mot vai bai toan ve so phuc bieu dien hinh hocgtln gtnn modun

Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán

Không có gì hủy hoại khả năng học toán bằng thói quentiếp nhận những phương pháp giải có sẵn mà không hề tự hỏivì sao cần giải đúng như thế và làm thế nào để có thể tự nghĩra điều đó.

Walter Warwick Sawyer (1911-2008).

Bài 1. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các sốphức thỏa mãn hệ thức sau:

1. |2i− 2z| = |2z − 1|;

2. |2iz − 1| = 2 |z + 3|;

3. |z − 2|2 + |z + 2|2 = 26;

4. |z + z + 3| = 5;

5. |z − z + 1− i| = 2;

6. (2 − z)(i + z) là một số thựctùy ý;

7. (2− z)(i+ z) là một số ảo tùyý;

8. 2 |z − i| = |z − z + 2i|;

9. |z2 − (z)2| = 4.

Giải

1. |2i− 2z| = |2z − 1|Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có

|2i− 2z| = |2z − 1| ⇔ |2i− 2(a− bi)| = |2(a+ bi)− 1|⇔ |−2a+ 2(b+ 2)i| = |(2a− 1) + 2bi|⇔ (2a)2 + 2(b+ 2)2 = (2a− 1)2 + (2b)2

⇔ 8b+ 4 = −4a+ 1

⇔ b = −a2− 3

8.

Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y = −x2− 3

8.

2. |2iz − 1| = 2 |z + 3|

[email protected] 1 10/05/2014


Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có

|2iz − 1| = 2 |z + 3| ⇔ |2i(a+ bi)− 1| = 2 |a+ bi+ 3|⇔ |(−2b− 1) + 2ai| = 2 |(a+ 3) + bi|⇔ (2a)2 + (2b+ 1)2 = 4

[(a+ 3)2 + b2

]⇔ 4b+ 1 = 24a+ 36

⇔ b = 6a+35

4.

Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y = 6x+35

4.

3. |z − 2|2 + |z + 2|2 = 26Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có

|z − 2|2 + |z + 2|2 = 26⇔ |a+ bi− 2|2 + |a+ bi+ 2|2 = 26

⇔ (a− 2)2 + b2 + (a+ 2)2 + b2 = 26

⇔ a2 + b2 = 9.

Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường tròn tâm I(0; 0) bánkính R = 3.

4. |z + z + 3| = 5Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có

|z + z + 3| = 5⇔ |a+ bi− (a− bi) + 3| = 5

⇔ |2a+ 3| = 5

⇔[a = 1a = −4

Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi hai đường thẳng x = 1, x =−4.

5. |z − z + 1− i| = 2




|z − z + 1− i| = 2⇔ |(a+ bi)− (a− bi) + 1− i| = 2

⇔ 12 + (2b− 1)2 = 4

⇔ |2b− 1| =√3

⇔ b =1±√3

2.

Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y =1±√3

2.

6. (2− z)(i+ z) là một số thực tùy ýĐặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có

(2− z)(i+ z) = (2− (a+ bi))(i+ (a− bi))= ((2− a)− bi)(a+ (1− b)i)= a(2− a) + b(1− b)− (ab− (2− a)(1− b))i

Theo giả thiết (2− z)(i+ z) là một số thực tùy ý suy ra

(ab− (2− a)(1− b)) = 0

⇔ 2b+ a− 2 = 0

⇔ b = −1

2a+ 1.

Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y = −1

2x+1.

7. (2− z)(i+ z) là một số ảo tùy ý suy ra

a(2− a) + b(1− b) = 0⇔ a2 − 2a+ b2 − b = 0

⇔ (a− 1)2 + (b− 1

2)2 =

(√5

2

)2

.

Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn I

(1;

1

2

)bán

kính R =

√5

2.



8. 2 |z − i| = |z − z + 2i|Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có

2 |z − i| = |z − z + 2i| ⇔ 2 |(a+ bi)− i| = |(a+ bi)− (a− bi) + 2i|⇔ 4(a2 + (b− 1)2) = (2b+ 2)2

⇔ 4a2 + 4b2 − 8b+ 1 = 4b2 + 8b+ 4

⇔ 4a2 = 16b

⇔ b =1

4a2.

Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi Parabol y =1

4x2.

9. |z2 − (z)2| = 4Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có∣∣z2 − (z)2

∣∣ = 4⇔∣∣(a+ bi)2 − (a− bi)2

∣∣ = 4

⇔ |4abi| = 4

⇔ 16a2b2 = 16

⇔ b2 = a2

⇔ b = ±1

a.

Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi hai đường Hypebol y = ±1

x.

Bài 2. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các sốphức thỏa mãn hệ thức sau:

1.

∣∣∣∣ z

z − i

∣∣∣∣ = 3 ;

2. |z2 + z2| = 1;

3. (z − 2) (z + i) là số thực;

4. |z| = |z − 3 + 4i|;

5.z + i

z + ilà số thực.

Giải



1.

∣∣∣∣ z

z − i

∣∣∣∣ = 3

Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có∣∣∣∣ z

z − i

∣∣∣∣ = 3⇔ |z| = 3 |z − i|

⇔ |a+ bi| = 3 |a+ bi− i|⇔ a2 + b2 = 9(a2 + (b− 1)2)

⇔ 8a2 + 8b2 − 18b+ 9 = 0

⇔ a2 + b2 − 9

4b+

9

8= 0

⇔ a2 + (b− 9

8)2 =

9

64.

Suy ra tập các điểm biểu diễn các số phức z, là đường tròn tâm

I

(0;

9

8

)bán kính R =

3

8.

2. |z2 + z2| = 1Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có∣∣z2 + z2

∣∣ = 1⇔∣∣(a+ bi)2 + (a− bi)2

∣∣ = 1

⇔∣∣(a2 − b2 + 2abi) + (a2 − b2 − 2abi)

∣∣ = 1

⇔∣∣2a2 − 2b2

∣∣ = 1

⇔[2a2 − 2b2 = 12a2 − 2b2 = −1

⇔

b = ±√

2a2 − 1

2

b = ±√

2a2 + 1

2

Suy ra tập các điểm biểu diễn các số phức z là các đường cong

y = ±√

2x2 − 1

2, y = ±

√2x2 + 1

2



3. (z − 2) (z + i) là số thựcĐặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có

(z − 2) (z + i) = ((a+ bi)− 2) ((a− bi) + i)

= ((a− 2) + bi) (a+ (−b+ 1)i)

= a(a− 2) + b(b− 1) + (ab+ (a− 2)(−b+ 1)i)

Theo giả thiết (z − 2) (z + i) là số thực nên ta có

(ab+ (a− 2)(−b+ 1) = 0⇔ a+ 2b− 2 = 0

⇔ b = 1− a

2.

Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = 1− x

2.

4. |z| = |z − 3 + 4i|Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có

|z| = |z − 3 + 4i| ⇔ |a+ bi| = |(a− bi)− 3 + 4i|⇔ a2 + b2 = (a− 3)2 + (4− b)2

⇔ −6a+ 9− 8b+ 16 = 0

⇔ b = −3

4a+

25

8

Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = −3

4x+

25

8.

5.z + i

z + ilà số thực


z + i

z + i=a+ bi+ i

a− bi+ i=a+ (b+ 1)i

a− (b− 1)i

=(a+ (b+ 1)i)(a+ (b− 1)i)

a2 + (b− 1)2

=a2 − b1 + 1 + [a(b+ 1) + a(b− 1)] i

a2 + (b− 1)2

=a2 − b1 + 1

a2 + (b− 1)2+

2abi

a2 + (b− 1)2



Theo giả thiếtz + i

z + ilà số thực, tức là ta có:

2abi

a2 + (b− 1)2= 0⇔ a = 0hoặc b = 0.

Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = 0, y = 0.

Bài 3 (Trần Diệu Minh). Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phứcbiểu diễn các số phức z, z′ thỏa mãn hệ thức sau:

1. |z + 1 + 2i| ≤ 0;

2. z′ = (1 + i√3)z + 2 với |z − 1| ≤ 2.

Giải

1. |z + 1 + 2i| ≤ 0Do mô-đun của số phức luôn không âm nên

|z + 1 + 2i| ≤ 0⇔ z + 1 + 2i = 0

⇔ z = −1− 2i.

2. z′ = (1 + i√3)z + 2 với |z − 1| ≤ 2

Ta có

z′ = (1 + i√3)z + 2⇔ z =

z′ − 2

1 + i√3

Suy ra

|z − 1| ≤ 2⇔∣∣∣∣ z′ − 2

1 + i√3− 1

∣∣∣∣ ≤ 2

⇔

∣∣∣∣∣z′ − 3− i√3

1 + i√3

∣∣∣∣∣ ≤ 2

⇔∣∣∣z′ − 3− i

√3∣∣∣ ≤ 2

∣∣∣1 + i√3∣∣∣

⇔∣∣∣z′ − (3 + i

√3)∣∣∣ ≤ 4.

Vậy tập các điểm cần tìm là hình tròn tâm I biểu diễn số phức3 + i

√3 bán kính R = 4.



Bài 4 (Lưu Huy Tưởng). Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phứcbiểu diễn các số phức z′ thỏa mãn hệ thức sau:

1. z′ =(1 + i

√3)z + 2 biết z thỏa mãn |z − 1| = 2;

2. z′ = (1 + i) z + 1 biết rằng |z + 2| ≤ 1.

Giải

1. z′ =(1 + i

√3)z + 2 biết z thỏa mãn |z − 1| = 2.

Ta có

z′ =(1 + i

√3)z + 2⇔ z =

z′ − 2

1 + i√3.

Theo giả thiết ta có:

|z − 1| = 2⇒∣∣∣∣ z′ − 2

1 + i√3− 1

∣∣∣∣ = 2

⇔

∣∣∣∣∣z′ − 2− (1 + i√3)

1 + i√3

∣∣∣∣∣ = 2

⇔∣∣∣z′ − (3 + i

√3)∣∣∣ = 2

∣∣∣1 + i√3∣∣∣

⇔∣∣∣z′ − (3 + i

√3)∣∣∣ = 4.

Vậy tập các điểm cần tìm là đường tròn tâm I biểu diễn số phứcz = 3 + i

√3 bán kính R = 4.

2. z′ = (1 + i) z + 1 biết rằng |z + 2| ≤ 1.Ta có

z′ = (1 + i) z + 1⇔ z =z′ − 1

1 + i.



Theo giả thiết ta có

|z + 2| ≤ 1⇔∣∣∣∣z′ − 1

1 + i+ 2

∣∣∣∣ ≤ 1

⇔∣∣∣∣z′ + 1 + 2i

1 + i

∣∣∣∣ ≤ 1

⇔ |z′ + 1 + 2i| ≤ 1 |1 + i|⇔ |z′ + 1 + 2i| ≤

√2.

Vậy tập các điểm cần tìm là hình tròn tâm I là điểm biểu diễn sốphức −(1 + 2i) bán kính R =

√2.

Bài 5. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số

phức z sao choz − 2

z + 2có một acgumen bằng

π

3.

Giải

Giả sử z = a+ bi, a, b ∈ R. Sử dụng công thức

z1z2

=a1a2 + b1b2a22 + b22

+a2b1 − a1b2a22 + b22

i

Suy ra

z − 2

z + 2=

(a− 2) + bi

(a+ 2) + bi

=a2 + b2 − 4

(a2 + b2)+

(a+ 2)b− (a− 2)b

(a2 + b2)i

=a2 + b2 − 4

(a2 + b2)+

4b

(a2 + b2)i.

Theo giả thiết số phức trên có một acgumen bằngπ

3, tức là ta có thể



viết

a2 + b2 − 4

(a2 + b2)+

4b

(a2 + b2)i = r(cos

π

3+ i sin

π

3) (r > 0)

⇔

a2 + b2 − 4

(a2 + b2)= r cos

π

34b

(a2 + b2)= r sin

π

3

⇔

a2 + b2 − 4

(a2 + b2)=r

24b

(a2 + b2)=r√3

2

⇔

b > 0 (vì r > 0)4b

a2 + b2 − 4=√3

⇔

b > 0

a2 + b2 − 4 =4b√3

⇔

b > 0

a2 +

(b− 2√

3

)2

=

(4√3

)2

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần đường tròn tâm I(0;2√3) bán

kính R =4√3nằm phía trên trục thực.

Bài 6. Trong các số phức z thỏa mãn các điều kiện sau, tìm số phức zcó mô-đun nhỏ nhất.

1. (z − 1) (z + 2i) là số thực.

2. |z − i| = |z − 2− 3i|

3. |iz − 3| = |z − 2− i|

Giải



1. (z − 1) (z + 2i) là số thực.Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có:

(z − 1) (z + 2i) = ((a+ bi)− 1) ((a− bi) + 2i)

= ((a− 1) + bi) (a+ (2− b)i)= a(a− 1)− b(b− 2) + (ab+ (a− 1)(2− b))i

Theo giả thiết z là số thực nên ta có

(ab+ (a− 1)(2− b)) = 0⇔ 2a+ b− 2 = 0

⇔ b = 2− 2a

Ta có mô-đun của z là

|z| =√a2 + b2

=√a2 + (2− 2a)2

=√5a2 − 8a+ 4

=

√5

(a− 4

5

)2

+4

5≥ 2√

5.

Vậy mô-đun của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng2√5khi z =

4

5+

2

5i

2. |z − i| = |z − 2− 3i|Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có:

|z − i| = |z − 2− 3i| ⇔ |a+ bi− i| = |a− bi− 2− 3i|⇔ |a+ (b− 1)i| = |(a− 2) + (−b− 3)i|⇔ a2 + (b− 1)2 = (a− 2)2 + (b+ 3)2

⇔ −2b+ 1 = −4a+ 4 + 6b+ 9

⇔ a = 2b+ 3




|z| =√a2 + b2

=√

(2b+ 3)2 + b2

=√5b2 + 12b+ 9

=

√5

(b+

6

5

)2

+9

5≥ 3√

5

Vậy mô-đun của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng3√5khi z =

27

5− 6

5i

3. |iz − 3| = |z − 2− i|Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có:

|iz − 3| = |z − 2− i| ⇔ |i(a+ bi)− 3| = |(a+ bi)− 2− i|⇔ |(−b− 3) + ai| = |(a− 2) + (b− 1)i|⇔ a2 + (−b− 3)2 = (a− 2)2 + (b− 1)2

⇔ 6b+ 9 = −4a+ 4− 2b+ 1

⇔ a = −2b− 1


|z| =√a2 + b2

=√

(−2b− 1)2 + b2

=√5b2 − 4b+ 1

=

√5

(b− 2

5

)2

+1

5≥ 1√

5.

Vậy mô-đum của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng1√5khi z = −9

5+2

5i.

Bài 7. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm số phức z cómô-đun nhỏ nhất, lớn nhất.

1. |z − 2 + 3i| = 3

2



2. |z − 2 + 2i| = 2√2

3.

∣∣∣∣(1 + i) z

1− i+ 2

∣∣∣∣ = 1

4. |z + 1− 2i| = 1

5. |z − 2− 4i| =√5

Giải

1. |z − 2 + 3i| = 3

2Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có

|z − 2 + 3i| = 3

2⇒ |(a+ bi)− 2 + 3i| = 3

2

⇔ |(a− 2) + (b+ 3)i| = 3

2

⇔ (a− 2)2 + (b+ 3)2 =

(3

2

)2

.

Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;−3)bán kính R =

3

2.

Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập các điểm trên đường tròn saocho khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ là nhỏ nhất, lớn nhất.Để hoàn thành yêu cầu này ta chuyển bài toán về một bài toánhình học phẳng như sau.

Ta có đường thẳng đi qua OI nhận véc-tơ−→OI = (2;−3) làm véc-tơ

chỉ phương có phương trình

{x = 2ty = −3t

Thay x, y từ phương trình trên vào phương trình đường tròn ta



được.

(x− 2)2 + (y + 3)2 =

(3

2

)2

⇒ (2t− 2)2 + (−3t+ 3)2 =

(3

2

)2

⇔ 13t2 − 26t+43

4= 0

⇔ t1,2 =26±

√117

13

⇔ (x, y) = (−2(−26±

√117)

13,3(−26±

√117)

13).

2. |z − 2 + 2i| = 2√2


|z − 2 + 2i| = 2√2⇒ |(a+ bi)− 2 + 2i| = 2

√2

⇔ |(a− 2) + (b+ 2)i| = 2√2

⇔ (a− 2)2 + (b+ 2)2 = 8

Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;−3)bán kính R = 2

√2.


Ta có đường thẳng đi qua OI nhận véc-tơ−→OI = (2;−2) làm véc-tơ


{x = 2ty = −2t

Thay x, y từ phương trình trên vào phương trình đường tròn tađược.

⇔ (x− 2)2 + (y + 2)2 = 8⇒ (2t− 2)2 + (−2t+ 2)2 = 8

⇔ 8t2 − 16t = 0

⇔ t1 = 0, t2 = 2.

⇔ (x, y) = (0; 0) hoặc (4;−4).



3.

∣∣∣∣(1 + i) z

1− i+ 2

∣∣∣∣ = 1⇔ |iz + 2| = 1


|iz + 2| = 1⇒ |i(a+ bi) + 2| = 1

⇔ |(2− b) + ai| = 1

⇔ a2 + (b− 2)2 = 1

Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 2)bán kính R = 1.Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập các điểm trên đường tròn saocho khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ là nhỏ nhất, lớn nhất.Từ tính chất của đường tròn ta dễ dàng suy ra hai số phức cần tìmlà z = i, z = 3i.

4. |z + 1− 2i| = 1Đặt z = a+ bi, a, b ∈ R, ta có

|z + 1− 2i| = 1⇒ |(a+ bi) + 1− 2i| = 1

⇔ |(a+ 1) + (b− 2)i| = 1

⇔ (a+ 1)2 + (b− 2)2 = 1

Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(−1; 2)bán kính R = 1.Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập các điểm trên đường tròn saocho khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ là nhỏ nhất, lớn nhất.Để hoàn thành yêu cầu này ta chuyển bài toán về một bài toánhình học phẳng như sau.

Ta có đường thẳng đi qua OI nhận véc-tơ−→OI = (−1; 2) làm véc-tơ


{x = −ty = 2t

Thay x, y từ phương trình trên vào phương trình đường tròn ta



được.

⇔ (x+ 1)2 + (y − 2)2 = 1⇒ (−t+ 1)2 + (2t− 2)2 = 1

⇔ 5t2 − 10t+ 4 = 0

⇔ t1,2 =5±√5

5.

⇒ (x, y) = (−5±√5

5;2(5±

√5)

5).

5. |z − 2− 4i| =√5


|z − 2− 4i| =√5⇒ |(a+ bi)− 2− 4i| =

√5

⇔ |(a− 2) + (b− 4)i| =√5

⇔ (a− 2)2 + (b− 4)2 = 5

Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2; 4)bán kính R =

√5.


Ta có đường thẳng đi qua OI nhận véc-tơ−→OI = (2; 4) làm véc-tơ


{x = 2ty = 4t

Thay x, y từ phương trình trên vào phương trình đường tròn tađược.

(a− 2)2 + (b− 4)2 = 5⇒ (2t− 2)2 + (4t− 4)2 = 5

⇔ 4t2 − 8t+ 4 + 16t2 − 32t+ 16 = 5

⇔ 20t2 − 40t+ 15 = 0

⇔ t1 =3

2, t2 =

1

2.

⇒ (x, y) = (3; 6), hoặc (1; 2).


mot vai bai toan ve so phuc bieu dien hinh hocgtln gtnn modun

Travel