momento de inercia

CONCLUSIONES

TEMA 3: MOMENTO POLAR DE INERCIA, RADIO DE GIRO Y PRODUCTO DE INERCIA

INTRODUCCIN

Cualquier cuerpo que efecta un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotacin, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotacin y la direccin de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotacin est determinada por su Momento de Inercia, siendo sta la resistencia que un cuerpo en rotacin opone al cambio de su velocidad de giro.El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones mximas producidas por los esfuerzos de flexin en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia mxima de un elemento estructural bajo flexin junto con las propiedades de dicho material. Para el caso del momento de inercia tambin depende de cmo est distribuida la masa. Se encuentra que si la masa est muy concentrada cerca del punto de giro (o eje de rotacin) encontramos que esta inercia es menor, pero si est muy alejada del eje es mucho mayor. Lo cierto es que el momento de inercia es un factor importante a considerar en cuanto a la construccin, pues debemos tener conciencia de como las vigas (por ejemplo) se comportan en cuanto a la tendencia a girar para tal distribucin de masa. En general en los clculos es importante encontrar los valores mximos y mnimos del momento de inercia para tener un control de cmo poner y que viga debemos colocar de acuerdo a lo que se requiere.

INTRODUCCIN


ESTTICA1

I. MOMENTO POLAR DE INERCIA.

Se le llama as al momento de inercia de un rea en relacin con un eje perpendicular a su plano, y se representa por una integral J.

Dnde: El momento polar de inercia de un rea dada puede calcularse a partir de los momentos rectangulares de inercia e del rea, si dichas cantidades ya son conocidas. De hecho, si se observa que , se puede escribir:Figura 1

Igualando extremos tenemos que

Esto significa que el momento polar de inercia de un rea con respecto a un eje perpendicular a su plano es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares contenidos en dicho plano y que pasen por el punto de interseccin del eje polar y del plano.

CLCULO DEL MOMENTO POLAR DE INERCIA JO.Si el rea dada posee simetra circular, es posible expresar dA como una funcin de r (haciendo que el elemento diferencial de rea sea de forma anular) y calcular JO con una sola integracin directa.Cuando el rea no posee simetra circular, es ms fcil calcular primero Ix e Iy, entonces, determinar JO a partir de la siguiente expresin

Por ltimo, si la ecuacin de la curva que acota al rea dada est expresada en coordenadas polares, entonces y se requiere una integracin doble para calcular la integral para JO.

UNIDADES:Las unidades para momento polar de inercia son de longitud elevada a la cuarta potencia, esto es debido a que el radio esta elevado al cuadrado (L2) y al multiplicarse por el dA de unidades cuadradas (L2), nos da como resultado una unidad L4.El momento polar de inercia es muy importante en los problemas relacionados con la torsin de flechas cilndricas y en los problemas relacionados con la rotacin de placas.

II. RADIO DE GIRO (O RADIO DE INERCIA)

El concepto de radio de giro se utiliza mucho en ingeniera, en particular, en las expresiones de las columnas. Se suele representar por k (a veces por r) y se define por:

siendo I el momento de inercia y A el rea.

Veamos una interpretacin geomtrica del radio de giro. Supongamos que el rea de la figura 1 se distribuye en una estrecha faja rectangular, como se indica en la figura 2 cada elemento de rea dA estar a la misma distancia k del eje de inercia. El momento de inercia es, en este caso:

Pues todos los elementos de rea tienen el mismo brazo de momento. La faja rectangular puede colocarse a uno u otro lado del eje de referencia, ya que, aunque la distancia k sea negativa, su cuadrado es positivo. Asimismo, parte del rectngulo puede colocarse a un lado del eje, y el resto, al otro lado.

A la vista de estas consideraciones, el radio de giro se interpreta como la distancia uniforme a la que debe situarse el rea total, respecto de un eje, para que tenga el mismo momento de inercia. De acuerdo con esto, para un rea cuya dimensin, en sentido perpendicular al eje de referencia, sea muy pequea comparada con la distancia al eje, el radio de giro equivale prcticamente a la distancia de su centro de gravedad al eje.rea redistribuida en una franja estrechaXX

Figura 2. Concepto de radio de girokx

Se hace referencia a la distancia kx como el radio de giro del rea con respecto al eje x. En forma similar, se pueden definir los radios de giro ky y kO; as se escribe:

Si se reescribe la ecuacin , en trminos de los radios de giro se encuentra que:

Adems, segn se desprende de la ecuacin , del teorema de Steiner, existir una relacin correspondiente entre los radios de giro del rea respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pasa por el centroide del rea. As;

; (1)

Donde,kxC : Radio de giro con respecto al eje centroidal x. kx : Radio de giro con respecto a un eje paralelo a xC.dx : Distancia entre los ejes paralelos x y x.Anlogamente suceder con los segundos momentos polares del rea y los radios de giro polares:

(2)

Despejando (1) y (2), se tiene:

UNIDADES:El radio de giro de un rea con respecto a un eje tiene unidades de longitud y es una cantidad que se usa a menudo en mecnica estructural para el diseo de columnas.

III. PRODUCTO DE INERCIA PARA REAS SIMPLES

La propiedad del producto de inercia de un rea no se utiliza tanto como el momento de inercia, pero es necesaria a fin de determinar los momentos de inercia mximo y mnimo para el rea. Estos valores mximo y mnimo son propiedades importantes necesarias para disear elementos estructurales y mecnicos como vigas, columnas y flechas.Adems el producto de inercia se utiliza en la flexin asimtrica de viga, y en el estudio de estructuras estticamente indeterminadas.

DEFINICIN:

A la integral:

Que se obtiene al multiplicar a cada elemento de un rea A por sus coordenadas x y y, e integrando sobre toda el rea es conocida como el producto de inercia del rea A respecto a los ejes y .

UNIDADES Y SIGNO:Las unidades son las mismas que las del momento de inercia, es decir L4. Sin embargo el signo depende de la situacin del rea respecto a los ejes coordenados siendo positivo si el rea o la mayor parte de ella est en el primer o tercer cuadrante y negativo si lo est en el segundo o cuarto.

EL PRODUCTO DE INERCIA ES CERO CON RESPECTO A LOS EJES DE SIMETRIA:

Si un rea tiene un eje de simetra, este junto con otro cualquiera perpendicular a l forma un sistema de ejes con respecto a los cuales el producto de inercia es nulo.Por ejemplo en la figura se para cada elemento dA existe otro igual, simtricamente dispuesto dA. Respecto del eje de simetra x las ordenadas y de dA y dA son iguales y de signo contrario mientras que sus abscisas son iguales y del mismo signo. Por lo tanto la suma de los productos en cada par de elementos ser nula. Por consiguiente el valor de para el rea total es cero, si uno, o los dos ejes de referencia son de simetra.

TEOREMA DE STEINER: TRASLACION PARALELA DE EJES.Para los productos de inercia, es posible derivar un teorema de ejes paralelos similar al establecido para momentos de inercia.Considere un rea A y un sistema de coordenadas rectangulares . A travs del centroide C del rea, cuyas coordenadas son , se dibujan dos ejes centroidales que son paralelos, respectivamente, a los ejes. Representando con x y y las coordenadas de un elemento de rea dA con respecto a los ejes originales y con las coordenadas del mismo elemento con respecto a los ejes centroidales, entonces se tiene:

Al sustituir las relaciones anteriores en , se obtiene:

De donde: representa el producto de inercia del rea A con respecto a los ejes centroidales .

y representan los primeros momentos del rea con respecto a los ejes centroidales; se reducen a cero puesto que el centroide C est localizado sobre esos ejes. es igual al rea total A. Por tanto, se tiene que:

NOTA: si se observa que por lo menos un eje del centroide es eje de simetra para el rea, entonces el producto de inercia con respecto al centroide ser igual a cero, quedando la frmula de la siguiente manera:

IV. PRODUCTO DE INERCIA PARA REAS COMPUESTASPara hallar el producto de inercia de un rea compuesta, se segmentara dicha rea en figuras geomtricas conocidas en las que se nos facilite determinar su producto de inercia para luego sumarlos o restarlos (si estas figuras representa un espacio hueco en el rea) y as determinar el producto de inercia de l rea total.

MARCO TERICO


PROBLEMAS RESUELTOSMOMENTO POLAR1) Determine el momento polar centroidal de inercia de un rea circular por integracin directa. La unidad ser el metro.Solucin:De acuerdo a las recomendaciones para hallar el momento polar de inercia de un rea que posee simetra circular, se elige un elemento diferencial de rea en forma de anillo, logrando as que cada elemento diferencial este a la misma distancia del origen.

Tenemos: , Adems: Integrando en ambos lados:

2) Para el rea sombreada que presenta la figura, hallar el momento polar de inercia con respecto a P.

Solucin:Primero elegimos un sistema de coordenadas y , en este caso para facilitar clculos aremos coincidir el origen del sistema de coordenadas con el punto P.Debido a que esta rea no presenta simetra circular, entonces ser necesario hallar el y .Sabiendo que: Dividimos el rea en 3 partes, y hallamos los momentos de inercia con respecto al eje x y al eje y.PROBLEMAS RESUELTOS


Trabajando con el rea 1:



Luego:

RADIO DE GIRO

3) Determinar los radios de giro de la superficie rectangular respecto a:a. Los ejes x e y de la figurab. Los ejes centroidales horizontal y vertical

Solucina. Calculando Ix y Iy:

Ahora se calcula el radio de giro:

b. El centroide es (1.5;3)Como: y

4) Determinar el radio de giro polar de la superficie sombreada de la figura, respecto a un eje que pase por el origen del sistema de coordenadas xy y sea normal al plano de la superficie,

Solucin De acuerdo al enunciado, el radio de giro es con respecto al polo O. Por tanto calcularemos el momento polar de inercia:

Para eso hallamos el rea:

Calculamos Ix y Iy

El momento polar de inercia

Luego el radio de giro polar es:

PRODUCTO DE INERCIA

5) Determinar el momento segundo mixto (producto de inercia de superficie) del rectngulo de la figura, respecto a los ejes x e y.

Solucinh

El producto de inercia ser:b

6) Determine el producto de inercia de la mitad derecha del rea parablica limitada por las rectas y = 2pulg. y x = 0

Solucin

7) Determine el producto de inercia del rea de un cuarto de elipse con respecto a los ejes x e y.Solucin

8) Determine el producto de inercia del rea compuesta con respecto a los ejes x e y.Solucin Se observa que el centroide para ambas reas es (2,2) pulg. Hallando el producto de inercia para cada rea con respecto a los ejes x e y.Para el cuadrado:

Para el crculo:

Calculando el producto de inercia para el rea total:

CONCLUSIONES Calcular el momento de inercia nos es muy til debido a que su aplicacin tiene que ver en los problemas relacionados con la torsin de flechas cilndricas y en los problemas relacionados con la rotacin de placas. El radio de giro nos permite simplificar la representacin de los momentos de inercia respecto a un eje determinado El radio de giro de un rea con respecto a un eje tiene unidades de longitud y es una cantidad que se usa a menudo en mecnica estructural para el diseo de columnas. El producto de inercia es una formula netamente matemtica, sin ninguna explicacin real fsica, sin embargo nos es til en la aplicacin para hallar los ejes principales de momento mximo y mnimo.

momento de inercia

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