21)
Kor ././ Teorema 5.3.16
Bila dan bebas, maka untuk setiap dua fungsi dan Bila harapan ini diruas kanan ada, (rampatannya ke n peubah acak jelas juga
benar).
Bukti :
Berdasarkan teorema 4.4.6, untuk n = 2 maka dan berdasarkan teorema 5.3.2 bahwa maka dapat ditulis
Dua peubah acak X 1 dan X 2 tidak berkorelasi bila [yakni, bila hasilteorema 5.3.16 berlaku untuk ]
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
12/21
Lemma 5.3.17
dan tidak berkorelasi jika dan hanya jika Kov ( , ) = 0Bukti :
1. Jika
dan
tidak berkorelasi maka Kov (
,
) = 0
Berdasarkan teorema 5.3.16,
Jika dan tidak berkorelasi maka Kov ( , ) = 0
2. Jika Kov ( , ) = 0 maka dan tidak berkorelasiKov ( , ) = 0
Karena maka dan tidak berkorelasiTeorema 5.3.18
Var ( + ) = Var( Var( ) jika dan hanya jika dan tidak berkorelasiBukti:menurut lemma 5.3.10
Var (
+
) = Var(
Var(
)+ Kov (
,
)
Suku terakhir diruas kanan nol menurut lemma 5.3.17
Teorema 5.3.19
i Bila dan bebas maka keduanya tidak berkorelasiii bila dan tidak berkorelasi, keduanya belum tentu bebasBukti:
i Berdasarkan teorema 5.3.16 dengan mengambil
, tidak berkorelasi, bebas
Untuk semua fungsi kontinu
dan yang menjadi 0 (nol)
Diluar suatu selang berhingga
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
13/21
Gambar 5.3.1 hubungan antara kebebasan dan korelasi
ii Misalkan , cos dan U seragam pada (0,1). Dapat dibuktikan bahwa tidak berkorelasi, tetapi karena untuk semua maka keduanya tidak bebas.Teorema ini menjawab pertanyaan yang diajukan menyusul bukti lemma 5.3.10, tentangapakah kovariansi yang nol mengakibatkan kebebasan, sedangkan teorema berikut
memberikan pernyataan yang tepat dan lengkap mengenai hubungan antara korelasi dan
kebebasan.
Teorema 5.3.20
bebas jika dan hanya jika untuk semua fungsikontinu
yang sama dengan nol diluar suatu selang berhingga(lihat gambar
5.3.1)
Definisi 5.3.21 Koefisien korelasi dari dua p.a yang berdistribusi gabunganadalah [bila ( ) > 0, ( ) > 0 dan ( ), ( ) berhingga].Kor [catatan: rincian perhitungan kor diberikan dicontoh 5.3.13, 5.3.14 dan 5.3.15]Lemma 5.3.22 Misalkan bahwa
terdefinisi . maka
dan
tidak berkorelasi jika
dan hanya jika Koefisien korelasi memberikan suatu ukuran dari hubungan linear antara dua p.a. yakni suatuukuran dari kebaikan suatu prediksi nilai salah satu p.a yang dapat dibuat melalui fungsi
linear dari pengamatan pada yang lainnya. Tetapi misalkanlah dan . maka terdapat hubungan kuadrat yang tepat antara dan ; seterusnya kov ( dan jika [yakni, bila dan masing-masing dengan peluang , atau bila
mempunyai sembarang fungsi padat yang setangkup terhadap titik nol,
misalnya, fungsi padat N (0, )]. Maka kov Akan tetapi bila diketahuimaka kita dapat memprediksikan dengan amat baik (bila kita ketahui bahwa .Ini menunjukkan kendati koefiesien korelasi dapat mengukur hubungan linear cukup baik,
tidak berarti baik untuk mengukur hubungan yang tak linear.
Teorema 5.3.23 ketidaksamaan Schawarz
Untuk p.a jika harapannya ada, . Tanda sama berlaku jika danhanya jika (untuk suatu tetapan a)
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
14/21
Bukti: anggap (jika tidak, maka dengan peluang 1 dan teorema jelas berlaku).
Maka
Merupakan suatu polinom berderajat dua dalam t. karena polinom ini tak negative, maka
apakah (1) ada dua akar yang kompleks (bila tanda yang berlaku) atau (2) dua akar real yang berimpit (bila tanda ). Akar tesebut adalah Jadi. Diperoleh (1) jika dan hanya jika 4 ( yakni jika
. Diperoleh (2) jika dan hanya jika dan kasus ini adalah
= 0, jadi
dengan peluang 1 dan =
[catatan : ketidaksamaan Schawarz ialah hal khusus dari ketaksamaan H
lder (Teorema
5.1.13) dengan - Teorema 5.3.24
i -1 ii Jika dan hanya jika daniii
jika dan hanya jika
butki:
i Ambil (di teorema 5.3.23) ; maka .[kov - Var Var ; ii dan iii
jika dan hanya jika Jadi, jikka
Jikka
Jikka Sebagai contoh, ingat (definisi 4.5.2) bahwa suatu p. a
berdistribusi normal
dwi peubah
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
15/21
. / ./. / . /} Sehingga kita dapat membuktikan yang berikut.
Teorema 5.3.25.Misalkan berdistribusi normal gabungan. Maka Var ,, Var juga tidak berkorelasi jika dan hanya jikakeduanya bebas.
Bukti:
Pertama-tama perhatikan bahwa jika berdistribusi normal dwipeubah, maka
. / ./. / . /} . / ./ }
. / . / . / ./ }
. / . / Disini dilakukan penggantian lengkapi bentuk kuadratnya dengan
Dan kemudian melakukan pergantian
./ Jadi, bila berdistribusi normal dwi peubah, maka berdistribusi (eka peubah)normal, yang (lihat teorema 5.3.6) menunjukkan bahwa Var . Begitu
pula diperoleh Var . Sisa bukti teorema ini diberikan sebagai soal 5.4.teorema 5.3.25 dapat diperluaskan ke distribusi normal peubah ganda yang didefini 4.5.4.
khususnya berdistribusi normal bermatra n jikka kombinasi linear dari berdistribusi normal. Sementara itu, perhatikan bahwa haruslah gabungannya
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
16/21
normal; agar supaya kenormalannya mengakibatkan kebebasan jikka =0). Sepertiyang ditunjukkan oleh contoh berikut.
Inti persoalannya ialah bahwa distribusi normal setangkup terhadap rataanya, sehingga
, -
, -
, -, - , -, - , - Yakni, Z (begitupun X ) berdistribusi normal marginal. Sekarang , - karena Tetapi saling bergantungan.Sebagai pokok bahasan terakhir dipasal ini, kita pandang harapan bersyarat. Ini digunakan
untuk menjawab pertanyaan seperti itu, bila kita ketahui ?Definisi 5.3.27 bila kontinu mutlak atau diskrit, maka (masing-masing) rataan
bersyarat dari bila diketahui adalah
Jadi definisi harapan bersyarat hamper sama dengan definisi harapan (definisi 5.1.1). kecuali
bahwa sebagaoi pengganti fungsi padat (atau peluang) marginal digunakan fungsi padat( atau
peluang)bersyarat. Nanti akan terlihat bahwa harapan bersyarat merupakan salah satu alatdasar dalam teori penaksiran. Disamping itu, dalam teori peluang harapan bersyarat berperan
teramat penting dalam proses stokhastik. Teorema 5.3. bila sasaran tersebut ada dan bila
kontinu mut;lak atau diskrit, maka (untuk masing-masing kasus)
Bukti:
Mari kita pandang kasus yang diskrit (kasus yang kontinu mutlak dibuktikan dengan cara
yang sama dengan mengganti tanda penjumlahan dengan integral.) maka menurut definisi
5.3.27
Sehingga bila kedua ruas dikalikan dengan diperoleh
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
17/21
Dengan kesamaan terakhir diperoleh karena = sekarang jumlahkan
terhadap kita peroleh
(Disini digunakan definisi 3.4.14 untuk mengawali sebagai fungsi peluangmarginal dari sehingga teorema terbukti.
Teorema 5.3.2 sering amat berguna dalam menghitung nilai harapan. Perhatikan bahwa tidak hanya
yang dapat didefinisikan, tapi juga suatu p.a (paling tidak EY ada). Makahasil terakhir mengatakan bahwa
( ) Sutau perluasan yang berguna dari teorema 5.3.2 menyatakan (dalam lambing yang terakhir) bahwa
( ) Contoh 5.3.29 misalkan bahwa suatu p.a bermatra 2 dengan fungsi padat
Gambar 5.3.2 Daerah
Yakni didistribusikan seragam diatas daerah digambar 5.3.2. periksa bahwa suatu fungsi padat, yaitu dan
.
Berapakah rata-rata dalam hal bernilai Besaran yang ingin dicari dinyatakan tepat oleh definisi 5.3.27; yakni, [sekaranglihat persamaan (4.4.5)]
Kita beralih sejenak untuk menghitung
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
18/21
Sehingga
Dan
Perhatikan bahwa ialah distribusi seragam pada , sehingga dari teorema5.2.4 diperoleh langsung bahwa . jugadiperhatikan bahwa setelah menemukan
dengan mudah kita peroleh melalui
teorema 5.3.28:
Contoh 5.3.31Misalkan suatu p.a diskrit bermatra 2 dengan fungsi peluang Untuk suatu bilangan bulat positif k tertentu. Cari semua momennya sampai ordo kedua, kor
dan , , Var , Var Pertama-tama, perhatikan bahwa distribusi dari seragam pada titik-titik sepertidigambarkan 5.3.3. sekarang kita teruskan dengan menghitung funsi peluang marginal dan
bersyarat dan momennya seperti berikut.
Setelah mendapat fungsi peluang gabungan dan marginal, sekarang kita dapat menghitung
fungsi peluang bersyarat
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
19/21
Gambar 5.3.3 dititik titik ini
bernilai positif (k=10)
(yang diatas hanya berlaku untuk nilai yang memenuhi karena
pada titik lainnyta peluang bersyarat tidak terdefinisi).
Yang diatas ini memberikan fungsi yang diperlukan untuk menyelesaikan soal tadi denganmenghitung momen yang ingin dicari, seperti berikut ini:
() Var
()
Var )
Kov
)
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
20/21
Dan (bila k>1, karena penyebutnya sama dengan nol bila k =1 dan korelasi tidak terdefinisi).
Kov ) Kita telah melihat perhitungan seperti ini sebelumnya (yakni, dalam contoh 5.3.13, 5.3.14 dan5.3.15); sekarang kita lanjutkan dengan menghitung besaran baru, harapan yang bersyarat:
Bila (perhatikan bahwa harapan bersyarat tidak terdefinisi untuk setiap nilai
yang selainnya);
Bila, (dan harapan bersyarat tidak terdefinisi untuk setiap yang lainnya);
( ) Bila
Var ( ) ( ) , - Bila
( )
Bila dan
Var . / . / Bila
Perhatikan bahwa, setelah menemukan . Kita sekarang dapat mencari berdasarkan teorema 5.3.28:
-
8/10/2019 Momen peubah ganda.docx
21/21
Seperti telah diturunkan sebelumnya, di contoh ini, dari distribusi marginal . [Diberikansebagai latihan untuk membuktikan hasil yang telah kita peroleh denganmenggunakan distribusi marginal dari , melalui ].