movimiento ondulatorio -...

Tema 7

Movimiento ondulatorio

1.- Propiedades elásticas de los sólidos2.- Conceptos fundamentales del movimiento ondulatorio3.- Ondas armónicas4.- Energía e intensidad. Absorción5.- Efecto Doppler

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLIDFÍSICA I

TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO

En este tema nos vamos a fijar en aquellas situaciones físicas que muestran quecuando se produce una variación de una propiedad física en un punto delespacio, esa variación se propaga de punto a punto por el espacio. Esapropagación la denominaremos onda.

► Ejemplos: ondas en una cuerda, ondas en el agua, etc.

Así, una onda es la propagación de una perturbación en el espacio

Para que esto ocurra el medio debe ser “deformable”. Esto constituye lasllamadas ondas mecánicas (≡ ondas en medios deformables). (Existen tambiénotros fenómenos ondulatorios que no precisan de un medio material para que seproduzcan. Son las ondas electromagnéticas) .



1.- Propiedades elásticas de los sólidos

1.1.- Esfuerzo y deformación unitaria

1.2.- Módulos elásticos: ley de Hooke



1.1.- Esfuerzo y deformación unitariaHasta ahora hemos hablado de sólidos rígidos, aquellos cuerpos donde lasdistancias relativas entre las partículas permanecen constantes. Como se dijoen su momento, esa situación se da dentro de un campo de fuerzasdeterminado, no muy elevado. En realidad, todos los sólidos se deforman bajo laacción de determinadas fuerzas.

Consideremos un cuerpo que se deforme bajo la acción de fuerzasexternas. Por sencillez, consideremos una barra cilíndrica de sección rectaS, sobre la que se aplica, en sus extremos, una fuerza F (tensora ocompresiva): En esta situación la barra está en

equilibrio (a=0), de forma que nose desplaza netamente, solo sedeforma.

Cada elemento estará también

en equilibrio

Sobre una sección cualquiera de labarra, la fuerza F se distribuye demanera uniforme.

• Esfuerzos longitudinales



Debido a la fuerza aplicada, la barra sufrirá una cierta deformación,incrementando su longitud en ∆l:

SFσ =

00

0lΔl

lllε =

−=

Vamos a definir el esfuerzo como la fuerza externa aplicada por unidad deárea:

De esta forma, generalizamos del concepto de fuerza al de esfuerzo (medidade la fuerza que actúa sobre la barra o causa), siendo el efecto la deformación(medida de la respuesta del sólido al esfuerzo).

Vamos a definir la deformación unitaria como el cambio relativo del tamaño delsólido en la dirección de la fuerza aplicada (tensora en este caso):



Notemos que el esfuerzo se define igual que la presión. Sus unidades en el S.I.son también N/m2 o Pa (pascales). Por su parte, la deformación unitaria sedefine adimensional.

Si la fuerza es tensora, ∆l y ε son positivos, mientras que si es compresiva, ∆l yε son negativos.

• Esfuerzos tangenciales o de cizalladura

Si la fuerza se aplica tangente a la superficie del cuerpo, se habla de esfuerzostangenciales o de cizalladura. Por simplicidad, consideremos un cubo sobre elque se aplican, en dos caras opuestas, fuerzas tangenciales iguales y opuestas.En este caso se definen el esfuerzo σt (de cizalladura o tangencial) y ladeformación unitaria γ como:

SFσt = γ≈γ tg



• Presión en un fluido

Si el sistema es un fluido (líquido o gas), el esfuerzo aplicado se correspondecon una presión (presión hidrostática). La deformación unitaria en este caso serelaciona con el cambio de volumen unitario:

VVan unitariDeformació ∆

≡

Esfuerzo≡Presión=P



1.2.- Módulos elásticos: ley de HookeCuando un cuerpo se somete a esfuerzos, se observa experimentalmente que sucomportamiento (deformación) viene dado por una gráfica σ–ε como la que semuestra:

Para pequeños esfuerzos (hasta el punto a), ladeformación es lineal, es decir, proporcionalal esfuerzo, resultado experimental queconstituye la denominada ley de Hooke: σ ∝ ε

Se tiene además que cuando cesa el esfuerzola deformación desaparece, de forma que elcuerpo recupera su forma original. Se diceentonces que el material presenta uncomportamiento elástico.

Cuando se sobrepasa el punto a (por ejemplo, al llegar al punto b), el cuerpo yano recupera su forma aunque cese el esfuerzo. Se dice que el cuerpo pasa atener un comportamiento no elástico o plástico. Por último, si el esfuerzo esmuy grande podemos llegar a la rotura del cuerpo (punto c).



Si estamos dentro de la zona elástica del material, donde se verifica la ley deHooke, se tiene entonces que existe una proporcionalidad lineal entre elesfuerzo aplicado y la deformación. A dicha constante de proporcionalidad lallamaremos módulo elástico, siendo una característica de cada material.

• Esfuerzos longitudinales: módulo de Young y coeficiente de Poisson

La relación entre la deformación unitaria y el esfuerzo en el caso de un cuerposometido a esfuerzos longitudinales (de tracción o compresión) se denominamódulo de Young (E):

ollS

FE

∆=

εσ

=En esta situación, no cambia solo lalongitud del material, sino también susdimensiones transversales (radio,diámetro, etc.). Dentro de la zonaelástica, la tasa de cambio entre lasdimensiones trasversales y longitudinaleses constante (coeficiente de Poisson, µ,característico también del material):

llD

D

l

t∆

∆−=

εε

−=µ



• Esfuerzos tangenciales: módulo de cizalladuraLa relación entre la deformación unitaria y el esfuerzo en el caso de un cuerposometido a esfuerzos tangenciales se denomina módulo de cizalladura (G):

γ=

γσ

= SF

Gt

t

• Compresión uniforme: módulo de compresibilidadEn el caso de un fluido, la relación entre la presión y el cambio de volumenunitario se denomina módulo de compresibilidad (K):

VVPK

∆−=

En ocasiones se habla del coeficiente de compresibilidad (β), definido como lainversa del módulo de compresibilidad K:

PV

V1

PV

V

K1 ∆

−=∆

−==β



Cuestión 7.1

Un cuerpo de 10 kg está suspendido verticalmente de uncable de acero de 3 m de longitud y 1 mm de diámetro. a)¿Qué esfuerzo soporta el cable? b) ¿Cuál es elalargamiento resultante? c) Calcular la contraccióntransversal que experimenta el cable.

Módulo de Young: E=20 · 1010 N/m2

Coeficiente de Poisson: µ=0,28



2.- Conceptos fundamentales del movimiento ondulatorio

2.1.- Función de ondas y velocidad de ondas

2.2.- Ondas transversales y longitudinales

2.3.- Frente de ondas

2.4.- Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

• Ejemplos de ondas longitudinales• Ejemplos de ondas transversales



2.1.- Función de ondas y velocidad de ondasA partir del concepto de onda, tratemos de encontrar una descripciónmatemática que nos refleje el hecho de que una perturbación se propague en elespacio.Para ello, empecemos por considerar la descripción de “una perturbación”, estoes, de una deformación respecto a la posición de equilibrio de un punto material(o conjunto de puntos):

x

y

En la situación de equilibrio (de todos los puntos de mi sistema) se tiene lacondición de que:

x 0f(x)y(x)x 0y ∀==⇒∀=

ión perturbacy ≡



Al provocar una deformación, los puntos experimentan un “desplazamiento” (hayuna magnitud y en cada punto que varía respecto a su valor de equilibrio). Así,tendremos:

x

y

Ahora en cada punto y toma valores distintos de cero, de forma que existe unacierta distribución de valores de y para cada x y=f(x)

Consideremos a continuación el hecho de que esta deformación se propaga:

x

a

f(x) f(x-a)f(x+a)

y = f(x-a) representa una propagación de y en un cantidad a (+) hacia laderecha (el valor de la perturbación “y” en el punto x es el valor de aplicar la función f en el punto x-a)



De la misma forma, y=f(x+a) representa una propagación de y en una cantidad a(+) hacia la izquierda.

Esta propagación se realiza en el tiempo. Si la propagación tiene una velocidadconstante v, el desplazamiento de la propagación en un tiempo t será vt. Así:

a = vt

de forma que y=f(x–vt) representa una propagación que se desplaza hacia laderecha con una velocidad cte. v (+), mientras que y=f(x+vt) representa unapropagación que se desplaza hacia la izq. con velocidad v cte. (+).

Así, la descripción genérica de una onda que se propaga con velocidad v vienedada por:

v.t)f(xy ±=

que significa que en los sucesivos puntos del espacio existe una magnitud (y)que toma valores dados por una cierta función de x y de v.t.



Esa magnitud es una magnitud física modificada respecto a su valor en laposición de equilibrio, y puede ser:

► Onda en el agua: desplazamiento de las gotas deagua en la dirección perpendicular al plano de lasuperficie

► Onda en una cuerda: desplazamiento de laspartículas de la cuerda en la dirección perpendicular

► Sonido (ondas sonoras): variación de la presión delos puntos de un medio

(Nótese que lo que se propaga es el estado de perturbación, no la materia).



2.2.- Ondas transversales y longitudinalesDependiendo de la forma en que oscilan las partículas del medio materialrespecto a la dirección de propagación se distingue entre ondas longitudinalesy transversales.

Ondas transversales: La dirección de propagaciónes perpendicular a la dirección de movimiento de laspartículas (ej.: cuerda)

Ondas longitudinales: la dirección de propagación esparalela a la dirección de movimiento de las partículas(ej.: ondas long. en un muelle, sonido, etc.)

dirección de propagacióndirección de movimiento de las partículas

dirección de propagación

dirección de movimiento de las partículas


http://www.mrfizzix.com/utilitypage/dukes/wavetrans/WaveTrans.htm


http://www.mrfizzix.com/utilitypage/dukes/wavetrans/WaveTrans.htm

2.3.- Frente de ondasTal y como mencionábamos, una perturbación en un punto del espacio provocaque un punto material se “desplace” en torno a su posición de equilibrio (hayauna variación de alguna magnitud física respecto a la situac. de equilibrio). Estoprovoca una “oscilación” de la partícula. A su vez, esta oscilación o perturbaciónva a provocar que las partículas próximas oscilen (se perturben) y asísucesivamente, de forma que la perturbación inicial se propaga.

Una noción importante en el concepto de ondas es eldenominado frente de ondas, entendiéndose por tal todoslos puntos del medio material que tienen el mismo estadode deformación en un instante dado.

El movimiento del frente de onda puede indicarsemediante líneas perpendiculares a los frentes deonda → rayos.

(En un medio homogéneo, una onda se mueve en línea recta en la dirección de los rayos).



Hemos visto que y=f(x–vt) representa un movimiento ondulatorio que sepropaga a lo largo del eje X. Si la perturbación y se extiende a todo el espacio,en un tiempo t, la función toma el mismo valor en todos los puntos que tienen lamisma x. Así pues, ese conjunto de puntos forma el frente de ondas.

Notemos que x=cte representa un planoperpendicular al eje X. Así, el frente de ondasviene dado en este caso por planos perpendicularesal eje X. A esta onda la denominamos onda plana.

Por tanto, la onda plana propagándose en dirección X se puede expresar como:

Dicho de otra forma: en tres dimensiones, la expresión y=f(x–vt) describe unaonda plana que se propaga paralelamente al eje X.

Notemos que todos los puntos del plano x=cte.tienen un vector de posición r tal que:

cteir =→→

vt)irf(y −=→→



Aunque esta expresión contiene las tres coordenadas, en realidad es unfenómeno en una dimensión: la onda se propaga sólo en la dirección del eje u.(No hay propagación en los planos perpendiculares).

Esto nos permite escribir cualquier onda plana propagándose en una direccióngenérica u. Los frentes de onda son los planos r.u = cte y la onda se escribirá:

vt)urf (y −=→→

→u

En la naturaleza existen también otras ondas que se propagan en variasdirecciones. Las más importantes son las ondas cilíndricas y esféricas.



Ondas cilíndricas: los frentes de onda son cilindros coaxialesparalelos a una línea dada. La onda se propaga en todas lasdirecciones perpendiculares a dicha línea. Este tipo de ondasse generaría en un medio isótropo y homogéneo que contuvieramuchas fuentes colocadas en una cierta línea.

Ondas esféricas: los frentes de onda son esferasconcéntricas. La onda se propagaría en todas lasdirecciones del espacio. Este tipo de onda se generaría enun medio isótropo y homogéneo cuando hay unaperturbación puntual.

Las ondas planas se tienen siempre a gran distancia delfoco emisor. En ese caso, los frentes de onda se puedenconsiderar que son planos.

(ondas circulares sobre la superficie del agua, generadas por una fuente puntual que se mueve hacia arriba y abajo con

movimiento periódico)



2.4.- Ecuación diferencial del movimiento ondulatorioDe momento sabemos que un movimiento ondulatorio vienen descrito por unafunción:

v.t)f(xy ±=

Será interesante saber si existe también una ecuación diferencial que seaválida para todos los movimientos ondulatorios, de forma que el estudiodinámico de un proceso físico nos permita saber si ese proceso físico es unaonda.Llegar a deducir dicha ecuación diferencial es complejo, por lo que veamossimplemente quién es esa ecuación y justifiquemos que en efecto describe elmov. ondulatorio:

2

22

2

2

xyv

ty

∂

∂=

∂

∂

Que ésta sea la ecuación diferencial de una onda quiere decir que su solución esde la forma y=f(x±vt). Comprobémoslo.

v≡velocidad de propagación de la onda

(Ondas planas)



siendo:

v.t x con u f(u), v.t)f(xy ±==±=

Necesitamos calcular las derivadas parciales:

xu

dudf

xy

tu

dudf

ty

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

1xu v

tu

=∂∂

±=∂∂

De esta forma:

( ) ( ) 2

22

2

2

2

2

dufdvv

dufdv

tu

ty

dud

ty

tty

dudfv

tu

dudf

ty

=±±=∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂

∂

±=∂∂

=∂∂

2222 xy y ty ∂∂∂∂

donde:

Así:



De la misma forma:

2

2

2

2

2

2

dufd1

dufd1

xu

xy

dud

xy

xxy

dudf

xu

dudf

xy

==∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂

∂

=∂∂

=∂∂

Se tiene entonces:

2

22

2

22

2

2

xyv

dufdv

ty

∂

∂==

∂

∂

de forma que f(x ± v.t) es solución de la ecuación diferencial. Por lo tanto, laexpresión vista es, en efecto, la ecuación diferencial del movimientoondulatorio.

Veamos algunos ejemplos de análisis dinámicos, de forma que comprobemos siciertos fenómenos dan lugar a un movimiento ondulatorio. El cálculo nos va apermitir, además, determinar la velocidad de propagación de la onda (v)



● Ejemplos de ondas longitudinales

Consideremos una barra de sección recta S constante sobre la que provocamosuna deformación (golpeamos, por ejemplo, uno de los extremos):

Ondas elásticas en una barra

Perturbación

Cada sección de la barra experimenta una fuerza F, que no será necesariamentela misma en todas las secciones, pues se van a producir diferentesdesplazamientos de cada sección (y = y(x), siendo y el desplazamiento de lasección situada en la posición x). (Si todas las secciones se desplazasen lamisma cantidad tendríamos un desplazamiento neto de la barra): F =F(x)

F(x) F(x)

S


F =F(x,t)


De esta forma, un diferencial dx que separa dos secciones S y S’ se verá afectado de la forma:

Pasamos de dx a dx+dy: (incremento de longitud dy por cada tramo dx).

La relación entre F y dy viene dada a través del módulo de Young de la barra.Recordemos que:

Sobre el elemento dx habrá un dF: dxxFF-F'=dF∂∂

=

que podremos poner entonces como: dxx

yE.SdF 2

2

∂

∂=

xyESF∂∂

=xy

SFSFE∂∂

=ε

=


F =F(x,t)


Aplicando la ecuación de la dinámica (segunda ley de Newton):

La velocidad de propagación de la onda depende de E y ρ, es decir, de lascaracterísticas del medio material por el que se propaga.

2

2

2

2

tySdxdx

xyES

∂

∂ρ=

∂

∂

dm.adF =

x

yEty

2

2

2

2

∂

∂ρ

=∂

∂

Lo que nos indica que tenemos una propagación en forma de onda, con unavelocidad (vL ):

EvL ρ=

2

2

tya

S dx dm

∂

∂=

ρ=

Es el medio el que impone la velocidad de propagación de la ondas.





En el caso de que laperturbación sea transversal,

Kvo

S ρ=

Consideremos ahora las ondas elásticas producidas como consecuencia delos cambios de presión en los puntos de un fluido, simplificando a lasituación de una columna de gas. Las ondas sonoras son un típico ejemplo deeste tipo de ondas. La velocidad de estas ondas será:

F

la expresión de la velocidad de las ondas transversales será: GvT ρ=

Perturbación

Para el caso una cuerda, sometida a una cierta tensión T en sus extremos,que perturbamos y sacamos de su posición de equilibrio:

La velocidad de la onda será: Tvµ

=

En todos los casos, la velocidad de propagación de las ondas en un medio depende de la densidad y las características elásticas del mismo.

( )µ+=12EG

En un medio material se van a producir tanto ondas longitudinales como ondastransversales. Por ejemplo, las ondas símicas que se producen en la Tierra y queviajan a través de ella son ondas longitudinales y transversales:

Ambas tienen distinta velocidad de propagación. En concreto, G y E estánrelacionados a través de la expresión:

Puesto que: vv LT <

EG <

Longitudinales

Transversales

GvT ρ=

EvL ρ=



Cuestión 7.2

Calcular la velocidad de propagación del sonido en una barrametálica, sabiendo que cuando se somete a la barra a unesfuerzo tensor de 1000 kp/cm2 dentro del rango elásticosufre un alargamiento del 1.5 %, y que su peso en agua es el75% de su peso en aire.Densidad del agua: 1000 kg/m3



Cuestión 7.3

Un hilo de acero de 30 m y un hilo de cobre de 20 m, amboscon un diámetro de 1 mm, están unidos por un extremo ysoportan una tensión de 150 N. ¿Cuánto tarda un pulsotransversal en recorrer la longitud total de los dos cables?Densidad del acero ρAc=7870 kg/m3; densidad del cobreρCu=8960 kg/m3.



3.- Ondas armónicas

3.1.- Longitud de onda

3.2.- Frecuencia y periodo

3.3.- Ondas armónicas estacionarias



Hemos visto que cualquier función f(x,t)=f(x±vt) representa una perturbaciónque se propaga por el medio a velocidad v.

La forma de la función f(x,t) puede ser cualquiera. Sin embargo, resulta deespecial interés analizar en detalle la situación en que dicha función essinusoidal, en cuyo caso tenemos las denominadas ondas sinusoidales oarmónicas:

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/Ondasbachillerato/ondasCaract/OndasDinam/Default.html

vt)Asen k(xy(x,t) −=



http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/Ondasbachillerato/ondasCaract/OndasDinam/Default.html

Analicemos qué representa k. Para ello, notemos qué ocurre cuando x aumentauna cantidad 2π/k :

Así, vemos que al aumentar x en 2π/k tenemos la misma situación que en x. Estoconstituye una periodicidad espacial de la función y(x,t):

[ ] y(x ,t)vt)Asen k(x2vt)k(xAsen vt)k2Asen k(x,t)

k2y(x =−=π+−=−

π+=

π+

de onda longitud k2

≡π

=λ

La magnitud k=2π/λ se denomina número de onda.

3.1.- Longitud de onda



Analicemos también la dependencia temporal de la función y(x,t).Denotemos ω≡frecuencia angular de la onda al producto de k por v:

periodo2T ≡ωπ

=

3.2.- Frecuencia y periodo

angularfrecuenciakv ≡=ω

Así: t)Asen (kxvt)Asen k(xy(x,t) ω−=−=

Como ya sabemos (por el mismo tipo de análisis que hicimos en el M.A.S.),incrementar el tiempo en una cantidad T=2π/ω supone repetir la mismasituación temporal. Así, a la cantidad T la denominaremos periodo (periodicidadtemporal) (a su inversa la denotamos por frecuencia ν):

Por tanto, en el movimiento ondulatorio sinusoidal tenemos dos periodicidades:una en el tiempo, dada por el periodo T, y la otra en el espacio, dada por lalongitud de onda λ. Notemos que ambas magnitudes están relacionadas:

( ) vvπ22

kv2 2T λ

=λπ

=π

=ωπ

= Tv λ=

frecuencia2

T1

≡πω

==ν (Notemos que ω=2πν)



Velocidad de fase

La longitud de onda es justamente la distancia que recorre la perturbación enun tiempo igual al periodo.

En la gráfica se ha representado la función y(x,t) para cinco tiemposdiferentes. Se puede ver como a medida que la situación física se propaga haciala derecha, ésta se repite en el espacio después de un periodo:

0tt =

4Ttt 0 +=

2Ttt 0 +=

4T3tt 0 +=

T tt 0 +=



Usando las expresiones vistas, podemos escribir la onda armónica como:

Tt x2Asen

t)Asen(kx

vt)Asenk(xy(x,t)

−λ

π=

=ω−=

=−=



Cuestión 7.4

La ecuación de una onda transversal que avanza por unacuerda está dada por la ecuación y=10sen[π(0.01x-2t)]estando x e y en cm y t en segundos. a) Hallar la amplitud,frecuencia, velocidad de fase y la longitud de onda; b)hallar la máxima velocidad transversal de una partícula en lacuerda.



Consideremos una onda que viaja en un medio limitado (por ejemplo una cuerdacon un extremo fijo). Denotémosla como onda incidente:

(Notemos que la velocidad de propagación sigue siendo la misma, ya que vdepende sólo del medio de propagación, que sigue siendo la misma cuerda. Deesta forma, k=ω/v sigue siendo la misma).

3.3.- Ondas armónicas estacionarias

kx)tsen (A(x,t)y ii +ω=

kx)tsen (A(x,t)y rr −ω=

En la cuerda coinciden (se superponen) dos ondas, la resultante es la suma deambas.

Al llegar a x=0, la onda no puede más que rebotar, produciéndose una ondareflejada. Esta onda, por las propiedades de reflexión (tema de Física II),conserva la misma frecuencia ω. Así, tendremos:



Puesto que x=0 es un punto fijo de la cuerda:

La onda resultante es, por tanto:

Esta es la ecuación de una onda cuya amplitud es función de la posición: A=A(x).

kx)tsen (Akx)tsen (A(x,t)y(x,t)yy(x,t) riri −ω++ω=+=

La amplitud se hace nula (puntos nodales) si:

t 0,t)0y(x ∀==

La onda resultante es:

0t)sen (At)sen (A ri =ω+ω 0AA ri =+ ir AA −=

t) (cossen(kx)A2 ]t) sen(kx) (cos(kx)cost) sen (t) (cossen(kx)(kx)cost) [sen (A

kx)tsen (Akx)tsen (Ay(x,t)

i

i

ii

ω=

=ω+ω−ω+ω=

=−ω−+ω=

sen (kx)A2A(x) i=

0sen (kx) = π= Nkx 2N

2N

kNx λ

=πλπ

=π

= (N C Z)

A(x)


βαβαβαβαβαβα sen cos cos sen)( sen

sen cos cos sen)( sen−=−+=+

variables separables


■ Puesto que x = 0 es un punto fijo de la cuerda:

De esta forma, vemos que sólo son posibles ciertos valores de λ (función de L)(k, ω, ν).

t 0 ,t) 0y(x ∀==

Si ahora considero una cuerda limitada por ambos extremos:

t) (cossen(kx)A2y(x,t) i ω=

■ Ahora, además, x = L es también un punto fijo: t 0 L,t) y(x ∀==

t 0t)(cossen(kL)A2L,t)y(x i ∀=ω== 0sen(kL) =

π= N'kL L

N' k π=

LN' 2 π

=λπ

N'L2 =λ

=λ , ...

2L,

3L2L, L, 2

N’ C Z


http://io9.com/all-the-science-experiments-performed-in-this-music-vid-1659246561/all


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Consideremos ahora tubos. La condición necesaria para que existan ondasestacionarias en tubos es que en el extremo cerrado del tubo se produzca unmínimo o nodo (las moléculas de aire están en contacto con el fondo del tubo ypor lo tanto no vibran) y en el extremo abierto se produzca un máximo o vientre(las moléculas de aire pueden vibrar libremente). Así, de la gráfica podemosextraer la condición de ondas estacionarias en un tubo abierto por ambosextremos o abierto sólo por un extremo.



Cuestión 7.5

Una cuerda de piano está hecha de acero y tiene 50 cm delongitud y 5 g de masa, estando sometida a una tensión de400 N. a) ¿Cuál es la frecuencia de su vibraciónfundamental? b) ¿Cuál es el número del armónico más altoque puede ser oído por una persona capaz de percibirfrecuencias hasta de 10000 s-1?



4.- Energía e Intensidad. Absorción

4.1.- Energía en el movimiento ondulatorio

4.2.- Intensidad de una onda

4.3.- Medios absorbentes



4.1.- Energía en el movimiento ondulatorioComo se ha dicho, en el mov. ondulatorio no se propaga la materia, sino elestado de perturbación. Dicho de otra forma, se propaga la energía o elmomento (cantidad de movimiento) de las partículas. Debe existir, por tanto,una variación de la energía respecto al tiempo. Consideremos el caso concretode una onda en una cuerda: la potencia que setransmite resulta del movimiento de las partículasen el eje y y, por consiguiente, el producto escalarP=F⋅v =Fy⋅vy:

ty

xyT

tyTtgFvP

∂∂

∂∂

−=∂∂

−== α

Puesto que: t)Asen(kx-y(x,t) ω=

t)(kx-cosAkxy

ω=∂∂

t)(kx-cosAty

ωω−=∂∂

t)(kx-coskTAt)](kx-cosAt)[-(kx-cosTAkP 22 ωω=ωωω−=



(Considerando α pequeño: senα ≅ tgα)

La potencia media será:

Puesto que:

k TA21P 2ω>=<

Tvµ

= vT 2µ=

vA21vA

21kAv

21P 222222

µω=µω=µω>=<

vEvA21P T

22 =

µω>=<

22T A

21E µω=

Se denomina energía por unidad de longitud o densidad de energía ≡ ET a lacantidad:

Podemos ver que la potencia media o flujo de energía que atraviesa la cuerdadepende de:

T v y µ

=µ▬ Las propiedades del medio material, a través de

▬ La frecuencia de oscilación de la onda (ω)

▬ La amplitud de la onda al cuadrado (A2)

de forma que:

( )kv=ω



4.2.- Intensidad de una ondaLas expresiones vistas anteriormente representan el flujo de energía queatraviesa cada sección de material.

Unidades de la intensidad, I (SI): W/m2

Podemos definir también la denominada intensidad de onda I:

v ESEv

SPI T ==><

=

La intensidad representa entonces la energía trasmitida por unidad de tiempo yunidad de superficie (potencia por unidad de superficie).

Si tenemos un medio no disipativo (que no absorbe energía), la <P> seríaconstante, pero no necesariamente la I, ya que depende de cómo se expande laonda. Así, tendremos las siguientes situaciones:

== e volumenr unidad denergía poSE E T



■ Ondas planasLos frentes de ondas son planos de sección Sconstante. La energía que atraviesa cada secciónse mantienen cte:

cteSPI =><

=

■ Ondas cilíndricas

Consideremos una porción de onda y dos instantes de tiempo, t1 y t2. Laenergía que atraviesa la sección S1 es la que atraviesa después S2. Así:

■ Ondas esféricas

hrS 11 θ=

hrS 22 θ=

cteP >=<

r r

SPSP

II

1

2

1

2

2

1θθ

=><><

= rIrI 2211 =

cteIrIS == r1

S1Icil ∝∝

21111 rrS θθ=

22122 θrθrS =

cteP >=<

cteIrIS 2 ==

2esf r1

S1I ∝∝Al igual que antes:



Ondas sonoras

En el caso de las ondas sonoras, el oído humano es sensible a las ondas conintensidades entre 10-12 W/m2 y 1 W/m2, no siendo nuestra percepción de lasonoridad proporcional a la intensidad, sino que varía logarítmicamente. Porello, se define una nueva magnitud física, el nivel de intensidad de una ondasonora (B):

0IIlog10B =

donde I es la intensidad física del sonido e I0 es el nivel de referencia, que setoma como umbral de audición:

2120 W/m10I −=

El nivel de intensidad se mide en decibelios (dB) en el SI.

dB0W/m10W/m10log10Β 212

212

== −

−

En esta escala, el umbral de audición (I=10-12 W/m2) es:



y el umbral del dolor (I=1 W/m-2):

dB12010log10W/m10

W/m1log10B 12212

2

==

= −



En el oído humano hablamos de sonoridad como el atributo que nos permiteordenar sonidos en una escala del más fuerte al más débil.

La sonoridad depende tanto de la frecuencia como del nivel de intensidad (endecibelios). En el gráfico se muestra el nivel de intensidad en dB en función dela frecuencia para sonidos de igual sonoridad. La mayor sensibilidad del oído es~ 4 kHz para todos los niveles de intensidad sonora en dB.


sonoridad


Cuestión 7.6

Todas las personas (38) que han acudido a un cocktail seencuentran hablando igual de ruidosamente. Si sóloestuviese hablando una persona, el nivel de sonido sería de72 dB. Calcular el nivel de sonido cuando las 38 personashablan a la vez.



4.3.- Medios absorbentesHasta ahora hemos considerado que el medio por el que se propaga la onda noabsorbe energía. Sin embargo, se observa experimentalmente que los mediosmateriales absorben energía, de forma que las ondas finalmente acabanextinguiéndose.Supongamos una onda que se propaga (por sencillez consideremos una ondaplana propagándose en la dirección +X). Experimentalmente se observa que laintensidad de la onda decae con la propagación:

I(x)dx-dI β=

donde β ≡ constante deabsorción, depende del medio yde la frecuencia ω

ctex Iln +β−=

dxIdI

β−=

Integrando:

Tomando I=Io en x = 0: 0Ilncte = xIIln0

β−= x0eII β−=



Esta expresión nos indica que I decae exponencialmente con x (a medida queavanza la onda).

Notemos pues que en una situación real (con absorción):

- Ondas planas: I no es cte, sino que decae debido a la absorción

- Ondas cilíndricas y esféricas: I disminuye debido a la expansión de laonda y a la absorción del medio

Como se ha mencionado, β depende del material.Así pues, por ejemplo para ondas sonoras, sepuede realizar un mejor aislamiento acústico deuna sala en función de los materiales usados en lasparedes de la misma.



Cuestión 7.7

Una onda sonora cuya intensidad es 10-2 W/m2 al penetraren un medio absorbente de 1 m de espesor, tiene al salir delmismo una amplitud que es la cuarta parte de la que tenía alincidir en el medio absorbente. Determinar la intensidad dela onda a la salida, el coeficiente de absorción del materialy su espesor de semiabsorción.



5.- Efecto Doppler



Una onda se caracteriza por su frecuencia. En el caso de una onda sonoraemitida por una fuente, ésta posee una cierta frecuencia ω (ν). Sin embargo, seobserva experimentalmente que si una fuente o un observador están enmovimiento, la frecuencia percibida cambia (efecto Doppler).

En efecto, consideremos una fuente en movimiento (observador en reposo),como se representa en la figura:

Al irse moviendo F hacia la dcha., los frentesde onda se van a ir desplazandosucesivamente, por lo que dejan de serconcéntricos. Se tiene una acumulación defrentes de onda en la parte delantera (segúnavanza la onda) y una situación opuesta en laparte posterior. Para el observador O,situado por delante de F, la longitud de ondaque se percibe es menor (si está detrás esmayor), y por tanto la frecuencia que observaes mayor (menor si está detrás).


http://www.youtube.com/watch?v=UEBNJqUW5Ok


http://www.youtube.com/watch?v=UEBNJqUW5Ok

Así, al acercarse o alejarse la fuente al observador,este percibe una frecuencia mayor o menor. De lamisma forma, si el observador está también enmovimiento, la frecuencia percibida se ve afectada. Enel caso anterior del ejemplo, si el observador seacercase a la fuente los frentes de onda se agruparíanaún más, disminuyendo adicionalmente la longitud deonda y aumentando la frecuencia percibida.

Calculemos la frecuencia percibida en términos de la frecuencia emitida.Consideremos el caso sencillo en el que O y F se mueven sobre la misma línearecta:

Queremos calcular el nº de ondas emitido por la fuente en un cierto intervalode tiempo (τ) y observar el intervalo de tiempo correspondiente (τ´) en el queson recibidas por el observador.



Consideremos una onda emitida por F en t=0 (posición A). Esta onda tardará untiempo t en ser percibida por el observador, que se habrá movido una cantidadvOt. El espacio recorrido por la onda será s+vOt. Puesto que la onda viaja convelocidad v tendremos:

De esta forma, las ondas emitidas por F en el intervalo [0, t]≡τ se estánpercibiendo por O en el intervalo [t, t’]≡τ’. Así:

vttvs O =+Ov-v

st =

Consideremos el instante t(=τ) y consideremos en dicho instante una nueva ondaemitida por F (posición A’). Esta onda será percibida por O en un instante t’(medido respecto al origen de tiempos inicial). Así, tendremos que:

)v (t'-t'vvs OF τ=+τ−

t'vv t'vvs OF −=τ+τ−O

Fv-v

)(v-vst'

τ+=

OO

F

OO

Fv-v

sv-v

)(v-vv-v

stv-v

)(v-vst'-t' −

τ+=−

τ+==τ τ=τ

O

Fv-vv-v

'



Si las ondas son emitidas con una frecuencia ν, el nº de ondas emitido en elintervalo τ será ντ. El nº de ondas percibido en el intervalo τ’ será de la mismaforma ν’τ’. Ambos números de ondas emitidos y observados son iguales, por loque:

expresión que nos da la relación entre la frecuencia percibida por elobservador y la emitida por la fuente.

''τν=ντ τν=ντO

Fv-vv-v

' ν=νF

Ov-vv-v'

En general:ν

±±

=νF

Ovvvv'

http://www.cimat.mx/~gil/tcj/2001/astronomia/hubble/doppler.html



http://www.cimat.mx/%7Egil/tcj/2001/astronomia/hubble/doppler.html

El efecto Doppler aparece en la naturaleza y tiene múltiples aplicacionesprácticas: murciélagos, radar para detectar la velocidad de un automóvil, sonarpara detectar objetos, etc.

ν±

±=ν OF

Fexp

OFOexp

vv

vv'

Si la velocidad de la fuente es mayor que la velocidad de las ondas en el medio(vF>v), F avanza más rápido que sus frentes de ondas y el resultado es una ondade choque u ondas de Mach.

En el caso de que F y O no se muevan sobre la misma línea debemos considerarla descomposición de velocidades sobre la recta que los une. Además debemostener en cuenta las condiciones de propagación de la onda (viento en el caso deondas sonoras, etc.) (vexp)



Cuestión 7.8

Un observador en reposo frente a una vía férrea tarda 5 sen oir el silbido de una locomotora, distante y en reposo,con un tono continuo de 300 ciclos/segundo. Al cabo de esetiempo el tono del sonido se va haciendo más agudo,llegando en 10 s más a ser de 330 ciclos/segundo ypermaneciendo otra vez constante. a) Explicar la causa delos fenómenos descritos; b) calcular la posición, aceleraciónmedia y velocidad final de la locomotora.Velocidad del sonido: 340 m/s



movimiento ondulatorio -...

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