métodos de desarrollabilidad de superficies y su...

Métodos de desarrollabilidad desuperficies y su aplicación en imágenes

médicas

Dany Esteban Ríos Rodas

Escuela de Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia

Director:Marco Paluszny Kluczynsky

Para obtener el grado de

Magister en Ciencias - Matemáticas

Universidad Nacional deColombia - Sede Medellín

2017

Dedico el desarrollo de este trabajo a mi madre, quien ha partido de este mundo,llevándose la ilusión de ver este logro cumplido...

IV

Introducción

El objetivo principal de este trabajo de maestría es estudiar y desarrollar dos formas o mé-todos de desplegar superficies regladas desarrollables sobre un subconjunto del plano, deforma que la imagen obtenida no presente distorsión. Decimos que una superficie M ⊂ R3

es desarrollable si existe una aplicación inyectiva φ : M −→U ⊂R2 tal que la diferencial dφ

preserva el producto interior. Estos métodos de desarrollabilidad son propuestos por Pott-mann, Helmut y Wallner, Johannes en [2].

En el capítulo 1 presentamos conceptos básicos sobre curvas, tales como curvatura, tor-sión, longitud de arco, triedro de Frenet, etc. definidos en el parámetro original de la curvay en la parametrización por longitud de arco. Además de esto introducimos el concepto desuperficie regular y en particular consideramos superficies regladas.

En el segundo capítulo iniciamos con la definición de superficie reglada desarrollable. Lue-go mostramos un resultado que permite identificar las superficies desarrollables a partir desu curvatura gaussiana. Finalizando con la presentación de los métodos de desarrollabilidadpara este tipo de superficies.

En tercer lugar estudiamos conceptos básicos de volúmenes médicos, considerando en es-pecial resonancias magnéticas y tomografías. Los archivos que conforman el estudio image-nológico son archivos tipo DICOM (Digital Imaging and Communication in Medicine), loscuales contienen información que permite la ubicación del mismo en un sistema de coorde-nadas ligado al tomógrafo. Este procedimiento es desarrollado usando Matlab.

En el capítulo 4 presentamos una familia de superficies regladas las cuales se consideranen [5]. Para la construcción de una familia de este tipo consideramos una curva ω no nece-sariamente parametrizada por longitud de arco, la cual será una pregeodésica para la familia.

Las superficies desarrollables tienen muchas aplicaciones en la industria y son de gran inte-rés en el estudio de imágenes médicas, lo cual es presentado en el capítulo 5. La aplicaciónconsiste básicamente en la construcción de una superficie desarrollable de la familia de su-perficies regladas presentadas en el capítulo 4, a través del conducto interno del diente, elcual corresponde al nervio de éste. Esta superficie desarrollable permite obtener informa-ción sobre su interior, lo cual podría ser importante para realizar procesos odontológicoscomo la endodoncia. Otra de las utilidades, es la obtención de medidas reales de longitudesy ángulos de interés. Además, a partir de éstas, se puede tener conocimiento y control acerca

V

de las estructuras anatómicas adyacentes a la pieza dental.

Índice general

Índice general VII

Índice de figuras IX

Nomenclatura IX

1. Preliminares 11.1. Conceptos básicos sobre curvas y superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Superficies regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Offsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Métodos de desarrollabilidad de superficies 132.1. Primer método de desarrollabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Segundo método de desarrollabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Volúmenes médicos: tomografía y resonancia magnética 473.1. Información del encabezado (header) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. Análisis de tomografías usando Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3. Ubicación espacial de las imágenes médicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Métodos de texturización de superficies 554.0.1. Método: Vecino más cercano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.0.2. Método: Interpolación trilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. Una familia de superficies regladas y sus aplicaciones 615.1. Una familia de superficies que contienen una curva ω dada como pregeodésica 62

VIII Índice general

5.2. Aplicaciones: Visualización de información tomográfica utilizando superfi-cies desarrollables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.1. Aplicación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.2. Aplicación 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.3. Aplicación 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6. Conclusiones y trabajo futuro 79

7. Apéndice 817.1. Teoremas esenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2. Curvas de Bézier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.3. Curvas B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Bibliografía 85

Índice de figuras

1.1. Triedro de Frenet sobre una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Ejemplo de superficie reglada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Ejemplo superficie offset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. Cambio de dominio para la superficie cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Superficie cilíndrica con curva directriz no plana . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Otra vista de la superficie de la fig. 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Desarrollo de la superficie cilíndrica de la fig. 2.2 . . . . . . . . . . . . . . 192.5. Parametrización original t y parametrización longitud de arco s de una curva ω 212.6. Superficie cilíndrica con curva directriz, una cúbica de Tschirnhausen para-

metrizada por longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7. Desarrollo de la superficie de la fig. 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.8. Ejemplo de superficie tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.9. Superficie tangente a una curva directriz no parametrizada por longitud de

arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10. Desarrollo de la superficie tangente de la fig. 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . 272.11. Cambio de dominio para la superficie cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.12. Superficie cónica con curva directriz no parametrizada por longitud de arco 312.13. Dominio no rectangular de la superficie cónica de la fig. 2.12 . . . . . . . . 312.14. Desarrollo en el plano de la superficie cónica de la fig. 2.12 . . . . . . . . . 322.15. Superficie cónica y una curva α sobre la superficie . . . . . . . . . . . . . 392.16. Desarrollo en el plano de la superficie de la fig. 2.15 . . . . . . . . . . . . . 392.17. Superficie M y una curva plana tomada sobre la superficie. . . . . . . . . . 412.18. Desarrollo sobre el plano de la superficie de la fig. 2.17. . . . . . . . . . . . 412.19. Curva no plana sobre una superficie cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . 422.20. Desarrollo de la superfice cilíndrica de la fig. 2.19 . . . . . . . . . . . . . . 432.21. Curva no plana sobre una superficie cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . 442.22. Desarrollo de la superfice cilíndrica de la fig. 2.21 . . . . . . . . . . . . . . 45

X Índice de figuras

3.1. Planos axial, sagital y coronal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2. Ejemplos de algunos slice de una CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3. Ejemplos de algunos slice de una MRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4. Primer paso de la ubicación espacial de un slice. . . . . . . . . . . . . . . . 503.5. Segundo paso de la ubicación espacial de un slice. . . . . . . . . . . . . . . 513.6. Tercer paso de la ubicación espacial de un slice. . . . . . . . . . . . . . . . 513.7. Cuarto paso de la ubicación espacial de un slice. . . . . . . . . . . . . . . . 513.8. Tomografía de estómago - Elementos básicos del slice . . . . . . . . . . . 523.9. Ubicación espacial - Tomografía de columna vertebral . . . . . . . . . . . 523.10. Ubicación espacial - Tomografía cerebral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.11. Tomografía del estómago con corte entre los slice . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1. Parche de Bézier texturizado con el método vecino más cercano. . . . . . . 574.2. Superficie construida usando conos sobre una curva base ATPH texturizada

con el método vecino más cercano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3. Módelo gráfico sobre interpolación trilineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4. Parche de Bézier texturizado con el método interpolación trilineal. . . . . . 594.5. Superficie construida usando conos sobre una curva base ATPH texturizada

con el método interpolación trilineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1. Curva pregeodésica sobre una superficie con parámetros no constantes . . . 635.2. Curva pregeodésica sobre una superficie con parámetros constantes . . . . . 645.3. Ejemplo de superficie desarrollable con una curva ω como curva pregeodésica 665.4. Desarrollo de la superficie de la fig. 5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5. Reparametrización de una curva espacial por longitud de arco . . . . . . . . 685.6. Superficie desarrollable y curva geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.7. Superficie desarrollable y una curva pregeodésica . . . . . . . . . . . . . . 695.9. Ejemplo de superficie desarrollable con una curva ω como geodésica . . . . 705.10. Desarrollo de la superficie de la fig. 5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.11. Superficie en el interior del volumen médico . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.12. Segmento de cónica aproximante de los puntos de la raíz . . . . . . . . . . 725.13. Vistas de la superficie de la fig. 5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.14. Desarrollo de la superficie de la fig. 5.13 en el plano . . . . . . . . . . . . . 735.15. Corte de las raices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.16. Desarrollo en el plano de las superficies de la fig. 5.15 . . . . . . . . . . . . 745.18. Desarrollo del offset de la fig. 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.19. Zoom de la superficie offset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Índice de figuras XI

5.20. Puntos sobre las piezas dentales y B-spline cúbico interpolante . . . . . . . 775.21. Superficie reglada creada a partir del B-spline de la fig. 5.20 usando los

parámetros α(t) = 1 y α(t) = 1 para todo t . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.22. Superficie reglada desarrollable creada a partir del B-spline de la fig. 5.20

usando los parámetros α y α dados por la expresión (5.8) y texturizada conel método interpolación trilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.23. Desarrollo de la superficie de la fig. 5.22 usando el segundo método dedesarrollabilidad presentado en el capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Capítulo 1

Preliminares

1.1. Conceptos básicos sobre curvas y superficies

1.1.1. Curvas paramétricas

Una curva parametrizada es una aplicación α(t) : I →R3 donde I es un intervalo real, lacual envía t ∈ I a un vector de la forma, α(t) = [x(t),y(t),z(t)] ∈ R3, para x, y, z funcionesa valores reales.

Se dice que α es diferenciable si x(t),y(t),z(t) son funciones diferenciables. En tal caso,si denotamos por x′(t),y′(t),z′(t) las primeras derivadas de x(t),y(t),z(t), respectivamente,obtenemos α ′(t) = [x′(t),y′(t),z′(t)]. Este vector recibe el nombre de vector tangente a lacurva α en el valor del parámetro t.

Definición: Diremos que α es una curva regular si α ′(t) = 0, para todo t.

Longitud de arcoDado t ∈ I, la longitud de arco de una curva regular parametrizada α(t) : I → R3 desde unpunto t0 hasta el parámetro t, está dada de la forma:

s(t) =∫ t

t0∥α

′(t)∥dt, (1.1)

donde ∥α ′(t)∥=√

x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2.

Observaciones:

1. Decimos que una curva α(t) está parametrizada por longitud de arco, si ∥α ′(t)∥= 1

2 Preliminares

para todo t, por lo tanto, de la ecuación (1.1) obtenemos, s(t) = t − t0.

2. Formalmente, toda curva regular puede ser reparametrizada por longitud de arco, aun-que en la práctica podría ser una tarea difícil de realizar. Si α(t) es regular, entoncesla función longitud de arco s(t) es creciente (s′(t) = ∥α ′(t)∥> 0), por tanto, s tieneinversa denotada por t = t(s). Luego, definimos la siguiente reparametrización de lacurva α , dada por: β (s) = α(t(s)).Por medio de la aplicación de la regla de la cadena tenemos que,

β ′(s) = α ′(t(s))t ′(s) =α ′(t(s))s′(t(s))

=α ′(t(s))

||α ′(t(s))|| ,

puesto que, s(t(s)) = s de donde s′(t(s))t ′(s) = 1, se tiene t ′(s) =1

s′(t(s)).

En conclusión, β es una reparametrización por longitud de arco de la curva α .

Definición: Sea α(s) : I → R3 una curva parametrizada por longitud de arco s ∈ I. Defini-mos κ(s) = ∥α ′′(s)∥ como la curvatura de α en s. 1

A continuación, presentamos algunos conceptos importantes sobre curvas parametrizadaspor longitud de arco:

Triedro de FrenetSi α es una curva parametrizada por longitud de arco, i.e, ∥α ′(s)∥= 1, entonces α ′(s) esel vector tangente unitario a la curva α en el parámetro s, el cual denotaremos por T (s).(T (s) = α ′(s)).Como α ′(s) ·α ′(s) = 1, derivando obtenemos que α ′′(s) ·α ′(s) = 0, por lo tanto T ′(s) esortogonal a T (s) y si suponemos que T ′(s) = 0 entonces definimos, N(s) = T ′(s)

∥T ′(s)∥ , llamadovector normal.

Recordemos que la curvatura está definida como: κ(s) = ∥α ′′(s)∥= ∥T ′(s)∥. Por tanto, te-nemos las siguientes relaciones:

N(s) =T ′(s)

∥T ′(s)∥ =T ′(s),κ(s)

(1.2)

T ′(s) = κ(s)N(s). (1.3)1A lo largo de este capítulo, consideramos la letra t para denotar el parámetro original de la parametrización

y denotamos por s el parámetro longitud de arco.

1.1 Conceptos básicos sobre curvas y superficies 3

Observación: Si la curvatura κ(s0) = 0 entonces N(s0) no está definido. En particular α(s)es una línea recta si y sólo si κ(s) = 0 para todo s ∈ I.En caso contrario, si κ(s) = 0, definimos el vector binormal, denotado por B(s), como:

B(s) = T (s)×N(s) (1.4)

El conjunto de vectores T (s),N(s),B(s) se denomina Triedro de Frenet.También podemos definir el concepto de torsión de la curva α:

τ(s) =−N(s) ·B′(s) (1.5)

Basados en los conceptos de vector tangente, normal y binormal, podemos definir los si-guientes planos:

• Plano osculador: Es el plano generado por los vectores T (s) y N(s).

• Plano rectificante: Es el plano generado por los vectores T (s) y B(s).

• Plano normal: Es el plano generado por los vectores N(s) y B(s).

Figura 1.1 Vector tangente (azul), vector normal (rojo) y vector binormal (amarillo). Planoosculador, rectificante y normal.

4 Preliminares

A partir del triedro de Frenet, podemos definir las siguientes fórmulas, las cuales se deno-minan fórmulas de Frenet:

T ′(s) = κ(s)N(s)

N′(s) =−κ(s)T (s) + τ(s)B(s)

B′(s) = −τ(s)N(s).

(1.6)

Las anteriores ecuaciones pueden presentarse de forma matricial de la siguiente forma:T ′(s)N′(s)B′(s)

=

0 κ(s) 0−κ(s) 0 τ(s)

0 −τ(s) 0

T (s)

N(s)B(s)

Como se mencionó con anterioridad, en general la curva α no está parametrizada por lon-gitud de arco, por tanto, presentamos la versión general del triedro de Frenet:

T (t) =α ′(t)

∥ α ′(t) ∥ , B(t) =α ′(t)×α ′′(t)

∥α ′(t)×α ′′(t)∥ , N(t) = B(t)×T (t). (1.7)

La curvatura y la torsión:

κ(t) =∥ α ′(t)×α ′′(t) ∥

∥ α ′(t) ∥3 , τ(t) =α ′(t) · (α ′′(t)×α ′′′(t))∥ α ′(t)×α ′′(t) ∥2 (1.8)

Ejemplo: Hallar la curvatura y la torsión de una circunferencia de radio R > 0 que yace enel plano XY.

Para la solución vamos a considerar la siguiente parametrización de la circunferencia:

α(t) = [Rcos(t),Rsin(t),0] t ∈ [0,2π)

Entonces se tiene:

α′(t) = [−Rsin(t),Rcos(t),0]

α′′(t) = [−Rcos(t),−Rsin(t),0]

α′′′(t) = [Rsin(t),−Rcos(t),0]

Debemos notar que la curva no está parametrizada por longitud de arco, por lo tanto para elcálculo de la curvatura y la torsión utilizamos la expresión (1.8):


κ =∥ α ′(t)×α ′′(t) ∥

∥ α ′(t) ∥3 =∥ [0,0,R2] ∥

R3 =R2

R3 =1R

τ(t) =α ′(t) · (α ′′(t)×α ′′′(t))∥ α ′(t)×α ′′(t) ∥2 =

[−Rsin(t),Rcos(t),0] · [0,0,R2]

R4 = 0

En conclusión, la circunferencia tiene curvatura constante κ =1R

y como era de esperarsesu torsión es cero debido a que es una curva plana.

Conclusiones:

1. κ mide la magnitud de la razón de cambio del vector unitario tangente T con respectoa la longitud de arco. En particular, κ(s) = 0 para todo s si y sólo si la curva es unarecta.

2. τ mide la razón de cambio del vector binormal B respecto al vector tangente. Enparticular, τ(t) = 0 para todo t si y sólo si la curva es plana y por lo tanto estaríacontenida en el plano osculador.

3. κ y τ determinan completamente la curva bajo el parámetro longitud de arco y móduloisometría.(Teorema fundamental de la teoría local de curvas, ver [1], página 19).

1.1.2. Superficies

Definición: Sea U ⊆ R2 un conjunto abierto. Una parametrización regular de un sub-conjunto M ⊆ R3 se define como una función inyectiva X : U → M tal que Xu ×Xv = 0,(esta condición es necesaria para garantizar la existencia del plano tangente a lo largo de lasuperficie). En este contexto Xu y Xv representan las derivadas parciales de la aplicación Xrespecto a u y v, respectivamente.En conclusión, diremos que M es una superficie parametrizada regular si existe dicha para-metrización regular.

Sea M una superficie con parametrización regular X : U −→ M ⊂ R3 y p = X(u0,v0) unpunto sobre la superficie. Definimos el plano tangente en p, denotado TpM, como el planogenerado por los vectores Xu y Xv en el punto p. Además, definimos el vector normal unita-rio en el punto p como:

np =Xu(u0,v0)×Xv(u0,v0)

∥ Xu(u0,v0)×Xv(u0,v0) ∥. (1.9)

6 Preliminares

En forma abreviada escribimos:

n =Xu ×Xv

∥ Xu ×Xv ∥.

A continuación introducimos el concepto de primera forma fundamental:

Para p = X(u0,v0) ∈ M un punto fijo sobre la superficie, consideramos la forma cuadrá-tica Ip : TpM → R dada por:

Ip(u) = u ·u = ∥u∥2≥ 0

Esta forma cuadrática Ip sobre el plano tangente TpM se define como la primera forma fun-damental de la superficie regular M ⊂ R3 en el punto p.La primera forma fundamental es el producto punto sobre el plano tangente de una superfi-cie en R3 el cual es inducido canónicamente del producto punto de R3.

Ahora vamos a expresar la primera forma fundamental en términos de la base Xu,Xvasociada a la parametrización X(u,v) en el punto p. Ya que un vector w ∈ TpM es el vectortangente a una curva parametrizada α(t) = X(u(t),v(t)) para t ∈ (−ε,ε), con p = α(0) =X(u0,v0), obtenemos:

Ip(α′(0)) = α

′(0) ·α ′(0)

= (Xuu′+Xvv′) · (Xuu′+Xvv′)

= (Xu ·Xu)(u′)2 +2(Xu ·Xv)u′v′+(Xv ·Xv)(v′)2

= E(u′)2 +2Fu′v′+G(v′)2

donde,

E = Xu ·Xu

F = Xu ·Xv = Xv ·Xu

G = Xv ·Xv

Las funciones anteriores se evalúan en t = 0.Los coeficientes E, F y G se denominan coeficientes de la primera forma fundamentalen la base Xu,Xv de TpM. Si permitimos que p varíe en la vecindad de coordenadas deX(u,v) obtenemos funciones E(u,v),F(u,v),G(u,v) las cuales son funciones diferenciablesen esta vecindad.


La primera forma fundamental permite hallar la longitud de una curva que yace sobre lasuperficie, simplemente conociendo sus coeficientes E, F y G.

En efecto, si α(t) = X(u(t),v(t)) con t ∈ [a,b] es una curva parametrizada en M entoncessu longitud L(α) esta determinada por:

L(α) =∫ a

b

√Iα(t)(α

′(t))dt. (1.10)

L(α) =∫ a

b

√E(t)(u′(t))2 +2F(t)u′(t)v′(t)+G(t)(v′(t))2dt. (1.11)

Por último observemos que:

∥ Xt ×Xu ∥2 +(Xt ·Xu)2 = ∥ Xt ∥2∥ Xu ∥2 − (Xt ·Xu)

2 +(Xt ·Xu)2 = ∥ Xt ∥2∥ Xu ∥2.

Por lo tanto, concluimos que:

∥ Xt ×Xu ∥=√

EG−F2. (1.12)

Aplicación de Gauss y la segunda forma fundamental.Dada una superficie parametrizada regular M, definimos la aplicación n : M → S2 ⊂ R3

(donde S2 es la esfera unitaria) tal que a cada punto p ∈ M se le asocial el vector normalunitario n(p).La segunda forma fundamental está determinada por la siguiente matriz, cuyas componentesse denominan coeficientes de la segunda forma fundamental:

IIp =

[L MM N

].

donde,

L = Xuu ·nM = Xuv ·n = Xvu ·nN = Xvv ·n

A continuación definimos el concepto de Curvatura Gaussiana, la cual está determinadapor la expresión:

κ(p) =LN −M2

EG−F2 . (1.13)

8 Preliminares

Observaciones:

1. El plano tangente TpM de una superficie parametrizada regular se definió en términosde la base Xu,Xv, pero realmente no depende de la parametrización.

2. La curvatura Gaussiana no depende del signo de n(p), es decir, no depende de laorientación de la superficie.

3. La primera y segunda forma fundamental no dependen de la parametrización.

1.1.3. Superficies regladas

En esta sección vamos a estudiar las superficies regladas, las cuales serán de gran interésen el desarrollo de este trabajo. Ver fig.1.2.

Definición: Superficie reglada.Una superficie reglada M es una superficie con parametrización:

X(t,v) = α(t)+ vω(t), t ∈ I, v ∈ R (1.14)

donde I ⊂ R, α(t) es una curva en R3 llamada curva directriz y ω(t) es un vector en R3,con ω(t) = 0.Para un t dado, Lt representa la recta en R3 que pasa por α(t) y tiene vector director ω(t),la cual recibe el nombre de generador.

Figura 1.2 Superficie reglada X(t,u) = [t, t −3sin(t),4−3cos(t)]+ v[1,0,0].


Definición: Un punto q0 = X(t0,v0) sobre la superficie M tal que Xt(t0,v0)×Xv(t0,v0) =0 se dice punto regular, en caso contrario decimos que q0 es un punto singular.

Ejemplos:

1. Un cilindro es una superficie reglada generada por una curva α(t) y un vector fijo ω

en R3. Ver fig. 1.2.

2. Un cono es una superficie reglada generada por una curva α(t) y cada generador Lt

pasa por un punto p0 que no pertenece a la curva α(t).

Cálculo de la línea de estricción

La línea de estricción es una curva que yace sobre la superficie, la cual contiene lospuntos singulares de la superficie y además, permite clasificar la superficie reglada comosuperficie cónica, si la línea de estricción consta de un sólo punto, ó tangente, si consta demás de un punto.

Consideremos la superficie reglada M con parametrización:

X(t,v) = α(t)+ vω(t)

y supongamos que ∥ ω(t) ∥= 1, y ω ′(t) = 0, para todo t ∈ I. Suponer que ∥ ω(t) ∥= 1 esequivalente a ω(t) ·ω(t) = 1 y derivando obtenemos ω(t) ·ω ′(t) = 0 para todo t ∈ I, esdecir, los vectores ω(t) y ω ′(t) son ortogonales.

Nuestro objetivo es construir una curva β (t) que pertenezca a la superficie M, es decir,

β (t) = α(t)+u(t)ω(t) (1.15)

tal que β ′(t) ·ω ′(t) = 0 para todo t ∈ I, para alguna función de valor real u = u(t).Para determinar u(t) derivamos la expresión de la curva β (t):

β ′ = α ′+u′ω +uω ′,

así tenemos que,

β ′ ·ω ′ = α ′ ·ω ′+u′ω ·ω ′+uω ′ ·ω ′.

Como ω ·ω ′ = 0 y β ′ ·ω ′ = 0 entonces,

0 = α ′ ·ω ′+uω ′ ·ω ′.

10 Preliminares

De donde se sigue que u = u(t) está dada por:

u =−α ′ ·ω ′

ω ′ ·ω ′ . (1.16)

Tomando en cuenta las expresiones (1.15) y (1.16) obtenemos:

β (t) = α(t)− α ′(t) ·ω ′(t)ω ′(t) ·ω ′(t)

ω(t) (1.17)

Observación: La línea de estricción β (t) no depende de la escogencia de la curva directrizα(t) de la superficie reglada. En efecto, consideremos α otra curva directriz de la superficiereglada, esto es:

X(t,v) = α(t)+ vω(t) = α(t)+ sω (1.18)

para alguna función s = s(t). Con un proceso análogo al anterior, logramos una expresiónpara la línea de estricción, β (t) asociada a α y por ende:

β −β = (α −α)+(α ′−α ′) ·ω ′

ω ′ ·ω ′ ω .

Por otro lado, de la expresión (1.18),

α −α = (s− v)ω(t).

Así,

β −β = (s− v)+(v′− s′)ω +(v− s)ω ′ ·ω ′

ω ′ ·ω ′ ω =

(s− v)+(v′− s′)ω ·ω ′

ω ′ ·ω ′ +(v− s)ω ′ ·ω ′

ω ′ ·ω ′ ω = 0,

puesto que ω ·ω ′ = 0. Lo cual prueba nuestra observación.

Ahora tomamos la línea de estricción como la curva directriz de la superficie reglada, así:

X(t,v) = β (t)+ vω(t). (1.19)

Con esta escogencia tenemos,

Xt = β ′+ vω ′, Xv = ω .

y

Xt ×Xv = β ′×ω + vω ′×ω .


Recordar que ω ′ ·ω = 0 y ω ′ ·β ′ = 0, por lo tanto concluimos que β ′×ω = λω ′ para algunafunción λ = λ (t). De donde multiplicando por ω ′ obtenemos:

λ =(β ′×ω) ·ω ′

∥ ω ′ ∥2 (1.20)

La función λ (t) es llamada parámetro de distribución de la superficie reglada M.

Dado que ∥ω∥= 1 entonces ∥ω ′×ω∥= ∥ω ′∥ y por ende se tiene lo siguiente:

∥ Xt ×Xv ∥2 = ∥ λω′+ vω

′×ω ∥2= λ

2∥ ω′ ∥2

+ v2∥ ω′ ∥2

= (λ 2 + v2)∥ ω′ ∥2

. (1.21)

Luego, un punto p0 = X(t0,v0) de la superficie M es singular si (Xt ×Xv)(t0,v0) = 0, portanto, según la expresión anterior, concluimos que los puntos singulares de la superficie Mson aquellos que yacen sobre la línea de estricción y tales que λ (t) = 0.

Curvatura Gaussiana de la superficie (1.19).Calculamos los coeficientes de la segunda forma fundamental:

Xtt = β ′′+ vω ′′, Xtv = ω ′, Xvv = 0,

por tanto,

N =(Xt ×Xv) ·Xvv

∥ Xt ×Xv) ∥2 = 0, M =(Xt ×Xv) ·Xvt

∥ Xt ×Xv ∥2 ,

de donde, usando (1.12), (1.20) y (1.21) obtenemos.

κ =LN −M2

EG−F2 =−((Xt ×Xv) ·Xvt)2

∥ Xt ×Xv ∥4 =− ((β ′×ω) ·ω ′)2

(λ 2 + v2)2∥ ω ′ ∥4 =− λ 2∥ ω ′ ∥4

(λ 2 + v2)2∥ ω ′ ∥4

=− λ 2

(λ 2 + v2)2

(1.22)

La anterior expresión nos permite escribir la curvatura de Gauss para la superficie M entérminos del parámetro de distribución λ .A partir de la ecuación (1.22), concluimos que los puntos regulares sobre la superficie regla-da tienen curvatura κ ≤ 0 y que κ = 0 en los puntos que pertenecen a la línea de estricción.

12 Preliminares

1.2. Offsets

Consideremos M una superficie reglada con parametrización:

X(t,v) = α(t)+ vω(t), t ∈ I, v ∈ R (1.23)

donde I ⊂ R y ω(t) = 0 para todo t ∈ I.Una superficie offset para M a una distancia d fija, está dada por la expresión:

S = X(t,v)+dN(t,v), t ∈ I, v ∈ R (1.24)

donde N(t,v) es el vector normal unitario a la superficie M.

Figura 1.3 Superficie original (azul), offset a una distancia d = 0,5 (verde) y offset a unadistancia d = 1 (rojo)

Capítulo 2

Métodos de desarrollabilidad desuperficies

Una superficie M se considera desarrollable si existe una aplicación inyectiva φ de la su-perficie en un subconjunto del plano, tal que la diferencial dφ preserva el producto interior.

En este capítulo estudiaremos dos métodos de desarrollabilidad presentados por Pottmanny Wallner en [2]. Para el primer método consideramos los puntos de la línea de estricciónasociada a la superficie. Si ésta consiste de un sólo punto, entonces la superficie es cónicaó cilíndrica, en caso de que el punto esté en el infinito. En caso contrario, la superficie encuestión pertenece a las restantes superficies regladas desarrollables, las cuales se puedenparametrizar como superficie tangente utilizando dicha línea de estricción como curva di-rectriz.A partir de la anterior clasificación construimos la isometría en cada caso, considerandoalgunos casos generales para la curva directriz y generatriz.

El segundo método es un poco más útil porque no requiere determinar la línea de estric-ción y la reparametrización de la superficie usándola como curva generatriz. El método estábasado en el hecho de que la curvatura geodésica de una curva plana perteneciente a la su-perficie es una propiedad métrica intrínseca, esto es, no cambia al desarrollar la superficieen el plano.

14 Métodos de desarrollabilidad de superficies

2.1. Primer método de desarrollabilidad

Para este primer método, retomamos el concepto de línea de estricción estudiado en elcapítulo anterior.

Definición: Un difeomorfismo1 ϕ : S → S′ de las superficies S y S′ es una isometría, sipara todo p ∈ S y todo w1,w2 ∈ Tp(S) se cumple,

(w1 ·w2)p = (dϕp(w1) ·dϕp(w2))ϕ(p) (2.1)

En este caso decimos que las superficies S y S′ son isométricas. En otras palabras, un difeo-morfismo ϕ es una isometría si la diferencial dϕ preserva el producto interior.

Como consecuencia de la definición anterior tenemos que, ϕ es una isometría si y sólo si sepreserva la primera forma fundamental, en efecto, para la primera implicación tenemos,

Ip(w) = (w ·w)p

= (dϕp(w) ·dϕp(w))ϕ(p)

= Iϕ(p)(dϕp(w))

para todo w ∈ TpS.Para la otra implicación, suponemos que ϕ es un difeomorfismo que preserva la primeraforma fundamental, esto es,

Ip(w) = Iϕ(p)(dϕp(w)) para w ∈ TpS

Luego,

2w1 ·w2 = IP(w1 +w2)− Ip(w1)− Ip(w2)

= Iϕ(p)(dϕp(w1 +w2)− Iϕ(p)(dϕp(w1))− Iϕ(p)(dϕp(w2))

= 2dϕp(w1) ·dϕp(w2)

por lo tanto, ϕ es una isometría.

Este hecho, nos permite concluir lo siguiente: si X1 : U −→ R3 y X2 : U −→ R3 son dosparametrizaciones de dos superficies M1 y M2, respectivamente, entonces M1 y M2 son iso-

1Una aplicación diferenciable ϕ : S → S′ es un difeomorfismo si es una aplicación biyectiva y su inversatambién es diferenciable.

2.1 Primer método de desarrollabilidad 15

métricas localmente si X1 y X2 tienen la misma primera forma fundamental.

En otras palabras si ϕ es una isometría entonces ϕ preserva distancias. En efecto, considere-mos una curva α sobre la superficie S. Dado que ϕ es un difeomorfismo podemos considerarla curva β sobre la superficie S dada por β = ϕ α para la cual tenemos lo siguiente:

∥β′(t)∥= ∥(ϕ α)′(t)∥= ∥dϕα(t)(α

′(t))∥= ∥α′(t)∥

esta última igualdad se tiene debido a que la dϕ preserva el producto interior.Luego ∥β ′(t)∥= ∥α ′(t)∥ lo cual es suficiente para probar que las curvas α y β tienen lamisma longitud, es decir, ϕ preserva distancias2.

Definición: Una superficie reglada M ⊂ R3 se dice desarrollable, si existe una isometríaϕ : M →U ⊂ R2, para U conjunto abierto.

Teorema: Sea M una superficie reglada con parametrización X : U −→ M ⊂ R3 con U =

[a,b]× [c,d] abierto de R2 tal que,

X(t,v) = α(t)+ vω(t)

para (t,v) ∈U . Entonces M es desarrollable si y sólo si su curvatura gaussiana κ ≡ 0.

Prueba:Sea M una superficie desarrollable, por lo tanto, existe una isometría S : M → U ⊂ R2.Por el Teorema Egregium [1] (Pág. 234) tenemos que la isometría S preserva la curvaturagaussiana y dado que U ⊂ R2 tiene curvatura gaussiana igual a cero, entonces la curvaturagaussiana de la superficie M es también cero.

Para el recíproco, suponemos que M es una superficie reglada con curvatura gaussiana cero.Dividimos la prueba de esta implicación en dos casos: el caso cilíndrico, ω(t)×ω ′(t) = 0,y el caso tangente y cónico, ω(t)×ω ′(t) = 0.

Caso cilíndrico:Suponemos que ∥ω(t)∥= 1 y ω(t)×ω ′(t)= 0 para todo t ∈ [a,b], es decir, ∥ω(t)×ω ′(t) ∥=0 de donde ∥ ω ∥∥ ω ′ ∥ sin(θ) = 0, siendo θ el ángulo entre estos dos vectores, lo cual im-plica que ω ′(t) = 0 dado que ω y ω ′ son vectores ortogonales. Luego ω(t) es un vector

2Definimos la distancia entre dos puntos p y q sobre la superficie M como el ínfimo de todas las lonfitudesde las curvas γ que conectan a p y q, es decir, dM(p,q) = ınfγ L(γ) donde L(γ) es la longitud de la curva γ .


constante y por ende la superficie M es una superficie reglada cilíndrica con generadorconstante ω . Esto es,

X(t,v) = α(t)+ vω t ∈ I = [a,b] v ∈ J = [c,d] (2.2)

donde α es una curva no necesariamente plana ni parametrizada por su longitud de arco,pero sin pérdida de generalidad, podemos suponer ω = [0,0,1]. 3

El procedimiento a seguir consta de dos pasos: reparametrizar la superficie M usando unacurva α plana (Paso A) y reparametrizar la curva α por longitud de arco (Paso B).

Paso A: Si α(t) = [α1(t),α2(t),α3(t)] es una curva en R3 no necesariamente plana.Proyectamos la curva α sobre el plano z = 0 y obtenemos α(t) = [α1(t),α2(t),0]. 4

Consideremos X la reparametrización de la superficie M usando la curva α ,

X(t,z) = α(t)+ zω

donde(t,z) ∈ D = (t,z)/a ≤ t ≤ b, α3(t)+ c ≤ z ≤ α3(t)+d (2.3)

Nótese que la curva generatriz de nuestra superficie reglada cilíndrica es una curva plana,pero la superficie está definida sobre un dominio no rectangular, ver fig. 2.1.

Paso B: Si α no está parametrizada por su longitud de arco, entonces sabemos que:

s : I → R, s(t) =∫ t

a∥α

′(s)∥ds (2.4)

es la aplicación longitud de arco de la curva α . Esta aplicación es creciente e invertible, porlo cual denotamos por t = t(s) la aplicación inversa de s. Así que tenemos lo siguiente:

a ≤ t = t(s)≤ b,

o sea3En caso de que el vector director ω no esté en la dirección del vector canónico [0,0,1], es suficiente

aplicar una rotación a nuestra superficie M de forma que ω quede en la dirección adecuada. Recordar que lasrotaciones son isometrías.

4Si la proyección sobre el plano xy de la curva α no sea una aplicación inyectiva entonces consideramosun plano adecuado para la proyección y aplicamos una rotación la cual es una aplicación isométrica. Dado elcaso en que no exista dicho plano, procedemos a considerar la superficie a trozos de forma que la proyecciónesté bien definida para cada trozo de la superficie.


z

v

t

t

a b

c

dX(t, v) = α(t) + vω

X(t, z) = α(t) + zω

x

y

z

α

ba

α3(t) + c

α3(t) + d

Figura 2.1 Cambio de dominio para la superficie cilíndrica de expresión (2.2).

0 = t−1(a)≤ s ≤ t−1(b) =∫ b

a ∥α ′(t)∥dt = l.

Note que, α s−1 : (0, l)→R3 es una reparametrización por longitud de arco de la curva α .

Consideremos la siguiente reparametrización de nuestra superficie (2.3),

X(u,z) = (α s−1)(u)+ zω

donde

0 ≤ u ≤ l y α3(u)+ c ≤ z ≤ α3(u)+d.

Observe que la curva directriz (α s−1) es plana y está parametrizada por su longitud dearco. Además, ω es ortogonal al vector tangente a la curva directriz para todo u ∈ (0, l).

Finalmente, calculamos los coeficientes de la primera forma fundamental de las aplicacio-nes: X(u,z) = (α s−1)(u)+ zω y Ω(u,z) = (u,z), así:


E = Xu · Xu = (α s−1)′(u) · (α s−1)′(u) = ∥(α s−1)′(u)∥2= 1,

F = Xu · Xz = (α s−1)′(u) ·ω = 0,G = Xz · Xz = ω ·ω = 1.

Para la aplicación Ω tenemos:

E1 = Ωu ·Ωu = [1,0] · [1,0] = 1,F1 = Ωu ·Ωz = [1,0] · [0,1] = 0,G1 = Ωz ·Ωz = [0,1] · [0,1] = 1.

Por tanto concluimos que Ω(t,z)→ X(t,z) es una isometría de la superficie M en un sub-conjunto de R2.

Ejemplo: Consideremos la curva α(t) = [cos(t),sin(t), t2] y ω = [0,0,1]. Construimos lasuperficie cilíndrica dada por la expresión:

X(t,v) = α(t)+ vω t ∈[0,

π

2

]v ∈ [1,3]

Observar que la curva α no es plana y su proyección α = [cos(t),sin(t),0] está parametri-zada por longitud de arco. La superficie y el desarrollo se muestra en fig. 2.2 y fig. 2.4.

Figura 2.2 Superficie cilíndrica con curva directriz no plana α(t) = [cos(t),sin(t), t2] (rojo).


Figura 2.3 Otra vista de la superficie de la fig. 2.2.

Figura 2.4 Desarrollo de la superficie cilíndrica de la fig. 2.2.


Ejemplo: A continuación consideramos una superficie cilíndrica, la cual tiene comocurva directriz una cúbica de Tschirnhausen. Estas curvas son planas y tienen la propiedadde que su función longitud de arco es una función polinómica. 5

La cúbica de Tschirnhausen tiene la siguiente parametrización:

α(t) = [3a(3− t2),at(3− t2)], a ∈ R. (2.5)

Ahora consideramos la superficie cilíndrica generada a partir de esta curva y el vector di-rector, ω = [0,0,1],

X(t,v) = α(t)+ vω t ∈ (0,1), v ∈ (1,5) (2.6)

Realizando un cálculo sencillo, obtenemos que la función longitud de arco de la curva α

está dada por la expresión:

s(t) =∫ t

0∥α

′(u)∥du =∫ t

03a(1+u2)du = 3at +at3. (2.7)

Requerimos la función inversa de la aplicación longitud de arco para luego encontrar laisometría con un subconjunto del plano.Para encontrar la función inversa, vamos acudir a la fórmula de Cardano, la cual afirma losiguiente:Las soluciones de la ecuación t3 + pt = q están dadas por la expresión:

t =3

√q2+

√q2

4+

p3

27+

3

√q2−√

q2

4+

p3

27

En nuestro caso, tenemos:

t3 +3t =sa

por tanto p = 3, q =sa

Por lo tanto, aplicando la fórmula de Cardano obtenemos:

t(s) =3

√s+

√s2 +4a2

2a+

3

√s−

√s2 +4a2

2a

La superficie es la siguiente:

X(u,v) = (α s−1)(u)+ vω, u ∈(

0,∫ 1

0 ∥α ′(x)∥dx = 4a), v ∈ (1,5).

A continuación presentamos un ejemplo computacional para a=2, ver fig. 2.6 y fig. 2.7.5Esta propiedad es importante porque en algunos casos podemos hallar su inversa y reparametrizar la curva

α por longitud de arco.


Figura 2.5 Parámetro original (puntos azules) y parámetro longitud de arco (puntos rojos).

Figura 2.6 Superficie cilíndrica con curva directriz, una cúbica de Tschirnhausen parametri-zada por longitud de arco.


Figura 2.7 Rectángulo resultante del desarrollo de la superficie fig. 2.6.

Caso cónico y tangenteEn esta parte suponemos ω(t)×ω ′(t) = 0 y ω ′(t) = 0 para todo t ∈ I, por tanto la superficieno es cilíndrica y podemos encontrar la línea de estricción β y el parámetro de distribuciónλ , como se ilustró en el capítulo anterior:

β (t) = α(t)− α ′(t) ·ω ′(t)ω ′(t) ·ω ′(t)

ω(t).

Dado que hemos supuesto que la superficie reglada M tiene curvatura κ = 0, entonces de laexpresión (2.1) concluimos que λ = 0.

λ =(β ′×ω) ·ω ′

∥ ω ′ ∥2 =β ′ · (ω ×ω ′)

∥ ω ′ ∥2 = 0,

Luego como ω(t)×ω ′(t) = 0 entonces tenemos dos casos: β ′(t) = 0 para todo t ∈ I (super-ficie tangente) y β ′(t) = 0 para todo t ∈ I (superficie cónica). 6

1. Caso tangente: Si β ′(t) = 0 para todo t ∈ I. Dado que ω · ω ′ = 0 tenemos queω,ω ′,ω ×ω ′ forman una base para R3, por lo tanto para todo t ∈ I, podemos es-

6Si β ′(t) = 0 para t en un subconjunto finito de puntos entonces dividimos el dominio y desarrollamoscada pedazo de la superficie. El caso en que los ceros de la función β ′(t) se acumulen en un punto no esconsiderado en este trabajo.


cribir β ′ como una combinación lineal de éstos

β′ = c1ω + c2ω

′+ c3ω ×ω′ c1,c2,c3 ∈ R,

de dondeβ′ ·ω ′ = c1ω ·ω ′+ c2ω

′ ·ω ′+ c3(ω ×ω′) ·ω ′.

Como β ′ ·ω ′ = 0, ω ·ω ′ = 0 y (ω ×ω ′) ·ω ′ = 0 entonces c2 = 0 y por tanto,

β′ = c1ω + c3ω ×ω

′.

Finalmente, de esta expresión obtenemos:

β′ · (ω ×ω

′) = c1ω · (ω ×ω′)+ c3(ω ×ω

′) · (ω ×ω′).

Sabemos que β ′ · (ω ×ω ′) = (β ′×ω) ·ω ′ = 0 y ω · (ω ×ω ′) = 0, entonces, c3 = 0.Finalmente, obtenemos β ′ = c1ω , es decir, β ′ es un múltiplo escalar de ω . Luego, lasuperficie reglada es una superficie tangente a la curva β y tiene la siguiente parame-trización:

X(s,v) = β (s)+ vβ′(s), v ∈ J. (2.8)

Sin perdida de generalidad, suponemos β una curva parametrizada por longitud dearco, por lo tanto β ′ ·β ′ = 1, β ′′ ·β ′ = 0 y ∥β ′′∥= κ , la curvatura de la curva β . 7

Por el apéndice 7.1, existe una curva plana β parametrizada por longitud de arco,tal que su curvatura κ = κ . Esta curva viene dada por la expresión:

β (s) = (∫ s

0 cosφ(x)dx,∫ s

0 sinφ(x)dx)

con

φ(s) =∫ s

0 κ(x)dx

Consideremos la superficie reglada plana generada por la curva directriz β ,

X(s,v) = β (s)+ vβ ′(s).

7En caso de que β no esté parametrizada por longitud de arco realizamos un proceso similar al desarrolladoen el caso de la superficie cilíndrica. κ = 0, puesto que en caso contrario β ′′ = 0 y por ende β ′ es constante ycomo β ′ = c1ω entonces ω es constante, lo cual contradice la suposición inicial, ω ′(t) = 0, para todo t.


La aplicación X puede no ser inyectiva por lo cual vamos a restringir adecuadamenteel dominio del parámetro v. En particular, para v = 0 estamos justo en la línea deestricción β , la cual está compuesta por los puntos singulares de la superficie, ver fig2.8.

−10

−5

0

5

10−6 −4 −2 0 2 4 6

−5

0

5

10

Figura 2.8 Ejemplo de superficie tangente a una curva. Verde (v < 0) - Rojo (v > 0) - Puntosnegros (Línea de estricción).

En conclusión, consideremos el siguiente diagrama para v > 0:

β (s)+ vβ ′(s) β (s)+ vβ ′(s)

(s,v) ∈U ⊂ R2

φ

X X

Nótese que las componentes de X son aplicaciones de R2 −→ R las cuales son declase C1 y además la diferencial de X tiene rango máximo,

dX(s,v) =[

β ′(s)+ vβ ′′(s), β ′(s)]

esto es,

dX(s,v) =

[cos(φ(s))− vsin(φ(s))κ(s) cos(φ(s))sin(φ(s))+ vcos(φ(s))κ(s) sin(φ(s))

]De donde, det(dX) =−vκ(s) = 0, es decir, la diferencial es no singular y por lo tantoconcluimos que X es una aplicación regular.


Así que, φ = X X−1 será una isometría, si X(s,v) y X(s,v) tienen los mismos coe-ficientes de la primera forma fundamental. En efecto, los coeficientes de la superficieX , son:

E = Xs ·Xs = (β ′(s)+ vβ′′(s)) · (β ′(s)+ vβ

′′(s))

= 1+ v2κ(s)2

F = Xs ·Xv = (β ′(s)+ vβ′′(s)) ·β ′(s) = 1

G = Xv ·Xv = β′(s) ·β ′(s) = 1

Similarmente, para la superficie X :

E = Xs · Xs = (β ′(s)+ vβ′′(s)) · (β ′(s)+ vβ

′′(s))

= 1+ v2κ(s)2 = 1+ v2

κ(s)2

F = Xs · Xv = (β ′(s)+ vβ′′(s)) · β ′(s) = 1

G = Xv · Xv = β′(s) · β ′(s) = 1

Por lo tanto la aplicación, X(s,v) → X(s,v) es una isometría de la superficie en unsubconjunto del plano.

Ejemplo: La superficie tangente a la curva σ(t) = [2cos(t),2sin(t), t] está dada porla expresión:

τ(t,v) = σ(t)+ vσ′(t), t ∈ [0,1],v ∈ [1,4]

Como la curva σ no está parametrizada por su longitud de arco, calculamos la funciónlongitud de arco s(t):

s(t) =∫ t

0∥[−2sin(u),scos(u),1]∥du

=∫ t

0

√4cos2(u)+4sin2(u)+1du

=∫ t

0

√5du

=√

5t

Consideramos la siguiente reparametrización por longitud de arco,


β (s) = σ(s/√

5) = [2cos(s/√

5),2sin(s/√

5),s/√

5]

para s ∈ (0,√

5) y calculamos su curvatura,

κ(s) = ∥β′′(s)∥

= ∥[−2

5cos(

s√5

),−2

5sin(

s√5

),0]∥

=25

Por lo tanto tenemos la siguiente reparametrización de la superficie original:

X(s,v) = β (s)+ vβ′(s), s ∈ [0,

√5], v ∈ [1,4]

Ésta es una reparametrización de la superficie inicial con su curva directriz parame-trizada por longitud de arco.Finalmente, hallamos una curva plana β (s) con la misma curvatura κ , así:

β (s) =(∫ s

0cosφ(x)dx,

∫ s

0sinφ(x)dx

)con

φ(s) =∫ s

0κ(x)dx =

∫ s

0

25

dx =25

s.

esto es,

β (s) =(∫ s

0cos(

25

x)

dx,∫ s

0sin(

25

x)

dx)

=

(52

sin(

25

s),−5

2cos(

25

s)+

52

)Finalmente, construimos el desarrollo de la superficie original X(s,v), como se mues-tra a continuación:

X(s,v) = β (s)+ vβ′(s) s ∈ [0,

√5],v ∈ [1,4]

Los gráficos de la superficie y su desarollo se muestran en fig. 2.9 y fig. 2.10.


−2−1

01

2 02

460

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 2.9 Superficie tangente a la curva directriz β no parametrizada por longitud de arco.

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura 2.10 Desarrollo en el plano de la superficie de la fig. 2.9.

2. Caso cónico: Si β ′(t) = 0 para todo t ∈ I entonces la línea de estricción β consta de


un solo punto y por tanto tenemos una superficie cónica con vértice en dicho punto,denotado por p0.La superficie tiene la forma:

X(t,v) = p0 + vω(t) (2.9)

donde p0 es un punto fijo que no pertenece a la curva ω .

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que nuestra superficie es de la forma8:

X(t,v) = vω(t), t ∈ [a,b], v ∈ [c,d], v = 0. (2.10)

Ahora consideramos condiciones sobre el dominio U = [a,b]× [c,d], tales como,

• v = 0 porque no consideramos el vértice de la superficie cónica.

• El intervalo ]a,b[ de longitud menor 2π , tal que, no existen t0, t1 ∈ (a,b) en dondeω(t0) = ω(t1) (esta condición evita cortes de la superficie consigo misma).

• ∥ω(t)∥= 1 y ω parametrizada por su longitud de arco, es decir, ω ·ω ′ = 0 yω ′ ·ω ′ = 1.

A continuación consideremos el siguiente diagrama:

vω(t) (vcos(t),vsin(t)) ∈V ⊂ R2

(t,v) ∈U ⊂ R2

ϕ

X X

.

Veamos que X(t,v) = (vcos(t),vsin(t)) es una aplicación regular, es decir, X es unhomeomorfismo y la diferencial dXp es inyectiva para todo p ∈U .En efecto, consideremos la siguiente aplicación definida a tramos por:

φ : V −→U

definida por

8En caso de que p0 sea un punto diferente al origen, aplicamos una transformación lineal correspondientea una traslación, la cual es una aplicación isométrica.


φ(x,y) =

(tan−1(

yx),√

x2 + y2) x = 0

(π

2,y) x = 0, y > 0

(3π

2,−y) x = 0, y < 0

Claramente, φ es una aplicación continua y es la inversa de la aplicación X . Por tanto,la aplicación X es un homeomorfismo.Finalmente, calculamos la diferencial de X :

dX(t,v) =

[vcos(t) sin(t)−vsin(t) cos(t)

]

de donde det(dX) = v = 0, por tanto las columnas de la matriz son linealmente in-dependientes y así, la diferencial es inyectiva. En conclusión, X es una aplicaciónregular.Para mostrar que ϕ = X X−1 es una isometría, calculamos los coeficientes de la pri-mera forma fundamental para las superficies X y X :En primer lugar para X tenemos:

E = Xt ·Xt = vω ′(t) · vω ′(t) = v2

F = Xt ·Xv = vω ′(t) ·ω(t) = 0G = Xv ·Xv = ω(t) ·ω(t) = 1

Luego para X :

E = Xt · Xt = [−vsin t,vcos t] · [−vsin t,vcos t] = v2(sin2 t + cos2 t) = v2

F = Xt · Xv = [−vsin t,vcos t] · [cos t,sin t] =−vsin t cos t + vsin t cos t = 0G = Xv · Xv = [cos t,sin t] · [cos t,sin t] = cos2 t + sin2 t = 1

Por lo tanto la aplicación preserva la primera forma fundamental y por ende, las su-perficies X(t,v) y X(t,v) son isométricas.

Cabe resaltar que en el procedimiento anterior consideramos ω parametrizada por su longi-tud de arco y ∥ω∥= 1. A continuación, presentamos el caso en el cual no tenemos ningunade estas condiciones.Consideremos,

X(t,v) = vω(t) t ∈ [a,b], v ∈ [c,d]


donde ω no está parametrizada por su longitud de arco y además, ∥ω∥= 1.Para parametrizar ω por su longitud de arco, es suficiente llevar adelante el procedimientomostrado en la construcción de la isometría de la superficie cilíndrica Caso B (ver sec-ción 2.1) y además queremos la curva generatriz ω con norma 1, para lo cual es suficienteconsiderar lo siguiente:

ω1(t) = ω(t)/∥ω(t)∥

En resumen, tenemos lo siguiente:

X(t,z) = zω1(t)

tal que para t0 fijo en (a,b), z varía entre c∥ω(t0)∥ y d∥ω(t0)∥.Observar que el nuevo dominio de la superficie es un dominio no rectangular e inicialmenteconsideramos un dominio rectangular para la superficie M. Ver fig. 2.11.

z

v

t

t

a b

c

dX(t, v) = vω(t)

X(t, z) = zω1(t)

x

y

z

ω1

ω

c ∗ ‖ω(t)‖

d ∗ ‖ω(t)‖

Figura 2.11 Cambio de dominio para la superficie cónica.


Ejemplo: Consideremos la curva ω(t) = [cos(t),sin(t),sin(t)cos(t)] y la superficie cóni-ca dada por la expresión:

X(t,v) = vω(t), t ∈ [3,3π

2], v ∈ [2,5] (2.11)

En el gráfico 2.12, la curva azul es la curva ω1(t) =ω(t)

∥ω(t)∥ . Ahora observemos el cambio

en el dominio de la superficie, cuando normalizamos la curva generatriz y el desarrollo deesta superficie sobre el plano:

Figura 2.12 Superficie cónica con ω no parametrizada por longitud de arco y ∥ω(t)∥= 1.Curva generatriz unitaria ω1(negra) y curva original ω(roja).

Figura 2.13 Dominio no rectangular de la superficie cónica de la fig. 2.12.


Figura 2.14 Desarrollo en el plano de la superficie cónica de la fig. 2.12.

2.2. Segundo método de desarrollabilidad

Este método de desarrollabilidad es más útil porque funciona para cualquier tipo de su-perficie desarrollable, y está basado en el hecho de que la curvatura geodésica de una curvaplana sobre una superficie no depende de la parametrización de la curva.Iniciamos presentando una fórmula para el cálculo de la curvatura geodésica y luego expo-nemos el método a seguir para hallar el desarrollo de la superficie, basado en este concepto.La idea general del método consiste en construir una curva plana con curvatura igual a lacurvatura geodésica de la curva que yace sobre la superficie.

Consideramos una superficie M con parametrización regular X : U → R3 donde U ⊆ R2

abierto, tal que X(u,v) = [X1(u,v),X2(u,v),X3(u,v)] para (u,v) coordenadas que varían enU .Los vectores tangentes a la superficie, están dados por:

Xu =∂X∂u

=

(∂X1

∂u,∂X2

∂u,∂X3

∂u

)Xv =

∂X∂v

=

(∂X1

∂v,∂X2

∂v,∂X3

∂v

) (2.12)

2.2 Segundo método de desarrollabilidad 33

Dado que la superficie M tiene una parametrización regular, podemos considerar el vectornormal unitario a la superficie, definido por:

n =Xu ×Xv

∥Xu ×Xv∥

Curvas sobre superficies

Sea α : I ⊂ R−→ M tal que,

α(s) = X(u(s),v(s))

= (X1(u(s),v(s)),X2(u(s),v(s)),X3(u(s),v(s))) para s ∈ I ⊂ R

una curva parametrizada por longitud de arco sobre la superficie M.

Fijamos s ∈ I. Vamos a definir la curvatura normal y la curvatura geodésica de α enα(s) = p ∈ M. Para ello, consideramos n el vector normal unitario a la superficie M yn(s) = n(u(s),v(s)), la restricción de n a la curva α (recordemos que α yace sobre la super-ficie).

Es común usar el triedro de Frenet T (s),N(s),B(s), para el estudio de curvas, peroen este caso consideramos un nuevo triedro definido por: α ′(s),n(s),n(s)×α ′(s). Dosaspectos importantes sobre este triedro son los siguientes:

• Los vectores son ortogonales dos a dos. Por tanto forman una base para R3.

• Este triedro no solo depende del vector tangente a la curva sino también del vectornormal a la superficie. Así que estamos considerando información tanto de la curvacomo de la superficie.

Luego, como α ′(s),n(s),n(s)×α ′(s) forma una base para R3, entonces el vector α ′′(s)puede escribirse como una combinación lineal de éstos, digamos:

α′′(s) = c1α

′(s)+ c2n(s)+ c3(n×α′)(s)

Realizando el producto punto en ambos lados de la igualdad con α ′(s) y n(s), usandoel hecho de que la curva α es una curva parametrizada por su longitud de arco y queα ′(s),n(s),n(s)×α ′(s) es un conjunto ortogonal, obtenemos:

c1 = 0, c2 = α′′(s) ·n(s), c3 = α

′′(s) · (n(s)×α′(s))


Por lo tanto,α′′(s) = κn(s)n(s)+κg(s)(n(s)×α

′(s)) (2.13)

para escalares κn(s) y κg(s).

Definición: Los escalares κn(s) y κg(s) son llamados curvatura normal y curvatura geo-désica de α en el punto P = α(s) y están dados por:

κn(s) = α′′(s) ·n(s), κg(s) = α

′′(s) · (n(s)×α′(s)) (2.14)

En caso de que α no esté parametrizada por su longitud de arco, la expresión para la curva-tura geodésica (2.14) se convierte en: 9

κg(t) =α ′′(t) · (n(t)×α ′(t))

∥α ′(t)∥3 (2.15)

Ejemplo: Consideremos la curva α(t) = [cos(t),sin(t),1] sobre el paraboloide circularM, cuya parametrización es X(u,v) =

[u,v,u2 + v2] .

Nótese que sin2(t)+ cos2(t) = 1, por lo tanto la curva α yace sobre la superficie M.Calculamos:

α′(t) = [−sin(t),cos(t),0]

α′′(t) = [−cos(t),−sin(t),0]

Claramente, ∥α ′(t)∥= 1, por tanto la curva α está parametrizada por longitud de arco, portanto, cambiamos el parámetro t por el parámetro longitud de arco s.Calculamos n(s), el vector normal a la superficie restringido a la curva α , para lo cual pri-mero hallamos el vector normal n a la superficie.

Xu = [1,0,2u]

Xv = [0,1,2v]

así,

n =Xu ×Xv

∥Xu ×Xv∥

=

[ −2u√1+4u2 +4v2

,−2v√

1+4u2 +4v2,

1√1+4u2 +4v2

]9A lo largo de este capítulo, consideramos la letra t para denotar el parámetro original de la parametrización

y denotamos por s el parámetro longitud de arco.


Para encontrar n(s), la restricción del vector normal a la curva, es útil escribir α(s) =X(u(s),v(s)). Así:

(cos(s),sin(s),1) = (u(s),v(s),u(s)2 + v(s)2)

de donde sustituyendo en la expresión para n,

n(s) = n(u(s),v(s)) =[− 2√

5cos(s),− 2√

5sin(s),

1√5

]

Además, n(s)×α ′(s) =[− 1√

5cos(s),− 1√

5sin(s),− 1√

5

].

Finalmente, la curvatura geodésica es:

κg = α′′(s) · (n(s)×α

′(s)) =1√5

Método de desarrollabilidad

El método de desarrollabilidad a presentar, está basado en el hecho de que la curvaturageodésica es una propiedad de la métrica intrínseca, es decir, no cambia cuando se desarro-lla la superficie en el plano.Partimos de una superficie reglada desarrollable M y una curva α sobre dicha superficie, lacual posee una curvatura κ , considerada como una curva espacial y una curvatura geodésicaκg, considerada como una curva sobre la superficie M. El objetivo es encontrar una curvaplana α tal que su curvatura κ sea igual a la curvatura geodésica de la curva α , esto esκ = κg. Para lograr este objetivo resolveremos una ecuación diferencial ordinaria de segun-do orden.

Al final del método tendremos una curva α con las siguientes propiedades:

∥α(t)∥= ∥ ˙α(t)∥, nos referimos a esta función como v(t).

κg = κ donde κg curvatura geodésica de α y κ curvatura de α .

Hallada la curva plana α , procedemos a construir cada uno de los generadores de la su-perficie M sobre el plano, preservando el ángulo que forma cada generador con el vectortangente a la curva α .

Iniciamos el método definiendo e1 y e2 los vectores unitarios, tangente y normal a la curva


α , respectivamente. Recordando las ecuaciones de Frenet en el plano tenemos que: 10

e′1 = κ e2

e′2 =−κ e1

de donde usando la regla de la cadena,

˙e1 = e′1s (2.16)

Debemos recordar que el parámetro longitud de arco, es tal que s(t) = ∥ ˙α(t)∥= v(t) y enbase a las ecuaciones de Frenet en el plano obtenemos,

˙e1(t) = v(t)κg(t)e2(t) (2.17)

Análogamente, podemos obtener la siguiente expresión para la derivada del vector normal:

˙e2(t) =−v(t)κg(t)e1(t) (2.18)

Luego, como e1 y e2 son vectores unitarios sobre el plano, entonces podemos considerar,e1 = [cos(φ(t),sin(φ(t))], para alguna función de valor real φ(t). Derivando,

˙e1(t) = φ ′(t)[−sin(φ(t)),cos(φ(t))]

y así,

˙e1(t) = φ ′(t)e2(t)

y sustituyendo en (2.17) obtenemos:

φ ′(t)e2(t) = v(t)κg(t)e2(t),

esto es,

φ(t) =∫

v(t)κg(t)dt

Además, como˙α(t)

∥ ˙α(t)∥ = e1(t), es decir, ˙α(t) = ∥ ˙α(t)∥e1(t) = v(t)e1(t), entonces la familia

de curvas soluciones están dadas por:∫v(t)e1(t)dt =

∫v(t)[cos(φ(t),sin(φ(t))]dt

10En lo que sigue de este capítulo, la prima ” ′ ” denota la derivada respecto al parámetro longitud de arcoy el punto ” · ” denota la derivada respecto al parámetro original.


Todas las curvas que son solución de la anterior ecuación diferencial son congruentes 11.Tomamos un representante de estas curvas, dada por la expresión:

α(x) =∫ x

0v(t)[cos(φ(t),sin(φ(t))]dt (2.19)

Finalmente aplicamos cada generador de la superficie en el plano, preservando el ánguloque forman el vector tangente a la curva α y el respectivo generador de la superficie.

Observación: Vamos a demostrar que la curva α cumple con las condiciones iniciales.En efecto,

α′(t) = (v(t)cos(φ(t)),v(t)sin(φ(t)))

α′′(t) =

(v′(t)cos(φ(t))− v2(t)κg sin(φ),v′(t)sin(φ(t))+ v2(t)κg cos(φ)

),

por tanto, ∥α ′(t)∥= v(t) = ∥α ′(t)∥ y la curvatura de α está dada por:

κ(t) =∥α ′(t)× α ′′(t)∥

∥α ′(t)∥3 =v3(t)κg(t)

v3(t)= κg(t).

Ejemplo: Consideremos la superficie M con parametrización X : U −→ R3 donde U =

[−2,3]× [−2,3] dada por

X(u,v) = [(5− v)cos(u),(5− v)sin(u),5− v] (2.20)

En primer lugar vamos a demostrar que esta superficie es una superficie desarrollable, paralo cual calculamos los coeficientes de la primera y segunda forma fundamental.

E =Xu ·Xu = [−(5− v)sin(u),(5− v)cos(u),0] · [−(5− v)sin(u),(5− v)cos(u),0] = (5− v)2

F =Xv ·Xu = [−cos(u),−sin(u),−1] · [−(5− v)sin(u),(5− v)cos(u),0] = 0

G =Xv ·Xv = [−cos(u),−sin(u),−1] · [−cos(u),−sin(u),−1] = 2

11Dos curvas planas α(x(t),y(t)) y α(t) = (x(t), y(t)) se dicen congruentes, si existe una congruencia (omovimiento rígido)

Ω = R2 ∋ (x,y)−→ (x, y) = A(

xy

)+

(ab

)∈ R2, donde

A =

[cos(ω) −sin(ω)sin(ω) cos(ω)

]es una matriz de rotación. Las ecuaciones de Ω(α(t)) = α(t) son: x(t) = a+ cos(w)x(t)− sin(w)y(t), y(t) =b+ sin(w)x(t)+ cos(w)y(t).


Ahora calculamos el vector normal a la superficie:

n =Xu ×Xv

∥Xu ×Xv∥=

[(v−5)cos(u),(v−5)sin(u),5− v]| 5− v |

√2

=

(−√

22

)[cos(u),sin(u),−1]

Así, los coeficientes de la segunda forma fundamental son:

L =Xvv ·n = [0,0,0] ·n = 0

M =Xvu ·n = [sin(u),−cos(u),0] ·(−√

22

)[cos(u),sin(u),−1] = 0

Luego la curvatura gaussiana de la superficie es,LN −M2

EG−F2 =0

(5−u)2 = 0. Por lo tanto, M

es una superficie desarrollable.

Ahora consideramos el segundo método de desarrollabilidad para construir el desarrollode la superficie M sobre el plano, por lo tanto, consideramos la curva α sobre la superficie:

α(t) = X(t,0) = [5cos(t),5sin(t),5]

Nótese que ∥α ′(t)∥= 5, por lo tanto la curva α sobre la superficie M no está parametrizadapor longitud de arco, así que usamos la expresión (2.15) para calcular la curvatura geodésica.El vector normal a la superficie restringido a la curva α está dado por,

n(t) =

(−√

22

)[cos(t),sin(t),−1].

Luego,

n(t)×α′(t) =

(−√

22

)[cos(t),sin(t),−1]× [−5sin(t),5cos(t),0]

=

(−√

22

)[5cos(t),5sin(t),5]

Además,α′′(t) = [−5cos(t),−5sin(t),0]

por tanto la curvatura geodésica es,

κg(t) =α ′′(t) · (n(t)×α ′(t))

(∥α ′(t)∥)3 =

√2

10


y sea

φ(t) =∫

v(t)κg(t)dt =∫

5

√2

10dt =

√2

2t

La segunda parte del método consiste en hallar la curva α usando (2.19), así:

α(t) =(∫

v(t)cos(φ(t))dt,∫

v(t)sin(φ(t))dt)

=

(∫5cos(

√2

2t)dt,

∫5sin(

√2

2t)dt

)

=

(5√

2cos(

√2

2t),5

√2sin(

√2

2t)

)

La superficie y el desarrollo se muestran en fig. 2.15 y fig. 2.16, respectivamente.

Figura 2.15 Superficie de la expresión (2.20) con una curva α sobre la superficie.

Figura 2.16 Desarrollo de la superficie de la fig. 2.15 sobre el plano.


Ejemplo: Consideremos la superficie M con parametrización X : U −→ R3 donde U =

[1,2]× [1,2] dada por X(u,v) = v[u,u2,4] = [uv,u2v,4v]. Esta superficie es una superficiecónica, por lo tanto es una superficie desarrollable.Consideremos la curva α sobre la superficie M:

α(t) = X(t,1) = [t, t2,4]

El vector tangente y aceleración en cualquier valor del parámetro t, está dado por:

α′(t) = [1,2t,0] α

′′(t) = [0,2,0]

Nótese que la curva α no está parametrizada por su longitud de arco, por ende usamos laexpresión (2.15) para el cálculo de su curvatura geodésica. Para ello, calculamos el vectornormal a la superficie restringido a la curva α .

n(t) = n(t,1) =[8t,−4,−t2]√t4 +64t2 +16

además,

n(t)×α′(t) =

[8t,−4,−t2]√t4 +64t2 +16

× [1,2t,0] =[2t3,−t2,4+16t2]√

t4 +64t2 +16

A continuación, la curvatura geodésica viene dada por la expresión:

κg =[0,2,0] · [2t3,−t2,4+16t2]

(√

4t2 +1)3√

t4 +64t2 +16

=−2t2

(√

4t2 +1)3√

t4 +64t2 +16

Finalmente, calculamos la función φ y una curva plana α con curvatura igual a la curvaturageodésica de la curva α .

φ(t) =∫

v(t)κg(t)dt

=∫ −2t2

√4t2 +1

√t4 +64t2 +16

dt

Luego usamos la expresión (2.19) para el cálculo de α:

α(x) =(∫ x

0v(t)cos(φ(t))dt,

∫ x

0v(t)sin(φ(t))dt

)(2.21)


teniendo en cuenta,

φ(x) =∫ x

0

−2t2√

4t2 +1√

t4 +64t2 +16dt (2.22)

para x ∈ [1,2].Para calcular cada una de las integrales definidas, nos basamos en métodos numéricos parasolución numérica de integrales. Algunos de ellos son: la regla del trapecio, la regla deSimpson, entre otras.12

La superficie y el desarrollo se muestran en las figuras: fig. 2.17 y fig. 2.18.

Figura 2.17 Superficie y una curva plana α sobre la superficie.

Figura 2.18 Desarrollo de la superficie de la fig. 2.17 sobre el plano.

12En los algoritmos programados en Matlab, usamos la regla de Simpson para el cálculo de las integralesdefinidas por (2.22) para los x que se requiera.


Ejemplo: Consideremos la superficie M parametrizada por:

X(u,v) = [cos(u),sin(u),0]+ v[0,0,1] (2.23)

para (u,v) ∈ [0,1]× [0,1].Ésta es una superficie cilíndrica, por lo tanto es una superficie desarrollable. A continuaciónvamos aplicar el presente método de desarrollabilidad para hallar su desarrollo.

Iniciamos considerando la curva α sobre la superficie M con parametrización:

α(t) = X(t, t) = [cos(t),sin(t), t]

Para t ∈ [0,1]. La superficie y la curva α se ilustran en fig. 2.19.

Figura 2.19 Dos vistas de la superficie cilíndrica de expresión (2.23) y la curva no plana α

sobre ella.

Los siguientes cómputos serán útiles para el cálculo del desarrollo de la superficie.

α′(t) =[−sin(t),cos(t),1]

α′′(t) =[−cos(t),−sin(t),0]

∥α′(t)∥=

√sin2(t)+ cos2(t)+1 =

√2

n =Xu ×Xv

∥Xu ×Xv∥= [cos(u),sin(u),0]

n(t) =[cos(t),sin(t),0]


Para el desarrollo del método es necesario calcular la curvatura geodésica, la cual recorda-mos a continuación:

κg(t) =α ′′(t) · (n(t)×α ′(t))

∥α ′(t)∥3

por tanto,

n(t)×α′(t) = [cos(t),sin(t),0]× [−sin(t),cos(t),1] = [sin(t),−cos(t),1]

y así,

κg(t) =α ′′(t) · (n(t)×α ′(t))

∥α ′(t)∥3 =[−cos(t),−sin(t),0] · [sin(t),−cos(t),1]

23/2 = 0

Dado que κg(t) = 0 para todo t ∈ [0,1], entonces α es una pregeodésica sobre la superficieM13.Calculamos la curva α usando la expresión (2.19). Para ello, sea v(t) = ∥α ′(t)∥=

√2 y así,

φ(t) =∫

v(t)κg(t)dt =∫ √

2∗0dt =∫

0dt = 0

por tanto,

α(t) =(∫

v(t)cos(0)dt,∫

v(t)sin(0)dt)=(√

2t,0).

Figura 2.20 Desarrollo de la superfice cilíndrica de la fig. 2.19.

13Una curva se dice pregeodésica si tiene curvatura geodésica igual a cero pero no está parametrizada porlongitud de arco.


Este último ejemplo es interesante, en el sentido de que la curva α sobre la superficie Mtiene curvatura geodésica κg = 0, por tanto, α es una pregeodésica sobre la superficie. Estapropiedad hace que la curva α se corresponda con un segmento de recta en el plano.

Ejemplo: En este ejemplo consideramos la misma superficie M del ejercicio anterior, yla curva no plana α sobre la superficie dada por,

α(t) = X(t, t2) = [cos(t),sin(t), t2]

Para t ∈ [0,1]. La superficie y la curva α se ilustran en fig. 2.21.

Figura 2.21 Dos vistas de la superficie cilíndrica y la curva no plana α sobre ella.

Los siguientes cómputos serán útiles para el cálculo del desarrollo de la superficie.

α′(t) =[−sin(t),cos(t),2t]

α′′(t) =[−cos(t),−sin(t),2]

∥α′(t)∥=

√sin2(t)+ cos2(t)+4t2 =

√1+4t2

n =Xu ×Xv

∥Xu ×Xv∥= [cos(u),sin(u),0]

n(t) =[cos(t),sin(t),0]

Para el desarrollo del método es necesario calcular la curvatura geodésica, la cual recorda-mos a continuación:

κg(t) =α ′′(t) · (n(t)×α ′(t))

∥α ′(t)∥3


por tanto,

n(t)×α′(t) = [cos(t),sin(t),0]× [−sin(t),cos(t),2t] = [2t sin(t),−2t cos(t),1]

y así,

κg(t)=α ′′(t) · (n(t)×α ′(t))

∥α ′(t)∥3 =[−cos(t),−sin(t),2] · [2t sin(t),−2t cos(t),2]

√1+4t23 =

2√

1+4t23 .

Calculamos la curva α usando la expresión (2.19). Para ello, sea v(t) = ∥α ′(t)∥=√

1+4t2

y así,

φ(t) =∫

v(t)κg(t)dt =∫ √

1+4t2 2√1+4t2

dt =∫ 2

(1+4t2)2 dt = tan−1(2t).

por tanto,

α(t) =(∫ √

1+4t2 cos(tan−1(2t))dt,∫ √

1+4t2 sin(tan−1(2t))dt)=(t, t2) .

El desarrollo de la superficie es mostrado en la fig. 2.22.

Figura 2.22 Desarrollo de la superfice cilíndrica de la fig. 2.21.

Capítulo 3

Volúmenes médicos: tomografía yresonancia magnética

Las imágenes médicas son utilizadas cotidianamente en rutina clínica para establecerdiagnósticos, escoger o controlar una acción terapéutica; y provienen principalmente de latomodensitometría (rayos X), de la resonancia magnética y del ultrasonido. A pesar de queestas imágenes proveen información sobre la morfología y el funcionamiento de los órga-nos, su interpretación objetiva y cuantitativa es una tarea aún difícil de realizar.

Desde el descubrimiento, en 1895, de los rayos X y su aplicación en medicina, las imá-genes médicas se han transformado en un requisito indispensable tanto para el diagnósticocomo para la elección de tratamientos.

Inicialmente, con el uso de la radiografía, la imagen se obtenía por la exposición a unafuente de radiación de alta energía, comúnmente rayos X. Al interponer un objeto entre lafuente de radiación y el receptor, las partes más densas aparecen con tonos mas claros enuna escala de grises. Podríamos pensar en la radiografía como una proyección del objeto deestudio sobre una superficie plana, lo cual obligaba al especialista a tener un entrenamientoadecuado en morfología, teniendo en mente la superposición de órganos en la imagen plana.

En la actualidad contamos con estudios a partir de imágenes médicas más sofisticados,los cuales brindan una mejor aproximación a la tercera dimensión. Ejemplo de éstos sonlas tomografías, CT: computed tomography; y las resonancias magnéticas, MRI: magneticresonance imaging.Una tomografía se define como un conjunto de imágenes, donde cada una de éstas repre-senta un corte (slice) de un objeto tridimensional en una dirección predeterminada. En los

48 Volúmenes médicos: tomografía y resonancia magnética

estándares de las imágenes médicas se consideran los cortes axial, sagital y coronal, ver fig.3.11. Evidenciaremos que existen estudios de imágenes médicas, en los cuales los cortes nocorresponden a ninguno de los enunciados anteriormente, ver fig. 3.9 y fig. 3.11.

Figura 3.1 Planos axial, sagital y coronal.

En términos computacionales, las imágenes que componen una CT o una MRI, son archi-vos de extensión ".dcm", llamados archivos DICOM (Digital Imaging and Communicationin Medicine). Existen varios visualizadores para este tipo de archivos, pero en nuestro casousaremos MATLAB para su visualización.A continuación presentamos algunos ejemplos de tomografías y resonancias magnéticas,ver fig. 3.2 y fig. 3.3.

Figura 3.2 Ejemplos de algunos slice de una CT.

1Imagen tomada de http://labora46.blogspot.com.co/2012/

3.1 Información del encabezado (header) 49

Figura 3.3 Ejemplos de algunos slice de una MRI.

3.1. Información del encabezado (header)

Una parte del archivo DICOM es reservada para el encabezado (header) con informaciónrelevante sobre el paciente como: fecha del estudio, marca del tomografo, edad del paciente.etc y datos de nuestro interés, como:

• ImagePositionPatient: arreglo de tres componentes con las coordenadas espacialesdel primer píxel del slice. Por lo general éstas son las coordenadas de la esquina su-perior izquierda.

• ImageOrientationPatient: arreglo de seis componentes, donde las primeras tres com-ponentes representan los cosenos directores del vector en una de las direcciones delplano que representa la rodaja y las restantes, representan los cosenos directores delvector en la otra dirección. Por lo general, estas direcciones se corresponden con eleje de las abscisas y las ordenadas del plano que contiene el slice.2

• PixelSpacing: arreglo de dos componentes, donde cada componente representa ladistancia entre dos pixeles consecutivos en cada una de las direcciones del literalanterior.

Estos elementos serán de gran importancia a la hora de ubicar en el espacio las rodajas oslices del estudio imagenológico.

3.2. Análisis de tomografías usando Matlab

Para analizar tomografías con Matlab, es necesario entender que para este software cadauno de los cortes que componen la CT, es un arreglo rectangular, usualmente cuadrado, cu-

2El origen de coordenadas de este plano es el punto ImagePositionPatient.


yos elementos se corresponden con el nivel de gris en cada punto de la rodaja. Para obtenereste arreglo usamos la instrucción dicomread. Además, con la instrucción dicominfo pode-mos acceder a la información de cada archivo DICOM, la cual permite la ubicación espacialcomo se ilustra en la próxima sección.

3.3. Ubicación espacial de las imágenes médicas

Para determinar las coordenadas espaciales de cada uno de los pixeles de una rodaja,nos basamos en los valores de ImagePositionPatient, ImageOrientationPatient, PixelSpa-cing obtenidos en el encabezado del archivo DICOM.Definimos:

p0 = ImagePositionPatient

v1 = ImageOrientationPatient(1:3) (Cosenos directores en una de las direcciones delplano).

v2 = ImageOrientationPatient(4:6) (Cosenos directores en la otra dirección del plano).

tx = PixelSpacing(1) (Distancia entre dos pixeles consecutivos en la dirección v1).

ty = PixelSpacing(2) (Distancia entre dos pixeles consecutivos en la dirección v2).

Ahora presentamos los pasos para la ubicación espacial de una rodaja, considerando rectasen el espacio, dadas por la expresión l = p+ tv.

1. Usamos la ecuación de la recta usando p = p0, t = tx y la dirección v = v1. Así obte-nemos l = p0 + n tx v1 para n un contador desde 1 hasta la cantidad de pixeles en ladirección v1. Ver fig. 3.4.

p0

v1

txtx

Figura 3.4 Primer paso de la ubicación espacial de un slice.

2. Generamos el punto p1 en la dirección v2. Para ellos hacemos p1 = p0 + tyv2. Ver fig.3.5.

3.3 Ubicación espacial de las imágenes médicas 51

p0

txtx

ty

p1

v2

Figura 3.5 Segundo paso de la ubicación espacial de un slice.

3. Repetimos el paso 1 con los valores de p1, tx y v = v1. Ver fig. 3.6.

p0

txtx

ty

p1

v1

Figura 3.6 Tercer paso de la ubicación espacial de un slice.

4. Generamos el punto p2 a partir de la expresión p2 = p0 +2tyvy. Ver fig. 3.7.

p0

txtx

ty

p1

v2

ty

p2

Figura 3.7 Cuarto paso de la ubicación espacial de un slice.


Repitiendo el procedimiento anterior obtenemos la ubicacion espacial del slice. En lafig. 3.8 se presenta un ejemplo.

Figura 3.8 Tomografía de estómago - Elementos básicos del slice.

Aplicando este procedimiento a cada uno de los slice que componen la tomografía o reso-nancia, obtenemos la ubicación espacial de ésta. Dos ejemplos son presentados en fig. 3.9 yfig. 3.10.

Figura 3.9 Ubicación espacial - Tomografía de columna vertebral.

3.3 Ubicación espacial de las imágenes médicas 53

Figura 3.10 Ubicación espacial - Tomografía cerebral.

Observaciones importantes:

Durante el desarrollo de la tesis, trabajamos con varios repositorios de imágenes médi-cas, ver [7] y [8]. Allí encontramos tomografías de diversas partes del cuerpo humano comola cabeza, la pelvis, el estómago, etc.Realizamos el procedimiento de ubicación espacial para algunos de los archivos encontra-dos, y se evidenció que, en general, la disposición de los slice de un estudio imagenológicopreservan la condición de paralelismo, en algunos casos con vectores directores v1 y v2 pa-ralelos a un par de los vectores canónicos, e1 = [1,0,0],e2 = [0,1,0],e3 = [0,0,1], ver fig.3.10. En otros casos los slice poseen vectores directores diferentes a los vectores canónicos,ver fig. 3.9.Sin embargo, se encontró que no siempre los slice de la tomografía presentan estas carac-terísticas, un ejemplo de ello se presenta en la figura fig. 3.11, en donde los slice poseenvectores directores diferentes a los vectores canónicos y además, algunos de los planos quecorresponden a los slice presentan cortes entre ellos. Esta tomografía corresponde con unestudio imagenológico del estómago. Se considera curioso este ejemplo, debido a que estetipo de “volúmenes” no es frecuente en los repositorios de datos antes mencionados.

Ubicar las imágenes médicas en el espacio de coordenadas nos permite visualizar en escalareal el objeto de estudio, realizar medidas de ángulos y longitudes; y en lo que sigue, vapermitir visualizar información al interior del volumen tomográfico, a través de superficiesregladas desarrollables en zonas de interés.


Figura 3.11 Tomografía del estómago con corte entre los slice.

Capítulo 4

Métodos de texturización de superficies

En esta sección estudiaremos algunos métodos que permiten la texturización de super-ficies construidas en el interior de un volumen tomográfico. Mostraremos dos métodos,vecino más cercano e interpolación trilineal.Al final del capítulo realizamos una comparación entre ambos métodos, en la cual se podráevidenciar que el primer método aplica para tomografías en general, mientras que inter-polación trilineal requiere que la tomografía cumpla algunas condiciones, sobre todo en ladisposición de los slices en el espacio.Recalcamos que los ejemplos aquí mostrados están basados en imágenes médicas de perso-nas reales y en su mayoría son tomografías. Los datos han sido anonimizados con anteriori-dad para garantizar la privacidad del paciente.

4.0.1. Método: Vecino más cercano

En el capítulo anterior se estudió la ubicación espacial de la tomografía, allí mostramosque podemos encontrar los siguientes tipos de tomografías:

1. Los slice son paralelos entre sí y tienen orientación canónica, es decir, son paralelosa uno de los planos coordenados.

2. Los slice son paralelos entre sí pero su orientación no es canónica.

3. Los slice no son paralelos entre sí, es decir, yacen en planos no paralelos.

Este método tiene la propiedad de que aplica para cualquiera de éstos tres tipos de tomogra-fías, por lo tanto, se considera más general que el método interpolación trilineal, el cual seexpondrá posteriormente.

56 Métodos de texturización de superficies

Para estudiar el método del vecino más cercano, se considera la tomografía como una nubede puntos ubicados en el espacio, por tanto pasamos de considerar la tomografía como unasecuencia de slices o rodajas a tener un conjunto de puntos en el espacio. Para el desarrollode este método se realizaron los siguientes pasos:

1. Determinamos la caja o paralelepípedo, de lados paralelos a los ejes coordenados,que contenga la nube de puntos, concretamente la caja más pequeña que se ajuste alconjunto de datos.

2. La segunda etapa del método, consiste en subdividir el paralelepípedo grande en otrosmás pequeños, los cuales llamaremos “cajitas". Para esto ubicamos nuestro sistemade coordenadas en el ImagePositionPatient del primer slice de la tomografía.

3. Ahora organizamos estas “cajitas", basados en un orden lineal, el cual está comple-tamente determinado por el sentido y dirección como se recorre el paralelepípedooriginal.Debemos recalcar que en términos computacionales se considera una “cajita” comoun arreglo de dimensión 4 x n donde n es la cantidad de puntos que pertenecen a la res-pectiva “cajita”. Las primeras 3 componentes representan las coordenadas espacialesdel punto y la cuarta componente corresponde a su nivel de gris.

4. Ubicación de todos los puntos que conforman la tomografía en el arreglo lineal.

En conclusión, empezamos considerando una tomografía como un conjunto de slices o ro-dajas y ahora tenemos el mismo volumen tomográfico como un arreglo lineal de “cajitas".Esta nueva consideración de la tomografía, tiene la ventaja de que dadas las coordenadasde un punto en el espacio p, podemos hallar el indice i de la “cajita"del arreglo lineal ala cual pertenece dicho punto, luego buscamos el punto p0 dentro de la ”cajita"de indice ital que minimice la distancia con el punto p. Esta distancia podría ser la distancia Euclí-dea o también podrían considerarse otras distancias como: distancia Manhattan1, distanciaChebyshev2, etc.

Finalmente, asignamos como nivel de gris al punto p el mismo nivel de gris del punto p0.

El proceso anterior es lo que denominamos: Método del vecino más cercano.

En fig. 4.1 se presenta un parche reglado construido a partir de una curva de Bézier, ver 7.2,

1D(x,y) = ∑ni=1 | xi − yi | para x,y ∈ Rn

2D(x,y) = max | xi − yi | para x,y ∈ Rn

57

el cual fue texturizado por dicho método. Otro ejemplo relevante es presentado en la figura4.2. La superficie presentada corresponde a una superficie reglada desarrollable, construidaa partir de conos sobre una curva ATPH 3. Esta superficie es presentada en [6]

Figura 4.1 Parche de Bézier texturizado con el método vecino más cercano.

Figura 4.2 Superficie construida usando conos sobre una curva base ATPH texturizada conel método vecino más cercano.

3Una curva espacial paramétrica se denomina curva ATPH (por su acrónimo en inglés Algebraic-Trigonometric Pythagorean Hodograph) si su derivada puede expresarse en términos de funciones del espacio< 1,sin(t),cos(t),sin(2t),cos(2t) >. Estas curvas poseen la propiedad de que su longitud de arco y curvasoffsets admiten una representación cerrada. Además, pueden utilizarse de manera eficiente para resolver elproblema de interpolación de Hermite de primer orden.

58 Métodos de texturización de superficies

4.0.2. Método: Interpolación trilineal

Este es un método de aplicación mas reducida que el anterior, puesto que solo se puedeutilizar para tomografías que tengan slices que yacen en planos paralelos.

Dadas las condiciones de la tomografía y las coordenadas de un punto p, el método consisteen encontrar los 8 puntos adyacentes que forman el paralelepípedo que contiene al punto p.Luego de esto se procede a realizar una interpolación trilineal.La interpolación trilineal es una extensión de la interpolación bilineal, porque podemos apli-car interpolación bilineal a la cara frontal (V11,V12,V13,V14) de la caja para obtener F1. Verfig. 4.3. Un procedimiento similar es aplicado a la cara de atrás (V21,V22,V23,V24) para ob-tener F2

4. Para calcular G, hacemos interpolación lineal con F1 y F2 a lo largo del eje y.

Figura 4.3 Módelo gráfico sobre interpolación trilineal.

La ventaja del método es que podemos establecer una relación entre las coordenadas de lospuntos con los índices de la matriz de grises que determina la tomografía, lo cual evita al-macenar las coordenadas de los puntos de la tomografía, como se hizo en el caso del métodovecino más cercano.

Dos ejemplos de superficies texturizadas a partir de este método son presentados a con-

4Interpolación bilineal es usada cuando necesitamos saber el valor en una posición aleatoria sobre una ma-lla regular 2D. Para calcular un valor para F1, primero aplicamos interpolación lineal en una de las direcciones(dirección x) para obtener B11 y B12. Finalmente, hacemos interpolación lineal entre B11 y B12 a lo largo deleje z para obtener F1

59

tinuación: ver fig. 4.4 y fig. 4.5.

Figura 4.4 Parche de Bézier texturizado con el método interpolación trilineal.

Figura 4.5 Superficie construida usando conos sobre una curva base ATPH texturizada conel método interpolación trilineal.

Capítulo 5

Una familia de superficies regladas y susaplicaciones

En este capítulo consideramos una familia de superficies regladas. Esta familia es consi-derada en [5], y se construyen usando una curva predeterminada que yace sobre la superficiecomo pregeodésica. 1

Esta familia de superficies regladas posee dos parámetros libres, los cuales van determinarsi una superficie en particular de la familia posee la propiedad de ser desarrollable. En estecapítulo vamos a estudiar las condiciones sobre estos parámetros de forma que podamosgarantizar la desarrollabilidad de las superficies construidas.

Las superficies desarrollables tienen muchas aplicaciones en campos diversos, tales comocartografía, construcción de objetos manufacturados de metal, cartón o madera, en construc-ción naval y podrían ser de especial interés las aplicaciones medicas. Éstas las abordamosen la segunda sección de este capítulo, particularmente el caso imágenes dentales.

El objetivo de la aplicación es construir superficies desarrollables de la familia anterior,usando una curva en particular como curva pregeodésica. Estas superficies yacen en el inte-rior del volumen tomográfico, lo cual permite la extracción de información relevante a partirde su texturización.

1Una curva se dice pregeodésica si tiene curvatura geodésica igual a cero pero no está parametrizada porlongitud de arco.

62 Una familia de superficies regladas y sus aplicaciones

5.1. Una familia de superficies que contienen una curva ω

dada como pregeodésica

Sea ω : I −→ R3 una curva de clase C2 tal que ω ′(t)×ω ′′(t) no se anula para t ∈ I.Definimos la siguiente familia de superficies regladas para cualquier α y α = 0 funciones avalores reales,

X(t,s) = ω(t)+ sα(t)ω ′(t)+ α(t)ω ′(t)×ω′′(t). (5.1)

En primer lugar demostremos que la curva ω es una pregeodésica para la familia de super-ficies (5.1), en efecto, probemos que κg = 0 para la curva ω(t) = X(t,0),

Para simplificar los cálculos, sea

P(t) = α(t)ω ′(t)+ α(t)ω ′(t)×ω′′(t). (5.2)

Así, tenemos que X(t,s) = ω(t)+ sP(t).

El vector normal a la superficie es

n =Xt ×Xs

∥Xt ×Xs∥=

(ω ′(t)+ sP′(t))×P(t)∥Xt ×Xs∥

=ω ′(t)×P(t)+ sP′(t)×P(t)

∥Xt ×Xs∥

Luego el vector normal restringido a la curva ω está dado por,

n(t) = n(t,0) =ω ′(t)×P(t)∥Xt ×Xs∥

=ω ′(t)× (α(t)ω ′(t)+ α(t)ω ′(t)×ω ′′(t))

∥Xt ×Xs∥

=α(t)ω ′(t)×ω ′(t)+ α(t)ω ′(t)× (ω ′(t)×ω ′′(t))

∥Xt ×Xs∥

=α(t)ω ′(t)× (ω ′(t)×ω ′′(t))

∥Xt ×Xs∥

(5.3)

Así, la curvatura geodésica es:

κg = ω′′(t) ·

[α(t)(ω ′(t)× (ω ′(t)×ω

′′(t)))×ω′(t)]= 0

5.1 Una familia de superficies que contienen una curva ω dada como pregeodésica 63

Luego, ω(t) = X(t,0) es una pregeodésica en la superficie (5.1).

Nótese que para α = 0 y α = 1 la superficie es una superficie cilíndrica siempre y cuandoω ′(t)×ω ′′(t) sea un vector de dirección constante. Este es un primer ejemplo de una super-ficies reglada desarrollable que contiene una curva ω como pregeodésica prescrita.Ahora presentamos dos ejemplos de este tipo de superficies regladas con ω como curvapregeodésica,

Ejemplo: Consideramos la curva ω = [sin(t),cos(t), t3] con los parámetros α(t)= t y α(t)=t2 +1, ver fig. 5.1.

Figura 5.1 Superficie con curva pregeodésica ω = [sin(t),cos(t), t3] y parámetros α(t) = ty α(t) = t2 +1.

En el siguiente ejemplo consideramos parámetros α y α constantes:

Ejemplo: Consideramos la curva ω = [t, t2, t3] con los parámetros α(t) = 0 y α(t) = 1,ver fig. 5.2.


Figura 5.2 Superficie con curva pregeodésica ω = [t, t2, t3] y parámetros α(t)= 0 y α(t)= 1.

A continuación determinamos los valores de los parametros α y α de forma que lasuperficie (5.1) sea una superficie desarrollable. Para ello, recordemos que una superficie esdesarrollable si el producto mixto (Xs ×Xt) ·Xst = 0.Recordando la sustitución (5.2), obtenemos

Xs = P(t)

Xt = ω′(t)+ sP′(t)

Xst = P′(t)

Luego,

(Xs ×Xt) ·Xst =[P(t)× (ω ′(t)+ sP′(t))

]·P′(t)

= (P(t)×ω′(t)) ·P′(t)+(P(t)× sP′(t)) ·P′(t)

= P′(t) · (P(t)×ω′(t))

= ω′(t) · (P′(t)×P(t))

(5.4)

Ahora, calculamos el producto cruz P′(t)×P(t).Recordemos que,

P(t) = α(t)ω ′(t)+ α(t)ω ′(t)×ω ′′(t)P′(t) = α ′(t)ω ′(t)+α(t)ω ′′(t)+ α ′(t)(ω ′(t)×ω ′′(t))+ α(t)(ω ′(t)×ω ′′′(t))

Usando propiedades básicas del producto punto y producto vectorial, junto con la propiedad


del producto mixto y doble producto vectorial, 2 obtenemos que:

P′(t)×P(t) =(α′(t)α(t)− α

′(t)α(t))(

ω′(t)×

(ω

′(t)×ω′′(t)))

+(α(t))2ω

′′(t)×ω′(t)+α(t)α(t)ω ′′(t)×

(ω

′(t)×ω′′(t))

−α(t)α(t)ω ′(t)×(ω

′(t)×ω′′′(t)

)+(α(t))2

ω′(t)((

ω′(t)×ω

′′′(t))·ω ′′(t)

) (5.5)

Sustituyendo (5.5) en (5.4),

(Xs ×Xt) ·Xst = ω′(t) · (P′(t)×P(t))

= α(t)α(t)ω ′(t) ·[ω

′′(t)×(ω

′(t)×ω′′(t))]

+(α(t))2∥ω′(t)∥2

ω′′(t) ·

(ω

′(t)×ω′′′(t)

)y basados en la propiedad del producto mixto obtenemos que,

(Xs ×Xt) ·Xst = α(t)α(t)∥ω′(t)×ω

′′(t)∥2+(α(t))2∥ω′(t)∥2

ω′′(t) ·

(ω

′(t)×ω′′′(t)

)Recordemos que la superficie (5.1) es desarrollable si y sólo si (Xs ×Xt) ·Xst = 0, por tanto,

α(t)α(t)∥ω′(t)×ω

′′(t)∥2+(α(t))2∥ω′(t)∥2

ω′′(t) ·

(ω

′(t)×ω′′′(t)

)= 0

de donde, dado que α = 0, obtenemos que la condición sobre los parámetros α y α paraque la familia (5.1) sea una familia de superficies regladas desarrollables es la siguiente,

α(t)∥ω′(t)×ω

′′(t)∥2+α(t)∥ω′(t)∥2

ω′′(t) ·

(ω

′(t)×ω′′′(t)

)= 0 (5.6)

De la expresión (5.6) obtenemos que para los siguientes valores de α y α la superficie (5.1)es desarrollable,

α(t) =−∥ω′(t)∥2

ω′′(t) ·

(ω

′(t)×ω′′′(t)

)α(t) = ∥ω

′(t)×ω′′(t)∥2

(5.7)

equivalentemente,

α(t) = ∥ω′(t)∥2(

ω′(t)×ω

′′(t))·ω ′′′(t)

α(t) = ∥ω′(t)×ω

′′(t)∥2(5.8)

2Se tiene la siguiente propiedad del producto mixto, a · (b× c) = b · (c×a) = c · (a×b) y la propiedad deldoble producto vectorial, a× (b× c) = b(a · c)− c(a ·b)


Ejemplo: Consideremos la curva ω(t) = [t3, t, t] como pregeodésica de la superficie(5.1). En las figuras 5.3 y 5.4 presentamos la superficie y su desarrollo. Para escoger losparametros α y α utilizamos la expresión (5.8).

Figura 5.3 Superficie desarrollable con la curva ω = [sin(t),cos(t), t2] como curva pregeo-désica.

Figura 5.4 Desarrollo de la superficie de la fig. 5.3.


Observación: Si ω es una curva parametrizada por longitud de arco, es decir, ∥ω ′(s)∥=1 para todo s, por tanto de la expresión (5.8) obtenemos:

α(s) =(ω

′(s)×ω′′(s)

)·ω ′′′(s)

α(s) = ∥ω′(s)×ω

′′(s)∥2= ∥ω′(s)∥2∥ω

′′(s)∥2sin2(θ)

donde θ es el ángulo formado por ω ′(s) y ω ′′(s), los cuales son ortogonales puesto que ω

está parametrizada por longitud de arco. Luego,

α(s) =(ω

′(s)×ω′′(s)

)·ω ′′′(t) = κ

2(s)τ(s)

α(s) = ∥ω′(s)×ω

′′(s)∥2= ∥ω′(s)∥2∥ω

′′(s)∥2sin2(θ) = ∥ω′′(s)∥2= κ

2(s)(5.9)

A continuación presentamos un ejemplo para una curva espacial, la cual puede ser repa-rametrizada por longitud de arco. Después de hallar su reparametrización construimos lasuperficie (5.1), junto con los parámetros dados por la expresión (5.9).

Ejemplo: Consideramos la curva no plana ω(t) =[

cos(t),sin(t),23

t32

]para t ∈ [1,5,3]. El

vector tangente a la curva está dado por ω ′(t) =[−sin(t),cos(t), t

12

].

El objetivo es reparametrizar la curva ω por su parámetro longitud de arco. Para ello, calcu-lamos,

s(t) =∫ t

1,5∥ω

′(x)∥dx =∫ t

1,5

√1+ xdx =

23

((1+ t)

32 − (1+1,5)

32

)Luego, la función inversa de s(t) denotada por t(s) está dada por,

t(s) =[

32

s+(1+1,5)32

] 23

−1

A partir de esta expresión podemos encontrar la reparametrización γ(s) = ω(t(s)) por lon-gitud de arco de la curva ω . Ver fig. 5.5.


Figura 5.5 Parámetro original (azul) - parámetro longitud de arco (rojo).

Construimos la superficie (5.1) usando la curva γ como pregeodésica y tomando co-mo parámetros α y α dados por (5.9). Además, hallamos su desarrollo usando el segundométodo de desarrollabilidad expuesto en el capítulo 2. Ver fig. 5.6.

Figura 5.6 Superficie desarrollable y su desarrollo en el plano.


Presentamos el parche desarrollable correspondiente a la misma superficie sobre la pre-geodésica ω , la cual es una curva no parametrizada por longitud de arco. Ver fig. 5.7.

Figura 5.7 Dos vistas de la superficie desarrollable y la curva ω una pregeodésica.

A continuación ilustramos los parches sobre la superficie correspondientes a las curvasγ y ω . La diferencia en la extensión de estos dos parches se ilustra en fig. 5.8. La razón deesta diferencia es porque los parametros α y α son diferentes para cada uno de los parches.Las dos superficies fueron construidas sobre el mismo dominio.

Figura 5.8 Comparación de las superficies anteriores.


Observación: Construimos la superficie (5.1) usando la curva γ como geodésica y to-mando como parámetros α y α dados por la expresión (5.9). Además, normalizamos losvectores ω ′′(t), ω ′′′(t) y ω ′(t)×ω ′′(t) para su construcción. Ver fig. 5.9. Hallamos su desa-rrollo basados el segundo método de desarrollabilidad expuesto en el capítulo 2. Ver fig.5.10.

Figura 5.9 Superficie (5.1) con la curva ω como geodésica.

Figura 5.10 Desarrollo de la superficie de la fig. 5.9.

Esta normalización de los vectores, tiende a mejorar el problema práctico, que se observaen la fig. 5.6, en relación a la extensión de los generadores sobre la superficie desarrollable.

5.2 Aplicaciones: Visualización de información tomográfica utilizando superficiesdesarrollables 71

5.2. Aplicaciones: Visualización de información tomográ-fica utilizando superficies desarrollables

Para estas aplicaciones consideramos dos volúmenes tomográficos de las piezas denta-les. Para la primera aplicación, fijamos nuestra atención en sólo una de las piezas dentalespara construir una superficie del tipo (5.1), donde la curva ω es un segmento de cónica. Elsegmento aproxima el conducto de la raíz de la pieza dental en cuestión. Para la segunda ytercera aplicación consideramos la curva ω como un B-spline cúbico a través de todas laspiezas dentales y realizamos el mismo proceso anterior. En este último caso consideramosexpresiones de α y α tales que la superficie resultante es no desarrollable en un caso, ydesarrollable en el otro.

5.2.1. Aplicación 1

Los pasos para la construcción de las superficies (5.1) a lo largo del conducto de unapieza dental son los siguientes:

• Se determina una secuencia de puntos en la raíz de la pieza dental. Es importanterecalcar que estos puntos estarán en coordenadas espaciales.

• Por medio del proceso de mínimos cuadrados obtenemos la cónica de la forma ax2 +

bxy+ cy2 +dx+ ey = f que mejor aproxima los puntos de la raíz dental3.

• Llamamos ω al segmento de la cónica que aproxima los puntos y construimos la su-perficie (5.1). Recordemos que esta curva es una pregeodésica sobre la superficie, portanto cuando hallamos el desarrollo en el plano, notamos que esta curva se correspon-de isométricamente con una línea recta en el plano.

• Construida la superficie procedemos a texturizarla usando el método vecino más cer-cano.

• Finalmente, aplicamos el segundo método de desarrollabilidad estudiado para hallarel desarrollo de la superficie sobre el plano.

En la figura 5.11 mostramos la superficie en contexto con un slice de la tomografía. En lafigura 5.13 podemos ver dos vistas de la superficie y por último, presentamos el desarrolloen el plano de la superficie, ver fig. 5.14.

3Los puntos iniciales son puntos espaciales, lo cual obliga a realizar un proceso previo a la construcción deesta cónica. Inicialmente, se busca por medio de mínimos cuadrados el plano que mejor aproxima los puntos dela raíz y luego proyectamos estos puntos sobre dicho plano, lo cual genera los puntos coplanares que permitenhallar la cónica.


Figura 5.11 Superficie en el interior del volumen médico.

Figura 5.12 Segmento de cónica aproximante de los puntos de la raíz.


Figura 5.13 Puntos sobre el conducto de la raíz (rojo) - segmento de cónica aproximante(azul).

Figura 5.14 Desarrollo de la superficie de la fig. 5.13 en el plano.

Esta aplicación resulta importante en términos médicos, cuando se quiere realizar unproceso de extracción de una pieza dental, puesto que permite determinar el compromiso dela pieza con las estructuras adyacentes y evitar posibles complicaciones futuras.


Observación: Otro aspecto potencialmente útil es cuando dos raíces convergen (se cor-tan). En la endodoncia es importante conocer la cantidad de raíces que posee la pieza dentaly la disposición de sus raíces. En el siguiente ejemplo consideramos una pieza dental condos raíces. Cada una de ellas es aproximada por un segmento de cónica y se construye lasuperficie (5.1) en cada caso junto con sus desarrollos, ver fig. 5.15 y fig. 5.16.

Figura 5.15 Dos vistas de las superficies desarrollables. Puntos de la raíz (rojos) - Cónicasaproximantes (amarillos).

Figura 5.16 Desarrollo en el plano de las superficies de la fig. 5.15.


Observación: Como se puede observar la figura 5.16 - derecha, la cónica del recuadropequeño no aproximó bien la raíz del diente, por lo cual recurrimos al método mostrado enel capitulo 1.2, para crear una superficie offset a una distancia de 0,2mm de la superficie encuestión. Ver fig. 5.17 y fig. 5.19. El desarrollo de esta superficie offset es mostrado en lafig. 5.18.

Figura 5.17 Offset de la superficie correspondiente al desarrollo izquierdo de la fig. 5.16.

Figura 5.18 Desarrollo del offset de la fig. 5.17.


Figura 5.19 Zoom de la superficie offset.


En este caso vamos a considerar la curva ω como un B-spline cúbico interpolante através de las piezas dentales de uno de los maxilares, ver 7.3. La curva ω es una curvaplana y será una pregeodésica para la superficie del tipo (5.1). En esta aplicación vamos aconsiderar los parámetros α(t) = 1 y α(t) = 1 para todo t en un intervalo I.La figura 5.20 ilustra los puntos sobre las piezas dentales y el B-spline cúbico interpolante.La curvas B-spline son curvas polinómicas a trozos y su evaluación se hace por medio delalgoritmo de Boor. Ver capítulo 7.


Figura 5.20 Puntos sobre las piezas dentales y B-spline cúbico interpolante.

En la imagen fig. 5.21 presentamos la superficie creada a partir del B-spline anteriorcomo curva pregeodésica en la familia (5.1).

Figura 5.21 Superficie reglada creada a partir del B-spline de la fig. 5.20 usando los pará-metros α(t) = 1 y α(t) = 1 para todo t.

Un aspecto importante de la superficie mostrada en fig. 5.21 es que la superficie correspondea una superficie reglada de la familia (5.1) la cual no es una superficie desarrollable.


En esta aplicación usamos el mismo B-spline interpolante de la aplicación 2, pero es-cogemos los valores de los parámetros α y α de forma que la superficie construida seadesarrollable. Para la escogencia de los parámetros usamos las expresiones (5.8).


Figura 5.22 Superficie reglada desarrollable creada a partir del B-spline de la fig. 5.20 usan-do los parámetros α y α dados por la expresión (5.8) y texturizada con el método interpo-lación trilineal.

Figura 5.23 Desarrollo de la superficie de la fig. 5.22 usando el segundo método de desarro-llabilidad presentado en el capítulo 2.

Dado que la curva B-spline es una curva plana y analizando las expresiones (5.8) para losparámetros α(t) y α(t) tenemos que para cualquier t, los vectores ω ′(t), ω ′′(t) y ω ′′′(t)pertenecen al plano tangente a la superficie restringido a la curva en t, por ende los vectoresω ′′(t) y ω ′(t)×ω ′′′(t) son ortogonales y así para todo t tenemos que,

α(t) = ∥ω′(t)∥ω

′′(t) ·(ω

′(t)×ω′′′(t)

)= 0

Luego la superficie M corresponde a una superficie cilíndrica con la curva B-spline comogeneratriz-pregeodésica. Ver fig. 5.22.

Capítulo 6

Conclusiones y trabajo futuro

Algunas de las conclusiones y trabajos futuros son enunciados a continuación:

• El segundo método de desarrollabilidad es mas eficiente debido a que no requierecalcular la línea de estricción de la superficie para clasificar la superficie y además nose requiere que la curva sobre la superficie sea plana.

• Cuando se consideraban curvas, se evidenció una dificultad debido a que no siem-pre contábamos con la parametrización por longitud de arco, por lo cual, uno de losproblemas que queremos abordar a continuacion es considerar curvas PH (Pythago-rean Hodograph) las cuales tienen la propiedad de que su función longitud de arco espolinómica y probablemente sea sencillo encontrar la inversa de la función.

• El método de texturización vecino más cercano es mas eficiente que el método in-terpolación trilineal, debido a que aplica para volumenes medicos que no presentanplanos paralelos a alguno de los ejes coordenados.

• En la aplicación 1 consideramos un segmento de cónica aproximante para los puntosque yacen en el conducto del diente. Generalmente, la curvatura y la torsión de esteconducto son no constantes, por lo cual vamos a construir una curva medial axis yuna PH cubica que aproxime la secuencia de centros de la raíz. Además, verificar queestas curvas dan una mejor aproximación que la que provee un segmento de cónicaplana, o sea que es una mejor aproximación con criterio clínico como opuesto a uncriterio exclusivamente matemático.

• En el trabajo de las secciones a lo largo de la mandibula queremos considerar B-splines construidos con odografos pitagoricos. Esto facilita el manejo de longitudes ypor ende la producción de puntos equidistanciados sobre la curva. Pensamos en curvascubicas de Tschirnhausen, C^1 o G^1 por trozos.

Capítulo 7

Apéndice

7.1. Teoremas esenciales

Teorema 1: Sea κ : I ⊂ R → R una función diferenciable. Entonces, existe una curvaβ : I → R2 parametrizada por longitud de arco y curvatura κ(s). Esta curva está dada por:1

β (s) = (∫

cosφ(s)ds,∫

sinφ(s)ds) con φ(s) =∫

κ(s)ds. (7.1)

Teorema 2: Dadas funciones diferenciables κ(s) y τ(s), s ∈ I, existe una curva regularparametrizada α : I → R3 tal que s es la longitud de arco, κ(s) es la curvatura, y τ(s) esla torsión de α . Más aún, otra curva α que satisface las mismas condiciones, difiere deα por un movimiento rígido. Esto es, existe una aplicación lineal ortogonal ρ de R3, condeterminante 1, y un vector c tal que α = ρ α + c.

7.2. Curvas de Bézier.

Basados en el teorema de aproximación de Weierstrass, sabemos que en un intervalocerrado y acotado, toda función continua se puede aproximar con un polinomio, por tantopara describir formas dadas por curvas (trazas de funciones continuas) es suficiente trabajarcon curvas polinómicas. Las curvas de Bézier son curvas polinómicas que se expresan entérminos de la base dada por los polinomios de Bernstein, los cuales se listan a continuación:La base de Bernstein para polinomios de grado menor o igual a n está dada por:

Bn0(u),B

n1(u),B

n2(u), ...B

nn(u), (7.2)

1Este teorema se puede deducir del Teorema 2, pero se presenta en forma independiente, debido a quetiene una forma mas conveniente para construir la isometría en el capítulo 2 - Caso tangente.

82 Apéndice

donde,

Bni (u) =

(ni

)ui(1−u)n−i (7.3)

con(n

i

)=

n!i!(n− i)!

.

Una curva de Bézier está dada por sus puntos de control y los polinomios de Bernstein, asíque, dados n+1 puntos de control, definimos la curva de Bézier como:

B(t) =n

∑i=1

Bni (t)Pi (7.4)

donde

Bni (u) =

(ni

)ui(1−u)n−i (7.5)

con(n

i

)=

n!i!(n− i)!

.

El polígono formado por la conexión de los puntos de Bézier con segmentos de rectas,comenzando por P0 y terminando en Pn, se denomina polígono de Bézier (o polígono decontrol).

Algunos de los aspectos importantes sobre estas curvas se enuncian a continuación:

1. La curva interpola los puntos P0 y Pn.

2. La curva de Bézier yace en el interior de la cápsula convexa de sus puntos de control.

3. Para efectuar una transformación afín de la curva es suficiente efectuar la transforma-ción sobre todos los puntos de control.

4. Existe un algoritmo muy importante, llamado Algoritmo de De Casteljau [3] y [4], elcual sirve para evaluar una curva de Bézier usando solamente combinaciones afinesde sus puntos de control. Además de esto, esta herramienta permite hallar el vectortangente a la curva en cualquier punto.

7.3. Curvas B-spline

Una curva B-spline es una curva polinómica a tramos definida en un intervalo [a,b], lacual se caracteriza por los siguientes aspectos:

• Cada tramo de la curva es de grado d o menor, es decir, la curva tiene orden d +1.

7.3 Curvas B-spline 83

• Un secuencia creciente de m+ 1 nodos, esto es, t0, t1, ..., tm tales que ti ≤ ti+1 para0 ≤ i ≤ m−1

• Utilizamos m+1 puntos de control b0,b1,b2, ...,bn con n = m−d −1

Las curvas B-spline se definen de forma recursiva en términos de funciones básicas B-spline,las cuales presentamos a continuación:

Definición: Las funciones básicas B-spline de grado d, denotadas por Ndi (t), se definen

sobre un conjunto de nodos t0, t1, ..., tm de forma recursiva:

N0i (t) =

1 t ∈ [ti, ti+1)

0 otros casos

Ndi =

t − titi+d − ti

Nd−1i (t)+

ti+d+1 − ttti+d+1 − ti+1

Nd−1i+1 (t) (7.6)

para i = 0,1,2, ...,n y d ≥ 1

Definición: Una curva B-spline de grado d (orden d+1) con los puntos de control b0,b1,b2, ...,bn

y nodos t0, t1, ..., tm se define en el intervalo [a,b] = [td, tm−d] por

b(t) =n

∑i=0

biNdi (t) (7.7)

donde Ndi (t) son las funciones básicas de grado d.

La evaluación de un punto de la curva B-spline se puede realizar fácilmente usando el algo-ritmo de De Boor, el cual establece que cada segmento está determinado por d + 1 puntosde control. [3]

Bibliografía

[1] Do Carmo, M. P. (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-hallEnglewood Cliffs, pags. 504.

[2] Pottmann, H. and Wallner, J. (2009). Computational line geometry. Springer, pags. 572.

[3] Farin, G. (1999). Curves and surfaces for CAGD - A practical guide.Morgan Kaufmannpublishers, pags. 500.

[4] Paluszny, M. Boehm, W. and Prautzsch, H. (2002). Bézier and B-spline techniques.Springer, pags. 304.

[5] Paluszny, M. (2008). Cubic polynomial patches through geodesics. Computer-AidedDesign, pags. 56-61.

[6] González, C. Albrecht, G. Paluszny, M. and Lentini, M. (2016). Design of C2 Algebraic-Trigonometric Pythagorean Hodograph splines with shape parameters, Computationaland Applied Mathematics, pags. 1-24.

[7] UNIVERSITY OF TOWA Carver College of Medicine htt ps ://www.medicine.uiowa.edu/mri/

[8] OSIRIX, Imaging Software htt p : //www.osirix− viewer.com/

métodos de desarrollabilidad de superficies y su...

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